R!zné pohledy na matematikua vnímání její krásy

Pavel Drábek

Katedra matematiky FAV Z!UUniverzitní 22306 14 Plze"

1 Motivace

Kdy! jsem si p"ipravoval p"edná#ku na stejné téma, jako je tento $lánek, vysloviljsem p"ed sv%mi kolegy z Centra aplikované matematiky p"ání, mít k dispoziciseznam v#ech prvo$ísel, nap"íklad od dvou do milionu, abych m&l v ruce vhod-nou „demoverzi' pro motivaci toho, co budu "íkat. Ke svému p"ekvapení jsemnedlouho poté dostal od jednoho mlad#ího kolegy 422 stránek hust& poti#t&n%chprvo$ísly od 2 do 2 841 823. Kdy! jsem v ruce dr!el tuto „knihu prvo$ísel',uv&domil jsem si, !e jejím prost"ednictvím je mo!né ilustrovat r(zné pohledy namatematiku, resp. na její poslání a postavení v kontextu jin%ch odv&tví !ivota $iv&dy. P"i $tení následujících "ádek, prosím, na chvíli zapome)te na to, !e d(kazfaktu, !e prvo$ísel je nekone$n& mnoho, je ji! dlouhou dobu dob"e znám%.Tak nap"íklad, kdyby se takov% seznam prvo$ísel ocitl v rukou noviná"e, ten by

s nejv&t#í pravd&podobností po letmém pohledu na hust& poti#t&nou první stranuprvo$ísly od 2 do 6 047 napsal reportá!, její! úvodní v&ta by mohla znít p"ibli!n&takto: „V&dci z Centra aplikované matematiky FAV Z*U v Plzni dokázali, !eprvo$ísel je nekone$n& mnoho'. Reportá! by pak nejspí#e pokra$ovala tím, kdese zmín&né Centrum aplikované matematiky nachází, kolik pracovník( v n&mp(sobí, jak% je jeho rozpo$et a jak v%konné po$íta$e v centru máme. Noviná"(v$lánek by jist& obsahoval celou "adu pravdiv%ch údaj(, jeho základní tvrzení byv#ak bylo zcela zavád&jící.Strojní in!en%r, kter% ji! má svoje smutné zku#enosti s novinov%mi $lánky, by

si jist& cht&l pravdivost tvrzení o d(kazu nekone$nosti mno!iny v#ech prvo$íselov&"it. Nespokojil by se pouze pohledem na první stránku, prohlédl by si jichalespo) 10. Poté by provedl odhad lineární extrapolací, podíval by se na poslednístranu knihy prvo$ísel a zjistil by, !e jeho odhad je správn%. A nakonec by se tedyrozhodl, !e zcela v%jime$n& novinovému $lánku uv&"í.

117

Experimentální fyzik by pravdivost novinového článku vůbec neřešil. Podí-val by se na poslední stránku knihy prvočísel a zjistil by, že prvočísla, která sena této stránce vyskytují, zdaleka přesahují možnosti jeho měřicích přístrojů ajdou daleko nad rámec rozlišitelnosti jeho modelů. Pro jeho potřeby je tedy taképrvočísel nekonečně mnoho a basta.Matematik by nejspíš nevěděl, že nějaký novinový článek na uvedené téma

