Rutas de Aprendizaje Matematicas

7/25/2019 Rutas de Aprendizaje Matematicas

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1TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRS.

Hacer uso efectivo de saberesmatemticos para afrontar desafos

diversos

Un aprendizaje fundamental

En la escuela que queremos5 aos de Inicial, primer y segundo grado de Primaria

HOY EL PER TIENE UN COMPROMISO: MEJORAR LOS APRENDIZAJES

TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRS

Fascculogeneral

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MOVILIZACIN NACIONAL POR LA MEJORA DE LOS APRENDIZAJES


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MOVILIZACIN NACIONAL POR LA MEJORA DE LOS APRENDIZAJES2

Crditos:Equipo de trabajo (faltan incor-

porar nombres)Holger Saavedra SalasDiagramacin e ilustracin:Correccin de estilo:


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ndice

INTRODUCCIN

I. Buscando las piezas de un complicado pero deseado rompe-cabezas: aprender a aprender matemtica

1.1 Aprender a aprender matemtica1.2 Necesidad de plantearnos un modelo formativo

II. Armando las piezas del rompecabezas: enfoque del aprendi-zaje matemtico

2.1 Historia de la mano y la cabeza: resolucin de problemas como prcticasocial

2.2 La resolucin de problemas como prctica pedaggica en la escuela2.3 El enfoque problmico o centrado en la resolucin de problemas2.4 Cmo aprender matemtica resolviendo situaciones problemticas?

III. Visualizando el rompecabezas: competencias, capacidades ydominios

3.1 Competencia matemtica3.2 Formulacin de la competencia matemtica3.3 Resolucin de situaciones problemticas como competencia matemtica3.4 Capacidades matemticas3.5 Dominios matemticos

BIBLIOGRAFA


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1. Introduccin

Dentro de los planteamientos del Proyecto Educativo Nacional, nuestro pas requiere de una institu-cin educativa que asegure una educacin bsica de calidad, en la que todos los jvenes desarro-

llen aprendizajes fundamentales que les permita continuar sus aprendizajes con un alto grado de

independencia en diversos contextos.

De igual manera, en el marco de la poltica educativa que viene implementando el Ministerio de

Educacin, se tiene como prioridad la mejora de los aprendizajes fundamentales del rea de Ma-

temtica. En este escenario es una necesidad ampliar y consolidar el desarrollo de competencias

y capacidades matemticas que son reconocidas en todos los sistemas educativos del mundo, ya

que se les considera como la base y el fundamento del desarrollo de la sociedad en el siglo XXI.

Por otro lado, la educacin matemtica, dentro de la dinmica general del desarrollo de nuestra

sociedad, se va presentando como una actividad humana que implica cada da nuevos retos y

oportunidades. Nuestra poca se caracteriza por los nuevos enfoques y paradigmas que se estn

dando en todas las formas de aprender y desarrollar las matemticas. Debido a esto la Educacin

matemtica se est enfrentando a situaciones inevitables, originadas por los cambios vertiginosos y

constantes de concepcin y de mentalidad derivados a su vez de los avances cientficos y tecnol-

gicos que se dan a pasos agigantados.

Todo esto est propiciando a que nuestra sociedad se oriente a ser ms dinmica y competitiva,demandando de nuestras nuevas generaciones mejor preparacin para afrontar retos personales,

sociales y de grupo como pas. En ese sentido, nuestro nacin debe transitar a un mayor acceso,


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manejo y aplicacin de conocimientos, en el que la educacin matemtica se convierte en un valio-so motor de su desarrollo econmico, cientfico, tecnolgico y social. Esto implica reconocer, en el

contexto de la sociedad del conocimiento, a todos los ciudadanos con un rol activo, crtico, creativo

y emprendedor que hagan uso de sus capacidades de forma pertinente a los contextos en que se

encuentran (UNESCO, 2005).

Por las consideraciones sealadas, la educacin matemtica peruana, en el presente y en el futuro

inmediato, requiere centrar sus esfuerzos en promover el desarrollo de competencias y capacida-

des para aprender a aprender matemtica y as puedan ir avanzando e integrndose al ritmo con

el que caminan las otras dimensiones de la vida social.

El presente documento contiene tres captulos. En el primer captulo, se presentan algunas aproxi-

maciones tericas relacionadas con el aprendizaje y el aprender a aprender matemticas.

En el segundo captulo, se aborda el Enfoque Problmico, basado en el uso funcional para el cum-

plimiento del rol social de la matemtica como Propuesta Pedaggica del rea. Esta propuesta

coloca en la competencia matemtica: resolucin de situaciones problemticas, la esperanza de

dar un primer paso para desplegar plenamente las capacidades y potencialidades en nuestros

estudiantes.

Finalmente, en el tercer y ltimo captulo se presentan las competencias y capacidades matemticas

que desarrollarn los estudiantes a lo largo de su educacin bsica.


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I. Buscando las piezas de un complicado pero

deseado rompecabezas: aprender a aprendermatemtica

La matemtica siempre ha desempeado un rol fundamental en el desarrollo de los conocimientos

cientficos y tecnolgicos. En ese sentido, reconocemos su funcin instrumental y social que nos ha

permitido interpretar, comprender y dar soluciones a los problemas de nuestro entorno.

En efecto, todos los seres humanos, desde que nacemos hasta que morimos, usamos algn tipo de

aprendizaje matemtico. Nacemos sin saber matemticas, pero el mundo est lleno de experiencias

que pueden convertirse en aprendizajes matemticos utilizables en diversas circunstancias. As, el

nio que cuenta los dedos de su mano por primera vez, sabr que en cada mano tiene cinco. Esto no

lo exime de cometer errores al contar una y otra vez sus dedos, sin embargo ayuda a aprender.

Adems de las experiencias cotidianas que ayudan a aprender matemticas, contamos con institucio-

nes educativas, en donde se accede a una educacin matemtica formal. Se aprende a comprender

y producir textos matemticos, a razonar matemticamente, a resolver problemas matemticos, etc.

En algunos casos al terminar la educacin bsica, se contina con el aprendizaje de la matemtica en

la educacin superior. El aprendizaje de la matemtica es interminable, por lo que muchos eruditos,

haciendo honor a la tradicin socrtica, declararon que mientras ms se aprende matemticas, ms

falta por aprender.El problema es cuando la matemtica que aprendemos resulta poco significativa, poco aplicable a la

vida, o simplemente aburrida, tanto que al dejar el colegio olvidamos lo que aprendimos y no segui-

mos aprendindola por nuestra cuenta. Si bien hay quienes aprenden la matemtica por s mismos,

la mayora no lo hace. Necesitamos algn tipo de acompaamiento para aprender matemtica y

reflexionar sobre nuestro aprendizaje. Es en la educacin matemtica formal donde se puede ofrecer

una intervencin pedaggica que nos posibilite tal desarrollo.

Esta tarea requiere esfuerzos, de los maestros, estimulando a pensar a nuestros estudiantes, de au-

toridades educativas comprometidas con el mejoramiento continuo de la educacin matemtica, de

instituciones educativas que provean ambientes, recursos y materiales de altsima calidad para esti-mular el aprendizaje de la matemtica, etc. Tambin de una sociedad educadora comprometida, que

nos rete a ser personas ms propositivas y activas, no dependientes ni pasivas; que demande usar

la propia cabeza para resolver desde problemas cotidianos hasta problemas de gran trascendencia.


