Matematika a műszaki főiskolák számára

Scharnitzkv Viktor%J

\fektorgeometria és lineáris algebra

A műszaki főiskolák matematika-tankönyve az alábbi három kötetből áll:

REIMANN JÓZSEF-TÓTH JULIANNA

Valószínűségszámítás és matematikai statisztika

SCHARNITZKY VIKTORVektorgeometria és lineáris algebra

KOVÁCS JÓZSEF-TAKÁCS GÁBOR-TAKÁCS MIKLÓS

Analízis

Matematika a műszaki főiskolák számára

Seharnitzky Viktor

V ektorgeometria és lineáris algebra

Második, javított, bővített kiadás

Tankönyvkiadó, Budapest, 1989

FŐISKOLAI TANKÖNYV

Készült a művelődési miniszter rendeletére

Bírálták:

Dr. Kiss Jenő főiskolai adjunktus Lengyel László főiskolai adjunktus

Dr. Rpiman Istvánné főiskolai docens

A köteteket szerkesztette:

Oláh Judit

ISBN 963 18 2059 9

I Dr. Scharnitzky Viktor, 1985

TARTALOMJEGYZÉK

1. VEKTOROEOMETRIA ................................................................................. 9

1.1 Alapfogalmak, alapműveletek .................................................................. 91.1.1 A vektor fogalma.............................................................................. 91.1.2 Vektorok összeadása ........................................................................ 101.1.3 Vektorok kivonása............................................................................ 121.1.4 Vektorok szorzása skalárral............................................................ 131.1.5 Vektorok felbontása ........................................................................ 141.1.6 Vektorok lineáris függetlensége, lineáris függősége....................... 161.1.7 Bázis, a vektorok koordinátái ........................................................ 171.1.8 Műveletek koordinátáikkal adott vektorokkal ............................. 19

1.2 Vektorok szorzása ..................................................................................... 221.2.1 Két vektor skaláris szorzata............................................................ 221.2.2 Két vektor vektoriális szorzata ...................................................... 281.2.3 Három vektor vegyes szorzata........................................................ 33

1.3 Vektorok geometriai alkalmazása ............................................................ 361.3.1 Az egyenes ....................................................................................... 361.3.2 A sík ................................................................................................. 371.3.3 Kidolgozott példák az előző két ponthoz....................................... 38

1.4 n-dimenziós vektorok ............................................................................... 43

2. LINEÁRIS ALGEBRA .................................................................................... 45

2.1 Mátrixok és determinánsok ...................................................................... 452.1.1 A mátrix fogalma.............................................................................. 452.1.2 A mátrix transzponáltja. A minormátrix ....................................... 472.1.3 Speciális mátrixok ............................................................................ 492.1.4 Az «-edrendű determináns .............................................................. 532.1.5 A determinánsok néhány tulajdonsága........................................... 54

2.2 Műveletek mátrixokkal.............................................................................. 602.2.1 Mátrixok egyenlősége ...................................................................... 602.2.2 Mátrixok összeadása, kivonása ....................................................... 60

2.2.3 Mátrix szorzása skalárral ................................................................. 612.2.4 Mátrixok lineáris kombinációja....................................................... 612.2.5 Mátrix szorzása mátrixszal, skalárszorzat, diadikus szorzat ........ 632.2.6 Mátrixok hatványozása.................................................................... 722.2.7 A négyzetes mátrix determinánsa ................................................... 742.2.8 A mátrix rangja ................................................................................ 752.2.9 A négyzetes mátrix adjungáltja ...................................................... 772.2.10 A négyzetes mátrix inverze....................................................... 80

2.3 A lineáris t é r ............................................................................................... 822.3.1 A lineáris tér fogalma ...................................................................... 822.3.2 A lineáris függetlenség..................................................................... 832.3.3 A lineáris tér dimenziója, bázisa ..................................................... 842.3.4 Az elemi bázistranszformációk........................................................ 862.3.5 A mátrix rangjának meghatározása elemi bázistranszformációk­

kal ............................. . 912.3.6 A mátrix inverzének meghatározása elemi bázistranszformá­

ciókkal 932.4 A mátrixok néhány alkalmazása .............................................................. 98

2.4.1 Termelési összefüggések leírása mátrixokkal ................................. 982.4.2 Lineáris egyenletrendszerek megoldása........................................... 1072.4.3 Néhány lineáris transzformáció ...................................................... 1192.4.4 Sajátérték-számitás............................................................................ 127

3. KOMPLEX SZÁMOK...................................................................................... 131

3.1 A komplex számok bevezetése.................................................................. 1313.2 Műveletek algebrai alakú komplex számokkal ....................................... 133

3.2.1 A komplex számok algebrai alakja, szemléltetése......................... 1333.2.2 Algebrai alakú komplex számok összevonása ............................... 1363.2.3 Algebrai alakú komplex számok szorzása, osztása, hatványozása 137

3.3 Műveletek trigonometrikus alakú komplex számokkal ......................... 1403.3.1 A komplex számok trigonometrikus-alakja ................................... 1403.3.2 Trigonometrikus alakú komplex számok szorzása, hatványozása,

osztása 1433.3.3 Gyökvonás trigonometrikus alakú komplex számokból .............. 1473.3.4 Egységgyökök.................................................. ............................ 150

3.4 Műveletek exponenciális alakú komplex számokkal............................... 1523.4.1 Az Euler-féle összefüggés ................................................................ 1523.4.2 A komplex számok exponenciális alakja ....................................... 1523.4.3 Exponenciális alakú komplex számok szorzása, hatványozása, osz­

tása; gyökvonás 154

4. EGYENLETEK KÖZELÍTŐ MEGOLDÁSA............................................... 158

4.1 Az egyenletek megoldásáról ........................................... .............................1584.2 A Horner-féle eljárás....................................................................................1624.3 A húrmódszer............................................................................................. ..1684.4 Az érintőmódszer....................................................................................... ..1714.5 Az iteráció m ódszere....................................................................................173

FÜGGELÉKVEKTORANALÍZIS

1. EGYPARAMÉTERES VEKTOR-SKALÁR-FÜGGVÉNYEK, TÉRGÖRBÉK

1.1 Áz egy skaláris változótól függő vektorfüggvény ..................................... 1791.2 Deriváltfüggvény ............................................................ ............................ 1811.3 A görbe kísérő triéderének élei és síkjai .................................................... 1841.4 A görbe ívhossza ......................................................................................... 1881.5 A vektor-skalár-függvény szögsebessége ................................................... 1891.6 A görbület..................................................................................................... 1911.7 A to rz ió ......................................................................................................... 1931.8 Az ívhossz mint param éter.......................................................................... 1961.9 A térgörbe természetes egyenlete................................................................ 199

2. KÉTPARAMÉTERES VEKTOR-SKALÁR-FÜGGVÉNYEK, FELÜLETEK

2.1 Két skaláris változótól függő vektorfüggvény .'......................................... 2012.2 A felület érintősíkja..................................................................................... 2042.3 A felület felszíne........................................................................................... 206

3. VEKTOR-VEKTOR-FÜGGVÉNYEK (VEKTORMEZŐK)

3.1 A három skaláris változótól (vektortól) függő vektorfüggvény ..............2123.2 Vektor-vektor-függvény differenciálhatósága, divergenciája, rotációja .. 214

4. SKALÁR-VEKTOR-FÜGGVÉNYEK (SKALÁRMEZŐK)

4.1 A három skaláris változótól (vektortól) függő, skalárfüggvény................2174.2 A skalármező gradiense ..............................................................................2184.3 A nabla operátor ......................................................................................... 219

5. INTEGRÁLOK

5.1 Vektor-vektor-fíiggvény vonalmenti integrálja .........................................2225.2 A vektor-vektor-függvény potenciálfüggvénye .........................................2275.3 Felsani integrál ........................................................................................... 2315.4 Felületi integrál ........................................................................................... 2335.5 Térfogati in tegrál......................................................................................... 2395.6 Stokes tétele ................................................................................................. 2405.7 Vektorpotenciái ........................................................................................... 2455.8 Gauss-Osztrogradszkij-tétel ........................................................................2475.9 Green-tételek................................................................................................. 250

IRODALOMJEGYZÉK ..................................................................................... 252MATEMATIKATÖRTÉNETI ÍZELÍTŐ .......................................................... 253NÉV- ÉS TÁRGYMUTATÓ................................................................................ 257

1. VEKTORGEOMETRIA

1.1 Alapfogalmak, alapműveletek

1.1.1 A vektor fogalma

A természettudományok történetében először a fizikában találkozunk vektorokkal. Az egyes fizikai fogalmak leírására ugyanis nem mindig elegendő egyetlen számadat. Ha azt kérdezzük: mennyi a levegő hőmérséklete, sűrűsége egy pontban, vagy mennyi egy gép által elvégzett munka, arra egy-egy (mértékegységgel ellátott) számadat tökéletes választ ad. Egészen más a helyzet akkor, ha egy mozgó test sebességét akarjuk meghatározni egy pontban. Nem elegendő ugyanis azt mondani, hogy a test sebessége a kérdezett pontban 30 km/óra, hanem meg kell adni azt is, hogy az adott pillanatban a test merre halad. Ezt az irányt egy, a ponton áthaladó egyenessel és azon egy haladási iránnyal, röviden: irányított egyenessel (vagy szakasszal) adhatjuk meg. Míg tehát pl. a hőmérsékletet egyetlen számadat (skalár) jellemzi, addig pl. a sebesség leírására egy újfajta fogalom, a vektor bevezetése válik szükségessé.

Definíció. Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük.

Egy vektort akkor tekintünk tehát adottnak, ha ismerjük hosszát, irányát és irányí­tását. Két Vektor azonos irányú, ha van olyan egyenes, amellyel mindkettő párhuza­mos. Az irányított szakasz kezdő-, illetve végpontját a vektor kezdő-, illetve végpont­jának nevezzük. A vektorokat kézírásban aláhúzott latin kisbetűkkel, nyomtatásban félkövér álló kisbetűkkel szokás jelölni, például a, b, r, v, w, de használni fogjuk az A kezdőpontú és B végpontú vektor jelölésére az jelet is.

Rajzban a vektorokat nyíllal ábrázoljuk, és a nyíl hegyét az irányított szakasz végpontjához rajzoljuk.

Definíció. A v vektor hosszát a v vektor abszolút értékének (nagyságának) nevezzük, és |v|-vel vagy ü-vel jelöljük.

Definíció. Azt a vektort, amelynek az abszolút értéke nulla (kezdő- és végpont­ja azonos), nullvektornak vagy zérusvektornak nevezzük, és 0-val jelöljük.

A zérusvektor iránya megállapodás szerint tetszőleges.

Dehníció. Azt a vektort, amelynek a hossza egységnyi, egységvektornak nevez­zük.

9

A V vektorral azonos irányú és irányítású egységvektort e,-vel vagy vo-val szokás jelölni.

B C Definíció. Két vektort: az és c 3 vektort akkor tekintünk egyenlőnek, ha van olyan eltolás, amely az A pontot a D pontba, a B pontot pedig a C pont­ba viszi ki (1. ábra).

1. ábra

A vektorok egyenlősége reflexív (a = a), szimmetrikus (ha a = b, akkor b = a) és tranzitív (ha a = b és b = c, akkor a = c) reláció.

Ha egy rögzített kezdőpontból felmérjük a sík minden vektorát, akkor a vektorok és a sík pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesítettünk. A továb­biakban a síkra mint ponthalmazra és a síkbeli vektorok halmazára egyaránt az jelölést használjuk. Ennek mintájára egy adott egyenesen fekvő vektorokat a szám­egyenes pontjainak megfeleltetve a valós számok halmazát R^-gyel vagy röviden R-rel is szokás jelölni. A térbeli vektorokkal kapcsolatban hasonló értelemben használjuk az R^ jelölést.

A vektorokat - éppen szemléletes jelentésük miatt - a matematikában először geometriai problémák megoldására használták. A vektor fogalmának absztrakciója azonban lehetővé tette, hogy e fogalom behatoljon a matematika más területeire is, úgyhogy a vektor ma már a matematika egyik legfontosabb alapfogalmává és gyak­ran alkalmazott segédeszközévé vált.

1.1.2 Vektorok összeadása

A vektorok összegezésének módját a természeti jelenségek szinte készen adják, csak le kell olvasnunk és matematikailag meg kell fogalmaznunk az eredményt. Ismeretes például, hogy két egymás után elvégzett egyenes vonalú elmozdulás eredménye ismét

egy elmozdulás, amelyet az első elmozdulás kezdőpontja és a második elmozdulás végpontja egyértelműen megha­tároz (2. ábra).

Ennek alapján két vektor összegét a következő módon határozzuk meg:

eredő elmozdulás ^ Legyen adott két a, b e R^ vektor. Toljuk el a b vektort2. ábra Úgy, hogy a b kezdőpontja az a végpontjába kerüljön!

10

Definíció. Az a és b vektorok összegén azt az a + b-vel jelölt vektort értjük, amely az a vektor kezdőpontjából a b vektor végpontjába mutat (3. ábra).

3. ábra 4. ábra

Az a és b vektor szerepét felcserélve, az a + b vektorral egyenlő vektorhoz jutunk (4. ábra). Ez azt jelenti, hogy két vektx>r összege a paralelogramma-szabállyal is meghatározható, vagyis két közös kezdőpontú vektor összegét úgy határozhatjuk meg, hogy a két vektor végpontján át egy-egy, a másik vektorral párhuzamos egyenest húzva paralelogrammát szerkesztünk, és a két vektor összege az a vektor, amelynek kezdőpontja a két adott vektor közös kezdőpontja, végpontja pedig a kapott parale­logrammának az előbbi kezdőponttal szemben fekvő csúcspontja.

Az összeadandó vektorokat szokás összetevőknek, az összegvektort eredőnek is nevezni.

Az összeadás művelete kettőnél több vektorra is értelmezhe­tő. Legyenek például adottak az a, b, c, d, e e vektorok.Toljuk el a térben a vektorokat úgy, hogy a soron következő vektor kezdőpontja a sorban előtte álló vektor végpontjára illeszkedjék (5. ábra)\ Az a + b + c-Hd + e összegvektor az a vektor, amely az első összeadandó vektor kezdőpontjából az utolsó összeadandó vektor végpontjába mutat. Ezt az eljárást poligonszabálynak nevezzük.

