Algebra vectorial

VECTORES:Vector: todo segmento orientado cuyos elementos son direccin, dada por su recta de accin, sentido, indicado por la eleccin de sus extremos, y modulo, que es la medida o longitud del segmento.

Magnitudes escalares y vectoriales Magnitud escalar: determinadas por un numero real y la unidad correspondiente. Ej : nada, tiempo, tempratura, densidad, etc Magnitud vectorial: se requiere conocer no solo su valor numrico sino tambin su direccin y sentido. Ej : velocidad, fuerza, aceleracin, atraccin gravitatoria, etc. Caracteristicas Definicin: todo segmento orientado. Puntos que lo determinan: - origen extremo Modulo: longitud del segmento Direccin: dada por la de la recta que contiene al segmento o la de sus paralelas Sentido: orientacin del segmento desde el origen hacia el extremo CASOS PARTICULARES Vector nulo: cuando el modulo es cero el segmento se reduce a un punto Versor: es todo vector de modulo uno: (alreves). A los versores que tienen la direccin de los ejes coordenados se los identifica con las letras i=(1,0,0) ; j=(0,1,0) ; k=(0,0,1) Suma de vectores Dados dos vectores u y v, si se lleva a partir de un punto cualquiera un vector equipolente a u y desde su extremo un vector equipolente a v, el vector con origen en el origen de u, y extremo en el extremo de v, se llama vector suma de u y v

U

v u u+v

v

Diferencia de vectores Dados dos vectores u y v la diferencia u v es el vector igual a la suma de u y el opuesto de v v -v

u

u-v

u

Proyeccion de un vector sobre otro En el caso particular de proyhectar un vector sobre otro se tiene: proy u = II u II cos

Proy v u Condicin de perpendicularidad u . v = II u II . II v II . cos = 0 Dos vectores no nulos son perpendiculares si y solo si su producto escalar es igual a cero

Condicin de paralelismo u ^ v = 0 II u ^ v II = II u II II v II sen = 0 Dos vectores no nulos son paralelos si y solo si su producto vectorial es el vector nulo.

Ux = Uy Vx Vy Dos vectores son paralelos si y solo si sus componentes son proporcionales

GEOMETRIA PLANALugar geomtrico

Lugar geomtrico: conjunto de puntos del plano o del espacio que cumplen determinadas condiciones, es decir que pertenecen al lugar geomtrico todos los puntos que cumplen tales condiciones y solo ellos. Ecuacion de un lugar geomtrico del plano : F(x,y)= 0 Conjunto de todos los puntos (x,y) del plano que satisfacen la ecuacin F(x,y)= 0 representan una curva en el plano. Ecuacion de un lugar geomtrico del espacio: F(x,y,z) = 0 Conjunto de todos los puntos (x,y,z) del espacio que satisfacen la ecuacin F(x,y,z)= 0 representan una superficie.

ECUACION DE PRIMER GRADO EN X E Y. LA RECTALa ecuacin polinomica de primer grado en x e y es de la forma Ax + By + C = 0, representa una recta en el plano Ax + By + C = 0 Ecuacion general o implcita de la recta ECUACION DE LA RECTA DADA POR DOS PUNTOS Sean P1 (x1,y1) y P2 (x2,y2) dos puentos de la recta y sea P (x,y) un punto genrico Se debe encontrar la condicin que deben cumplir las coordenadas del punto P para pertenecer a la recta. Ecuacion de la recta dada por dos puntos: y y1 y2 y1 Ecuacion de la recta dado un opunto y su pendiente y y1 = m (x x1) Ecuacin explicita de la recta: y = mx + b x a + y=1 b = x x1 x2 x1

Ecuacin segmentaria de la recta:

ConicasECUACION DE SEGUNDO GRADO EN X E Y. LAS CONICASSuperficie conica

Generada por una recta (generatriz) que se mueve apoyndose en una curva fija (directriz) y que pasa por un punto fijo (vrtice) no contenido en el plano de esa curva Directriz

Generatriz Vertice

Resuemn Arroyo: Curvas cnicas Intersecciones de planos con la superficie de dos conos invertidos: = eje de simetra, = vrtice Ecuacin del cono cuadrico es: x + y - z = 0 a b c Obtencin de las conicas como secciones planas

Elipse: se genera por la interseccion del cono cuadrico con un plano que corta a todas lasgeneratrices

Circunferencia: en particular si el plano adems de cumplir con las caractersticas del elipse esperpendicular al eje se obtiene la circunferencia.

Hiprbola: se genera por la interseccion del cono cuadrico con un plano paralelo a dosgeneratrices

Parbola: si el plano es paralelo a una generatriz

Si el plano pasa por el vrtice del cono, mantenindose paralelo a su posicin primitiva se obtienen las llamadas cnicas degeneradas. En el caso de la elipse y de circunferencia, degeneran un punto. La hiprbola degenera en un par de rectas que se cortan. La parbola degenera en dos semirrectas paralelas o coincidentes. Ecuacion general de la conica verdadera ? Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0

CIRCUNFERENCIACircunferencia: lugar geometric de los puntos del plano tales que su distancia a un punto fijo, llamado centro, es constante. Constante: r (radio de la circunferencia) Punto fijo: C (h,k) C= ,(x,y) R : d ((x,y), (h,k)) = r -

P k C

H P (x,y)= punto genrico. La distancia del centro a cualquier punto P genrico es igual al modulo del vector CP. II CP II = (x h) + (y k) = r Ecuacion de la circunferencia con C(h,k) y r: (x h) + (y k) = r x + y = r

Ecuacin canonica de la circunferencia con C(0,0) y radio r:

