restos cuadraticos

8/15/2019 restos cuadraticos

1/18

1

9.1

1.1 .

S ( . ) x a mód m≡ , , ,

. E ,

.módulom L módulom ℤ ℤ ℤ

1. P { } / 2 0,1 ,=ℤ ℤ 2. E 1 .

2. P { } / 5 0,1, 2,3,4 ,=ℤ ℤ , 3 3,8,13,18,23, ,… 3 5.

L / mℤ ℤ :{ }0,1,3,4,5,6, , 1 .m −… A , , a m− .

E . E ,

0.a h⋅ = E h .módulom N . E , ,

, 1. P , ( ) ( )1( ) 1 1 , , 1 1 ,nm m p pϕ = − −… E

. fi E ( ) 1( . ).ma mód mϕ ª L , * ,mℤ

. E , a * ,mℤ , 1.r a = E

, . E 1( . ),na mód m≡ . O

, x ya a= , . x y= S , .S , ,

,módulom {0,1,3,4,5,6, , 1 .m −… S , ,

,módulom . S ( ) ( )1( ) 1 1 , , 1 1 nm m p pϕ = − −…

.S , ,

.E :


2/18

2

1. S , , .

2. S , . E 1 .

3. S ( , ) ,mcd m n d = 1,d >

.

E , , ( 1) / 2 p − ,

( )22 2 21 , 2 , 3 ,..., ( 1) / 2 p − ( 1) / 2 p − . S ,módulo p ( 1)/2 1( . ); pa mód p− ª

, ( 1)/2 1( . ). pa mód p− −ª E . S F ,1 1( . ), pa mód p− ≡

( )( )( 1)/2 ( 1)/21 1 0( . ). p pa a mód p− −− + ª E , ( 1) / 2 p − .

E , .

E / , pℤ ℤ 2.

1.2 10.

E , , ,módulo m ,{ }0,1,2,3, , 1 .m −… E , 10 { }0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 . O 0,

, , 10m 10 .m

E , , ,módulom . L

( ) ( )1 1( ) 1 , , 1n nm m p p p pϕ = − −… . E , 10, ( )( ) ( )(10) 10 1 1 2 1 1 5 10 1 2 4 5 4.ϕ = − − = ⋅ = C

10, { }1,3,5,7 . E .

1.3 5 13.

S , 13 { }1,2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12 ,

5, 13 {5, 12, 8, 1, 5, 12, 8, 1, 5, 12, 8, 1}, :

15 ª 5 55 ª 5 9 5 ª 5 25 ª 12 65 ª 12 105 ª 12 35 ª 8 75 ª 8 115 ª 8 45 ª 1 85 ª 1 125 ª 1

S , .

S 1 2 3, , , , hr r r r …

n ,m ,


3/18

3

1

22

33

( . )

( . )

( . )

( . )h h

n r mód m

n r mód m

n r mód m

n r mód m

⋯⋯

ª

ª

ª

ª

E , h+1r h+1 ,n

, ,1 1 ( . ),h

h hn n n r r mód m+

⋅ = ⋅ª

1 ( . ),hr r mód m⋅ 1 hr r ⋅ 1.hn +

E

1 5 ( .13)mód ª 5 2 5 ( .13)mód =25ª12

35 ( .13)mód ⋅2= 5 5 ª 8 45 ( .13)mód ⋅2 2= 5 5 ª1

⋯⋯

1.4 17.

E , 17 { }1, 2,3,4,5, 6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16 . E , 17 {1,4,9,16,8,2,15,13,13,15,2,8,16,9,4,1},

:

21 1ª 25 ª 8 29 13ª 213 16ª 22 ª 4 26 ª 2 210 ª 15 214 9ª 23 ª 9 27 ª 15 211 ª 2 215 ª 4 24 16ª 28 ª 13 212 ª 8 216 1ª

O , , . E

.

2 21 16 1( .17) y mód ª 2 25 12 ( .17) y mód ª 8 2 22 15 ( .17) y mód ª 4 2 26 11 2( .17) y mód ª 2 23 14 ( .17) y mód ª 9 2 27 10 15( .17) y mód ª 2 24 13 16( .17) y mód ª 2 28 9 13( .17) y mód ª

1.5 2 8 0( .11). x mód + ≡

L 2 8 0( .11) x mód + ≡ 2 3( .11). x mód ≡ E , , 3 11.

