Upload
yudhistira-bisma-putra
View
107
Download
16
Embed Size (px)
Citation preview
Laporan Aplikasi Teknik
LAPORAN
PRAKTIKUM APLIKASI TEKNIK
DISUSUN OLEH :
1. NUR SHANDY HERDIANTO 02.2009.1.07911
2. ACHMAD BAIDOWI 02.2009.1.07916
3. YAHYA 02.2009.1.07944
INSTITUT TEKNOLOGI ADHI TAMA SURABAYA
JURUSAN TEKNIK MESIN
FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI
1
Laporan Aplikasi Teknik
2012
LEMBAR PENGESAHAN
PRAKTIKUM APLIKASI TEKNIK
MENGETAHUI,
KOORDINATOR PRAKTIKUM DOSEN PEMBIMBING
ALI KHOMSA, MT ALI KHOMSA, MT
2
Laporan Aplikasi Teknik
KATA PENGANTAR
Dengan mengucap syukur Alhamdulillah ke hadirat Allah SWT yang telah
melimpahkan rahmat, anugerah, serta hidayah-NYA kepada penyusun sehingga dapat
menyelesaikan penulisan laporan praktikum metalurgi dengan tema pengenalan program
matlab.
Laporan ini disusun sebagai salah satu proses pembelajaran yang sudah terprogram di
jurusan Teknik Mesin, Institut Teknologi Adhi Tama Surabaya. Pada kesempatan ini,
penyusun tidak lupa mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Ali Khomsa, MT selaku koordinator praktikum Aplikasi Teknik.
2. Bapak Ali Khomsa, MT selaku dosen pembimbing yang telah meluangkan waktu untuk
membimbing dan mengarahkan dalam penulisan dan penyusunan laporan ini.
3. Serta semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan laporan ini.
Penyusun menyadari bahwa laporan ini jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu saran
dan kritik yang bersifat membangun sangat diharapkan untuk menyempurnakan laporan
selanjutnya.
Akhir kata penyusun berharap semoga laporan praktikum ini dapat bermanfaat bagi
kita semua. Amin.
Surabaya, Januari 2012
Penyusun
3
Laporan Aplikasi Teknik
KARTU KONSULTASI
LAPORAN PRAKTIKUM APLIKASI TEKNIK
Anggota kelompok : NUR SHANDY HERDIANTO 02.2009.1.07911
ACHMAD BAIDOWI 02.2009.1.07916
YAHYA 02.2009.1.07944
Dosen pembimbing : ALI KHOMSA, MT
NO Tanggal konsultasi Permasalahan Paraf
Dosen pembimbing
4
Laporan Aplikasi Teknik
ALI KHOMSA, MT
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. LATAR BELAKANG
Aplikasi teknik merupakan penerapan ,etode numerik, yaitu teknik dimana masalah
matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan pengoprasi arit
matik. Walaupun terdapat banyak metodenumerik, namun pada dasarnya metode
tersebut meiliki satu dasar karakteristik umum.
Penguasaan metode numerik serta komputer (MATLAB) untuk penyelesaian masalah
sangat diperlukan, hal ini dikarenakan dengan metode numerik akan memudahkan
penyelesaian masalah, yaitudengan mengembangkan dengan satumodel matematika
darisebuah proses fisika.
Dunia fisika dalam segalah kompetisinya dapat muncul banyak sekali problem.
Secara tradisional para ilmuan telah menandai pola –pola dan hukum-hukum yang akan
ditiru misalkan dalam pengamatan, newton telah menformulasikan hukum gerak kedua
yang menyatakan bahwah laju waktu perubahan momentum dalam sebuah benda sama
dengan gaya resultan yang bekerja pada nya .dengan memepertimbangkan cara yang
amat kompleks ,dimana gaya –gaya yang berintraksi dengan bumi ,hukum ini terbukti
secara umum.
Suatu model matematika secara dapat didefinisikan sebagai sebuah formulasi atu
persamaman menggunakan segiutama satu sistem atau proses fisika dalam istilah model
matematika. Model merentang dari hubungan aljabar sederhana saipai system persamaan
didefinisikan yang besar dan rumit.
1.2. TUJUAN PRATIKUM
Tujuan dalam praktikum ini adalah
1. Menyelesaikan beberapa persamaan model matematika baik dengan analisa.
2. Menyelesaikan persamaa model matematika dengan numerik (MATLAB) 5
Laporan Aplikasi Teknik
3. Membuat interprestasi hasil MATLAB dan meml andingnya dengan model analisis
1.3. BATASAN MASALAH
Untuk membatasi objek penelitian dan agar konsentrasi penelitian terpusat maka perlu
adanya batasan yang diberikan antara lain :
1. Soal yang dihitung menggunakan soal yang diberikan pada waktu pelaksanaan
praktikum
2. Model dan jenis soal didalam modul menyesuaikan jenis modul yang diberikan
3. Perhitungan dalam laporan menggunakan perhitungan manual dan perhitungan
matlab.
1.4. SISTEMATIKA PENULISAN LAPORAN
BAB I PENDAHULUAN
Berisikan latar belakang dilaksanakannya praktikum aplikasi teknik,
permasalahan, tujuan seluruh percobaan, batasan masalah dan sistematika
penulisan.
BAB II DASAR TEORI
Berisikan teori penunjang seluruh praktikum meliputi teori pengenalan matlab,
program matlab, akar-akar persamaan dengan metode Newton Raphson,
penyelesaian persamaan dengan eliminasi Gauss
BAB III PROSEDUR PRAKTIKUM DAN PROGRAM MATLAB
Berisikan prosedur praktikum, program matlab, dan data-data
BAB IV ANALISIS
Berisikan perhitungan cara analisis, interpretasi hasil numeric dan perbadingan
cara analisis dan numeric.
BAB V KESIMPULAN
Berisikan kesimpulan berdasarkan perhitungan dan analisis data selruh
praktikum.
