HIDRULICA I 1

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E ARQUITECTURA

SECO DE HIDRULICA E RECURSOS HDRICOS E AMBIENTAIS

HIDRULICA I

Resolues dos problemas

HIDRULICA I 2

2 HIDROSTTICA

PROBLEMA 2.1

O tubo representado na figura est cheio de leo de densidade igual a 0,85. Determine as

presses nos pontos A e B e exprima-as em metros de coluna de gua equivalente.

RESOLUO

No mesmo fluido vlida a lei geral da hidrosttica

pz cte+ =

Aplicando esta lei entre os pontos 1 e A, vem: 1 11

AA

A

p pp pz z z z

+ = + + = +

11

AA

p pz z

=

,

02 5

=

Ap

m (em presses relativas, 0=atmp )

, , , , ,2 4 2 42 5 2 5 0 85 9800 2 08 10 2 08 10Ap N m N m Pa

= = = =

,42 08 10= Ap Pa (presses relativas)

,, , . . , . .

42 08 102 5 0 85 2 125

9800Ap m m c a m c a

= = =

, . .2 125Ap m c a=

Procedendo de modo semelhante entre os pontos 1 e B, vem: 1 B

p pz z

+ = +

1

HIDRULICA I 3

,1

1 0 5B B

B

p p pz z m

= =

, , ,30 5 0 85 9800 4 165 10= = Bp Pa Pa ,

34 165 10= Bp Pa

, , , . .0 5 0 85 0 425= = Bp m c a , .0 425= Bp m c a

PROBLEMA 2.2

Se for injectado gs sob presso no reservatrio representado na figura, a presso do gs e os

nveis dos lquidos variam. Determine a variao de presso do gs necessria para que o

desnvel x aumente 5 cm, sabendo que o tubo tem dimetro constante.

RESOLUO

1) Situao inicial

Aplicando a lei geral da hidrosttica entre os pontos A e B, vem:

( )B A Bp z z= sendo 39800 N m =

Procedendo de modo anlogo entre os ponto C e B, vem:

, ,0 8 0 8C B

C B

p pz z+ = +

HIDRULICA I 4

, ,0 8 0 8

= =

C B B C

B C

p p p pz z x ,0 8B Cp p x= +

( ), ,0 8 0 8= = C B A Bp p x z z x

, ,13 6 13 6

CDD C

ppz z+ = +

( ),,

13 613 6D C

C D D C C D

p pz z p p z z

= = +

( ) ( ), ,13 6 0 8D C D A Bp z z z z x= +

2) Situao final

( ),0 05B A Bp z z= +

( ), , ,,

0 05 0 8 0 050 8B C

C B

p px p p x

= + = +

( ) ( ), , ,0 05 0 8 0 05C A Bp z z x= + +

( ) ( ), , ,,

0 05 13 6 0 0513 6

= + = + +

D C

C D D C C D

p pz z p p z z

( ) ( ), , , , , , ,13 6 13 6 0 05 0 05 0 8 0 8 0 05D C D A Bp z z z z x= + + +

3) Variao de presso do gs:

( ), , , , , , , , , ,13 6 0 05 0 05 0 8 0 05 0 05 13 6 1 0 8 13 8 0 05 6762Final InicialD D Dp p p Pa = = + = + = =

6762Dp Pa =

HIDRULICA I 5

PROBLEMA 2.3

Considere o esquema representado na figura, em que existe ar sob presso acima da superfcie

BD. A comporta ABCDE tem ,1 0 m de largura e pode rodar sem atrito em tomo de E.

a) Trace os diagramas de presso na face esquerda da comporta e calcule os valores da

presso nos pontos A, B, C, D e E.

b) Qual dever ser a altura de gua a jusante, jh , de forma a que se estabelea o equilbrio,

nas condies da figura, admitindo que o ponto de aplicao do peso da com porta o

ponto C.

RESOLUO

a) Diagrama e presses nos pontos A, B, C, D e E.

