RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

WYKŁAD 7

2

Definicja

Układem równań różniczkowych rzędu pierwszego w postaci normalnej nazywamy układ równań

),,,,('

),,,,('

),,,,('

21

2122

2111

nnn

n

n

yyytfy

yyytfy

yyytfy

o niewiadomych y1, y2, … , yn , (n > 1), t – zmienna niezależna.

Uwaga

Jeżeli n = 2, to zazwyczaj piszemy x, y zamiast y1, y2 oraz f, g zamiast f1, f2

(jeżeli n = 3, to piszemy x, y, z zamiast y1, y2, y3 oraz f, g, h zamiast f1, f2, f3).

Układy równań różniczkowych

3

W notacji wektorowej układ równań różniczkowych ma postać

),(' yfy t ,

gdzie

),,,,(

),,,,(

),,,,(

),(

'

'

'

'

21

212

211

2

1

2

1

nn

n

n

nn yyytf

yyytf

yyytf

t

y

y

y

y

y

y

yfyy

Układy równań różniczkowych

4

Definicja

Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną) układu równań nazywamy ciąg funkcji

(y1(t), y2(t), ... , yn(t)) określonych i różniczkowalnych na przedziale (a, b), które zamieniają

wszystkie równania tego układu w tożsamości

))(,),(),(,()('

))(,),(),(,()('

))(,),(),(,()('

21

2122

2111

tytytytfty

tytytytfty

tytytytfty

nnn

n

n

na przedziale (a, b).

Układy równań różniczkowych

5

Definicja

Układ równań różniczkowych

),,,,('

),,,,('

),,,,('

21

2122

2111

nnn

n

n

yyytfy

yyytfy

yyytfy

oraz układ warunków

00

0202

0101 )(,,)(,)( nn ytyytyyty

nazywamy zagadnieniem Cauchy’ego (zagadnieniem początkowym).

Liczby 00

2010 ,,,, nyyyt nazywamy wartościami początkowymi.

W notacji wektorowej zagadnienie Cauchy’ego ma postać

00)(),,(' yyyfy tt.

Układy równań różniczkowych

6

Definicja

Ciąg funkcji (y1(t), y2(t), ..., yn(t)) jest rozwiązaniem zagadnienia Cauchy’ego jeżeli jest

rozwiązaniem układu równań na pewnym przedziale zawierającym punkt t0 i spełnia warunki

początkowe.

Interpretacja geometryczna zagadnienia Cauchy’ego

Rozwiązanie zagadnienia Cauchy’ego polega na wyznaczeniu krzywej w przestrzeni

n + 1 – wymiarowej, o przedstawieniu parametrycznym y = y(t), przechodzącej przez punkt

o współrzędnych ),,,,( 002

010 nyyyt .

Jeżeli dla n = 2 zmienna niezależna t reprezentuje czas, to układ równań opisuje wektor prędkości

punktu poruszającego się w płaszczyźnie fazowej xOy.

Krzywa będąca rozwiązaniem układu, to trajektoria toru ruchu punktu.

Układy równań różniczkowych

7

Twierdzenie

Jeśli prawa strona f(t,y) w równaniu różniczkowym

))(,(

)(tt

dt

tdyf

y

, (*)

jest ciągła ze względu na zmienne t i y oraz ze względu na zmienną y spełnia

warunek Lipschitza, tzn.

2121

21

),(),( ,[,]

yyyfyfyyR

Ltt

RbatL n .

to dla zadanego warunku początkowego y(t0) = y0 istnieje otoczenie t0,

w którym równanie (*) ma dokładnie jedno rozwiązanie.

( - jest symbolem normy)

Układy równań różniczkowych

8

Definicja Rodzinę funkcji wektorowych

),,,,(

),,,,(

),,,,(

),,,,(

21

212

211

21

nn

n

n

n

CCCty

CCCty

CCCty

CCCt

y,

zależnych od parametrów rzeczywistych C1, C2, ..., Cn nazywamy rozwiązaniem ogólnym układu

równań jeżeli:

każda funkcja wektorowa z tej rodziny jest rozwiązaniem szczególnym układu,

dla każdego układu warunków początkowych ),( 00 yt , dla którego rozwiązanie istnieje i jest

jednoznaczne, można dobrać stałe C1, C2, ..., Cn tak, aby 0210 ),,,,( yy nCCCt .

(Każda funkcja wektorowa otrzymana z rozwiązania ogólnego przy ustalonych wartościach

parametrów C1, C2, ..., Cn jest rozwiązaniem szczególnym układu równań.)

Układy równań różniczkowych

9

Jedną z metod rozwiązywania układów równań różniczkowych jest metoda eliminacji.

Polega ona na sprowadzeniu układu n równań pierwszego rzędu do równania różniczkowego rzędu n.

Przykład

Rozwiązać układ równań

xdt

dy

ydt

dx

z warunkami początkowymi 1)0(,0)0( yx .