vůbec kdy vyšel. S knihou prvočísel v ruce by se však začal trápit celou řadou otá-zek. V době „neomezených možností� moderní výpočetní techniky by se nejspíšpokusil pokračovat v rozkladu na prvočinitele dalších a dalších přirozených čísel.Po zjištění, že vždycky po čase narazí na některé přirozené číslo, které nelze najiné než samozřejmé prvočinitele (1 a samo sebe) rozložit, by si uvědomil, že to codrží v ruce není ani důkaz, ani protipříklad, ale jen „pouhá hypotéza�. Uvědomilby si také, že trpělivé opakování stejného algoritmu rozkládání přirozených číselna prvočinitele nikam nevede a že jedinou cestou k nalezení „absolutní pravdy�je hlubší pohled na celý problém. Matematik by mimo jiné jistě záhy zjistil, že vtom dlouhém seznamu prvočísel, který se mu ocitl v ruce, se některá dvě sousedníčísla liší pouze o dvojku1 a naopak mezi jinými dvěma sousedy je podivuhodněvelká „mezera�. Čím déle by si kladl otázku, proč tomu tak je, tím více by bylposedlý hledáním absolutní pravdy, tím hůř by spal a tím častěji by se v nejrůz-nějších životních situacích přistihl při tom, že nemyslí na nic jiného, než jak bytéto pravdě přišel na kloub. Ten, kdo zažil takové období „posedlosti� se právě vtěchto okamžicích stal „matematikem�. Zásadní rozdíl mezi generováním dalšícha dalších prvočísel podle některého z dostupných algoritmů a důkazem nekoneč-nosti množiny všech prvočísel spočívá v tom, že musíme opustit „experimentálnípřístup� a začít zkoumat „kvalitativní podstatu věci�.Cílem následujících odstavců je ukázat šest různých důkazů nekonečnosti mno-

žiny všech prvočísel. Tyto důkazy jsou převzaty z knihy [1] a představují různépohledy a přístupy. Smyslem tohoto článku tak není informovat čtenáře o dobřeznámém faktu, nýbrž výše uvedené přístupy podrobně rozebrat a ilustrovat.

2 Malý výlet do teorie číselV tomto článku budeme značit N = {1, 2, . . .} množinu všech přirozených čísel,Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} množinu všech celých čísel a P = {2, 3, 5, 7, . . .}množinu všech prvočísel. Symbol p|n znamená, že celé číslo n je dělitelné přiroze-ným číslem p, tj. existuje jiné celé číslo m takové, že n = pm. Je dobře známo, žekaždé přirozené číslo má alespoň jednoho prvočíselného dělitele (v krajním pří-padě sama sebe). Tento fakt dále používáme bez dalšího upozornění. Následujícítvrzení bude pro nás podstatné.

1Taková dvě prvočísla se nazývají prvočíselná dvojčata.

118

Lemma 2.1 Nech! p ! N, n1, n2 ! Z a p|n1 a p|n2. Potom p|(n1 " n2).

D!kaz Z p|n1 a p|n2 plyne existence m1,m2 ! Z takov!ch, "e pm1 = n1 apm2 = n2. Potom

n1 " n2 = p(m1 " m2),

a tedy p|(n1 " n2).

Symbolem!budeme zna#it (kone#n! nebo nekone#n!) sou#et, symbolem

"

budeme zna#it sou#in. Symbolem |M | budeme zna#it mohutnost mno"iny M ;speciáln$ pro kone#nou mno"inu M zna#í |M | po#et prvk% této mno"iny.

3 D!kaz „aritmetick" I# (Eukleides2)

Jde o klasick! d%kaz sporem. P&edpokládejme, "e prvo#ísel je pouze kone#n!po#et: {p1, p2, . . . , pr}. P&irozené #íslo

n = p1p2 . . . pr + 1

pak musí mít prvo#íselného d$litele p : p|n. Kdyby existovalo i = 1, . . . , r, prokteré p = pi, potom p|(p1 . . . pr), co" spolu s p|(p1 . . . pr+1) na základ$ Lemmatu2.1 implikuje p|1. Odtud plyne, "e p = 1, co" je v'ak ve sporu s tím, "e #íslo p jeprvo#íslem. P&edpoklad d%kazu je tedy nepravdiv! v!rok, tak"e mno"ina v'echprvo#ísel je nekone#ná.

4 Fermatova3 $ísla

Takzvaná Fermatova #ísla jsou definována takto:

Fn = 22n + 1, n = 0, 1, 2, . . . .

V'echna Fermatova #ísla jsou lichá p&irozená #ísla. Mnohá Fermatova #ísla, nap&.F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65 537 jsou prvo#ísla, n$která dal'í, nap&.ji" F5 = 4294 967 297, jsou #ísla slo"ená. Jde o velmi rychle rostoucí posloupnostp&irozen!ch #ísel, která má následující kvalitativní vlastnost.