A1

HIDRULICA I 6

0Ap =

, ,12

0 8 5543 72A

P Pa= =

, ,2 2

10 8 12473 42 2B

p Pa= + =

,12473 4C Bp p Pa= =

,12473 4D Bp p Pa= =

,2 26332 7E Dp p Pa= + =

b) Clculo da altura a jusante h j

Na presente resoluo designa-se por id o brao da fora iI medido em relao ao ponto de

rotao E .

,

,15543 7 0

1 2771 862

I N+

= = (diagrama triangular)

,11

4 4 3333

d m= + =

, ,2 5543 7 1 5543 72I N= = (base rectangular do diagrama trapezoidal)

,2 3 5d m=

,3

29800 1

23464 82

2I N

= = (parte triangular do diagrama trapezoidal)

,31

3 3 3333

d m= + =

HIDRULICA I 7

( ), ,4 12473 36 1 12473 36I N= = (diagrama rectangular)

,4 0 5d m=

,5 4 12473 36I I N= = (diagrama rectangular)

,5 2 5d m=

, ,6 12473 36 2 24946 72I N= = (parte rectangular do diagrama trapezoidal)

,6 1 0d m=

,72 9800

2 13859 292

I N

= = (parte triangular do diagrama trapezoidal)

,72

0 6673

d m= =

cos,

28

980045 6929 65

2

o

hjhj

I hj

= = (diagrama triangular)

,cos

81

0 47143 45o

hjd hj= =

... cos1 1 2 2 8 8 8 80 3 45 0oM I d I d I d G I d = + + =

( ), , , , , , , , ,2771 86 4 333 5543 72 3 5 3464 82 3 333 12473 36 0 5 2 5 + + + + +

, , , , , ,3224946 72 1 0 13859 29 0 667 50000 3 6929 65 0 4714 0

2hj+ + =

, , ,3114570 14 106066 02 3266 64 0hj =

, , , ,3 33266 64 8504 12 2 603 1 376hj N hj hj m= = =

,1 38hj m=

HIDRULICA I 8

PROBLEMA 2.4

A comporta representada na figura sustentada pelas barras AB espaadas de 6 m em 6 m.

Determinar a fora de compresso a que fica sujeita cada barra desprezando o peso da

comporta.

RESOLUO

Foras

,9800 6 6 3

6 1058 42 2

c ch

h xhkN

= = =

,1

9800 3 2 6 352 8v kN = =

,2

329800 4 6 352 8v kN = =

HIDRULICA I 9

Pontos de aplicao (braos das foras em relao a C)

1 2h m=

,1 1 5v m=

,2 1 0v m=

,4 6 41 81osen= =

cos ,3 5 53 13= =

,94 94o + =

,4 94o =

Equilbrio de momentos em relao ao ponto C

( ), , , , cos ,1058 4 2 352 8 1 5 1 0 4 94 5F + + =

, ,2988 4 4 981F= ,601 916F kN=

PROBLEMA 2.5

Na parede BC de um reservatrio existe uma tampa metlica quadrada de 1 m de lado,

conforme se indica na figura. A aresta superior da tampa, de nvel, dista 2 m da superfcie livre

do lquido. Determinar:

a) A impulso total sobre a tampa metlica e as suas componentes horizontal e vertical.

b) A posio do centro de impulso.

HIDRULICA I 10

RESOLUO

a) Clculo da impulso e suas componentes:

1 Processo Mtodos das Superfcies Planas

Profundidade do centro de gravidade da tampa profundidade

,1 2

2 2 352 2G

h m= + =

Impulso e suas componentes

, ,9800 1 2 3535 23064 8GS h N = = =

cos ,45 16309 3ov h N = = =

2 Processo Mtodos do Diagrama de Presses

( )cos cos / ,29800 2 1 45 1 45 2 16309 3o ov N = + =

h v =

,2 2 23064 8v h N = + =

b) posio do centro de impulso

cos cos / cos / cos /

,

29800 2 45 45 2 9800 45 2 45 3

16309 3

o o o o

x +

=

,,

,

4900 577 470 336

16309 3x m

+= =

,cos

0 47545ox

x m = =

HIDRULICA I 11

PROBLEMA 2.6

Um recipiente de forma cbica, fechado, de 1 m de aresta, contm, at meia altura, um leo de

densidade 0,85, sendo de 7 kPa a presso do ar na sua parte superior. Determinar:

a) A impulso total sobre uma das faces laterais do recipiente.

b) A posio do centro de impulso na mesma face.