ELIPSEElipse: lugar geomtrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es igual a una constante mayor que la distancia entre los focos

E = {(x,y) E R: d ((x,y), F1) + d ((x,y), F2) = 2

K

b C

a

H

Ecuacion canonica de la elipse con centro en el origen y eje focal x:

x + y = 1 (a>b) a b

a= semieje mayor (los que estn ms lejos del centro b= semieje menor c= focos (ubicados siempre en el semieje mayor) Vrtices: intersecciones de la misma con los ejes. Relacion entre a, b y c: Excentricidad Caracteriza a la forma de la elipse: e=c a Cuanto mas prxima esta la excentricidad a cero, mas redonda es la elipse y cuanto mayor sea la excentricidad tanto mas alargada ser la elipse. Ej. Excentricidad= 1 Excentricidad= 0 b + a = c

Tiene smetria axial: (2 ejes de simetra) Horizontal y=k Vertical x=h

Tiene simetra central: centro= (h,k) Ejemplos arquitectnicos: El Coliseo Romano: (188m de dimetro mayor y 156m de dimetro menor) Museo del Louvre y Tearto de la Opera (Francia) Capitolio (EEUU) la sala donde funcionaba antiguamente el Congreso es una elipse y la cpula es un elipsoide Sepulcro de George Washington La casa blanca que posee un techo en forma elptica

HIPERBOLAHiperbola: lugar geomtrico de los puntos tales que la diferencia en valor absoluto de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es igual a una constante menos que la distancia entre los focosH= {(x,y) E R : Id((x,y), F1) d ((x,y), F2) I = 2 Para deducir la ecuacin de la hiprbola se toma como eje x a la recta que pasa por los focos y a la recta perpendicular al eje x por el punto medio del segmento F1F2.