2Eukleides, !il asi ve druhé polovin" 4. stol. a! první polovin" 3. stol. p#. n. l., #eck$ filosofa matematik, je znám sepsáním nejslavn"j%í u&ebnice v d"jinách, tzv. „Základ'(.3Pierre de Fermat, 1601–1665, francouzsk$ právník a matematik. Je znám svojí slavnou hy-

potézou pod názvem Velká Fermatova v"ta, kterou a! v devadesát$ch letech 20. století dokázalanglick$ matematik Andrew Wiles. Fermat se domníval, !e v%echna &ísla Fn jsou prvo&ísla.Rozklad F5 na prvo&initele neznal.

119

Lemma 4.1 Pro ka!dé n ! N platí

(1)n!1!

k=0

Fk = Fn " 2.

D!kaz Vztah (1) doká!eme matematickou indukcí podle indexu n. Pro n = 1vztah (1) platí: F1 " 2 = 3(= F0). P"edpokládejme nyní, !e vztah (1) platí prolibovoln# zvolené p"irozené $íslo n > 1. Na%ím cílem je ukázat, !e pak platí taképro n+ 1, tj.

n!

k=0

Fk = Fn+1 " 2.

Skute$n#,n

!

k=0

Fk =

"

n!1!

k=0

Fk

#

Fn = (Fn " 2)Fn =

= (22n

" 1)(22n

+ 1) = (22n

)2 " 1 = 22n+1

" 1 = Fn+1 " 2.

(Induk$ní p"edpoklad byl vyu!it ve druhé rovnosti.)

5 D!kaz „aritmetick" II# (Christian Goldbach4

1730)

Nejprve uká!eme, !e !ádná dv# r&zná Fermatova $ísla nemají spole$ného d#litelev#t%ího ne! 1. Provedeme d&kaz sporem. Nech' existuje m ! N a indexy l, n ! N

tak, !e l < n a m|Fl a m|Fn. Potom m|$

n!1

k=0Fk (nebo' platí, !e l # n"1). Tento

fakt spole$n# s m|Fn, (1) a Lemmatem 2.1 implikují m|2. Nutn# tedy je bu(m = 1, nebo m = 2. Druhá mo!nost je v%ak vylou$ena, nebo' v%echna Fermatova$ísla jsou lichá.Proto!e Fermatov)ch $ísel je nekone$n# mnoho a neexistuje !ádné prvo$íslo,

které by zárove* d#lilo dv# r&zná z nich, musí b)t i prvo$ísel nekone$n# mnoho.

6 Mal" v"let do algebry

Neprázdná (kone$ná nebo nekone$ná) mno!ina G, na které je definována n#jak)mzp&sobem operace násobení, je! ka!d)m dv#ma prvk&m a, b ! G p"i"azuje práv#

4Christian Goldbach, 1690–1764, n!meck" právník a matematik. Byl prusk"m velvyslancemv Rusku a u#itelem mladého cara Petra II. Je autorem známé Goldbachovy hypotézy (z roku1742), $e ka$dé sudé #íslo lze rozlo$it na sou#et dvou prvo#ísel. Tuto hypotézu dodnes nikdonedokázal, ani nevyvrátil.

120

jeden prvek c = ab, pat!ící op"t do G, a která spl#uje následující po$adavky(axiomy):

1. (ab)c = a(bc),

2. !a, b " G #x, y " G : ax = b $ ya = b,

se naz%vá multiplikativní grupa (stru&n" grupa). Je mo$né ukázat, $e z axiom'1. a 2. plyne existence práv" jednoho prvku e " G (zvaného jednotkov% prvek)takového, $e

!a " G : ea = ae = a

a dále pak, $e

!a " G#a!1 " G (prvek inverzní) : aa!1 = a!1a = e.