L 11 { }1,4,9,5,3,3,5,9,4,1 3 , . D 3


4/18

4

, 11 1 52−

= 11 1

6,2+

=

. E ,25 3 22 2 11− = = ⋅ 26 3 33 3 11.− = = ⋅P , { }1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 , 5 6

.P ,

, ( 1)/2 1( . ), pa mód m− ±ª m a . P ,(11 1)/2 53 3 1( .11),mód − = ª 3 11.

1.6 a , ( , ) 1,mcd a p = 2 ( . ) x a mód p≡ .

S a , 2 ( . ) x a mód p≡ 1( . ) x x mód p≡

, 2 2

1( ) , x x− = , ,1( . ), x x mód p≡ − . L ,

2 ( . ) x a mód p≡

1 2, ( . ) x x x mód pª , ,a .

1.7 2 3( .13). x mód ≡ .

S , (13 1)/2 63 3 1( .13)mód − = ª 3 13.

E 13 { }1, 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 , 4 9 2 3( .13) x mód ª ,1 4 13 x t = + 2 9 13 x t = +

.E 13 :

2 21 12 1( .13) y mód ª 2 24 9 ( .13) y mód ª 3 2 22 11 ( .13) y mód ª 4 2 25 8 2( .13) y mód ª1 2 23 10 ( .13) y mód ª 9 2 26 7 10( .13) y mód ª

1.8 2 19( .29). x mód ≡ .

M E ,(29 1)/ 2 1419 19 1( .29),mód − = ª - 19 29. E ,

29, {1,4,9,16,25,7,20,6,23,13,5,28,24,22,22,24,28,5,13,23,6,20,7,25,16,9,4,1}

19, , .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1428 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15

R 1 4 9 16 25 7 20 6 23 13 5 28 24 22

O 29.


5/18

5

9.2

2.1 .

S p . D a p

p 2 ( . ), x a mód pª . x E , p , a . S

( )1 si es resto cuadratico

1 si es resto no cuadrático

0 s

a módulo pa

a p a módulo p p

i p a

= = −

6

S a , p 1

2 1( . ). p

a mód p−

ª S a

, p 1

2 1( . ). p

a mód p−

ª - E ,

F , 1 1( . ) pa mód p− ª ( )( )1 1

2 21 1 0( . ). p p

a a mód p− −

- + ª D

( 1) / 2 ( . ) p a

a mód p p

−

ª 2 ( . ) x a mód pª

L .E L :

. S ( . ),a b mód pª .a b p p

=

E

.. S ( . ),a mód pª 1 1 1.

p

=

E , 21 1= , ,1

.

. S ( . ),a mód pª -1 ( )1

21

1 . p

p

−− = −

E

1a = − .

. S ( . ),a mód pª 2 ( )2 18

21 .

p

p

− = −

.

S ( . ),a mód pª -3 1 si 1( .6)3

.1 si 5( .6)

p mód

p mód p

− = −

ª

ª

. S ( . ),a mód pª 5 1 si 1,9( .10)5

.1 si 3,7( .10)

p mód

p mód p

= −

ª

ª

. S .abb a b b p p p p

=

S , , 2

,ab a b b a p p p p p

= =

2

1.b p

=

E

.

. S p q , ( )1 1

2 21 . p qq p

p q

− − ⋅

= −

E

.


6/18

6

: L , ,

D − 1742, − 1772, 1873, .

− , . B E , 1798

. E − , (T ), D A 1796.

2.2 .

C ( )ó / n n mm

m 1,m >

, 1 2 ,nm p p p= ⋅ ⋅ ⋅… ( , ) 1.mcd n m ≠ E

1 2 n

n a b lm p p p

= …

S S .E S S

( )( 1)( 1)/41 ,m nm nn m

− − = −

,m n

, 3.n ≥ E

( )( 1)( 1)/41 m nm nn m

− − = −

:

para ( .4)

.

para , ( .4)

mm ó n mód

nnm m

m n mód n

+

= −

ª1

ª 3

E .

