Sayısal Kontrol

Sistemleri

Prof. Dr. Muammer GÖKBULUT

t

x(t)

0 t

x(t)

0

A

1t

x(t)

0

A

Hatırlatma: Analog (Sürekli Zaman) Sinyaller ve SistemlerAnalog (sürekli zaman) Temel Test Sinyalleri: Basamak, impuls, rampa

G(s)U(s) Y(s)

• Doğrusal ve zamanla değişmeyen analog sistemlerin matematiksel modelleri

)()()(

)()()(

tDutCxty

tButAxtxdt

d

)t(u5dt

)t(du4)t(y3

dt

)t(dy2

dt

)t(yd2

2

3s2s

5s4

)s(U

)s(Y)s(G

2

Diferansiyel denklem

Durum denklemi

Transfer fonksiyonu

G(s)U(s) Y(s)

Örnek: Verilen sistemin birim rampa cevabını bulunuz.

2

1

)(

)()(

ssU

sYsG

G(s)U(s) Y(s)

Örnek: Verilen sistemin birim basamak cevabını bulunuz.

2s3s

1

)s(U

)s(Y)s(G

2

Kontrolör

Referans giriş

r(t)

Sistem girişi

u’(t)

Sistem çıkışı

y(t)

+

-

Sistem

Geri beslemebirimi

Yükseltici-Dönüştürücü

Kontrolsinyali

Hatasinyali

e(t) u(t)

Bozucu girişb(t)

Birimler:

Kontrolör,

Kontrol edilen sistem,

Geri besleme birimi ya da algılayıcı,

Yükseltici/dönüştürücü birim

Sinyaller:

Referans giriş

Hata sinyali,

Kontrol sinyali,

Sistem girişi ve çıkışı

Kapalı Çevrim Kontrol Sistemi : Analog-Sürekli Zaman

Referans

giriş

r(k)

Sistem

çıkışı

y(t)

Algılayıcı

+

-

YükselticiSayısal

Denetleyici

Hata

e(k)

Denetim

sinyali

v(t)

Sistem

girişi

u(t)

Sistem

ADC

DAC

Sayısal kontrol sistemlerinde genellikle denetlenen sistem analog (sürekli zaman)

bir sistem iken denetleyici sayısal (ayrık zaman) bir birimdir.

Tutma

Örnekleme

1.1 Kapalı Çevrim Sayısal Kontrol Sistemi

1.2 Ayrık Zaman Temel Test Sinyalleri: Basamak, impulse, rampa

Basamak / birim basamak sinyaller:

Rampa / birim rampa sinyaller:

İmpuls / birim impulse sinyaller:

Örnek: Bilgisayar programlama dillerinde,MATLAB gibi, buradaki temel test sinyallerinasıl tanımlanır.?

0k

A

x(k)

x(k)

k

A

0

x(k)

k0 12 10

10

1.3 Sürekli Zaman Sinyallerin Ayrıklaştırılması / Örnekleme

Örnekleme Yuvarlatma Kodlama

Analog sinyal

Sayısal sinyal

Ayrık zaman sinyal

Yuvarlatılmış sinyal

Analog-dijital dönüştürücü (ADC)

0 0 0

111110101100011010001000

Bilgisayar/

Mikroişlemci

t2e)t(f

Sürekli zaman üstel fonksiyonu ayrıklaştırınız ve grafiğini çizen bir MATLAB programı yazınız.

ka)k(f

Analog ya da sürekli zaman sinyallerin örneklenerek ayrıklaştırılması: t=kT

)25.0(10)( 1.0 kSinekf k

)5(10)( 2 tSinetf t

Sönümlü sinüsoidal bir fonksiyonun ayrıklaştırılması.Sönümlü sinüsoidal fonksiyonu ayrıklaştırınız ve grafiğini çizen bir MATLAB programı yazınız.

T=?

t10te)t(f

1-) Verilen sinyali ayrıklaştırarak grafiğini çizen bir MATLAB programı yazınız. T=?

1.4 Sayısal (Ayrık zaman) Sistemler

• Statik / Dinamik sistem ya da bellekli /belleksiz sistem

• Doğrusal / doğrusal olmayan sistem

• Zamanla değişen / zamanla değişmeyen sistem

• Ayrık zaman sistem, ayrık zaman u(k) giriş sinyalini alarak ayrık

zamanda tanımlı bir giriş-çıkış ilişkisi verir.

• Ayrık zaman sistemlerde, sinyallerin o anki, önceki ve sonraki

değerleri kullanılabilir.

)k(ue)k(y k2.0

1)k(u2)k(y

)k(u)1k(y8.0)k(y

)k(u2.0ke)k(y

)1k(u)k10(Sin)k(y

Ayrık zaman Sistemlerin Cevabını Bulma

a-) Sistemlerin zaman bölgesi blok şemasını çiziniz.

b-) birim basamak, birim impuls ve birim rampa

cevaplarını k=0,1,2 örnek için iteratif çözerek bulunuz.

)1k(u5.0)k(u)k(y

u(k)T

u(k-1)

Bellek elemanı)k(u2.0ke)k(y 1-) 2-)

Ayrık zaman Sistemlerin Cevabını Bulma

a-) Sistemlerin zaman bölgesi blok şemasını çiziniz.

b-) birim basamak, birim impuls ve birim rampa

cevaplarını k=0,1,2 örnek için iteratif çözerek bulunuz.

c-) Cevapları bulan MATLAB programı yazınız.

)k(u)1k(y8.0)k(y

u(k)T

u(k-1)

Bellek elemanı

3-)

Kararlılık: Sınırlı girişe karşı sınırlı çıkış veren sistemler SGSÇ kararlıdır.

Ayrık zaman Sistemlerde Kararlılık

)1k(u5.0)k(u)k(y

)k(u)1k(y2)k(y

kararlıisebkyiçinaku )()(

Örnekler: Kararlı olup olmadıklarını gösteriniz.

)k(u2.0ke)k(y

• Sayısal Türev: Bir sinyalin herhangi bir noktadaki türevi sinyalin o noktadakieğimidir.

Bir f(t) sinyalinin türevi y(t) ile gösterilirse bu sinyalin herhangi bir t (yada k, kT)noktasındaki eğimi, sinyalin o noktadaki teğetinin zaman ekseni ile yaptığı açıkullanılarak aşağıdaki gibi yazılabilir.

tan)()( tfdt

dty

1.4 Sürekli zaman sistemlerin ayrıklaştırılması

Fonksiyonun eğimi, farklı yaklaşımlarla bulunabilir.

Bunlardan ileri fark, geri fark ve merkezi fark olarak bilinen yöntemler yaygın

olarak kullanılmaktadır.

t

f(t)

k

.f(k)

• İleri fark yönteminde fonksiyonun bir gelecekteki örneklenmiş değeri kullanılarak fonksiyonun o andaki eğimi yaklaşık olarak hesaplanabilir. Örnek: Verilen fonksiyonun sayısal türevini bulunuz.

t

f(t)

k

.f(k)

k+1

f(k+1) .

İleri Fark Yöntemi

)t(fdt

d)t('f)t(yisee)t(f t2

• Geri fark yönteminde fonksiyonun bir önceki örneklenmiş değeri kullanılarak fonksiyonun o andaki eğimi yaklaşık olarak hesaplanabilir. Örnek:

Geri Fark Yöntemi

t

f(t)

k-1

.f(k-1)

k

f(k) .

)t(fdt

d)t('f)t(yisee)t(f t2

Merkezi Fark Yöntemi (Bilineer Dönüşüm-Tustin Algoritması)

Merkezi fark yönteminde ise fonksiyonun bir önceki ve bir gelecekteki örneklenmiş değerleri

kullanılarak fonksiyonun o andaki eğimi yaklaşık olarak hesaplanabilir. Örnek:

t

f(t)

k-1

.f(k-1)

k

f(k) .

k+1

f(k+1) .)t(f

dt

d)t('f)t(yisee)t(f t2

Sayısal İntegral

• Bir sinyalin herhangi bir andaki integrali (belirli-sınırlı integrali) bu sinyalin o ana kadar taradığı alanın toplamıdır. Bir f(t) fonksiyonun integrali y(t) ile gösterilirse t anındaki integral,

• Bir fonksiyonun herhangi bir t anındaki taradığı alanı bulmak için çeşitli yöntemler geliştirilmiştir. Burada en çok kullanılan sol kenar, sağ kenar ve yamuk yöntemleri verilmiştir.

t

0t

)0t(ydt)t(f)t(y

Sayısal İntegral

t

f(t)

k

.

k-1

f(k-1)

f(k)

y(k-1)

Alan

y(k)integrali

t

f(t)

k

.

k-1

f(k-1)

f(k)

y(k-1)

Alan

y(k)integrali

t

f(t)

k

.

k-1

f(k-1)

f(k)

y(k-1)

Alan

y(k)integrali

Sol Kenar kuralı Sağ kenar kuralı Yamuk Kuralı:

t

0t

t2 dt)t(f)t(yisee)t(f

Örnek

Örnekler

)t(vdt

dC)t(i

1-) Kapasitansı C=0.1 F olan bir kondansatöre birim rampa gerilim uygulanmıştır. Değişik

yöntemlerle kondansatörün akımını sayısal olarak bulan bir MATLAB programı yazınız.

2-) Endüktansı L=0.2 H olan bir bobine uygulanan gerilim aşağıda verilmiştir. Değişik

yöntemlerle bobinin akımını sayısal olarak bulan bir MATLAB program yazınız.

t

0

dt)t(vL

1)t(i

t10e5)t(v

• Sürekli zamanda doğrusal-zamanla değişmeyen-dinamik sistemlerin matematikselmodelleri diferansiyel denklemlerle tanımlanırken,

• Ayrık zaman doğrusal-zamanla değişmeyen-bellekli sistemlerin modelleri ise farkdenklemleri ile tanımlanır.