Je-li U podmno$ina grupy G a jsou pro ni také spln"ny v%(e uvedené axiomy,pak se U naz%vá podgrupa grupy G.Speciáln" kone&ná podgrupa U = {a, a2, . . . , am} kde a " G, a2 = aa, atd. a mje nejmen(í p!irozené &íslo s vlastností am = e, se naz%vá cyklická grupa !ádum a platí |U | = m. Pro ka$dé q " P m'$eme provést rozklad mno$iny Z nat!ídy ekvivalence podle toho, jak% zbytek nám dané &íslo dává po d"lení &íslem q.Systém t"chto t!íd ekvivalence ozna&íme Zq. Tak nap!íklad pro q = 3 se mno$inaZ rozpadne na t!i t!ídy ekvivalence:

0 = {. . . ,%6,%3, 0, 3, 6, . . .}1 = {. . . ,%5,%2, 1, 4, 7, . . .}2 = {. . . ,%4,%1, 2, 5, 8, . . .}

a tedy Z3 = {0, 1, 2}.Mno$ina Zq \ 0 je pak cyklickou grupou !ádu q% 1, v ní$ je násobení indukovánoobvykl%m násobením cel%ch &ísel. Tak nap!íklad !ád cyklické grupy Z3 \ 0 je 2,nebo) Z3 \ 0 = {1, 2}, kde 1 je jednotkov%m prvkem a 22 = 1.Následující tvrzení je klí&ové pro ná( dal(í d'kaz.

Lemma 6.1 [Lagrangeova5 v!ta] Nech! G je kone"ná multiplikativní grupa aU je její podgrupa. Potom platí: |U | d#lí |G|.

D"kaz Z axiom' grupy plyne, $e relace na mno$in" G definovaná vztahem

a & b '( ba!1 " U

je ekvivalence (je reflexivní: a & a, symetrická: a & b ) b & a, tranzitivní:a & b $ b & c ( a & c). Mno$ina G se nám tak rozpadne na t!ídy ekvivalence apro ka$dé a " G mno$ina

5Joseph-Louis Lagrange, 1736-1813, slavn! francouzsk! fyzik a matematik.

121

Ua = {xa : x ! U}

je t!ída ekvivalence obsahující prvek a ! G. Lze snadno nahlédnout, "e |Ua| = |U |(skute#n$, nerovnost |Ua| " |U | je triviální; nech% pro x1, x2 ! U, x1 #= x2 platíx1a = x2a, potom x1aa!1 = x2aa!1 $ x1 = x2, co" je spor a tedy |U | " |Ua|).Velikost ka"dé t!ídy ekvivalence je tedy |U |, tj. |U | d$lí |G|.

7 D!kaz „algebraick"# (autor neznám")

P!edpokládejme, "e |P| < % a ozna#me p = maxP (p je nejv$t&í z prvo#ísel).Uva"ujme p!íslu&né tzv. Mersennovo #íslo 2p & 1. Doká"eme, "e pro ka"dé q ! P,pro které q|(2p & 1), musí nutn$ platit q > p, co" bude spor s p!edpokladem, "ep je nejv$t&í prvo#íslo.Nech% tedy q|(2p & 1), jin'mi slovy #íslo 2p d$lené #íslem q dává zbytek 1, tj.2p = 1. Potom cyklická grupa {2, 22, . . . , 2p} !ádu p je podgrupou cyklické grupyZq \ 0 a |Zq \ 0| = q & 1. Z Lemmatu 6.1 tedy plyne, "e p|(q & 1), tj. p < q, co"je spor.

8 Mal" v"let do anal"zy

Funk#ní hodnoty funkce p!irozen' logaritmus (o základu e) lnx, se pro x > 1dají vyjád!it integrálem

ln x =

! x

1

1

tdt.

Geometrick' v'znam hodnoty lnx je obsah plochy omezené grafem funkce y = 1

t,

osou t a rovnob$"kami s osou y, protínajícími osu t v bodech 1 a x (obr. 1), aplatí lnx ' +% pro x ' +%.

obr. 1

122

Geometrick! v!znam sou"tu!n

k=11

kje obsah plochy omezené grafem po "ástech

konstantní „schodovité# funkce, osou t a p$ímkami o rovnicích t = 1 a t = n (obr.2).

obr. 2

Pro n ! x < n+ 1 pak z$ejm% platí nerovnost

ln x ! 1 +1

2+1

3+ · · ·+

1

n=

n"

k=1

1

k.

