WYKŁAD 5 : RÓWNANIA KONSTYTUTYWNE C. D.

Biomechanika przepływów

WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.

Jak już wspomniano na wykładach wcześniejszych : Ciało będące pod działaniem pola sił ulega deformacjom mierzonym jako odkształcenia, które zależą od charakterystykimateriału z którego zbudowane jest dane ciało.

Charakterystyka ciała reprezentowana jest przez odpowiednią relację pomiędzy polem naprężeń a odkształceniami, która to nazywana jest - relacją konstytutywną.

Na poprzednim wykładzie omawiane były główne znane relacje konstytutywne opisywaneza pomocą tensorowych równań konstytutywnych t. j.: Lepki płyn Newtonowski,Płyn nielepki i Elastyczne ciało Hooka.

Teraz omówimy ogólniej trzy podstawowe relacje: ciała liniowo elastyczne, ciała nie liniowo elastyczne, oraz ciała liniowo lepko – elastyczne.

WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.

Ciało Liniowo Elastyczne

Odkształcenie oraz naprężenie, mogą być reprezentowane za pomocą jednowymiarowych macierzy ( o wymiarze 6 x 1 ), ze względu na to iż, symetria powoduje że, jest tylko 6 różnychelementów tensorów odkształcenia i naprężenia:

111 222 333 124 235 136

naprężenie:

odkształcenie:

111 ee 222 ee 333 ee 124 ee 235 ee 136 ee

Liniowe równanie dla materiałów izotropowych ( Prawo Hooka) może być zapisane:

€

=Ce

€

i =Cikek

€

i,k =1,2,....,6Elastic constitutive matrix

(*)

WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.

Wykorzystując założenie o izotropowości można wykazać że, C może być przedstawione Za pomocą dwóch stałych materiałowych : modułu Younga E i stałej Poissona ν.

E przedstawia współczynnik proporcjonalności dla jednowymiarowego odkształcania:

€

=EeNatomiast ν jest stosunkiem wartości poprzecznego odkształcenia eyy do odkształceniaWzdłużnego exx kiedy materiał jest obciążany w kierunku x:

€

ν =eyyexx σ =σ xx

WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.

Różne formy stałej C dla różnych warunków fizycznych:

€

C =E 1−ν( )

1+ ν( ) 1− 2ν( )

1 ν1−ν( )

ν1−ν( )

0 0 0

ν1−ν( )

1 ν1−ν( )

0 0 0

ν1−ν( )

ν1−ν( )

1 0 0 0

0 0 0 1− 2ν2 1−ν( )

0 0

0 0 0 0 1− 2ν2 1−ν( )

0

0 0 0 0 0 1− 2ν2 1−ν( )

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

Dla ogólnej 3-wymiarowej deformacji

(**)

WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.

Dla przypadków osiowo symetrycznych tj. :Nie zerowe odkształcenia mogąbyć odniesione do:

€

e1 = exx

€

e2 = eyy

€

e3 = γ xy

€

e4 = ezzgdzie: γ – odkształcenie styczne

Macież C sprowadza się do pstaci 4 x 4 :

WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.

€

C =E 1−ν( )

1+ ν( ) 1− 2ν( )

1 ν1−ν

0 ν1−ν

ν1−ν

1 0 ν1−ν

0 0 1− 2ν2 1−ν( )

0

ν1−ν

ν1−ν

0 1

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

Dla przypadku płaskiego (a)

€

C =E 1−ν( )

1+ ν( ) 1− 2ν( )

1 ν1−ν

0

ν1−ν

1 0

0 0 1− 2ν2 1−ν( )

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.

Przykład 1:Płaska membrana:

Dla płaskiej membrany (płaskiego stanu naprężenia) w płaszczyźnie x-y mamy następującywarunek:

€

zz = 0

WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.

również wszystkie styczne naprężenia i odkształcenia w kierunku z są równe 0:

€

γxz = γ yz = 0

€

xz =σ yz = 0stosując równanie (*) i (**) otrzymamy:

€

zz = 0 =E 1− 2ν( )

1+ ν( ) 1− 2ν( )ν

1−ν( )exx + eyy( ) + ezz

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

Po przekształceniach otrzymujemy równanie określające odksztacenie normalne (na grubości membrany):

WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.

€

ezz = − ν1−ν( )

exx + eyy( )

po podstawieniu ezz w prierwszych dwóch równaniach dostajemy:

€

xx =E 1− 2ν( )

1+ ν( ) 1− 2ν( )exx + ν

1−νeyy − ν 2

1−ν( )2 exx + eyy( )

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥= E

1−ν 2 exx + νeyy( )

€

yy =E 1− 2ν( )

1+ ν( ) 1− 2ν( )ν

1−νexx + eyy − ν 2

1−ν( )2 exx + eyy( )

⎡

⎣ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥= E

1−ν 2 νexx + eyy( )

WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.

a więc konsekwentnie constytutywna macierz przybiera postać:

€

C = E1− v 2

1 ν 0ν 1 00 0 1−ν

2

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.

Podobną technikę można użyć do opisu zachowania się powierzchni sferycznej

wprowadzamy nowy układ współrzędnych (lokalny: x1, x2, x3) w którym macierzkonstytutywna przybiera postać:

€

C = E1− v 2

1 ν 0 0 0 0ν 1 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 1−ν

20 0

0 0 0 0 1−ν2

0

0 0 0 0 0 1−ν2

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.

Przykład 2: Określenie siły reakcji dla przewodu kołowego pod ciśnieniem

Prosta rura przedstawiona na rysunku nie podlega odkształceniom wzdłużnym. Rura znajduje się pod ciśnieniem wewnętrznym p. Grubość rury δ jest mała w porównaniu z promieniem przewodu R. Zakładamy również że, podpory pozwalają na zmianę średnicy przewodu. Można więc przyjąć iż stan naprężenie – odksztacenie jest jednolity dla przewodu.

WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.

niezerowe naprężenia w rurze to:naprężenie wzdłużne

€

aa

naprężenie obwodowe

€

cc

z warunków równowagi można wyprowadzić relację:

€

Fp = 2Rinerp

€

Fc = 2σ ccδ

€

Fp = Fc

€

cc = Riδp

(siły na jednostkę długości)

WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.

poprzez istnienie wzdłużnych podpór, wzdłużne odksztacenie rury jest zerowe.

€

eaa = 0

korzystając z

€

=Ce oraz macierzy konstytutywnej:

€

C = E1− v 2

1 ν 0ν 1 00 0 1−ν

2

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥

otrzymamy:

€

aa = νE1−ν 2 ecc

WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.

odkształcenie obwodowe przyjmuje postać:

€

ecc = 1Eσ cc −νσ aa( )

po podstawieniu do:

€

aa = νE1−ν 2 ecc

€

aa = ν Rinerδp

otrzymamy

Siły reakcji na podporach wynoszą:

€

FA = FB = πRiner2 p−π Riner + δ

2 ⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟δσ aa = πRiner 1− 2ν( )Riner −νδ[ ]p