)mk(ub)1k(ub...)k(u)nk(ya)1k(ya...)k(y m1n1

1.5 Fark Denklemleri

Burada, k=0 için y(-1), y(-2),……y(-n) başlangıç koşullarıdır.

)k(ub)1k(ub...)mk(u)k(ya)1k(ya...)nk(y 0101

Burada, k=0 için y(n-1), y(n-2),……,y(1), y(0) başlangıç koşullarıdır.

İleri farklar şeklinde yazılan fark denklemi:

Geriye farklar şeklinde yazılan fark denklemi:

Örnek:

Örnek:

2)0(y,)1k(u)k(y5.0)1k(y

2)2(y,4)1(y,)1k(u3)k(u)2k(y)1k(y2)k(y

Fark denklemleri, başlangıç koşulları hesaplanmak koşuluyla

ileri ya da geri yönde ötelenebilir.

Birim basamak giriş için 2 örnek ileriye öteleyiniz.

Birim rampa giriş için bir örnek geriye öteleyiniz.

1)2(y,0)1(y,)1k(u2)k(u)2k(y4.0)1k(y5.0)k(y

Fark Denklemlerinin Blok Şema ile Gösterimi veArdışıl (iteratif) ya da Bilgisayarla Çözümü

u(k)T

u(k-1)

Bellek elemanı

Örnek: Verilen fark denkleminin a-) blok şemasını çiziniz. b-) k=0,1,2

örnek için birim basamak cevabını bulunuz yani denklemi ardışıl çözünüz.

c-) MATLAB programını yazınız.

Örnek: Verilen fark denkleminin a-) blok şemasını çiziniz. b-) k=0,1,2

örnek için birim basamak cevabını bulunuz yani denklemi ardışıl çözünüz.

c-) MATLAB programını yazınız.

u(k)T

u(k-1)

Bellek elemanı

0)1(y,6.0)0(y,)k(u2.0)1k(u)1k(y8.0)k(y)1k(y

0)0(y)t(u3)t(y2dt

)t(dy

Örnek: Verilen diferansiyel denklemi,

a-) Geri fark yöntemi ile ayrıklaştırınız. T=0.1 alınabilir.

b-) Fark denkleminin blok şemasını çiziniz.

Diferansiyel denklemlerin ayrıklaştırılması

Fark denklemleri, diferansiyel denklemlerin ileri, geri ya da merkezi fark yöntemi kullanılarak ayrıklaştırılması ile de elde edilebilir.

c-) Fark denkleminin birim basamak cevabını k=0,1,2 örnek için hesaplayınız.

d-) Birim basamak cevabını bulan MATLAB programı yazınız ve analog ve

sayısal çözümleri karşılaştırınız.

)t(u3)t(y2dt

)t(dy

Örnekler: İleri fark yöntemi ayrıklaştırarak blok şemasını çiziniz. T=0.1s

dt

)t(du4)t(y2

dt

)t(yd2

2

Örnek: Seri RLC devresinin birim basamak gerilim kaynağı için cevabını (akımını)

sayısal olarak bulan bir MATLAB programı yazınız. R=2, L=0.1 H, C=0.2 F, T=0.1

saniye alınız.

Fark Denklemlerinin Analitik Çözümü

Homojen çözüm ve özel çözümün toplamından meydana gelir.

n21 r...rr

0arardaya0ra...ra1 n1n

1nn

n1

1

Homojen çözüm yh(k):

Karakteristik denklem

KD’ in kökleri reel ve ayrık ise

KD’ in kökler reel ve katlı ise

KD’in kökleri kompleks ise

knn

k22

k11 rA...rArA)k(yh

jbar,jbar 21

n21 r,...r,r

k1

1nn

k12

k11 rkA...krArA)k(yh

)a/b(tan,ba),k(SinA)k(CosA)k(yh 122k

2

k

1

)k(u)nk(ya...)1k(ya)k(y n1

Diferansiyel denklemlerde olduğu gibi kaynak fonksiyonunun türüne bağlı olan, bir de

özel çözüm vardır.

)k(Cosdaya)k(Sin

k

)a(

1.K

n

k

k

özel çözümKaynak

)k(CosC)k(SinC)k(yö

k.Ck.C)k(yö

)a.(C)k(yö

1.C)k(yö

21

1n2

n1

k

k

• Özel çözümün aynısı, homojen çözümde de varsa her defasında özel çözüm k ile

çarpılmalıdır.

• Özel çözüm yö(k), fark denkleminde yerine yazılarak C katsayıları bulunmalıdır.

• Toplam çözüm olduğundan başlangıç koşulları uygulanarak homojen

çözümün A katsayıları bulunmalıdır.

)k(yö)k(yh)k(y

Özel çözümü

0)2(y,1)1(y,)k(u)2k(y04.0)1k(y4.0)k(y

Örnek: Verilen fark denkleminin birim basamak giriş için cevabını analitik olarak bulunuz.

Çözüm:

kkk )1(5625.1)2.0(k05.0)2.0(1625.0)k(y

0)1(y,0)0(y,)5.0()1k(y2.0)k(y9.0)1k(y k

Örnek: Verilen fark denklemini, analitik olarak çözünüz.

Çözüm:

kkk )5.0(k10)4.0(k40)5.0(40)k(y

1)1(y,)k(u)1k(y5.0)k(y

Örnek: Verilen fark denkleminin birim rampa cevabını analitik olarak bulunuz.

Çözüm:

2k2)5.0(5.2)k(y k

Örnek: Verilen durum denkleminin ayrık zaman karşılığını bulunuz. (İleri Fark yöntemi ile)

u(t) 0

1

)t(x

)t(x

20

21

)t(x

)t(x

2

1

2

1

)t(u5)t(x

)t(x 01)t(y

2

1

Analog Durum Denklemlerin Ayrıklaştırılması ve Ayrık Zaman Durum Denklemleri

Analog durum denklemleri ayrıklaştırılırsa ayrık zaman durum denklemleri elde edilebilir.

)k(Du)k(Cx)k(y

)k(uB)k(xA)1k(x dd

Ayrık zaman durum denklemleri

)t(Du)t(Cx)t(y

)t(Bu)t(Ax)t(x

Analog durum denklemleri İleri Fark

...z)k(y)z(Y)k(yZ k

0k

Örneklenmiş bir sinyalin Z dönüşümü de aşağıdaki gibi alınabilir.

k

0k

z)kT(y)z(Y)kT(yZ

Doğrusal diferansiyel denklemlerin çözümünde Laplace

dönüşümünden yararlanıldığı gibi, doğrusal fark

denklemlerinin çözümünde de z dönüşümünden yararlanılır. Z

dönüşümü fark denklemlerini cebirsel hale getirir. Tek yönlü Z

Dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlanır.

Bölüm 2

Ayrık Zaman Kontrol Sistemlerinin Matematiksel Temelleri

2.1 z -Dönüşümü

Z-dönüşümüne dikkat edilirse sonsuza giden bir seridir ve

seriler belirli koşullarda belirli bir değere yakınsar. Bu nedenle z-

dönüşümü bulunurken serilerin yakınsaklığını da belirlemek gerekir.

Çoğu seriler, aşağıdaki açılıma uygundur ve bu serilerin

yakınsaklığı aşağıdaki ifade ile belirlenebilir.

1q,q1

1q...qqq1q

0n

n32n

Serilerin Yakınsaklığı

0n

1nn

q1

q1q

k

0k

z)k(y)z(Y)k(yZ

0 1 2 3 4….

1

f(k)

k

0k

kz).k(f)z(F

1z

z

z1

1)z(F

1

k)1()k(f

1|z| 1

Örnek: Birim basamak fonksiyonunun Z dönüşümü

. . . .

k

1 2 3 . . .

f(k)

Örnek: Ayrık zaman üstel fonksiyonun z dönüşümünü alınız.

az

z

z.a1

1)z(F

1

k)a()k(f

0k

kz).k(f)z(F

Örnek: Geriye ötelenmiş birim impuls fonksiyonun z dönüşümü.

1.z...00z).11(z)10(...z)1k()z(F0k

110k

Örnek: İleri ötelenmiş birim impuls fonksiyonun z dönüşümü.

1.z...0z0...z).10(z)11(...0z).1k()z(Fk

0)1(k

Örnek: Ayrık zaman birim impuls fonksiyonun z dönüşümü.

0

10 1...01...).1()0().()(k

k zzzkzF

Örnek: Yukarıdaki sonuçlara göre İki geriye ötelenmiş birim

basamak fonksiyonun z dönüşümü nedir?.

(k)

k

1

0

0

4321 ...4320).()(k

k zzzzzkfzF

k)k(f

0 1 2 3 4….

f(k)

k

Önceki seriden farklıdır

(1)

ve sağ taraf parantezine alınırsa,

221

1

)1()1()(

z

z

z

zzF

1

11

1

1)()1(

zzzFz

Örnek: Birim rampa fonksiyonunun z dönüşümü

1z

1z İle çarptıktan sonra (1) den çıkarılır

j2

ee)k(f)wk(Sin)k(f

jwkjwk

Örnek: Sinüsoidal fonksiyonunun z dönüşümü

jwjw ez

z

ez

z

j2

1)z(F

Seriye açılarak da Z dönüşümü bulunabilir ancak üstel ifadelerin

Z dönüşümü bilindiğine göre,

1)w(zCos2z

)w(zSin)z(F

2

Euler bağıntısı

Fonksiyon f(k) Z Dönüşümü F(z)

)wk(Cos

)wk(Sin

)a(

k

k

)k(u

)k(

k

2

1zCoswa2z

)wCosz(z

1wzCos2z

wzSinaz

z

)1z(

)1z(z

)1z(

z1z

z

1

2

2

3

2

Bazı Ayrık Fonksiyonların z- Dönüşümleri

Analog Fonksiyon

f(t)

z- Dönüşümü

F(z)

)wkT(Cos

)wkT(Sin

e

kT

bkT

1wTzCos2z

)wTCosz(z

1wTzCos2z

wTzSinez

z

)1z(

zT

2

2

bT

2

)wt(Cos

)wt(Sin

e

t

bt

Bazı Örneklenmiş Fonksiyonların z- Dönüşümleri

Örneklenmiş Fonksiyon

f(kT)

1-) Toplama-Çıkarma ve sabit çarpan

)z(bY)z(aY)k(by)k(ay 2121

Bazı Önemli z – Dönüşüm Teoremleri

2) İlk Değer Teoremi 3) Son Değer Teoremi

)z(YLim)k(yLim)0(yz0k

)z(Y)1z(Lim)k(yLim)(y1zk

)5.0z/(z)z(F

Örnek: İlk ve son değerlerini bulunuz.