A vektorok összeadására az alábbi tulajdonságok érvénye­sek:

1. Tetszőleges a, b g vektorokra

a + b = b + a,

vagyis az összeadás kommutatív.2. Minden a, b, c e R^ vektorra 5. ábra

(a + b) + c = a + (b + c).

vagyis az összeadás asszociatív.3. Tetszőleges aeR ^ vektor esetén

a + 0 =

11

4. Az a vektor ellentettjének nevezzük, és - a-val jelöljük azt a vektort, amelyre

a + ( - a ) = 0.

Az a vektor ellentettje az a vektorral azonos nagyságú és irányú, de ellentétes irányítá­sú vektor.

Végjük észre, hogy a vektorok összeadása a valós számok összeadására emlékezte­tő tulajdonságokkal rendelkezik.

Tanulmányaink során látni fogjuk, hogy egészen különböző jellegű mennyiségekre is vonatkozhatnak teljesen hasonló műveleti szabályok. Ezért célszerű bevezetni olyan algebrai fogalmat, amely e műveletek legfontosabb tulajdonságait rögzíti.

Definíció. A G halmazt csoportnak nevezzük, ha teljesül az alábbi négy axióma:1. G minden a, b rendezett elempárjához egyértelműen hozzá van rendelve

G-nek egy a* b = c eleme. (Ezt a hozzárendelést csoportműveletnek nevezzük.)2. G mindegyik a, b, c elemhármasára teljesül az {a* b)* c = a* {b * c)

asszociatív törvény.3. Létezik G-nek olyan e (ún. neutrális vagy zérus-) eleme, amellyel G bárme­

lyik a elemére

a * e = e * a = a.

4. G mindegyik a elemének van a~‘-gyel jelölt ún. kétoldali inverz eleme, amelyre

a* = a~^ * a = e.

Ha a vektorok esetében a csoportműveletnek az összeadást választjuk, akkor a vektorok additív csoportot alkotnak, amelyben a neutrális elem a zérusvektor, az inverz elem az ellentett vektor. Mivel a vektorok összeadására a kommutatív törvény is érvényes, ezért a vektorok halmaza egy kommutatív vagy Abel-féle csoport.

1.1.3 Vektorok kivonása

Definíció. Az a, beR ^ vektorok (a-b)-vel jelölt különbségén azt a vektort értjük, amelyet a b vektorhoz hozzáadva, összegként az a vektort kapjuk.

12

A 6. ábrán megmutatjuk az a - b különbségvek­tor szerkesztését. A közös kezdőpontba eltolt (ha szükséges) a és b vektor különbsége az az a - b vektor, amely a b vektor végpontjából az a vektor végpontjába mutat. A kivonás művelete kiterjeszt­hető több vektorra is. A vektorok kivonása nem kommutatív művelet.

6. ábra

1.1.4 Vektor szorzása skalárral

A gyakorlatban sokszor tapasztaljuk, hogy például egy mozgó test sebessége a felére csökken, vagy például egy erőhatás háromszorosára nő, és - helyesen - úgy érzékeljük, hogy a sebesség sebesség, az erő erő maradt. Ez azt mutatja, hogy egy vektornak egy skalárral való szorzata vektor. Ezt a kézenfekvő tényt kell most matematikailag megfogalmaznunk.

Definíció. Adott a vektor (a e R^) és a valós szám (A e R) Aa szorzatán azt a vektort értjük, amelynek hossza \X\ |a|, iránya megegyezik a irányával, irányí­tása pedig X előjelétől függ: azonos, illetve ellentétes a irányításával, ha A ^0 , illetve A < 0. '

1A 7. ábrán az a vektor mellett láthatóak a 2a, — 3a,

a vektorok is.

Egy vektornak valós számmal történő megszorzása szemléletesen tehát a vektor nyújtását (ha |A| > 1) vagy a vektor zsugorítását (ha 0 < |A| < 1) jelenti, amit nega­tív k esetén még egy a vektor kezdőpontjára történő tükrözés is követ.

Megemlítjük, hogy a - a vektor a ( - l)a alakban is felírható.

A definícióból nyilvánvaló, hogy bármely a vektor előállítható |a| e, alakban, ahol e, az a-val egyirányú (azonos irányú és irányítású) egységvektor; továbbá az, hogy az a és b vektor akkor és csak akkor fekszik egy egyenesen, vagy eltolás révén egy egyenesre fektethető, ha van olyan valós szám, amelyre a = Ab.

A vektornak skalárral való szorzása definícióját átgondolva az alábbi összefüggé­sek láthatók be: Legyen a, b e R^, A, ^ e R. Ekkor

13

1. AO«a) = (A//)a (asszociativitás),2. A(a + b) = Aa + Ab (vektorban való disztributivitás),3. (Á + fi)a = Áa + fia {skalárban való disztributivitás törvénye).

1.1.5 Vektorok felbontása

Vektorokkal kapcsolatos természeti törvények megfogalmazásánál gyakran szük­séges egy adott vektornak adott irányú összetevőkre (komponensekre) való felbon­tása.

Az egyszerűség kedvéért tekintsünkf most síkbeli vektorokat, azaz legyen

/ a, b 6 és X, fi e R. Ekkor a c = Xa+fihS / vektor könnyen megszerkeszthető. (A 8.

1 , , ábrán Á = fi = 2.) Kérdés most már az,

hogy forditva: megadva a c, továbbá az a és b nem párhuzamos vektorokat, fel tud­juk-e bontani a c vektort a és b irányú összetevőkre, és ha igen, milyen feltételek mellett? A válasz igenlő, azaz érvényes a következő tétel:8. ábra

Tétel. Ha a, b, v e R^ és a nem párhuzamos h-vel, akkor mindig találhatók és csak egyféleképpen találhatók olyan a és P valós számok, amelyekre

y = aa+jffb.

Az a feltétel, hogy a és b nem párhuzamosak, magában foglalja azt is, hogy a és b egyike sem a zérusvektor.

Bizonyítás. Először belátjuk, hogy a felbontás lehetséges, utána azt, hogy a felbon­tás egyértelmű.

a) K felbontás lehetséges. Ezt azáltal látjuk be, hogy mutatunk egy konkrét felbon­tást. Húzzunk az adott v vektor A kezdőpontján St az a vektorral, B végpontján át a b vektorral párhuzamos egyenest (9. ábra)\ Minthogy e két egyenes nem párhuza­mos, egy C pontban metszik egymást. Mivel az a és b vektorok egyike sem a zérus vektor, ezért az a-val párhuzamos Z ? vektor aa, a b-vel párhuzamos vektor ^ alakban irható fel. így

V = = a.&+fJb,

vagyis van a tételnek megfelelő a és p.

14

9. ábra

b) Bq kell még látnunk, hogy a és p csak egyféleképpen választható meg. Ha (az állítással ellentétben) az a és mellett az a* és fi* is megfelelne a követelményeknek, és az A pontból az a*a vektort, majd ennek végpontjából pedig a y?*b vektort felrajzoljuk, akkor ennek végpontja a v vektor B végpontjába kell kerüljön. Minthogy az a*a az a-val, /3*h a b-vel párhuzamos, és az a*a kezdőpontja A, fi*b végpontja B, ezért a*a az aa egyenesére, a egyenesére esik; ebből következik, hogy a*a és fi*b csatlakozási pontja csak a Cpont lehet. Ezzel beláttuk, hogy a = vagyisa felbontás egyértelmű.

Hasonló gondolatmenettel látható be, hogy ha a, b, c, v e és a, b, c nincsenek egy síkban, akkor mindig találhatók és csak egyféleképpen találhatók olyan a, /?, y valós számok, amelyekre

V = aa+jffb + yc.

A felbontást a 10. ábra szemlélteti.

15

1.1.6 Vektorok lineáris függetlensége, lineáris függősége

Az előző pontban bizonyított tételből következik, hogy ha a, b e vektorok nem párhuzamosak, akkor az

aa+)9b = 0

egyenlőség csak úgy következhet be, hogy a = 0 és )9=0.

Definíció. Az a, b e vektorokat lineárisan függetleneknek nevezzük, ha az

aa+jffb = 0

egyenlőség csak úgy teljesül, hogy a = 0 és )?=0, és lineárisan függőknek, ha az egyenlőség úgy áll fenn, hogy az a és ^ valós számok legalább egyike nem nulla.

Két síkbeh vektor lineáris függősége a két vektor párhuzamosságát jelenti. Legyen ugyanis például a 7 0. Ekkor az aa+jffb = 0 egyenletből

a

és ez éppen azt jelenti, hogy a és b párhuzamosak.Az előzőekhez hasonló megállapításokat térbeli vektorokra is tehetünk;

Definíció. Az a, b, c e R^ vektorokat lineárisan függetleneknek nevezzük, ha az

aa+ph + yc = 0

egyenlőség csak akkor teljesül, ha a=jff=y = 0.

Hogy lineárisan független vektorok léteznek egyáltalában, azt a tapasztalat iga­zolja.

Definíció. Az a, b, c e R^ vektorokat lineárisan függőknek nevezzük, ha az

aa+jffb + yc = 0

egyenlőség úgy teljesül, hogy az a, P, y valós számok legalább egyike nem nulla.

16

Az a, b, c 6 vektorok lineáris függősége azt jelenti, hogy a három vektor egy síkban fekszik. Ugyanis ha pl. a# 0 , akkor az előbbi egyenlőségből

7a = ---- b -----c,a a

és ez azt jelenti, hogy az a vektor a b és c vektorokból azok nyújtása (zsugorítása), majd összeadása (kivonása) eredményeképpen kapható meg, vagyis az a vektor a b és c vektorok síkjában van. Az előző egyenlet egyben azt is mutatja, hogy az a vektor kifejezhető a b és c vektorokkal.

Definíció. Az

aa+jffb + yc

kifejezést az a, b, c vektorok lineáris kombinációjának nevezzük. Itt a, P, y valós számok.

1.1.7 Bázis, a vektorok koordinátái

Az 1.1.5 részben láttuk, hogy bármely veR^ vektor egyértelműen felbontható a nem egy síkban fekvő a, b, c 6 R^ vektorok irányába eső összetevőkre. Ezt úgy is mondhatjuk, hogy v egyértelműen felírható a lineárisan független a, b, c vektorok lineáris kombinációjaként. Ez azt jelenti, hogy három, hneárisan független (egyébként azonban tetszőlegesen választott) vektor segítségével a tér valamennyi vektora kifejez­hető.

Definíció. A térbeli vektorok egy hneárisan független vektorhármasát bázisnak nevezzük.

Bár elvileg bármely hneárisan független vektorhármas választható bázisnak, számí­tásaink egyszerűsítése érdekében mégis általában speciális bázist választunk.

Tekintsünk három, egy pontból kiinduló, páronként egymásra merőleges egységvek­tort, jelölje őket i, j, k, és alkossanak ebben a sorrendben jobbsodrású rendszert. Ez azt jelenti, hogy ha a k vektor végpontjából az i és j vektorok síkjára tekintünk, akkor azi-t a j-be pozitív (az óra járásával ellenkező) irányú forgatás viszi át. (A jobbsodrá­sú rendszer alapvektorai úgy helyezkednek el a térben, mint a jobb kezünk kifeszített hüvelyk-, mutató- és középsőujja.) Válasszuk az i, j, k vektorokat bázisunk alapvekto­rainak! Ezt megtehetjük, mert lineárisan függetlenek, nem esnek sem egy egyenesbe, sem egy síkba. Az így választott bázisunk ortogonális, mert az alapvektorok páron­ként merőlegesek egymásra, normált, mert alapvektorai egységvektorok. E két tulaj­donságot az ortonormált jelző fejezi ki röviden. Az ilyen bázis alapvektorainak jelölésére általában az ej, Cj, Cj szimbólumokat használjuk.

17

Illesszünk bázisunk i, j, k alapvektoraira egy-egy egyenest! Ez a három egyenes legyen koordináta-rendszerünk x, z tengelye, metszéspontjuk az O origó.

A tér bármely v vektora egyértelműen felbontható a bázis alapvektorai irányába eső összetevőkre. Legyen a felbontás

alakú (11. ábra).

Definíció. Az x, y, z valós számok a v vektor koordinátái, az xi, >J, zk vektorok a V vektor komponensei (az i, j, k rendszerben).

A V vektor koordinátáit egy rendezett számhármassal a

v(x; y; z)

alakban szoktuk feljegyezni. Elterjedt az a = űii + a J + űjk, 8(0 ; 0 2 ', a^) jelölés is.A koordináták előbbi, ún. sorvektoros írásmódja mellett gyakran célszerű az ún.

oszlopvektoros alak használata:

X ölv = , a =

z «3

Az ortonormált koordináta-rendszer bevezetése R. Descartes nevéhez fűződik. Megemlítjük, hogy a v e vektorok és a tér pontjai között fennálló kölcsönösen

18

egyértelmű megfeleltetés miatt a v vektor V végpontjának Descartes-koordinátái azonosak a v vektor i, j, k bázisra vonatkozó koordinátáival. A v vektort a V pont helyvektorának is szokták nevezni.

Megjegyezzük, hogy bizonyos esetekben más bázis és koordináta-rendszer válasz­tása lehet a célszerűbb. Például a geodéziában balsodrású ortonormált rendszer választása a pontok egyszerűbb leírását eredményezheti, vagy egy-egy alakzat egyen­lete alkalmas koordináta-rendszerben egyszerűbb, mint ortonormált rendszerben.

1.1.8 Műveletek koordinátáikkal adott vektorokkal

Az alábbiakban megmutatjuk, hogy koordinátáikkal megadott vektorokkal ho­gyan kell az eddig megismert fogalmakat értelmezni és a műveleteket elvégezni.

Két vektor akkor és csak akkor egyenlő egymással, ha megfelelő koordinátáik egyenlők.

Összevonás. Tekintsük az a(űi; 0 2 ', a^), b(^i; b2 ', 63), ű;, eR , i — 1, 2, 3, vektoro­kat. A megadott koordinátákkal

a = űii + ö j + aak, b =

A vektor skalárral való szorzásának disztributív tulajdonságát felhasználva:

a + b = (aii-l-a2j-l-Ö3k) + (éii + 62j + í>3k) = (ai + í>i)i-f-(ű2 + 62)j + («3 + 3)k,

és hasonló módon

a - b = (ű i-^ i) i + (02-^2)]+ (0 3 -^3)k-

Ezekről a b és a — b koordinátái már leolvashatók: két vektor összegének (különbsé­gének) a koordinátái a két vektor megfelelő koordinátáinak az összegével (különbsé­gével) egyenlők.

