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Respuesta de sistemas de un grado de libertad ante
carga armónicaDr. Ing. Alberto Salgado Rodríguez
Dr. Alberto Salgado Rodríguez
Sistemas no amortiguados
Ecuación del movimiento de un sistema lineal, no amortiguado, sujeto a una excitación armónica de amplitud p0 y frecuencia forzada (en rad/s) Ω
Dr. Alberto Salgado Rodríguez
Sistemas no amortiguados
Debido a que solo existen derivadas de orden par del lado izquierdo de la ecuación anterior, su solución particular; es decir, el movimiento forzado o de estado permanente será de la forma:
Al sustituir la solución propuesta en la ecuación del movimiento se obtiene el valor de U
02 mkConsiderando que :
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Sistemas no amortiguados
Si se define:El cual es un desplazamiento estático, entonces se obtiene
Donde:
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Sistemas no amortiguados
Si se define:
Función de respuesta en frecuencia
A la magnitud:
Se le conoce como Factor de Magnificación del Estado Permanente, o ganancia
Por lo tanto up se puede expresar como:
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Sistemas no amortiguados
Dr. Alberto Salgado Rodríguez
Sistemas no amortiguados
Si r<1, la respuesta está en fase con la excitación, ya que 1-r2 es positivo. Si r>1, la respuesta está 180º fuerza de fase con la excitación; por lo tanto, si este es el caso, up se puede reescribir como:
La solución general está dado por la suma de la solución particular y la solución complementaria (vibración libre). Por lo tanto
Las constantes A1 y A2 se determinan de las condiciones iniciales
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Sistemas no amortiguados
El factor de magnificación dinámica se define como:
0
)(max
U
tuD t
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Sistemas no amortiguados
La resonancia
La ecuaciones
No son válidas cuando r=1 ó Ω=ω. Se observa que cuando la frecuencia de la excitación es cercana a la frecuencia natural del sistema, la respuesta es muy grande.
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Sistemas no amortiguados
Solución de la ecuación del movimiento para la condición de resonancia:
En este caso, la solución particular supuesta es de la forma:
Al sustituir en la ecuación del movimiento, se obtiene el valor de C:
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Sistemas no amortiguados
Por lo tanto, la solución particular para excitación del tipo coseno, en la resonancia, es la siguiente:
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Sistemas con amortiguamiento viscoso
Por la presencia del amortiguador, la respuesta del estado permanente no estará en fase (ni 180º fuera de fase) con la excitación y estará dada por:
En este caso U es la amplitud del estado permanente y α es el ángulo de fase del estado permanente relativo a la excitación.
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Sistemas con amortiguamiento viscoso
Al derivar la respuesta en estado permanente, se obtiene:
velocidad
desplazamiento
aceleración
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Sistemas con amortiguamiento viscoso
Al sustituir las derivadas de la solución particular propuesta en la ecuación del movimiento, se obtiene:
Las proyecciones de los vectores punteados sobre el eje horizontal (de los reales) son los términos del lado izquierdo de la ecuación. Las proyecciones del vector continuo sobre el eje horizontal es el lado derecho de la ecuación.
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Sistemas con amortiguamiento viscosoDe la figura anterior, se observa que:
Por lo tanto:
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Sistemas con amortiguamiento viscoso
Facto
r d
e m
ag
nif
icació
nD
inám
ica y
án
gu
lo d
e f
ase
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El movimiento en estado permanente es senoidal y tiene la misma frecuencia que la excitación.
La amplitud de la respuesta en estado permanente es función de la amplitud y frecuencia de la excitación, así como de la frecuencia natural y el factor de amortiguamiento del sistema.
Sistemas con amortiguamiento viscoso
Se observa los siguiente:
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La excitación y la respuesta en estado permanente no están en fase; es decir, no alcanzan su máximo valor al mismo tiempo. La respuesta en estado permanente precede a la excitación mediante su ángulo de fase, con un tiempo de retraso de α/Ω.