16.04zCos6.1z

4zSin4.0)z(F

2

4) Karmaşık Dönüşüm (üstel ile çarpma)

a

zF)z(F)k(fa)k(f 11

k

5) Rampa ile çarpma

)z(F)dz

dz()z(F)k(fk)k(f n

1n

k)8.0(k5)k(f

Örnek:Verilen fonksiyonun z dönüşümünü bulunuz.

2

k

)az(

za)z(Fise)a(k)k(f

Genel hali

?)z(F)k10(Cos)5.0()k(f k

22

2k

22

k

awTzaCos2z

wTzaSinz)z(Fise)wk(Cos)a()k(f

awTzaCos2z

wTzaSin)z(Fise)wk(Sin)a()k(f

Sonuç

Örnek:

n

1k

knn z)k(yz)z(Yz)nk(y

6) Geciktirme:

)z(Yz)nk(y n

7) Öngörme:

)z(Yz)nk(y n

1n

0k

knn z)k(yz)z(Yz)nk(y

İki yönlü dönüşüm

Bir yönlü dönüşüm

İki yönlü dönüşüm

Bir yönlü dönüşüm

Z{y(k-2)} ?

Z{y(k+2)} ?

y(-1)=1, y(-2)=-4 olsun.

y(0)=-2, y(1)=3 olsun.

Örnek: Verilen fark denkleminin z-dönüşümünü alarak z-bölgesi

çözümünü bulunuz.

k)5.0()k(uve0)2(y,1)1(y

)k(u)2k(y64.0)1k(y6.1)k(y

Fark denklemlerinin z-dönüşümü: z bölgesi çözümü

2

2

2

3

)8.0z(

z64.0z6.1

)8.0z)(5.0z(

z)z(Y

)z(U)}2(y)1(yz)z(Yz{64.0)}1(y)z(Yz{6.1)z(Y 121

NOT: Denkleme dikkat edilirse önceki örnekte verilen fark denkleminin

k=k+2 yazılarak 2 ileri ötelenmiş halidir.

Örnek: Verilen fark denkleminin z-dönüşümünü alarak z-bölgesi

çözümünü bulunuz.

02.4)1(y,6.2)0(y

)2k(u)k(y64.0)1k(y6.1)2k(y

)1(zu)0(uz)z(Uz)z(Y64.0)]0(zy)z(zY[6.1)1(zy)0(yz)z(Yz 2222

2

2

2

3

)8.0z(

z64.0z6.1

)8.0z)(5.0z(

z)z(Y

k)5.0()k(u

2.2 Ters z – Dönüşümü

Ters z-dönüşümünde genellikle kısmi kesirlere ayırma yöntemikullanılır.

Kısmi Kesirlere Ayırma Yöntemi: Verilen karmaşık ifade basit

kesirlerine ayrılarak her bir basit kesrin ters z-dönüşümü

bulunur.

Ancak z-dönüşüm tablosuna dikkat edilirse basit terimlerin z-

dönüşümlerinin payında her zaman z çarpanı vardır. Bu

nedenle, Z bölgesinde verilen bir F(z) ifadesi, öncelikle

F(z)/z

haline getirilerek basit kesirlerine ayrılmalıdır.

1-) Kökler reel ve ayrık ise

)5.0z).(1z(

z)z(F

Örnek

)2).(1(

1)(

zzzEÖrnek

)1.()2(

2)(

2

3

zz

zzzX

)k(u322k2

9)k(x kk

Örnek

Kökler reel ve çakışık ise,

Karmaşık Kök DurumuKarmaşık kök durumunda da basit kesirlere ayırma yöntemi

kullanılabilir. Ancak z-dönüşüm tablosuna dikkat edilirse

karmaşık kökler sinüsoidal fonksiyonlarda ortaya çıkmaktadır. Bu

nedenle, karmaşık kökü olan z-bölgesindeki fonksiyonlar saf

sinüsoidal ya da sönümlü sinüsoidal fonksiyonlara benzetilebilir.

Bu amaçla aşağıdaki z-dönüşümleri tekrar hatırlanabilir.

22

k

22

k

2

2

awazCos2z

)waCosz(z)z(Fise)wk(Cosa)k(f

awazCos2z

wazSin)z(Fise)wk(Sina)k(f

1wzCos2z

)wCosz(z)z(Fise)wk(Cos)k(f

1wzCos2z

wzSin)z(Fise)wk(Sin)k(f

)k2

sin()k(fise1z

z)z(F)1

2

Örnekler:

)k2

cos()k(fise1z

z)z(F)2

2

2

NOT: sin(wk) ve cos(wk) dönüşümlerini hatırla:

?)k(fise1zz

z)z(F)3

2

2

)k3

(Sin577.0)k3

(Cos)k(f

?)k(f4z2z

z)z(F)4

2

2

kSinkCoskf kk

3

2)2(

3

1

3

2)2()(

?)())((

)(2

kfjbazjbaz

zzF

Çözüm:

jbaz

K

jbaz

K

jbazjbaz

zzzF

*

))((/)(

Burada, karmaşık kökler kutupsal olarak, rz 2,1

Basit kesir katsayıları ise kutupsal olarak, K

Karmaşık Kök Durumu: Basit kesirlerine ayrılarak

Hesaplanırsa,

)()()()(2)( SinkSinCoskCosrKkf k

42)(

2

2

zz

zzF

Çözüm:31

*

3142/)(

2jz

K

jz

K

zz

zzzF

120)1

3(tan,231r 122

305775.0,305775.0 * KKK

)()()()(2)( SinkSinCoskCosrKkf k

)30()120()30().120()2().5775.0.(2)( SinkSinCoskCoskf k

)120(5775.0)120()2()( kSinkCoskf k

Örnek:

)8.08.1)(5.0(

2)(

2

2

zz

zzzF

Örnek: Ters z- dönüşümünü alınız.

4.02.04.02.05.0)8.04.0)(5.0(

2/)(

*

2 jz

K

jz

K

z

A

zz

zzzF

Çözüm:

)()()()(2)5.0()( SinkSinCoskCosrKAkf kk

2)0(y,0)k(y)1k(y

Örnek: Verilen fark denklemini z dönüşümü ile çözünüz.

,...2,1,0k,12)k(y k

2.3 Fark Denklemlerinin z–Dönüşümü ile Çözümü

)0)z(Y)]0(zy)z(zY

Çözüm

Örnek: Başlangıç koşulları verilen aşağıdaki fark denklemini zdönüşümü ile çözünüz.

1)1(x,0)0(x,0)k(x2)1k(x3)2k(x

kk )2()1()k(x

Çözüm

0)z(X2)]0(zx)z(zX[3)1(zx)0(xz)z(Xz 22

0k0)k(x,1)2k(x)1k(x2)k(x2

Örnek: Başlangıç koşulları verilen aşağıdaki fark denklemini zdönüşümü ile çözünüz.

502

1

1 2

2

.zz

zz

z

z)z(X

)k4

(Sin2

1

2

1)k

4(Cos

2

1

2

11)k(x

kk

)z(U)z(Xz)z(Xz2)z(X2 21 Çözüm

• Başlangıç koşulları sıfır alınmak kaydıyla z-bölgesinde çıkışın girişe oranıdır.

)mk(ub..)k(ub)nk(ya)1k(ya)k(y m0n1

2.4 Transfer Fonksiyonu

nn

11

mm

110

za...za1

zb...zbb

)z(U

)z(Y)z(G

G(z)Y(z)U(z)

)k(ub..)mk(ub)k(ya)1nk(ya)nk(y m0n1

n1n

1n

m1m

1m

0

a......zaz

b......zbzb

)z(U

)z(Y)z(G

?G(z) )1k(u2)k(u)1k(y3)k(y4)1k(y

Örnek: Fark denklemi verilen sistemin transfer fonksiyonunu

bulunuz.

Örnek: Transfer fonksiyonu verilen sistemin fark denklemini çıkarınız.

5z4z

3z

)z(U

)z(Y)z(G

2

)z(U)z(G)z(Y

)3.0z)(2.0z(

1z)z(G

Örnek: TF verilen sistemin z-dönüşümünü kullanarak birim basamak

cevabını bularak cevap eğrisini çiziniz. Kalıcı durumdaki kazancı

belirleyiniz.

2.4.1 Transfer Fonksiyonunun Verilen Sistemin verilen bir giriş

için Cevabını Bulma ve kalıcı durum kazancı

Kalıcı durum kazancı:

)z(GK Lim1z

dc

G(z)

Y(z)U(z)

kk 3.057.182.01557.3)k(y

)2.0z()5.0z(

5.0z)z(G

2

Örnek:TF verilen sistemin birim impulse cevabını bularak grafiğini

çiziniz.

G(z)Y(z)U(z)

kkk 5.09.285.0k34.132.09.38)k(10)k(y

)2.0z(

z)z(G

Örnek: TF verilen sistemin birim rampa cevabını bularak grafiğini çiziniz.

139.0k833.02.0139.0)k(y k

2.4.2 Transfer Fonksiyonunun kutupları, sıfırları, z-düzlemi, birim çember ve kararlılık

Örnekler

az

z)z(G

)09.0z6.0z)(1z(

)2z(z)z(G

2

Örnek: TF verilen sistemin

kutup ve sıfırlarını z-düzleminde

göstererek kararlı olup

olmadığını belirleyiniz.