Różniczkujemy pierwsze równanie

dt

dy

dt

xd

2

2

Wstawiamy do drugiego równania

02

2

xdt

xd

Stąd .sincos',cossin 2121 tCtCxytCtCx

Uwzględniając warunki początkowe .cos,sin tytx

Układy równań różniczkowych

10

Przykład

Rozwiązać układ równań

Różniczkujemy pierwsze równanie

dt

dy

dt

xd

2

2

Wstawiamy do drugiego równania

x

x

x

x

x

x

dt

xd '

'

")'( 2

2

2

Całkując obustronnie dostajemy

||ln||ln|'|ln 1Cxx czyli xCx 1'

Stąd tCtC eCCyeCx 11

212 ,

x

y

dt

dy

ydt

dx

2

Układy równań różniczkowych

11

Układy równań różniczkowych liniowych pierwszego rzędu

Definicja

Układem równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego nazywamy układ równań postaci

)()()()('

)()()()('

)()()()('

2211

222221212

112121111

tbytaytaytay

tbytaytaytay

tbytaytaytay

nnnnnnn

nn

nn

Jeżeli wszystkie funkcje )(,...),(),( 21 tbtbtb n są równe zeru, to układ nazywamy jednorodnym.

W przeciwnym przypadku układ nazywamy niejednorodnym.

Układy równań różniczkowych

12

W notacji wektorowej układ równań przyjmuje postać

)()(' tt byAy

)(

)(

)(

)()()(

)()()(

)()()(

'

'

'

2

1

2

1

21

22221

11211

2

1

tb

tb

tb

y

y

y

tatata

tatata

tatata

y

y

y

nnnnnn

n

n

n

Jeżeli współczynniki macierzy A(t) są stałe to układ nazywamy układem równań

różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach.

Układ równań różniczkowych liniowych o ciągłych funkcjach aij oraz bk ma jednoznaczne

rozwiązanie zagadnienia Cauchy’ego.

)()(' tt byAy

Układy równań różniczkowych

13

Twierdzenie Jeżeli funkcje wektorowe y1, y2, … , yn, są rozwiązaniami układu liniowego jednorodnego,

to ich kombinacja liniowa

y = C1y1 + C1y2 + … + Cnyn,

jest też rozwiązaniem tego układu. Jeżeli dodatkowo są liniowo niezależne (tworzą układ fundamentalny rozwiązań), to ich kombinacja liniowa jest rozwiązaniem ogólnym układu równań.

Twierdzenie Rozwiązania y1, y2, … , yn, tworzą fundamentalny układ rozwiązań, jeżeli wyznacznik

(wrońskian)

0

...

...

...

...

|,...,|

21

22221

11211

21

nnnn

n

n

n

yyy

yyy

yyy

W yyy

jest różny od zera na przedziale określoności równania.

Układy równań różniczkowych

14

Wyznaczanie układu fundamentalnego rozwiązań metodą Eulera

Rozważamy układ równań

Ayy ' (ma on rozwiązanie zerowe!)

Szukamy rozwiązań niezerowych w postaci

RRet nt ,,)( vvy

Wstawiając do równania dostajemy

0)( vIAvAv tt ee

Otrzymany układ równań posiada rozwiązanie niezerowe, gdy wyznacznik macierzy głównej układu jest równy zeru tzn.

0)det( IA

jest to tzw. równanie charakterystyczne układu (macierzy), jego rozwiązania,

to wartości własne macierzy A, a odpowiadające im wektory v, to wektory własne

macierzy.

Równanie to ma dokładnie n pierwiastków zespolonych. Ich znajomość umożliwia

konstrukcję układu fundamentalnego rozwiązań.

Układy równań różniczkowych

15

Konstrukcja układu fundamentalnego zależy od następujących przypadków:

pierwiastki równania charakterystycznego są różne i rzeczywiste,

pierwiastki równania charakterystycznego są różne, ale są wśród nich pierwiastki zespolone,

wśród pierwiastków równania charakterystycznego występują pierwiastki wielokrotne.

Układy równań różniczkowych

16

Przykład (różne, rzeczywiste wartości własne)

Rozwiązać układ równań

yxy

yxx

43'

2'

Macierz układu

43

21A

Równanie charakterystyczne

023043

210)det( 2

IA

Wartości własne 1 = 1, 1 = 2. Wyznaczamy wektory własne:

Dla 1 = 1,

1

1

033

022

1

1

21

21

21

v

vvv

vv

vvv

Stąd pierwsze rozwiązanie szczególne

tt eyex ,

Układy równań różniczkowych

17

Przykład (c. d.)

Dla 1 = 2,

3

223

023

02321

21

21vvv

vv

vv

Drugie rozwiązanie szczególne

tt eyex 22 3,2

Rozwiązanie ogólne układu

tt

tt

eCeCy

eCeCx2

21

221

3

2

Układy równań różniczkowych

18

Związek pomiędzy równaniem rzędu n i układem równań pierwszego rzędu

Równanie rzędu n w postaci normalnej

n

nn

yyyy

yyyytfy

321

)1()( ),...,",',,(

jest równoważne układowi równań rzędu pierwszego

),...,,,(

...

21'

3'2

2'1

nn yyytfy

yy

yy

(związek ten jest wykorzystywany przy rozwiązywaniu równań wyższego rzędu metodami numerycznymi)

Układy równań różniczkowych

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