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN-LAMPIRAN
6
Laporan Aplikasi Teknik
BAB II
DASAR TEORI
2.1. PENGENALAN MATLAB
Matlab (Matrik laboratori ) awalnya hanya sebuah softwer yang dikhususkan untuk
menyelesaikan persamaan matematika kedalam sebuah matrik. Namun sekarang sesuai
dengan perkembangan sains yang ada matlab sekarang digunakan sebagai bahasa untuk
komputasi teknik maupun sains lainya. Matlab sekarang ini dirancang untuk meningkatkan
jangkauan dalam produktivitas ilmu, mempercepet proses penemuan dan pengembangan
untuk kreativitas penelitian. karena matlab dirancang untuk bahasa komputasi, sehingga
matlab menyediakan fasilitas fasilitas yang mudah dipelajari dan digunakan sehingga
memungkin kan untuk membuat aplikasi yang lebih besar dan kompleks. kegunakan matlab
antara lain.
1. Alat pemprograman dan pembuatan aplikasi.
2. Komputasi dan visualisasi gambar lebih baik dan cepat.
3. Menyediakan vasilitas matematika untuk analisa data.
Penggunaan Menu Pull-Down Pada Matlab
Pemakaian matlab sangat mudah karena menggunakan fasilitas menu Pull-down.
Diskripsi penggunakan fungsi menu untuk Command Window (layar perintah) dan figure
Window (layar Gambar).
Menu Command Window
Command Window (layar perintah) menyediakan perintah perintah yang digunakan
pada matlab. Anda dapat mengakses semua fungsi yang disediakan untuk menjalan kan
perintah pada matlab dengan diberi tanda prompt (>>) pada Command Window. Menu
command Window terliat seperti pada gambar.
7
Laporan Aplikasi Teknik
Command window
Title
Menu bar
FILE
Menu file merupakan item untuk menangani set-up statement yang menghubungkan dengan
file.
NEW
Menu new mempunyai sub menu
8
Laporan Aplikasi Teknik
M-File
Membuka editor dengan layar kosong sehingga anda siap untuk membuat M-file baru (liat
menu yangada pada editor/notepad yang dipakai).
Figure
Membuat sebuah figure window (layar baru).
Model
Membuat layar model simulink (jika progam matlab menyediakan fasilitas simulink)
Open M-file
Menampilkan dialok box
9
Laporan Aplikasi Teknik
Open
Membuat editor dengan default pada m-file sesuai spesifikasi pada command window.
Run Seript
Menampilkan dialog box yang menanyakan nama M-file yng akan di eksekusi
Set Path
Untuk menentukan direktori tempat m file yang akan dieksekusi
Seve Workspance As
Menampilkan dialok box.
Anda diminta untuk memilih letakdriove, direc ory, dan masukkan nama file dengan ekstensi
kat(*mat) untuk menyimpan workspace (lembar kerja dan Matlab).
Preverences
Untuk mengset format tampilan yang ada mulai dari warna , jenis font ukuran model grafik
dan lainya.
10
Laporan Aplikasi Teknik
Colors form
Untuk menset format tampilan angka pada output ,seperti pada tampil di bawah ini.
Losse
Tampilan numerik dengan basis baru sebelum dan sesudah matrik.
Compact
Tampilan numerik tanpa baris baru sebelum dan sesudah matrik.
Turn Echo on
Turn echo dapat diset dalam dua kondisi yaitu turn echo On turn echo Off.
Turn echo On pada m fale dieksekusi maka baris yang di eksekusi ditampilkkan pada layar
dan jika Turn Echo Off maka pada saat M-file dieksekusi maka baris-baris yang di eksekusi
tidak ditampilkan pada layar (command window).
11
Laporan Aplikasi Teknik
Enable Background Procee
Perintah ini merupakan toggle yaitu dapat diset on atau off.
Font
Menampilkan dialog box yang dapat digunakan untuk men –set sepesifikasi font (huruf) dan
warna background pada command window yang digunakan.
Mencetak semua text yang berada pada command window jika yang dicetak tidak ingin
semuanya maka cetak bagian (variable) yang ingin di cetak.
Print setup
Merupakan dialok box yang digunakan untuk men-set spesifikasi printer yang di inginkan.
Exit Matlab
Perintah untuk keluar dari pelayanan metlab.
EDIT
Menu edit adalah item yang menangani fasilitas edit.
Menu edit seperti terliat pada gambar.
12
Laporan Aplikasi Teknik
Cut
Menghilangkan text yang di blok dari command window dan text tersebut disimpan pada
Clipboard.
Copy
Meng-copy (duplikasi) text yang di blok dari command window ke clipboard.
Paste
Menulis teks yang ada pada clipboard ke command windows.
Clear Session
Membersihkan lembar kerja
VIEW
Untuk menampilkan
WINDOW
menu window akan menampilkan matlab command window ke figure window. Contoh
matlab running dengan 2 figure window sehingga akan tampak sebagai berikut.
13
Laporan Aplikasi Teknik
Dengan memilih salah satu maka kita akan masuk ke window yang dipilih(window yang
dipilih akan diaktifkan).
HELP
Menu help menyediakan fasilitas untuk mengakses program help dari matlab, diman pada
menu tersebut mempunyai sub menu sbb :
Help Window
Untuk melihat isi, perintah, indeks dan fasilitas lain pada matlab.
Help Tips
Isi sama dengan help window
Help Desk(HTML)
Melihat isi dan fasilitas matlab seperti tampilan internet
Joint Matlab Access
Untuk mendapatkan dan memperoleh informasi matlab, bila adda fasilitas internet kita
dapat mengaksesnya.