89.0zz

z2.0z)z(G

2

2

Örnek: TF verilen sistemin kutup ve sıfırlarını z-düzleminde

göstererek kararlı olup olmadığını belirleyiniz.

z-düzleminin sağ yarı ve sol yarı birim çember içerisindeki

kutupların cevaba etkileri

)4.0z)(5.0z(

z)z(G

Örnek: Verilen sistemini birim impulse cevabını bularak sağ yarı ve

sol yarı birim çember içerisindeki kutupların cevaba etkisini

belirleyiniz. Uygun olan birim yarı çember hangisidir?

G(z)Y(z)U(z)

Birinci dereceden ayrık zaman sistemler ve

sürekli zaman sistemlerle benzerliği

5.0z

1)z(G

5.0s

1)s(G

Örnek: Verilen sistemlerin birim basamak cevaplarını, ilk değer,

son değer teoremi ve kalıcı durum kazancını hesaplayarak

çiziniz. Zaman sabitesi ?

İkinci dereceden ayrık zaman sistemler ve

sürekli zaman sistemlerle benzerliğiÖrnek: Verilen sistemlerin birim basamak cevaplarını, ilk değer, son

değer teoremi ve kalıcı durum kazancını hesaplayarak yaklaşık

olarak çiziniz. Aşırı, kritik, düşük sönümlü sistem ?

41.0z8.0z

4.0z)z(G

2

5s2s

10)s(G

2

2.5 Blok Şemalar ve Sadeleştirilmesi

Kontrol sistemlerinde birden fazla sistem (transfer fonksiyonu ) geri

beslemeli bir yapı içerisinde değişik şekillerde bağlanabilir.

Dolayısıyla indirgenerek (sadeleştirilerek) tek bir blok haline getirilerek

incelenmesi gerekir.

Sürekli zaman kontrol sistemlerinin analizinde geçerli olan blok şema

indirgeme kuralları, ayrık zamanda da geçerlidir.

Örnekler: Seri, paralel ve geri beslemeli bloklar.

4.0z

1)z(H,

6.0z

z)z(G

Örnek: Şekildeki kapalı çevrim kontrol sisteminin birim impulse

cevabını z-dönüşümü yardımıyla bularak cevap eğrisini çiziniz.

NOT: Şekildeki kapalı çevrim kontrol sistemi, çeşitli G(z) ve H(z) ler ve çeşitli

referans girişler (impulse, basamak ve rampa gibi) için cevapları incelenebilir.

1)z(H,)8.0z(z

)1z(5.0)z(G

Örnek: Şekildeki kapalı çevrim kontrol sisteminin ilk değer, son değer

teoremi, kalıcı durum kazancı ve sistemin kutuplarının yeri gibi bilgileri

hesaplayarak birim basamak cevabını yaklaşık olarak çiziniz.

G2

R YG1

+-

G3

H2

H1

+

-

Karmaşık blok şemaların sadeleştirilmesi: Blok şemayı

sadeleştiriniz. a-) ara sinyallerini yazıp yok ederek b-) Sinyal

taşıyarak.

2.6 Sinyal Akış Şemaları ve Sadeleştirilmesi

Sürekli zaman kontrol sistemlerinin analizinde geçerli olan sinyal akış

şeması kuralları, sinyalleri ve sistemleri ayrık zamanda tanımlamak

koşuluyla ayrık zamanda da geçerlidir.

Örnekler: Sinyal akış şemasının blok şema karşılığını çiziniz.

R 1 Yo oo oo oo oo o

G1 G2 G3 G4

-H1 -H2

G5

-H3

X

Örnekler: Sinyal blok şemanın sinyal akış şema karşılığını çiziniz.

Örnek: Verilen sinyal akış şemasını, ara sinyallerini yazıp yok

ederek indirgeyiniz (sadeleştiriniz.)

R 1 Y

X2

o oo oo oo oo oX1 X3 X4

G1 G2 G3 G4

-H1 -H3

-H2

Örnekler: Sinyal akış şemalarını sadeleştiriniz.

R 1 Yo oo oo oo oo o

G1 G2 G3 G4

-H1 -H2

G5

-H3

X

Kazanç formülü

Ayrık zaman sinyal akış şemaları da kazanç formülü ile sadeleştirilebilir.

2.7 Ayrık Zaman Durum Denklemleri:İteratif ya da bilgisayarlı Çözümü

)k(u1.0

0

)k(x

)k(x

2.02.0

1.01

)1k(x

)1k(x

2

1

2

1

k

21

1)k(u

,5)0(x,2)0(x

Örnek: Verilen durum denklemini iteratif olarak çözünüz.

0k için

Çözüm:

1k için

)()()(

)()()1(

kDukCxky

kBukAxkx

)z(BU)AzI())0(x)AzI(z)z(X 11

Durum denklemlerinin z-dönüşümü ile çözümü: Durum

değişkenlerinin başlangıç değeri x(0) vektörü olsun.

)()()(

)()()1(

kDukCxky

kBukAxkx

u(k) 0

5

)k(x

)k(x

01

23

)1k(x

)1k(x

2

1

2

1

0

2x(0)

)2()k(u k

)2z(

z5)2z(

z5

z2

z2

)z(X

22

Örnek: Verilen durum denklemini z-dönüşümü yardımıyla çözünüz.

2.7.3 Durum Denkleminden

Transfer Fonksiyonuna Dönüşüm

)()()(

)()()1(

kDukCxky

kBukAxkx

DB)AzI(C)z(U

)z(Y)z(G

)z(UDB)AzI(C)z(Y

1

1

4u(k)(k)x

(k)x 32)k(y,)k(u

1

2

)k(x

)k(x

04

23

)1k(x

)1k(x

2

1

2

1

2

1

8z3z

5z19z4

)z(U

)z(Y)z(G

2

2

Örnek

G(z)=?

)(2)(5)1()2(2)3(3 kukykykyky

)k(u

3

20

0

)k(x

)k(x

)k(x

3

2

3

1

3

5100

010

)1k(x

)1k(x

)1k(x

3

2

1

3

2

1

)k(x

)k(x

)k(x

001)k(y

3

2

1

2.7.4 Fark Denkleminden Durum Denklemine DönüşümVerilen fark denkleminin durum denklemini çıkarınız. NOT: giriş sadece u(k)

)k(u4)k(y3)1k(y2)2k(y

)k(x

)k(x 01)k(y),k(u

4

0

)k(x

)k(x

23

10

)1k(x

)1k(x

2

1

2

1

2

1

Örnek:Aşağıdaki fark denkleminin durum denklemini çıkarınız.

5.02

12)(

23

2

zzz

zzzG

Kanonik Yöntem

Örnek: verilen transfer fonksiyonuna sinyal akış şemasını (durum

diyagramı) çiziniz ve durum denklemlerini çıkarınız.

2.7.5 Transfer Fonksiyonundan Durum Denklemlerini Elde Etme

)k(x

)k(x

)k(x

121)k(y),k(u

0

0

1

)k(x

)k(x

)k(x

010

001

5.012

)1k(x

)1k(x

)1k(x

3

2

1

3

2

1

3

2

1

)1z)(8.0z)(5.0z(

)2z(z)z(G

2

Seri Yöntem

Örnek: verilen transfer fonksiyonuna sinyal akış şemasını (durum

diyagramı) çiziniz ve durum denklemlerini çıkarınız.

)8.0z(

6.0z

)5.0zz(

z)z(G

2

Paralel Yöntem

Örnek: verilen transfer fonksiyonuna sinyal akış şemasını

(durum diyagramı) çiziniz ve durum denklemlerini çıkarınız.

-6

T

2

5

T

3

T

4

-2

2.7.6 Blok Diyagramından Durum Denklemi: D.Denklemini yazınız

T T T

-2

-3

-1

1

Örnek: Durum Denklemini yazınız.

3.1 Ayrıklaştırma Yöntemlerinin Laplace Karşılığı ve Kararlılığı

T

)k(x)1k(x)t(x

T

zs

1 sTz 1

İleri Fark Yöntemi ya da Sol Kenar Kuralı

Ya da

Bölüm 3: Ayrık Zaman Kontrol Sistemlerinin Analizi

Im(s)

Re(s)

Kararlı bölge

Kararlı bölge

Re(z) 1

Im(z)

0)Re( s 01

Re

T

z

jyxz

101

xT

x

İleri fark yönteminin kararlılığı:

İçin

Geri Fark Yöntemi ya da Sağ Kenar Kuralı

T

)1k(x)k(x)t(x

Tz

1zs

0Tz

1zRe

22

2

2

1

2

1

yx

Im(s)

Re(s)

Kararlı bölge

Re(z)

Im(z)

Geri Fark Yönteminin kararlılığı

Ts1

1z

0)Re( s

Merkezi Fark Yöntemi ya da Yamuk Kuralı (Bilineer Dönüşüm)

)1k(x)k(x2

T)1k(y)k(y,dt)t(x)t(y

s2

T1

s2

T1

z

Yamuk kuralı (bilineer dönüşüm) ile ayrıklaştırmanın kararlılığı;

Im(s)

Re(s)

Kararlı bölge

Re(z)

Im(z) 01z

1z.

T

2Re

122 yx

s ve z dönüşümleri karşılaştırılarak1z

1z

T

2s

Örnek: Verilen sistemleri farklı yöntemlerle dönüştürünüz.

a-) s ve z düzlemlerindeki kutup-sıfır yerlerini ve kararlılıklarını değerlendiriniz.

b-) hem analog hem de ayrıklaştırdığınız sayısal sistemin birim

basamak cevabını bulunuz. NOT: Uygun örnekleme peryodunu seçiniz.

5.0z

z)z(G

2s

1)s(G

4s2s

1)s(G

2

1zz

z5.0)z(G

2

Örnek: Verilen sistemleri farklı yöntemlerle dönüştürünüz.

a-) s ve z düzlemlerindeki kutup-sıfır yerlerini ve kararlılıklarını değerlendiriniz.

b-) hem analog hem de ayrıklaştırdığınız sayısal sistemin birim

basamak cevabını bulunuz. NOT: Uygun örnekleme peryodunu seçiniz.

