Fraktali - konacno u beskonacnom

Fraktali - konacno u beskonacnom

dr Marko D. Petkovic

Prirodno-Matematicki fakultet, [email protected]/dexter

Nauk nije bauk, 2011

dr Marko D. Petkovic Fraktali - konacno u beskonacnom

Sadrzaj predavanja

1 Sta su to fraktali...


Sadrzaj predavanja


2 Samoslicni fraktaliKochova pahuljicaDimenzijaKvadrat SirjepinskogTrougao Sirjepinskog


Sadrzaj predavanja



3 Fraktalna dimenzijaBox-Counting dimenzijaHausdorfova dimenzija


Sadrzaj predavanja




4 Primeri fraktalaMandelbrotov skupZguzvani papirFraktali u prirodiFraktalne antene


Sta su to fraktali...Samoslicni fraktali

Fraktalna dimenzijaPrimeri fraktala

Sadrzaj predavanja








Sta su to fraktali...




Sta su to fraktali...

Rec fraktal potice od latinske reci fractus(izlomljen).

Benoit Mandelbrot - otac fraktalnegeometrije

Fractal roughness proves to beubiquitous in the works of nature andman. (Mandelbrot, Frame 2001)

Fraktali se od davnina koriste kaodekorativni elementi a od 1975 godineintenzivno proucavaju kao matematickadisciplina.

Mogu biti matematicki generisani ajavljaju se i u prirodi...




Kochova pahuljicaDimenzijaKvadrat SirjepinskogTrougao Sirjepinskog

Sadrzaj predavanja









Kochova pahuljica

Korak 0:L0 = 1





Kochova pahuljica

Korak 0:L0 = 1

Korak 1: L1 =4

3





Kochova pahuljica

Korak 0:L0 = 1

Korak 1: L1 =4

3

Korak 2: L2 =

(

4

3

)2





Kochova pahuljica

Korak n: Ln =

(

4

3

)n

n → +∞ ⇒ Ln → +∞

P∞ =

√3

4

[

1

9+

4

92+

42

93+ . . .

]

=

√3

9 · 41

1− 4

9

=

√3

20.

Ogranicena figura konacne povrsine ima beskonacni obim!!!

Primecujemo da kriva nema prekid (neprekidnost svuda) ali je u svakoj svojojtacki ”ostra” (diferencijabilnost nigde)!





Kochova pahuljica

Kada spojimo tri dela dobijamo:





Kochova pahuljica

Kada spojimo tri dela dobijamo:

... odnosno pahuljicu :).





Jednostavni samoslicni objekti

Neka je N broj objekata koji se dobijaju uvecavanjem osnovnog objekta kputa. U narednim primerima je k = 2.

1. Linija N = 2, D = logk N = 1

2. Trougao N = 4, D = logk N = 2

3. Kocka N = 8, D = logk N = 3





Jednostavni samoslicni objekti

Neka je N broj objekata koji se dobijaju uvecavanjem osnovnog objekta kputa. U narednim primerima je k = 2.

1. Linija N = 2, D = logk N = 1

2. Trougao N = 4, D = logk N = 2

3. Kocka N = 8, D = logk N = 3

Primetimo da broj D = logk N predstavlja dimenziju objekta.





Kohova pahuljica - samoslicnost

Primetimo da se svaka strana Kohove pahuljice sastoji od 4 dela od kojih jesvaki deo isti kao i cela strana:













Ako objekat povecamo k = 3 puta dobicemo N = 4 kopije istog objekta.

D = logk N = log3 4 ≈ 1.262.

Dobili smo objekat cija dimenzija D nije ceo broj, odnosno fraktal.