Subyek matematika dapat meliputi :
1. Akar-akar persamaan, persoalan
ini bertalian dengan nilai suatu 14
Laporan Aplikasi Teknik
variable atau parameter yang memenuhi sutu persaman tunggal. Masalah ini pada
umumnya digunakan dalam desain teknik, dimana sering kali tidak mungkin
memecahkan parameter-parameter persamaan secara analitis.
f(x)
Gambar 1. Kurva fungsi dengan akar persamaan
2. Sistem persamaan aljabar linear, seperti halnya akan mencari akar-akar persamaan,
dalam hal ini berhubungan dengan nilai harga (nilai) yang memenuhi persaman.
Berbeda dengan pemenuhan sebuah persamaan tunggal, beberapa harga linear dicari
agar muncul secara simultan dalam berbagai konteks masalah dan pada setiap disiplin
teknik.
x2
a11x1+a12x2=c1
a21x1+a22x2=c2
Gambar 2. Grafik untuk
persamaan aljabar linear
3. Pencocokan kurva, teknik yang digunakan untuk mencocokkan kurva yang
dikembangkan dibagi menjadi 2 kategori umum yaitu regresi dan interpolasi.
Regresi digunakan jika ada tingkat yang berarti dari kesalahan yang berkenaan dengan
data. Hasil-hasil percobaan termasuk jenis ini.
15
Laporan Aplikasi Teknik
Untuk keadaan semacam ini, strateginya ialah menurunkan sebuah kurva tunggal yang
memperihatkan kecenderungan dat umum tanpa perlu dicocokkan dengan masing-
masing titik.
Interpolasi digunakan untuk tujuan menentukan nilai-nilai tengahan diantara titik-titik
data yang secara relative bebas dari kesalahan. Hal semacam ini biasanya terdapat
dalam hal menabulasikan informasi. Strateginya adalah mencocokkan suatu kurva
secara langsung dengan titik-titik data kurva itu dipakai untuk memprediksi nilai-nilai
antara (tengahan).
f(x)
x
Gambar 3. Regresi
f(x)
x
Gambar 4. Interpolasi
16
Laporan Aplikasi Teknik
2.2. MENCARI AKAR-AKAR PERSAMAAN
METODE NEWTON RAPHSON
Metode yang paling banyak digunakan dari semua formula mencari akar adalah Newton
raphson. Jika tebakan awal dari akar adalah x1, sebuah garis singgung dapat dari titik [x1,
f(x1)].
Titik dimana garis singgung ini memotong sumbu x biasanya menunjukkan sebuah
taksiran perbaikan dari akar. Metode Newton Raphson dapat diturunkan berdasarkan
interpretasi geometric (sebuah metode alternative yang didasarkan pada deret Taylor)
= f’(x1)
Gambar 5. Grafik Metode Newton Raphson
Garis singgung terhadap fungsi pada x1 [yakni f’(x1)] diekstrapolasikan ke bawah
terhadapsumbu x untuk memberikan sebuah taksiran akar pada xi+I.
Turunan pertama dar x1 adalah f’ (x1), ekuivalen dengan slope (kemiringan) :
f(xi) - 0
f’ (x1) =
xi – xi + 1
yang dapat diatur kembali menjadi :
f(xi)
f’ (x1) =
f’ (x1)
17
Laporan Aplikasi Teknik
yang dinamakan formula Newton Raphson
2.3. PERSAMAAN ALJABAR LINEAR
ELIMINASI GAUSS
Persamaan aljabar linear simultan yang secara umum dinyatakan sebagai :
a11x1 +….+a1nxn = c1
a21x1 + a22x2+….+a2nxn = c2
. . . .
. . . .
an1x1 + an2x2+….+annxn = cn
dimana setiap harga a adalah koefisien dan c adalah konstanta.
Teknik ini dinamakan Eliminasi Gauss, karena meliputi kombinasi persamaan agar
mengeliminasikan (menghilangkan) yang tidak diketahui. Walaupun metode ini merupakan
salah satu metode tertua untuk menyelesalikan persamaan simultan, namun tetap diantara
algoritma yang sangat penting dipakai saat ini dan juga mudah diprogram dan diterapkan
dengan menggunakan komputer. Metode yang sesuai untuk menyelesaikan dari persamaan-
persamaan simultan selain dengan komputer, diantaranya dapat menggunakan aturan Cramer
dan Eliminasi yang tidak diketahui.
DETERMINAN DAN ATURAN CRAMER
Aturan cramer adalah teknik solusi yang sangat baik untuk persamaan-persamaan yang
berjumlah kecil. Sebelum menjelaskan metode ini akan dijelaskan konsep determinan yang
digunakan untuk melakukan untuk aturan cramer. Determinan mempunyai manfaat dalam
mengevaluasi kondisi timpang sebuah matriks.
Misalnya :
a11x1+a12x2+a13x3 = c1
a21x1+a22x2+a23x3 = c2
a31x1+a32x2+a33x3 = c3
18
Laporan Aplikasi Teknik
atau dalam bentuk matriks :
[A] [X] = [C]
Dimana [A] adalah matriks koefisien :
a11 a12 a13
[A] = a21 a22 a23
a31 a32 a33 (2.1)
determinan D dari sistem ini dibentuk koefisien-koefisien persamaan, seperti :
a11 a12 a13
[D] = a21 a22 a23
a31 a32 a33 (2.2)
walaupun determinan D dan matriks koefisien [A] terdiri dari elemen-elemen yang sama,
mereka adalah konsep matematika yang sepenuhnya berbeda. Itulah sebabnya mereka
dibedakan secara visual oleh akolade yang menutupi matriks dan garis lurus yang menutupi
determinan. Berlainan dengan sebuah matriks, determinan adalah suatu bilangan tunggal.
Misalnya harga orde kedua determinan :
D = a11 a12
a21 a22 (2.3)
dihitung dengan :
D = a11a22 – a12a21
Untuk kasus orde ketiga, (persamaan 2.2), sebuah harga numerik tunggal untuk determinan
dapat dihitung sebagai :
D = a11 a22 a23 -a12 a21 a23 + a21 a22
a21 a22 a31 a33 a31 a33 (2.4)
dimana determinan 2 x 2 dinamakan minor.
