1

Rönk kiemelése a vízből

Az interneten találtuk az [ 1 ] művet, benne az alábbi feladatot – 1. ábra.

1. ábra – forrása: [ 1 ]

A feladat

Egy daru kötél segítségével lassan emeli ki a vízből a benne úszó gerendát / rönköt.

A kötelet a gerenda egyik végéhez erősítették. A gerendát állandó sűrűségű vékony hen -

gernek tekinthetjük. A gerenda tömege m, hossza L. A víz és a faanyag sűrűségének

viszonya: γ = 4 / 3 . A szabadesés gyorsulásának nagysága: g.

1.) Mekkora minimális A munkát kell elvégeznie a darunak, hogy a gerendát teljesen

kiemelje a vízből?

2.) Építse fel azt a grafikont, amely a gerenda végén működő T kötélerő - nagyságot

ábrázolja a h víz fölé emelési magasság függvényében!

3.) Mekkora AΔh munkát végez a daru a gerenda egyik ferde helyzetéből a másikba való

emelése során, amikor a felső végét Δh = L / 5 magasba emelték?

A megoldás

A nem részletezett megoldás végeredményeit az 1. ábrán láthatjuk. A cél ezek elérése.

Először meghatározzuk a hengeres fa kiemelés előtti nyugalmi helyzetét a vízben.

Ehhez tekintsük a 2. ábrát is!

2

2. ábra

Itt a nyugalomban úszó D átmérőjű hengert látjuk a vízbe merülve, a reá ható G súlyerő és

az F felhajtóerő hatására. Ezen erők nagysága:

( 1 )

itt A a fagerenda teljes keresztmetszeti területe. Majd

( 2 )

ahol Avíz a vízbe merült keresztmetszeti terület.

Egyensúly esetén:

( 3 )

így ( 1 ), ( 2 ) és ( 3 ) - mal:

( 4 )

minthogy a feladat kiírása szerint

( 5 )

ezért ( 4 ) és ( 5 ) szerint:

( 6 )

Most részletesebben is megvizsgáljuk a bemerülési viszonyokat úszásnál.

Ehhez tekintsük a 3. ábrát is!

Innen leolvasható, hogy a megfelelő síkidomok területeivel:

( 7 )

Részletezve:

3

3. ábra

( 8 )

majd

tehát:

( 9 )

ezután ( 7 ), ( 8 ), ( 9 ) - cel:

tehát:

( 10 )

Mivel ( 10 ) - zel is:

azaz

( 11 )

így ( 6 ) és ( 11 ) - gyel:

( 12 )

4

A ( 12 ) egyenlet grafikus megoldása – 4. ábra – :

4. ábra

( 13 )

A 3. ábrán megjelölt adatok, ( 13 ) - mal is:

( 14 )

( 15 )

( 16 )

Ezzel az úszási nyugalmi helyzethez tartozó adatokat meghatároztuk.

⁂ ⁂ ⁂

5

A következő részfeladat – a ténylegesen kiírt feladat! – az emelési helyzetek vizsgálata.

Ehhez tekintsük az 5. ábrát is!

5. ábra

Itt már figyelembe vettük azt a körülményt, hogy a feladat kiírása szerint a rúd „vékony”,

vagyis hogy

( 17 )

Az 5. ábra azt mutatja, hogy a gerenda vízből való kiemelése 2 szakaszra bontható:

1. szakasz: a gerenda jobb oldali végének emelésekor a gerenda az S súlypontján átmenő,

a rajz síkjára merőleges tengely körül forog, vagyis az alsó fele végig vízben van, a

függőleges helyzet eléréséig;

2. szakasz: amint a gerenda elérte a függőleges helyzetet, úgy S súlypontja függőlegesen

emelkedni kezd, amíg a gerenda alsó vége is ki nem jön a vízből. Eddig tart a kiemelés.

1. szakasz: lásd az 5. ábra bal oldali részét!

A feladat kiírása szerint a kiemelés lassú, így azt kvázistatikus folyamatnak tekinthetjük.

A felhajtóerő nagysága:

( 18 )

a függőleges vetületi egyensúlyi egyenlet:

( 19 )

6

most ( 1 ), ( 5 ), ( 18 ) és ( 19 ) - cel:

tehát:

( 20 )

Eszerint az 1. szakasz folyamán a kötélerő nagysága állandó és egyenlő a gerenda súlyá -

nak egyharmadával.

2. szakasz: lásd az 5. ábra jobb oldali részét!

Minthogy a ( 20 ) képlet a φ hajlásszögtől független, így φ = 90° - ra is igaz, amikor

T2 = T2,0 , amint arról közvetlen számítással is meggyőződhetünk.