100s16s

100)s(G

2

Örnek: İkinci dereceden bir sistemin çeşitli yöntemlerle ayrıklaştırılmış

karşılıkları.

.s05.0T

0 0.5 10

0.5

1

1.5

t

0 0.5 10

0.5

1

1.5

0 0.5 10

0.5

1

1.5

t

t

İleri fark

Geri fark

Merkezi fark

45.0z2.1z

25.0)z(G

21

1z8.2z05.2

z25.0)z(G

2

2

2

453.0z282.1z

0427.0z085.0z0427.0)z(G

2

2

3

3.2 Ayrık Zaman Kontrol Sistemlerinde

Kararlılık Analizi

• Ayrık zaman sistemlerin kararlı olabilmesi için karakteristik

denkleminin köklerinin birim çember içinde olması gerektiği

bilinmektedir.

• Birim çember dışında bulunan herhangi bir kutup sistemi

kararsız yapar.

• Yüksek dereceden sistemlerin köklerini bulma zorluğu

nedeniyle bunun yerine Routh-Hurwitz ya da Jury kriteri ile

ayrık zaman sistemlerin kararlılığı belirlenebilir.

• Routh-Hurwitz kriteri ayrık zaman sistemlerin kararlılık

analizine doğrudan uygulanamaz. Ancak, bilineer dönüşüm

kullanılarak verilen ayrık zaman sistemin sürekli zaman

karşılığı yaklaşık olarak bulunabilir ve bulunan analog

sisteme Routh-Hurwitz kriteri uygulanabilir.

• Burada Jury kriterini açıklamak yeterli olacaktır.

JURY Kriteri ile Kararlılık Analizi

0...)( 11

10

nnnn azazazazP

Sistemin karakteristik denklemi P(z) elde edilirse aşağıdaki Jury

tablosu oluşturulabilir.

Jury tablosundaki katsayılar, aşağıdaki determinantlarla bulunur.

10

1nn0 aa

aab

10

2n1n0 bb

bbc

20

2nn1 aa

aab

JURY Kararlılık Kriteri

a0>0 olmak koşuluyla n. dereceden bir sistemin kararlı

olabilmesi için aşağıdakilerden sıra ile n+1 adet koşulun

sağlanması gerekir.

NOT: Şartlardan biri sağlanmazsa sistem kararsızdır. P(-1)=0 ya

da P(1)=0 olduğunda diğer şartlar sağlanıyorsa marjinal

kararlıdır (yani z=1 de kutbu vardır), aksi halde kararsızdır.

008.03.007.02.1)( 234 zzzzzP

Örnek: Karakteristik denklemi verilen sistemin kararlılığını

JURY kriteri ile inceleyiniz.

94.0c315.0c,994.0b176.1b075.0b204.0b 203210

02.01.01.1)( 23 zzzzP

Örnek: Karakteristik denklemi verilen sistemin kararlılığını

JURY kriteri ile inceleyiniz.

96.0b12.0b 20

3679.0z3679.1z

)2642.0z3679.0(K)z(G

2p

Örnek: Kapalı çevrim kontrol sisteminin kararlı olabilmesi için

K’ nın alabileceği değer aralığını JURY kriteri ile belirleyiniz

0K3925.2

R(z) E(z) Y(z)+

-

U(z)K Gp(z)

177.5K3925.2 0K

38.26K

3.3 Ayrık Zaman Kontrol Sistemlerinin Tipi

ve Kalıcı Durum Hataları

Şekildeki birim geri beslemeli kontrol sisteminde açık çevrim transfer

fonksiyonu G(z)H(z), kutup ve sıfırları cinsinden aşağıdaki gibi

yazılabilir.

)pz()1z(

)zz(K

)z(H)z(G

ir

j

Burada, zj- açık çevrim sistemin sıfırları, pi-açık çevrim sistemin

kutuplarıdır ve r ise sistemin tipini gösterir. Analog sistemlerde olduğu

gibi sayısal kontrol sistemlerinde de kalıcı durum hataları, sistemin

tipine göre değerlendirilebilir.

R(z) Y(z)+

-G(z)

H(z)

E(z)

Konum hata katsayısı ve basamak hatası

)z(R)z(H)z(G1

1)1z(lim)z(E)1z(lime

1z1zss

)z(R)z(H)z(G1

1)z(E

Hata fonksiyonu,

Sistem tipine göre basamak hatası yorumları?

R(z) Y(z)+

-G(z)

H(z)

E(z)

Y (z)

Son değer teoremi:

kK sse

Hız hata katsayısı ve rampa hatası:

Sistem tipine göre rampa hatası yorumları?

)z(R)z(H)z(G1

1)1z(lim)z(E)1z(lime

1z1zss

Son değer teoremi:

vK sse

Örnek: Verilen kapalı çevrim kontrol sistemlerinin tipini ve ilgili kalıcı

durum hatalarını bulunuz. E=R-Y’

1)z(H,2.0z2.1z

1.0z)z(G)b

1z

8.0)z(H,

5.0z

z)z(G)a

2

R(z) Y(z)+

-G(z)

H(z)

E(z)

Y (z)

Örnek: Şekildeki kapalı çevrim kontrol sisteminin ilk değer, son değer

teoremi, sistem tipi ve kalıcı durum hatası, sistemin aşırı-kritik-düşük

sönümü gibi bilgileri hesaplayarak birim basamak cevabını yaklaşık

olarak çiziniz.

R(z) Y(z)+

-G(z)

H(z)

E(z)1)z(H,

1z5.1z

)5.0z(z)z(G

2

Ayrık zaman transfer fonksiyonu verilen ya da sürekli zamandaki transfer

fonksiyondan ayrıklaştırılarak elde edilen bir sisteme sayısal PI, PD ya da

PID bağlanarak çeşitli referans girişler için cevapları analog kontrol

sistemlerdekine benzer şekilde bulunabilir.

4.1 Ayrık Zaman Kontrol Sistemlerinin Tasarım Esasları

R(s) Y(s)+

-G(s)

E(s)

Örnek: Sürekli zaman sistemlerden hatırlatma:

Verilen ikinci dereceden sürekli zaman kontrol sisteminin birim basamak cevabını

inceleyiniz. İlk değer ve son değer teoremi, kalıcı durum kazancı, aşırı, kritik, düşük

sönüm durumu ve kalıcı durum hatası, yükselme, yerleşme süresi, maksimum aşma

vs. belirleyiniz.

1s2s

4)s(G

2

R(z) Y(z)+

-G(z)

E(z)

81.0z8.1z

04.0)z(G

2

Örnek: Önceki örnekte verilen sürekli zaman sistemin T=0.1 s örnekleme

peryodu ile ve ileri fark yöntemi ile ayrıklaştırılmış karşılığı aşağıda

verilmiştir. Kontrol sisteminin birim basamak cevabını inceleyiniz.

Sönüm oranı ve doğal frekans ve dolayısıyla yükselme ve yerleşme süresi ile

maksimum aşmayı ayrık zaman sistemin transfer fonksiyonundan tanımlamak

mümkün mü?

0 1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1

)()(

z

azKzGc

PI kontrolörlerin, genel olarak sistemin tipini artırarak kalıcı durum hatalarını

iyileştirdiği bilinmektedir.

Sayısal PI kontrolörler, analog PI kontrolörler ayrıklaştırılarak elde edilebilir.

Örnek: a-) zaman bölgesinden PI kontrolörü ayrıklaştırarak ayrık zaman

denklemini çıkarınız ve MATLAB programını yazınız.

Sayısal PI Kontrolörler

4.2 Ayrık Zaman PID Kontrolörler

R(z) Y(s)+

-Gp(s)

E(z)Gc(z)

DAC

ADC

b-) Laplace bölgesi transfer fonksiyonundan analog PI kontrolörü

ayrıklaştırarak sayısal karşılığını bulunuz ve sayısal PI kontrolörün MATLAB

programını yazınız.

1

)()(

z

azKzGc

R(z) Y(s)+

-Gp(s)

E(z)Gc(z)

DAC

ADC

)az(K)z(Gc

PD Kontrolör: Kontrol sisteminin geçici rejim kriterlerinden özellikle

maksimum aşmayı düzelttiği bilinmektedir.

Sayısal PD kontrolörler, analog PD kontrolörler ayrıklaştırılarak elde

edilebilir.

z

)az(K)z(Gc

Sayısal PD Kontrolörler

Örnek: a-) zaman bölgesinden PD kontrolörü ayrıklaştırarak ayrık zaman

denklemini çıkarınız ve MATLAB programını yazınız.

R(z) Y(s)+

-Gp(s)

E(z)Gc(z)

DAC

ADC

b-) Laplace bölgesi transfer fonksiyonundan analog PD kontrolörü

ayrıklaştırarak sayısal karşılığını bulunuz. MATLAB programını yazınız.

)az(K)z(Gc

z

)az(K)z(Gc

R(z) Y(s)+

-Gp(s)

E(z)Gc(z)

DAC

ADC

PID Kontrolör: Kontrol sisteminin geçici+kalıcı rejim kriterlerini (aşma-

yerleşme-yükselme zamanı) + kalıcı durum hatası düzeltir.

Sayısal PID kontrolörler, analog PID kontrolörler ayrıklaştırılarak elde

edilebilir.

)1z(

)az)(az(K)z(G 21c

c

Sayısal PID Kontrolörler

Örnek: a-) zaman bölgesinden PID kontrolörü ayrıklaştırarak ayrık zaman

denklemini çıkarınız ve MATLAB programını yazınız.

b-) Laplace bölgesi transfer fonksiyonundan analog PID kontrolörü

ayrıklaştırarak sayısal karşılığını bulunuz.