RESOLUO (Mtodo do Diagrama de Presses)

, ,7000 0 85 9800 0 5 11165bp Pa= + =

a) Impulso total numa face

, , ,7000 11165

7000 1 0 5 1 0 5 8041 252

N+

= + =

b) Posio do centro de gravidade (distncia ao fundo)

( ), / , , /,

,

7000 0 5 4165 2 0 5 0 5 30 457

8041 25y m

+ = =

PROBLEMA 2.7

Qual o peso volmico mnimo que dever ter um corpo slido homogneo sobre o qual assenta

uma membrana de impermeabilizao com a forma indicada na figura, para resistir, sem

escorregamento, impulso da gua que sustm?

O coeficiente de atrito esttico entre os materiais que constituem o corpo e a base onde este

assenta 0,7.

HIDRULICA I 12

Resoluo

Esquema de foras em jogo:

Equilbrio de foras horizontais e verticais

h R = (sendo R a fora de atrito)

vN G= + (sendo N a reaco normal)

R N = (sendo o coeficiente de atrito)

donde vem:

( ) ,0 7h R v G = = +

Efectuando os clculos por metro de desenvolvimento do corpo, vem:

2

2 2hh h h

= =

230 30

2 2vh tg h tg

h

= =

2 230 30 30S SG h h tg h tg d h tg= = =

(sendo d a densidade do material do corpo slido)

( ) ,0 7h v G = +

HIDRULICA I 13

( ) ,2

2 302 30 0 7 2

hh tg d tg

+ =

,1 1

30 0 72 2

tg d

+ =

,0 737d =

,37224 3s d N m

= =

PROBLEMA 2.8

Na parede de um reservatrio existe um visor semi-esfrico com o peso de 5 kN, ligado

mesma conforme se indica na figura.

Calcule as componentes horizontal e vertical da impulso sobre o visor.

Resoluo

Clculo da componente vertical da impulso

1 1 =

2 2 =

( )2 1 2 1v

= = = peso do volume da semi-esfera

, ,

3

3

43 4

9800 0 5 2565 62 6v

r

N

= = =

,2565 6v N =

HIDRULICA I 14

Componente horizontal da impulso

h = rea da projeco do visor gh

, ,9800 1 5 11545 44h

N

= =

,11545 4h N =

PROBLEMA 2.9

Uma comporta cilndrica com 2 m de raio e 10 m de comprimento, prolongada por uma placa

plana AB, cria num canal um represamento nas condies indicadas na figura. A comporta

encontra-se simplesmente apoiada nas extremos do seu eixo em dois pilares.

Determinar:

a) A componente horizontal da fora transmitida a cada pilar quando a comporta est na

posio de fechada, admitindo que nula a reaco em B.

b) O peso mnimo que dever ter a comporta para no ser levantada, supondo possvel tal

deslocamento e desprezando o atrito.

Resoluo

120o =

60o =

,2 2 60 1 732ob sen sen m= = =

cos2 60 1oa m= =

a) , ,3 1 732 4 732h m m m= + =

Componente horizontal da impulso ( esquerda):

HIDRULICA I 15

,, ,

1

4 7329800 4 732 10 1097 2

2hkN = =

Idem ( direita):

,2

9800 3 10 1 5 441h kN = =

Componente horizontal da fora transmitida a cada pilar

,1 2 328100 328 1

2h h

F N kN

= = =

rea tracejada correspondente ao volume de

lquido deslocado por unidade de comprimento

da comporta:

