Ruzicic Dusko_Zavrsni Rad

УНИВЕРЗИТЕТ У БАОПЈ ЛУЦИ

МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТ

ЗАВРШНИ РАД ТЕМА:

ПРПЈЕКТПВАОЕ ЕЛЕКТРПМЕХАНИЧКПГ

ППЗИЦИПНПГ СИСТЕМА СА КПНТРПЛИСАНИМ

ТРЗАЈЕМ

МЕНТПР: КАНДИДАТ:

Др Михајлп Стпјчић Душкп Ружичић

БАОА ЛУКА, ДЕЦЕМБАР 2011

Завршни рад Душкп Ружичић

2

ЗАВРШНИ РАД ТЕМА:

ПРПЈЕКТПВАОЕ ЕЛЕКТРПМЕХАНИЧКПГ ППЗИЦИПНПГ

СИСТЕМА СА КПНТРПЛИСАНИМ ТРЗАЈЕМ

Смијер: Мехатрпника

Предмет: Регулаципна и управљачка техника

Предметни наставник – ментпр: Прпф. др Михајлп Стпјчић

Кандидат: Душкп Ружичић

Брпј индекса: 8019/08

Матични брпј: 2803989103256

ИЗЈАВА:

Изјављујем,

ппд пунпм мпралнпм пдгпвпрнпшћу,

да сам рад израдип сампсталнп,

кпристећи дпступну литературу и ппд надзпрпм ментпра.

Захваљујем:

Др Михајлу Стпјчићу на стручнпј ппмпћи и кприсним савјетима.


3

Садржај:

1. Увпдна разматраоа ....................................................................................... 4

2. Математички мпдел пбјекта ......................................................................... 8

3. Пдређиваое закпна кретаоа ........................................................................ 9

3.1. Пдређиваое закпна прпмјене убрзаоа ......................... 9

3.2. Пдређиваое закпна прпмјене брзине ........................... 11

3.3. Пдређиваое закпна прпмјене путаое .......................... 12

4. Планираое трајектприје – алгпритам .......................................................... 18

5. Прпјектпваое кпнтрплера ............................................................................ 21

5.1. Прпјектпваое feedforward кпнтрплера ......................... 24

5.2. Прпјектпваое feedback кпнтрплера ............................... 25

6. Симулације ..................................................................................................... 29

6.1. Израда симулаципнпг мпдела ........................................ 29

6.2. Резултати симулације ....................................................... 36

7. Закључак ….......................................................................................................41

8. Литература ...................................................................................................... 42


4

1. Увпдна разматраоа

У пвпм раду ће бити ријечи п електрпмеханичкпм ппзиципнпм систему кпд кпга

је трзај синуспг пблика. Кпд ппзиципних система кретаое пбјекта се пдвија у три фазе:

убрзаваое, кретаое кпнстантнпм брзинпм и успправаое. Временскп трајаое фаза

убрзаваоа 𝑇1 и фазе успправаоа 𝑇2 је у већини случајева истп, дакле 𝑇1 = 𝑇2 = 𝑇. Пвп

вријеме зависи пд максималнпг убрзаоа 𝐴 и пд жељене брзине 𝑉 кпју пбјекат има у

тпку кретаоа кпнстантнпм брзинпм. Пва брзина је у истп вријеме и максимална брзина

кпју пбјекат пстварује у свим фазама кретаоа.

Максимална вриједнпст убрзаое 𝐴 се задаје, јер иста зависи пд снаге ппгпна и

вриједнпсти пптерећеоа или неких других пграничеоа. Имајући у виду гпроа времена,

и акп је жељенп вријеме ппзиципнираоа τ, пнда је вријеме за кпје се пбјекат креће

кпнстантнпм брзинпм 𝑡𝑣 = 𝜏 − 2𝑇. У пвпм раду разматрамп случај када су параметри

кретаоа пдабрани такп да је 𝜏 ≥ 2𝑇 тј. има фаза убрзаваоа, фаза кретаоа кпстантнпм

брзинпм и фаза успправаоа.

Трзаj 𝑗 се дефинише кап први извпд убрзаоа 𝑎 пп времену 𝑡, дакле:

𝑗 =𝑑𝑎

𝑑𝑡 1.1

Акп је убрзаое, на примјер пдскпчнпг пблика, пнда тп изазива вепма велике

трзаје (тепретски бескпначне) штп се вепма негативнп пдражава на механику система и

у неким случајевима (нпр. лифтпви, жичаре, авипни... ) и на кпмфпр путника. На

примјер кпд ратних авипна убрзаоа чак дпстижу 12𝑔 гдје је 𝑔 = 9,81𝑚

𝑠2 убрзаое

земљине теже. При пваквим екстремнп великим убрзаоима пилпти на тренутак губе

свијест. Пваква убрзаоа пбични људи би јпш теже ппднијели и пбичнп у лифтпвима

или неким другим трансппртним средствима гдје се превпзе људи убрзаое не прелази

3𝑔, па и маое, јер је и пвп убрзаое непријатнп за чпвјека.

Дакле, велике прпмјене убрзаоа изазивају снажне трзаје, пднпснп велике

ударе и инерцијалне силе, штп негативнп утиче на механику и укупну динамику

ппзиципнпг система. Велики трзаји мпгу изазвати велике вибрације механичких

дијелпва система, штп дпвпди дп велике (честп неприхватљивп) стаципнарне грешке и

великпг времена смиреоа.

Значајнп ппбпљшаое се ппстиже акп се убрзаое мијеоа пп некпј глаткпј кривпј.

Тиме се ппстиже да су трзаји, па и оегпви штетни ефекти, маои. Затп се честп кпд

прпјектпваоа ппзиципних система пплази пд унапред прпписане глатке прпмјене

трзаја. Нека је, на примјер, трзај синуснпг пблика. Тада, избпрпм пдгпварајуће

амплитуде и фреквенције мпжемп ппстићи да се у ппјединим фазама кретаоа трзај

мијеоа на унапријед прпписан начин. Међутим, глатка прпмјена трзаја ппвлачи да

трајектприја има математички слпженији пблик. Пвп даље значајнп услпжоава

управљачки дип ппзиципнпг система, а тиме и укупан ппзиципни систем.


5

Ппзиципни системи се честп кпристе у индустријским електрпмеханичким ппгпним,

кпд рпбпта, лифтпва и сл. Задатак пвпг система је да се ппстигну адекватна кретаоа

између тачке А дп тачке Б. Да би се прпјектпвап пвакав систем пптребнп је рјешити :

Планираое путаое: пдређиваое дпзвпљене путаое и свих параметара кретаоа

(трзаја, убрзаоа ,брзине, путаое и оихпвих максималних дпзвпљених

вриједнпсти...), детаљније п пвпме у ппглављу 3 и 4,

Прпјектпваое кпнтрплера: прпјектпваое feedback и feedforward кпнтрплера

кпји пбезбеђује реализацију жељене путаое, чак и када ппремећаји (интерни и

/ или екстерни) дјелују на пбјекат, па се на пвај начин пстварује тачније и брже

ппзиципнираое, детаљније п пвпме у ппглављу 5 , и

Друге прпблеме, кап штп су: дијагнпстика, кпмуникације, итд.

Тпкпм кретаоа пбјекта ппзиципне грешке мпгу бити велике. Стварне брзине и

убрзаоа, збпг грешке, мпгу бити мнпгп већи негп штп је планиранп (дпзвпљенп). Тп

мпже дпвести дп пдступаоа пд планиране трајектприје, и какп су брзине и убрзаоа

већи пд прпписаних мпже дпвести дп пштећеоа ппгпна и система. Ппред пвих

нежељених ппјава у тпку кретаоа пбјекта мпже се јавити и прпблем да на крају

кретаоа није ппстигнута жељена тачнпст ппзиципнираоа, или се истп ппстиглп за

знатнп дуже вријеме пд дпзвпљенпг. Да би пстварили жељена кретаоа са штп маоим

штетним утицајима пптребнп је урадити следеће:

1. Пбликпваое путаое. На слици 1.1 је приказан дијаграм брзине трапезнпг

пблика. Када имамп пвакав дијаграм брзине убрзаое је правпугапнпг пблика.

Гледајући слику 1.1 лакп је пписати прпмјену брзину и убрзаое, јер једначине

кпје пписују кретаое нису великпг степена. Пвп је практичнп немпгуће

пстварити из разлпга штп у реалнпм свијету приликпм убрзаваоа имамп силу

инерције. Дакле убрзаое не мпже бити пдскпчнпг пблика, јер би тп захтјевалп

да су прпмјене убрзаоа пстварују за бескпначнп краткп вријеме, штп је

немпгуће. Затп се у стварнпсти убрзаое мијеоа пп некпј глаткпј функцији и за

кпначнп вријеме. На слици 1.2. су приказани дијаграми убрзаоа и

брзине какви су најчешћи у реалнпм свијету.


6

Слика 1.1 Дијаграми убрзаоа и брзине

Са слике 1.2. се види да се приликпм фазе убрзаваоа и успправаоа

убрзаое мијеоа пп некпј глаткпј функцији. Штп је већи степен једначина кпјим

се пписује кретаое, пнп је тачније пписанп и ближе пблику кап у реалнпм

свијету. Акп се пплази пд тпга да је трзај синуснпг пблика пнда интеграцијпм се

дпбија убрзаое кпд кпјег су прпмјене сппре, па птуда и инерцијалне силе мале.

Пвај приступ има за ппсљедицу да се управљаое знатнп услпжоава јер је теже

прпјектпвати управоачки систем акп су једначине кретаоа вишег реда.


7

Слика 1.2. Дијаграми убрзаоа и брзине у реалнпм свијеуу

2. Feedforward1 кпнтрпла се прпјектује на бази инверзије пбјекта. Пвај приступ

даје дпбре резултате самп акп је мпдел пбјекта дпбрп ппзнат тј. елиминише

грешку услед референце, али има значајни недпстатак у ппгледу рпбуснпсти

система, више п пвпме у ппглављу 5,

3. Feedback2 кпнтрпла. Feedback кпнтрплер је саставни дип скпрп свих ппзиципних

система, пвп дпвпди дп смаоеоа стаципнарних грешака и времена смиреоа,

али у истп вријеме мпже да ппвећа прескпк и смаои стабилнпст затвпренпг

система. Пвим кпнтрплерпм се елиминишу ппремећаји кпје не мпжемп

математички пписати, више п пвпме у ппглављу 5.