Ecuacin canonica de la hiprbola con centro en el origen y eje focal x: x - y = 1

a a= semieje real b= semieje imaginario

b

Se llaman vrtices de la hiprbola a las intersecciones de la misma con el eje x Relacin entre a, b y c: Excentricidad e= c a Asintotas Una recta es asntota de una curva si la distancia entre la recta y la curca tiende a cero cuando x, y o ambas tienden a infinito y= b . x a y= - b . x a c = a + b a>b, a = b a0p0p K. ( ) es igual a L si y solo si para todo positivo existeAsintotas rectas: definicin La recta x=a es una asntota vertical o Si lim f(x)= xaLa recta y=1 es una asintota horizontal o Si lim f(x)= 1 ySIMETRIASimetra: se utiliza para indicar la equivalencia entre dos partes de un elemento. Si lo doblamos en dos partes resultan coincidentes. MOVIMIENTOS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Transformacion Transformacion: toda funcin que haga corresponder a un vector un vector de manera tal que la correspondencia sea uno a uno. El punto P asociado al vector se corresponder unvocamente con el punto P asociado al vector Congruencia Congruencia: en el plano a toda transformacin : x = Ax + By + C y= Px + Qy + R Conserva la longitude de los segmentos, es decir, las distancias Las congruencias son transformaciones que no modifican las dimensiones de un cuerpo en el espacio o de una figura en el plano. Se llama a dichas transformaciones movimientos o isometras en el plano o en el espacio TRASLACION ROTACION REFLEXIONES Dos grupos de movimientos: 1. Movimientos que corresponden a todo desplazamiento sin deformacin de una figura, de una posicin P a una posicin P, por: de la forma:a. Traslacion b. Rotacin c. Desplazamiento helicoidal: una traslacin mas una rotacin 2. Movimientos que no producen deformacin de una figura y se realizan mediante reflexiones. a. Reflexin o espejismo o reflexin especular respecto de un plano b. Reflexin o espejismo o reflexin especular respecto de un eje c. Una inversin 1. a) Traslacion Una figura se le ha aplicado un movimiento de traslacin si todos los puntos de la misma describen segmentos parelelos, iguales y del mismo sentido. Traslacion del plano(o del espacio): toda transformacin que a cada punto P le hace corresponder un punto P tal que el vector tiene una longitud y orientacin invariables : Amplitud de traslacinFormula de traslacin:x= x + a y= y + bx= x a y=y bFormula en el espacio:x= x a y=y b z=z c1. b) Rotacin Una figura se le ha aplicado un movimiento de rotacion respecto de un punto en el plano o en el espacio, cuando todos sus puntos describen arcos de circunferencia que tienen su centro en dicho punto. Rotacion: de centro O y angulo a toda transformacin que a cada punto P le hace corresponder un punto P obtenido al girar o rotar el vector en un angulo . Se puede suponer que el centro de rotacin es el origen Frmula de rotacin: x= x cos + ysen y= - xsen + ycos 1.c) Movimiento Helicoidal Una figura est afectada por un movimiento helicoidal alrededor de un eje, cuando gira alrededor de ese eje y se desliza al mismo tiempo, de manera que un punto cualquiera de la misma describe una hlice alrededor del eje considerado Movimiento helicoidal: de vector y angulo , con centro O a toda transformacin que a un punto P le hace corresponder a un punto P obtenido al girar el vector un angulo y tal que el P resultante determine un vector = Un movimiento helicoidal resulta de componer una rotacin y una translacin, enteniendose por componer al efectuar una a continuacin de la otra. 2.a) Reflexin o espejismo o reflexin especular respecto de un plano Corresponde a una simetra respecto de un plano en el espacio: Dado un plano fijo se llama simetra respecto de dicho plano en el espacio a toda transformacin que a cada punto P le hace corresponder un punto P tal que el segmento PP resulta perpendicular al plano y la distancia de P al plano es igual a la distancia de P al planoPP2.b) Reflexin o espejismo o reflexin especular respecto de un eje Corresponde a una simetra respecto de un eje o simetra axial: Dada una recta fija r se llama simetra respecto de la misma a la transformacin que a cada punto P le hace corresponder el punto P tal que la recta r perpendicular al segmento PP en su punto medioP r P2.c) Una inversin Corresponde a una simetra respecto a un punto o simetra central: Dado un punto fijo O la simetra respecto del mismo es la transformacin que a cada punto P le hace corresponder otro punto P, situado sobre la recta OP tal que la distancia de O a P es igual a la distancia de O a P.P O PGRAFOS Esta teora se usa para describir e investigar las propiedades de las estructuras de los objetos en los ms variados terrenos de la ciencia y de la tcnica Lo comn en todos los casos es llegar a representar un problema concreto mediante un esquema grafico utilizando puntos y lneas para luego estudiar las soluciones al problema planteado. Grafo: par ordenado (V,A) donde V es un conjunto no vacio y A una coleccin de subconjuntos de V de dos elementos. Es una terna de tres elementos, aristas (A), vrtices (V) y Q(relacin de incidencia donde a cada arista le corresponden 2 vertices) Elementos de V: Vertices del grafo Elementos de A de la forma {u, v} con u y v pertenecientes a V: Aristas del grafoGrado de un vrtice: n de aristas que inciden en l grado (vrtice aislado)Subgrafo: es una parte del grafo pero mantiene las condiciones de l. Respecto un vrtice (anular aristas que inciden en el) o a una arista (anularla)Grafo completo: todos los vrtices estn conectados entre si.Grafos complementarios: al unirse forman un grafo completo tienen mismos vrtices, no sus aristasGrafos no dirigidos: Cadena: sucesin de aristas adyacentes Ciclo: cadena finita en la cual el vrtice inical coincide con el final Longitud de la cadena: numero de aristas de la sucesin Conexo: si entre dos vrtices cualquiera y distintos existe una cadena de cualquier longitudGrafo propiamente dicho: cuando dos vrtices se conectan por una sola