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1.1 APRENDER A APRENDER MATEMTICAS

Cmo tener estudiantes motivados a aprender matemticas y mucho ms, a aprender a aprender

matemticas por s mismos? Requerimos ambientes educativos que brinden confianza y tranquilidad

y donde reine el respeto mutuo, la tolerancia y la libertad. Donde se puedan generar dinmicas deaprendizajes significativos y de reflexin crtica con el fin de que se propicie el aprender y el aprender

a aprender matemticas de manera fcil y profunda para utilizar los conocimientos matemticos en

diversas situaciones, no slo en el mbito escolar sino tambin fuera de l.

El aprender a aprender matemticas implica aprender a ser perseverante y autnomo en la organi-

zacin de nuestros aprendizajes, conllevando a un nivel de control estratgico que reconozca expe-

riencias, conocimientos previos, valores e implicancias de diversas ndoles, haciendo que nuestros

estudiantes sean eficaces en la construccin de sus conocimientos y la toma de decisiones. En la

escuela la promocin de la competencia matemtica se suscita entorno a las capacidades de mate-

matizar, elaborar y seleccionar estrategias, a representar matemticamente situaciones reales, a usar

expresiones simblicas, a comunicar y argumentar, a explorar, probar y experimentar.

Si los estudiantes adquieren estas capacidades y las usan en su vida, adquirirn mayor seguridad y

darn mayor y mejor sentido a su aprendizaje matemtico. La matemtica cobra mayor significado y

se aprende mejor cuando se aplica directamente a situaciones de la vida real. Nuestros estudiantes

sentirn mayor xito cuando pueden relacionar cualquier aprendizaje matemtico nuevo con algo

que saben y con la realidad cotidiana. Esa es una matemtica para la vida, donde el aprendizaje se

genera en el contexto de la vida y sus logros van hacia ella.

Desarrollar habilidades de independencia y control sobre el proceso de aprendizaje exige que los

estudiantes reflexionen sobre su propio aprendizaje, sean conscientes sobre cmo aprenden, prac-

tiquen el autocuestionamiento y usen de forma abierta, atrevida y flexible diversas estrategias paraaplicar selectivamente en la ejecucin de determinadas tareas y actividades matemticas. Por ello, es

importante el rol del docente como agente mediador, orientador y provocador de formas de pensar y

reflexionar durante las actividades matemticas.

Las habilidades matemticas requieren constancia, prctica sistemtica y deliberada para poder ser

transferidas y utilizadas en diversos contextos escolares y fuera de ellos. Adems, las oportunidades

de practicar dentro de la institucin educativa dependen de nuestro apoyo activo.

1.2 NECESIDAD DE PLANTEARNOS UN MODELO FORMATIVO PEDAGOGICO

Esta perspectiva de aprendizaje de la matemtica obliga a repensar y re significar la manera como

miramos la educacin matemtica de tal forma que concuerde con las caractersticas del ciudadano

que queremos y necesitamos formar; el nfasis no ser, entonces, el de memorizar el conocimiento o

el de reproducirlos, por el contrario ser el desarrollar saberes significativos y con sentido para que el

estudiante, en un ambiente de desarrollo de competencias, aprenda a usar la matemtica en distintos

mbitos de su vida y a aprender durante toda la vida.

Mejorar la calidad de la enseanza y del aprendizaje de la matemtica es una tarea que compromete

a todos. Por ello, es fundamental introducir una nueva prctica pedaggica donde la matemtica sea

concebida como parte de la realidad y de la vida misma que permita la concrecin de realizaciones

originales, especialmente, el logro de aprendizajes fundamentales.


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II. Armando las piezas del rompecabezas: enfoque

del aprendizaje matemtico2.1 Historia de la mano y la cabeza1:

resolucin de problemas como prctica social.Durante mucho tiempo, nuestras manos fueron maestras de nuestra cabeza. As, con el paso de losaos, las manos fueron adiestrndose y la cabeza despejndose. La habilidad manual desarrolla-ba nuestra inteligencia, y mientras ms se esclareca nuestra cabeza, ms frecuentemente diriga eltrabajo de nuestras manos.

Las manos no podan levantar un pesado bloque de piedra. Nuestra cabeza aconseja, entonces,colocar una palanca. La palanca slo nos puede ayudar a levantar la piedra un poco, mas cmosubirla a lo alto? La cabeza interviene de nuevo: crea el plano inclinado. Nos recomienda entoncescolocar troncos redondos bajo la piedra, pues hacer rodar es ms fcil que arrastrar!Pero la construccin de un plano inclinado para elevar pesos es faena laboriosa y compleja, y nues-tra cabeza encuentra otra vez una solucin ms simple: inventa la polea. Haciendo pasar la cuerdapor la polea el peso sube mejor; y si, adems el peso cuelga de una segunda polea mvil, nuestrasdos manos podan levantar un objeto que cuatro manos movan con dificultad. Esto, sin embargo,nos pareci poco. Entre manos y el peso colocamos tres, cinco poleas, siete poleas, etc. Cuantasms son las poleas tanto ms fuerte nos hacemos. As, ahora levantamos, sin gran trabajo, pesos

cuyo manejo era exclusividad de los gigantes.Nuestra cabeza ayuda a nuestras manos, pero stas tampoco le dan reposo. Le plantean siemprenuevas tareas. Como no es fcil hacer subir el agua del ro para que reguemos los campos, nuestracabeza crea el pozo con la cigea, gracias a la cual podemos hacer subir el cubo del ro. Pero uncubo es poco. Hace falta ms agua. Nuestras manos ya no se dan abasto. Entonces, la cabeza creael torno. Una manivela sujeta a un rodillo que nuestra mano hace girar, el rodillo da vueltas enros-cando una cuerda, sta arrastra un cubo.Asombrosos descubrimientos! Durante miles de aos ayudaran a nuestras manos en su trabajo.Pero crece la demanda de agua y aumenta el trabajo. La necesidad es la mejor de las maestras.Nuestra cabeza piensa: No se podra hacer eso mismo, pero sin las manos? Recuerda a los cua-

drpedos servidores del hombre, habituados desde largo tiempo a trasportar cargas. Las manosenganchan un cuadrpedo a un madero, el caballo da vueltas, haciendo girar una rueda dentada.sta sigue su rotacin sobre una piedra circular fija. Nuestras manos se liberan as de un trabajo quepuede realizar un animal.En cambio, les espera un problema ms complicado: construir los dientes de la rueda. Nuestrasmanos van haciendo trabajos cada vez ms delicados y complejos, pero tambin nuestra cabezatiene que resolver tareas ms arduas.El hombre utiliza al caballo para sacar agua del ro, pero comienza a pensar si no se puede pres-cindir de l. Para qu emplear al caballo? Que el propio ro suba el cubo de agua y lo vierta en elsurco! Nuestras manos reciben una tarea ms complicada: construir y colocar en el ro una rueda

1Adaptacin de Kak mui poznaem bs Kolmogorov, A.S. (1984)