1 иакп енглеска ријеч, термин feedforward (фидфорвард) се кпристи и у српскпм језику

2 такпђе енглески ппјам, у српскпм језику се кпристи feedback(фидбек), у смислу ппвратне инфпрмације


8

2. Математички мпдел пбјекта

У ппдручју аутпматскп управљаоа јавља се ппсебна група система кпја се

назива пбјекат кпја се најчешће пзначава са 𝑂 (у литератури на енглескпм језику

назива се Plant или Procesт, скраћенп 𝑃). Пбјекат се мпже дефинисати кап

систем пд кпга се захтјева да у прпписаним радним услпвима пствари

прпписанп диманичкп ппнашаое, а у прпизвпљним радним услпвима

динамичкп ппнашаое кпје мпже да пдступи пд оегпвпг жељенпг ппнашаоа

највише у дпзвпљеним границама.

Физички систем, у пвпм случају пбјекат, се мпже замјенити свпјим

математичким мпделпм. Математички мпдел система је фпрмални математички

ппис мпдела физичкпг система кпји усппставља једнпзначну везу између

излазних и улазних величина за прпизвпљне прпмјене улазних величина и

прпизвпљне ппчетне услпве, а исказан је ппмпћу математичких симбпла,

пперација и релација.

Слика 2.1 Елекупмеханички ппзиципни сисуем

Ппсматрајмп електрпмеханички (пбјекат), систем за ппзиципнираое, слика

2.1, гдје маса пбухвата масу свих ппкретних дијелпва (пптерећеоа и актуатпра).

За ппчетни тренутак, 𝑡0 = 0 претппстављенп је да су вриједнпсти трзаја,

убрзаоа, брзине и путаое нула, тј. 𝑗 0 = 𝑎 0 = 𝑣 0 = 𝑑 0 = 0. Силу 𝐹 𝑡

генерише актуатпр кпји мпра да савлада силу инерције (пд свих ппкретних маса)

и силу вискпзних треоа 𝑓𝑣 = 𝑏𝑣, гдје је 𝑏 кпефицијент вискпзнпг треоа. Друга

треоа (на примјер Кулпнпвп треое) се занемарују и оихпв утицај је изражен

крпз ппремећај 𝑤 𝑡 . Дакле једначине ппнашаоа система дата је кап:

𝐹 = 𝑚𝑑 + 𝑏𝑑 = 𝑚𝑎 + 𝑏𝑣 2.1

Ппслије Лапласпве трансфпрмације се дпбија пренпсну функција пбјекта

𝐺0 𝑠 тј. функција кпја даје пднпс излаз 𝐷 𝑠 у пднпсу на улаз 𝐹 𝑠 у

кпмплекснпм дпмену:

𝐹 𝑠 = 𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠 𝐷 𝑠 => 𝐺0 𝑠 =1

𝑚𝑠2+𝑏𝑠=

𝐷 𝑠

𝐹 𝑠 2.2


9

3. Пдређиваое закпна прпмјене кретаоа

Пвдје се анализира случај када се трзај у фази убрзаваоа и успправаоа мијеоа

пп синуснпј функцији. Ппстпје три фазе (интервала) кретаоа, за 𝑡 ∈ [0, 𝑇] је убрзаое, за

𝑡 ∈ [𝑇, 𝑡2] је устаљени перипд и трећа фаза у перипду за 𝑡 ∈ [𝑡2, 𝜏] је успправаое. Нека

се у ппјединим фазама кретаоа трзај мијеоа кап:

𝑗 =

𝐽 sin2𝜋

𝑇𝑡,

0,

−𝐽 sin2𝜋

𝑇 𝑡 − 𝑡2 ,

𝑡 ∈ [0, 𝑇]𝑡 ∈ [𝑇, 𝑡2]𝑡 ∈ [𝑡2, 𝜏]

3.1

гдје је са 𝑇 пзначен перипд убрзаваоа и успправаоа, са 𝑡2 = 𝜏 − 𝑇 је пзначен тренутак

када ппчиое фаза успправаоа пбјекта, а са 𝜏 укупнп вријеме кретаоа. Највећа

вриједнпст трзаја је пзначена са 𝐽 при чему је 2𝜋

𝑇= 𝜔 кружна фреквенција трзаја.

3.1. ПДРЕЂИВАОЕ ЗАКПНА ПРПМЈЕНЕ УБРЗАОА

Какп је трзај дат кап 𝑗 =𝑑𝑎

𝑑𝑡 , пнда је убрзаое 𝑎 = 𝑗 𝑑𝑡 + 𝐶𝑎 . Дакле, убрзаое се

дпбија интеграцијпм трзаја. За први перипд када 𝑡 ∈ [0, 𝑇] убрзаое се рачуна кап:

𝑎 = 𝐽 sin 2𝜋

𝑇𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶𝑎 = 𝐽 sin

2𝜋

𝑇𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶𝑎

смјенпм 2𝜋

𝑇𝑡=𝑥

𝑑𝑡=𝑇

2𝜋𝑑𝑥

,се дпбија:

𝑎 = 𝐽 𝑇

2𝜋sin(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝐶𝑎 =

𝐽 𝑇

2𝜋 sin(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶𝑎 = −

𝐽 𝑇

2𝜋cos 𝑥 + 𝐶𝑎

накпн враћаоа смјене 2𝜋

𝑇𝑡 = 𝑥, се дпбија:

𝑎 = −𝐽 𝑇

2𝜋cos

2𝜋

𝑇𝑡 + 𝐶𝑎


10

За први перипд интеграципну кпнстанту 𝐶𝑎 се пдређује из ппчетних услпва за

𝑡 = 0 убрзаое 𝑎 = 0 , такп да је,

0 = −𝐽 𝑇

2𝜋cos

2𝜋

𝑇∙ 0 + 𝐶𝑎 => 𝐶𝑎 =

𝐽 𝑇

2𝜋,

штп смјенпм у претхпдну једначину кпначнп даје убрзаое у првпм перипду кап:

𝑎 = −𝐽 𝑇

2𝜋cos

2𝜋

𝑇𝑡 +

𝐽 𝑇

2𝜋=

𝐽 𝑇

2𝜋 1 − cos

2𝜋

𝑇𝑡 .

У другпм перипду убрзаое је 𝑎 = 𝐶𝑎 . Интеграципну кпнстанту за други перипд

се рачуна из услпва да је за 𝑡 = 𝑇 убрзаое 𝑎 = 0 (дпбијенп из израза за убрзаое на

крају првпг интервала) такп да је и 𝐶𝑎 = 0. Дакле, у другпм перипду убрзаое је нула,

такп да је у тпм интервалу брзина кпнстантна.

У наставку извпђеоа се ппјављују исти или слични таблични интеграли за кпје су

написана самп рјешеоа. За перипд успправаоа када је 𝑡 ∈ 𝑡2, 𝜏 убрзаое се рачуна

кап:

𝑎 = 𝑗 𝑑𝑡 + 𝐶𝑎 = − 𝐽 sin 2𝜋

𝑇 𝑡 − 𝑡2 𝑑𝑡 + 𝐶𝑎 =

𝐽 𝑇

2𝜋cos

2𝜋

𝑇 𝑡 − 𝑡2 +𝐶𝑎

Интеграципна кпнстанта за трећи перипд (успправаое) се рачуна из услпва

𝑡 = 𝑡2 + 𝑇 = 𝜏 и 𝑎 = 0 => 𝐶𝑎 = − 𝐽 𝑇

2𝜋 , па је:

𝑎 = 𝐽 𝑇

2𝜋cos

2𝜋

𝑇 𝑡 − 𝑡2 −

𝐽 𝑇

2𝜋=

𝐽 𝑇

2𝜋 cos

2𝜋

𝑇 𝑡 − 𝑡2 − 1 .

Убрзаоа у свим перипдима гласе :

𝑎 =

𝐽 𝑇

2𝜋 1 − cos

2𝜋

𝑇𝑡 , 𝑡 ∈ [0, 𝑇]

0, 𝑡 ∈ [𝑇, 𝑡2]

𝐽 𝑇

2𝜋 cos

2𝜋

𝑇 𝑡 − 𝑡2 − 1 , 𝑡 ∈ [𝑡2, 𝜏]

3.2


11

3.2. ПДРЕЂИВАОЕ ЗАКПНА ПРПМЈЕНЕ БРЗИНЕ

Из убрзаоа 3.2 интеграцијпм се дпбија брзина за сваки перипд кретаоа. У

првпм перипду када је 𝑡 ∈ [0, 𝑇] брзину се рачуна:

𝑣 = 𝑎 𝑑𝑡 + 𝐶𝑣 = 𝐽 𝑇

2𝜋 1 − cos

2𝜋

𝑇𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶𝑣 =

𝐽 𝑇

2𝜋𝑡 −

𝐽 𝑇2

4𝜋2sin

2𝜋

𝑇𝑡 + 𝐶𝑣.

Интеграципна кпнстанта 𝐶𝑣 за први перипд се рачуна када је 𝑡 = 0 брзина

је 𝑣 = 0 => 𝐶𝑣 = 0 дакле 𝑣 за први перипд дпбија пблик:

𝑣 =𝐽 𝑇

2𝜋𝑡 −

𝐽 𝑇2

4𝜋2sin

2𝜋

𝑇𝑡 =

𝐽 𝑇2

4𝜋2

2𝜋

𝑇𝑡 − sin

2𝜋

𝑇𝑡 .

Ппштп је убрзаое у дугпм перипду једнакп нули дпбија се да је брзина за пвај

перипд:

𝑣 = 𝑎 𝑑𝑡 + 𝐶𝑣 = 0 𝑑𝑡 + 𝐶𝑣 = 𝐶𝑣.

Интеграципна кпнстанта 𝐶𝑣 за други перипд брзине се пдређује на тај начин штп се

у израз за први перипд брзине уврсти да је 𝑡 = 𝑇 => 𝐶𝑣 = 𝑣 𝑇 =𝐽 𝑇2

2𝜋, јер је брзина на

крају првпг перипда иста кап брзина на ппчетку другпг перипда. Пвп је максимална

брзина кпја се пстварује тпкпм кретаоа.

За трећи перипд (успправаое) када је 𝑡 ∈ [𝑡2, 𝜏] брзина се рачуна интрегацијпм

трећег перипда убрзаоа:

𝑣 = 𝑎 𝑑𝑡 + 𝐶𝑣 = 𝐽 𝑇

2𝜋 cos

2𝜋

𝑇 𝑡 − 𝑡2 − 1 𝑑𝑡 + 𝐶𝑣

𝑣 = −𝐽 𝑇

2𝜋𝑡 +

𝐽 𝑇2

4𝜋2 sin 2𝜋

𝑇 𝑡 − 𝑡2 + 𝐶𝑣.

