MATE 114Cálculo Vectorial

Semana Nº 8 (MAGISTRAL)Martes 23-09-2003

Prof. José Ricardo ARTEAGA B.

Recorderis

• Campo escalar (Gráfico = superficie)

• Campo vectorial (Gráfico = flechas)

Recorderis: El gradiente

• El gradiente es un Campo Vectorial

• Se halla a Campos escalares

yxf

yxyxf

Df

,22

),(

:22

2

Recorderis: Líneas de flujo

x

cy

cxy

x

dx

y

dy

x

y

dx

dy

F

F

dx

dytt

FFyx

)ln()ln()ln(

)´())((

,,

1

2

21

ccF

F

Rotacional• Qué es?. Un campo vectorial• A quién se halla?. A campos vectoriales

tridimensionales.• No se puede hallar a campos bidimensionales?. Si,

considerándo su tercera componente cero.• es ortogonal a F?. No necesariamente.

33: DF

33: DF

F

Significado del Rotacional

• Si F representa el flujo de un fluido, entonces el rotacional, en un punto, es el doble del vector velocidad angular de un cuerpo rígido que gira como el fluido cerca de ese punto.

• Si el rot(F)=0 en un punto significa que el fluido no tiene rotaciones en ese punto, es decir no tiene remolinos. Una rueda con aspas rígidas en el fluido se moverá con el fluido pero no girará alrededor de su eje.

• Si rot(F)=0 para todo punto del dominio, el campo se llama irrotacional.

Definición del Rotacional

321

kji

F F

FFFzyx

rot

),,(),,(F ,:F 32133 FFFzyxD

Divergencia• Qué es?. Un campo escalar.• A quién se halla?. A campos vectoriales en general.• Dónde existe?. En el espacio tridimensional.• Si significa que la divergencia es

perpendicular a F?. No Pregunta sin sentido.

nD:F

3,2 ,: nD nnF

0F

Significado de la Divergencia

• Si F representa el flujo de un fluido, entonces la divergencia , representa la tasa de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido.

• Si el div(F)<0 se está comprimiendo.• Si el div(F)>0 se está expandiendo.• Si el div(F)=0 es incompresible.• Conforme el fluido se mueve el volumen

(área) de control se comprime, expande o queda igual.

• Si div(F)=0 para todo punto del dominio el campo se llama incompresible.

Definición de la Divergencia

dz

F

dy

F

dx

Fdiv 321F F

),,(),,(F ,:F 32133 FFFzyxD

Ejemplo

22: DF

1F

0,0,0F

x,0i),(F

xyx

Usando Maple

• Campos Escalares (Experimento)• Campos Vectoriales• Gradiente, Rotacional y Divergencia