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Resolver problemas: una antigua costumbre de los pueblos

tal que saque ella misma el agua. El ro corre por su lecho y tropieza con un obstculo: las aletas dela rueda. El ro las empuja, y eso es lo que busca el hombre. La rueda gira, carga el agua y la sube,vertindola por ltimo en el canaln.El ro riega los campos en los que crece el trigo. El otoo llega y la cosecha debe ser recogida y elgrano de las espigas molido. Hubo tiempos en que se mola el grano en pequeos molinos de

mano. Esto era suficiente para una familia campesina, pero cuando hubo que dar de comer a ejr-citos enteros, cuando surgieron enormes ciudades que necesitaban inmensas cantidades de harinapara las panaderas, fue necesario poner en marcha grandes molinos y muelas de piedra.Semejantes muelas no se podan mover a mano, y de nuevo nuestra cabeza busc la forma desalir del problema. Los hombres vuelven a probar la manivela, recuerdan otra vez al caballo y aaquel trabajador ms fuerte que el caballo: el agua. El hombre ya haba dominado al ro. Quita loscangilones de la rueda y deja las aletas. En su eterno andar, el ro empuja las aletas, la rueda hacegirar el rodillo- eje que mueve la rueda dentada; sta se engancha en otra que pone en movimientoun nuevo eje, en el que se encuentra la muela. Al principio, todo esto debi parecer un cuento alos hombres, y los primeros molinos de agua significaron, pro-

bablemente, una gran fiesta: la blanca espuma del agua, alestrellarse contra la rueda, la nube blanca de harina flotandosobre la muela, y las mujeres alrededor, escuchando el zum-bido del molino de agua, ms agradable que el triste chirridodel manual.Mas con todo su jbilo, no comprendan entonces la portento-sa fuerza que haban descubierto. Podan acaso suponer queel molino de agua sera el origen de centenares de mquinasque no slo moleran el trigo, sino que forjaran el hierro, ma-chacaran el mineral, tejeran? Estas mquinas que trabajaranpor el hombre y para el hombre, que habran de vestirlo y ali-mentarlo y, ms tarde, incluso trasportarlo por el aire.

La resolucin de problemas es consustancial a nuestra existencia como seres sociales. Desde queaparece el hombre sobre la tierra, nuestra propia vida nos impone encontrar soluciones a losdismiles problemas que nos plantea nuestra supervivencia misma.

La adaptacin al medio, tanto por las modificaciones que se producen en nuestro entorno (escasezde alimentos, condiciones climticas adversas, etc.) como por la visin cada vez ms amplia quevamos teniendo de la realidad, nos plantea a diario situaciones problemticas. No siempre poseemosrespuesta inmediata para todas ellas, o soluciones afines a nuestras creencias o los instrumentos(materiales o tericos) con qu enfrentarlas. As, a lo largo de nuestra milenaria existencia sobre elplaneta, nuestra historia ha discurrido afrontando y resolviendo problemas cada vez ms complejos,en un nmero de mbitos cada vez mayor, tanto en nuestra vida social y como en el medio que nosrodea.As, la historia del hombre es tambin la historia de la resolucin de sus problemas y es precisamentea esto que se debe, como hemos visto, el avance de la ciencia y la tecnologa en general, y de lamatemtica en particular.Cabezas y manos siguen unidas como en el pasado, ayudndose mutuamente. Y el conocimiento que

vamos ganando consolida y s intetiza la grandeza de la capacidad humana: resolver problemas.


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2.3 El enfoque problmico2o centrado en la resolucin de problemas

Cul es la importancia del Enfoque Problmico?Este enfoque consiste en promover formas de enseanza-aprendizaje que den respuesta a situa-ciones problemticas cercanos a la vida real. Para eso recurre a tareas y actividades matemticas

de progresiva dificultad, que plantean demandas cognitivas crecientes a los estudiantes, con perti-nencia a sus diferencias socio culturales. El enfoque es eminentemente procedimental, es decir, esun saber actuar pertinente ante una situacin problemtica, presentada en un contexto particularpreciso, que moviliza una serie de recursos o saberes, a travs de actividades que satisfagan deter-minados criterios de calidad. Su importancia consiste en que:

a) Distingue las caractersticas superficiales y profundas de una situacin problemtica.Est demostrado que el estudiante novato responde a las caractersticas superficiales del pro-blema (como es el caso de las palabras clave dentro de su enunciado), mientras que el expertose gua por las caractersticas profundas del problema (fundamentalmente la estructura de sus

ELCAMBIOFUNDAMENTAL

Espasardeunaprendizaje,enla

mayoradeloscasosmemorsticode

conocimientosmatemticos(como

supuestosprerrequisitospara

aprenderaresolverproblemas),

aunaprendizajeenfocadoenla

construccindeconocimientos

matemticosapartirdelaresolucin

desituacionesproblemticas.

2.2 La resolucin de problemas como prcticapedaggica en la escuela

Asumimos el enfoque problmico o enfoque centrado en re-solucin de problemas como marco pedaggico para el de-sarrollo de las competencias y capacidades matemticas, pordos razones:

La resolucin de situaciones problemticas es la actividadcentral de la matemtica,Es el medio principal para establecer relaciones de funcio-nalidad matemtica con la realidad cotidiana.

Este enfoque supone cambios pedaggicos y metodolgicosmuy significativos, pero sobre todo rompe con la tradicionalmanera de entender cmo es que se aprende la matemtica.Este enfoque surge de constatar que todo lo que aprendemosno se integra del mismo modo en nuestro conocimiento ma-temtico.

EJEMPLO:Una frmula matemtica o la enunciacin de una propiedad matemtica, pueden adquirirse deforma superficial mediante un proceso de memorizacin simple. Esto posibilitar su reproduccin de

forma ms o menos literal, pero no su utilizacin para la resolucin de situaciones problemticas. Esposible disponer de muchos aprendizajes matemticos que no slo seamos capaces de reproducir,sino de utilizar para dar respuesta a situaciones problemticas reales.

2 Durch, B.J. (1995).What is Problem-Based Learning?


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elementos y relaciones, lo que implica la construccin de una representacin interna, de inter-pretacin, comprensin, matematizacin, correspondientes, etc).

b) Relaciona la resolucin de situaciones problemticas con el desarrollo de capacidades ma-temticas.Aprender a resolver problemas no solo supone dominar una tcnica matemtica,sino tambin procedimientos estratgicos y de control poderosos para desarrollar capacidades,

como: la matematizacin, representacin, comunicacin, elaboracin de estrategias, utilizacinde expresiones simblicas, argumentacin, entre otras. La resolucin de situaciones problem-ticas implica entonces una accin que, para ser eficaz, moviliza una serie de recursos, diversosesquemas de actuacin que integran al mismo tiempo conocimientos, procedimientos mate-mticas y actitudes.

c) Busca que los estudiantes valoren y aprecien el conocimiento matemtico.Por eso propicia quedescubran cun significativo y funcional puede ser ante una situacin problemtica precisa de larealidad. As pueden descubrir que la matemtica es un instrumento necesario para la vida, queaporta herramientas para resolver problemas con mayor eficacia y que permite, por lo tanto, en-contrar respuestas a sus preguntas, acceder al conocimiento cientfico, interpretar y transformar

el entorno. Tambin aporta al ejercicio de una ciudadana plena, pues refuerza su capacidad deargumentar, deliberar y participar en la institucin educativa y la comunidad.

Los rasgos ms importantes de este enfoque son los siguientes:

1. La resolucin de problemas debe impregnar ntegramente el currculo de matemticas

La resolucin de problemas no es un tema especco, ni tampoco una parte diferenciada del cu-

rrculo de matemticas. La resolucin de problemas es el eje vertebrador alrededor de la cual se

organiza la enseanza, aprendizaje y evaluacin de la matemtica.

2. La matemtica se ensea y se aprende resolviendo problemas

La resolucin de problemas sirve de contexto para que los estudiantes construyan nuevos concep-

tos matemticos, descubran relaciones entre entidades matemticas y elaboren procedimientos

matemticos.

3. Las situaciones problemticas deben plantearse en contextos de la vida real o en contextos cien-

tcos

Los estudiantes se interesan en el conocimiento matemtico, le encuentran signicado, lo valoran

ms y mejor, cuando pueden establecer relaciones de funcionalidad matemtica con situaciones

de la vida real o de un contexto cientco. En el futuro ellos necesitarn aplicar cada vez ms

matemtica durante su vida.