У трећем интервалу кпнстанта 𝐶𝑣 се рачуна из услпва 𝑡 = 𝜏 = 𝑡2 + 𝑇 и брзине

𝑣 = 0, пдакле слиједи да је 𝐶𝑣 =𝐽 𝑇

2𝜋 𝑇 + 𝑡2 , такп да је:

𝑣 =𝐽 𝑇2

4𝜋2

2𝜋

𝑇 𝜏 − 𝑡 + sin

2𝜋

𝑇 𝑡 − 𝑡2 .


12

Сада су дпбијене брзине у свим перипдима кпје гласе:

𝑣 =

𝐽 𝑇2

4𝜋2

2𝜋

𝑇𝑡 − sin

2𝜋

𝑇𝑡 , 𝑡 ∈ [0, 𝑇]

𝐽 𝑇2

2𝜋 , 𝑡 ∈ [𝑇, 𝑡2]

𝐽 𝑇2

4𝜋2 2𝜋


2𝜋

𝑇 𝑡 − 𝑡2 , 𝑡 ∈ [𝑡2, 𝜏]

3.3

3.3. ПДРЕЂИВАОЕ ЗАКПНА ПРПМЈЕНЕ ПУТАОЕ

И на крају интеграцијпм једначина 3.3 се дпбија ппмјераое пднпснп пут 𝑑 :

𝑑 = 𝑣𝑑𝑡 + 𝐶𝑑 .

Из претхпднпг израза за први интервал када је 𝑡 ∈ [0, 𝑇] путаоа се рачуна кап:

𝑑 = 𝑣𝑑𝑡 + 𝐶𝑑 = 𝐽 𝑇2

4𝜋2 2𝜋

𝑇𝑡 − sin

2𝜋

𝑇𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶𝑑 =

𝐽𝑇

4𝜋𝑡2 +

𝐽𝑇3

8𝜋3 cos 2𝜋

𝑇𝑡 + 𝐶𝑑 .

Интеграципна кпстанта 𝐶𝑑 за први перипд се рачуна за 𝑡 = 0 па је

𝑑 = 0 => 𝐶𝑑 = −𝐽𝑇3

8𝜋3 , па кпнaчан пблик путаое за први перипд гласи:

𝑑 =𝐽𝑇

4𝜋𝑡2 −

𝐽𝑇3

8𝜋3 1 − cos 2𝜋

𝑇𝑡 .

За пстала два перипда кпнстанта 𝐶𝑑 се рачуна из услпва да је ппмјераое на крају

претхпднпг интервала истп кап на ппчетку нареднпг (непрекиднпст кретаоа). Сада

треба урадити интеграцију другпг перипда брзине да би дпбили пут:

𝑑 = 𝑣𝑑𝑡 + 𝐶𝑑 = 𝐽 𝑇2

2𝜋𝑑𝑡 + 𝐶𝑑 =

𝐽 𝑇2

2𝜋𝑡 + 𝐶𝑑 (3.4)

Израчуна се 𝑑 за први перипд путаое када је 𝑡 = 𝑇 :

𝑑(𝑇) =𝐽𝑇

4𝜋𝑇2 −

𝐽𝑇3

8𝜋3 1 − cos 2𝜋

𝑇𝑇 =

𝐽𝑇3

4𝜋


13

Затим се 𝑑(𝑇) =𝐽𝑇3

4𝜋 уврсти у израз (3.4) за други перипд путаое да би се израчуналп

𝐶𝑑 :

𝐽𝑇3

4𝜋=

𝐽 𝑇2

2𝜋𝑇 + 𝐶𝑑 => 𝐶𝑑 = −

𝐽T3

4𝜋 .

Уврштаваоем 𝐶𝑑 се дпбија израз за други перипд путаое:

𝑑 =𝐽T2

4𝜋 2𝑡 − 𝑇 .

Путаоа за перипд успправаоа се рачуна инетрацијпм треће једначине из (3.3):

𝑑 = 𝐽 𝑇2

4𝜋2 2𝜋


2𝜋

𝑇 𝑡 − 𝑡2 𝑑𝑡 + 𝐶𝑑 .

Кап и у претхпднпм перипду интеграципна кпнстанта за трећи перипд 𝐶𝑑 се

рачуна за 𝑡 = 𝑡2 , и узимајући у пбзир непрекиднпст кретаоа ( пређени пут на крају

устаљенпг перипда је исти кап и на ппчетку перипда успправаоа) дпбија се да је

𝐶𝑑 =𝐽𝑇2

4𝜋 𝜏 − 𝑇 +

𝐽𝑇3

8𝜋3 ,па је закпн путаое за трећи перипд:

𝑑 =𝐽𝑇2

2𝜋 𝜏 − 𝑇 −

𝐽𝑇2

2𝜋 𝜏 − 𝑡 2 +

𝐽𝑇3

8𝜋3 1 − cos 2𝜋

𝑇 𝑡 − 𝑡2 .

Такп да су ппмјераоа за све перипде кретаоа дата кап:

𝑑 =

𝐽𝑇

4𝜋𝑡2 −

𝐽𝑇3

8𝜋3 1 − cos 2𝜋

𝑇𝑡 , 𝑡 ∈ [0, 𝑇]

𝐽T2

4𝜋 2𝑡 − 𝑇 , 𝑡 ∈ [𝑇, 𝑡2]

𝐽𝑇2

2𝜋 𝜏 − 𝑇 −

𝐽𝑇2

2𝜋 𝜏 − 𝑡 2 +

𝐽𝑇3

8𝜋3 1 − cos 2𝜋

𝑇 𝑡 − 𝑡2 , 𝑡 ∈ [𝑡2, 𝜏]

3.5


14

На слици 3.1. дат је графички приказ прпмјене трзаја, убрзаоа, брзине и путаое

кпји је нацртан ппмпћу спфтвера MATLAB-а.

Слика 3.1. Графички приказ прпмјене урзаја, убрзаоа, брзине и пууаое

Пви дијаграми се цртају такп штп се изрази 3.1 , 3.2 , 3.3 и (3.5) тј. изрази

кпји садрже трзаје, убрзаоа, брзине и путаое за све три фазе упишу у MATLAB и пд оих

се направе функције. На примјер, извпрни кпд функције за рачунаое трзаја у MATLAB је

приказан на слици 3.2.

На ппчетку кпда је пптребнп дати име функцији. Затим се унесу глпбалне

прпмјеоиве кпје се кпристе у свим функцијама. Накпн пвпга ппставља се петља чиме је

пбезбијеђенп рачунаое трзаја у свакпм тренутку времена, кпјe је пдређенo вектпрпм t

дужине dd. Унутар петље je if … elseif … end структура прекп кпјих се бира пдгпварајућа

једначина из система (3.1), а зависнп пд временскпг интервала. На сличан начин пишу

се и функције за убрзаое, брзину и путаоу, с тим штп се кпристе једначине (3.2), (3.3) и

(3.5), редпм.


15

Слика 3.2 Унпс урзаја у MATLAB

Ппштп су функције написане, сада је пптребнп написати и прпграм кпји их

ппзива и пуни пдгпварајуће вектпре у кпјима су вриједнпсти параметара кретаоа

(трзаја ј, убрзаоа а, брзине v и ппмјераоа d) у дате свакпм тренутку времена t.

Претхпднп су пви вектпри дефинисани и напуоени нулама. На слици 3.3 је дат кпд тпг

прпграма у кпјем су зеленим слпвима написани кпментари. Кпментари се кпристе за

пбјашоеоа ппјединих дијелпва прпграма.

Слика 3.3. Ппзиваое функција

clf, close all % Zatvaranje svih slika koje su se prethodno pokrenute global J T t2 tau dt ts j a v d dd % Definisanje globalnih varijabli % koje se koriste u svim funkcijama. T=2;t2=4;tau=T+t2; J=3; % Zadavanje vrijednosti % pojedinih vremena i trzaja. % T vrijeme na kraju prvog perioda % t2 vrijeme na kraju drugog perioda % tau vrijeme na kraju treceg perioda (ukupno vrijeme kretanja) dt=0.01; ts=0; % Vrijeme pocinje od nula t=ts:dt:tau; % Vektor t se sastoji od ts,dt i tk dd=length(t); % Duzina vektora t je oznacena sa dd j=zeros(1,dd); % Potrebno je da se vektor trzaja napuni nulama a=j; v=j; d=j; % Kao i za 'j' isto radimo i za a, v i d %Pozivanje funkcija koje su prethodno napisane ј =trzaj(t); a=ubrzanje(t); v=brzina(t); d=put(t);

function j=trzaj(t) %Ime funkcije global J T t2 tau j dd t % Globalne promjenjive % koje se koriste u svim programima for i=1:dd if t(i) <= T; j(i)=J*sin(2*pi/T*t(i)); elseif t(i) > T & t(i) <= t2; j(i)=0; else t(i) > t2 & t(i) <= tau; j(i)=-J*sin(2*pi/T*(t(i)-t2)); end end


16

Накпн штп су ппзване функције пишу се кпдпви ппмпћу кпјих се цртају

дијаграми, слика 3.4. Сви дијаграми су нацртани заједнп да би се видјела међуспбна

зависнпст.

Слика 3.4 Кпд за цруаое дијаграма

Да се нацрта нпви дијаграм пптребнп је тп учинити функцијпм figure(n), гдје је n

прирпдан брпј кпји пзначава брпј слике. Акп се жели у пквиру истпг дијаграма нацртати

више пд једне криве пптребнп је тп "замрзнути" наредбпм hold on. Гптпву слику је

мпгуће сачувати, кпнвертпвати у ппгпдан фпрмат за укључиваое у друге дпкументе или

је дпрађивати.

Затим ппмпћу наредбе plot(x,y,s) се цртају дијаграми, гдје су аргументи „x“

вријеме у нашем случају, аргумент „y“ израз кпји садржи закпн прпмјене трзаја,

убрзаоа, брзине или путаое зависнп пд тпга шта се црта. Аргумент „s“ је стринг

карактер кпјим се дефинише бпја линије, врста линије и дебљина. За идентификацију

кривих на дијаграму се кпристи наредбу legend. Брпј аргумената у пвпј наредби мпже

да буде једнак максималнпм брпју различитих кривих на једнпм дијаграму, при чему је

битнп да се впди рачуна п редпследу. Први аргумент пдгпвара првпј кривпј у наредби

plot, идт. Пва наредба мпже да има ппследои аргумент кпји је ппципни (узима

вриједнпсти 1, 2, 3 или 4), и кпји дефинише пплпжај легенде у пднпсу на углпве слике.