En la resonancia (r=1), la amplitud del movimiento está limitada solo por el amortiguamiento
Sistemas con amortiguamiento viscoso
Dr. Alberto Salgado Rodríguez
Sistemas con amortiguamiento viscosoYa que el factor de magnificación dinámica puede ser muy grande cerca de la resonancia y la excitación puede presentar un intervalo muy amplio de frecuencias, las curvas del factor de amplificación dinámica y el ángulo de fase se pueden dibujar en escalas logarítmicas; cuando sucede esto, se les conoce como gráficas de Bode.
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Respuesta compleja en frecuencia
Considere la respuesta de un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento viscoso
El subíndice R (para proyección sobre el eje de los reales) se utiliza para designar el movimiento en estado permanente (o forzado) debido a la excitación cosΩt
La solución del estado permanente es:
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Respuesta compleja en frecuencia
De forma análoga, para una excitación senΩt, la ecuación del movimiento y solución del estado permanente son:
El subíndice I, señala la proyección sobre el eje imaginario. Si la ecuación superior se multiplica por √-1 y se le adiciona a la ecuación del movimiento con la fuerza en términos del coseno, se obtiene:
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Respuesta compleja en frecuencia
Donde la barra sobre las variables indica que se trata de un vector en el plano complejo, de manera que ahora se tendría una respuesta compleja, dada por:
Se entiende que el movimiento real en estado permanente estará dado por la parte real de ū o su parte imaginaria, dependiendo si la excitación es del tipo cosΩt o senΩt, respectivamente.
La solución del estado permanente se puede suponer que es de la forma:
Dr. Alberto Salgado Rodríguez
Respuesta compleja en frecuencia
U es la amplitud compleja, dada por:
donde α es el ángulo de fase
Al sustituir la ecuación anterior en la ecuación del movimiento, se tiene:
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Respuesta compleja en frecuencia
En forma adimensional, se tiene:
)(0 H Se le conoce como la respuesta compleja en frecuencia
Determinar la amplitud y la fase de la respuesta en estado permanente requiere encontrar la amplitud y la fase de la ecuación anterior.
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Respuesta compleja en frecuencia
De la teoría de los números complejos, se tiene que un número Ā se puede representar en forma rectangular como sigue
O en forma polar como sigue:
La amplitud de Ā está dada por:
Y el ángulo de fase por:
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Respuesta compleja en frecuenciaCociente de dos números complejos: si A y B son números complejos
Tomando en cuenta lo anterior para la amplitud y la fase de la respuesta en estado permanente, se tiene:
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Respuesta compleja en frecuencia
El polígono de vectores de fuerzas ahora se puede relacionar directamente con la ecuación diferencial compleja. Si se diferencia la ecuación de la respuesta compleja, se obtiene
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Respuesta compleja en frecuencia
Por lo que se obtiene:
Se tiene que :
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Respuesta compleja en frecuencia
La información de la magnitud y la fase se pueden combinar en una gráfica simple, al dibujar las componentes del vector Ho(r) en el plano complejo. A esta gráfica se le llama gráfica de respuesta vectorial o gráfica de Nyquist.
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1. La masa m, rigidez k y frecuencia natural ωn de un sistema no amortiguado de un grado de libertad son desconocidos. Estas propiedades se determinarán mediante pruebas ante excitación armónica. Cuando se le aplica una excitación con frecuencia de 4 Hz, se presenta la resonancia. Cuando se le agrega un incremento de peso de 5 libras al sistema, entonces la condición de resonancia ocurre para una frecuencia de 3 HZ. Determine la masa y la rigidez del sistema
Tarea
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2. En una prueba de vibración forzada bajo carga armónica se registró que la amplitud en la condición de resonancia fue exactamente 4 veces la amplitud con una frecuencia de excitación 20% más grande que la frecuencia de resonancia. Determinar el porcentaje de amortiguamiento del sistema.
3. Determine la expresión de respuesta y dibuje cuando menos 5 ciclos de la misma, de un sistema de un grado de libertad sujeto ala excitación 105sen15t-30cos32t [ton]. El sistema pesa 50 ton, tiene una rigidez de 2500 Ton/m y un porcentaje de amortiguamiento del 8%.
Tarea