4. Los problemas deben responder a los intereses y necesidades de los estudiantes

Los problemas deben ser interesantes para los estudiantes, plantendoles desafos que impliquen

el desarrollo de capacidades y que los involucren realmente en la bsqueda de soluciones.

5. La resolucin de problemas sirve de contexto para desarrollar capacidades matemticas

Es a travs de la resolucin de problemas que los estudiantes desarrollan sus capacidades mate-

mticas tales como: la matematizacin, representacin, comunicacin, utilizacin de expresiones

simblicas, la argumentacin, etc.

RASGOS PRINCIPALES DEL ENFOQUE PROBLMICO


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El enfoque problmico o enfoque centrado en la resolucin de problemas surge como unaalternativa de solucin a dificultades que nos enfrentamos en nuestro quehacer docentetales como:

Dificultades para el razonamiento matemtico No se percibe la significatividad y funcionalidad de los conocimientos matemticos. Su aprendizaje provoca aburrimiento, desvaloracin y falta de inters por la mate-

mtica. Se aprende una matemtica que no desarrolla el pensamiento crtico. Se promueve un pensamiento matemtico descontextualizado.

Los objetivos del enfoque problmico son lograr que el estudiante:

Se involucre en un problema (tarea o actividad matemtica) para resolverlo con ini-ciativa y entusiasmo.

Comunique y explique el proceso de resolucin del problema. Razone de manera efectiva, adecuada y creativa durante todo el proceso de resolu-

cin del problema, partiendo de un conocimiento integrado, flexible y utilizable. Busque informacin y utilice los recursos que promuevan un aprendizaje significati-

vo.Sea capaz de evaluar su propia capacidad de resolver la situacin problemtica

presentada. Reconozca sus fallas en el proceso de construccin de sus conocimientos matemti-

cos y resolucin del problema. Colabore de manera efectiva como parte de un equipo que trabaja de manera con-

junta para lograr una meta comn.

Qu ventajas aporta el enfoque problmico o centrado en resolucinde problemas?

Qu objetivos se propone lograr?


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La importancia de este enfoque radica en que eleva el gra-do de la actividad mental en el aula, propicia el desarrollodel pensamiento creativo y contribuye al desarrollo de per-sonalidad de los estudiantes

La actividad mental es aquella caracterstica de la personali-dad, que representa el esfuerzo, perseverancia, constanciaintelectual que el estudiante debe realizar conscientementeen la resolucin de una situacin problemtica.

Con el incremento sistemtico del nivel de la actividad men-tal durante las prcticas educativas, se fomenta el apren-dizaje consciente de la matemtica y se desarrolla la auto-noma de pensamiento y la confianza de los estudiantes. Eluso continuo de este enfoque posibilita adems la actividad

creativa, capacidad con la que el alumno puede seguir aprendiendo, y que puede ir consolidandogradualmente.

Este enfoque aporta tambin al desarrollo de la personalidad. Esta forma de aprender matemticafavorece tanto el razonamiento e importantes operaciones del pensamiento, como el afianzamiento

del auto concepto, la autoestima y el desarrollo personal. Ambas cosas lo convierten en un motordel desarrollo de la personalidad del estudiante.

El enfoque problmico constituye entonces una va potente y eficaz para desarrollar actitudes posi-tivas hacia las matemticas. Permite que cada estudiante se sienta capaz de resolver situacionesproblemticas y de aprender matemticas, considerndola til y con sentido para la vida. La posibi-lidad que ofrezcamos a los estudiantes para enfrentarse a situaciones problemticas con diferentesniveles de exigencia matemtica, junto al trabajo grupal, favorecern el desarrollo de actitudes po-sitivas hacia la matemtica, una aspiracin que la sociedad contempornea le plantea a la escuelaperuana.

DESARROLLO DE ACTITUDES EN EL ENFOQUE PROBLMICO


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El enfoque problmico es una teora sobre losprocesos de enseanza-aprendizaje-evalua-cin de la matemtica. Como tal, se relacionade dos maneras con los escenarios donde sepuede aprender matemtica: el aula, la institu-cin educativa y la comunidad:

1. En tanto gua para nuestra accin educativanos ofrece herramientas para actuar sobre

la situacin problemtica; y nos permite dis-tinguir aspectos de los procesos de aprendi-zaje que no siempre nos resultan visibles.

2. En tanto enfoque, posee una carga teri-ca que requiere delimitacin conceptual ymetodolgica, para que en nuestro trabajocotidiano podamos comprender y afrontarmejor todos los improvistos que se escapana cualquier prediccin.

b) Qu es resolver una situacin problemti-ca?

Resolver una situacin problemtica3 es:

Encontrarle una solucin a un problema de-terminado.

Hallar la manera de superar un obstculo Encontrar una estrategia all donde no se dis-

pona de estrategia alguna. Idear la forma de salir de una dificultad. Lograr lo que uno se propone utilizando los

medios adecuados.

a) Qu es una situacin problemtica?Una situacin problemtica es una situacin dedificultad ante la cual hay que buscar y dar re-

flexivamente una respuesta coherente, encon-trar una solucin.Estamos, por ejemplo, frente a una situacinproblemtica cuando no disponemos de estra-tegias o medios conocidos de solucin.

Teora en la accin

3 Villavicencio Ubills, Martha. Et. Al. (1995). Gua Didctica: Resolucin de problemas matemticos .

2.4 Cmo aprender matemtica resolviendo situaciones problemticas?

Como hemos podido ver, el enfoque problmico no slo permite a los estudiantes adquirir habilida-des duraderas de aprendizaje y meta-aprendizaje de la Matemtica, sino que modifica totalmenteel papel del docente. A los docentes nos toca ahora guiar, explorar y respaldar las iniciativas desus estudiantes, sin dar la clase de manera frontal tipo conferencia. Tampoco necesitamos proveera sus alumnos de situaciones problemticas con soluciones fciles de encontrar. La resolucin desituaciones problemticas es un proceso que ayuda a generar e integrar actividades, tanto en laconstruccin de conceptos y procedimientos matemticos como en la aplicacin de estos a la vidareal. Todo esto redundar, a su vez, en el desarrollo de capacidades y competencias matemticas.


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c) Cul es la metodologa problmica?La metodologa consiste en4:

1. Presentamos a los estudiantes una situacin problemtica.Ellos en grupo organizan sus ideas,actualizan su conocimiento previo relacionado con la situacin y tratan de definir su naturaleza.

2. Los estudiantes hacen preguntas.Se dialoga sobre aspectos especficos de la situacin proble-mtica que no les ha quedado del todo claros. El grupo se encarga de anotar estas preguntas.Los estudiantes son animados por el profesor para que puedan definir lo que saben y lo que nosaben.

3. Los estudiantes seleccionan los temas a investigar.Lo hacen en orden de prioridad e importan-cia, entre todos los temas que surgen por medio de las preguntas durante la situacin didctica.Ellos deciden qu preguntas sern contestadas por todo el grupo y que preguntas sern investi-gadas por algunos miembros del grupo, para despus socializarlos a los dems. Los estudian-

tes y el docente dialogan sobre cmo, dnde y con qu investigar las posibles respuestas a laspreguntas.

4. Los estudiantes trabajan en grupos.Vuelven a juntarse en grupo y exploran las preguntas pre-viamente establecidas integrando su nuevo conocimiento al contexto de la situacin problem-tica. Deben resumir su conocimiento y conectar los nuevos conceptos y procedimientos a losprevios. Deben seguir definiendo nuevos temas a investigar, mientras progresan en la bsque-da de solucin a la situacin problemtica planteada. As irn viendo que el aprendizaje es unproceso en curso progresivo y que siempre existirn temas para investigar cuando se enfrentana un problema cualquiera.