Укпликп се стави вриједнпст 0, MATLAB бира најбпље мјестп за легенду, а акп се пвај

аргумент изпстави, узима се предефинисана вриједнпст (гпрои десни угап).

Натпис уз апсцисну псу се дпдаје наредбпм xlabel, пднпснп на прдинатну псу

наредбпм ylabel. Наредба title мпже да има дпдатне аргументе кпјима се мијеоају

атрибути текста. Са наредбпм grid се укључује мрежа на дијаграму.

Кпначнп, границе апсцисне и прдинатне псе су прпмјеоене наредбпм axis какп

би се дпбип најбпљи визуелни ефекат. Акп се кап аргумент наведе вектпр (кап штп је

кпд нас), ппстављају се нпве границе слике.

% Crtanje dijagrama figure(1) l1=plot(t,j,'-y','LineWidth',2); hold on l2=plot(t,a,'-g','LineWidth',2); l3=plot(t,v,'-b','LineWidth',2); l4=plot(t,d,'-r','LineWidth',2);grid hold off legend([l1;l2;l3;l4],['j';'a';'v';'d'],0) xlabel('vrijeme'),ylabel('j,a,v,d'), title('j=trzaj,a=ubrz.,v=brz. d=pomj.') ax=axis; axis([ax(1) ax(2) -4.5 8.5]);


17

Ппмпћу наведенпг ппступка су нацртани дијаграми са слике 3.1. Жутпм бпјпм је

нацртан трзај, зеленпм убрзаое, брзина плавпм и путаоа црвенпм. Лакп се упчава веза

између датих дијаграма. Ппгледајмп фазу убрзаваоа када трзај има ппзитивну

вриједнпст убрзаое расте, затим кад трзај има негативну вриједнпст убрзаое се

смаоује дп вриједнпсти нула на крају фазе убрзаваоа кпја је пзначена са 𝑇. Накпн фазе

убзаваоа наступа фаза устаљенпг кретаоа (брзина је кпнстантна) гдје се путаоа

мијеоа линеарнп дп тренутка када ппчиое успправаое 𝑡2. Сличнп се дешава и у фази

успправаоа кап у фази убрзаоа самп штп првп наступа негативна прпмјена трзаја па

тек пнда ппзитивна и на тај начин дпбијамп негативнп убрзаое кпје дпвпди дп

заустављаоа.


18

4. Планираое трајектприје – алгпритам

Прпблем планираоа трајектприје се свпди на прпблем рјешаваоа најкраћег

времена ппзиципнираоа, а да при тпме нити једна пд максималних вриједнпсти

параметара кретаоа не буде прекпрачена. Дакле, треба се ријешити питаое

ппзиципнираоа за најкраће вријеме а да при тпме не прекпрачи максималне

вриједнпсти трзаја 𝐽, убрзаоа 𝐴 и брзине 𝑉 и укупнпг ппмјераоа 𝐷. Маскималне

вриједнпсти трзаја, убрзаоа, брзине и пута у перипду убрзаоа тј. за 𝑡 ∈ 0, 𝑇 се

рачунају на следећи начин:

Трзај има максималну вриједнпст у тренутку 𝑡 =𝑇

4 , 𝑗𝑚𝑎𝑥 = 𝑗

𝑇

4 = 𝐽, с тим штп

трзај има исту пву вриједнпст али негативну у тренутку 𝑡 =3𝑇

4 тј. 𝑗

3𝑇

4 = −𝐽.

Убрзаое има максималну вриједнпст у тренутку 𝑡 =𝑇

2,

𝑎𝑚𝑎𝑥 = 𝑎 𝑇

2 =

𝐽𝑇

2𝜋 1 − cos

2𝜋

𝑇

𝑇

2 =

𝐽𝑇

𝜋 . 4.1

Брзина је највећа на крају перипда 𝑇, тј. када је 𝑡 = 𝑇 :

𝑣𝑚𝑎𝑥 = 𝑣 𝑇 = 𝐽𝑇

2𝜋𝑇 −

𝐽𝑇2

4𝜋2sin

2𝜋

𝑇𝑇 =

𝐽𝑇2

2𝜋 , 4.2

брзина задржава пву вриједнпст све дп тренутка 𝑡 = 𝑡2 .

Пут кпји се пређе у пвпм перипду 𝑡 ∈ 0, 𝑇 рачунамп за 𝑡 = 𝑇 ,

𝑑 𝑇 =𝐽𝑇

4𝜋𝑇2 −

𝐽𝑇3

4𝜋3 1 − cos 2𝜋

𝑇𝑇 =

𝐽𝑇3

4𝜋 . 4.3

Сада је пптребнп пдредити најкраће вријеме убрзаваоа 𝑇 = 𝑡𝑎 , такп да трзаји,

убрзаоа, брзине и пут не прелазе максималне вриједнпсти 𝐽, 𝐴, 𝑉 и 𝐷 кпји су задати. У

тпм смислу, даје се следећи алгпритам:

1. Рачуна се најкраће вријеме за кпје би се пстварилп жељенп кретаое. Најкраће

вријеме се ппстиже акп се ппзиципнираое пствари самп у тпку фазе убрзаваоа

и успправаоа (накпн убрзаваоа пдмах наступа успправаое), али ппд услпвпм


19

да задани параметри кретароа 𝐽, 𝐴 и 𝑉 не пређу дпзвпљене максималне

вриједнпсти. Сада на пснпву једначине (4.3) се рачуна ппмјераое 𝐷, кап

𝐷 = 2 𝑑 𝑇 = 2𝐽 𝑡𝑎

3

4𝜋=

𝐽 𝑡𝑎3

2𝜋=> 𝑡𝑎 =

2𝜋𝐷

𝐽

3,

гдје су 𝐷 и 𝐽 задане максималне вриједнпсти ппмијереоа и убрзаоа. Фактпр 2

у гпроем изразу се јавља, јер израчунатп ппмјераое се пднпси и на фазу

убрзаваоа и успправаоа.

2. Гпре израчунатп 𝑡𝑎 се уврсти у израз 4.1 да се прпвјери да ли за такп

израчунатп 𝑡𝑎 убрзаое не прелази максималну дпзвпљену вриједнпст А:

𝑎 = 𝐽 𝑡𝑎

𝜋.

3. Сада је пптребнп уппредити 𝑎 и А. Акп је 𝑎 ≤ А пстаје предхпднп израчунатп 𝑡𝑎 ,

а кап је 𝑎 > А пнда 𝑡𝑎 се рачуна из израза 4.1 :

𝑡𝑎 =А𝜋

𝐽,

на пснпву тпга времена се рачуна брзину 𝑣 у фази устаљене брзине кпја се

дпбија из израза 4.2 :

𝑣 =𝐽𝑡𝑎

2

2𝜋.

4. Акп је 𝑣 > 𝑉 , пнда се ппнпвп рачуна вријеме 𝑡𝑎 кап 𝑡𝑎 = 2𝜋𝑉

𝐽 , а акп је 𝑣 ≤ 𝑉

пстаје раније израчунатп 𝑡𝑎 .

5. Укупнп ппмјераое 𝐷 тпкпм фазе убрзаваоа и усппреоа датп кап 𝐷 = 2𝐽𝑡𝑎

3

4𝜋=

𝐽 𝑡𝑎3

2𝜋,

дакле пвај пут 𝐷 се пређе самп за перипд убрзаваоа и усправаоа,

6. Упбичајнп је да је 𝐷 < 𝐷, тј. да ппред убрзаваоа и усправаоа имамп и интервал

устаљене брзине. У тпм случају се рачуна вријеме 𝑡𝑣, трајаоа фазе кретаоа

устаљенпм брзинпм, кап:

𝑡𝑣 =𝐷 − 𝐷

𝑣𝑚𝑖𝑛 ,

гдје је 𝑣𝑚𝑖𝑛 маоа вриједнпст пд израчунате 𝑣 и задане брзина 𝑉. Вријеме 𝑡𝑣 је

приказанп на слици 3.1. и представља вријеме имеђу убрзаваоа и успправаоа

(кпнстантна брзина) тј. 𝑡𝑣 ∈ 𝑇, 𝑡2 .


20

Ради лакшег схватаоа пвај алгпритам је најпрегледније нацртати у пблику

дијаграма тпка:

ДА

НЕ

ДА

НЕ

Слика 4.1 Планираое урајекуприје – алгприуам

J, A, V, D

𝑡𝑎 = 2𝜋𝐷

𝐽

3

𝑣 = 𝑣 𝑡𝑎

𝑣 > 𝑉

𝑡𝑎 = 2𝜋𝑉

𝐽

𝐷 =𝐽𝑡𝑎

3

2𝜋

𝑡𝑣 =𝐷 − 𝐷

𝑣𝑚𝑖𝑛

𝑎 = 𝑎 𝑡𝑎

𝑎 > 𝐴 𝑡𝑎 =А𝜋

𝐽

𝑣𝑚𝑖𝑛 𝑣 , 𝑉


21

5. Прпјектпваое кпнтрплера

Пбјекат из ппглавља 2 сам пд себе не мпже да пствари жељенп кретаое, те је збпг

тпга пптребнп генерисати такве улазне величине пбјекта кпје ће присилити пбјекат на

захтјеванп кретаое. Дакле, неппхпдан је и управљачки систем кпји ће свпјим

дјелпваоем на пбјекат пстварити жељенп кретаое. Ппред управљаоа, на пбјекат мпгу

дјелпвати улази кпји се мијеоају независнп пд жељенпг ппнашаоа пбјекта. Такви

улази се називају ппремећајима.

Кпд прпјектпваоа управљачкпг система и пве величине се мпрају узети у пбзир.

Оихпвп дјелпваое на пбјекат је неппжељнп, такп да се оихпв утицај на излаз мпра

пслабити (пптиснути) или пптпунп елеминисати. Пвај прпблем управљаоа рјешава се

кпришћеоем различитих типпва кпнтрплера. Пвдје је тп пстваренп кприштеоем

кпмбинације feedforward и feedback кпнтрплера, чиме се значајнп ппбпљшавају

перфпрмансе укупнпг електрпмеханичкпг ппзиципнпг система.

Увпђеоем feedback кпнтрплерa смаоује се грешке кпја настаје збпг неппзнатпг

математичкп мпдела пбјекта, нелинеарнпсти пбјекта или ппремећаја кпји се не мпгу

мјерити и/или предвидјети. Управљаое кпје feedback кпнтрплер генерише фпрмира се

на пснпву разлике стварне и жељене вриједнпсти (грешке) излаза, такп да тп

управљаое дјелује на пбјекат у циљу елеминисаоа те разлике. П пвпме више у

ппглављу 5.2.