Vektornak skalárral való szorzása. Tekintsük az előbbi ^{a^, ö2Í Ö3) vektort és a /I valós számot! Ekkor a = aji + a^ + öjk és a vektornak skalárral való szorzása disztri- butiv törvényét felhasználva

Aa = A(űii + Ű2j + í sk) = kaii + Xa-; + Xa- y:..

Ebből Aa koordinátái leolvashatók: egy vektort úgy szorzunk meg egy valós számmal, hogy a vektor valamennyi koordinátáját megszorozzuk ezzel a számmal.

Vektorok lineáris kombinációja. Az előző két bekezdésben leírtak alapján például ha a, b, c 6 és a, ye R, akkor a

V = aa + b + yc

19

vektor koordinátái

y(a.a^^pb^ + yci; aü2+Pb2 + yc2, aü3 +l^b^ + yc^).

K ido lg o zo tt pé ld á k

1. Példa. Bizonyítsuk be, hogy a paralelogramma átlói felezik egymást!Megoldás. Tekintsük az a, beR ^ vektorok által

kifeszített paralelogrammát (12. ábra). A paralelog­ramma egyik átlója a + b, a másik a - b . Az a és b vektorok közös kezdőpontjából az átlók M metszés­pontjába mutató vektor egyrészt /l(a-l-b), másrészt b + / (a — b) alakú, ahol a A és // valós skalárok egyelő­re ismeretlenek. Mivel azonban a két vektor egyenlő kell hogy legyen, ezért

A(a + b) = b + /z(a —b).

A szorzásokat elvégezve és rendezve;

(A-//)a + (A^-/^-l)b = 0.

Mivel a és b nem párhuzamosak, vagyis lineárisan függetlenek, ez az egyenlőség csak úgy teljesülhet, ha

A-/I = 0 és A + /Í- 1 = 0.

Ebből az egyenletrendszerből1 =

és ez éppen azt jelenti, hogy az M metszéspont az átlók felezőpontja.2. Példa. A P pont az AB szakaszt az A P : PB =

= m .n arányban osztja. Legyen O a tér tetszőleges pontja, és = a, b! Fejezzük ki az vektort az a és b vektorok segítségével!

Megoldás. A 13. ábra alapján A

AP =m

AB =m

m+n m+n

így OP’ = 0 ^ + A? miatt

(b -a).

Ö ? = a +m

m + n(b -a ) =

na + mb m + n

13. ábra

20

Ha a P pont speciálisan az AB szakasz felezőpontja (m = n), akkor

na + nb a + bOP =

2n

3. Példa. Igazoljuk, hogy a háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást, és ez a pont a súlyvonalakat 2 : 1 arányban osztja!

Megoldás. Legyen O a tér tetszőleges pontja,.4,5 és C a háromszög három csúcsa, F a három­szög BC oldalának a felezőpontja, és jelölje az OA, OÉ, o d vektorokat rendre a, b, c (14. ábra).

Előző feladatunk értelmében ŐF ==b + c

.Le­

gyen S az AF szakasz F-hez közelebbi harmado- lópontja. Akkor előző feladatunk szerint:

0A + 2ŐF _ a-l-b + c 1 + 2 ~ 3 14. ábra

Ha a háromszög másik oldalának felezőpontjából indulunk ki, akkor az a, b, c vektorok szerepet cserélnek, de eredményünkön ez nem változtat. Ez pedig azt jelenti, hogy az OS vektor S végpontja mind a három súlyvonalon rajta van, és azokat harmadolja.

4. Példa. Határozzuk meg az a + b, a — b, a + b — c és a 3c + b — 2a vektorok kompo­nenseit, valamint ad = a — 3b —c vektor koordinátáit, ha a(2; 3; — 1), b( — 1; 2; 4) és c(5; -3 ; 1)!

Megoldás;

a + b = (2i + 3 j-k ) + ( - i + 2j + 4k) = i + 5j + 3k;

a - b = 3i+j —5k;

a + b - c = - 4 i + 8j + 3k;

3c + b —2a = lOi—13j + 9k.

A d = a —3b —c vektor koordinátái d(0; 0; — 14).5. Példa. Meghatározandók a Pi(2; 3; -4 ) pontból a Pi(3; - 1; 3) pontba mutató

vektor koordinátái!Megoldás. Az a = P 1/P2 vektor az origóból a P2 és az 0-ból a Pi pontba mutató

helyvektorok különbségével egyenlő (15. ábra):

21

a = P 1P 2 = OP2 -Ö P I == (3 i- j + 3k)-(2i + 3 j-4k) = = i - 4 j + 7k,

vagyis

a(l; -4 ; 7).

F felezőpontjának koordinátáit, ha .4 (3 ;-l;7 ), 5(1;3;

Megoldás. Legyen OA = a, OB = h, ek­kor a 2. példa szerint

— > a + b0 F = ------= 2 i+ j + 2k,

vagyis F{2; 1; 2).

1.2 Vektorok szorzása

1.2.1 Két vektor skaláris szorzata

A fizika tanulmányozása nemcsak a vektorok összeadásának a műveletét szolgál­tatta, hanem olyan, a vektorokra értelmezett műveleteket is felvetett, amelyek bizo­nyos mértékig a szorzásra emlékeztetnek. Jól tudjuk, hogy ha egy anyagi pont az állandó F erő hatására egy egyenes mentén elmozdul, akkor az F erő által végzett munka nagysága:

|F| |r| cos a,

ahol r az elmozdulást megadó vektort, a pedig az F és r vektorok hajlásszögét jelenti.Mind az erő, mind az elmozdulás vektormennyiség, itt tehát olyan művelettel

állunk szemben, amely két vektormennyiséghez eredményként skalár mennyiséget rendel hozzá. A vektoralgebrában ennek a műveletnek a skaláris szorzás elnevezést adjuk.

Definíció. Két tetszőleges a, b e vektor skaláris szorzatán (vagy skalárszor- zatán) az

ab = |a{ |b| cos (pa,

számot értjük, ahol ab az a és b vektorok hajlásszögét jelöU.

22

Két vektor hajlásszögén a két irány által bezárt szögek közül a 180°-nál nem nagyobbat értjük. Ebből következik, hogy ha a két vektor hajlásszöge hegyesszög, akkor skaláris szorzatuk pozitív, ha tompaszög, akkor skaláris szorzatuk negatív.

A definíció alapján könnyen belátható, hogy a, b, c e R^, A e R esetén1. ab = ba, a skaláris szorzás kommutatív,2. a(b + c) = ab + ac, a skaláris szorzás disztributív,3. (Aa)b = A(ab) = a(Ab).4. Az asszociatív törvény nem érvényes, mert három vektor skaláris szorzatát nem

tudjuk képezni. Ugyanis az első kettő összeszorzása után skalárt kapunk, és ezt a harmadik vektorral nem tudjuk skalárisán összeszorozni.

Felvetődik a kérdés: két vektor skaláris szorzata mikor zérus?

T étel . Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor zérus, ha a két vektor merőleges egymásra.

Bizonyítás. Ha a két vektor között a zérusvektor is szerepel, akkor helyes az állítás, mert a skaláris szorzat zérus, és a zérusvektor bármely vektorra merőleges. Ha a vektorok egyike sem a zérusvektor, akkor a skaláris szorzat csak úgy lehet zérus, ha cos 9>ab=0. De ez azt jelenti, hogy ^5ab=90°, azaz a vektorok merőlegesek. Fordítva, ha a vektorok merőlegesek, akkor cos^ab = 0, és így a skaláris szorzat valóban 0. A skaláris szorzat így két vektor merőlegességének megállapítására használható fel.

Nézzük meg n jst, hogyan kell két, koordinátáival megadott vektor skaláris szorza­tát kiszámítani.

Mivel az i, j, k alapvektorok páronként merőlegesek egymásra és egységnyi hosz- szúak, azért

i i= l , j j= l , k k = l,

mert pl.

ii = |i| |i| cos 0° = 1 • 1 • 1 = 1,

míg

ij= jk = ki = 0,

mert pl.

ij = |í| Ijl cos 90° = 1 • 1 • 0 = 0.

Legyen

a = öii + öaj + ösk és b = Z)ii + /)2j + é3k,

23

akkor

a b = (űii + űij + űsk) (6ii + í>2Í + í>3k) == ű i ^ i i i + üíbiii + a ií> 3 Ík + + Ű 2^2jj + ű2Í>3jk + ű a é i k i + a 3 ^ 2 k j + f la ^ a k k .

Az alapvektorokra vonatkozó előbbi megjegyzéseket felhasználva a jobb oldalon álló összegben 6 tag zérus, és így

ab — öléi + 02^2 “I"

azaz két vektor skaláris szorzatát a megfelelő koordináták szorzatának összege adja.A skalárszorzat segítségével könnyen kiszámítható egy vektor abszolút értéke

(hossza). Ugyanis ha az a(ai; 02; űb) vektort önmagával skalárisán megszorozzuk, akkor egyrészt

a = aa = |a| |a| cosO° = |ap,

másrészt a skaláris szorzást az a koordinátáival elvégezve:

a = 01 + 02 + 03-

Innen

|ap = Ű1 + Ű2 + Ö3,

és ebből

A gyakorlatban sokszor előfordul, hogy egységvektorokkal kell dolgoznunk. Az a vektor irányába mutató e, egységvektort megkapjuk, ha az a vektort a hosszával elosztjuk:

Az e, vektor koordinátái tehát

e.Ű1 Ű2 ÍI3|a l ’ |a| ’ |a|

24

Az a vektor irányába mutató e, egységvektor koordinátáit az a vektor iránycosinu- sainak szokás nevezni, mert éppen az a vektor és az egyes tengelyek által bezárt szögek cosinusát adják meg. A 11. ábrán ellenőrizhető, hogy pl. a z tengely és a v vektor által bezárt szög cosinusa:

cos fvz = 7-7 .|v|

Az eddigiekből azonnal következik az is, hogy az iránycosinusok négyzetösszege1, mert egységvektornak a koordinátái.

A skalárszorzat segítségével könnyen kiszámítható két vektor hajlásszöge. Ugyanisaz

ab = |a| |b| cos (pb

egyenlőséget átrendezve

cos (pabaí)

la| |b|

A skaláris szorzat felhasználható továbbá egy vektor­nak egy másik vektorra eső merőleges vetületének a kiszámítására is.

Legyen adott az a és b vektor, és keressük a-nak b-re eső merőleges vetületének hosszát (16. ábra).

A 16. ábrán látható derékszögű háromszögből az ab vetületvektor hossza

|ab| = |a| cos (pa,.

Legyen Cb a b vektor irányába eső egységvektor! Ekkor |eb| = 1, így ezzel a jobb oldal bővíthető, továbbá mivel b és Cb egyirányú, ezért cos = cos és ezt felhasználva

|ab| = |al ICbl cos faeb-

De a jobb oldalon éppen a és Cb skaláris szorzata áll, ezért az a vektor b-re eső merőleges vetületének hossza

|ab| = acb.

25

Ha a merőleges vetületvektorra vagyunk kíváncsiak, a vetület hosszát meg kell szoroznunk az irányába mutató Cb egységvektorral, azaz a vetületvektor

3b = (aeb)Cb.

K id o l g o z o tt pé ld á k

1. Példa. Számítsuk ki az a(2; - 3; 4) és a b(0; - 1; - 2) vektorok skaláris szorzatát! Megoldás. A skaláris szorzat

ab = 2 -0 + ( - 3 ) ( - l ) + 4 (-2 ) = -5 .

Minthogy a skaláris szorzat negatív, az a vektor a b vektorral tompaszöget zár be.2. Példa. Mutassuk meg, hogy az a( —2; 3; 1) és a b(4; 2; 2) vektorok merőlegesek

egymásra!Megoldás. A két vektor skaláris szorzata

ab = “ 8 + 6 + 2 = 0,

ezért valóban merőlegesek egymásra.3. Példa. Határozzuk meg az a (-2 ; 1; 2) vektor hosszát!Megoldás. Az a vektor hossza

|a| = ^'4+1 + 4 = ]/9 = 3

egység.4. Példa. Egységvektor-e az a(l; 1; 1) vektor?Megoldás. Mivel |a| = |/l + 1 + 1 = f i , a nem egységvektor.5. Példa. Határozzuk meg az a(2; 2; 1) és b ( - 1; 2; 2) vektorok hajlásszögét! Megoldás. A két vektor hajlásszögének cosinusa

- 2 + 4 + 2 4

— rés ebből a szög

?>.b = 63,6°.

6. Példa. Határozzuk meg az a(4; 3; 5) vektornak a b(2; - 1; 2) vektor irányába eső merőleges vetületének hosszát és a vetületvektort!

Megoldás. A vetület kiszámításához szükségünk van a b irányába mutató Cb egység­vektorra. Ez, mivel |b| = |/4+ 1 +4 = 3,

26

így

b 2 1 . 2 .

8 3 10 W = - - 5 + y = 5 .

A vetületvektor:

10 5 . 10a . - j . - 3 J + j k ,

7. Példa. Bontsuk fel az a(l; 2; 3) vektort a b(2; 2; — 1) vektorral párhuzamos és rá merőleges összetevőkre!

Megoldás. Az a vektornak a b vektorral párhuzamos összetevője éppen az a vektor b vektorra eső merőleges vetületének vektora. Ennek hossza

/2 2 1 \ 2 4 3 3 |a,| = ae, = (i + 2j + 3k) (^-i+ - j - - k j = - + - - p - = 1.

A vetületvektor tehát

2 2 1

Az a vektornak a b vektorra merőleges összetevőjét megkapjuk, ha az a vektorból az 3b vektort kivonjuk:

1. 4 . 10. a - ab = - 1+ - j + y k .

Ezzel a feladatot megoldottuk. Ellenőrzésképpen nézzük meg, hogy a két összetevő valóban merőleges-e. Mivel skalárszorzatuk;

2 8 10 ab(a-ab) = 9 + 9 - -^ = 0,

ezért valóban merőlegesek.