2.3 p a b ( . ),a b mód pª

.a b p p

=

E a p

a , , 2 ( . ) x a mód pª

. C a , p a b p p

=

, ( . ).a b mód pª


7/18

7

S p ( , ) 1,mcd a p = ( 1) / 2 ( . ), pa a mód p p

−

ª .

P 1 1( . ), pa mód p− ≡

( )21 1 1( . ), p pa a mód p− −≡ ≡ ± 1 1( . ) pa mód p− ≡ 1.a

p

=

P , 7a = p 1( .4), p mód ≡

1 1,2,4( .7)71 3,5,6( .7)7

si p mód psi p mód p

≡ = =

− ≡

S p ( .4), p mód ≡ 3

1 3,5,6( .7)7

1 1,2,4( .7)7

si p mód p

si p mód p

≡ = − =

− ≡

,

1 1,3,9,19,25,27( .28)71 5,11,13,15,17,23( .28)

si p mód

si p mód p

≡ =

− ≡

2.4 p a b ,q

.ab a b p p p

=

S ( 1) / 2 ( . ), p aa mód p p

−

ª ( )( 1) / 2 ( . ) p abab mód p p

−

ª ( , ) 1,mcd ab p =

( 1)/ 2 ( . ) p a

a mód p p

−

ª ( 1)/ 2 ( . ), p bb mód p p

−

ª ( . ),ab a b mód p p p p

ª

p , ,ab a b p p p

=

( ) ( ) ( )( )1 /21 /2 1 /2 ( . ). p p pab a ba b ab mód p

p p p−− − = =

ª

2.5 p , ( ) 22

1 ( 1) / 2. p p

= − −

S ( )1 k a p = −

k / 2, p

( ) ( .2),k mód 8

−1 ≡

( ) ( )2( 1)/82

1 1k p

p− = − = −


8/18

8

E S . E , ,1 2 ... nm p p p= ⋅ ⋅ ⋅

,P ( , ) 1,mcd a P = S Jam

:

( )2( 1)/8

1 2

2... 1

p

r

a a a am p p p p

− = ⋅ ⋅ ⋅ = = −

A

2

,a ab p p

=

1 1 p =

( ) ( 1)/21 1 p p

− = − ( ) ( 1) / 21 1

p

p− = −

42 2 2 2 2a p a p

a a p p p p p

+ + + = = =

( )21

1

18

21 ,

p

x

ax p p

a p p =

− + ∑ = −

. L 1:a =

( )2( 1) /82

1 p

p− = −

8 , p m s= + 1, 3, 5, 7 ,

2 221 18 2

8 8

p sm ms

− −= + +

1s = 7,s = 3s = 5.s = P , 2 8 1 p m= +

8 7 p m= + 8 3 p m= + 8 5. p m= +


9/18

9

2.6 P Q , ,

( )( 1)( 1)/ 41 .P QQ PP Q

− − = −

C1 1

2 2P Q− −

⋅ ,y ,P Q

4 3,m + 4 1,m + :

S ,y ,P Q 4 3,m + .Q PP Q

= −

S ,y ,P Q 4 1,m + .Q PP Q

=

S 1 2 nQ q q q= ⋅ ⋅ ⋅… Q ,

1 11 2

s t

n

QQ Q Q QP p p p P

β

α β α = =

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

… ∐∐

( ) 1 111

2 2

1 1 1 1

1r s Qs t s t PQ P

P Q

β α

α β β α

α β α β α β

= =

−− = = = =

∑ ∑⋅ = − ⋅

∐∐ ∐∐

:

( ) 1 111

2 21 .r s QPQ P

P Q

β α

α β = =

−− ∑ ∑= −

S

1

112

2 2

r PP N α

α =

−−= +∑ 1

1

112 ,

2 2

s QQ N β

β =

−−= +∑

:

( )( 1)( 1)/41 .P QQ PP Q

− − = −

2.7 2 28( .37). x mód ª

S228 2 7 2 2 7

.37 37 37

⋅ ⋅ ⋅ = =

P ( )2(37 1) /82 37 1

1 1,37 2 2

− = − = =

37 1( .2).mód ª

P , 28 1,37

=

28 37,

. E ,


10/18

10

18 19, 2 28( .37), x mód ª .