, ,2 21

22

2 1 732 7 5123

tringulo ab

A m= =

Volume de lquido deslocado:

,310 75 116A m = =

Impulso vertical (princpio de Arquimedes)

, ,75 116 9800 736 1v kN = =

Peso mnimo da comporta:

,736 1vG kN= =

PROBLEMA 2.10

Considere-se uma comporta de segmento, com 5 m de largura, instalada na descarga de fundo

de uma albufeira, nas condies da figura junta. A comporta pode ser manobrada, para abertura,

por dois cabos verticais fixados s suas extremidades laterais. Admite-se que os dispositivos de

vedao impedem a passagem da gua para a zona que se situa superiormente comporta.

Admita que o ponto de aplicao do peso ( G ) da comporta dista 3 m do ponto A.

HIDRULICA I 16

a) Para a comporta de segmento indicada, determinar

a.1) As reaces de apoio em A e B, supondo esta ltima vertical.

a.2) A fora F necessria para iniciar o levantamento da comporta.

b) Considere o caso de a comporta ser plana em vez de cilndrica.

b.1) Indicar se a fora necessria para iniciar o levantamento da comporta aumenta ou

diminui em relao da alnea a.2).

b.2) Calcular o valor dessa fora em cada cabo.

b.3) Indicar se essa fora aumenta ou diminui depois de iniciado o movimento de abertura,

sabendo que o escoamento a jusante da comporta se faz com superfcie livre.

Resoluo

Componente horizontal da impulso sobre a comporta:

9800 5 2 11 1078h gS h k N = = =

cos ,4 4 30 0 536oa m= =

HIDRULICA I 17

m230sen4b o ==

rea da comporta , /2 230

4 4 189360

m m= =

Volume de gua deslocado pela comporta

( ), cos , 3225 4 189 5 4 30 3 624o m =

Componente vertical da impulso:

" "

, , ,9800 3 624 10 5 0 536 298 155vparalelippede de presso

k N

= + =

a.1) Reaces de apoio em A e B, supondo esta ltima vertical:

Como as presses na comporta so todas

concorrentes em A, no provocam momento.

Consequente, o momento resultante do efeito

de h e de v nulo.

cos0 4 30 3 0oA BM R G = =

,3 464 150000BR N m= ,43301 3BR N=

0vF = 0vv B AR G R + =

298155 43301 50000vA

R+ = 291456AvR N=

0 0hh h A

F R = = 1078000AhR N=

HIDRULICA I 18

291456vA

R N=

1078000hA

R N=

43301BR N=

a.2) A fora necessria para iniciar o movimento da comporta deve provocar um momento em

relao ao ponto A igual ao provocado por BR quando a comporta est fechada.

Consequentemente

cos cos4 4 30 30 37500o oB BF R F R N= =

Em cada cabo situado numa das extremidades da comporta necessrio exercer

uma fora F dada por:

187502F

N=

b) Comporta plana

b.1) A componente horizontal da impulso mantm-se. Como a componente vertical da impulso

diminui no valor correspondente rea tracejada, o valor de F tem que aumentar.

Pode chegar-se mesma concluso pelo estudo dos momentos em relao a A. O

momento em relao a A provocado pelo diagrama de presses na comporta no nulo e

s pode ser compensado pelo aumento de F.

HIDRULICA I 19

b.2) Clculo da fora F

( )cos ,24 16 1 30 2 0705c m= + =

, ,1 9800 10 2 0705 5 1014 6 kN = = (pouco interessa porque no provoca momento)

,,2

9800 2 2 0705 5101 5

2kN

= =

, , ,, ,

2 0705 2 0705 1 1 2 07052 0705 0 345

2 3 2 3 6d m

= = = =

Clculo de F :

, , ,20 4 3 0 4 101 5 0 345 150 46 25M F d G F F kN = = = + =

,23 1262F

kN=

b.3) Abrindo ligeiramente a comporta, a impulso diminui por duas razes:

a rea exposta aco da presso da gua diminui;

o diagrama de presses deforma-se pelo facto de o bordo inferior da comporta passar a estar presso atmosfrica.