19
Laporan Aplikasi Teknik
Contoh :
Hitunglah harga-harga determinan dari persamaan-persamaan berikut :
3X1+2X2 = 18
-X1+2X2 = 2
3 2
D = =3(2)-2
-1 2
ATURAN CRAMER
Aturan ini menyatakan bahwa setiap yang tidak diketahui dalam sebuah sistem persamaan
aljabar linear boleh dinyatakan sebagai sebuah friksi dari dua determinan, penyebut D dan
pembilang yang diperoleh dari D, dengan mengganti kolom dari koefisien-koefisien yang
tidak diketahui yang dinyatakan oleh konstanta-konstanta C1,C2,…,Cn.
Misalnya X1 dapat diitung sebagai :
c1 a12 a13
c2 a22 a23
x1 = c3 a32 a33
D
Contoh :
Gunakan aturan cramer untuk menyelesaikan :
0,3 X1+0,52 X2+X3 = - 0,01
0,5 X1+ X2 +0,5 X3 = 0,67
0,1 X1+0,3 X2+0,5 X3 = - 0,44
Penyelesaian :
20
Laporan Aplikasi Teknik
Determinan D dapat ditulis sebagai :
0,3 0,52 1
D = 0,5 1 1,9
0,1 0,5 0,5
Minor-minor adalah :
A1 = 1 1,9 = 1(0,5) – 1,9(0,3) = - 0,07
0,3 0,5
A1 = 0,5 1,9 = 0,5(0,5) – 1,9(0,1) = 0,06
0,1 0,5
A1 = 0,5 1 = 0,5(0,3) – 1(0,1) = 0,05
0,1 0,3
Ini dapat digunakan untuk mengevaluasi determinan, seperti dalam persamaan (2.4)
D = 0,3(0,07) – 0,52(0,06) + 1(0,05) = - 0,0022
Dengan menerapkan persamaan (2.5), penyelesaian adalah :
-0,01 0,52 1
0,67 1 1,9
-0,44 0,5 0,5 0,03278
X1= = = -1,49
- 0,0022 - 0,0022
0,3 -0,01 1
0,5 0,67 1,9
0,1 -0,44 0,5 0,0649
X2= = = -29,5
- 0,0022 - 0,0022
21
Laporan Aplikasi Teknik
0,3 0,52 -0,01
0,5 1 0,67
0,1 0,3 -0,44 0,04356
X3= = = 19,8
- 0,0022 - 0,0022
Untuk lebih dari 3 persamaan, aturan cramer menjadi tidak praktis, kalau jumlah persamaan
bertambah, determinan akan menghabiskan waktu jika dihitung dengan tangan. Akibatnya,
alternative yang lebih efisien (tanpa computer) adalah eliminasi yang tidak diketahui.
ELIMINASI YANG TIDAK DIKETAHUI
Eliminasi yang tidak diketahui yang didapat dengan menggabungkan persamaan-persamaan
adalah merupakan pendekatan aljabar yang dapat digambarkan untuk sebuah kumpulan yang
terdiri dari dua persamaan :
a11x1+a12x2 = c1 (2.6)
a21x1+a22x2 = c2 (2.7)
strategi dasar adalah dengan mengalikan persamaan-persamaan ini dengan konstanta-
konstanta, supaya dari yang tidak diketahui akan dieliminasi sewaktu kedua persamaan
digabungkan. Hasil tersebut adalah sebuah persamaan tunggal yang dapat diselesaikan untuk
yang tidak diketahui selebihnya. Harga ini dapat dimasukkan kedalam persamaan asli guna
menghitung variable lainnya.
Misalnya persamaan (2.6) dapat dikalikan dengan a21, dan persamaan (2.7) dengan a11,
sehingga menjadi :
a11a21x1 + a12a21x2 = c1 a21 (2.8)
a21a11x1 + a22a11x2 = c2 a11 (2.9)
dengan mengurangkan persamaan (2.8) dari persamaan (2.9), karenanya akan mengeliminasi
suku x1 dari persamaan agar memenuhi :
a22a11x2 - a12a21x2 = c2 a11 - c1 a21
22
Laporan Aplikasi Teknik
yang dapat diselesaiakan untuk :
c2 a11 - c1 a21
x2 = (2.10)
a11a22 - a12 a21
persamaan (2.10) lalu dimasukkan kedalam persamaan (2.6) yang dapat diselesaiakan untuk :
a22 c1 - a12 c2
x1 = (2.11)
a11a22 - a12 a21
perhatikan bahwa persamaan (2.10) dan (2.11) secara langsung mengikuti aturan cramer yang
menyatakan :
c1 a12
c2 a22 c1a22 – c1a21
x1 = =
a11 a12 a11a22 – a12a21
a21 a22
dan
a11 c1
a21 c2 a1c2 – c1a21
x2 = =
a11 a12 a11a22 – a12a21
a21 a22
contoh :
Gunakan eliminasi yang tidak diketahui untuk menyelesaiakan :
3x1 + 2x2 = 18
-x1 + 2x2 = 2
23
Laporan Aplikasi Teknik
Penyelesaian :
Menggunakan persamaan (2.11) dan persamaan (2.10) :
2(18) – 2(2)
x1 = = 4
3(2) – 2(-1)
3(2) – (-1)18
x2 = = 3
3(2) – 2(-1)
Eliminasi yang tidak diketahui dapat diperluas terhadap sistem dengan lebih dari dua atau
tiga persamaan. Tetapi berbagai kalkulasi yang diperlukan bagi sistem yang lebih besar dan
untuk memudahkan, metode tersebut dilakukan perhitungan program.