9 D!kaz „analytick"# (Leonhard Euler6)

Se$adíme prvo"ísla do posloupnosti podle jejich velikosti: P = {p1, p2, p3, . . . }, tj.pro n > m platí pn > pm. Ozna"íme symbolem !(x) po"et v&ech prvo"ísel, kterájsou men&í nebo rovná libovoln% zvolenému reálnému "íslu x, tj. !(x) = |{p !x : p " P}|. Pro n " N a n ! x < n+ 1 máme (viz odst. 8)

(2) lnx !n

"

k=1

1

k!

" 1

m,

kde poslední sou"et bereme p$es v&echna m " N, která jsou d%litelná pouzeprvo"ísly p ! x. Pro ka'dé takové m pak platí

m =#

p!x

pkp .

Poslední sou"et v (2) tedy m('eme psát ve tvaru

" #

p!x

1

pkp

=#

p!P

p"x

$

"

k"0

1

pk

%

,

6Leonhard Euler, 1707–1783, !v"carsk" matematik, fyzik a astronom. Byl pova#ován za„zt$lesn$ní matematické anal"zy% a za nejplodn$j!ího matematika v!ech dob.

123

kde!k!0

1pk je konvergentní geometrická !ada s kvocientem

1pa prvním "lenem 1,

tj. "

k!0

1

pk=

1

1! 1p

=p

p ! 1.

Z (2) tedy plyne

(3) lnx "#

p!P

p"x

p

p ! 1=

!(x)#

k=1

pk

pk ! 1.

Proto#e pk # k + 1, platí také pk

pk"1" k+1

k, tj. z (3) plyne

lnx "!(x)#

k=1

k + 1

k=2

1·3

2·4

3· · ·

!(x) + 1

!(x)= !(x) + 1.

Proto#e pro x $ +%: ln x $ +%, platí také !(x)$ +% pro x $ +%.

10 Mal! v!let do topologie

Neprázdná mno#ina G, na ní# je definován systém otev!en$ch mno#in, spl%ujícínásledující t!i axiomy:

1. sjednocení libovolného po"tu otev!en$ch mno#in je op&t mno#ina otev!ená,

2. pr'nik kone"ného po"tu otev!en$ch mno#in je mno#ina otev!ená,

3. & a G jsou otev!ené mno#iny,

se naz$vá topologick$ prostor. Systém otev!en$ch mno#in se pak naz$vá topologiína G. Mno#ina F ' G se naz$vá uzav!ená, pokud G \ F je mno#ina otev!ená.Mno#iny & a G jsou tedy zárove% otev!ené a uzav!ené, a systém v(ech uzav!en$chmno#in pak spl%uje po#adavky (axiomy):

1’. pr'nik libovolného po"tu uzav!en$ch mno#in je mno#ina uzav!ená,

2’. sjednocení kone"ného po"tu uzav!en$ch mno#in je mno#ina uzav!ená.

11 D"kaz „topologick!# (Harry Fürstenberg7)

Pro ka#dé a ( Z, b ( N polo#íme

7Harry Fürstenberg, izraelsk! matematik, v roce 1958 získal doktorát na Princetonské uni-verzit", jeho #kolitelem byl Salomon Bochner.

124

Na,b = {a+ nb : n ! Z}.

Potom Na,b je nekone!ná aritmetická posloupnost:

{. . . , a " 3b, a " 2b, a " b, a, a+ b, a+ 2b, a+ 3b, . . . }.