Feedforward кпнтрплер елеминише грешке услед референце. Да би бпље разумјели

feedforward кпнтрплер, ппслужимп се примјерпм из свакпдневнпг живпта:

“Када лппуа леуи према нама и желимп је ухвауиуи мпрамп прпцијениуи

пууаоу лппуе. Дакле уреба ускладиуи креуаое према креуаоу лппуе. Какп се

лппуа приближава мпже се десиуи (на примјер усљед вјеура) пдсуупаое суварне

пууаое пд пчекиване пууаое лппуе. Зауп и ми мпрамп у складу са уим

прилагпдиуи наше ппкреуе.“

У пвпм примјеру визуелнпг система, feedforward кпнтрплер је наш мпзак. Пн мпра

да генерише сигнале за кпнтрплу мишића, такп да се исти прпизведу кретаое кпје ће

дпвести дп хватаоа лппте. Дакле, feedforward кпнтрплер предвиђа пднпс између

система и пкружеоа, а све у циљу пдређиваоа пдгпварајућег дјелпваоа на пбјекат

управљаоа. Из пвпга се види да је ппжељнп имати и feedforward кпнтрплер. Међутим,

пдлука п тпме да ли или не кпристити feedforward кпнтрплу зависи пд тпга да ли је

пправданп ппвећати трпшкпве за имплементацију и пдржаваое.


22

Feedback и feedforward су пдвпјени кпнтрплери, такп да исти имају ппсебне

структуре, кап штп је приказанп на слици. 5.1.

Слика 5.1. Приказ feedforward и feedback кпнуплера

Према слици 5.1., feedback кпнтрплер инфпрмацију п стварнпј вриједнпсти

излаза узима ппмпћу сензпра. На пснпву те инфпрмације и жељене вриједнпсти

излаза рачуна се тренутна грешка. На пснпву те грешке feedback кпнтрплер генерише

управљаое. Дакле, feedback кпнтрплер за генерисаое управљаоа кпристи

инфпрмације п жељенпј и стварнпј вриједнпсти излаза. За разлику пд оега,

feedforward кпнтрплер за генерисаое управљаоа кпристи самп инфпрмације п

жељенпј вриједнпсти излаза (референци) и генерише управљаое кпје настпји да

умаои или пптпунп елеминише грешку насталу усљед прпмјене референце. Касније ће

се ппказати да је за кприштеое feedforward кпнтрплера, у кпнфигурацији кап на слици

5.1., вепма важнп дпбрп ппзнаваое математичкпг мпдела пбјекта.

Кпнфигурација целпкупнпг система у пвпм раду је кап на сл. 5.2. Дакле пвдје

имамп кпнтрплер кпји се састпји пд feedback и feedforward кпнтрплера, чије су

пренпсне функције 𝐶 𝑠 и 𝐶𝐹 𝑠 редпм. Реферецна је пзначена са 𝑑 (жељена путаоа),

излаз са 𝑦, а ппремећаји са 𝑤. Улаз feedback кпнтрплера је грешка е (разлика

жељене и стварне вриједнпсти излаза), а излаз је управљаое 𝑢𝐵 . Кпд feedforward

кпнтрплера улаз је жељена путаоа 𝑑, а излаз управљаое 𝑢𝐹 . Излази из пва два


23

кпнтрплера, излази 𝑢𝐵 и 𝑢𝐹 , се сабирају и на тај начин фпрмирају управљаое пбјектпм

кпд пвпг електрпмеханичкпг ппзиципнпг система.

Слика 5.2. Feedback 𝐶 𝑠 ,Feedforward 𝐶𝐹 𝑠 кпнурплер и пбјекау 𝐺0 𝑠

Какп се електрпмеханички ппзиципни систем састпји пд feedback кпнтпрлера

𝐶 𝑠 и feedforward кпнтрплера 𝐶𝐹 𝑠 и пбјеката 𝐺0 𝑠 , на кпје дјелују ппремећаји 𝑤

излазна грешка 𝑒 𝑠 , (разлика жељене и стварне вриједнпсти путаое) дата је кап:

𝑒 = 𝑑 − 𝑦 ,

штп заједнп са једначинпм ,

𝑦 = 𝐺0 𝑒𝐶 + 𝑑𝐶𝐹 + 𝑤 ,

и накпн једнпставних трансфпрмација даје укупну грешку е(s) у кпмплекснпм дпмену

кап:

𝑒 = 𝑑 − 𝑒𝐶𝐺0 − 𝑑𝐶𝐹𝐺0 − 𝑤𝐺0

𝑒 1 + 𝐶𝐺0 = 𝑑 1 − 𝐶𝑓𝐺0 − 𝑤𝐺0

𝑒 =1−𝐶𝐹𝐺0

1+𝐶𝐺0𝑑 −

𝐺0

1+𝐶𝐺0𝑤 5.1

Из израза 5.1 дплазимп дп закључка да грешка „𝑒“ зависи пд ппремећаја „ 𝑤“

и референце „𝑑“.


24

5.1. Прпјектпваое feedforward кпнтрплера

Из једначине (5.1) се види да излазна грешка садржи двије кпмппненте, једна

зависна пд референце (грешка збпг референце 𝑒𝑟 ), а други пд ппремећаја (грешка збпг

ппремећаја 𝑒𝑤 ). Да би пбјекат асимптптски пратип референцу мпра бити задпвпљен

услпв да је 𝑒𝑟 = 0, штп ппвлачи да је пренпсна функција feedforward кпнтрплера 𝐶𝐹 𝑠 дата кап:

1 − 𝐶𝐹𝐺0 = 0 => 𝐶𝐹 =1

𝐺0

Узимајући у пбзир пренпсну функцију пбјекта 𝐺0 дпбија се пренпсна функција

feedforward кпнтрплера кап:

𝐶𝐹 𝑠 =𝑢𝐹 𝑠

𝑑 𝑠 = 𝐺0

−1 𝑠 = 𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠 5.2

Пва пренпсна функција је несвпјствена, а за реализацију управљаоа 𝑢𝐹 се

кпристи диференцираое кап штп је пписанп у [5]. Кпристећи наведени ппступак дпбија

се:

𝑢𝐹 = 𝐶𝐹 𝑠 𝑑 𝑠 = 𝐺0−1 𝑠 𝑑 𝑠 = 𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠 𝑑 𝑠

= 𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠 1

𝑠2𝑑 𝑡 =

𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠

𝑠2𝑑 𝑡 = 𝑚𝑑 𝑡 + 𝑏

1

𝑠𝑑 𝑡

= 𝑚𝑑 𝑡 + 𝑏𝑑 𝑡 𝑑𝑡

𝑢𝐹 = 𝑚𝑑 𝑡 + 𝑏𝑑 𝑡 .

При тпме је кприштена пспбина кпд линеарних система важи 𝑑 𝑡

𝑠2 = 𝑑 𝑠 .

Какп је 𝑎 = 𝑑 𝑡 и 𝑣 = 𝑑 (𝑡), дпбија се да је излаз feedforward кпнтрплера у

временскпм дпмену:

𝑢𝐹 𝑡 = 𝑚𝑎 + 𝑏𝑣 5.3


25

Израз 5.3 се мпже у MATLAB-у реализпвати кап штп је приказанп на слици 5.3:

vFu

a

1

2

1 b

m

Слика 5.3. Feedforward кпнурплер

5.2. Прпјектпваое feedback кпнтрплера

Кап штп је предхпднп гпвпренп честп се дешава да математички мпдел пбјекта и

ппремећаја није ппзнат, негп су пбјекти или дпминантнп нелинеарни или им је

математички мпдел неппзнат. У тпм случају, најједнпставније је кап кпнтрплер

кпристити стандардни ПИД кпнтрплер. Ппдешаваоем параметара ПИД кпнтрплера се

дпбија систем чије ће стварнп ппнашаое бити вепма блискп жељенпм ппнашаоу. Пвај

приступ је данас вепма распрпстраоен у пракси, такп да су ПИД кпнтрплери ппстали

кпмерцијални прпизвпди кпји се збпг приступачне цијене и дпбрих пспбина маспвнп

кпристе.

ПИД кпнтрплер се састпји пд прпппрципналне, интегралне и деривацијске

кпмппненте кап штп је приказанп на слици 5.4:

Слика 5.4 Кпмппненуе ПИД кпнурплер


26

Сада ће се пбјаснити улпге наведених кпмппненти у ПИД кпнтрплеру:

Прпппрципнална кпмппнента:

Кпд класичних пn/пff кпнтрплера ппстпје самп два нивпа управљаоа (максималнп

или минималнп) кпји зависе пд предзнака грешке. Збпг тпга у већини случајева прекп

пвих кпнтрплера није мпгуће испунити захтјеве кпји се намећу на укупан систем

аутпматскпг управљаоа. Бпље ппнашаое укупнпг система се ппстиже акп је

управљаое 𝑢 𝑡 сразмјернп грешци 𝑒 𝑡 , пднпснп:

𝑢 𝑡 = 𝑘𝑝𝑒 𝑡 = 𝑘𝑝 𝑑 𝑡 − 𝑦 𝑡 5.4

гдје је 𝑘𝑝 реална кпнстанта – ппјачалп. Пвај кпнтрплер у литератури се назива

прпппрципнални или П кпнтрплер. Оегпва пренпсна функција је кпнстанта 𝑘𝑝 ,

пднпснп:

𝐶𝑝 𝑠 =𝑈 𝑠

𝐸 𝑠 = 𝑘𝑝

Интегрална кпмппнента:

Самп прпппрципнални кпнтрплер кпд пбјеката не мпже елиминисати грешку

стаципнарнпг стаоа. Пна се елиминише примјенпм кпнтрплера кпд кпјег је управљаое

𝑢 𝑡 у тренутку 𝑡 сразмјернп интегралу грешке 𝑒 𝑡 пд ппчетнпг дп тпг тренутка:

𝑢 𝑡 = 𝑘𝑖 𝑒 𝜏 𝑡

0𝑑𝜏 5.5

гдје је 𝑘𝑖 реална кпнстанта кпја се назива интегралнп ппјачаое. Кпнтрплер кпји

фпрмира управљаое пп гпроем закпну у литератури је ппзнат кап интегрални И

кпнтрплер. Пренпсна функција интегралнпг кпнтрплера је :

𝐶𝑖 𝑠 =𝑈 𝑠

𝐸 𝑠 =

𝑘𝑖

𝑠


27

Деривацијска кпмппнента:

Кпд деривацијскпг или Д кпнтрплера управљаое је сразмјернп брзини прпмјене

грешке. Акп је 𝑒 𝜏 грешка у садашоем тренутку 𝑡, пнда је 𝑒 𝑡 + 𝑇𝑑 грешка кпја за 𝑇𝑑

касни у пднпсу на 𝑡 или другим ријечима тп је предвиђена (будућа) грешка у тренутку

𝑡 + 𝑇𝑑 . Најједнпставније предвиђаое дпбијамп прекп линеарне интерпплације:

𝑒 𝑡 + 𝑇𝑑 ≈ 𝑒 𝑡 + 𝑇𝑑

𝑑𝑒 𝑡

𝑑𝑡

гдје је 𝑇𝑑 вријеме за кпје се та грешка предвиђа. У пвпј једначини 𝑇𝑑𝑑𝑒 𝑡

𝑑𝑡 је предвиђена

прпмјена грешке кпја се дпгађа накпн 𝑇𝑑 тренутка у пднпсу на садашои тренутак 𝑡 и

садашоу грешку 𝑒 𝑡 . Значи , кпд деривацијскпг кпнтрплера управљаое је датп кап:

𝑢 𝑡 = 𝑘𝑑𝑑𝑒 𝑡

𝑑𝑡 ,

гдје је са 𝑘𝑑 пзначена деривацијска кпстанта. Из претхпднпг израза дпбијамп

пренпсну функцију деривацијскпг кпнтпрелра:

𝐶𝑑 𝑠 =𝑈 𝑠

𝐸 𝑠 = 𝑘𝑑𝑠 5.6

Слика 5.5 Инуегралнп, прпппрципналнп и деривацијскп дјелпваое.

Дакле када се сппји прпппрципнална, интегрална и деривацијска кпмппнета

дпбије се ПИД кпнтрплер. Тп нам пмпгућује да имамп прпппрципналнп управаљаое

ппмпћу прпппрципналнпг кпнрплера, затим деривацијски кпнтрплер пмпгућава

елиминисаое грешака у прелазнпм перипду без псцилација (бржи пдзив) и интегрални

кпнрплер пмпгућава елиминисаое грешке у стаципнарнпм стаоу. Ппштп се ПИД


28

кпнтрплер састпји пд П, И и Д кпмппненте, сабираоем пренпсних функиција ппменитих

кпмппненти се дпбија пренпсна функција ПИД кпнтрплера:

𝐶 𝑠 = 𝑘𝑝 +𝑘𝑖

𝑠+ 𝑘𝑑𝑠 =

𝑘𝑑𝑠2+𝑘𝑝 𝑠+𝑘𝑖

𝑠=

𝑈 𝑠

𝐸 𝑠 5.7

Пренпсна функција ПИД кпнтрплера (5.7) заједнп са пренпснпм функцијпм

пбјекта (2.2) даје карактеристичан пплинпм затвпренпг система ∆ 𝑠 кпји се дпбија на

следећи начин:

𝐺 𝑠 =𝐶 𝑠 𝐺0 𝑠

1 + 𝐶 𝑠 𝐺0 𝑠 =

𝑘𝑑𝑠2 + 𝑘𝑝𝑠 + 𝑘𝑖

𝑠∙

1𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠

1 +𝑘𝑑𝑠2 + 𝑘𝑝𝑠 + 𝑘𝑖

𝑠 ∙1

𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠

=𝑘𝑑𝑠

2 + 𝑘𝑝𝑠 + 𝑘𝑖

𝑚𝑠3 + 𝑏 + 𝑘𝑑 𝑠2 + 𝑘𝑝𝑠 + 𝑘𝑖

да би се пслпбпдили у називнику кпефицијента уз највиши степен пптребнп је

ппмнпжити и називник и брпјник са 1

𝑚 :

𝐺 𝑠 =

𝑘𝑑𝑠2 + 𝑘𝑝𝑠 + 𝑘𝑖

𝑚

𝑠3 +𝑏 + 𝑘𝑑

𝑚 𝑠2 +𝑘𝑝

𝑚 𝑠 +𝑘𝑖

𝑚

.

Дпбип се систем трећег реда. Из теприје је ппзнатп ( *3+ ) да се ппнашаое

система трећег реда у већини случајева мпже апрпксимирати ппнашаоем система

другпг реда кпјем је дпдан јпш један ппл кпји је у лијевпј пплуравни s-равни знатнп

даље пд дпминантних пплпва. Карактеристични пплинпм система другпг реда мпже се

писати кап 𝑓 𝑠 = 𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2 , при чему су дпминантни пплпви кпрјени

једначине 𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2 = 0, дпк је трећи ппл кпрјен једначине 𝑠 + 𝛼 = 0. У

тпм случају карактеристични пплинпм затвпренпг система:

∆ 𝑠 = 𝑠3 +𝑏+𝑘𝑑

𝑚𝑠2 +

𝑘𝑝

𝑚𝑠 +

𝑘𝑖

𝑚 5.8

је исти кап кап карактеристични пплинпм апрпксимиранпг система,

∆𝑧 𝑠 = 𝑠 + 𝛼 𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2 . 5.9

У пвпм пплинпму са 𝜉 је пзначен степен пригушеоа, са 𝜔𝑛 непригушена властита

фреквенција, а 𝛼 је трећи ппл. Ппштп пдзив система зависи пд 𝜉, 𝜔𝑛 и 𝛼 , пви

параметри се мпрају пдабрати на пснпву жељенпг ппнашаоа система. Пвакп пдабрани

параметри ће даље услпвити параметре ПИД кпнтрплера.


29

Из теприје је ппзнатп да је за степене пригушеоа кпји су 𝜉 ≥ 1 пдзив система

има аперипдски карактер. Какп се кпд ппзиципних система зактијева да грешка излаза

тежи нули без псцилација тп значи да је у начем случају 𝜉 ≥ 1. Кап примјер за тп

навешћемп инк-јет штампач. Кпд оега приликпм штампаоа слпва не смије дпћи дп

псцилација пкп захтјеване ппзиције, јер би тп услпвилп разлијеваое мастила и

неправилнп исписанп слпвп. Такпђе, из теприје је ппзнатп да је пдзив најбржи акп је

𝜉 = 1, такп да је у нашем случају усвпјена пва вриједнпст. Тада су дпминантни пплпви

рјешеоа једначине 𝑠2 + 2𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2 = 0 штп даје 𝑠1,2 = −𝜔𝑛 .

Какп је већ реченп ппл 𝑠3 = −𝛼 лежи на реалнпј пси и мпра бити мнпгп већи (пп

апсплутнпј вриједнпсти) пд реалних дијелпве пплпва 𝑠1,2, јер је у тпм случају оегпв

утицај на пдзив система вепма мали. У симулацијама у ппглављу 6 се анализира

ппнашаое система за разне вриједнпсти ппла 𝛼. Са пдабраним параметрима 𝜉 , 𝜔𝑛 и 𝛼

из (5.9) се дпбија карактеристични пплинпм ∆𝑧 𝑠 кап:

∆𝑧 𝑠 = 𝑠3 + 2𝜉 𝜔𝑛 + 𝛼 𝑠2 + 𝜔𝑛2 + 2𝛼𝜉𝜔𝑛 𝑠 + 𝛼𝜔𝑛

2

штп из услпва једнакпсти са пплинпмпм (5.8) даје параметре ПИД кпнтрплера кап:

𝑘𝑑 = 𝑚 2𝜔𝑛 + 𝛼 − 𝑏

𝑘𝑝 = 𝑚𝜔𝑛 2𝛼 + 𝜔𝑛 5.10

𝑘𝑖 = 𝑚𝛼𝜔𝑛2.

Сада је пптребнп дпказати да електрпмеханички ппзиципни систем (слика 5.2),

са кпнтрплерпм (5.7) и пбјектпм (2.2) елеминише ппремећаје пдскпчнпг пблика у

стаципнарнпм стаоу. Предппстављенп је да на ппменути систем дјелује ппремећај

пдскпчнпг пблика амплитуде 𝑤0, и какп је 𝑤 𝑡 = 𝑤0𝑕 𝑡 => 𝑊 𝑠 =𝑤0

𝑠, из једначине

(5.1) слиједи:

𝑒𝑤 𝑠 =𝐺0 𝑠

1+𝐶 𝑠 𝐺0 𝑠 𝑊 𝑠 =

1

𝑚𝑠2+𝑏𝑠

1+𝑘𝑑𝑠2+𝑘𝑝 𝑠+𝑘𝑖

𝑠∙

1

𝑚𝑠2+𝑏𝑠

𝑤0

𝑠=

𝑠

∆ 𝑠

𝑤0

𝑠 5.11

Из израза 5.11 и пспбине Лапласпве трансфпрмације (Тепрема крајое

вриједнпсти) lim𝑡→∞ 𝑓 𝑡 = lim𝑠→0 𝑠𝐹 𝑠 се рачуна стаципнарна грешка 𝑒𝑤 ∞ кап:

𝑒𝑤 ∞ = lim𝑡→∞ 𝑒𝑤 𝑡 = lim𝑠→0 𝑠𝑒𝑤 𝑠 = lim𝑠→0

𝑠𝑠

∆ 𝑠

𝑤0

𝑠= 0.

Дакле, и грешку кпја настаје услед пдскпчнпг ппремећаја се мпже елиминисати.


30

6. Симулација

6.1. Израда симулаципнпг мпдела

У претхпдним ппглављима прпблематика прпјектпваоа електрпмеханичкпг

ппзиципнпг система са кпнтпрплисаним трзајем разматрана тепретски. Пва тепретска

разматраоа је пптребнп на неки начин и дпказати. За тп се, у пвпм раду, кпристи

симулација. За симулацију наведенпг система кпристи се спфтвер MATLAB 7.12.0 version

R2011а и оегпв алат SIMULINK.

Пптребни ппдаци симулаципнпм прпграму се предају прекп m-датптеке (прпграмска

датптека са екстензијпм m). Пва датптека садржи ппдатке ппзиципнпг система са

слике 5.3. На слици 6.1 је извпрни кпд у кпјем су унешени маса, кпефицијент

Слика 6.1. Кпд у MATLAB-у

вискпзнпг треоа, пренпсна функција, максималне вриједнпсти трзаја 𝐽, убрзаоа 𝐴 и

брзине 𝑉 и укупнпг ппмјераоа 𝐷, степен пригушеоа, непригушена фреквенција и

изразе за израчунаваое параметара ПИД кпнтрплера.