27

1.2.2 Két vektor vektoriális szorzata

A fizikából ismeretes, hogy ha egy O pontban rögzített merev testre olyan F erő hat, amelynek hatásvonala nem halad át az O ponton, akkor az F erőnek a testre forgató hatása van, amelyet forgatónyomatéknak nevezünk. A forgatónyomaték nagyságát az

|F| |r| sin a

szám adja, ahol r az O pontból az erő P támadáspontjába mutató vektor, a az r helyvektornak és az F erővektornak a haj­lásszöge, továbbá 2ik = |r| sin a az erőkar hossza (17. ábra). A forgatónyomaték olyan forgást idéz elő, amelynek tengelye a rögzített O ponton halad át, és merőleges az r és F vektorok síkjára. A forgatónyo­maték e tengely irányába hat. Mármost forgatónyomaték-vektornak nevezzük azt az M vektort, amelynek hossza

|M| = |r| |F| sin a,

iránya merőleges az r és F síkjára, irányítá­sa pedig olyan, hogy az r, az F és az M eb­ben a sorrendben jobbrendszert alkot. Az így jellemzett M forgatónyomaték-vektor

helyesen adja meg a forgatás irányát is. A 77. ábrán látható esetben a létrejövő forgás pozitív (az óra járásával ellentétes) irányú.

Mindezt átgondolva vegyük észre, hogy eljárásunkkal olyan hozzárendelést létesí­tettünk, amely két vektorhoz, az r és F vektorhoz egy harmadik vektort, az M vektort rendeli hozzá. Ezt a hozzárendelést vektoriális szorzásnak fogjuk nevezni és az r x F jellel (olv.: er kereszt ef) fogjuk jelölni.

17. ábra

Dehníció. Az a, b g vektorok a x b-vel jelölt vektoriális szorzatának azt a vektort nevezzük, amelynek

a) hossza

|a x b | = |a| |b| sin^ab.

b) iránya az a és b vektorok síkjára merőleges, ésc) az a, b és a X b vektorok (ebben a sorrendben) jobbrendszert alkotnak.

28

Ez utóbbi azt jelenti, hogy az a x b vektor oda mutat, ahonnan nézve az a-t a b-be vivő, 180°-nál kisebb szögű forgatás pozitívnak látszik.

A vektoriális szorzásra a definíció alapján a következő megállapításokat tehetjük:1. A vektoriális szorzás nem kommutatív, azaz a, b e esetén

a X b # b X a.

Ugyanis a bal oldalon álló vektor az a és b vektorokkal az a, b, a x b sorrendben, a jobb oldalon álló vektor pedig a b, a, b x a sorrendben alkot jobbrendszert. A sor­rendből azonban az is látszik, hogy a b x a a z a x b ellentettje, azaz

a X b = - (b X a).

Az olyan műyeletet, amelynél a tényezők felcserélése előjelváltást okoz, alternáló műveletnek nevezzük.

2. A vektoriáhs szorzás nem asszociatív művelet, azaz a, b, c e esetén

(a X b) X c # a X (b X c).

Ugyanis a bal oldalon olyan vektor áll, amely az (a x b)-re is és a c-re is merőleges, vagyis az a és b síkjával párhuzamos. A jobb oldalon olyan vektor áll, amely az a-ra is és a b X c-re is merőleges, vagyis a b és c síkjával párhuzamos. Az a vektor, amely az a és b síkjával is, és a b és c síkjával is párhuzamos, párhuzamos b-vel is. Az asszociatív törvény teljesüléséhez tehát szükséges lenne, hogy a b-vel párhuzamos eredményvektor merőleges legyen például c-re (és a-ra), de tetszőleges vektorok esetén sem b és c, sem b és a merőlegessége nem áll fenn.

3. A vektoriális szorzás skalárra nézve asszociatív, azaz a, b e R^, A e R esetén

A(a X b) = la X b = a X Ab.

4. A vektoriáhs szorzás disztributív, azaz a, b e R^ esetén

ax(b + c) = a x b + axc ,(b + c)x a = bx a + cx a.

Az állításnak mind a két alakjára szükség van, mert a vektoriális szorzás nem kommutatív, és ezért a két alak egymásból nem következik.

Felvetődik a kérdés: két vektor vektoriáhs szorzata mikor zérusvektor?

T étel . Két vektor vektoriális szorzata akkor és csak akkor zérusvektor, ha a vektorok párhuzamosak egymással.

Bizonyítás. Ha a két vektor közül az egyik a zérusvektor, akkor a tétel triviálisan igaz.

29

Ha a két vektor egyike sem a zérusvektor és párhuzamosak, akkor a bezárt szögük 0° vagy 180°, ezeknek sinusa 0, és így a két vektor vektoriális szorzata a zérusvektor. Fordítva: ha a két vektor vektoriális szorzata a zérusvektor, és a két vektor egyike sem a zérusvektor, akkor a bezárt szögük sinusa 0, így a szög vagy 0° vagy 180°. Mind

a két esetben a két vektor párhuzamos egymással.Két vektor vektoriális szorzata hosszának érde­

kes geometriai jelentés tulajdonítható. A 18. ábrán látható paralelogramma t területe

t = a- m = |a| |b| sin a = |a x b|,

18. ábra vagyis az a és b vektorok által kifeszített paralelog­ramma területe a két vektor vektoriális szorzatának

az abszolút értékével egyenlő. Szokás ezért az a x b vektort e paralelogramma terület­vektorának nevezni.

Ebből már következik, hogy az a és b vektorok által kifeszített háromszög területe

Térjünk rá most a koordinátáival, ill. komponenseivel megadott két vektor vektoriális szorzatának kiszámítására. Ehhez először számítsuk ki az alapvektorok vektoriális szorzatát.

Azonnal látszik, hogy

ix i = j x j = k x k = 0,

mert bármelyik alapvektornak önmagával bezárt szöge zérus, és így annak sinusa is zérus, tehát a vektorszorzat eredménye a zérusvektor. Továbbá könnyen belátható, hogy pl.

ix j = k,

mert az eredményvektor egységvektor (ugyanis |i| |j| sin = 1 • 1 • 1 = 1), iránya i és j síkjára merőleges, és velük jobbrendszert alkot, így csak a k alapvektor lehet.

Hasonlóan

jx k = i, k x i = j, j x i = - k , k x j = - i , i x k = - j .

Tekintsük most már az

a = aii + a2j + ű3k és b = 6ii + í>2j + í>3k

30

vektorokat, ahol a koordináták valós számok. Ezek vektoriális szorzata (felhasználva a vektpriális szorzat tulajdonságait):

a x b = (aii + űaj + flak) X (6ii + Ö2j + 63k) == aibiii X i) + űí2Í>iG ^ ') + azbiik x i) +

+ aibiii X j) + 02^20 X j) + azbiQi x j) ++ 0163(1 X k) + 02^30 X k) + a 3 3(k x k).

Felhasználva előző eredményeinket:

a x b = 0 -a 2 ^ ik + öjí)ij + ai62k + 0 —ÍJ362Í —ai63j + a2^3Í + 0 == (02^3 - 0362)1 - {a\b^ - a^bx)\ + (0162 - í/2Í)i)k.

Ez a kifejezés voltaképpen az

i j kül Ü2 ü's bi bz 63

harmadrendű determináns első sora szerinti kifejtése. (A determinánsokat a 2.1.4 pontban tárgyaljuk.) Ezért az a és b vektorok vektoriális szorzatára igaz az alábbi egyenlőség:

i j ka xb = űl Ü2 03

b\ 62 63

Megemlítjük, hogy az a, b, c e vektorokra igaz a kifejtési tétel:

a X (b X c) = (ac)b - (ab)c,

(a X b) X c = (ac)b — (bc)a.

K id o l g o z o tt p é l d á k

1. Példa. Számítsuk ki a Pi(3; -2 ; 1), Fz{-2-, 4; - 1) és ^ 3(0; 5; - 2) pontok által meghatározott háromszög területét!

Megoldás. A /*i-ből /*2-be mutató a vektor koordinátái: a(—5; 6; —2), a Pi-ből Pa-ba mutató b vektor koordinátái: b( — 3; 7; — 3). Az a és b vektorok által kifeszített háromszög területe: T = 0,5 |axb|.Először számítsuk ki (a x b)-t.

a x b =1

- 5- 3

j k6 - 2 7 - 3

= ( -1 8 + 1 4 ) i- (1 5 -6 ) j+ ( -3 5 + 1 8 )k = - 4 i - 9 j - 1 7 k .

31

így a háromszög területe

1 1 1 19,64r = - ia X b| = -1^16 + 81+289 = - = 9,82

területegység.2. Példa. Állítsunk az a( - 2; 1; 3) és b(l; - 2; 4) vektorok síkjára merőleges vektort! Megoldás. Az a és b síkjára mind az a x b, mind a b x a vektor merőleges.

a x b =i j k

- 2 1 31 - 2 4

= 10i+l l j + 3k,

es

b x a = - (a X b) = - lOi - 1 Ij - 3k.

Ellenőrizzük, hogy például a és b x a valóban merőleges egymásra.Mivel e két vektor skaláris szorzata

a(bxa) = 2 0 - 1 1 - 9 = 0,

ezért a két vektor valóban merőleges egymásra.Megemlítjük, hogy az a x b vektorral együtt í(a x b) vektor (t tetszőleges valós

szám), és b X a vektorral együtt az «(b x a) vektor (u tetszőleges valós szám) is megoldása a feladatnak, és ezzel az összes megoldást megkaptuk.

3. Példa. Egy háromszög csúcsai: Pi(3; -1 ; 4), ^ 2(4; 1; 2) és ^ 3(2; -1 ; 5). Számítsuk ki a háromszög P^ csúcsához tartozó magasságának hosszát!

Megoldás. A

t =am laxbl

összefüggésekből

m =| axb| | axb|

A feladat adataival

= P 1 P2 = (1; 2; - 2), b = P 1P 3 = ( - 1 ; 0; 1),

es Így

32

a X b =

Ezért

továbbá

i j k1 2 - 2 1 0 1

= (2 ) i- ( l-2 ) j + (2)k = 2i+j + 2k.

laxb l = ^4 + 1 + 4 = 3 ,

|a| - |/ l+ 4 + 4 = 3, és így m = - = l.

1.2.3 Három vektor vegyes szorzata

Definíció. Az a, b, c e nem egysíkú vektorokból képezett

abc = (a X b)c

szorzatot az a, b, c vektorok vegyes szorzatának nevezzük.

Az elnevezés arra utal, hogy itt vektoriális és skaláris szorzás is szerepel. Az elvégzen­dő műveletek alapján világos, hogy az eredmény skalár. Értéke;

|a X b| |c| cos a,

ahol a az a x b és a c vektorok hajlásszöge. Mivel |a x b | az a és b vektorok által kifeszített paralelogramma területe, a | c | cos a pedig a 19. ábrán látható paralelepipe- don (ferde hasáb) m magassága, ezért a vegyes szorzat az a, b és c vektorok által kifeszített ferde hasáb előjeles tér­fogatát adja.

Ez a térfogat akkor pozitív, ha a cos a pozitív, azaz ha a hegyes­szög. Ez azt jelenti, hogy c és a x b az a és b vektorok síkjának ugyan­arra az oldalára mutatnak, azaza, b és c jobbrendszert alkotnak.Negatív akkor a térfogat, ha a, b és c balrendszert alkotnak. így:

V - |(axb)c | = labc|.

33

A vegyes szorzat abc jelölésében nem látszik, hogy hol van a vektoriális és hol a skaláris szorzás jele, de ez nem is szükséges, mert érvényes a felcserélési tétel, amely szerint

(a X b)c = a(b x c).

Ez geometriailag azt jelenti, hogy egy paralelepipedon térfogatának a kiszámítása­kor közömbös, hogy melyik oldallapjának a területét és az ehhez tartozó magasságot szorozzuk össze. Mivel a vektoriális szorzás alternáló művelet, ezért abc = — acb, és így abc = bca = cab, továbbá acb = cba = bac.

Ha az a, b, c E vektorok koordinátáikkal adottak, nevezetesen a(ai; 02; Ű3), b(í»i; bi, 63) és c(ci; C2, C3), akkor az abc = (a x b)c vegyes szorzatot úgy számíthatjuk ki, hogy az

a x b = (a2í>3-«3í>2)i-(<3ií>3~a3í’i)j + (ai^2- a 2 i)k

vektort skalárisán szorozzuk a c vektorral. Ekkor

(a X b)c = (ű2^3 - 3i^b2)cí - (űiZ)3 - azbi)c2 + {aibi ~ aibCíCi.

A jobb oldal itt is egy harmadrendű determináns értéke, és így

Ű1 Ű2 Ö3abc = bi b2 b3

C l C2 C3

E determináns értéke tehát az a, b és c vektorok által kifeszített paralelepipedon előjeles térfogata. Az a, b, c vektorok által kifeszített tetraéder térfogata az ugyanezen vektorok által kifeszített paralelepipedon térfogatának hatodrésze, azaz

í^tetraéder6

öl Ü2 03 bi b2 b3 Cl C2 C3

Azonnal látszik, hogy ha három vektor egy síkban fekszik, akkor az általuk kifeszitett paralelepipedon térfogata, azaz vegyes szorzatuk zérus. Ez fordítva is igaz: ha három vektor vegyes szorzata zérus, akkor a három vektor egysíkú.

Vektorral osztást nem értelmezünk.Megemlítjük azonban, hogy bármely nem egy síkban fekvő a, b, c £ vektorhár­

mashoz mindig található egy A, B, C e R^ vektorhármas úgy, hogy

aA=l , bB=l , cC=l .

34

Az A, B, C vektorhármast az a, b, c vektorhármas reciprok vektorhármasának nevezik. Könnyen ellenőrizhető, hogy

A =b x c

B =c x a

C =a X b

abc ’ abc ’ abc

ahol abc 0, mert e három vektor a feltétel szerint nem fekszik egy síkban.

K id o l g o z o tt pé ld á k

1. Példa. Számítsuk ki az a(2; -4 ; 3), b(l; -1 ; 5) és c (-2 ; 3; 1) vektorok által kifeszített paralelepipedon térfogatát!