4Durch, B.J. (1995).What is Problem-Based Learning?.


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Los juegos en general y en particular los juegos de contenido matemtico, se presentan como unexcelente recurso didctico para plantear situaciones problemticas a los nios. Tales estrategias

permiten articular por ejemplo la actividad matemtica y la actividad ldica en contextos de interac-cin grupal.Las situaciones problemticas ldicas son recomendables para toda la EBR, pero sobre todo paranios de los primeros ciclos. A esa edad es posible dirigir la atencin y esfuerzo de los nios haciametas de naturaleza matemtica mediante el juego. En esta etapa, el juego constituye un valiosoinstrumento pedaggico para iniciarlos en la construccin de las nociones y procedimientos mate-mticos bsicos.Propiciar en los nios resolver situaciones problemticas en actividades cotidianas, actividades l-dicas y con la manipulacin de material concreto, permite desarrollar favorablemente su razona-miento lgico. El juego es un recurso de aprendizaje indispensable en la iniciacin a la matemtica,porque facilita los aprendizajes en los nios de una manera divertida despertando el placer poraprender y satisface su necesidad de jugar. Adems, el juego:

1. Es la primera actividad natural que desarrollan los nios y nias para aprender, desarrollandosus primeras actividades y destrezas.

2. Permite dinamizar los procesos de pensamiento, pues generan interrogantes y motivan la bs-queda de soluciones.

3. Presenta desafos y estmulos que incitan la puesta en marcha de procesos intelectuales.4. Estimula la competencia sana y actitudes de tolerancia y convivencia que crean un clima de

aprendizaje favorable.5. Favorece la comprensin.6. Facilita la consolidacin de contenidos matemticos.7. Posibilita el desarrollo de capacidades.8. Se conecta con la vida y potencia el aprendizaje.

En esta dinmica los estudiantes tienen la oportunidad de escuchar a los otros, explicar y justificarsus propios descubrimientos, confrontar ideas y compartir emociones, corregir y ser corregidos porsus compaeros. Tales juegos tienen alicientes, la actividad ldica en s misma, la actividad mate-

mtica que la acompaa, y, el relacionarse con otros.

EL JUEGO EN EL ENFOQUE PROBLMICO


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d) Cmo usar materiales concretos en el enfoque problmico?Los materiales manipulativos o concretos son hoy en da, es-pecialmente, en los primeros ciclos, un avance irrenunciableen el aprendizaje de la matemtica.De acuerdo a este enfoque, se debe entregar a todos los estu-

diantes, desde inicial hasta secundaria, materiales concretoscon los cuales desarrollarn diversas acciones. A travs deestas acciones irn interiorizando diversos procedimientos,de manera que cuando se les retire los materiales paulatina-mente, los van a reproducir mentalmente, relacionando unascon otras.

Dos principios didcticos a considerar:

El uso de materiales educativos no es el objetivo de la en-

seanza-aprendizaje de la matemtica, sino un medio. Esel medio del que nos valemos para que nuestros estudian-tes, especialmente los nios, desarrollen acciones.

La mayora de los conceptos matemticos no tienen su ori-gen en los objetos, sino en las relaciones que establecenlos estudiantes entre ellos. El color rojo por ejemplo es unaabstraccin fsica que se origina en los objetos. El conceptodos, sin embargo, no est presente en las fichas con quejuegan los estudiantes, sino en la relacin que establecenentre ellas. Eso ocurre al entender que una es la primera y

la otra es la segunda, y que el dos al que llegamos en elconteo resume la cantidad de fichas disponible.

En el nivel de Educacin Bsica, el uso de material concreto es necesario porque:

1. El estudiante puede empezar a elaborar, por s mismo, los conceptos a travs de las ex-periencias provocadas.

2. Es motivador, sobre todo cuando las situaciones problemticas creadas son interesantespara el estudiante e incitan su participacin espontnea.

LOS MATERIALES EN EDUCACIN BSICA


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Nuestro pas es pluricultural ymultilinge. En consecuencia

la educacin matemtica paraser pertinente a esta realidadtiene que ser intercultural. Des-de la perspectiva del enfoquecentrado en la resolucin deproblemas implica que:

1) Debemos plantear a nues-tros estudiantes situacionesproblemticas en un contexto

socio cultu1) Debemos plan-tear a nuestros estudiantes si-tuaciones problemticas en uncontexto socio cultural concretoque refleje la realidad pluricul-tural del pas.

2) Debemos generar espacios de aprendizaje y reflexin que propicien capacidades matem-ticas, utilizando las formas de comunicacin, expresin y conocimiento propias de nuestrasculturas. Esto supone dilogo intercultural y en pie de igualdad con otras culturas.

LA INTERCULTURALIDAD Y EL ENFOQUE PROBLMICO


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III. Visualizando el rompecabezas: competencias,

capacidades y dominios

3.1 COMPETENCIA MATEMTICA

Comounaalternativaalosmodelosformativos

tradicionalesdeaprendizajememorsticode matemticas,loscualesdifcilmentepuedenseraplicadosalavida

real,surgelacompetenciamatemtica

a) Un saber actuar: Alude a la intervencin de una persona sobre una situacin problemtica deter-

minada para resolverla, pudiendo tratarse de una accin que implique slo actividad matemti-ca.b) En un contexto particular: Alude a una situacin problemtica real o simulada pero plausible

que establezca ciertas condiciones y parmetros a la accin humana, y que deben tomarse encuenta necesariamente.

c) Un actuar pertinente: Alude a la indispensable correspondencia de la accin con la naturalezadel contexto en el que se interviene para resolver la situacin problemtica. Una accin estereo-tipada que se reitera en toda situacin problemtica no es una accin pertinente.

d) Que selecciona y moviliza saberes: Alude a una accin que echa mano de los conocimientosmatemticos, habilidades y de cualquier otra capacidad matemtica que le sea ms necesariapara realizar la accin y resolver la situacin problemtica que enfrenta.

e) Que utiliza recursos del entorno: Alude a una accin que puede hacer uso pertinente y hbilde toda clase de medios o herramientas externas, en la medida que el contexto y la finalidad deresolver la situacin problemtica lo justifiquen.

f) A travs de procedimiento basados en criterios: Alude a formas de proceder que necesitan exhi-bir determinadas caractersticas, no todas las deseables o posibles sino aquellas consideradasms esenciales o suficientes para que logren validez y efectividad.

La competencia matemtica en la Educacin Bsica promueve eldesarrollo de capacidades en los estudiantes, que se requiere paraenfrentar a una situacin problemtica en la vida cotidiana. Alude,sobre todo, a una actuacin eficaz en diferentes contextos reales atravs de una serie de herramientas y acciones. Es decir, a una ac-

tuacin que moviliza e integra actitudes.La competencia matemtica es entonces un saber actuar en un con-texto particular, que nos permite resolver situaciones problemticasreales o de contexto matemtico. Un actuar pertinente a las caracte-rsticas de la situacin y a la finalidad de nuestra accin, que selec-ciona y moviliza una diversidad de saberes propios o de recursos delentorno, a travs de procedimientos que satisfagan determinadoscriterios bsicos.