• Kontrol edilecek sistemler genellikle sürekli zaman (analog)

sistemlerdir. Günümüzde kontrolörler ise bilgisayar ya da

mikrokontrolörler vs. gibi genellikle sayısal birimlerdir.

4.3 Sayısal Kontrol Sistemi Tasarımı

R(z) Y(s)+

-Gp(s)

E(z)Gc(z)

DAC

ADC

R(z) Y(s)+

-Gp(s)

E(z)PID

programıTutma

T Örnekleme

Buna göre Sayısal kontrolörlerin tasarımında iki yaklaşım izlenebilir.

1. Kontrolör, önce analog olarak tasarlanır ve sonra ayrıklaştırılarak bilgisayarprogramları ile gerçekleştirilir. Kontrolörü ayrıklaştırmak için merkezi farkyöntemi tercih edilir. Kısaca,

|)(

)()(

zFs

cc sGzG

2. Önce sistem ayrıklaştırılır ve sonra kontrolör ayrık zamanda

tasarlanabilir. Sistemi ayrıklaştırmak için ileri, geri ve merkezi farktan

başka çeşitli yöntemler kullanılabilir.

Bu tasarım yaklaşımı ile diğer ayrıklaştırma yöntemlerinden bazıları

sonraki bölümlerde açıklanacaktır.

Analog sistem

Fark Denklemi

Program

Analog PID tasarla

Ayrıklaştır

Sistemi ayrıklaştır

Ayrık kontrolör tasarla

Örnek: Şekilde verilen sayısal kontrol sisteminde sönüm oranı

ve sönümsüz doğal frekansı olacak şekilde PI kontrolörü

tasarlayınız, ayrıklaştırınız ve MATLAB programını yazınız.

NOT: İkinci dereceden standart sisteme benzeterek PI tasarlayabilirsiniz.

10wn

2s

1)s(Gp

R(z) Y(s)+

-Gp(s)

E(z)Gc(z)

DAC

ADC

8.0

4.3.1 Analog Sisteme Analog Kontrolörü Tasarlayıp

Sonra Ayrıklaştırma Yöntemi

s

)14.7s(14)s(Gc

|1z

1z

T

2s

cs

)14.7s(14)z(G

1z

)474.0z(19)z(Gc

ayrıklaştırınız ve MATLAB programını yazınız. T=0.1

Örnek: Şekilde verilen sayısal kontrol sisteminde sönüm oranı

ve sönümsüz doğal frekansı olacak şekilde PD kontrolörü

tasarlayınız, ayrıklaştırınız ve MATLAB programını yazınız.

NOT: İkinci dereceden standart sisteme benzeterek PD tasarlayabilirsiniz.

10wn

)2s(s

25)s(Gp

R(z) Y(s)+

-Gp(s)

E(z)Gc(z)

DAC

ADC

8.0

R(z) Y(z)+

-Gp(z)

E(z)Gc(z)

100s16s

100)s(T

2ref

Örnek: Verilen sayısal sistem için kontrol sisteminin kutuplarının sönüm oranı

ve doğal frekansı olacak şekilde bir sayısal PI kontrolör

tasarlayınız. Analog referans transfer fonksiyonunu, sayısala

dönüştürerek sayısal kontrolörü tasarlayabilirsiniz.

4.0z

6.0)z(Gp

8.0 10wn

45.0z2.1z

25.0)z(T

2ref

İleri fark ile T=0.05

4.3.2 Analog Sistemi Ayrıklaştırarak Sayısal Bölgede

Kontrolör Tasarımı

12s

12)s(Gp

İleri fark ile T=0.05

1z

)25.0z(334.0)z(Gc

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

R(z) Y(z)+

-Gp(z)

E(z)Gc(z)

100s16s

100)s(T

2ref

Örnek: Verilen sayısal sistem için kontrol sisteminin kutuplarının

sönüm oranı ve doğal frekansı olacak şekilde bir

sayısal PD kontrolör tasarlayınız.

8.0 10wn

45.0z2.1z

25.0)z(T

2ref

İleri fark ile T=0.05

9126.0z9.1z

05.0)z(G

2p

5s2s

20)s(G

2p

İleri fark ile T=0.05

0 50

0.5

1

1.5

)66.0z(14)z(Gc

Referans

giriş

r(k)

Sistem

çıkışı

y(t)

Algılayıcı

+

-

YükselticiSayısal

Denetleyici

Hata

e(k)

Denetim

sinyali

v(t)

Sistem

girişi

u(t)

Sistem

ADC

DAC

Tutma

Örnekleme

5.1 Örnekleme ve Tutma

Bölüm 1 de blok şeması verilen aşağıdaki kapalı çevrim sayısal kontrol

sistemlerinin analiz ve tasarımında Örnekleme ve Tutma işlemleri önemli

bir yer tutar.

Bölüm 5

Örneklenmiş Verili Kontrol Sistemleri

Şekildeki gibi sürekli zaman bir sinyalin T örnekleme peryodu ile

örneklendiğini ve sıfırıncı dereceden bir tutma devresi ile sürekli

zamana geri dönüştürüldüğünü yani orijinal analog sinyalin geri elde

edilmeye çalışıldığını kabul edelim. Tutma devreleri yüksek dereceden

olabilir ancak burada sadece sıfırıncı dereceden tutma ele alınacaktır.

Örnekleme ve Tutma

Sıfırıncı dereceden tutucu ile tutulmuş sinyal, darbe zincirleridir.

Bu sinyal, ötelenmiş basamaklarla tanımlanır ve LD alınırsa,

0k

kTsTs e)kT(xes

1

s

1)s(X

Buna göre ikinci terim ayrılarak X*(s) ile gösterilirse,

0

)()(*

k

kTsekTxsX

Örneklenmiş sinyalin Laplace Dönüşümü ortaya çıkar. Diğer taraftan

örneklenmiş sinyallerin Z-dönüşümü,

0k

kTsTs e)kT(xes

1

s

1)s(X

sTez

0k

kz)kT(x)z(X

olduğu görülür ve standart z- dönüşümü olarak bilinir.

Olduğundan örneklenmiş sinyalin LD (yıldızlanmış sinyal) ile z-

dönüşümü alınmış sinyal arasındaki ilişkinin

)s(Gs

e1

)s(X

)s(Xh

Ts

*

Birinci terim ayrılırsa tutma devresinin transfer fonksiyonu elde edilir.

Sonuç olarak örnekleme ve sıfırıncı dereceden tutma devresi

aşağıdaki blok şema ile gösterilebilir.

Buna göre bir analog sistemin önüne örnekleme ve sıfırıncı dereceden

tutma (zoh) yerleştirilirse artık sistem sayısaldır ve bu sistemi zoh

yöntemi ile sayısal karşılığı,

)(1

)( sGps

eZzG

sT

Dönüşümü ile bulunur ve bu yönteme zoh ile ayrıklaştırma yöntemi

denir. İleride açıklanacaktır.

Buradan, zoh yöntemi ile ayrıklaştırmada, zaman bölgesinde ya da s-

bölgesinde verilen bir fonksiyonun yıldızlı dönüşümü ve sonra da z-

dönüşümü alınabilir.

te)t(f

TT1ze

*

ez

z

ez1

1)s(F)z(F sT

Örnek: Zaman bölgesi ifadesi verilen sinyalin yıldızlı dönüşümünü ve z

dönüşümünü bulunuz.

0

)()(*

k

kTsekTxsX

Zaman bölgesinde verilen sinyal örneklenerek yıldızlı dönüşümü oradan da

z- dönüşümünü almak için aşağıdaki eşitlik elde edilmişti.

Zaman Bölgesinden Yıldızlı Dönüşüm ve z-dönüşümü

Not: örnekleyerek z- dönüşümünün doğrudan yazılabileceğine dikkat ediniz. Ancak

yıldızlı dönüşüm alarak z- dönüşümüne geçiniz.

t)t(x Örnek: Zaman bölgesi ifadesi verilen sinyalin yıldızlı dönüşümünü

ve z dönüşümünü bulunuz.

2)1(

1)(

Ts

Ts

eTesG

2)1(

)(

z

zTzG

Not: örnekleyerek z- dönüşümü doğrudan yazılabilir ancak yıldızlı dönüşüm alarak z-

dönüşümüne geçiniz.

)wt(Cos)t(x

Örnek: Zaman bölgesi ifadesi verilen sinyalin yıldızlı dönüşümünü

ve z dönüşümünü bulunuz.

Not: örnekleyerek z- dönüşümünün doğrudan yazılabileceğine dikkat ediniz. Ancak

yıldızlı dönüşüm alarak z- dönüşümüne geçiniz.

Örnek: Şekildeki gibi bir analog sistemini girişine ADC ve DAC

bağlanırsa sistemin blok şeması nasıl çizilebilir ?

2s

1)s(Gp

Olur ve buradan G(z) bulunursa bu yönteme zoh ile ayrıklaştırma

yöntemi denir.

Dolayısıyla öncelikle Laplace bölgesinde verilen sürekli zaman

bir fonksiyonun yıldızlı ve z- dönüşümünün bulunuşu bilinmelidir.

)2s(s

1)e1(Z

2s

1

s

e1Z)z(G)s(Gp

s

e1Z)z(G sT

sTsT

Bu durumda

5.2 Laplace Bölgesinden Yıldızlı ve z- DönüşümüYukarıda, zaman bölgesindeki ifadesi bilinen sürekli zaman bir sinyalin

örneklenmişinin Laplace dönüşümü (yıldızlı dönüşümü) alınabilmekte ve

yıldızlı dönüşümden de z dönüşümüne geçilebilmektedir.

Laplace dönüşümü verilen bir sürekli zaman sinyalin, yıldızlı dönüşümü

rezidü teoremi kullanılarak aşağıdaki gibi alınabilir.