"ekneme, #e O # Z je otev$ená mno#ina, kdy# je bu% O = $, nebo pro ka#dé a !O existuje b ! N takové, #e Na,b # O. (Na,b je tzv. okolí bodu a ! Z s hustotou b !N.) Je z$ejmé, #e libovolné sjednocení otev$en&ch mno#in je podle v&'e uvedenédefinice op(t otev$ená mno#ina. Nech) nyní O1 a O2 jsou dv( otev$ené mno#iny.Je-li O1 % O2 = $, potom O1 % O2 je otev$ená mno#ina. Nech) O1 % O2 &= $ aa ! O1 % O2 je libovoln& prvek. Potom existují b1, b2 ! N tak, #e Na,b1 # O1a Na,b2 # O2. Odtud plyne, #e a ! Na,b1b2 # O1 % O2, tj. O1 % O2 je otev$enámno#ina. Proto také ka#d& kone!n& pr*nik %n

i=1Oi otev$en&ch mno#in Oi je op(totev$ená mno#ina. Mno#ina v'ech cel&ch !ísel Z je tedy topologick&m prostorem.Proto#e ka#dá neprázdná otev$ená mno#ina obsahuje nekone!nou aritmetickouposloupnost, platí:

(1) Ka#dá neprázdná otev$ená mno#ina je nekone!ná.

Proto#e je

Na,b = Z \b!1!

i=1

Na+i,b

a ka#dá z mno#in Na+i,b je otev$ená, platí

(2) Ka#dá mno#ina Na,b je také uzav$ená.

Pro ka#dé n /! {"1, 1} existuje p ! P tak, #e p|n. Odtud plyne n ! N0,p, a tedy

Z \ {"1, 1} =!

p"P

N0,p.

D*kaz faktu |P| = ' provedeme sporem. P$edpokládejme, #e |P| < '. Potom"p"P

N0,p je kone!né sjednocení uzav$en&ch mno#in (viz (2)), a tedy mno#inauzav$ená. Pak ov'em {"1, 1} je mno#ina otev$ená, co# je ve sporu s (1).

12 Mal! v!let do kombinatoriky

Nech) {p1, p2, . . . , pk} # P je mno#ina prvních k prvo!ísel. Otázka zní: „Kolikcel&ch !ísel dostaneme jako sou!in navzájem r*zn&ch prvních k prvo!ísel?+Pro {2, 3} dostáváme !ísla 2, 3, 6, pro {2, 3, 5} dostáváme !ísla 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30,atd. Obecn( pro {p1, p2, . . . , pk} dostáváme 2k"1 r*zn&ch !ísel, nebo) 2k je po!etv'ech podmno#in k -prvkové mno#iny.

125

13 D!kaz „kombinatorick"# (Paul Erdös8)

Nech! P = {p1, p2, . . .} je vzestupn" uspo#ádaná mno$ina v%ech prvo&ísel. Na%ímcílem bude dokázat, $e

!

p!P

1

p= +!, odkud ji$ plyne, $e |P| = !. (Plyne od-

tud dokonce daleko více! Nap#íklad to, $e prvo&ísla jsou v N rozlo$ena „hust"ji'ne$ mocniny libovolného p#irozeného &ísla v"t%ího ne$ 1 nebo &tverce p#irozen(ch&ísel.) Provedeme d)kaz sporem. P#edpokládejme, $e

!

p!P

1

p< +!. Potom exis-

tuje k " N takové, $e

(4)"

i"k+1

1

pi

<1

2.

Dále budeme p1, . . . , pk naz(vat malá prvo&ísla a pk+1, pk+2, . . . velká prvo&ísla. Z(4) plyne, $e pro ka$dé N " N platí

(5)"

i"k+1

N

pi

<N

2.

Ozna&íme Nv po&et v%ech p#irozen(ch &ísel n # N , která jsou d"litelná alespo*jedním velk(m prvo&íslem, a Nm po&et v%ech ostatních p#irozen(ch &ísel n # N .Jsou to taková 1 < n # N , je$ mají za d"litele jenom malá prvo&ísla a také n = 1.Pro ka$dé N " N z#ejm" platí

Nv +Nm = N.

Ke sporu dojdeme tak, $e doká$eme existenci takového N̂ " N, pro které

(6) N̂v + N̂m < N̂.