aristaMultigrafo: cuando dos vrtices estn conectados por mas de una arista (en ese caso en A, el conjunto correspondiente a dichos vrtices aparecer por ms de una vez)Pseudografo: en el caso en que un vrtice pueda unirse con l mismo (lazo o bucle)Vertices adyacentes: cuando { u, v} es una arista del grafo los vrtices u y v son adyacentes Aristas adyacentes: si , u, v - A dichas aristas se llaman adyacentes y al vrtice u se lo denomina vrtice de incidencia A todo grafo G = (V, A) se le asocia el par ordenado de nmeros naturales (m,n) siendo m: numero de vertices n: numero de aristas Grafo etiquetado: aquel en el que cada vrtice est asociado a una letra o numero. GRAFOS ISOFORFOS Grafos isomorfos: Dos grafos son isomorfos cuando tienen la misma cantidad de vrtices y aristas y la relacin entre estas es igual (correspondencia biyectiva) dos grafos G= (V,A) y G = (V,A) son isomorfos si existe una funcin f: V V tal que: u v f (u) f(v)Subgrafo: subconjunto del grafoGRAFOS PLANOS Grafo plano: si es isomorfo a un grafo que puede dibujarse en el plano de forma tal que las aristas solo se crucen en los puntos que corresponden a los vrtices del grafo Un grafo es plano si y solo si no contiene ningn subgrafo isomorfo al K 33 o al K5 Teorema de Kuratowski En la naturaleza y el universo hay solo dos grafos no planos. K33 K5Voy a tener que cruzar si o si una arista GRAFOS EULERIANOS En qu grafo se puede encontrar un ciclo que recorra todas las aristas una sola vez?Si todas sus aristas puede recorrerse en un solo trazo sin pasar dos veces por alguna de ellas. Condicin: todos los vrtices deben ser de grado par o como mximo solo dos pueden ser de grado impar Debe ser conexo. 1. Todos de grado par: vuelven al vrtice de partida 2. Grafo restringido: Dos de grado impar: no vuelven al punto de partido 3. Mas de dos impares: no es euleriano Grafo euleriano: todo grafo que contenga un ciclo euleriano CICLO EULERIANO Ciclo euleriano: ciclo que comienzo y termina en un mismo vrtice, pasando exactamente una vez por cada arista Grafo hamiltoniano Existe un recorrido que pasa por todos los vrtices una sola vez, sin necesidad de recorrer todas las aristas. CICLO HAMILTONIANO Ciclo hamiltoniano: ciclo que comienza y termina en mismo vrtice pasando exactamente una vez por cada vrtice No hay condicin necesaria y suficiente para la existencia de los ciclos de Hamilton, que se puedan verificar con facilidad GRAFOS DIRIGIDOS O DIAGRAFOS Grafo dirigido o digrafo: est definido por un par (V,A) donde V y A es un subconjunto del producto cartesiano V x V, es decir que cada elemento de A es un par ordenado ( u ,v ) Arcos: las lneas ordenadas que unen dos vrtices Vrtices: puntos que representan elementos del conjunto V Camino: la sucesin de arcos adyacentes tales que el extremo final de uno coincide con el extremo inicial del siguiente o Finito: numero finito de arcos o Infinito: nmero infinito de arcos Circuito: camino finito en el cual el vrtice inicial coincide con el vrtice final Longitud de un camino: numero de arcos de la sucesin Bucle: circuito de longitud 1 Extremos del arco: los vrtices que estn unidos por un arco Extremo inicial: es el vrtice del que se parte un arco---Extremo final: es el vrtice al que llega un arco Arcos adyacentes: cuando dos arcos tienen un extremo comn y son distintos Subgrafo dirigido: Si se suprime una cierta cantidad de vrtices y todos los arcos que tengan a los vrtices suprimidos como extremos, el dgrafo que se se obtiene es un subgrafo dirigido Dgrafo conexo: puedo llegar a cualquier vertic por medio de una cadena o No importa que sean arcos todo digrafo es un grafo. Dgrafo fuertemente conexo: adems de ser conexo de cualquier vrtice puedo llegar a cualquier otro por medio de un camino Dgrafo fuertemente conexo: si entre dos vrtices u y v distintos existe un camino de cualquier longitud que va de u a v. Dgrafo disconexo: componente no conectado. Circuito: Bucle:Camino: longitud 4GRAFOS POLIGONALES Grafo poligonal: grafo plan conexo que es reunin de ciclos tal que existe un ciclo minimo y uno mximo. Todo grafo plano conexo que es reunin de ciclos dividiendo al plano en zonas poligonales. Por lo menos debe haber dos ciclos. El contorno se denomina ciclo mximo y otro mnimo Cara: El interior de cada uno de los ciclos del grafo plano Cara del infinito: la parte exterior que tiene como ciclo limitante el ciclo mximo del grafo (polgono envolvente) es tambin una cara Grafo o Numero de aristas (n) o Caras (c) o Vrtices (m)ABABC No es poligonalDCDEs poligonal ABCDA ciclo mximoEl interior de cada ciclo es una cara La cara que no se ve corresponde al ciclo mximo. Ae GfhBCD AEGC, CGHD, HDFB, EFGHABEF ciclo minimo ABCD ciclo mximo Teorema de Euler C+v=a+2En todo grafo poligonal el nmero de caras ms el nmero de vrtices es igual al nmero de aristas ms dos Todo poliedro se le puede asociar un grafo poligonal hexaedro.6 caras / 8 vertices/12 aristas Ae gfhBCDGrafos poligonales regulares Grafo poligonal regular: si el grado de cada vrtice es el mismo Ej. Todos tienen grado 3 Grafo poligonal completamente regular: si adems de ser regular, cada cara tiene el mismo nmero de aristas limitantes (incluyendo la cara del infinito) Ae GVrtices grado 3 Caras por 4 aristas fhBCDGrafo dual: a cada cara le corresponde un vrtice y por cada par se trazan aristas que cortan aristas del grafo original. SEGUNDO CUATRIMESTREDERIVADASDerivada de f(x) en x= cero =(= limite si existe y es finito del cociente incremental para x tendiendo a) ( )= f( )Interpretacion geomtrica: La derivada de una funcin en un punto representa geomtricamente la pendiente de la recta tangente a la curva representativa de la funcin en dicho punto Interpretacin fsica: la derivada del espacio en funcin del tiempo es la velocidad instantnea. FUNCION DERIVADA Se define la derivada de una funcin en un punto Funcin derivada que hace corresponder a cada x el valor de f(x), cuyo dominio esta contenido en el dominio de la funcin CALCULO