A kiemelés folytatása során a T2 húzóerő - nagyság egy függőleges vetületi egyenlettel:

( 21 )

majd

tehát:

( 22 )

Most ( 21 ) és ( 22 ) - vel:

azaz

( 23 )

A ( 20 ) és ( 23 ) eredmények megfelelnek az 1. ábra grafikonjának.

Hátra van még a munkavégzésre vonatkozó kérdések megválaszolása.

1. kérdés: Mekkora minimális W munkát kell elvégeznie a darunak, hogy a gerendát tel -

jesen kiemelje a vízből?

7

Az elvégzendő munka egyenlő az 1. ábra grafikonjának „görbe” alatti területével:

tehát:

( 24 )

2. kérdés: Mekkora WΔh munkát végez a daru a gerenda egyik ferde helyzetéből a másikba

való emelése során, amikor a felső végét Δh = L / 5 magasba emelték?

Ekkor az emelőerő T1 = állandó, így ( 20 ) - szal is:

tehát:

. ( 25 )

A ( 24 ) és ( 25 ) eredmények is megegyeznek az 1. ábrán megadottakkal. ☺

Megjegyzések:

M1. A feladat megoldása során többször is alkalmaztuk Archimedes törvényét – [ 2 ].

M2. Az első feladatrészt azért is vettük ide, hogy érzékeltessük, miszerint a vékonyságra

nem alapozhatunk akármikor.

M3. Itt nem vettük figyelembe, hogy a fagerenda a vízben megszívja magát.

M4. Az 5. ábrán az F1 felhajtóerő hatásvonalának helyzetét egy nyomatéki egyensúlyi

egyenlettel kaphatjuk meg. Számítás nélkül – egy gondolatkísérlettel – is belátható, hogy

„a felhajtóerő támadáspontja a test által kiszorított folyadék súlypontja” – [ 2 ].

M5. Itt a munka jelölését A - ról W - re változtattuk, mert mi A - val a rúd keresztmet -

szeti területét jelöljük.

M6. A megoldás két döntő mozzanata:

~ a „vékonyság” kihasználása,

~ a rúd mozgásának két önálló szakaszra bontása.

M7. Azt a körülményt, hogy a rúd az 1. és a 2. szakasz szerint végzi mozgását,

kísérleti / tapasztalati ténynek is tekinthetjük.

8

M8. Az 1. ábra jobb oldali részén látható megoldás - grafikon egy töröttvonal.

Valószínű, hogy a valóságban egy az origóból induló, szakadás és törésmentes függvény

írja le a vizsgált jelenséget. Az 1. ábra idealizált grafikonja az egyszerűsített fizikai modell

viselkedését jeleníti meg grafikusan. Egy a valósághoz közelebb álló fizikai modell vizs -

gálata – amire egy igazi, a címben is szereplő rönk esetén lehetne szükség – valószínűleg

lényegesen nagyobb fizikai és matematikai bonyodalmakat okozna. Emlékezzünk itt csak

arra, hogy már a bevezető feladatrész ( 12 ) kulcs - egyenlete is grafikus megoldást igé -

nyelt. Minthogy itt egy versenyfeladatról van szó, a feladónak számolnia kellett a rendel -

kezésre álló idővel és segédeszközökkel is. Ezért is lényeges például a rúd vékonyságának

kihangsúlyozása: a gyakorlott feladatmegoldó érti az utalást.

M9. Nekünk, nem - versenyző feladatmegoldóknak lényegesen könnyebb dolgunk van,

mint a versenyző diákoknak. Nincs időkényszer, nincs stressz, akkor foglalkozunk a

feladattal, amikor kedvünk úgy tartja, stb. Nem elhanyagolható könnyebbség számunkra,

hogy ismerjük a megoldást, így tudjuk, hogy mit kell kihoznunk, már ha jó a megoldás.

A fenti feladatban az 1. ábra megoldás - grafikonja adott komoly segítséget annak tisztá -

zásában, hogy milyen mélységű modell - választásra, pontosságra, stb. gondolt a feladat

készítője.

M10. Ez egy igencsak érdekes és tanulságos feladat. Érdemes elmerengeni rajta!

Források:

[ 1 ] – Szerk. A. I. Csernoucan: Zadacsnyik „Kvanta”, Fizika, Csaszty 3

Prilozsenyije k zsurnalu „Kvant” No. 1 / 2012

Bibliotyecska „Kvant”, Vüpuszk 123., Moszkva, MCNMO, 2012.

[ 2 ] – Budó Ágoston: Kísérleti fizika I.

6. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1975.

Összeállította: Galgóczi Gyula

mérnöktanár

Sződliget, 2018. 09. 22.