Koliko god zumirali Kohovu pahuljicu, uvek cemo videti sitne detalje - josjedno vazno svojstvo fraktala





Kvadrat Sirjepinskog

Pocinjemo sa crnim kvadratom 1× 1:

L0 = 4

P0 = 1






Onda isecemo centralni kvadrat

L1 = 4 + 4 · 13

P1 = 1− 1

32






Isti postupak primenimo na preostale kvadrate

L2 = 4 + 4 · 13+ 8 · 4 · 1

32

P2 = 1− 1

32− 8 · 1

34







L3 = 4 + 4 · 13+ 8 · 4 · 1

32+ 82 · 4 · 1

33

P3 = 1− 1

32− 8 · 1

34− 82 · 1

36







L∞ = 4 + 4 · 13+ 8 · 4 · 1

32+ 82 · 4 · 1

33+ . . . = +∞

P∞ = 1− 1

32− 8 · 1

34− 82 · 1

36+ . . . = 0

Dobili smo ogranicenu figuru beskonacnog obima a nulte povrsine!!!





Kvadrat Sirjepinskog - dimenzija

Primetimo da ako kvadrat uvecamo k = 3 puta dobijamo N = 8 novihkvadrata. Prema tome, dimenzija je D = logk N = log3 8 ≈ 1.893.





Mengerov sundjer

Na slican nacin dobija se ”3D” varijanta kvadrata Sirjepinskog: Mengerovsundjer.

Sada za k = 3 dobijamo N = 20 odnosno D = log3 20 = 2.727.





Trougao Sirjepinskog




































Dimenzija: D = log2 3 ≈ 1.585!!





Tetraedar Sirjepinskog

Dimenzija: log2 4 = 2!!





Petnicka piramida

Pomocu slamcica i kanapa...

Ukupno slamcica: 6144

Ukupno kanapa: 2.46km

Osmeh na licimapetnicara:NEPROCENJIVO! :)




Box-Counting dimenzijaHausdorfova dimenzija

Sadrzaj predavanja









A sad malo ozbiljnije matematike (Box-Counting dimenzija)

Definisali smo dimenziju samoslicnih objekata pomocu D = logk N . Sadacemo ovu definiciju uopstiti na proizvoljan skup X.

Box-Counting dimenzija.

Minimalan broj kocki stranice δ (dovoljno malo) koje pokrivaju

duz: Nδ ≈ duzina

δ, povrs: Nδ ≈ povrsina

δ2, telo: Nδ ≈ zapremina

δ3





Neka je X skup i Nδ(X) minimalan broj kocki stranice δ koje pokrivaju X.

Intuitivno vazi

Nδ(X) ∼ 1

δd, d ∼ − logNδ(X)

log δ,






Intuitivno vazi

Nδ(X) ∼ 1


log δ,

pa mozemo definisati Box-counting dimenziju na sledeci nacin:

d = dimB(X) = − limδ→0+

logNδ(X)

log δ






Intuitivno vazi

Nδ(X) ∼ 1


log δ,

pa mozemo definisati Box-counting dimenziju na sledeci nacin:

d = dimB(X) = − limδ→0+

logNδ(X)

log δ

Za Kohovu pahuljicu:

Nδ/3(X) ∼ 4Nδ(X) ⇒(

δ

3

)

−d

∼ 4δ−d ⇒ d = log3 4

Za ostale samoslicne fraktale vazi

Nδ/k(X) ∼ N ·Nδ(X) ⇒ d = logk N





Hausdorfova dimenzija

Normalizovana d-dimenzionalna zapremina:

Hdδ(X) = inf

{

∑

i

rdi | skup X moze se prekriti loptama radiusa ri < δ

}

Hd(X) = limδ→0+

Hdδ(X)

Ako je L duz, S povrs a T telo, i ako su l, s i v redom duzina, povrsina izapremina, onda je

Hd(L) =

+∞, d < 1

l, d = 1

0, d > 1

, Hd(S) =

+∞, d < 2

s/π, d = 2

0, d > 2

Hd(T ) =

+∞, d < 3

3v/(4π), d = 3

0, d > 3





Hausdorfova dimenzija

Normalizovana d-dimenzionalna zapremina:

Hdδ(X) = inf

{

∑

i

rdi | skup X moze se prekriti loptama radiusa ri < δ

}

Hd(X) = limδ→0+

Hdδ(X)

