Raunarskagrafikapredavanjadoc.dr. Samir Lemeslemes@mf.unze.ba

33. FraktaliEuklidska geometrijata je fraktal?OsobinePodjelaGenerisanjePrimjeri

Euklidska geometrija Krugovi Kvadrati Pravougaonici Trapezoidi Petouglovi estouglovi Osmouglovi Cilindri Trouglovi

Euklidska geometrijaMoe li se opisati priroda koritenjem Euklidske geometrije? Drvo pomou cilindara??Planine pomou trouglova??Oblaci krugovima??Lie??Stijene??

Euklidska geometrijaStandardni objekti (napravljeni ljudskom rukom) se mogu predstaviti Euklidskom geometrijomOpisani su jednainama (funkcijama)Tako se dobiju glatki, pravilni objekti: lopte, poligoni, B-spline povrinePrirodni objekti (oblaci, lie, stijene) se bolje modeliraju koritenjem fraktalne geometrije

ta je fraktal?Benoit Mandelbrot, 1982,oblaci nisu lopte, planine nisu konusi, obale nisu krugovi, balvani nisu glatki, niti munje putuju pravolinijski.Objekti se predstavljaju procedurama umjesto jednainamaPonavljanjem procedure fraktala dobiju se sve kompleksniji detalji

Definicije fraktalaMandelbrot:Fraktal je metriki prostor za koji je Hausdorff-Besicovitch dimenzija D vea od topoloke dimenzije DT

Karakteristika fraktala je neogranien proces ponavljanih transformacija invarijantne geometrijske forme.

Kako su otkriveni fraktali?Henri Poincar, francuski matematiar, 1887 teorija haosa.Lorenz je 1972. objavio lanak "Predictability: Does the Flap of a Butterflys Wings in Brazil set off a Tornado in Texas?" (Da li pokret krila leptira u Brazilu izaziva tornado u Teksasu)Senzitivna zavisnost od poetnih uslova

Kako su otkriveni fraktali?Gaston Julia, poetak XX vijeka: istraivanja iterativnih funkcija. Do 1960ih se nita nije razvijalo usljed nedostatka tehnologije. 1970ih je Mandelbrot upotrijebio raunare da kreira "Mandelbrot Set".

Kako su otkriveni fraktali?Zaposlenik IBMa, Benoit Mandelbrot bio je matematiar koji je ispitivao fluktuacije cijena pamuka. Bez obzira na nain analiziranja, podaci nikad nisu slijedili normalnu distribuciju.Kad je Mandelbrot dobio sve podatke o cijenama od 1900 i analizirao ih pomou IBM raunara, primijetio je da brojevi koji su izazivali odstupanja od normalne distribucije dovode do simetrije skaliranja.Sekvenca promjena je bila nezavisna od skale: krivulje za dnevne i za mjesene promjene cijena su se savreno poklapale. (James Gleick, Chaos - Making a New Science, pg. 86)

Osobine fraktalaU svakoj taki fraktala ima beskonano mnogo detaljaPostoji slinost izmeu dijelova objekata i objekta kao cjelineDimenzije nisu cijeli brojevi (1D, 2D, 3D)Nemaju odreenu veliinu ili skalu

Podjela fraktalaSamoslini fraktali (Self-similar)Dijelovi su umanjene verzije poetnog objektaDeterministiki "self-similar"Nisu stohastikiStatistiki "self-similar"Sadre odreen stepen sluajnostiAfini fraktali (Self-affine)Razliiti parametri skaliranja u razliitim smjerovima koordinataInvarijantni setovi fraktalaFormirani nelinearnim transformacijama

Samoslini fraktaliDijelovi su umanjene verzije cijelog objektaPolazi se od poetnog oblikaKreiraju se poddijelovi dupliranjem i skaliranjem poetnog oblikaZa razliite dijelove se mogu koristiti razliiti faktori skaliranjaPrimjer: von Koch pahuljicaMogu se uvesti i sluajne varijacijeTi fraktali su statistiki samosliniKoriste se za modeliranje drvea, lia,...

Von Koch pahuljica

Pone se sa inicijatorom:

I generatorom:

Kod svake iteracije, mijenja se svaki komad inicijatora generatoromDimenzija Von Koch fraktala: 1,261859507

Von Koch pahuljicaIteracija 0:

Von Koch pahuljicaIteracija 1:

Von Koch pahuljicaIteracija 2:

Von Koch pahuljicaIteracija 3:Helge von Koch, vedski matematiar 1870 - 1924

Statistiki samoslini fraktaliSamoslini fraktali kod kojih se vre sluajne varijacije na poddijelovima

Invarijantni setovi fraktalaFormiraju se nelinearnim transformacijama

Mandelbrot SetIteracija kompleksne funkcijeBoja take u prostoru se bira na osnovu brzine divergencije funkcije u toj takiU setu su i take koje ne divergirajuSet se obino poinje sa crnom bojom, a zatim se brzina divergencije boji bojama iz spektra

Mandelbrot SetBenot Mandelbrot, matematiarRoen 1924. u Poljskoj, kolovan u Francuskoj, ivi i radi u SAD

Zumiranje u Mandelbrot Set

Izraunavanje Mandelbrot setaZa svaki piksel na ekranu: { x = x0 // x koordinata piksela y = y0 // y koordinata piksela x2 = x*x y2 = y*y iteration = 0 maxiteration = 1000 while ( x2 + y2 < (2*2) AND iteration < maxiteration ) { y = 2*x*y + y0 x = x2 - y2 + x0 x2 = x*x y2 = y*y iteration = iteration + 1 } if ( iteration == maxiteration ) color = black else color = iteration }

Generisanje fraktalaFraktal se generie uzastopnim ponavljanjem odreene transformacijeTransformacija se moe primijeniti na set taaka, set primitiva (linije, krivulje, boje, itd.), li na bilo ta drugoTeoretski, procedura se primjenjuje beskonano mnogo putaPraktino se vri iteracija konaan broj puta, do odreene granice.

Fraktalne planineto se vie pribliimo, vidi se vie detalja

Fraktalne planinePoinje se od osnovnog oblika planineDijele se rubovi oblikaNepravilno izmijeati nove vrhoveRekurzivno ponavljanje2D za obale3D za planine

Fraktalne planine

Sierpinski trougao

Dimenzija fraktala 1,584962501

Fraktalne planetehttp://baddoggames.com/planet/gallery.htm

3-D Cantor Set

Sierpinski tepih

Menger spuva

Julia Set

Tinkerbell Attractor

Lorenz Attractor

Rossler Attractor

Wada Basin

Romanesco vrsta brokule

Praktina upotreba fraktalaRaunarski sistemi (Fraktalno arhiviranje, kompresija slike bez pikselacije)Mehanika fluidaModulacija turbulentnog tokaModulacija plamenih jezikaPorozni materijali imaju fraktalnu strukturuTelekomunikacije (antene fraktalnog oblika)Fizika povrina (za opisivanje zakrivljenosti)MedicinaInterakcija biosenzoraOtkucaji srcaBiologija (opis modela populacije)

********* . , , . : . , . , , ( jpeg gif). , , ( , ). , , , . . . , , . . , . . , , . . . , . *