Наредбпм tf дефинише се мпдел у пблику пренпсне функције. Пва наредба има

два аргумента, вектпре чији су елементи кпефицијенти пплинпма у брпјипцу и

именипцу пренпсне функције.

Задане су вриједнпсти степена пригушеоа 𝜉 = 1 и дата вриједнпст властите

фреквениције 𝜔𝑛 = 4. Ппштп ппл 𝛼 треба бити мнпгп већи (пп апсплутнпј вриједнпсти)

пд непригушене фреквенције 𝜔𝑛 усвпјенп је 𝛼 = 10𝜔𝑛 . Дакле, вриједнпст ппла 𝛼 је

десет пута већа пд пплпва 𝑠1,2 = 𝜔𝑛 , из разлпга да би утицај тпга ппла бип штп маои на

%program Pozicionisistem.m %Datoteka u kojoj su napisani parametri elektromehanickog poziciono sistema clf; close all,clear all % Zatvaranje prethodno pokrenutih slika global m kb ksi alfa kd kp ki omegan D J A V m=10;kb=.5; % masa i koeficijent viskoznog trenja Go=tf([1],[m,kb,0]); % prenosna funkcija objekta D=6;J=4;A=3;V=2; %maksimalne vrijednosti D, J, A i V ksi = 1; omegan = 4; %stepen prigusenja i frekvencija alfa = 10*omegan; kd = 2*m*ksi*omegan+m*alfa-kb; % diferencijalna konstanta kp = 2*m*ksi*omegan*alfa+m*omegan^2; %proporcionalna konstanta ki = m*omegan^2*alfa; %integraciona konstanta


31

пдзив система. У наставку прпграма рачунају се параметри ПИД кпнтрплера према

изразима 5.10 .

Ппкретаое симулације се врши наредбпм „sim“. Симулаципни дијаграм је

смјештен у датптеци Simulicije.MDL , такп да се симулација ппкреће са sim('Simulicije').

У наставку се пише кпд кпји ће израчунати максималне вриједнпсти излаза, грешке и

управљаоа.

Слика 6.2 Кпд за израчунаваое максималне вриједнпсуи излаза, грешке, управљаоа и факупра дијељеоа

Симулаципни прпграм кпји је смјештен у датптеци 'Simulicije.mdl' враћа низпве

yy, uu и ee у кпјима су редпм смјештени ппдаци п стварним вриједнпстима излаза,

управљаоу и грешци излаза. Да би се пви ппдаци прегледнп приказали на једнпм

дијаграму у наставку се рачуна фактпр дијељеоа, назван ratio, види слику 6.2. Ппштп

ппменути фактпр дијељеоа није цијели брпј наредба „fix“ запкружује фактпр

дијељеоа на први ближи цијели брпј. У наставку је написан кпд за цртаое дијаграма

сличнп кап на слици 3.4. Други и трећи ред пд краја на слици 6.2 садрже кпд у кпме се

%pokretanje simulacije sim'Simulicije') % simulacija zavrsena %Prikazivanje odabranih vrijednosti sa HMSJ_FeedF simulacije: w = stepfun(t,0)'; % Poremecaj odskocnog oblika ym = max(abs(yy)) ; % max pomjeranje [m] um = max(abs(uu)) ; % max upravljanje [N] em = max(abs(ee)) ; % max greska [mm] ratio = fix(um/ym) ; % faktor djeljenja u, radi prikaza na istom grafiku % Crtanje dijagrama figure(1) l1=plot(t,dd,'-y','LineWidth',2); hold on l2=plot(t,yy,'--r','LineWidth',2); l3=plot(t,w,'-m' ,'LineWidth',1); l4=plot(t,ee,'-c' ,'LineWidth',2); l5=plot(t,uu * 1/ratio,'-b' ,'LineWidth',1);grid ax=axis; plot([ax(1),ax(2)],[0,0],'-k'); plot([t3,t3],[ ax(3) ax(4)],'--k','LineWidth',2) hold off legend([l1;l2;l3;l4;l5],[' d ';' y ';' w ';' e ';' u/b'],0) text(.1,-em-.5 ,strcat('e_m=',num2str(em),' [mm]')) text(.1,um/ratio+.1 ,strcat('u_m=',num2str(um),' [N]',', faktor b=',num2str(ratio))) xlabel('vrijeme t'),ylabel('d,y,w,u,e'), title('d = zeljeni izlaz, y = stvarni izlaz, w = poremecaj, u = upravljanje, e = greska')


32

исписује текст за максималну грешку и максималну силу. У пвим кпдпвима се пдређује

гдје треба да се испише вриједнпсти на дијаграму и мјерне јединице.

На слици 5.2 је приказан електрпмеханички ппзиципни систем у пблику блпк-

дијаграма. Према тпме се прави мпдел у SIMULINK-у за симулацију,видјети слику 6.3.

Слика 6.3 Мпдел у SIMULINK-у

У SIMULINK-у, видјети слику

6.3. убачени су блпкпви за

максималану вриједнпст трзаја,

убрзаоа, брзине и путаое кпји су

ппвезани са Pozicionisistem.m

датптекпм. Ппмпћу мултиплексера

задане вриједнпсти се унпсе у

S-функцију, кпја је преузета из ([1]).

S-функција генерише трзај и

пмпгућава симулацију у свим

тренуцима кап у реалнпм свијету.

Ппред наведенпг у

S-функцији је написан кпд у кпме се

рачуна вријеме убрзаваоа и вријеме

кретаоа кпнстантнпм брзинпм

према алгпритму датпм на слици

4.1. Кпд кпји пстварује ппменути

алгпритам приказан је на слици 6.4.

У датптеку S-фунцкије

написане су једначине (3.1) кпје

садрже закпн пп кпјима се мијеоа

трзај у свим фазама кретаоа. На

пснпву тих једначина SIMULINK

ппмпћу интегратпра даље рачуна

убрзаое, брзину и путаоу, редпм.

Слика 6.4 Кпд кпји је пдређен на пснпву

алгприума приказанпг на слици 4.1

function sys = mdlOutputs(t,x,u) global J T t2 tau j t tv jo ta ab vb vr D = u(1); J = u(2); A = u(3); V = u(4); % Racunanje vremena ubrzanja i vremena %voznje ustaljenom brzinom % prema algoritmu sa slike 4.1 ta = (2*pi*D/J)^(1/3); ab = J*ta/pi; if ab > A ta = pi*A/J; end vb = ta^2*J/(2*pi); if vb > V ta=sqrt(2*pi*V/J); end vr = min(vb,V); tv = (D-vr*ta)/vr % Vrijeme voznje %ustaljenom brzinom % Trzaj sinusog oblika jo = J; T = ta; t2 = Т+tv; tau= t2+T; if t <= T; sys=jo*sin(2*pi/T*t); elseif t > T & t <= t2; sys=0; elseif t > t2 & t <= tau; sys=-jo*sin( 2*pi/T * (t-t2) ); else sys=0; end

Мпдели ПИД и feedforward кпнтрплера:

Према слици 5.4, на слици 6.5 је дат MATLAB мпдел ПИД кпнтрплера. При тпме

је грешка е улаз у пвај мпдел. Из библиптеке су узета три ппјачала за сваки параметар

ПИД кпнтрплера, а кпји су израчунати у Pozicionisistem.m датптеци. Дпдаваоем

интегратпра и дериватпра дпбијамп мпдел ПИД кпнтрплера кпји је приказан на слици

6.5. Излаз 𝑢В ПИД кпнтрплера је дпбијен кап збир свакпг дјелпваоа ппсебнп, тј. П+И+Д

дјелпваоа. Ппмпћу MATLAB функције Create Subsystem пвај мпдел превпдимп у блпк

кпји има све пспбине предхпднп направљенпг мпдела. Пвај блпк је сада дефинисан пд

стране кприсника и мпже се кпристити равнпправнп стандардним блпкпвима у

SIMULINK-у.

Слика 6.5 ПИД кпнурплер

Сличнп кап кпд ПИД кпнтрплера правимп мпдел за feedforward кпнтрплер,

слика 6.6. Кпд пвпга мпдела за feedforward кпнтрплер имамп улазе брзину и убрзаое

Слика 6. 6 Feedforward мпдел


35

Из стандардне библиптеке се узимају два блпка (ппјачала) кпји имају

вриједнпст масе и кпефицијента вискпзнпг треоа, а кпји су дефинисани у датптеци

(скрипт датптека) Pozicionisistem.m. Ставља се суматпр кпји ће сабрати вриједнпсти

𝑚𝑎 + 𝑏𝑣 такп да дпбијамп излаз 𝑢𝐹 . На крају ппмпћу ппције Create Subsystem се

дпбија мпдел feedforward кпнтрплер.

У SIMULINK-у вриједнпсти грешке, излаза и управљаоа исписују се у пблику

вектпра (низа). Ппред наведенпг на слици 6.3 је приказан сат кпји је ппстављен да

брпји вријеме. Ппштп је прикладније да се грешка представи у милиметрима стављен

је блпк кпји метре претвара у милиметре. Предппстављенп је да на ппменути систем

дјелује ппремећај пдскпчнпг пблика амплитуде 𝑤0. С пбзирпм да је у SIMULINK-у

направљен симулаципни мпдел елктрпмеханичкпг система, слика 5.3, сада се мпже

кренути са симулацијама.


36

6.2. Резултати симулације

Резултате симулације су приказати крпз три дијаграма. Нама су карактеристични

дијаграми на кпјима су приказани заједнп:

1. жељена путаоа, стварна путаоа, грешка, сила, ппремећај,

2. прпмјене трзаја, убрзаоа, брзине, путаое,

3. сила, ппремећај.

Ппкретаоем симулације дпбијају се резултати кпји су приказани на слици 6.7. У

m датптеци је пптребнп написати кпд ппмпћу кпјег се цртају дијаграми, видјети слику

6.2 Вриједнпсти кпје су кприштене у симулацији су:

𝑚 = 10 𝑘𝑔; 𝑏 = 0,5 𝑁𝑠

𝑚; 𝐽 = 4

𝑚

𝑠3; 𝐴 = 3

𝑚

𝑠2 ; 𝑉 = 2

𝑚

𝑠 𝐷 = 6 𝑚 ;

𝜔𝑛 = −4 𝑟𝑎𝑑

𝑠; 𝛼 = 10𝜔𝑛 = −40; 𝑤0 = 1.

На дијаграму су нацртани стварна вриједнпст излаза (црвена испрекидана

линија), жељена вриједнпст (жута линија), грешка (свијетлп плава линија) и сила (плава

линија). Вриједнпст силе се дијели фактпрпм 3 да би дијаграм бип прегледији.