D 228 2 7= ⋅ vii S , :

228 2 7 737 37 37

⋅ = =

( )( (37 1)(7 1) )/27 37 37 2137 7 7 7

− − = − = =

37 .7).mód ª 2(

C ( )2(7 1)/82

1 1,7−

= − = 28

1,37

= 28

37.

2.8 2 174( .239). x mód ª

C 174 2 3 29,= ⋅ ⋅ 174 2 3 29 .239 239 239 239

=

P ,

P ( )2( 239 1) /82 239 1 1,

239 2− = − = 239 .2).mód ª1(

P ( )(239 1) /23 239 239 2 11 1,239 3 3 3 3

− = − = − = − = =

3 .2).mód ª1(

P ( )(239/2)(28/2)29 239 239 71 7,239 29 29 29

= − = − = =

239 .29).mód ª 7(

P( )

(28/2)(8/2)7 29 29 7

1 1,29 7 7 29

= − = = =

29 .7).mód ª1(

C174 2 3 29

. ( 1)( 1)( 1) 1239 239 239 239

= = + + + =

174

239 , 2 174( .239) x mód ª 37, 202( .239). x mód ª


11/18

11

2.9 2 864( .857). x mód ª

C 5 3864 2 3 ,= ⋅ 5 3864 2 3 2 3

.857 857 857 857 857

= =

P L ,

P ( )2(857 1) /82 857

1 1, ya que 557 1( .2).857 2

mód −

= − = ª

P ( )(857 1)/23 857 21 1, ya que 2 1 0( .3)857 3 3

mód −

= − = = − + ª

C

5 3864 2 3 2 3 ( 1)( 1) 1,857 857 857 857 857

= = = + − = − 864

857, 2 864( .857) T .

9.3

3.1 .

E S K , ( )ó / ,n n mm

, L K (1823 1891) .

A :

P 1,=− 1 0

1 1 0− <

= − >

P 2,=

0

1 , 1( .8)21 , 3( .8)

±

− ±ª ª

ª

,0 41 1( .8)21 5( .8)

−ª ª

ª

|

3.2 , 85

.2

.

C 85 1,2 = − 85 5( .8). ª


12/18

12

3.3 , 131

.248

.

C 248 8 31,= ⋅ 131 18

= −

131 3( .8). ª

3.4 : .

S , 1 .2 −=

S

[ ]{ },2 ,3 , , ( 1) / 2 −…

( 1) . = −

E C F

G (1777 1855) .

P , ( . ), ª ! :

−( 1) ( . ) ª

− ( 1) ( . ) ª

3.5 , 5

.17

T 17, 5 = = 17 1 8.2 −= = S 5 1 8,

{ }5,10,15,20,25,30,35 40 . E , 17, { }5,10,15,3,8,13,1,6 { }10,15 13 8,=

35 ( 1) 117 = − =−

8 3 85 ( 1) ( .17) 5 ( .17). − ⇒ª +1ª

3.6 , 5

.31

T 31 1 152

s −

= = 15,5.2 p

= S { }5, 2 5, 3 5,...,15 5 , E = ⋅ ⋅ ⋅ 31

E

{ }5,10,15,20,25,30,, 9,14,19,24,29,3,8,13 E =

E 15,5


13/18

13

{ }19,20,24,25,29,30 A =

6, A =

65( 1) 131 = − =

E , , ( 31 1) / 25 1( .31),mód − ≡ 2 5( .31) x mód ≡

1 26 31 25 31 . x t y x t = + = +

3.7 , 3

.13

D }3,6,9,12,15,18 13{ }3,6,9,12,2,5 . D 13 2,

23 ( 1) 113

= − =

3.8 : .

S S [ ]1

.

=

= ∑

S , ( 1) . = −

S , 2( 1)/82 ( 1) . − = −

S

( )1 1 1

= = = ≤ >

= + = + +∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = ≤ >

= + −∑ ∑ ∑1

( )

= >− = − +∑ ∑

1( 1) 2

S , 1 0( .2), 1( .2) ( - ) ª ª ( .2). ª E L G .

S S 1 , ≤ ≤ ( )2 0 = 2 . > A , 0.=

C


14/18

14

=

+ −= =∑2

1

( 1) 12 8

2 1 ( .2),8

− ª L G .

E L E (1823 1852).