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3.2 FORMULACIN DE LA COMPETENCIA MATEMTICA

En la formulacin de una competencia matemtica necesita visibilizarse:

La resolucin de situaciones problemticas reales es la competencia matemtica del rea de Ma-temtica. El estudiante debe desarrollarla durante su experiencia escolarizada y no escolarizada alo largo de toda su vida.Se ha definido cuatro competencias matemticas en trminos de resolucin de problemas, que

atraviesan toda la Educacin Bsica. Competencias que suponen un desempeo global y que co-rresponden a los cuatro dominios del rea de Matemtica:

La accin que el sujeto desempear Los atributos o criterios esenciales que debe exhibir accin

La situacin, contexto o condiciones en que se desempear la accin

Ejemplo.En la competencia matemtica Resuelve situaciones problemticas aditivas de contexto real queimplican la construccin del significado y el uso de los nmeros fraccionarios y sus operaciones em-

pleando diversas estrategias de solucin, justificando y valorando sus procedimientos y resultados,puede distinguirse:

El resultado

Las capacidades La actuacin

Un saber

actuar en uncontexto

particular demanera

pertinente

Con vistas auna finalidad

Seleccionandoy movilizando una

diversidadde recursos

Satisfaciendociertos criterios

de accinconsiderados

esenciales

Alos objetivosque nos hemospropueto lograr

Lograr unpropsitodeterminado

Reslover unasituacinproblemtica

Tantossaberespropios dela persona

Comorecusosdel entorno

Alascaractersticasdel contexto

Al problemaque se buscaresolver


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COMPETENCIAS CAPACIDADES

Nmerosy

Operaciones Resuelve situaciones problemticas de contexto real

que implican la construccin del signicado y el usode los nmeros y sus operaciones empleando diversasestrategias de solucin, justicando y valorando susprocedimientos y resultados.

Matematizar

Representar

Comunicar

Elaborarestrategias

UtilizarexpresionesSimblicas

Argumentar

Cambioy

Relaciones

Resuelve situaciones problemticas de contexto realque implican la construccin del signicado y el uso delos patrones, igualdades, desigualdades, relaciones yfunciones, utilizando diversas estrategias de soluciny justicando sus procedimientos y resultados.

Geometra

Resuelve situaciones problemticas de contexto real

que implican el uso de propiedades y relacionesgeomtricas, su construccin y movimiento en el planoy el espacio, utilizando diversas estrategias de soluciny justicando sus procedimientos y resultados.

Estadsticay

Probabilidad

Resuelve situaciones problemticas de contextoreal que implican la recopilacin, procesamiento yvaloracin de los datos y la exploracin de situacionesde incertidumbre para elaborar conclusiones y tomardecisiones adecuadas.

MATRIZ DE COMPETENCIAS Y CAPACIDADES

Accin Contexto/CondicionesAtributos

Resuelve

situaciones problemticasaditivas de contexto real

que implican la construccindel signicado y el uso delos nmeros fraccionarios y

sus operaciones

empleando diversasestrategias de

solucin, justicandoy valorando susprocedimientos y

resultados

3.3 RESOLUCIN DE SITUACIONES PROBLEMTICAS COMO COMPETENCIA MA-TEMTICA

La resolucin de situaciones problemticas reales es la competencia matemtica del rea de Ma-temtica. El estudiante la desarrollar durante su experiencia escolarizada y no escolarizada a lo

largo de toda su vida.Se ha definido cuatro competencias matemticas en trminos de resolucin de problemas, queatraviesan toda la Educacin Bsica. Competencias que suponen un desempeo global y que co-rresponden a los cuatro dominios del rea de Matemtica:


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3.4 CAPACIDADES MATEMTICAS

La resolucin de situacio-nes problemticas es en-tonces una actividad ma-temtica importante quenos permite desarrollarcapacidades matemti-cas. Todas ellas existen demanera integrada y nicaen cada persona y se de-sarrollan en el aula, la es-cuela, la comunidad, en lamedida que dispongamosde oportunidades y me-dios para hacerlo.En otras palabras, las ca-

pacidades matemticas se despliegan a partir de las experiencias y expectativas de nuestros estu-diantes, en situaciones problemticas reales. Si ellos encuentran til en su vida diaria los aprendiza-jes logrados, sentirn que la Matemtica tienen sentido y pertinencia.La propuesta pedaggica para el aprendizaje de la matemtica considera el desarrollo de seis ca-pacidades matemticas, consideradas esenciales para el uso instrumental de la Matemtica. stassustentan la competencia matemtica resolucin de problemas y deben abordarse en todos losniveles y modalidades de la Educacin Bsica Regular. Estas seis capacidades son las siguientes:

- Matematizar- Representar- Comunicar- Elaborar estrategias- Utilizar expresiones simblicas- Argumentar

Todas ellas estn implicadas en cualquier situacin problemtica real, cientfica o matemtica. Pue-den ser utilizadas por nuestros estudiantes cada vez que las enfrentan para resolverlas.


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Matematizar

Los sistemas de numeracin tuvieron un origen anatmico.Nuestros antepasados valindose de los dedos de sus ma-nos contaban hasta diez(uno/huk/, dos/iskay/, tres/ kimsa/, cuatro/tawa/,cinco/pi-chqa/, seis/suqta/, siete/qanchis/, ocho/pusaq/, nueve/is-qun/ y diez/chunka).Al llegar a diez /chunka/, es decir, despus de consumir to-das las posibilidades de su aparato de clculo natural, losdedos de sus dos manos, les fue lgico considerar el nmero10 como una unidad nueva, mayor (la unidad del orden si-

guiente) y prosiguieron el contero en lostrminos siguientes:diez y uno/chunka hukniyuq/, diez y dos /chunka iskayniyuq/,diez y tres /chunka kimsayuq/, diez y cuatro/chunka tawa-yuq/, diez y cinco /chunka pichkayuq/, diez y seis /chunkasuqtayuq/, diez y siete /chunka qanchikniyuq/, diez y ocho /chunka pusaqniyuq/, diez y nueve/chunka isqunniyuq/ y dosveces diez (veinte)/iskay chunka/.Al llegar a veinte, formaban la segunda decena y proseguanel conteo hasta llegar a diez decenas /chunkachunka/ y as-lograban formar la unidad del tercer orden, la centena /pa-

chak/ y as sucesivamente.

Algo similar, sucedi con nuestros antepasados aimaras.Ellos, a diferencia de los quechuas, se valieron de los dedosslo de una de sus manos, y contaban con facilidad hastallegar a cinco (uno /maya/, dos/paya/, tres/kima/, cuatro/pusi/ y cinco/qallqu/) Al llegar a cinco, les fue lgico consi-derar el nmero 5 como una unidad nueva, mayor (la unidaddel orden siguiente) y prosiguieron el contero en los trminossiguientes: uno y cinco /ma-qallqu/, dos y cinco /pa-qallqu/,tres y cinco /ki-qallqu/, cuatro y cinco/pu-qallqu/ y cinco y cin-co/qallqu qallqu.Al llegar a cinco y cinco, formaban la unidad del segundoorden, despus de tercer orden y as sucesivamente. As losaimaras dotaron de una estructura matemtica quinaria auna de sus manos y nos legaron el sistema de numeracinquinaria aimara. As matematizaron nuestros antepasadosporciones o partes de su anatoma.

La matematizacin es un proceso que dota de una estructu-ra matemtica a una parte de la realidad o a una situacinproblemtica real. Este proceso es eficaz en tanto pueda es-

Elconteoabasedelosdedosde

lasdosmanosdioorigenalsistema

denumeracindecimalquechua.

Nuestrosantepasadosdotaronde

unaestructuramatemticadecimal

aunapartedesuanatoma,susdos

manosynoslegaronelsistemade

numeracindecimalquechua.

Matematizarimplica,

entonces,expresaruna

parceladelarealidad,un

contextoconcretoouna

situacinproblemtica,

definidoenelmundoreal,

entrminosmatemticos.