Ako je L duz, S povrs a T telo, i ako su l, s i v redom duzina, povrsina izapremina, onda je

Hd(L) =

+∞, d < 1

l, d = 1

0, d > 1

, Hd(S) =

+∞, d < 2

s/π, d = 2

0, d > 2

Hd(T ) =

+∞, d < 3

3v/(4π), d = 3

0, d > 3

Dakle, dimenziju mozemo definisati na sledeci nacin

D = dimH(X) := inf{

d ≥ 0 | Hd(X) = 0}

Ovako definisana fraktalna dimenzija naziva se Hausdorfova dimenzija.




Mandelbrotov skupZguzvani papirFraktali u prirodiFraktalne antene

Sadrzaj predavanja









Mandelbrotov skup

Kompleksni brojevi: z = a+ ib,i2 = −1, C = {a+ ib | a, b ∈ R}.

Neka je

zn+1 = z2n + c

gde je c ∈ C i z0 = 0.

Ukoliko postoji konstanta M takva da je |zn| < M (niz zn je ogranicen) zasvako n = 1, 2, . . ., onda tacku c bojimo u crno. Ovo su tacke Mandelbrotovogskupa.

Moze se pokazati da je dovoljno uzeti M = 2.

Ako zn nije ograniceno, onda boju tacke c ∈ C odredjuje

n0 = min{n ∈ N | |zn| > 2}.





Mandelbrotov skup

Na prvi pogled, slika bi trebala da izgleda jednostavno. Ispostavlja se da nijetako:





Mandelbrotov skup - osobine

Konacna povrsina (nalazi se unutar krugaradiusa 2).

Beskonacni obim.

Granica skupa je fraktal (Hausdorfove)dimenzije d = 2.

Fini detalji koliko god da zumiramo.

Samoslicnost je primetna, ali nijeegzaktna. Delovi ’lice’ jedan na drugog.





Putovanje u srediste Mandelbrotovog skupa





Zguzvani papir

Pretpostavka: M = c · pd, gde je M masa papira a p precnik zguzvanogpapira. Sledi logM = log c+ d log p.





Zguzvani papir

Pretpostavka: M = c · pd, gde je M masa papira a p precnik zguzvanogpapira. Sledi logM = log c+ d log p.

M p [cm]8 8.54 7.52 5.21 3.75

0.5 3.10.25 2.5

0.125 1.851 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.1

1

10

Mas

a (n

orm

aliz

ovan

a)

p [cm]

y = a + b*xVrednost Gre ka

a -1.60157 0.07498b 2.63726 0.11564

d ≈ 2.63





Fraktali u prirodi

PapratBakterija Grom





Fraktali u prirodi

Obala Britanije Obala Norveske





Fraktalne antene

Fraktalne antene daju mnogo siri frekventni opseg od konvencionalnih antenaistih dimenzija.

Pogodne su za primenu u mobilnim telefonima.





Softver i literatura

Knjige i radovi:

KENNETH FALCONER, Fractal geometry - mathematical foundations andapplications, Wiley, UK, 2003.

ARTHUR C. CLARKE, BENOIT MANDELBROT, DAVID PENNOCK, GARY

FLAKE, IAN STEWART, MICHAEL BARNSLEY, NIGEL LESMOIR-GORDON,WILL ROOD, The Colours of Infinity: The Beauty and Power of Fractals,Springer, 2010.

BENOIT MANDELBROT, How Long Is the Coast of Britain? StatisticalSelf-Similarity and Fractional Dimension, Science, New Series, Vol. 156,No. 3775 (May 5, 1967), 636–638.

T. GREGORY DEWEY, Fractals in modern biophysics, Oxford UniversityPress, 1997

Koriscen softver:

Wolfram Mathematica ver. 8.0 (www.wolfram.com)

LATEX beamer (latex-beamer.sourceforge.net)





Hvala na paznji!


Documents

Fraktali - konacno u beskonacnom