Megoldás.2 - 4 31 - 1 5 = 2 ( - l - 1 5 ) + 4(l + 10) + 3(3-2) = 15

- 2 3 1F =

térfogategység.2. Példa. Egysíkú-e a következő három vektor: a( —4;3;2), b(10; —7; —5),

c ( - 2 ; l ; l ) ?Megoldás. Három vektor akkor egysíkú, ha vegyes szorzatuk zérus. Számítsuk ki

vegyes szorzatukat:

abc =- 4 3 2

10 - 7 - 5 - 2 1 1

= - 4 ( - 7 + 5 )-3 (10-10) + 2(10-14) = 0,

tehát a három vektor egy síkban van.3. Példa. Jobbrendszert alkot-e az alábbi három vektor: a(2; -1 ; 5), b(l; 8; 1),

c ( - l ; 2; - 2)?Megoldás. A három vektor vegyes szorzata

abc =2 - 1 5 1 8 1

- 1 2 - 2= 2 ( -1 6 -2 ) + ( - 2 + l ) + 5(2 + 8) = 13,

vagyis pozitív, tehát a három vektor valóban jobbrendszert alkot.4. Példa. Határozzuk meg a z értékét úgy, hogy az alábbi három vektor egy síkban

legyen: a(2; 1; z), b ( - 1; 3; -4 ) , c(2; -1 ; 3)!Megoldás. A három vektor akkor van egy síkban, ha vegyes szorzatuk zérus, azaz

ha2 1 z

abc= - 1 3 - 4 = 0 .2 - 1 3

35

Fejtsük ki a determinánst első sora szerint (lásd majd 2.1.4 pont)! Ekkor

2 ( 9 - 4 ) - ( - 3 + 8) + z ( l - 6) = 0.

Ebből

— 5z+5 = 0, vagyis z= l.

Megjegyezzük, hogy ha három vektor egy síkban van, azaz lineárisan összefügg, akkor egyikük kifejezhető a másik kettő lineáris kombinációjaként. Könnyen ellen­őrizhető, hogy esetünkben például

5 4 c = - a - - b .

1.3 Vektorok geometriai alkalmazása

1.3.1 Az egyenes

Legyen adott egy rögzített O kezdőpontból kiinduló ro e helyvektor és egyV e (v#0) vektor. Tekintsük az ro helyvektorú, Po ponton áthaladó, v irányvekto- rú e egyenest (20. ábra)\

Egy r e R^ helyvektorú P pont akkor és csak akkor van rajta az e egyenesen, ha az r - r o vektor a v irányvektorral egy egyenesen fekszik, azaz van olyan te R , hogy

r - f o = ty.

20. ábra

Definíció. Az

r(0 = fo + ív (í e R)

egyenlőséget az egyenes paraméteres vektoregyenletének nevezzük, amelyben t a paraméter.

36

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy X=^0 esetén v||Av, ezért X\ is tekinthető az egyenes egy irányvektorának.

Ha ezt az egyenletet a benne szereplő vektorok koordinátáira írjuk fel, akkor az egyenes paraméteres egyenletrendszerét kapjuk. Az r(x; y; z), fo(xo; yo, zq), v(üi; vi; ^3) jelölést használva

X = Xo + l>lí, y = yo + V2t, Z = Zo + V s t .

Ha a í;i, vz, V3 egyike sem nulla, akkor az egyenletekből t kiküszöbölhető és az egyenes egyenletrendszere az

x - x o y -y o z - z oVl V i V3

alakban írható fel.Megjegyezzük, hogy ha a v irányvektor valamelyik (például első) koordinátája 0,

akkor az egyenes valamelyik (esetünkben az yz) síkkal párhuzamos. Ha a v irányvek­tor két koordinátája 0, akkor az egyenes valamelyik koordinátatengellyel párhuza­mos. Például a v(0; 0; ^3) irányvektorú egyenes a z tengellyel párhuzamos. Ha a v irányvektor egységvektor, akkor koordinátái az iránycosinusok, vagyis azoknak a szögeknek a cosinusai, amelyeket az egyenes a koordinátatengelyekkel bezár.

1.3.2 A sík

Tekintsük azt a síkot, amely illeszkedik a rögzített O pontból kiinduló ro helyvekto- rú Po pontra, és merőleges az n e R^(n # 0) vektorra, a sík normálvektorára (21. ábra)!

Egy r helyvektorú P pont akkor és csak akkor van rajta a síkon, ha az r — ro vektor merőleges az n normálvektorra, vagyis ha a két vektor skaláris szorzata 0, azaz

n(r-fo) = 0.

Ez a sík vektor egyenlete.Az n{A; B; Q , r(x; y; z), ro(xo; yo, zo) jelöléseket

alkalmazva a sík vektoregyenlete az

A ix-X o) + B (y-yo) + C{z-zo) = 0

21. ábra

37

alakra hozható. A kijelölt szorzásokat elvégezve és az Axo + ByQ + CzQ összeget— D-vel jelölve a sík egyenletének

Ax+By + Cz + D = 0

alakú, ún. általános alakját kapjuk. Itt is igaz, hogy n-nel együtt Xn (A^O) is a sík egy normálvektora.

Megjegyezzük, hogy ha a sík vektoregyenletében szereplő n normálvektor egység­vektor, akkor koordinátái iránycosinusok és az

j>ccosa+jcos)?+zcosy + e = 0

alakú egyenletben, az ún. Hesse-féle normálegyenletben szereplő q állandó abszolút értéke a síknak az origótól mért távolságát adja meg.

Könnyen belátható, hogy ha a sík a koordinátatengelyeket az origótól mérve rendre a nem nulla a, b, c távolságnyira metszi, akkor a sík egyenlete

X y z ~ + 7 + ~ = 1 a b c

alakra hozható. Ez a sík egyenletének tengelymetszetes alakja.

1.3.3 Kidolgozott példák az előző két ponthoz

1. Példa. írjuk fel a Pi(2; -3 ; 1) és P ii—S', 7; 2) pontokon áthaladó egyenesegyenletét! ____

Megoldás. A keresett egyenes egy irányvektora v = P 1P2, azaz v (-7 ; 10; 1); így paraméteres egyenletrendszere a P\ pont koordinátáit felhasználva:

X = 1 — lt,y = -3+lOí , z = 1 + /;

a P2 pont koordinátáit felhasználva pedig:

X = —5 — lt, y = 7+lOt, z = 2 + (.

A két különböző alakú egyenletrendszer valóban ugyanazt az egyenest jellemzi, amint arról behelyettesítéssel is meggyőződhetünk.

38

Az egyenes egyik paramétermentes egyenletrendszere:

x - 2 j+ 3

2. Példa. Számítsuk ki az alábbi két egyenes hajlásszögét:

1 — X 2y + 3 1 — 2z~ 2 ~ 3 ^ ’

X = 2 + 3t,

y - - i - t , z = -4 t.

Megoldás. Az egyenesek hajlásszöge irányvektoraik hajlásszögével egyenlő, ha az irányvektorok szöge derékszögnél nem nagyobb, és ennek kiegészítő szögével, ha az irányvektorok szöge derékszögnél nagyobb. Az első egyenes irányvektorát akkor tudjuk közvetlenül leolvasni az egyenletrendszeréből, ha x, y és z együtthatója a számlálókban 1. Hozzuk ilyen alakra az egyenletrendszert! Mivel:

x - 1 >^+1,5 z -0 ,52 -1 ,5 ’

ezért vi^ - 2; 2; - . \2 koordinátái közvetlenül leolvashatók: V2(3; - 1; ^ 4). A két

irányvektor hajlásszögének cosinusa tehát

V1V2 —6 — 2 + 6 —4 cos ®viv2 = ---------= , ■ V —-------------- = -p -—- = —0,1225;

ÍV1IIV2I , / 9 ,----------- i'1066/4 + 4 + - 1/9 + I + I6

a szög tehát tompaszög, mégpedig;

= 180°-82,96° = 97,04°.

Az egyenesek a hajlásszöge tehát a = .180° — 97,04° = 82,96°.3. Példa. írjuk fel a / ’i(2; 4; -3 ) , P2{ - 1; 0; 2), ^3(3; -2 ; 1) pontokon átfektetett

sík egyenletét!Megoldás. A sík egyenletének felírásához szükségünk van a síknak egy normálisá­

ra. Bármely n normálvektor merőleges a síkra, így a sík valamennyi vektorára, speciálisan a síkban fekvő a = P 1P2 és b = P 1P 3 vektorokra is; tehát n iránya megegye­zik a x b irányával (22. ábra). Mivel a koordinátái: ( - 3; - 4; 5), b koordinátái pedig:

39

(1; -6 ; 4), ezért

n = a x b =i j

- 3 - 4 1 - 6

= 14i+17j + 22k.

így a sík egyenlete a Pi pont koordinátáit felhasználva:

14(x-2)+ 170 - 4) + 22(z + 3) = 0,

ill. a kijelölt műveletek elvégzése után:

14x+17j; + 22z-30 = 0.

4. Példa. írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely illeszkedik a P(0; 0; 0) pontra és az

e\x - \ 2y + 4 3 - z

egyenletekkel megadott egyenesre (23. ábra)\/ 5 \

Megoldás. Az egyenes v 2; - ; - 3 ) irányvektora nyilván benne van a síkban.V /

Hasonlóan a síkban fekszik az adott P pontot és az egyenes Q(l; - 2 ; 3) pontját összekötő = a ( l ; - 2 ; 3) vektor. így tehát az

f '

vektor a keresett sík egy normálvektora.Mivel n-nek csak az iránya lényeges számunkra, a hossza nem, ezért a továbbiak­

ban - hogy ne kelljen törtekkel számolnunk - az ni(3; — 18; — 13) vektorral dolgo­zunk. ül és P koordinátáit felhasználva a keresett sík egyenlete:

i j k5 3

n = v x a = 2 2 - 3

1 - 2 3

vagy rendezés után

3(jc + 4 ) -1 8 0 ;-3 )-1 3 (z -0 ) = 0,

3x— ISj'— 13z + 66 - 0.

40

5. Példa. Számítsuk ki az

x + 3 \ - 2 ye: = 3z+ l

egyenes es az

S: x - 2 j + 3 z - l = 0

sík döféspontját (24. ábra)\Megoldás. Az M döféspont koordinátái nyilván kielégítik mind az egyenes egyen­

letrendszerét, mind a sík egyenletét. Célszerű az egyenes paraméteres egyenletrendsze­rét használnunk:

X = - 3 + 2í,

1 3

1 1

Ha X, y, z kifejezését behelyettesítjük a sík egyenletébe, 6/ - 6 = 0 adódik, azaz f= 1. Az ehhez tartozó x = - l , > ’= - l , z = 0 értékek szolgáltatják tehát M keresett koordinátáit.

6. Példa. Határozzuk meg a következő két sík metszésvonalát:

Si. 2x — 3y + z — 6 = 0, Sr. 3 x + y -4 z + 2 = 0.

Megoldás. A metszésvo­nal mind a két síkban benne van, így mind a két sík nor­málisára merőleges, tehát az utóbbiakat ni-gyei és n2-vel jelölve, a metszésvonal irány vektora csak ni x ni irányú lehet (25. ábra). Szükségünk van még a met­szésvonalnak egy pontjára, azaz egy olyan pontra, amely mind a két síkban benne van.

A keresett pont egyik ko­ordinátáját, pl. z-t szabadon megválaszthatjuk, mert csak 25. ábra

41

két egyenletünk van a három ismeretlen számára. Legyen z = 0, akkor a megfelelő

2x—3y.= 6,3x+ y = - 2

egyenletrendszer megoldása; x = 0, y = —2; tehát a metszésvonal egy pontja: P(0; -2 ; 0). Ha a z = 0 helyettesítéssel kapott egyenletnek nem volna egyértelmű megoldása, akkor az x = 0 vagy az y — 0 helyettesítéssel célszerű próbálkozni. A met­szésvonal egy irányvektora:

V = Hl X H2 =i j k2 - 3 13 1 - 4

= l l i + l l j + l l k .

V helyett számolhatunk a vi(l; 1; 1) vektorral is, hiszen az irányvektor hossza lényegte­len. A metszésvonal egyenletrendszere tehát:

X = y + 2 = z.

7. Példa. Vetítsük merőlegesen az

egyenest az

5: 3 x - 2 j + 4z + 4 = 0

síkra. írjuk fel a vetületi egyenes egyenletét!

Megoldás. A vetületi egyenes egyenleté­nek a felírásához elegendő két pontját is­mernünk. Ilyen két pontot kapunk, ha az egyenes két tetszőleges pontját levetítjük a síkra (26. ábra).

Legyen az első levetítendő pont az egye­nes egyenletéből könnyen kiolvasható P(4; — 1; 10) pont. Ennek P' vetületét meg­kapjuk, ha meghatározzuk a P ponton át­menő, a síkra merőleges vetítőegyenes és a sík döféspontját. A vetítőegyenes irány- vektora megegyezik a sík normálvektorá­val, egyenletrendszere tehát:

42

JC = 4 + 3í, y = - l - 2 t , z = 10 + 4Í.

A vetítőegyenes és a sík P' döféspontjára fennáll:

3(4 + 3 í ) - 2 ( - l - 2 í ) + 4(10 + 40 + 4 = 0;

innen t = —2, tehát P' koordinátái: ( - 2 ; 3; 2).A másik levetítendő pont legyen - ha ilyen van - az egyenes és a sík M döfés­

pontja, mert az megegyezik a vetületével. M koordinátáit az 5. példa módszerével ki­számítva nyerjük: (2; 1; —2). A vetületegyenes irányvektora párhuzamos az MP^ = 4i + 2j + 4k vektorral, azaz egyúttal a v (-2 ; 1; 2) vektorral. Most már felírhatjuk a vetületi egyenes paraméteres egyenletrendszerét:

X = —2 — 2t,y = 3+ t, z = 2 + 2t.

1.4 ^-dimenziós vektorokAz 1.1 részben a vektorokat irányított szakaszokként definiáltuk, és láttuk, hogy

alkalmas bázis bevezetésével egy kétdimenziós (sík)vektor és egy valós számpár, továbbá egy háromdimenziós (tér)vektor és egy valós számhármas között kölcsönö­sen egyértelmű megfeleltetés létesíthető, ezért például a (vi, V2, vz) számhármast* vektornak is tekinthettük.

A vektor fogalma általánosítható az «-dimenziós térre is.

Definíció: Az n számú valós számból álló szám-«-est n-dimenziós vektornak nevezzük.