TEORI MATLAB
Matlab adalah paket program matematika canggih yang berfungsi pada operasi atas matrik.
Ada dua cara pelayanan, yaitu :
1. Secara iterative
2. Dengan pemrograman
Dalam penulisan modul ini ada dua model penulisan :
1. Time new roman untuk penulisan non program
2. Arial untuk penulisan program
Pelayanan secara interative dilakukan dengan cara mengetikkan perintah-perintah yang
diinginkan langsung pada “prompt” dari matlab yang berbentuk lambing “>>”.
Pelayanan dengan pemrograman dilakukan dengan cara membuat/menyusun program dengan
editor dan disimpan dengan ekstensi “m”(*.m).
Lakukan perintah dibawah ini sebagai pelayanan iterative.
Membuat matriks
24
Laporan Aplikasi Teknik
>> A = [4 3 2; 4 4 3; 3 2 2]
Perintah mencari invers
>> B = inv(A); %Menampilkan hasil invers dari matriks A
>> C = det(A); %Menampilkan hasil determinan dari matriks A
Mengambil bagian dari matriks
>> a = A(1,;) %Menampilkan baris ke satu semua kolom dari matriks A
a
>> b = A(:,2); %Menampilkan semua baris kolom ke dua dari matriks A
B
>> c = A(1:2,:);
c
Untuk menampilkan variable yang aktif dalam lembar kerja.
>>who
Menyimpan lembar kerja
>>save temp
Untuk menghapus semua variable pada lembar kerja (buffer memori).
>> clear
>> who
Memanggil lembar kerja yang telah disimpan
>> load temp
>> who
Mencari ukuran dari matriks
25
Laporan Aplikasi Teknik
>>[n,m] = size (A);
Matriks-matriks khusus yang telah disediakan oleh matlab :
Eye(n) : membuat matriks identitas dengan ukuran n x n
Zeros(n) : membuat matriks nol dengan ukuran n x n
Ones(n) : membuat matriks segitiga bawah dari matriks x
Triu(n) : membuat matrik segitiga atas dari matrik x
Untuk lebih mendalami lakukan dan jawab pertayaan di bawah ini:
Buat matrik di bawah ini:
0,6 1,5 2,3 -0,5
8,2 0,5 -0,1 -0,2
G = 5,7 8,2 9,0 1,5
0,5 0,5 2,4 0,5
1,2 -2,3 -4,5 0,5
[m,n]=size(G)
A = det(G)
B = inv(G)
C = GT
D =(:,2)
E = G(1:3,2:4)
Tugas 2a
GRAFIK
Grafik 2D contohnya adalah sbb:
26
Laporan Aplikasi Teknik
Membuat grafik sinus dan cosines
X=0:0,0,01:2*pi;
Y=sin(x);
Z=cos(x);
Plot(x,y,’r-‘,x,z’g-‘);
Grid;
Title(‘Grafik fungsi sinus (x)dan cosines (x)dan cosines (x)’);
Xlabel(‘nilai x’);
Ylabel(‘cos(x)atau sin (x)’);
Shg;
Tugas 2a
Grafik 3D contoh nya adalah sbb:
X=-8:0,5:8:
Y=x;
[x,y]=meshgrid (x,y);
R=sqrt(x.^2+y.^2)+eps;
Z=sin (R)./R;
Mesh (Z);
Title (‘Grafik sin (R)/R’);
27
Laporan Aplikasi Teknik
Buatlah Grafik 3D dari data di bawah ini:
G =
% sedangkan perintah mensh(G)
Mens(G)
Title(‘Grafik 3 Dimensi ‘);
Xlabel (harga x’)
Ylabel (harga y’)
Zlabel (harga z’)
28
Dari data percobaan di peroleh data sbb:
Waktu(detik) Suhu(F˚)
0 54,2
1 58,5
2 63,8
3 64,2
4 67,3
5 71,5
6 88,3
7 90,1
8 90,6
9 89,5
10 90,4
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 -5 -5 -5 -5 1 1
1 1 -5 5 10 -5 1 1
1 1 -5 -5 -5 -5 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
Laporan Aplikasi Teknik
Pause
Pcolor(G)
Axis off
Shading plat
Setelah menyelesaikan program di atas fahami dan buat logikanya
Tipe garis ,tanda dan warna
Mengambarkan grfik dapat digunakan karakter-karakter khusus sebagai symbol
garis,tanda maupun warna.
Simbol-simbol ,tipe-tipe garis,dan warna ssb:
Symbol Warna
y kuning
m mentega
c cyan
r merah
g hijau
b biru
w putih
k hitam
Simbol Tipe warna
• Titik•
O Linkaran
X Tanda-x
+ Tanda-+
* Tanda-*
_ Garis penuh
: Tanda-:
Garis petik
Garis putus’’
Perintah:
Plot :Membuat grafik 2 dimensi
Mesh :Membuat grafik 3 dimensi
Xlabel : memebeeri nama sumbu x
29
Laporan Aplikasi Teknik
Ylabel : member nama sumbu y
Zlabel : member nama sumbu z
Title : member judul grafik
OPERATOR MATEMATIK
+ : jumlah (plus)
- : kurang (minus)
* : perkalian
/ : pembagian
^ : pangkat
Operator ini dapat digunakan pada skalar, vector maupun matriks. Jika dikenakan pada maka
berlaku seperti aljabar biasa.
Coba lakukan perintah dibawah ini dan perhatikan hasil operasi-operasinya.
a = [1 2 3 4 5]
b = [6 7 2 5 3]
c = 2
A = a + b; E = b – a;
B = a + c; B = a / b;
C = a ^ c; C = a b;
D = a * Bp; D = b^a;
Sedangkan untuk operasi dibawwah ini tidak dapat dilakukan.