Symbolem [x] budeme zna&it celou &ást reálného &ísla x, tj. nejv"t%í celé &íslo,

které je men%í nebo rovné x. Potom#

Npi

$

zna&í po&et v%ech p#irozen(ch &ísel

n # N , která jsou násobky prvo&ísla pi. Ze vztahu (5) plyne, $e pro libovolnéN " N platí

(7) Nv #"

i"k+1

%

N

pi

&

#"

i"k+1

N

pi

<N

2.

8Paul Erdös, 1913-1996, ma!arsk" matematik. Krom# mnoha zásadních objev$ v matema-tice je znám tzv. „Erdösov"m %íslem&: Erdös sám m#l %íslo 0, kdo byl spoluautorem n#jaképublikace s Erdösem, má %íslo 1, kdo byl spoluautorem Erdösova spoluautora, ale sám Erdöso-v"m spoluautorem nebyl, má %íslo 2, atd.

126

Ka!dé n ! N, n " N, které má jen malá prvo"ísla jako své d#litele, pí$eme vetvaru

n = anb2n,

kde an je bu% 1, nebo není "tvercem !ádného p&irozeného "ísla, tj. an je sou"inemnavzájem r'zn(ch mal(ch prvo"ísel, nebo an = 1. Podle odst. 12 je takov(ch an

celkem 2k. Dále pak z&ejm# bn "#

n "#

N, tj. "ísel bn je nejv($e#

N . Proto

Nm " 2k#

N.

Pokud vezmeme N̂ $ 22k+2, potom 2k!

N̂ " N̂

2, a tedy

N̂m "N̂

2.

Proto!e zárove) ze (7) plyne, !e

N̂v <N̂

2,

dostáváme (6), co! je spor.

14 Záv!r

Základní dv# my$lenky jsou v$em v($e uveden(m d'kaz'm spole"né:

• P&irozená "ísla rostou nade v$echny meze.

• Ka!dé p&irozené "íslo v#t$í nebo rovné dv#ma má alespo) jednoho prvo"í-selného d#litele.

Na druhou stranu, ka!d( z v($e uveden(ch d'kaz' je jin( ne! ty ostatní. Ka!d(v sob# skr(vá svoji osobitou krásu. Stejn# jako u !en v$ak lze jen t#!ko &íci, kter(je nejkrásn#j$í, stejn# jako u !en je jejich krása v#cí osobního vkusu posuzovatele.D'kaz Eukleid'v je krásn( svojí p&ímo"arostí, „ jde tvrd# k podstat# v#ci* a ne-ohlí!í se nalevo "i napravo. Krása druhého, Goldbachova d'kazu spo"ívá v tom,!e nám dává mo!nost nahlédnout hloub#ji do struktury mno!iny v$ech Fermato-v(ch "ísel. T&etí, algebraick( d'kaz je krásn( proto, !e odhaluje slo!itou strukturumno!iny v$ech cel(ch "ísel. +tvrt(, Euler'v analytick( d'kaz je krásn( tím, !enám umo!ní odhadnout, kolik prvo"ísel je men$ích ne! libovolné p&irozené "íslon. Pát(, topologick( d'kaz je krásn( proto, !e nám ukazuje, jak zjednodu$enébyly na$e p&edstavy o topologick(ch prostorech, a v tomto sm#ru nám otevíráo"i. A krása $estého, Erdösova d'kazu spo"ívá, stejn# jako u d'kazu "tvrtého, vtom, !e nám dává mnohem více ne! jsme p'vodn# !ádali.Myslím, !e $,astn( je ka!d( "lov#k, kdo nabízenou krásu doká!e vychutnat.

A to platí v plné mí&e nejen o matematice a o v($e uveden(ch $esti d'kazech!

127

Poděkování

Autor děkuje svým kolegům z katedry matematiky, doc. Josefu Polákovi a RNDr. Jiřímu Čížkovi za řadu

podnětných připomínek.

Reference

[1] M. Aigner, G. M. Ziegler: Proofs from the Book, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2nd

printing, 2002.