A vektorok lineáris függetlensége és függősége «-dimenzióban hasonlóan definiál­ható, mint három dimenzióban, nevezetesen: a [vi, va, ..., v„] («-dimenziós) vektorok hneárisan függetlenek, ha

aiVi + a2V2 + ... + a„v„ = 0

akkor és csak akkor következik be, ha

0.1 = 0.2 = ... = a„ = 0;

lineárisan összefüggnek, ha van legalább egy valós oi, amely nem 0.

43

n számú lineárisan független vektor az «-dimenziós vektortér egy bázisát alkotja, és e bázisvektorokkal a vektortér valamennyi vektora kifejezhető. Az n-dimenziós vektortér leggyakrabban használt bázisa az ei(l; 0; 0), C2(0; 1; 0),Ci(0; 0 ; . . 1 ; . . 0 ) (itt a z i-edik helyen áll a z 1-es),. . e„(0 ; 0 ; . . 1 ) egységvektorokból álló ortonormált bázis.

Ha a V vektort a

V = t;iei + t;2e2 + ... + t iie„

alakban írjuk fel, akkor a jobb oldalon álló összeadandók a vektor komponensei, a vi, V2, ..., v„ számok (ebben a sorrendben) a vektor koordinátái az ei, C2, ..., e„ bázisban. A vektor koordinátáit megadhatjuk oszlopba rendezve:

V =

_V„_

ilyenkor oszlopvektorról, vagy sorba rendezve:

V = [vi; V2, f„],

ilyenkor sorvektorról beszélünk. Az oszlopvektort (helykimélés céljából) szokás a

V = [üi; V2, l n]*

alakba átírni. Itt a csillag jelzi, hogy oszlopvektorról van szó.A két-, illetve a háromdimenziós vektorokra tanult műveletek közül számos műve­

let az «-dimenziós vektorokra is hasonlóan érvényes.Ha V = [vú V2i ...; v„] és w = [wi; W2\ ...; w„], ahol a koordináták valós számok,

akkor

Av = [Xvü Á.V2; Aü„], A valós szám;v + w = [üi + wi; ^2 + ^ 2; v„ + w„];v -w = [üi-wi; V2 -W 2; ...; v„-w„];

i

|V| = ]jv\+V2 + ... + Vn — ^ X ’n

\ v / = V1 W1 + V2W2 +■■■ + ViWi+... + v„w„ = ^ ü.Wi (skaláris

szorzat).i=l

További műveletekről a 2.2.5 pontban lesz szó. Az «-dimenziós vektortér általáno­sítása és részletes tárgyalása a 2.3 részben található.

44

2. LINEÁRIS ALGEBRA

2.1 Mátrixok és determinánsok

2.1.1 A mátrix fogalma

A gyakorlatban nap mint nap sok-sok számadattal kell dolgoznunk. Ezeket az adatokat legtöbbször célszerű (az áttekinthetőség kedvéért) különféle táblázatokba rendezni.

Egy osztály tanulóinak néhány adott érdemjegyét pl. a következő táblázatba érdemes rendezni;

Tantárgyak 5 4 3 2 1

Magyar 5 9 11 6 0

Történelem 6 10 13 2 0

Matematika 2 7 12 8 2

Fizika 3 9 10 8 1

Kémia 4 10 10 6 1

Orosz nyelv 6 9 9 6 1

így ui. az adatok könnyen áttekinthetők, összehasonlíthatók.Ha több osztályról és ugyanezekről a tantárgyakról van szó, fölösleges a fejléceket

mindig megismételni, egy-egy osztály jegyeit elegendő az alábbi alakban megadni:

9 11 6 010 13 2 07 12 8 29 10 8 1

10 10 6 19 9 6 1

így nagyon lényeges, hogy melyik szám melyik helyen áll. A most felírt táblázatot mátrixnak nevezzük.

45

Definíció. Mátrixnak nevezzük bármilyen n • m számú Uik mennyiség (/ = 1, 2 , A: = 1, 2 , m) alábbiak szerinti téglalap alakú elrendezését, amelyet szögletes (esetleg kerek) zárójelbe teszünk:

au a±2 ••• öfim Cili Ü.22 Cl2m

Clnm

Azt mondjuk, hogy a fenti mátrix (n • m) típusú, mert n sorból és m oszlopból áll. Az au. mennyiségek a mátrix elemei; itt az index az elem helyét jelöli: az Oik elem az i-edik sor és a A:-adik oszlop metszéspontjában áll.

A mátrix elemei lehetnek valós vagy komplex számok, függvények, vektorok, esetleg mátrixok is. A továbbiakban - hacsak mást nem mondunk - a mátrix elemeit a valós számokból vesszük.

A mátrixot célszerű egyetlen matematikai fogalomnak tekinteni és egyetlen jellel jelölni. Nyomtatásban félkövér latin nagybetűket, kézírásban kétszer aláhúzott nagy­betűket szokás mátrixok jelölésére használni. Előző mátrixunk tehát így jelölhető:

_a i i a i 2 ... űim

A = a i i a 2 2 ... a2m= [öik]-

a n í an2 Clnm

Ha azt is fel akarjuk tüntetni, hogy a mátrixnak n sora, ill. m oszlopa van, ezt így tehetjük:

A = [öik]„m-(n • m)

Ha egy mátrix sorainak és oszlopainak száma egyenlő {n = m), akkor a mátrixot négyzetes mátrixnak (kvadratikus mátrixnak) nevezzük. A négyzetes mátrix sorainak (és oszlopainak) száma a mátrix rendje. Az n-edrendű mátrixnak tehát n^ eleme van; az elsőrendű mátrix egyetlen elemből áll. A mátrixfogalom a számfogalom kiterjeszté­seként fogható fel.

A mátrix fogalmát J. J. Sylvester vezette be.

46

2.1.2 A mátrix transzponáltja. A minormátrixDefiníció. Ha az

ön a i 2 ... a im

A = a i i Ü22 ... Cl2m

in n i)a „ i Ün2 (^nm

mátrix sorait és oszlopait felcseréljük egymással, az A mátrix transzponáltját kapjuk, ezt A*-gal vagy A’ -vel jelöljük:

A*( mn )

üli Ü21 dl2 0,11

Olm 02m

ünlanl

Onm

Az (n • ni) típusú mátrix transzponáltja (m ■ n) típusú mátrix. A transzponálás lényegét jól mutatja az

[a ij]* = [a ji]

jelölés is. Például az

A =(2-3)

2 - 3 1 4 1 - 5

mátrix transzponáltja az

2 4‘A* = - 3 1(3-2) 1 - 5

mátrix. Az «-edrendű (tehát négyzetes) mátrix rendszáma a transzponálás során nem változik.

Nyilvánvaló, hogy az A mátrix transzponáljának transzponáltja az eredeti A mát­rix.

Különleges szerepe van az (« • 1) és az (1 • m) típusú mátrixoknak, vagyis azoknak a mátrixoknak, amelyeknek csupán egy oszlopa vagy csupán egy sora van. Az egyetlen oszlopból álló mátrixot oszlopmátrixnak vagy - ha vektorként fogjuk fel - oszlopvektornak, az egyetlen sorból álló mátrixot sormátrixnak vagy sorvektornak nevezzük. Az a» oszlopmátrix, vagyis az A mátrix A:-adik oszlopa a következőképpen írható:

47

at =

dlkaik

cink

A sormátrix, ill. sorvektor jelölésekor - az oszlopvektortól való megkülönböztetés céljából - azt is jelezzük, hogy a sorvektor az oszlopvektor transzponáltja, tehát az A mátrix i-edik sora az alábbi formában írható:

— [ ű i l , Űf2» •••, Óim]-

Ha több sorvektort kell megkülönböztetnünk, és félreértést nem okozhat, akkor a csillagot felső indexszel helyettesíthetjük. Helykímélés céljából szokás az oszlopvek­tort

a i = [ ö n , 021, űni]*

alakban is felírni. Ez azt jelenti, hogy az ai oszlopvektor a jobb oldalon álló sorvektor transzponáltja.

A mátrix fogalma - mint az eddigiekből látható - a vektor fogalmának általánosítá­saként is felfogható.

Ha valamely A mátrixból tetszés szerint sort és oszlopot elhagyunk, az A mátrix egy minormátrixát kapjuk. Ha pl. a

'1 3 - 2 3 13 2 1 - 1 0

B = 4 8 - 6 7 - 2(5 • 5) 5 4 3 - 2 1

7 - 3 - 2 - 1 5

mátrix első, harmadik és negyedik sorában, valamint a második és negyedik oszlopá­ban álló elemeit elhagyjuk, akkor B következő minormátrixát kapjuk:

B =(2 • 3)

3 1 07 - 2 5

Ezt a minormátrixot szokás B?; 3,5-tel is jelölni, mert a B mátrix második és ötödik sorának, illetve első, harmadik és ötödik oszlopának elemeiből alkottunk.

Az A mátrix pl. ai oszlopvektor vagy sorvektora az A mátrix minormátrixának tekinthető.

48

2.1.3 Speciális mátrixok

Most néhány fontos speciális mátrixot mutatunk be.Zérusmátrixnak nevezzük azt a mátrixot, amelynek minden eleme 0. Pl. a

0 =(2 • 3)

0 0 0 0 0 0

mátrix zérusmátrix.Diagonálmátrixnak nevezzük az olyan négyzetes mátrixot, amelynek csak a bal

felső sarokból a jobb alsó sarokba húzott átlójában - a főátlóban - van 0-tól különböző eleme. Az

au 0 ... 00 Ö22 ... 0

Ó Ó Unn

diagonálmátrix rövid jelölésére az

< aiü Ű22;

szimbólumot használjuk. így pl.

a„„>

■3 0 0 - 1 0 0

= <3; - 1 ; 0 > .

Egységmátrix az a diagonálmátrix, amelynek főátlójában minden elem 1-gyel egyenlő. Az egységmátrixokat E-vel vagy öij-vel jelöljük, ahol őij a Kronecker-féle szimbólum: őij= 1, ha i=j, és őij = 0, ha i^ j . Az egységmátrix rendszámát az E mellé tett indexszel jelölhetjük; így pl.

E 3 =1 0 0 0 1 0 0 0 1

= <1; 1; 1> .

Az „egységmátrix” elnevezés indokoltságát a mátrixműveletek kapcsán fogjuk belátni.

Azokat az oszlop-, ill. sorvektorokat, amelyeknek egyik eleme 1, a többi zérus, egységvektoroknak nevezzük. A három elemű egységvektorok oszlopvektoralakban

T 0" 0'ei = 0 ; 62 = 1 ; C3 = 0

0 0 1

49

sorvektor alakjában

ef = [1; 0; 0]; ef = [0; 1; 0]; e? = [0; 0; 1],

Az index itt azt jelöli, hogy az egységvektor melyik eleme 1.Minden «-edrendű egységmátrix n olyan oszlopra (sorra) bontható, amelyeknek

mindegyike egységvektor:

E„ = [ei; C2; e„] vagy E„ =

Összegező mátrix vagy összegező vektor az az oszlop- vagy sorvektor, amelynek minden eleme 1; jele 1. Az összegező vektor nem egységvektor! Az elnevezést a mátrixműveletek indokolják.

Permutáló mátrixnak nevezzük azt a négyzetes mátrixot, amely az egységmátrixból az oszlopok vagy sorok más sorrendű leírásával (permutálásával) kapható. A permu­táló mátrix minden sora és oszlopa csak egy-egy 1-est tartalmaz, a többi eleme 0. Egy negyedrendű permutáló mátrix pl. a következő:

P(4 ■ 4)

0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0

Szimmetrikus mátrixnak mondjuk azt a négyzetes mátrixot, amelynek elemei a főátlóra szimmetrikusak, azaz aij = aji. A szimmetrikus A mátrix nyilvánvalóan azo­nos transzponáltjával, A*-gal. Szimmetrikus pl. az

S =

3 22 - 2

-4 31 - 2

- 4 13 - 25 66 1

mátrix.Antiszimmetrikus vagy ferdén szimmetrikus az a négyzetes mátrix, amelyben a

főátlóra szimmetrikus elemek egymásnak ellentettjei, azaz űy= -a ji minden /-re és y-re. Ezért az antiszimmetrikus mátrix főátlójában csak 0 állhat. Antiszimmetrikus mátrix pl. a

T =

mátrix.

0 1 - 3 2- 1 0 5 - 4

3 - 5 0 1- 2 4 - 1 0

50

K id o l g o z o tt pé ld á k

1. Példa. Egy üzem háromféle terméket gyárt négyféle alapanyagból. Az egyes termékek egy-egy darabjához az alábbi nyersanyagmennyiségek szükségesek:

írjuk fel a termelési adatokat mátrix segítségével!Megoldás. Ha pl. a mátrix egy-egy sorába az egyes termékek nyersanyagszükségle­

tét, egy-egy oszlopába az egyes nyersanyagokat írjuk, a keresett mátrix a következő;

T =(3 • 4)

'3 2 0 5' 1 1 4 2 3 2 1 4

Ha az egyes termékek nyersanyagszükségletét írjuk az oszlopokba, és a különböző nyersanyagokat a sorokba, az eredeti mátrix transzponálj át kapjuk;

T*(4 ■ 3)

'3 1 3‘2 1 20 4 15 2 4

Az is azonnal látható, hogy a T mátrix oszlopmátrixai egy-egy nyersanyag felhasz­nált mennyiségét mutatják, ha mindegyik termékből egyetlen darabot gyártunk; sormátrixai pedig az egyes termékekhez felhasznált nyersanyagok mennyiségét. (A T* mátrix esetében éppen fordított a helyzet.) Például a

Í3 =

oszlopmátrix a c nyersanyag felhasznált mennyiségét mutatja, a

= [1; 1; 4; 2]

sormátrix pedig a II. termék nyersanyagszükségletét.

51

2. Példa. Egy vetélkedő döntőjében az A ,B qsC csapatok egymás ellen a következő pontszámokat érték el:

= 14; 15;A : C = 12: 14;B : C = 14: 16.

írjuk fel az eredményeket mátrixalakban úgy, hogy az /-edik sor és a fc-adik oszlop metszéspontjában az /-edik csapatnak a fc-adik csapat ellen szerzett pontszáma legyen!

Megoldás. A döntő eredményei a

D =(3 • 3)

0 14 12 15 0 14 14 16 0

mátrixszal jellemezhetők, ahol a mátrix au eleme helyén az /-edik csapatnak a A:-adik csapattal szemben elért pontszáma áll.