DE LAS DERIVADAS Reglas de derivacin: Ej. Para analizar: f (x)= f (x)= 2xTabla de derivadas (reglas de derivacin)1) f(x) =k f(x) =0 2) f(x) = xn f(x) = nxn-13) f(x) = x f(x) = 1 4) f(x) = ln x f(x) = 1/ x 5) f(x) = ex = ex 6) f(x) = sen x f(x) = cos x 7) f(x) = cos x f(x) = -sen x 8) f(x) = x f(x)= 1/ 2 x 9) f(x) = ln aReglas de derivacin Si f y g son funciones derivables en a entonces f +g y f.g son derivables en a y se verifica: -(f +g)= f(a) + g(a) -(f.g)(a) = f(a).g(a) + g(a).f(a) Adems si g(a) 0, entonces f/g es derivable en a y se verificaDERIVADAS SUCESIVAS Derivada segunda: Se obtiene derivando la funcin derivada Derivada tercera: Se obtiene derivando la funcin derivada segunda Etc etc. Todas estas funciones se denominan derivadas sucesivas Se indican : f(x), f(x), f(x), etc. RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA CURVA Ecuacion de una recta dada por su pendiente y un punto es: Recta tangente y - = m (x - ) Por la interpretacin geomtrica de la derivada, resulta que m f(xo), y por lo tanto la ecuacin de la recta tangente es: Y= mx + b Recta normal La recta normal es la perpendicular a la tangente en ese punto, por lo tanto la pendiente de la recta normal es la inversa y de signo contrario Y= -1/m.x+b Ecuacin de la recta tangente en un punto P ( pendiente de la misma es: ) teniendo en cuenta que la f (x) es lay-= f ( ) (x -)siendo= f( ) ) y es perpendicular a la recta tangente. Su pendienteRecta normal: recta que pasa por P ( ser: = 1 / f( ) Ecuacin de la recta normal: y= (- 1/ f( ) ) (x )FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Funcin creciente: una funcin real de variable real es creciente en un intervalo [a,b] si y solo si x1, x2 *a,b+: (x1 < x2 implica f(x1) < f(x2)) Una funcin y=f(x) es creciente en una intervalo si al aumentar el valor de la variable independiente (x) aumenta su imagen (y) Si x2 >x1 f(x2) > f(x1) Funcin decreciente: una funcin real de variable real es decreciente en un intervalo [a,b] si y solo si x1, x2 *a,b+: (x1 > x2 implica f(x1) > f(x2)) Una funcin es decreciente en signo opuesto F es creciente en F es decreciente en cuando dado un incremento a el incremento de y resulta de f( ) > 0 f( ) < 0Si la derivada es positiva en todo un intervalo la funcin ser creciente en todo ese intervalo Si la derivada es negativa en todo un intervalo la funcin ser decreciente en todo ese intervalo EXTREMOS RELATIVOSYoYo Xo a) Xo b)En el grafico a la funcin toma en el valor que es mayor que el valor de f(x) para cualquier otro x de un entorno de . Se dice entonces que la funcin tiene en un mximo relativo . por el contrario en el grafico b la funcin tiene en un minimo relativo.La funcin tiene en un minimo relativo si el valor de f( ) es menor que el de f(x) para todo x de un entorno reducido de Extremos relativos: los mximos y minimos relativos de una funcin La recta tangente a la curva en un punto de extremo relativo es horizontal La anulacin de la derivada primera es condicin necesaria pero no suficuiente para la existencia de un extremo relativo PUNTOS CRITICOS. SU DETERMINACION Puntos crticos: puntos donde la derivada se anula o no existe Para determinar los extremos relativos se debe encontrar una condicin necesaria y suficiente La condicin necesaria y suficiente para la existencia de un mximo relativo en f( ) y f( ), es que - f( )= 0 - f( ) < 0 La condicin necesaria y suficiente para la existencia de un mnimo relativo en f( ) y f( ), es que - f( )= 0 - f( ) > 0 CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXION , si existen , si existenADBECFCasos a y d: la curva es cncava hacia las y positivas Casos b y e: la curva es cncava hacia las y negativas Casos d y e: por ser minimo y mximo respectivamente, la tangente es horizontal Casos c y f: la recta tangente atraviesa a la curva, parte queda por encima y parte por debajo de la recta tangente. La curva tiene en un punto de inflexin Punto de inflexin: un punto en el cual la curva cambia de concavidad DETERMINACION DE LOS PUNTOS DE INFLEXION Si la curva es cncava hacia las y negativas, la derivada segunda es negativa Si la curva es cncava hacia las y positivas, la derivada segunda es positiva PROBLEMAS DE OPTIMIZACION Hallar los extremos relativos de la funcin y si estos existen se deber estudiar luego si las soluciones obtenidas tienen validez en el problema planteadoINTEGRALESPROBLEMAS DE AREA Problema de calcular el area encerrada por una curva dada f(x)= Funcin continua y positiva en el intervalo [a,b] R: regin del plano limitada por la curva representativa de la funcin, el eje de abscisas y las rectas x = a y x=bR a bPara determinar el area de R Se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos, iguales o no, mediante los puntos de abscisas = a, , , , , =b Particin del intervalo *a,b+ en subintervalos de longitud = Cada subintervalo alcanza un valor minimo y un valor mximo Aproximacin por defecto o Tomando como base a cada uno de los subintervales I, y como altura el valor minimo de la funcin en cada uno de ellos quedan determinados rectngulos , .. , o El rea del rectngulo es: =( ) Se suman todas las areas para obtener un valor menos que el area de la regin R, esta es una aproximacin por defecto del area buscada Suma inferior: = ( ) Aproximacin por exceso o Si se calculan rectngulos que su altura supere la del area, y se suman todas las areas de todos los rectngulos, se obtendr un valor mayor que el area de la regin R Esta es una aproximacin por exceso del area buscada Suma superior: ( ) Aproximacin del area mediante rectngulos Ri de base y de altura f( ) siendo un punto cualquiera de o El area del rectngulo es: =( ) = f( ) o Si se suman las areas de los se obtendr una aproximacin del area buscada que estar comprendida entre la aproximacin por defecto y por exceso Suma de Riemann: Sf = ( ) ( ) Como ( ) , entonces: s Sf S---PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDAFUNCION INTEGRAL ( )CALCULO DE LAS INTEGRALES INDEFINIDAS METODOS DE INTEGRACION SUSTITUCION ( ) = [ ( )] ( ) APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA CALCULO DE AREAS PLANASAnalicemos las distintas situaciones que se pueden plantear en el clculo dereas de regiones planasCALCULO DE AREAS Para calcular el rea que queda determinada entre dos curvas debemos: 1) Hallar las intersecciones de las funciones que delimitan el recinto del que se desea calcular el rea. 2) Dividir el intervalo total en subintervalos utilizando como extremos las abscisas u ordenadas de las intersecciones halladas segn corresponda. 