Coba anda terangkan :
a*b
a/b
a\b
b^a30
Laporan Aplikasi Teknik
Tugas 2d1.A=[2-1 5 0]; B=[3 2 -1 4];
1.A-B
2.B+A-3
3.2*A+A^B
4.B/A
5.B\A
6.A^Bp
7.(2)^B+A
8.2*B/3.0*A
2. C = D =
1.C*D
2.C+D
3.C/D
4.C\D
5.D-C
6.C.*D
7.C./D
8.C.\D
OPERATOR RELASI
Operator :
< Lebih kecil
<= Lebih kecil atau sama dengan
> Lebih besar
>= Lebih besar atau sama dengan
31
2 3
4 6
5 7
4 3
Laporan Aplikasi Teknik
== Sama dengan
[= Tidak sama dengan
Operasi relasi ini sangat penting untuk aliran program yang menggunakan statement WHILE
dan IF.
Kontrol Aliran Program:
Dalam Matlap,control aliran program ini terdiri dari FOR LOOP,WHILE LOOPS,dan IF-
ELSE-END.
•FOR LOOPS
For X=array
Perintah
End
Contoh:
For n=1:10
X(n)=sin(n*П/10);
End
X(lihat nilai x)
Selain itu juga dapat digunakan perintah for loop dalam for loop.
Contoh:
For n=1:5
For m=5:-1:1
A(n,m)=n.^2+m.^2
End;
End;
•WHILE LOOP
32
Laporan Aplikasi Teknik
Perintah pengulangan tetapi di ketahui jumlah pengulangannya,sehingga diperlukan syarat
batas (syarat yang harus dipenuhi)
While ekspresi
Perintah
End
Contoh:
>>num=0;eps=1
While(!=eps).1
Num=num+1
End
>>num
>>eps
•IF-ElSE-END
Melakukan perintah dengan syarat batas:
IF ekspfesi
Peritah
End
If ekspresi 1
Perintah 1
Elseif
Perintah2
Elseif
Perintah 3
End;
End;
End;
Contoh:
33
Laporan Aplikasi Teknik
>>a=[25678]
>>a=max (size(a))
>>if n>0
Rata=a/n
End
Dalam kesepakatan ini anda akan diperkenalkan ;
Pengunaan editor
Membuka dan menutup Matlap
Program berikut ini adalah untuk menghitung akar kuadrat bilangan file akar .m dengan
memasukkan program ini (program dibuat dalam editor)
Tugas 3a
%mencari akar:
X=a;
Error=1;
K=1;
While error>0.000001
Y=0.5*(x+a/x;
Sbx(k)=x;
Sby(k)=y;
Error=abs(x-y);
X=y;
K=k+1;
End
X
Pause;
Plot(sbx,sby);
34
Laporan Aplikasi Teknik
Sesudah program di atas di samping (dilakukan dalam editor),kemudian kembali ke Matlap
dan lakukan;
>>a=10;
>>akar
Pelajarilah hasil dan makna tiap baris dalam program ini .catatlah semua hasil yang purlu
dalam buku catatan praktikum anda.
Tugas 3b
Mencari akar polynomial dengan mengunakan metode NEWTON-RAPHSON,dimana
pada metode neuton tersebut harus diberikan turunan dari polynomial tersebut.dalam program
di bawah ini diperkenalkan metode Newton sekaligus diperkenalkan siapkan file zfungsi.m di
bawah ini;
%nama file zfungsi.m
%program untuk menghitung f(x) dan f’(x)dengan x diketahui
%program ini di sertakan prosedur ffunction
%Distribusi temperature (!D)kondisi steady state pada dinding (wall)
T(x)
Function [f,ff] = z fungsi (x)
F=x.^5-2*x.^4+3*x.^3-4*x.^2+5*x-6
Ff=5*x.^4-8*x.^3+9*x.^2-8*x.+5
Simpan program tersebut dengan nama file zfungsi .m
Setelah itu siapkan file baru lagi dengan nama file znewton.m di bawah ini.
%nama file znewton.m
%sebagai program induk untuk memanggil program zfungsi.m
%untuk mencari akar dari f(x)dengan metode newton
%nilai tafsiran awal x dimasukkan dulu.
35
Laporan Aplikasi Teknik
For xo=1:5
End;
%tol=0,0001;
[f,ff]=zfungsi(xo)
While abs(xo-x)>0.0000001
X=xo-f/ff;
Xo=xo+1;
Xo=x;
Break
End;
End;
Pelajarilah hasil dan maka tiap baris dalam program ini.
Mencari solusi system dari persamaan linier
Untuk menyelesaikan solusi dari beberapa persamaan linear dengan n buah persamaan yang
dapat ditulis dalam bentuk persamaan berikut:
a11.x1+a12.x2+a13.x3+…………..+a1n.xn =b1
a21.x1+a22.x2+a23.x3+……………+a2n.xn =b2
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
an1.x1+an2.x2+an.x3+……………..+ann.xn=bn
dimana a11,a12,a13,………an1,an2,…..ann adalah konstan,sedangkan x1,x2,x3…..xn
adalah variable yang nilai nya belun diketahui.system persamaan aljabar linier dapat ditulis
dalam bentuk matrik:
36
Laporan Aplikasi Teknik
[A]*[B]
a11 a12 a13 … a1n
dengan [A] = a21 a22 a23 … a2n
.. .. .. … …
a31 a32 a33 ... ann
x1 b
x2 b2
[X] = … [B] = ...
… …
xn bn
Contoh beberapa cara penyelesaian system persamaan tersebut secara simultan sehingga
diperoleh nilai beberapa variable tersebut.
Metode invers yang telah tersedia pada program matlap
Mencari invers suatu matrik pada program invers tersedia pada matlap dengan metode
adjoint.