Alm disso, o brao da resultante relativamente ao ponto A tambm diminui pelo facto

de desaparecer a base do diagrama de presses.

Consequentemente, o momento provocado pela impulso diminui e F tambm.

HIDRULICA I 20

PROBLEMA 2.11

Num canto de um reservatrio paralelepipdico encontra-se colocada uma pea com a forma de

1/8 de esfera de raio R. Calcular a impulso total do lquido sobre esta pea e a inclinao

daquela impulso, sabendo que a altura do lquido no reservatrio h.

Resoluo

z = peso do lquido situado acima do 18 de esfera

22 31 1 4 4

4 8 3 4 6zR

R h R h R

= =

2 24 3zR

h R

=

x y = = impulso sobre 14

de crculo

,04

0 4243

Rh h R h= =

2 44 3x yR R

h

=

Componente horizontal da impulso:

22 2 2 42 2

4 3h x y xR R

h

= + = =

Impulso total:

HIDRULICA I 21

2 22 22 2 2 42

4 3 4 3h yR R R

h R h

= + = + =

2 22 2 22 2 2

2

2 4 4 4 16 322 2

4 3 3 4 3 9 3 9

R RR R Rh R h h h R R h h

= + = + + + =

22 2

2

4 16 4 323

4 3 3 9 9

Rh h R R

= + + +

ngulo entre a resultante e a recta AO do plano OABC

2

2

24 3

42

4 3

z

h

Rh R

arc tg arc tgR R

h

= =

23

42

3

h R

arc tgR

h

=

PROBLEMA 2.12

Uma esfera homognea de peso volmico flutua (em equilbrio) entre dois lquidos de

densidades diferentes, de tal maneira que o plano de separao dos lquidos passa pelo centro

da esfera, conforme se ilustra na figura. Determinar a relao entre os trs pesos volmicos.

HIDRULICA I 22

Resoluo

2 12vh S

= +

1 2vh S

=

G =

volume da esfera

S rea definida pelo respectivo equador

v vG + = 1 2 12 2

h S h S

+ = +

1 1 2 12 2h S h S

+ = +

( )1 22

= + 1 22

+ =

PROBLEMA 2.13

Um camio sobe uma rampa de 10 graus de declive com velocidade constante, transportando

lquido, de acordo com o representado na figura. Determinar a mxima acelerao que se pode

imprimir ao camio sem que o lquido se entorne.

Resoluo

Sabe-se que

0f grad p =

( )g a grad p =

A expresso anterior permite afirmar que as isobricas so perpendiculares ao vector

( )g a

HIDRULICA I 23

Nas condies do problema tem-se

,1 1

10 5 6710

o

otg b m

b tg= = =

,21 2 836

2b

A m

= =

Imprimindo a acelerao mxima, vem, por igualdade de volumes

,,

21 1 2 8362

cA m= =

,5 156c m=

,,

,

1 112 04

5 156arc tg = =

,10 2 04 = =

( ) ( ),90 90 12 04g sen a sen a sen = =

,, , ,

,

22 042 04 77 96 0 35777 96

g seng sen a sen a m s

sen

= = =

,20 357a m s=

HIDRULICA I 24

PROBLEMA 2.14

Para medir a acelerao de um corpo mvel, usou-se um tubo de vidro ABCD de seco

uniforme e pequena, parcialmente preenchido com um lquido, com a forma e as dimenses

indicadas na figura, onde tambm se caracteriza a posio do lquido na situao de repouso.

O tubo foi fixado ao corpo mvel num plano vertical; o sentido do movimento do corpo de B

para C. Desprezando os efeitos da capilaridade e da tenso superficial, qual a mxima

acelerao do corpo que pode ser medida com este dispositivo?

Resoluo

Na situao da mxima acelerao tem-se esquematicamente

113 3

1 34 11b

barc tg arc tg arc tg

b = = =

por outro lado: a a

tg arc tgg g

= = 311

a

g=

311

a g=