3) Integrar dentro de cada subintervalo para obtener cada subrea.rea A rea A APLICACIONES FISICAS MOMENTO DE PRIMER ORDEN O MOMENTO ESTATICO (M1) Momento de primer orden o momento estatico: de un sistema de puntos alineados i de masa mi con respecto al punto O, a la suma de los productos de cada una de las masas por la distancia de cada punto a dicho punto fijo. MOMENTO DE SEGUNDO ORDEN O MOMENTO DE INERCIA (I) Momento de segundo orden o momento de inercia: de un sistema de puntos alineados i de masa mi con respecto al punto O, a la suma de los productos de cada una de las masas por el cuadrado de las distancias de cada punto a dicho punto fijo. BARICENTRO O CENTRO DE MASAS O CENTRO DE GRAVEDAD DE UN SISTEMA DE PUNTOS AISLADOS ALINEADOS Dado un sistema de puntos materiales sobre un eje se puede hallar un punto respecto al cual se anule el momento estatico del sistema G= nuevo origen = distancia al punto O Baricentro o centro de masas o centro de gravedad: de un sistema de puntos aislados al punto que, adoptado como origen, anula el correspondiente momento esttico TEOREMA DE STEINEREl momento de inercia de un sistema de puntos materiales respecto de un punto es igual al momento de inercia baricntrico mas el producto de la masa total del sistema por el cuadrado de la abcisa del centro de gravedad =I( ) m MOMENTO DE UN SISTEMA DE PUNTOS MATERIALES AISLADOS SITUADOS EN UN PLANO Momento estatico Siendo ( ) las coordenadas de un punto genrico del sistema, su momento estatico con respecto al eje x ( ) es: = su momento estatico con respecto al eje y ( = Momento de inercia El momento de inercia con respecto al eje x ( ) es: = El momento de inercia con respecto al eje y ( ) es: = Baricentro G para un area plana comprendida entre una curva y el eje de abscisas ) es:= = ( ) ( ) ( ) ( )Baricentro G para un area plana encerrada entre curvas= = [[ ( ) ( ) ( ) ( )( )] ( ) ( )] ( )= = [ ( )] ( ) ( ) ( )MOMENTO DE INERCIA DE RECTANGULOS Rectangulo cuya base se apoya sobre el eje de momentoshb Mx=Rectangulo cuya altura se apoya sobre el eje de momentoshb My=Momento de inercia respecto a un eje baricntricoM = M =PROBABILIDAD Y ESTADISTICAPROBABILIDAD Calculo de probabilidad Preveer el futuro Probabilidad: definicin poco definida. Concepto intuitivoExperimento aleatorio: aquel en el cual, por no poder controlar todos los factores que intervienen en su realizacin, no se puede predecir el resultado. Los resultados posibles de un experimento aleatorio dependen del azar Experimento deterministico: aquel cuyo resultado se puede predecir PROBABILIDAD A PRIORI: Definicin Laplace P(A)= =Funcin matemtica P(e) probabilidad que ocurra A, sienda A un hecho o evento que puede ocurrir Casos favorables (c): todos los casos que quiero que ocurran Casos posibles(m): equiprobables (que tengan igual probabilidad de ocurrencia) Si el numero de casos favorables es igual al numero de casos posibles, es decir, el espacio muestral coincide con el suceso, la probabilidad es igual a uno. En este caso se est ante un suceso seguro y se tiene la certeza de que el suceso ocurre. Si el numero de casos favorables es igual a cero, la probabilidad es igual a cero y se est ante un suceso imposibleEspacio muestral: conjunto E formado por todos los resultados posibles de un determinado experimento aleatorio. El espacio muestral puede tener un numero finito o infinito de elementos Suceso o evento: cualquier subconjunto del espacio muestral Todos los sucesos son conjuntos (A c B): se dice que un suceso A esta incluido en otro suceso B cuando cada vez que ocurre A tambin ocurre B A U B: suceso que ocurrir cuando ocurra al menos uno de los dos A B: suceso que ocurrir cuando ocurran los sucesos A y B a la vez. Mutuamente excluyentes A: suceso complementario o contrario de A, que ocurre si y solo si no ocurre AProbabilidad: numero comprendido entre 0 y 1 que indica cuan posible es la ocurrencia de un suceso. Se mueve dentro de tres campos: Ocurrencia imposible : probabilidad 0 Ocurrencia segura o certera: probabilidad 1 Ocurrencia incierta, posible o probable: si tiene otro resultado Indiferencia, ignorancia: probabilidad 0,5PROBABILIDAD CONDICIONADA Sucesos independientes: dos sucesos A y B se dicen independientes cuando la probabilidad de que ocurra A es la misma tanto si ha ocurrido previamente B como si no ha ocurrido, es decir que la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro Sucesos dependientes: dos sucesos A y B se dicen dependientes si la ocurrencia o no de uno influye en la ocurrencia o no del otro Probabilidad condicionada: la probabilidad de que ocurra el suceso A condicionado a que ha ocurrido previamente el suceso B, que se escribe P(A/B): P(A/B) =( ( ) )Si A y B son independientes P ( A Si A y B son dependientes P ( A Ejemplos: B)= P(A) . P(B) B) = P(A/B) . P(B)Probabilidad de tirar un dado y que salga 2P(2)= 1/6 Segn laplace se lee (cada 6, 1 va a ser 2)Todos los casos tienen igual de probabilidad Probalidad de sacar 1 blanca10 blancas 30 rojas P(b) = 10 / 40= = 0,25 Los casos no son igualmente, probables, yo no s como est ordenada la caja. Se lee: 25% probabilidad de sacar rojaVon misses: P(A)= lim m Cuando el n de pruebas tiende a infinito (tiro el dado infinitas veces) Se basa en la experienciaKolmogoroff: Aplica la teora de conjuntos, representados con diagramas de Venn, se define la probabilidad con axiomas. o Siendo A y B