[A]*[B]=[B]
[A]-1 *[A]*[X]=[A]-1[B]
[I]*[X]=[A]-1 *[B]
[X]=[A]*[B]
Keterangan : [A]-1 = invers dari matriks [A]
[I] = invers identitas
Tugas 4a37
Laporan Aplikasi Teknik
Untuk mempermudah lakukanlah percobaan/praktikum untuk menyelesaikan sistem persamaan linear berikut :
3x1 + 2x2 - x3 = 10
-x1 + 3x2 + 2x3 = 5
x1 - x2 - x3 = 1
persamaan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk :
[A] [X] = [B]
Dengan,
3 2 -1 x1 10
[A] = -1 3 2 [X] = x2 dan [B] = 5
1 -1 -1 x3 1
Program : A = [3,2,-1;-1,3,2;1,-1,-1]
B = [10;5;1]
C = inv[A] %C adalah invers A
X = C*Bp
Invers dengan metode SMW(Sherman Morisson Woodbry)
Metode SMW adalah mencari invers dari suatu matriks dengan mencari selisih
matriks tersebut dengan matriks yang lain yang sudah diketahui inversnya. Maka yang paling
mudah matriks yang digunakan sebagai acuan adalah matriks [I].
Relasi matriks SMW adalah :
V1 * A-1 * U = B-1 dan B = A+U*V-1
Tugas 4b
%program mencari invers dengan metode SMW
Function [A] = invers SMW [A]
%mencari invers dengan metode SMW
%matriks yang dicari dimasukkan
[m,n] = size(a);
c = a-eye(n,n);38
Laporan Aplikasi Teknik
a = eye(n,n);
for k = 1:n
z = 1+a(k,:)*c(:, k);
a = a-a*c(:,k)*a(k,:)/z;
end;
sesudah disimpan siapkan file lain seperti dibawah ini, untuk menyelesaikan persamaan di atas :
a = [3,2,-1;-1,3,2;1,-1,-1];
b = [10;5;1];
[c] = inv (a) %invers matriks a disimpan di c
X = c*b;
Diketahui :
1. -2x1 + x2 = -3 6. -3x1 + 2x2 – x3 = 1
x1 + x2 = 3 -x1 + 3x2 + 2x3 = 1
x1 – x2 – x3 = 1
2. -2x1 + x2 = -3 7. 10x1 – 7x2 = 7
-2x1 + 3x2 = 9 -3x1 + 2x2 + 6x3 = 4
5x1 + x2 + 5x3 = 6
3. -2x1 + x2 = -3 8. x1 + 4x2 – x3 + x4 = 2
-6x1 + 3x2 = 9 2x1 + 7x2 + x3 – 2x4 = 16
4. -2x1 + x2 = -3 x1 + 4x2 – x3 +2x4 = 1
-2x1 + x2 = -3,0001 3x1 – 10x2 – 2x3 +5x4 = -15
5. –x1 + 3x2 – x3 = 5
-x1 + 3x2 + 2x3 = 5
x1 – x2 – x3 = -1
Metode eliminasi Gauss39
Laporan Aplikasi Teknik
metode eliminasi yang banyak digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan
linier selain metode invers adalah eliminasi gauss. Pada pembahasan ini eliminasi gauss
didekati dengan menggunakan sifat khusus dari matriks gauss.
Tugas 4d
%program eliminasi gauss dengan pertukaran baris
%matriks a ukuran [n,n] dimasukkan
%matriks b ukuran [1,n] dimasukkan
[m,n]=size(a);
For i =1;1;(n-1)
g = eye(n,n);
j = i;
while a(i,j)=0
c = a(j,:);
d = b(j);
a(j,:)=a(j+1,:);
b(j)=b(j+1);
a(j+1.:)=c;
b(j+1,:)=d;
end;
for k=1:1:n
if i = k
g(k,i) = a(k,i)/a(i,i);
else
g(k,i) = -a(k,i)/a(i,i);
end;
end;
a=g*a;
b=g*b;
40
Laporan Aplikasi Teknik
end;
%untuk melihat hasil akhir eliminasi gauss
%matriks segitiga atas
%mencari solusi X1,X2,…,Xn
x=zeros(n,1);
for i = n:-1:1
c = 0;
for j = 1:1: n
if i ~=j
c = c+(a(i,j)*x(j));
end;
end;
x(i,j)=(b(i)-c)/a(i,i);
end;
%menampilkanhasilnya
x
Jika sudah selesai simpan dengan file gauss.m. setelah itu kerjakan pd promptmatlab :
>>a = [1,4,-1,1;2,7,1,2;1,4,-1,2;3,-10,-2,5];
>>b = [2;16;1;-15];
>>gauss
nilai x adalah solusi dari persamaan diatas :
Regresi linear dengan metode least square
41
Laporan Aplikasi Teknik
regresi ini sangat diperlukan untuk mencari kurva g(x) yang dapat memiliki titik dari hasil
percobaan. perhatikan gambar berikut :
f(x) g(x)
x
dengan metode least square regresi llinear (orde 1) diperoleh :
a = 1/n Σy1 – 1/n Σx1 b = y - bx
dan
n Σ x1y1 – Σ x1 Σ y1
b =
n Σ x12 – (Σx1)1
dimana :
n = jumlah data percobaan
sehingga diperoleh persamaan linearisasi :
g(x) = a + Bx
agar lebih mudah untuk mengembangkan logika kita regresi yang lebih besar, hal tersebut
dapat dibentuk dalam matriks :
n Σx1 a1 = Σy1
dimana : Σx1 Σx12 a2 Σx1y1
a1 = a
a2 = b
untuk menentukan a1 dan a2, setelah ketemu bentuk matriks, dapat digunakan metode invers
atau matriks gauss.