3.9 p 3 .( . ).mód p

P L R C ,

( 1)/ 23 ( 1)3

p p p

− = −

1 1( .3)

33

1 2( .3)

3

si p mód

psi p mód

≡

= ≡

( 1)/ 2 1 1( .4)( 1)-1 3( .4)

p si p mód si p mód

− ≡− =≡

31

p

=

,

1( .3), 1( .4) p mód p mód ≡ ≡ ( .3), ( .4) p mód p mód ≡ 2 ≡ 3

:

1( .12) 11( .12) p mód ó p mód ≡ ≡


15/18

15

9.4 :

4.1

C J C A, L , 45 .C. I R . C

4, . C E J J ; F , N ; M , M ; A

; M , A ; J , M , J , J ; A , C ; S , ; O , M ; N , D , D , .

A T C , 365 6 , , 11 12

, . E I 1752,

1582 ,

G III. E ,

.

4.2

C G III 1582 :

, . E ,

P , , , 365'25 ,

365'242199 . L 11 14 , , ,

C N (325), 21 25 . E 10

1545 C T P P III. T

, P G III 1572 C C (1537 1612) 1582

( ), ,

365'2422

10.000 , . A ,

4, , ; ,

, 400 (1600, 2000, 2400, .). E , 4 1582

15 1582.L

. A ,


16/18

16

: G B 1752, RSS 19G 1923, . E ,

, , , . T

, . A C , C 4 .

4.3

P ( ), ( ), ( ),

. E , ( ),

, . L : ,

, , .

I. L , A G, : A (1 ), B (2 ), C (3 ), D (4 ), E (5 ), F (6

) G ( ). S , : . A , 1972, BA, 195

AG.II. E 19 ,

. L 1 2. L

. P

/ 1957 1975; 1976 1994; 1995 2014.III. L 1 , 29 . ( ) 29 , 12 44 2,8 . L L

T . L 0 31 , 5 5 ( 26 ).

I . E 28 . L 1952 1979; 1980 2007.

. L 15 . S 3

15. E . S ,

15. L . L 1978 1992; 1993 2007.

4.4

L P . E N325, P R

21 , . L P 22 25 . L P :


17/18

17

M C : 46 PP C : 42 J S : 3

S : 2 A : 9 PP : 49

T : 56 C C : 63 S C : 68

4.5 .

A , 20 19 ,

, . A , P R

22 ( ),

25 , ( 21 , (29 ) , 18 , , ,

, : 18+7 25 S R P

, G . E

,, , ,a b c d .e A M , N 1900 2300 :

1900 2099 24 52100 2199 24 62200 2299 25 0

L A P , :

( .19), A a mód ≡ ( .4), A b mód ≡ ( .7) A c mód ≡ 19 ( .30),a M d mód + ≡ 2 4 6 ( .7)b c d N e mód + + + ≡

I :S 10,d e+ < P ( 22)d e+ + .S 9,d e+ > P ( 9)d e+ − .S 26 , P 19 .S 25 , 28,d = 6e = 10,a > P

18 . P 2011. A

, 16, 3, 2.a b c= = = A :19 16 24 28( .30)mód ⋅ + ≡ 2 3 4 2 6 28 5 5( .7)mód ⋅ + ⋅ + ⋅ + ≡

C 28+5=33>9, 33 9 24 2011 P R .

P P R

8 2012 31 2013.


18/18

18

:APOSTOL, T M., C T I, ISBN: 84 291 5002 1BOLKER, E D., E N T , ISBN: 0 486 45807 5CRANT , P , A , E 1926JO ETTE, A , E S N , ISBN: 84 95601 00 1 (T

P )KOSH , T , E N T A , ISBN: 978 0 12 372487 8LANG, S , A N T , ISBN: 0 387 94225 4NATHANSON, M B. E M N T , ISBN: 0 387 98912 9PHILLIPS, B TTS SHA GHNESS , A , ISBN: 968 6034 93 5S OKO SKI COLE, T G A , ISBN: 968 7529 26 1TATTERSALL, J T., E N T N C , ISBN: 0 521 61524 0

:// . . / /L %C3%A1:// . . / /R %C3%A1

:// . / / / / .:// . . /M . (S ):// . . . . / / / /CM 31 3.:// . . / / . (P ):// . . / / . (S R ):// . . / / (P ):// . . / / (S )

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