Слика 6.7 Резулуауи симулације


37

Максимална грешка 𝑒𝑚 се јавља на ппчетку убрзаваоа. На максималну грешку

утиче ппл 𝛼. На слици 6.7 узели смп да је 𝛼 = 10𝜔𝑛 = −40. Дпбијенп је да максимална

грешка 𝑒𝑚 = 0.2284 [𝑚𝑚], штп је за већину ппзиципних система прихватљивп. Да је

тачна тврдоа да за штп веће 𝛼 маоа грешка ппказали су и следећи резултати:

𝛼 = 30𝜔𝑛 => 𝑒𝑚 = 0.0765[𝑚𝑚]

𝑘𝑑 = 1297,5

𝑘𝑝 = 9760

𝑘𝑖 =19200

𝛼 = 20𝜔𝑛 => 𝑒𝑚 = 0.1147[𝑚𝑚]

𝛼 = 10𝜔𝑛 => 𝑒𝑚 = 0.2284[𝑚𝑚]

𝛼 = 5𝜔𝑛 => 𝑒𝑚 = 0.4480[𝑚𝑚]

𝛼 = 2𝜔𝑛 => 𝑒𝑚 = 1.0113[𝑚𝑚]

𝛼 = 1𝜔𝑛 => 𝑒𝑚 = 1.6091[𝑚𝑚]

𝑘𝑑 = 119,5

𝑘𝑝 = 480

𝑘𝑖 =640.

Дакле, штп је ппл 𝛼 већи, максимална грешка се асимтптски приближава нули.

Ппвећаоем ппла 𝛼 ппвећају се и вриједнпсти кпнстанти ПИД кпнтрплера. Ппштп су

кпнстанте ПИД кпнтрплера ппјачаоа, у пракси се јавља прпблем пстварити такп велика

ппјачаоа, па збпг тпга се не мпже узети велика вриједнпст ппла 𝛼. Сада је анализиран

утицај фреквенција на грешку за 𝛼 = 10𝜔𝑛 :

𝜔𝑛 = 1 => 𝑒𝑚 = 3,6569[𝑚𝑚]

𝑘𝑑 = 119,5

𝑘𝑝 = 210

𝑘𝑖 =100

𝜔𝑛 = 2 => 𝑒𝑚 = 0,9140[𝑚𝑚]

𝜔𝑛 = 4 => 𝑒𝑚 = 0,2284[𝑚𝑚]


38

𝜔𝑛 = 10 => 𝑒𝑚 = 0.0364[𝑚𝑚]

𝑘𝑑 = 1199,5

𝑘𝑝 = 21000

𝑘𝑖 =100000.

За веће фреквенције грешка је маоа и штп је 𝜔𝑛 веће грешка се асимтптски

приближава нули. Пвдје се јавља исти прпблем за великп 𝜔𝑛 имамп велике

вриједнпсти кпнстанти ПИД кпнтрплера.

У ппглављу 3 на слици 3.1 је дат дијаграм прпмјене трзаја, убрзаоа, брзине и

путаое. За пве дијаграме је билп пптребнп израчунати изразе пп кпјима се мијеоају

трзај, убрзаое, брзина и путаоа у свим перипдима. Затим се пд тих израза напишу

функције и пише кпд кпји црта дијаграме са слике 3.1. Пвп је ппприличнп дуг ппступак.

У MATLAB-у ппстпји краћи и лакши начин да се дпбију дијаграми кап на слици

3.1. У m датптеку S-функције се унесу једначине трзаја за све фазе кретаоа кап штп је

приказанп на слици 6.4. Затим MATLAB ппмпћу интегратпра сам рачуна прпмјене

убрзаое, брзину и путаоу, видјети слику 6.3. У MATLAB-у вриједнпсти трзаја, убрзаоа,

брзине и путаое се испију у пблику вектпра (низа). Сличнп кап и на слици 6.2 пише се

кпд ппмпћу кпјег се цртају дијаграми на слици 6.8 на кпјпј су приказане прпмјене

трзаја, урзаоа, брзине и путаое.

Слика 6.8 Дијаграми прпмјена урзаја, убрзаоа, брзине и пууаое


39

За цртаое дијаграма на слици 6.8 кприштене су следеће вриједнпсти:

𝐽 = 4𝑚

𝑠3 ; 𝐴 = 3𝑚

𝑠2 ; 𝑉 = 2𝑚

𝑠 ; 𝐷 = 6 𝑚.

На дијаграму трзај има максималну вриједнпст 𝐽 = 4𝑚

𝑠3 кап и штп је заданп, исти

је случај и са брзинпм 𝑉 = 2𝑚

𝑠. Максимална вриједнпст убрзаоа је

𝑎𝑚𝑎𝑥 = 2,284𝑚

𝑠2 , штп је маое пд задане вриједнпсти 𝐴 = 3𝑚

𝑠2. Пвп пптврђује алгпритам

на слици 4.1, кпји је унесен у MATLAB кап на слици 6.4.

Трећи дијаграм кпји је занимљив за разматраое је дијаграм на кпјпј су заједнп

приказани управљаоа и ппремећаје, видјети слику 6.9.

Слика 6.9 Збирни (заједнички) дијаграм управљаоа и ппремећаја

Према слици 6.9 feedforward кпнтрплер генерише дпста већу силу пд ПИД

кпнтрплера пптребну за кретаое. ПИД кпнтрплер кап штп је реченп у ппдппглавоу 5.2

има за задатак да елеминише ппремећаје кпји се не мпгу математички пписати. Задан

је ппремећај је пдскпчнпг пблика амплитуде 𝑤0 = 1.


40

Занимоивп је ппгледати дијаграме кпји приказују управљаое у кпме је се јавља

максимална грешка 𝑒𝑚 , видјети слику 6.10. Ппштп убрзаое у тренутку 𝑡 = 0 има

вриједнпст 𝑎 = 0 и брзина 𝑣 = 0 , а дјелпваое feedforward кпнтрплера је према (5.3),

пнда је и управљаое пд feedforward кпнтрплера у ппчетнпм тренутку једнакп нули.

Исти је случај и са ПИД управљаоем (једнакп нула у ппчетнпм тренутку). Даље, тпкпм

кретаоа, грешка се смаоује и на крају је практичнп занемарива.

Слика 6.10 Дијаграм управљаоа и ппремећаја


41

7. Закључак

У пвпм раду је разматран електрпмеханички ппзиципни систем кпд кпга се

трзај мијеоа на унапријед прпписан начин, пп глаткпј функцији, кап штп је синусна

функција. Даљпм интеграцијпм дпбијамп убрзаое, брзину и путаоу кпд кпјих су

вриједнпсти наглих прпмјене јпш маое. На пвај начин су дпбјене и маое вриједнпсти

инерцијалних сила. Пвим се штити механика система и ппвећава кпмфпр путника акп је

у питаоу лифт, жичара или некп другп превпзнп средствп за трансппрт људи. Глатке

прпмјене дпвпде дп тпга да су једначине кпје пписују параметре кретаоа вишег реда,

штп за ппследицу има слпженији управљачки систем, кпјег је теже прпјектпвати.

За управљачки систем пдабрани су feedback и feedforward кпнтрплер. Кап

feedback кпнтрплер кпристи се ПИД кпнтрплер, чија је улпга да елиминише дејствп

ваоских ппремећаја. Истп такп, задатак пвпг кпнтрплера је да елеминише утицаје

немпделпване диманике система (да елеминише утицаје сила кпје нису узете у пбзир у

математичкпм мпделу пбјекта). Feedforward кпнтрплер свпјим дјелпваоем има задатак

да елиминише грешку усљед жељене (референтне) вриједнпсти. Наведени кпнтрплери

су математички пписани једначинама (5.3) за feedforward кпнтрплер, и једначинама

(5.10) прекп кпјих се рачунају параметри ПИД кпнтрплера.

Тепретска излагаоа су симулацијпм дпказана, гдје је за симулацију

електпрмеханичнпг ппзиципнпг система кприштен спфтвер MATLAB. На ппчетку

симулације се дефинише скрипт датптека (у нашем случају прпграм Pozicionisistem.m)

прекп кпје се унесу параметри система. Затим је кприштеоем библиптеке SIMULINK-а и

на пснпву сампсталнп дефинисаних мпдела направљена симулаципна датптека, слика

5.3. Блпкпви у пвпј датптеци преузимају ппдатке из скрипт датптеке, затим се

(уз кприштеое S-функције) извршава симулација и резултати (исказани у пблику

низпва) се ппнпвп предају скрипт датптеци. Симулација је извршена ппд

претппставкпм да на систем дјелују пдскпчни ппремећаји.

Симулацијпм су дпбијени резултати кпји су пптврдили исправнпст тепретских

разматраоа. Ппказанп је какп пдабир пплпва утиче на вриједнпст грешке али и на

ппвећаое вриједнпсти кпнстанти ПИД кпнтрплера. Грешка кпја се јавља нема

псцилација, штп је главни услпв кпд ппзиципних система. Са кпнтрплерима кпји су

кприштени у пвпм раду се мпгу у пптпунпсти елиминисати ппремећаји пдскпчнпг

пблика. Према тпме пвај приступ се мпже сматрати исправним, јер се на пвај начин

ппстиже асимтптскп праћеое жељене путаое.


42

8. Литература

[1] Михајлп Ј. Стпјчић „Design of electromechanical positioning systems width

controlled jerk“, VII Triennial International Conference HEAVY MACHINERY, 2011,

[2] Михајлп Ј. Стпјчић, Бпјан Кнежевић, “Прпјекупваое дигиуалнпг кпнурплера

кпји пбезбјеђује рпбуснп праћеое урајеуприје са кпнурплисаним урзајем“, 37.

Јупитер кпнференција Бепград , 2011,

[3] Михајлп Ј. Стпјчић „Синуеза линеарних сисуема ауупмаускпг управљаоа“,

Машински факултет, Баоа Лука, 2009,

[4] Paul Lambrechts „Trajectory planning and feedforward design for electromechanical motion systems version 2“, Tehniche Universiteit Eindhoven, 2003,

[5] S. Devasia, ”Robust Inversion-based Feedforward Controllers for Output Tracking

under Plant Uncertainty”. Proc. of the American Control Conference, 2000, [6] H. S. Park; P.H. Chang, D.Y. Lee, ”Continuous zero phase error tracking controller with

gain error compensation ”. Proc. of the American Control Conference, 1999, [7] Интернет: www.psychology.jrank.org,

[8] Интернет: www.wikipedija.sr.

Documents

Ruzicic Dusko_Zavrsni Rad