UKURAN SIMPANGAN

Ukuran simpangan yaitu suatu ukuran yang menunjukkan tinggi rendahnya perbedaan data yang diperoleh. Ada beberapa ukuran simpangan, yakni: range, rentang antar kuartil, simpangan kuartil, rerata simpangan, varian, dan simpangan baku. 1. Rentangan, Rentang Antar Kuartil dan Simpangan Kuartil

a. Rentangan (Range) Rentangan (Range) adalah data tertinggi dikurangi data terkecil, dengan rumus: R = data tertinggi data terkecil

b. Rentang antar Kuartil (RAK) Rentang antar kuartil adalah selisih antara kuartil ke-3 dengan kuartil ke-1. RAK = Q3 Q1

c. Simpangan Kuartil (SK) Simpangan kuartil adalah setengah dari RAK. SK = RAK = (Q3 Q1)

2. Varian

Varian adalah kuadrat dari standar deviasi (simpangan baku). Simbol varians untuk populasi: 2 . Sedangkan untuk simbol varians untuk sampel: s2. a. Rumus varian untuk data tunggal

i. Untuk data sampel:

( )2

22

2

1nnX

Xs

=

atau

( )2

222

1)n.(nXXn.

s

= atau ( )1nXX

s2

i2

=

ii. Untuk data populasi:

( )2

22

2

NNX

X

=

atau

( )2

222

NXXN.

= atau ( )

NX 2i2 =

b. Rumus varian untuk data berkelompok (frekuensi)

i. Untuk data Sampel

( ) ( )2

i

i

2ii2

ii2

1ff.Xf

.Xfs

=

atau

( )( )

=

1fXXf

si

2ii2

ii. Untuk data Populasi

( ) ( )2

i

i

2ii2

ii2

ff.Xf

.Xf

=

atau ( )( )

=

i

2ii2

fXf

3. Simpangan Baku (Standar Deviasi)

Standar deviasi adalah suatu nilai yang menunjukkan tingkat atau derajat variasi kelompok data atau ukuran standar penyimpangan dari mean atau reratanya. a. Standar Deviasi untuk Data Tunggal

i. Untuk data sampel:

( )

=

1nnX

Xs

2

i2i

atau ( )

1nXX

s2

i

=

ii. Untuk data populasi:

( )

=

N

NX

X

2

i2i

atau ( )N

X 2i =

b. Standar Deviasi untuk data berkelompok (frekuensi)

i. Untuk data Sampel

( ) ( )( )( )

=

1ff.Xf

.Xfs

i

i

2ii2

ii

atau ( )

( )

=

1fXXf

si

2ii

ii. Untuk data Populasi

( )( )

( )

=

i

i

2ii2

ii

ff.Xf

.Xf atau

( )( )

=

i

2ii

fXf

1

Contoh 1 (Rentangan, Rentang antar Kuartil, Simpangan Kuartil)

Diketahui data:

40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100

Ditanya: R, RAK, dan SK.

Jawab: Diurutkan: 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 80, 85, 95, 100 R = data terbesar data terkecil = 100 30 = 50 RAK = Q3 Q1 Q3 = 82,5 ; Q1 = 42,5 RAK = 82,5 42,5 = 40 SK = RAK = (40) = 20

Contoh 2 (varian dan standar deviasi untuk data tunggal): a. Data Tunggal (sampel)

Diperoleh data sampel hasil pengukuran lingkar pinggang 8 orang anak sebagai berikut: 25, 30, 12, 25, 30, 17, 23, 27. Hitung varians dan standar deviasinya.

Jawab:

X X2 25 625 30 900 12 144 15 225 30 900 17 289 23 729 27 729

179 4341

Varians: n = 8

4341

1792 =

=

X

X

( ) ( )98,47

7875,335

188

1794341

1nnX

Xs

2

22

22

2

2 =

=

=

=

Standar Deviasi:

93,698,47ss 2 === b. Data Tunggal (Populasi)

Diperoleh data populasi sebagai berikut: 75, 70, 80, 85, 60, 75, 100, 90, 95, 75. Hitung standar deviasinya.

Jawab:

X X2 75 5625 70 4900 80 6400 85 7225 60 3600 75 5625

100 10000 90 8100 95 9025 75 5625

805 66125

2

Standar Deviasi: N = 10

66125

8052 =

=

X

X

( ) ( )5,11

105,1322

1010

80566125

NNX

X22

2

=

=

=

=

Contoh 3 (varian dan standar deviasi untuk data berkelompok)

Data Berkelompok (sampel) Sampel berat 30 orang siswa disajikan dalam tabel distribusi frekuensi. Hitung varians dan standar deviasinya.

Berat Frekuensi 47 - 49 3 50 - 52 6 53 - 55 9 56 - 58 7 59 - 61 5

Jawab: Berat Fi Xi fi.Xi Xi^2 fi.Xi^2

47 - 49 3 48 144 2304 6912 50 - 52 6 51 306 2601 15606 53 - 55 9 54 486 2916 26244 56 - 58 7 57 399 3249 22743 59 - 61 5 60 300 3600 18000

30 1635 89505 Varians:

( ) ( )

( )

7069,13

295,8910789505

13030

163589505

1ff.Xf

.Xf

2

22

2

i

i

2ii2

ii2

=

=

=

=

s

Standar deviasi:

70,37069,132 === ss