tugas 4f
42
Laporan Aplikasi Teknik
sebuah tangki yang memiliki sisi vertikal dengan daerah penyimpanan air. untuk mengisi
tangki diperlukan pompa untuk memindahkan air ke atas. laju aliran air adalah sebagai
berikut :
time 10 20 30 40
flow rate 10 30 50 60
%program
%masukkan data pada matriks [dat] dengan ukuran[n,2]
%dat1 sebagai harga x dan dat2 sebagai harga y
dat1 = [10,20,30,40];
dat2 = [10,30,50,60];
%[dat1,dat2] = size (dat)
x = sum(dat1);%x = sigma x
y= sum(dat2); %y = sigma y
x2 = dat1.^2;%x2 = [xi]2
sx2 = sum(x2);
xy = dat1.*dat2;
sxy = sum(xy);
%b = (n*sxy-x*y)/(n*sx2-x^2);
%a = (y-b*x)/n;
a = [n,x;x,sx2];
b = [y;sxy];
regresi = a b;
%untuk menggmbar
hor = dat1;
ver = dat2;
plot (hor,ver)
grid;
BAB III
43
Laporan Aplikasi Teknik
METODOLOGI PERCOBAAN
3.1. PROSEDUR PELAKSANAAN PRAKTIKUM
Pada dasarnya prosedur yang dilakukan pada praktikum ini antara tugas 1, tugas 2, dan
tugas 3 adalah sama, hanya yang membedakan adalah pembuatan programnya saja.
Berikut ini langkah kerja yang dilakukan pada saat praktikum :
1. Menjalankan program atau software matlab.
2. Memunculkan tampilan layar editor yang digunakan untuk menuliskan program.
3. Dengan memilih menu file kemudian memilih submenu new
4. Memilih M.file dan klik
5. Menuliskan program sesuai dengan tugas-tugas yang telah diberikan instruktur.
6. Kemudian setelah program selesai dibuat simpan program tersebut misalnya
dengan nama tugas 1.
7. Menampilkan hasil dari data yang tersimpan tadi, dengan menekan tombol F5 pada
keyboard maka data tersebut akan tampak pada kotak dialog command window.
8. Mencetak hasil data serta program yang telah selesai dibuat.
BAB IV
44
Laporan Aplikasi Teknik
ANALISA DATA
1. Penyelesaian Secara Analitis
TUGAS 1
-18X - 10Y - 11Z = 12
-16X - 31Y - 15Z = 4
-15X - 18Y - 16Z = 22
maka :
-18 -10 -11 X 12
[A] = -16 -13 -16 [X] = Y Dan [B] = 4
-15 -18 -16 Z 22
persamaan linear diatas dapat dikerjakan dengan menggunakan eliminasi Gauss :
-18 -10 -11 12 -10
Δ = -16 -13 -16 -16 -31
-15 -18 -16 -15 -18
= [(-18.-31.-16) + (-10.-15.-15) + (-11.-16.-18)] - [(-15.-31.-11)-(-18.-15.-18)-
(-16.-16.-10)]
= - 1811
Δ1 = 12 -10 -11 12 -10
4 -31 -15 4 -31
22 -18 -16 22 -18
= [(12.-31.-16) + (-10.-15.22) + (-11.4.-18)] - [(22.-31.-11) - (-18.-15.12) -
(-16.4.-10)
= -1338
Δ2 = -18 12 -11 -18 12
-16 4 -15 -16 4
-15 22 -16 -15 22
= [(-18.4.-16) + (12.-15.-15) + (-11.-16.22)] - [(-15.4.-11) - (22.-15.18) -
(-16.-16.12)
= - 1948
45
Laporan Aplikasi Teknik
Δ3 = -18 10 -12 -18 10
-16 -31 4 -16 -31
-15 -18 22 -15 -18
= [(-18.-31.22) + (-10.4.-15) + (12.-16.-18)] - [(-15.-31.12) - (-18.4.-18) -
(22.-16.-10)
= 5936
maka, harga nilai X adalah x = Δ1 / Δ = -1338 / -1811 = 0,738
harga nilai Y adalah y = Δ2 / Δ = -1948 / -1811 = 1,0756
harga nilai Z adalah z = Δ3 / Δ = 5936 / -1811 = -3,271
TUGAS 2
A = Sin (x+3)
B = Cos (x*4)
penyelesaian :
1
y=sin x
0 π 2π x(rad)
-1
Grafik fungsi sinus
A = Sin (2πft)
Sin (θ + 2πft)
(3 + 2πft)
2πf . x
2πf = 1
f = 1/2π = 1/6,28 46
Laporan Aplikasi Teknik
t = 6,28
1
x=cos x
0 π 2π x (rad)
-1
Grafik fungsi cosinus
B = Cos (x*4)
Cos (2πft)
2πf . x
2πf . 4
4 = 2πf
f = 4/6,28 = 0,636
t = 1/f = 1,57
47
Laporan Aplikasi Teknik
TUGAS 3
F(x) = 2X3 - 3X2 - 5X + 16
dari hasil perhitungan matlab :
x = - 1,9334
1,7167 + 1,09131
1,7167 - 1,09131
maka apabila dimasukkan stu variable x dalam persamaan polinomial, akan didapatkan X3
menjadi X2.
perhitungan :
F(x) = 2X2(-1,9334) - 3x(-1,9334) - 5(1,9334) + 16
= - 3,8668X2 +5,8002X + 25,667
dengan menggunakan rumus ABC dicari harga x :
-b ± √b2 - 4acx = 2a
-5,8002 + √(5,8001)2 - 4(-3,8668)(25,667) = 2(-3,8668) -5,8002 + √(33,6423) + (396,3808) =
-7,7336
-5,8002 + 20,7369 = -7,7336 = - 1,931
48
Laporan Aplikasi Teknik
jadi, nilai x1 = - 1,931
sedangkan dari perhitungan matlab diperoleh :
x1 = -1,931 x2 = 1,7167 + 1,0913i x3 = 1,7167 - 1,0913i
dan perhitungan dari analitis diperoleh :
x1 = -1,931 x2 = 2,808 x3 = 0,6254
jadi analisa dari perhitungan dari matalab dan perhitungan analitis adalah sama.
49