sucesos posibles en un espacio muestral E: Cada suceso es un subconjunto de E No todos son iguales (hecho fsico)A E P(A) Espacio muestralHablamos de proporcin que ocupa ese conjunto en el espacio muestral P(B)= adentro de la caja hay 25% de blancasSucesos incompatibles (2 o +)AB EAB=Excluyentes o mutuamente excluyentesLa ocurrencia de uno de los sucesos excluye que ocurre otro, si uno se est dando, el otro no puede ocurrirSucesos compatibles (2 o +) P(A) A B E P(B) P(AB) ABLa ocurrencia de uno de los sucesos no excluye que ocurra el otro. Si uno se esta dando el otro puede darse tambin I. Compatibles independientes: cada suceso tiene su espacio muestral. La ocurrencia de un suceso no influye sobre el otro. II. Compatibles condicionados: la ocurrencia de un suceso influye sobre otro. Hay una condicin previa Si uno se est dando, esto modifica y condiciona a que el otro se d. Para saber si son independiente o condicionados necesito poseer informacin adicional: Ej: Juan y Carlos se encuentran en la esquina 1 Es compatible2 Es independiente o condicional? Necesito info: pueden haberse encontrado de casualidad o haber arreglado previamente. Axiomas Kolmogoroff P(A) 0 (0 imposibilidad absoluta y 1 certidumbre absoluta) P(E)= 1 Probabilidad de un hecho cierto es 1 Si AB = entoces la P(AB) = P(A) + P(B) De los axiomas surge: Regla de la suma: Si (AB) = entonces P(A U B)= P(A) + P(B) incompatibilidad Si (AB) entonces P(A U B)= P(A) + P(B) P(AB) compatibilidad Ej. Si tengo 40 cartas espaolas. a) P(as basto u as de espada) = P (As espada) + P (As basto) = 1/40 + 1/40= 2/40 Son incompatibles. b) P (As de espada u espada) = P(As de espada) + P(espada) P(as de espada espada) = 1/40 + 10/40 1/40= 10/40 Son compatibles, siendo espada puede ser as y siendo as de espada si o si es espada. Regla de la multiplicacin: ( y) (compatibles) a) si son independientes entonces P(AB) = P(A) . P(B) b) si son condicionados entonces P(AB) = P(A) . P(B/A) = P(B) . P(A/B) (probabilidad de B sabiendo A. A afecta la probabilidad de BProbabilidad condicional P(A/B) =( ( ) )Probabilidad de que ocurra A sabiendo BPor lo tanto: Cuando son independientes: P(A/B) = P(A) entonces P(A) =( ( ) )A = A negado / no A/ todo lo que no es AA A EP(A)P(A) = 1 P(A) Porque P(A) + P(A) = 1AB EAB Eltimos dos ejemplos: sin importar que tipo de suceso es: P(A U B) = 1 P(A B) Teorema de Bayres {A1,A3,...,Ai,...,An} : conjunto de sucesos causa mutuamente excluyentes, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. B: un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai | B) viene dada por la expresin: Todo lo que no es A o B es la suma de A y Bdonde: P(Ai) son las probabilidades a priori. P(B | Ai) es la probabilidad de B en la hiptesis Ai. P(Ai | B) son las probabilidades a posteriori.(todas las posibilidades) Cul es la probabilidad de que Ai sea la causa de B? Ej. Juan choc con el auto, es un suceso certero que ha ocurrido y es indiscutible (B, suceso conocido). Se quiere conocer la causa (A1= Alcoholizado, A2= se qued dormido, A3= se le rompi el eje) P(A3/B) =( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( )) (P(Ai)= probabilidad a priori, previas a la informacinP(Ai/B)= probabilidad a posteriori La probabilidad a posteriori tiene que ser mucho mayorESTADISTICA Estadstica descriptiva: tcnica de anlisis de conjuntos numerosos, la misma se aplica a todos los dominios de investigacin cuantitativa Datos: hechos y nmeros que se renen analizan y resumen oara su presentacin e interpretacin. Al estar reunidos, los datos recopilados se denominan en general conjunto de datos para el estudio Datos para la regulacin: son datos que sirven de base para fijar los parmetros de funcionamiento de un sistema o proceso. Las especificaciones finales, estarn basadas en esos datos Datos para la aprobacin o rechazo; compra o venta: son datos que permiten tomar la accin de decidir sobre lo que se est evaluando. ANALISIS DE DATOS Variable: es una caracterstica de inters de estudio de los individuos Discretas: a saltos, tienen un incremento fijo Continuas: entre dos valores existe infinidad de ellos Dicotmicas: tienen dos posibles resultados No dicotmicas: no tienen dos posibles resultadosMuestras: es una porcin de la poblacin que se extrae para estudiarla. Los valores caractersticas distintivos de una muestra reciben el nombre de estadsticos o estimadores muestrales PROCESO ESTADISTICO DESCRIPTIVO DE LOS DATOS VALORES CARACTERISTICOS DE TENDENCIA (O POSICIONAMIENTO) CENTRAL: Media: promedio aritmtico (osea la suma de todos los valores observados dividi por el total de observaciones)Concepto matematico de equilibrio en donde todos los datos se encuentran en equilibrio matematico respecto de el= .Mediana: es el valor de la variable que divide en dos efectivos iguales a los individuos observados ordenados por valor creciente del carcter. La posicin que ocupa la mediana corresponde al total de los individuos observados divido 2 Me = Si el total del conjunto es impar: es el valor central Si el total del conjunto es par: indeterminada entre Siendo el valor mximo de la primer mitad del conjunto y de la segunda mitadel valor minimoModa: es el valor mas frecuente de la variable, el valor dominante. Es el que est ms repetido dentro de un conjunto observado. Puede ser: Unimodal: moda nica Plurimodal: varios valores modales Amodal: carente de moda o todos los valores tienen la misma frecuencia.Mo== valor mas repetidoVALORES CARACTERISTICOS DE DISPERSION: Varianza: promedio de los desvos respecto de la media aritmtica elevados al cuadrado. = =Desvo estndar: raz cuadrada de la varianza. Vuelve a llevar las unidades de la variable a su expresin original. Representa la variabilidad de los datos en promedio respecto de la media aritmtica S= Coeficiente de variacin (o dispersin relativa): relacin que existe entre el desvio estndar y el promedio aritmtico (media), multiplicado por 100. Indica en forma porcentual si la media aritmtica es representativa del conjunto de valores caractersticos o Menos del 5%: la media es representativa de los datos o Entre el 5% y el 20%: homogneo: solo el promedio no basta para representar a los datos o Mas del 20%: los datos estn tan dispersos que conviene fraccionar a la observacin .