)(1

1)(Rezidü )(

sTeEsE

Burada, Rezidü katsayısı, basit kesirlere ayırma işlemindeki katsayılara

karşılık gelmektedir. İse fonksiyonun kutuplarıdır. Buna göre basit bir

fonksiyonun yıldızlı ve z- dönüşümü,

Sonuç olarak, zaman bölgesinde veya Laplace bölgesinde verilen sürekli

zaman bir sinyalin örneklenmişinin Laplace dönüşümü ve oradan z-

dönüşümü, hem zaman bölgesinden hem de s- bölgesinden alınabilir.

T21T2)2s(T ez

z

ze1

1)z(E

e1

1)s(Eise

2s

1)s(E

ez

z

2

1

ez

z

1z

z

2

1)z(E

T2T

Örnek:Laplace dönüşümü verilen sinyalin yıldızlı dönüşümünü ve

z dönüşümünü bulunuz.

)2s)(1s(s

1)s(E

?)z(Eve?)s(E

Reel ve ayrık kök durumu

2

1)(

ssG

Örnek: Laplace bölgesi ifadesi verilen fonksiyonun yıldızlı

dönüşümünü ve z dönüşümünü bulunuz.

m katlı kökler için ve katlı kökler olmak üzere yıldızlı ve z-dönüşümü,

i

sTm emsG

)(1

1-m

1

1

d

d

)!1(

1)(

i

Tm ezmzG

11

1-m

1

1

d

d

)!1(

1)(

Reel ve katlı kök durumu

221

1

2 )1()1()(

)1()(

z

Tz

z

TzzG

e

TesG

Ts

Ts

i

Karmaşık kök durumu

4s

2)s(G

2

Örnek: Laplace bölgesi ifadesi verilen fonksiyonun yıldızlı

dönüşümünü ve z dönüşümünü bulunuz. Euler bağıntısı:

Karmaşık basit kesirlerine ayrılarak reel ayrık köklerdeki gibi elde edilebilir.

)x(jSin)x(Cose

)x(jSin)x(Cosejx

jx

5.3 s ve z- Düzlemleri Arasındaki İlişki

js 2,1

T)jw(sT2,1 eez

s-düzleminde olarak verilen karmaşık bir noktanın z-düzlemindeki

yeri,

jw

x

jy

z-düzleminde jbaz olarak verilen karmaşık bir noktanın

s-düzlemindeki yeri,

rz

T1ww

,T

rlnw

2n

n

jw

x

jy

Örnek: Verilen analog transfer fonksiyonunu zpm ile analogdan sayısala

dönüştürünüz, G(z)=?. T=0.1

Sıfır-Kutup Eşleştirme Yöntemi (zpm)

sTez bağıntısından yararlanarak bir sistemin kutup ve sıfırları ayrı

ayrı dönüştürülürse sıfır-kutup eşleştirme zpm yöntemi ile dönüşüm

denir.

NOT: zpm yönteminde kalıcı durum kazançları da eşitlenmelidir vs. ancak

burada ayrıntısına girilmeyecektir.

)5s2s(s

1s)s(G

2

9.0z6.0z

2.0z)z(G

2

Örnek: Verilen sayısal transfer fonksiyonunu zpm ile sayısaldan analoğa

dönüştürünüz, G(s)=? . T=0.1

Şekilde s-düzlemindeki çeşitli noktaların z-düzlemindeki

karşılıkları verilmiştir. Buradan, s-düzlemindeki sanal eksenin

yani kritik kararlılık sınırının, z-düzleminde birim çembere

karşılık geldiği görülmektedir. Dolayısıyla z düzleminde birim

çemberin içi kararlılık bölgesidir. S-düzleminde kutuplar sola

doğru uzaklaştıkça bağıl kararlılık artarken z-düzleminde

kutuplar merkeze (orjine) yaklaştıkça kararlılık artar.

632.0zz

264.0z368.0)z(G,

1ss

1)s(G

22

Örnek: verilen sistemlerin ζ, wn ve t değerlerini karşılaştırınız.

Sayısal sistem, analog sistemin T=1 saniye ile örneklenmiş karşılığıdır.

Bu karşılığın bulunuşu ileride açıklanacaktır.

• Ayrık zaman kontrol sistemlerinin zaman bölgesi analizi,

sürekli zaman sistemleri ayrık zamana dönüştürme

yöntemleri (geri, ileri ya da merkezi fark yöntemi ile

örnekleme-tutma yöntemi gibi) kullanılarak yapılabilir.

• Örnekleme-tutma yöntemi ile ayrıklaştırma yapılırken

(örneklenmiş veri kontrol sistemleri de denir) önceki

bölümde incelenen örnekleme ve tutma devrelerinin

modellerine dikkat etmek gerekir.

• Bu amaçla, yıldızlı dönüşüm alınırken dikkat edilmesi

gereken bazı özellikleri aşağıda verilmiştir.

*A**A) 1

*B.*AAB*B.A)3*

**C.AB**C.B.A)4

*C.*B.*A**C.*B.A)5

*B.*A*)*B.A()2

5.4 Açık çevrim ayrık zaman kontrol sistemleri

Örnek: Şekilde verilen açık çevrim sürekli zaman sistemin,

a-) Sürekli zamanda,

b-) İleri fark yöntemi ile ayrıklaştırarak,

T=0.1 s 1

1

s)s(Gp

U(s) Y(s)

1

1

s)s(Gp

U(s) Y(s)

s

e)s(G

sT

h

1T

U*(s) )s(U

c-) Örnekleme ve tutma yöntemi (zoh) ile ayrıklaştırarak, birim basamak

cevabını bulunuz.

kTe)k(y 1

Önceki örnekte bir analog sistemin örnekleme tutma yöntemi ile

ayrıklaştırma şekli verilmiştir. Aşağıda, seri bağlı iki sistemin farklı

örnekleme noktaları için ayrıklaştırma esasları incelenmiştir.

)z(G)z(G)z(U

)z(Y)z(GT 21

Örnek: Şekilde seri bağlı iki analog sistemin her ikisi de girişlerinden

örnekleme-tutma devreleri ile ayrıklaştırılmıştır. Varsa eşdeğer i

bulunuz.

Çeşitli Açık Çevrim Kontrol Sistemlerinin Analizi

)z(GT

Örnek: Seri bağlı iki analog sistem sadece girişinden örneklenirse,

)z(GG)z(U

)z(Y)z(GT 21

?)z(GT

Örnek: Seri bağlı iki analog sistem ara sinyalden örneklenirse,

)z(UG).z(G)z(Y 12

?)z(GT

4s

2)s(2Gp,

1s

1)s(1Gp

Örnek: Verilen analog sistemlerin sadece girişinden örneklendiğini ve

tutulduğunu dikkate alarak ayrıklaştırınız ve birim basamak cevabını

bulunuz. T=0.1 s

Örnek Şekilde verilen açık çevrim sistemin birim basamak cevabını bulunuz.

Denetleyicinin modeli aşağıdaki fark denklemi ile tanımlanmıştır.

)k(e)k(e)k(u 12

1

1)(

ssG p

,...,,k,ee

)e()k(u)k(

e

e)k(y kT

T

T

T

T

321121

Kapalı çevrim ayrık zaman kontrol sistemleri incelenirken bazı

kurallara dikkat edilerek varsa transfer fonksiyonları, transfer

fonksiyonları yoksa çıkış ifadeleri elde edilebilir.

Aksi halde bu sistemlerin analizinde zorluklarla karşılaşılabilir.

1-) Her bir örnekleyicinin giriş ve çıkışına sinyal isimleri verilir.

Örneğin giriş u ise çıkışı u* olur.

2) Her bir örnekleyicinin girişi ve sistemin çıkışı örnekleyici

çıkışları ve sistem girişi cinsinden yazılır.

3-) Bu denklemlerden “*”’ lı dönüşümü alınarak transfer

fonksiyonu ya da çıkış ifadesi elde edilebilir.

5.5 Kapalı Çevrim Örneklenmiş Verili Kontrol Sistemleri

Kurallar

)z(GH

)z(G

)z(R

)z(Y)z(T

)s(*GH

)s(*G

)s(*R

)s(*Y)s(*T

11

Örnek: Verilen kapalı çevrim kontrol sisteminde hata sinyali E(s)

örneklenmiştir (örnekleme-tutma). Varsa eşdeğer transfer fonksiyonunu yoksa

çıkış ifadesini bulunuz.

R(s) Y(z)+

-Gp(s)

E(s)Gh(s)

H(s)

T

E*(s)

R(s) Y(s)+

-Gp(s)

E(s)

H(s)

])46.0(1[667.0)k(y k

Örnek: Verilen kapalı çevrim sisteminde hata sinyali E(s) örneklenmiştir

(örnekleme-tutma). Birim basamak cevabını bulunuz ve analog sistemin birim

basamak cevabı ile karşılaştırınız. T=0.1 s.

2s

4)s(Gp

R(s) Y(s)+

-Gp(s)

E(s) R(s) Y(s)+

-Gp(s)

E(s)Gh(s)

T

E*(s)

82.0z

36.0)z(G

46.0z

36.0

)z(G1

)z(G)z(T

1z

z.

46.0z

36.0R.TY

Örnek: Verilen kapalı çevrim kontrol sistemini inceleyiniz.(Varsa kapalı çevrim

transfer fonksiyonunu bulunuz.)

)s(*G)s(*GH

)s(*G)s(*G

)s(*R

)s(*Y)s(*T

c

c

1 )z(G)z(GH1

)z(G)z(G

)z(R

)z(Y)z(T

c

c

R(s) Y(s)+

-Gp(s)

E(s) Sayısal kontrolörADC DAC

H(s)

Örnek: Verilen kapalı çevrim kontrol sistemini inceleyiniz.(Varsa kapalı çevrim

transfer fonksiyonunu bulunuz.)

R(z)Y(s)

+

-Gp(s)

E(z) Sayısal kontrolör

ADC

DAC

H(s)

Örnekler: Aşağıdaki kapalı çevrim kontrol sistemlerinin varsa transfer

fonksiyonlarını yoksa çıkış ifadelerini bulunuz.