3. Példa. Egy konzervgyár vegyes gyümölcsbefőttet gyárt meggyből, őszibarackból és körtéből. Minden üzemrészben azonban csak egyféle gyümölcsöt dolgoznak fel, és a gyümölcsök keverését később végzik el. Az előírt arányok elérése céljából az I. üzemrész a II. üzemrésznek 14 t, a III. üzemrésznek 12 t meggyet; a II. üzemrész az I. üzemrésznek 15 t, a III. üzemrésznek 14 t őszibarackot; a III. üzemrész az I. üzemrésznek 14 t, a II. üzemrésznek 16 t körtét szállít. írjuk fel a szállítási adatokat mátrix segítségével!

Megoldás. A szóban forgó adatok az

■ 0 14 12'M = 15 0 14

(3 ■ 3) 14 16 0

mátrixszal jellemezhetők, ahol az aik elem az /-edik üzemrészből a A:-adik üzemrészbe szállított gyümölcs mennyiségét jelenti.

A 2. és 3. példában kapott mátrixok egybevetésével (D = M) figyeljük meg, hogy merőben más problémák vezethetnek ugyanahhoz a mátrixhoz!

52

2.1.4 Az «-edrendü determináns

Dehníció. n-edrendü determinánsnak nevezzük az n^ számú elemből álló, n sorba és n oszlopba rendezett

a i i a i 2 ... a i n

a i i Ö22 ... Ü2n

a n i Cln2 Clnn

alakú táblázatot (ahol az au, elem első indexe azt a sort, második indexe azt az oszlopot jelöli, amelyben az elem áll), amelynek a következő értéket tulajdonít­juk:

a i i

a i ía i 2a i 2

(X\n

. . . a2n— a i i A i i + a i 2 A i 2 + ■■

n

,. + a i „ A i „ = y ű ikA ik ,

a n i Cln2 űnnk = l

ahol A ik az űu elemhez tartozó (n - \)~edrendü (előjeles) aldeterminánst jelenti. Ezt az eredeti determinánsból úgy kapjuk, hogy az első sor és a fc-adik oszlop elhagyásával adódó (n— l)-edrendű determinánst ( — l)^^*-nal megszorozzuk.

A determináns értékének ez a meghatározási módja a determináns első sora szerinti kifejtése.

Ha a fenti kifejtésben szereplő A u , A u , A ín{n - l)-edrendű aldeterminánsokat a definíció szerint (« — 2)-edrendű aldeterminánsokkal, ezeket {n — 3)-adrendű aldeter- minánsokkal fejezzük ki, és ezt az eljárást tovább folytatjuk, végül másodrendű aldeterminánsokhoz jutunk. Mivel a másodrendű determináns értéke definíció szerint

a bc d = ad-be.

mindegyik másodrendű aldeterminánsból két szorzatot kapunk. így az «-edrendű determináns teljes kifejtése során kapott «-tényezős szorzatok száma

« ( « - l ) ( « - 2 ) . . . 3 - 2 = 77!

(az n\ jelet n faktoriálisnak olvassuk).Megjegyezzük, hogy az «-edrendű determinánsnak az előbbi definíciója egy úgyne­

vezett rekurzív definíció, mert az «-edrendü determináns fogalmát az («— l)-edrendű determináns fogalmára vezeti vissza és így tovább, végül a másodrendű determináns fogalmát közvetlenül adja meg.

53

Az «-edrendű determináns más definíciója is ismert.A determináns fogalmát 1693-ban G. W. Leibniz vezette be. A determináns elneve­

zést először 1815-ben A. Cauchy használta. A determináns mai jelölését először A. Cayley alkalmazta.

A definiciókból nyilvánvaló, hogy a mátrix és a determináns más-más fogalom.

2.1.5 A determinánsok néhány tulajdonsága

Egy «-edrendű determináns értékének a kiszámítása már viszonylag kis n esetén is elég hosszadalmas és fárasztó feladat. A következőkben a determinánsok néhány olyan tulajdonságát és néhány műveleti szabályt sorolunk fel, amelyek (azon kívül, hogy önmagukban is érdekesek) ezt a munkát könnyíthetik meg. Egyes állításokat bizonyítani is fogunk.

1. A determinánst bármelyik sora vagy oszlopa szerint kifejtve ugyanazt az értéket kapjuk:

űll Ű12 Ö 21 Ö 22

űnl a„2

ai„ain

( nnk = l i = l

ahol az első esetben a kifejtés az i-edik sor szerint (i = 1, 2, a másodikbana k-adik oszlop szerint (k = l, 2, n) történt. Az Ai előjeles aldetermináns előjele ( - Xf'^’ -nal egyenlő, és az előjel meghatározását az ún. sakktáblaszabály:

teszi könnyen megjegyezhetővé.

2. A determináns értéke nem változik, ha sorait és oszlopait egymássalfölcserél­jük (a determinánst a főátlójára tükrözzük).

Ez a tulajdonság azt biztosítja, hogy a determináns soraira bebizonyított állítások automatikusan érvényesek a determináns oszlopaira és fordítva.

3. Ha a determináns két sorát (oszlopát) egymással fölcseréljük, a determináns értéke ( - lygyel szorzódik.

54

Bizonyítás. A bizonyítást először arra az esetre végezzük el, amikor >a determináns két szomszédos sorát, pl. az /-edik és az (/+ l)-edik sort cseréljük föl egymással. Ha az eredeti determinánst az /-edik, a fölcserélt sorú determinánst pedig az (/+ l)-edik sora (amelyben most az /-edik sor elemei állnak) szerint kifejtjük, akkor a két kifejtésben a szorzó elemek és az aldeterminánsok elemei rendre ugyanazok, csak az aldeterminánsok előjele a sakktáblaszabály szerint ellentettjére változik. Ez pedig azt jelenti, hogy a determináns értéke ( — l)-gyel szorzódik, előjelet vált.

Ha most nem két szomszédos, hanem két tetszőleges sort cserélünk föl a determi­nánsban, akkor ez a csere mindig helyettesíthető szomszédos sorok páratlan számú cseréjével. Legyen ugyanis a fölcserélendő í-edik és j-edik sor között k db sor. Ekkor k db szomszédcserével az /-edik sor a /-edik sor mellé hozható, egy szomszédcserével ,a két sor fölcserélhető, majd újabb k db szomszédcserével a j-edik sor az /-edik sor helyére vihető. Ez összesen 2k+l, azaz páratlan számú szomszédcsere. A determináns értéke a cserék során a ( - = - 1 értékkel szorzódik, azaz előjelet vált. Ezzelállításunkat beláttuk.

4. Ha egy determináns két sora (oszlopa) elemről elemre megegyezik egymás­sal, akkor a determináns értéke 0.

Bizonyítás. Jelöljük a szóban forgó determináns értékét Z)-vel. Ha a determináns két megegyező sorát (oszlopát) egymással fölcseréljük, akkor a determináns értéke egyrészt változatlan marad, másrészt a 3. tulajdonság szerint ( — l)-gyel szorzódik, azaz D - - D. Ebből az egyenletből 2D = 0, és ez csak úgy lehetséges, ha D = 0.

5. Ha a determináns valamely sorában (oszlopában) csupa 0 áll, akkor a determináns értéke 0.

Bizonyítás. Fejtsük ki a determinánst ama sora (oszlopa) szerint, amelyben minden elem 0. Ekkor a kifejtés minden tagja és így a determináns értéke is 0.

6. Ha a determináns valamely sorának (oszlopának) elemeit egy másik sor (oszlop) elemeihez tartozó aldeterminánsokkal szorozzuk meg, akkor a szorzatok összege 0.

7. Ha a determináns főátlója alatt (felett) csupa 0 áll, a determináns értéke a főátlóban álló elemek szorzatával egyenlő.

Bizonyítás. Fejtsük ki a determinánst első oszlopa (sora) szerint. A kifejtés egyetlen tagból áll, nevezetesen az au elem és egy olyan aldetermináns szorzatából, amelynek főátlója alatt (felett) csupa 0 áll. Folytatva az eljárást a kapott aldeterminánsra végül is az eredeti determináns főátlójában álló elemek szorzatához jutunk.

8. Ha a determináns valamely sorában (oszlopában) minden elem két elem összegére (különbségére) bontható, akkor a determináns két determináns össze­

55

gére (különbségére) bontható a következő módon:

ö l i a i 2

a i i a 2 2 ... a2n

a n ± a [ ^ Öi2 ± 0(2 ... d in =t

^ n l a „2 ... Clnn

a i i Ü i 2 ... ü\n a u a i 2 ... a i n

a i i Ü22 . . . a 2n a 2 i Ü22 . . . Cl2n

a n Üi2 ... a in±

a n a i2 ... a\n

a n í ü n l Clnn a „ í a n 2 ... Clnn

Bizonyítás. Fejtsük ki a szóban forgó determinánsokat i-edik soruk szerint. Ekkor az egyenlőség bal oldalán

(űtii ± an)Aii + (a,-2± a'i2)Ai2 + . . . + (ai„±

a jobb oldalon pedig

(anAii + ai2Ai2 + .. . + ai„At„) ± (dnAii + aÍ2^i2+ ... + ö,'„y4i„)

áll. Ha a bal oldalon kijelölt szorzásokat elvégezzük, a két oldalról már látszik, hogy egyenlők egymással.

Ez a tulajdonság azt is jelenti, hogy két determinánst bizonyos esetekben szabad összevonni; nevezetesen akkor, ha a két azonos rendű determináns csak egy-egy azonos sorszámú sorának (oszlopának) elemeiben tér el egymástól. Ekkor az összevo­nás úgy történik, hogy az azonos sorok (oszlopok) elemeit változatlanul hagyjuk, az eltérő sor (oszlop) megfelelő elemeit pedig összevonjuk.

9. Ha a determináns valamely sorának (oszlopának) minden elemét megszoroz­zuk ö í G R állandóval, akkor a determináns értéke az eredeti érték t-szeresére változik.

Ha például a determináns A:-adik oszlopának minden elemét szorozzuk meg a í g R számmal, akkor

a u Ű12 ... taik ... ai„ a ii ai2 . . . aik . . . ölna2i a22 ... ta2k . . . Ü2n = t a2i 022 . . . a2k . . . Ö2n• • • • *

anl a„2 . . . ta„k ... ann aní Ün2 a„k ... ann

56

Bizonyítás. Fejtsük ki a determinánsokat A:-adik oszlopuk szerint! Ekkor az egyen­lőség bal oldalán

a jobb oldalán

áll, ,és ezek valóban egyenlők.Ez a szabály azt is jelenti, hogy a determináns elé akkor emelhető ki egy szorzóté­

nyező, ha az a determináns egyik sorának (oszlopának) minden eleméből kiemelhető.

10. Ha a determináns egyik sora (oszlopa) egy másik sorának (oszlopának) a többszöröse, akkor a determináns értéke 0.

Bizonyítás. A 9. tulajdonság lehetővé teszi, hogy a determináns egyik sorából (oszlopából) az arányossági tényezőt kiemeljük. A kiemelés után kapott determináns két sora (oszlopa) megegyezik, ezért (a 4. tulajdonság értelmében) a determináns értéke 0.

11. A determináns értéke nem változik, ha valamely sorának (oszlopának) elemeihez hozzáadjuk egy másik sora (oszlopa) megfelelő elemeinek valahány szo­rosát.

Bizonyítás. Ha a D determináns /-edik sorának elemeihez adjuk a y-edik sor megfe­lelő elemeinek í-szeresét, akkor a kapott Z>i determináns /-edik sorában kéttagú összegek állnak. Z)i a 8. tulajdonság alapján felbontható két determináns összegére, amelyek közül az egyik a D determináns, a másik pedig egy olyan determináns, amelynek /-edik sorából a 9. tulajdonság szerint kiemelhető a t, és utána az /-edik sorában a j-edik sor elemei állnak. Mivel ay-edik sorban is ezek az elemek állnak, ezért ennek a determinánsnak az értéke a 4. tulajdonság szerint 0, és ezzel állításunkat beláttuk.

K id o l g o z o tt pé ld á k

1. Példa. Számítsuk ki a

1 - 3 24 3 - 52 1 0

determináns értékét a) a. második sora szerinti, a harmadik oszlopa szerinti, c) a harmadik sora szerinti kifejtéssel, d) a 11. tulajdonság felhasználásával!

57

Megoldás.

a)1 - 3 42

3 - 5 1 0

- 3 2 1 2 1 - 3= - 4 1 0 + 3 2 0 + 5 2 1

= -4 (0 -2 ) + 3(0-4) + 5(l + 6) = 31.

b)

1 - 3 24 3 - 52 1 0

= 2 4 3 2 1 + 5 1 - 3

2 1= 2(4-6) +5(1+6) = 31.

c)

1 - 3 24 3 - 52 1 0

— 0 - 3 2 1 2— z 3 - 5 4 - 5 = 2 ( 1 5 - 6 ) - ( - 5 - 8 ) = 31.

d) Adjuk a determináns első oszlopához a második oszlop (-2)-szeresét, majd fejtsük ki a determinánst a harmadik sora szerint! Ekkor

= - ( - 3 5 + 4) = 31.

Hasonlítsuk össze az egyes kifejtéseket munkaigény szempontjából!2. Példa. Határozzuk meg a

1 - 3 2 7 - 3 2 7 ■ 94 3 - 5 = - 2 3 - 5 = / Z

2 1 0 0 1 0

D =

2 33 - 2 3 2

-2 4

-2 4 1 2 3 4 0 5

determináns értékét!Megoldás. A determináns harmadik oszlopában a negyedik elem 0. Ha a második

sor elemeinek a kétszeresét hozzáadjuk az első, ( - 3)-szorosát pedig a harmadik sor megfelelő elemeihez, akkor a harmadik oszlopban két újabb elem (az első és a harmadik) 0 lesz. Ha ezután a harmadik oszlop szerint fejtjük ki a determinánst, a kifejtés eredménye egyetlen (és nem 4) harmadrendű determináns;

58

233

■2

3 ■224

- 2 4 1 2 3 4 0 5

2 + 2(3) 3 + 2 (-2 ) - 2 + 2(1) 4 + 2(2)- 2 1

3-3(3) 2 - 3 ( - 2 ) 3-3(1) 4-3(2) - 2

8 3

- 6 - 2

- 1 0- 2 1

8 04 0

82

- 25

0 5

8 - 1 8= - 1 - 6 8 --2

- 2 4 5

A (-l)-gyel való szorzást végez25Ük el a második sorban. Utána adjuk hozzá a második oszlop elemeinek a 8-szorosát az első, majd a harmadik oszlop megfelelő elemeihez, röviden kifejezve; a második oszlop 8-szorosát az első, majd a harmadik oszlophoz, végül fejtsük ki a kapott determinánst az első sora szerint. Ekkor egy másodrendű determinánst kapunk:

8 - 1 8 6 - 8 2

-2 4 5

0 - 1 0 - 5 8 8 - 6 2

30 4 37

58 - 6 2 30 37 = -286.