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RepresentarExisten diversas formas de representar las cosas y, por tanto,diversas maneras de organizar el aprendizaje de la mate-mtica. El aprendizaje de la matemtica es un proceso queva de lo concreto a lo abstracto. Entonces, las personas, losnios en particular, aprendemos matemtica con ms facili-dad si construimos conceptos y descubrimos procedimientosmatemticos desde nuestra experiencia real y particular. Estosupone manipular materiales concretos (estructurados o no),

para pasar luego a manipulaciones simblicas. Este trnsitode la manipulacin de objetos concretos a objetos abstractosest apoyado en nuestra capacidad de representar matem-ticamente los objetos.

POR EJEMPLO:Cuando enfrentamos a una situacin problemtica real sus-ceptible de matematizacin, la representamos matemtica-mente. Para eso utilizamos distintas representaciones talescomo: grficos, tablas, diagramas, imgenes, etc. As captu-

ramos y describimos la estructura y las caractersticas mate-mticas de una determinada situacin.Cuando ya disponemos de resultados matemticos, presen-tados en diversos formatos o representaciones matemticas,los interpretamos. Para hacer esa interpretacin nos referimosa la situacin problemtica y usamos las representacionespara resolverla. A veces es necesario crear nuevas represen-taciones.

Lacapacidadderepresentaresfundamentalnosolo

paraenfrentarsituacionesproblemticas,sinopara

organizarelaprendizajedelamatemticaysocializarlosconocimientosmatemticosquelosestudiantesvayanlogrando.Comunicar

El lenguaje matemtico es tambin una herramienta que nospermite comunicarnos con los dems. Incluye distintas formasde expresin y comunicacin oral, escrita, simblica, grfica.Todas ellas existen de manera nica en cada persona y sepueden desarrollar en las escuelas si stas ofrecen oportuni-dades y medios para hacerlo.Buscamos desarrollar esta capacidad en los estudiantes paraque logren comprender desarrollar y expresar con precisinmatemtica las ideas, argumentos y procedimientos utiliza-dos, as como sus conclusiones. Asimismo, para identificar,

interpretar y analizar expresiones matemticas escritas o ver-bales.

tablecer un isomorfismo, es decir, igualdad en trminos de formas entre la estructura matemticay la realidad. Cuando esto ocurre las propiedades de la estructura matemtica corresponden a larealidad y viceversa.Matematizar Implica tambin interpretar una solucin matemtica o un modelo matemtico a la luzdel contexto de una situacin problemtica.


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Lagrancantidaddeinformacinmatemticaquesedisponerequieredesarrollarenlosestudianteslacapacidaddecomunicacinescrita.Esolesposibilitaidentificar,procesar,produciryadministrarinformacinmatemticaescrita.Ellenguajematemticoescritoconstituyeelmediodecomunicacinmseficaz.

En matemticas se busca desarrollar en los estudiantes esacapacidad para recibir, producir y organizar mensajes mate-mticos orales en forma crtica y creativa. Esto les facilita to-mar decisiones individuales y grupales.La institucin educativa debe brindar situaciones reales de in-

teraccin oral para que los estudiantes tengan oportunidadde hablar, dialogar, opinar, informar, explicar, describir, ar-gumentar, debatir, etc., en el marco de las actividades mate-mticas programadas.

La lectura y el dar sentido a las afirmaciones, preguntas, ta-reas matemticas, permiten a los estudiantes crear modelosde situaciones problemticas, lo cual es un paso importante

para comprender, clarificar, plantear y resolverlas en trminosmatemticos.

Elaborar estrategiasAl enfrentar una situacin problemtica de la vida real, lo pri-mero que hacemos es dotarla de una estructura matemtica.Luego, seleccionamos una alternativa de solucin entre otrasopciones. Sino disponemos de ninguna alternativa plausible,intentamos crearla. Entonces, cuando ya disponemos de unade solucin razonable, elaboramos una estrategia.

De esta manera, la resolucin de una situacin problemti-ca supone la seleccin o elaboracin de una estrategia paraguiar el trabajo, interpretar, evaluar y validar su procedimien-to y solucin matemticos. La construccin de conocimientosmatemticos requiere tambin seleccionar o crear y disearestrategias de construccin de conocimientos.


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Lacapacidadde

elaborarestrategiases

fundamentalparaconstruir

conocimientosmatemticos,

ytambinpararesolver

situacionesproblemticas. Utilizar expresiones simblicas

Hay diferentes formas de simbolizar. stas han ido constru-yendo sistemas simblicos con caractersticas sintcticas, se-mnticas y funcionales peculiares.

El uso de las expresiones y smbolos matemticos ayudan ala comprensin de las ideas matemticas, sin embargo estasno son fciles de generar debido a la complejidad de los pro-cesos de simbolizacin.

En el desarrollo de los aprendizajes matemticos, los estu-diantes a partir de sus experiencias vivenciales e inductivasemplean diferentes niveles del lenguaje. Inicialmente usanun lenguaje de rasgos coloquiales, paulatinamente van em-

pleando el lenguaje simblico hasta llegar a un lenguaje tc-nico y formal como resultado de un proceso de convencin yacuerdo en el grupo de trabajo.

POR EJEMPLO:Frente a este problema: un buzo se encuentra a una profun-didad de 32 metros y empieza a subir 4 metros por minu-to A qu profundidad est al cabo de 5 minutos? Cuntosmetros le faltan en ese momento para llegar a la superficie?

Un estudiantes puede encontrar la siguiente estrategia paraencontrar la respuesta.

Transitodel lenguajematemtico

Situaciones cotidianas

lenguaje

tcnico

formal

lenguaje

simblico

lenguaje

coloquial

Situacin

matemtica

Situacin

experimental

Situacin vivencial


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Lacapacidaddeusarsmbolosyexpresionessimblicasesindispensableparaconstruirconocimientosyresolverproblemasmatemticos.

Perotambinparacomunicar,explicaryentenderresultadosmatemticos.

Al dotar de estructura matemtica a una situacin problem-tica, necesitamos usar variables, smbolos y expresiones sim-blicas apropiadas. Para lograr esto es importante:- Entenderla relacin entre el lenguaje del problema y el

lenguaje simblico necesario para representarlo mate-

mticamente.- Comprender, manipular y hacer uso de expresiones sim-

blicasaritmticas y algebraicasregidas por reglas yconvenciones matemticas, es decir, por una gramticaespecfica de lenguaje matemtico.

Argumentar

Esta capacidad es fundamental no solo para el desarrollo delpensamiento matemtico, sino para organizar y plantear se-cuencias, formular conjeturas y corroborarlas, as como esta-blecer conceptos, juicios y razonamientos que den sustentolgico y coherente al procedimiento o solucin encontrada.

As, se dice que la argumentacin puede tener tres diferentesusos:1. Explicar procesos de resolucin de situaciones problem-

ticas2. Justificar, es decir, hacer una exposicin de las conclusio-

nes o resultados a los que se haya llegado3. Verificar conjeturas, tomando como base elementos del

pensamiento matemtico.

La capacidad de argumentar se aplica para justificar la vali-dez de los resultados obtenidos. El dilogo colectivo basadoen afirmaciones u opiniones argumentadas, as como el an-lisis de la validez de los procesos de resolucin de situacionesproblemticas favorecen el aprendizaje matemtico. En laEducacin Bsica, se procura que los estudiantes:

Hagan progresivamente inferencias que les permita de-ducir conocimientos a partir de otros, hacer prediccioneseficaces en variadas situaciones concretas, formular con-jeturas e hiptesis.

Aprendan paulatinamente a utilizar procesos de pensa-miento lgico que den sentido y validez a sus afirmacio-nes, y a seleccionar conceptos, hechos, estrategias y pro-cedimientos coherentes.

