Routenplanung querfeldein - Geometric Route Planning Mareike Otte

Routenplanung querfeldein-

Geometric Route Planning

Mareike Otte

03.07.2003 Mareike Otte 2

Motivation

Fußgänger bewegen sich anders als Autos

nicht über Graphen sondern über Flächen

Wie können Hindernisse bzw. Freiflächen dargestellt werden?


Lösung

• Repräsentation der Geometrie durch Polygone

• keine Beschränkung auf Kanten, exakte Trajektorie wird bestimmt

• Damit geeignet für – Fußgängernavigation– Schifffahrt


Karte der kürzesten Wege

Shortest path map (SPM)

Aufspaltung des freien Raumes in Regionen, entsprechend der verbindenden Struktur von kürzesten Wegen zwischen einem Punkt s, zu einem beliebigen Punkt in der Region


Zellzerlegung

• Zerlegung der Karte in Polygone mit Löchern (nicht begehbar)

• Bestimmung ihrer Minima und Maxima

• Einfügen von horizontalen Kanten

• Nummerierung der neu entstandenen Kacheln

12 3

4

5

67

89

10

Berechnungszeit: O (n)


Erstellen eines Verbindungsgraphen

• Kacheln sind durch Knoten repräsentiert• Kanten sind Verbindung von

aneinandergrenzenden Kacheln• Eine Kachel hat mind. eine Kante• Berechnungszeit: O (n)• Auffinden von Punkten: O (n log n)


Erstellen eines Verbindungsgraphen

1

2 3

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5

6

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910

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Funnel (trichtern)

• Auffinden von konvexen Punkten• Auf der linken Seite werden die konvexen Punkte

des linken Polygons genutzt, auf der rechten Seite die des rechten

• Quellpunkt liegt immer auf dem kürzesten Weg• Die Verbindungsketten bewegen sich voneinander

weg• Der Winkel zwischen den Ketten ist minimal


Funnel (trichtern)

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I

II


Funnel (trichtern)

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Funnel (trichtern)

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Funnel (trichtern)

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II


Funnel (trichtern)

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II


Berechnungszeit in einem komplexen Polygon

• Zellzerlegung: O (n)• Verbindungsgraph: O (n)• Auffinden von Punkten: O (n log n)• Trichterverfahren: O (n²)

Gesamtberechnungszeit: O (n²) + O ( n log n)...• Geometrisches Verfahren also sehr

zeitaufwendig


Alternative


Continuous Dijkstra Method

• die Karte der kürzesten Wege (SPM) wird direkt konstruiert

• der Zeitaufwand ist linear• ist sowohl anwendbar auf die euklidische

Metrik (sog. geod. Distanz ), wie auf die L1 Metrik


Aufbau

• Wellenbewegung vom Quellpunkt s aus• die Wellenfront ist Menge aller Punkte der

Polygone im Abstand zu s• Wellenfront ändert sich, je nach Eigenschaft

der Wavelets• Wavelets sind Kreisbögen, die durch schon

beim Durchlaufen erreichte Punkte gehen


Eigenschaften der Wavelets

• Wavelets können:– völlig verschwinden – an ein Hindernis grenzen (Knoten)– an ein Hindernis grenzen (Kante)– mit einem anderen Wavelet zusammenprallen


Continuous Dijkstra Method mit der L1 Metrik

• Ausgangspunkt: Quellpunkt s• Wellenfront ist stückweise linear• Wavelets sind Geraden mit der Steigung 1• Wellenfront steht immer rechtwinklig zu

den Wavelets


Berechnungszeit

• Berechnungszeit: O (n log n) im Gegensatz zum „normalen“ Dijkstra-Algorithmus: O (e + n log n)


Offene Probleme

Wie kann man mit einer Metrik-Kosten-Funktion, die auch die euklidische Länge mit berücksichtigt, in einer Karte (bestehend aus Polygonen mit Löchern) die Anzahl von Stopps z.B. in einem Hafen, bzw. die Wahrscheinlichkeit dieser Anzahl berechnen?

Travelling Salesman Problem


Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!

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