R(s)Y(s)

+

-Gp(s)

E(s)ADC DAC

H(s)

Gc(s)

R(s) +

-

E1(s) E1*(s) G1(s)

+

- T

E2(s) E2*(s) G2(s)

Y(s)

H(s)

T

Örnek: Verilen kapalı çevrim kontrol sistemini inceleyiniz.(Varsa kapalı

çevrim transfer fonksiyonunu bulunuz.)

)s(*HG)s(*G).s(*G

)s(*G).s(*G

)s(*R

)s(*Y)s(*T

221

21

1

)z(HG)z(G).z(G

)z(G).z(G

)z(R

)z(Y)z(T

221

21

1

Ayrık zaman kontrol sistemlerin köklerin yer eğrisinin çiziminde, analog

sistemlerdeki kurallar geçerlidir. Bunlar tekrarlanırsa,

• Bilindiği gibi KYE, kontrol sisteminin AÇTF’ undan yararlanarak

çizilir. KYE, açık çevrim transfer fonksiyonundaki K kazancının

değişimine göre kapalı çevrim kutuplarının değişimini gösteren

eğrilerdir.

6.1 Ayrık Zaman Kontrol Sistemlerinin KYE

R(z) Y(z)+

-G(z)

H(z)

K

5.0z

1)z(H

,1z

z)z(G

Örnek: Verilen sistemin KYE çiziniz.

)z(H)z(G

1K

için0K)1k2()z(H)z(G

Açı ve Genlik Koşulu

KYE çiziminde ve kontrolör tasarımında açı ve genlik koşulu

son derece önemlidir.

Açı Koşulu

Genlik Koşulu

R(z) Y(z)+

-G(z)

E(z)

H(z)

K

Örnek: z=0.5+j0.5 noktası, verilen sistemin KYE üzerinde midir?

Üzerinde ise KYE’ ni bu noktadan geçirecek olan K kazanç değeri

nedir?

1z

1)z(H,

4.0z

7.0z)z(G

R(z) Y(z)+

-G(z)

E(z)

H(z)

K

2-) K>0 için; seçilen sx test noktasının sağ tarafında gerçek eksen üzerinde

tek sayıda kutup ve sıfır varsa o nokta KYE üzerindedir. Bu sonuç açı

koşulu uygulanarak kolayca görülebilir.

1-) Bir sistemin KYE’ nin dal sayısı, AÇTF’ nun kutuplarının sayısı kadardır ve

KYE,

• K=0 için AÇTF’ nun kutuplarında başlar, K=sonsuz için sıfırlarında sona erer.

Örnek: Verilen sistem için iki kuralı uygulayınız.

1z

1)z(H,

4.0z

7.0z)z(G

R(z) Y(z)+

-G(z)

E(z)

H(z)

K

KYE Çizim kuralları

0dz/dKve)z(H)z(G

1K

3-) Gerçek eksenden ayrılış ve gerçek eksene varış noktaları

aşağıdaki denklemin kökleri arasındadır.

Örnek: Verilen sistem için 3. kuralı uygulayınız.

1z

1)z(H,

4.0z

7.0z)z(G

R(z) Y(z)+

-G(z)

E(z)

H(z)

K

4-) KYE dallarının yaklaştığı asimptotlar varsa bu asimptotların

açıları,

mn

k

)12(

mn

zipjn

j

m

i

1 1

)Re()Re(

ve asimptotların

gerçek ekseni kestiği noktalar,

Örnek: Verilen sistem için KYE çiziniz.

8.0z

1)z(H,

5.0zz

z)z(G

2

R(z) Y(z)+

-G(z)

E(z)

H(z)

K

5-) KYE dallarının karmaşık kutuplardan ayrılış ve karmaşık sıfırlara

varış açıları,

Örnek: Verilen sistem için KYE çiziniz.

8.0z

1)z(H,

5.0zz

z)z(G

2

R(z) Y(z)+

-G(z)

E(z)

H(z)

K

Açısı bulunacak kutba (ya da sıfıra) açı koşulu uygulanarak bulunur.

6-) KYE’ nin birim çemberi kesme noktaları Jury kriterinden

bulunabilir. Jury kriterinin marjinal kararlılık koşulu uygulanır.

Örnek: Verilen sistem için KYE çiziniz.

8.0z

1)z(H,

5.0zz

z)z(G

2

R(z) Y(z)+

-G(z)

E(z)

H(z)

K

Örnek: Verilen kapalı çevrim kontrol sisteminin KYE çiziniz

25.0z

)4z(K)z(H)z(KG)2

)5.0z)(1z(

K)z(H)z(KG)1

2

2

R(z) Y(z)+

-G(z)

E(z)

H(z)

K

6.2 Tasarım Yaklaşımları

Önceki bölümlerde sayısal kontrol sistemlerinin tasarımında

aşağıdaki iki yaklaşımın izlenebileceği belirtilmiş ve ilk yaklaşımla

kontrolör tasarımı Bölüm 4’ ün sonunda açıklanmıştı.

1-) Analog bölgede analog olarak kontrolör tasarlanır ve sonra

analog kontrolör ayrık zamana çevrilerek sayısal ortamda

programlanır.

2-) Doğrudan Ayrık Zamanda Kontrolör Tasarımı: Kontrolör, ayrık

zamanda tasarlanır. Yani kontrol edilecek sistem ve kontrol talepleri

ayrık zamana dönüştürülür. Ayrık zaman kontrolörün parametreleri

ayrık zamanda hesaplanır.

Burada ilk yaklaşım, Bölüm 4 de açıklandığından ikinci yaklaşımla

tasarım açıklanacak ve ayrıca KYE ile tasarım örnekleri verilecektir.

Doğrudan Ayrık Zamanda Kontrolör Tasarımı

• Kontrol edilecek sistem ayrıklaştırılır. Uygun bir örnekleme

peryodu seçilmelidir. Uygun örnekleme frekansı, sistemin

sönümlü doğal frekansının 20 katından az olursa istenen

performans elde edilemeyebilir.

• Sisteme bağlanacak sayısal kontrolörün transfer fonksiyonu

belirlenir.

• Ayrık zamandaki kontrol sisteminin karakteristik denklemi

bulunur.

• Laplace bölgesinde verilen kontrol kriterleri (sönüm oranı-

doğal frekans ya da yükselme süresi, yerleşme süresi,

maksimum aşma gibi ) z bölgesine dönüştürülür. Dolayısıyla

referans sistemin karakteristik denklemi elde edilir.

• Kontrol kriterlerini karşılayacak şekilde kontrolör parametreleri

hesaplanır. Burada, referans sisteme benzetilerek ya da KYE

ile kontrolör parametreleri hesaplanabilir.

• Tasarlanan sayısal kontrolör programlanır.

ns w20w

Örnek: verilen sistem için doğrudan sayısal bölgede PI tasarlayınız.

2s

1)s(Gp

8010 .,sn/radwn

1

)()(

z

azKzGc

1-) Önce sistem ayrıklaştırılarak z-bölgesindeki sayısal kontrol sistemi

elde edilir. T=?

2-) Sisteme bağlanacak sayısal PI.8187.0z

09.0)z(G

T=0.1 için

R(s) Y(s)+

-Gp(s)

E(s) Sayısal kontrolörADC DAC

R(z) Y(z)+

-G(z)Gc(z)

01994.074.02 zz

5-) Karakteristik denklemler eşitlenirse,

1

2775028

z

).z()z(Gc

3-) Sayısal kontrol sisteminin karakteristik denklemi:

4-) Laplace bölgesinde verilen kontrol kriterleri (sönüm oranı-doğal

frekans) z bölgesine dönüştürülür.

)4s)(1s(

2)s(Gp

Örnek: verilen sistem için doğrudan sayısal bölgede PD tasarlayınız.

8010 .,sn/radwn

6.0z58.1z

0072.0z0085.0)z(G

2

T=0.1 için

R(s) Y(s)+

-Gp(s)

E(s) Sayısal kontrolörADC DAC

6.3 Köklerin Yer Eğrisi (KYE) ile Sayısal Kontrolör Tasarımı

Kontrol sisteminin geçici rejim kriterlerini karşılamak amacıyla KYE ile

kontrolör tasarlamak için aşağıdaki kurallar uygulanabilir.

1-) Analog sistem ayrıklaştırılır.

2-) Ayrık zaman kontrolörün transfer fonksiyonu ile birlikte kontrol

sisteminin AÇTF bulunur.

3-) Verilen kontrol isteklerinden (en büyük aşma, yükselme, yerleşme

zamanı ya da sönüm katsayısı ve doğal frekans gibi) yararlanarak

arzu edilen baskın kutupların z-düzlemindeki yeri belirlenir.

4-) Kontrolörlü sistemin KYE’ nin, arzu edilen baskın kutuplardan

geçmesi için açı koşulu kullanılarak denetleyicinin sisteme eklemesi

gereken faz açısı belirlenir.

5-) Bu faz açısını karşılayacak şekilde kontrolör sıfırının değeri

hesaplanır.

6-) Kontrollü sistemin KYE’ nin arzu edilen baskın kutuplardan

geçmesini sağlayacak şekilde genlik koşulundan yararlanarak

kontrolör kazancı belirlenir.

R(z) +

- Gc(z)

Gh(s)

s

e Ts1

)s(s 1

1

Y(s)

T = 0.1sn

Örnek: Verilen sistemde yerleşme süresini 0.5 saniyeden küçük ve

maksimum aşmayı % 10 dan küçük yapacak şekilde KYE ile PD

kontrolörü tasarlayınız.

9.0z9.1z

0047.0z0048.0)z(G

2

R(z) +

-

1

z

a)K(z

Gh(s)

s

e Ts1

5s2s

12

Y(s)

T = ?

Denetleyici

Örnek: Verilen sistemde sönüm oranı 0.8 ve sönümsüz doğal frekans 10

olacak şekilde KYE ile PI kontrolörü tasarlayınız. Uygun örnekleme

frekansını seçiniz.

82.0z77.1z

0044.0z0047.0)z(G

2

T=0.1 için