Desarrollen la capacidad para detectar afirmaciones yjustificaciones errneas.

Aqu se puede poner el

dibujo de tres chicos desexto grado explicandoa su profesora cmo hanencontrado una solucin.


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3.5 DOMINIOS MATEMTICOS

Los dominios son los organizadores del rea de Matemtica,

que se trabajan a lo largo de la Educacin Bsica y que enalgunos momentos puede haber un mayor nfasis en un do-minio que en otro. Estos dominios son:

1. Nmeros y Operaciones2. Cambio y Relaciones3. Geometra4. Estadstica y Probabilidad

Nmeros y Operaciones

Se refiere al conocimiento de nmeros, operaciones y sus pro-piedades.Este dominio dota de conocimiento y sentido matemtico a laresolucin de situaciones problemticas en trminos de n-meros y operaciones.La situacin sirve de contexto para desarrollar capacidadesmatemticas mediante la construccin del significado y usode los nmeros y las operaciones en cada conjunto numrico,y en diversas formas a fin de realizar juicios matemticos ydesarrollar estrategias tiles en diversas situaciones.

Cambio y RelacionesSe refiere a conocimientos algebraicos tales como ecuacio-nes, inecuaciones, relaciones, funciones, sus propiedades,entre otros.Este dominio dota de conocimientos y sentido matemtico ala resolucin de situaciones problemticas en trminos de pa-trones, equivalencias y cambio la misma que sirve de contex-to para desarrollar las capacidades matemticas.El mundo que nos rodea presenta una multiplicidad de re-

laciones temporales o permanentes, que se manifiestan porejemplo en los diversos fenmenos naturales, econmicos,

Razonarimplicaref

lexionarsobre

losmecanismoslgic

oseintuitivosque

hacenposibleconec

tardiferentes

partesdelainform

acin.Estopermite

llegaraunasolucinplausible,ana

lizare

integrarlainformac

in,paraconstruir

osostenerargumen

tos,justificary

validarlatomadede

cisiones,para

hacergeneralizacion

esycombinar

mltipleselementosd

einformacin.

El razonamiento y la demostracin son partes integrantes dela argumentacin. Entran en juego al reflexionar sobre lassoluciones matemticas y permiten crear explicaciones queapoyen o refuten soluciones matemticas a situaciones pro-blemticas contextualizadas.


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demogrficos entre otros. Ellos influyen en la vida de todociudadano, exigindole capacidades que le permitan com-prenderlos, describirlos, analizarlos, modelarlos y realizarpredicciones para enfrentarse a los cambios. As se aligerano reducen sus consecuencias (OCDE, 2006).

En este contexto resulta importante el aporte de la mate-mtica a travs de la matematizacin, Ella permite analizarlas soluciones de un problema, generalizarlas y justificar sualcance. A medida que se desarrolla esta capacidad se vaprogresando en el uso del lenguaje y el simbolismo mate-mtico, necesarios para apoyar y comunicar el pensamientoalgebraico por medio de ecuaciones, variables y funciones 5.

La resolucin de situaciones problemticas sobre cambio yrelaciones permite desarrolla la capacidad para identificarpatrones, describir y caracterizar generalidades, modelar fe-nmenos reales referidos a las relaciones cambiantes entredos o ms magnitudes. Para eso se puede utilizar desde gr-ficos intuitivos hasta expresiones simblicas como las igual-dades, desigualdades, equivalencias y funciones.

Geometra

Se refiere a conocimientos de la geometra y a sus propieda-des. Este dominio dota de conocimiento y sentido geomtricoa la resolucin de situaciones problemticas, la misma quesirve de contexto para desarrollar capacidades matemticas.En efecto, vivimos en un mundo que est lleno de formas ycuerpos geomtricos. A nuestro alrededor podemos encon-trar evidencias geomtricas en la pintura, la escultura, lasconstrucciones, los juegos, las plantas, los animales y en di-versidad de fenmenos naturales.Estas situaciones del mundo real demandan de la persona,

poner en prctica capacidades entorno a la geometra comoobtener informacin a partir de la observacin; interpretar,representar y describir relaciones entre formas, desplazarseen el espacio, entre otras. Aprender geometra proporciona ala persona herramientas y argumentos para comprender suentorno. La geometra es considerada como una herramien-ta para el entendimiento y, es la parte de las matemticasms intuitiva, concreta y ligada a la realidad(Cabellos Santos,2006).

Ellgebranoessolounmediodetraduccindellenguajenaturalalsimblico,estambinunaherramientadematematizacindedistintassituacionesdelavidareal.

Poreso,losestudiantesnecesitanaprenderaidentificar

regularidades,comprenderel

conceptodeigualdadyanalizarelcambiodesituacionesquevanincorporandopaulatinamenteelusodecdigos,smbolosyfunciones.

7(Godino y Font, 2003)

Elaprendizajedelageometrapasadel

reconocimientoyanlisisdelasformas

ysusrelacioneshastalaargumentacin

formalylainterrelacinentredistintos

sistemasgeomtricos.Poresoconviene

aprendergeometradesarrollando

capacidadesparavisualizar,comunicar,

dibujar,argumentarymodelar


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La resolucin de situaciones problemticas sobre geometra permite desarrollar progresivamentela capacidad para:

- Describir objetos, sus atributos medibles y su posicin en el espacio utilizando un lenguajegeomtrico

- Comparar y clasificar formas y magnitudes- Graficar el desplazamiento de un objeto en sistemas de referencia- Componer y descomponer formas- Estimar medidas, utilizar instrumentos de medicin- Usar diversas estrategias de solucin de problemas

Estadstica y Probabilidad 7

Se refiere a conocimientos de la estadstica y la probabilidad, y a sus propiedades. Este dominiodota de conocimiento y sentido matemtico a la resolucin de situaciones problemticas en tr-minos estadsticos y probabilsticos, la misma que sirve de contexto para desarrollar capacidades

matemticas.

La incertidumbre est presente en nuestra vida cotidiana, somos testigos que raras veces las cosasocurren segn las predicciones realizadas.

POR EJEMPLO:Los pronsticos del tiempo o el resultado de las elecciones a veces nos traen sorpresas. La ciencia yla tecnologa rara vez se ocupan de las certidumbres, pues el conocimiento cientfico casi nunca esabsoluto e incluso puede ser errneo en algunas ocasiones.Los aprendizajes que se logran a partir de la Estadstica y el clculo de probabilidades adquieren

hoy mayor importancia de la que tenan en el pasado8, pues son herramientas que ayudan al estu-diante a organizar y profundizar su conocimiento sobre la realidad, permitindole tomar decisionesen escenarios de cambio y de abundante informacin.

La resolucin de situaciones problemticas sobre estadstica yprobabilidad permite desarrollar progresivamente capacidadespara procesar e interpretar diversidad de datos, transformn-dolos en informacin. Tambin ayuda a analizar situaciones de

incertidumbre para estimar predicciones, que permita tomardecisiones adecuadas.

8Comisin para la Investigacin de la Enseanza de las Matemticas en la Escuela, 1982; LOGSE, 1990; MSEB, 1990;NCTM, 1989; NCTM, 2000.9 Batanero y Daz, 2007

Elaprendizajedelaestadsticayla

probabilidadpermitealestudiante

reconocerlosalcancesylimitaciones

delamatemticayreconocerqu

e

lasolucindelosproblemasnoes

siemprenicaoinmediata,sino

queexisteunafuertepresenciade

fenmenosaleatorios11.


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dela

Arqueologias/nSanBorja/Impresin:PuntoyGrafiaS.A.C.Telf.:

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3PuebloLibre

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