= (S/r) . 100Fractiles: son valores que representan a una fraccin del conjunto observado. Se usan cuando los anteriores valores caracteristicos no representan al conjunto observado (o cuando el conjunto obervado es muy disperso) Fractil o percentil: en variables continuas Valor del conjunto que encierra un cierto porcentaje de los individuos a su izquierda X( L )=L + [( )( )]= limite inferior del intervalo = amplitud del intervalon= total de casos y% porcentaje que busco( )= frecuencia acumulada del intervalo anterior= frecuencia del intervalo Porcentual acumulado: porcentual acumulado a la izquierda de un valor de x F(x) = [( L )+( )]= limite inferior del intervalo = amplitud del intervalon= total de casos( )= frecuencia acumulada del intervalo anterior= frecuencia del intervalo VARAIBLES ALEATORIAS Variable aleatoria: cuando se lleva a cabo una experiencia se obtiene una cantidad que lleva asociada una probabilidad de ocurrencia. Nos permite pasar de valores experimentales a una funcin numrica Es una regla bien definida donde a cada numero o valr que puede tomar dicha variable se le asigna una probabilidad de ocurrencia, de manera que la distribucin de probabilidades debe conformar un espacio muestral. P(V.A=r) puede asignarse aleatoria o ser una funcin Elementos:a) Entorno de variacin b) Dominio min x max c) No hay variable sin dominio y codominio (si no puedo definir dominio) Ej. Al momento de definir dominio Expectativa de vida Cundo nace? Cundo muere? No se sabe min x max - x + No se que valores puede tomar ni el minimo ni el mximo Aleatorias: porque no conoces el resultado per si podes definir su dominio Ej. En un dado no se que n sale pero si se que entre 1 y 6 Valores caracteristicos: Media(o promedio): es el promedio aritmtico (la suma de todos los valores observados dividido por el total de observaciones). Concepto matematico de equilibrio (centro de gravedad) r = 1/n. Mediana: valor de la variable que divide en dos efectivos iguales a los individuos observados ordenados por valor creciente del carcter. Me= tal que: Si el total del conjunto es impar: es el valor central. Si el total del conjunto es par: indeterminada entre y o Siendo el valor mximo de la primer mitad del conjunto y minimo de la segunda mitadel valorModa: valor ms frecuente de la variable, el valor dominante. Es el que est ms repetido dentro de un conjunto observado. Mo = = valor ms repetido Varianza: es el promedio de los desvos respecto de la media aritmtica elevados al cuadrado. = . ( )Desvio estndar: es la raz cuadrada de la varianzaS= Coeficiente de variacin: es la relacin que existe entre el desvio estndar y el promedio aritmtico, multiplicado por 100. Indica en forma porcentual si la media aritmtica es representativa del conjunto. Cv= .100 (expresado en porcentual) Cv 5% representativo 5% Cv 20% no representativo Cv 20% los datos estn tan dispersos que convienen fraccionar a la observacin. Fractiles: son valores que representan a una fraccin del conjunto observado. Se usan cunado los anteriores valores caracteristicos no representan el conjunto observado. Esperanza matemtica: valor esperado o media, es el valor promedio de una variable aleatoria despus de infinitas observacionesVARIABLE ALEATORIA DISCRETAS Variable aleatoria discreta: si el numero de valores que puede tomar es contable (ya sea finito o infinito), es decir, todo lo que se quiere expresar de manera contable. La distribucin de probabilidad para uan varible aleatoria discreta es una realizacin mutuamente excluyente de todos los resultados numricos posibles para esa variable aleatoria. Dominio de la variable: V.A=r min x max P(VA=r) P(r)= es la probabilidad de que la variable aleatoria tome exactamente el valor r Debe cumplir [ ( )]E(r) = = [( )]Ej. Tiro un dado y asocio la variable aleatoria a la cara superior r= V.A= n que sale en el dado 1r6Procesamiento de datos agrupados referidos a variables discretas Sea un conjunto (n) de datos que toman valores ri,r1,r2,...,rn. Cada valor se repite con una frecuencia Frecuencia absoluta: ( ) Cantidad de veces que se repite un valor (o cantidad de individuos con ese valor) Frecuencia relativa: ( ) porcentaje de individuos dentro del conjunto con un valor. ) cantidad de individuos que tomar unFrecuencia acumulada izquierda absoluta: ( valor determinado o valores menores.Frecuencia acumulada izquierda relativa: ( ) porcentaje de individuos que tomar un valor determinado o valores menores.VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Variable aleatoria continua: si puede tomar cualquier valor numrico en un intervalo o conjunto de intervalos. Se relacionan con todos los resultados experimentales que se basan en escalas de medicin Distribucin de probabilidad: densidad de probabilidad. Probabilidad de ocurrencia en un intervalo de la variable, ya que cada valor X que toma la variable aleatoria no se le puede asociar una probabilidad de ocurrencia Dominio de la variable VA = x ; - x + P (A r B) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Esperanza matematica: E(x) = = Varianza: { MODELO NORMAL ( ) -(esperanza matematica al cuadrado)Variable aleatoria x; Dominio: - x + Parametros = y Cualquier VA que presente una distribucin simetrica en forma de campana, se ajusta al modelo Normal.Modelo normal estndar Variable aleatoria: Z Dominio - Z + Parametros = = 0 ySirve para facilitar el calculo de probabilidades de la distribucin normal general. La VA de esta distribucin Z, es una transformacin de la variable X normal general Z= x= valor que me piden = media = desvio estndar P (VA Z) F ns (Z) = Z= P (VA Z) G ns (Z) = Z= 1 4509950080445301 5 11 008 Jose art 12961082 = Fn (x) = Gn (x)