3. Példa. Legyenek a, b, c valós számok. Bizonyítsuk be, hogy

1 a b+c1 b c + a1 c a + b

= 0.

Megoldás. Adjuk hozzá a determináns második oszlopát a harmadik oszlophoz, majd a harmadik oszlopból emeljünk ki (a+b + c)-t. Ekkor

1 a b+c 1 a a + b + c 1 a 11 b c + a = 1 b a +b + c = {a + b + c) 1 b 11 c a + b 1 c a + b + c 1 c 1

Az utolsó determináns két oszlopa megegyezik, ezért értéke 0, és ezzel állításunkat beláttuk.

59

Az

2.2 Műveletek mátrixokkal

2.2.1 Mátrixok egyenlősége

Definíció. Két mátrixot akkor és csak akkor nevezünk egyenlőnek, ha azonos típusúak és megfelelő helyeken álló elemeik megegyeznek.

A = B(n • m) (n • m)

'2 314

- 20

, B =(2 • 3)

23

1 4- 2 0 , c =

(2 • 3)

23

1 4- 2 8_

mátrixegyenlőség tehát nm számú számegyenlőségnek felel meg. Az

A =<3 • 2)

mátrixokra A #B , mert nem azonos típusúak, B # C mert azonos típusúak ugyan, de az ű23 elemük különböző. Figyeljük meg, hogy A = B*.

2.2.2 Mátrixok összeadása, kivonása

Az összeadás és kivonás műveletét csak azonos típusú mátrixokra értelmezzük.

Dehníció. Az

A = [űik] és B = [bik](n • m) (w • m)

(a mátrixok elemei valós számok) mátrixok összegén, illetve különbségén azt a

C = [cit] mátrixot értjük, amelynek minden elemére(n • m)

Cik — a i k ± b i k .

A mátrixok összeadása kommutatív és asszociatív művelet, azaz

A + B = B + A,(A + B) + C = A + (B + C),

60

fennáll továbbá, hogy

(A + B)* = A* + B*.

Könnyen látható, hogy

A + 0 = A

és

(A -B ) + B = A.

2.2.3 Mátrix szorzása skalárral

Definíció. Legyen az A = [aii] mátrix és A e R adott. A AA mátrixnak azt az A-val azonos típusú B mátrixot nevezzük, amelynek elemeire

bik — aik-

Ez azt jelenti, hogy egy mátrixot úgy szorzunk meg egy számmal, hogy minden elemét megszorozzuk a számmal.

Mátrix szorzása skalárral kommutatív, asszociatív és disztributív művelet, azaz

AA = A1;{Xii)X = X{nk)-

(A+/í)A = AA+/íA és A(A + B) = AA + AB.

A ( — 1) A helyett röviden — A-t szokás írni.

2.2.4 Mátrixok lineáris kombinációja

Definíció. Ha az Ai, A2, . . A„ azonos típusú mátrixokat rendre megszorozzuk a k i, k2, ..., k„ valós számokkal, és a szorzatokat összeadjuk, akkor az így kapott

mátrixot az adott mátrixok lineáris kombinációjának nevezzük.

Az olyan lineáris kombinációt, amelyben a k i, kz, ..., k„ számok mindegyike nemnegatív és összegük 1, konvex lineáris kombinációnak nevezik.

61

Megjegyezzük, hogy mátrixok konvex lineáris kombinációjának minormátrixai a mátrixok megfelelő minormátrixainak ugyanazon számokkal képzett konvex lineáris kombinációi.

K id o l g o z o tt pé ld á k

1. Példa. Legyen

"1 2 - 1 0‘ '3 - 4 1 2A = 4 0 2 1 és B = 1 5 0 3

2 - 5 1 2 2 - 2 3 - I

írjuk fel az A + B, A — B, 3A és — B mátrixokat! Megoldás. Esetünkben

1 + 3 2 - 4 - 1 + 1 0 + 2‘ 4 - 2 0 2"A + B = 4+1 0 + 5 2 + 0 1 + 3 = 5 5 2 4

2 + 2 - 5 - 2 1 + 3 2 - 1 4 - 7 4 1

A - B =1 - 3 2 + 4 - 1 - 1 0 - 2 4 - 1 0 - 5 2 - 0 1 - 32 - 2 - 5 + 2 1 - 3 2+1

- 2 6 - 2 - 2 3 - 5 2 - 2 0 - 3 - 2 3

' 3 6 - 3 0" ■-3 4 - 1 - 2 '3A = 12 0 6 3 ; - B = - 1 - 5 0 - 3

6 - 1 5 3 6 - 2 2 - 3 1

2. Példa. Legyen

Ai = 3 2 ~ - 2 4' 5 - 3'- 1 0 , A2 — - 3 1 A3 — 0 - 4

ki = 2>, kz = — l, - 1 . Határozzuk meg az

lineáris kombinációt! Megoldás. Adatainkkal

L = X kiki i = l

L = 3 3 2 ' ■ -2 4 ' '5 -3 " 1 8"- 1 0_ - 3 1 - 2 0 -4_ 0 7

62

2.2.5 Mátrix szorzása mátrixszal, skalárszorzat, diadikus szorzat

Az A = [üik] mátrixnak a B = [&»] mátrixszal (a mátrixok elemei valós számok) való és AB-vei jelölt szorzatát csak akkor értelmezzük, ha az A mátrixnak (azaz a bal oldali tényezőnek) ugyanannyi oszlopa van, mint ahány sora a B mátrixnak (azaz a jobb oldali tényezőnek). Ha ez teljesül, azt mondjuk, hogy A és B az adott sorrendben konformábilisak. Az A és B mátrixok az A, B sorrendben konformábilisak, de

(n • m) (m ■ p)ha n#/), akkor a B, A sorrendben nem.

Definíció. Az (« • m) tipusú A = [0,4] és (m ■ p) típusú B = [bik\ mátrixok AB szorzatán azt az (n • p) típusú C mátrixot értjük, amelynek cn eleme:

mk

Vagyis a C szorzatmátrix /-edik sorában és /c-adik oszlopában álló elemet úgy kapjuk meg, hogy az A mátrix /-edik sorának és a B mátrix A -adik oszlopának megfelelő elemeit összeszorozzuk és a szorzatokat összeadjuk, vagyis az i-edik sor és a A:-adik oszlop kompozícióját képezzük. (Ez másképpen fogalmazva azt jelenti, hogy a C szor­zatmátrix dk eleme az A mátrix í-edik sorának és a B mátrix ^-adik oszlopának a skaláris szorzata.) Az összeadás és a szorzás definíciójából következik, hogy a mátrix- szorzás nem kommutatív, de asszociatív és disztributív művelet, vagyis az A, B, C mátrixok esetén (ha az alábbi műveletek egyáltalán elvégezhetők):

AB#BA,(AB)C = A(BC),

(A + B)C = AC + BC és A(B + C) = AB + AC.

Ha egy szorzatban az egyik tényező skalár, akkor a szorzat független attól, hogy a skalárt hányadik tényezőként írjuk fel. Ennek megfelelően

(A A)B= A/IB = (AB)/l = A(AB).

A mátrixszorzás kommutativitása már csak azért sem állhat fenn általánosan, mert eleve az sem biztos, hogy a tényezők fölcserélésével felírt szorzat egyáltalában értel­mezhető. Csupán négyzetes mátrixok esetében lehet szó a szorzás kommutativitásá- ról, de ezeknél is csak speciáhs esetekben valósul meg. Ilyen speciális eset például az, amikor az egyik tényező a zérusmátrix vagy az egységmátrix. Ekkor érvényesek az alábbi azonosságok:

A0 = 0A = 0,AE = EA = A.

63

Szorozzuk össze példaként az

A =

1210

es a B = 4 0 - 1 0 - 1 0

mátrixokat. Ezek A, B sorrendben konformábilisak, szorzatuk:

1 3‘2 0

-1 10 2

0-1

1-4 + 3 0 1 0 + 3 ( - l ) l ( - l ) + 3-0‘2 -4 + 0 0 2 0 + 0 ( - l ) 2 ( - l ) + 0 0

( - l ) - 4 + 1 0 ( - 1 ) 0 + 1 • ( - ! ) ( - 1 ) ( - 1 ) + 1 -00 - 4 + 2 0 0 0 + 2 ( - l ) 0 ( - l ) + 2 0

48

-40

- 3 - 1 0 - 2

- 1 1- 2 0

A szorzatmátrix kiszámításakor könnyű hibázni, a kiszámított elemet rossz helyre írni. Ezért célszerű a két összeszorzandó mátrixot úgy elhelyezni, hogy a beírandó elem helyét ne lehessen eltéveszteni. Az alábbi elrendezés egy ilyen lehetőséget mutat, amelyet Falk-módszernek neveznek:

A =

B = 4 i 0| - 1 0 [-1] 0

1 32 0

1-1 1 1 0 2

4 - 3 - 1 8 0 - 2

- 4 1-11 1 0 - 2 0

= AB.

így az eredménymátrix eleme éppen annak a sornak és oszlopnak a kompozíciója, amelyeknek metszéspontjában áll.

Ez egyszerű lehetőséget ad a számítás ellenőrzésére: az ún. oszlopösszegpróbát vagy sor összegpróbát.

PiZ oszlopösszegpróba esetében összeadjuk az A mátrix oszlopaiban álló elemeket, és az összegeket az A mátrix utolsó sora alá írjuk kiegészítő sorként. Ezután elvégez­zük ezzel a sorral is a szorzást, és a kapott eredményeket az AB mátrix utolsó sora

64

alá írjuk. Ha minden számításunk helyes volt, így az AB mátrix oszlopaiban álló elemek összegét kapjuk.

4 0 -10 - 1 0

1 3 4 - 3 - 12 0 8 0 - 2

- 1 1 - 4 - 1 10 2 0 - 2 0

2 6 8 - 6 - 2

Az eljárás alapja az (A + B)C = AC + BC disztributív törvény.Ha a próbát a B mátrixon végezzük el, és oszlop helyett mindenütt sort veszünk

(és fordítva), a sorösszegpróbához jutunk. Esetünkben:

4 0 - 1 0 - 1 0

3- 1

1 3 4 - 3 - 1 02 0 8 0 - 2 6

- 1 1 - 4 - 1 1 - 40 2 0 - 2 0 - 2

A Falk-módszernek még az is előnye, hogy több tényezős szorzatok esetében a tényezők egymás mellé írhatók táblázatosán, és a részszorzatok többszörös leírását megtakaríthatjuk.

A mátrixszorzás definíciójából nyilvánvaló, hogy az A és B mátrixok csak akkor szorozhatók össze mind az AB, mind pedig a BA sorrendben, ha az A mátrix (« • m) típusú és a B mátrix (m • n) típusú.

Mivel a mátrixszorzás általában nem kommutatív művelet, ezért beszélünk bal oldali és jobb oldali szorzásról.

Az előzőekben már láttuk, hogy a zérusmátrixra 0A = A0 = 0, de zérusmátrixot kaphatunk egy szorzás eredményeként akkor is, ha a tényezők egyike sem zérusmátrix! így az a valós számok halmazában megszokott megállapítás, hogy „egy szorzat akkor és csak akkor zérus, ha egyik tényezője zérus”, a mátrixok körében nem érvényes. Például az

‘ 2 . - 3 - 5 ' ■-1 3 5‘A = - 1 4 5 és B = 1 - 3 - 5

1 - 3 - 4 - 1 3 5

65

mátrixok AB szorzata zérusmátrix. Ugyanis

A =

B =- 1 3 5

1 - 3 - 5 - 1 3 5

2 - 3 - 5 - 1 4 5

1 - 3 - 4

0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 - 2 - 4 0 0 0

= AB.

Ha az A mátrixhoz található olyan B 0 mátrix, améllyel AB = 0, akkor az A mátri­xot bal oldali zérusosztónak nevezik. (Előző példánk A mátrixa tehát bal oldali zérusosztó.) Hasonlóan: ha a B mátrixhoz található olyan A # 0 mátrix, hogy AB = 0, akkor jobb oldali zérusosztő (vagyis előző feladatunk mátrixa jobb oldali zérus­osztó), A és B zérusosztópár.

Érdemes megfigyelni, hogy esetünkben BA = 0 szintén igaz.

B =

2 - 3 - 5A = - 1 4 5

1 - 3 - 4

- 1 3 5 0 0 01 - 3 - 5 0 0 0

- 1 3 5 0 0 0

- 1 3 5 0 0 0

= BA,

tehát B bal oldali zérusosztó, A pedig jobb oldaH zérusosztó is.Tekintsünk most egy-egy n elemű sor- és oszlopvektort, és szorozzuk őket össze

egymással, ekkor a tényezők sorrendjétől függően a szorzat szám vagy négyzetes mátrix lehet.

A valós elemű

a* = [ai; 02; a„] és b* = [í>i; b z ' , b „ ]

vektorok

'b : öl

a*b = b*a = [aüat; bi — [^1; b z ' , í>n] az

b„ a„

66

= aibi + a2b2 +... + a„bn= Y,k= 1

szorzatát a két vektor skaláris szorzatának neveztük (1. az 1.4 pont).

Definíció. Az előbbi két vektor

ill.

öl aibí aibi ... aib„

ab* = Ö2 [bi, b2‘, ...;b„] = a2bi Ű2Í>2 ... a2b„

a„_ anbi a„b2 ... a„b„

'b i biai bia2 ... bia„

ba* = b2 [űi; ű2; . a„] = biai b2a2 ... b2Un

b„ b„ai b„ü2 bnan

szorzatának neve diadikus szorzat vagy röviden diád.

Minden A B mátrixszorzat mindig kifejezhető a tényezők oszlop-, ill. sorvek-(n • m) (m ■ p)

toraival, mégpedig kétféle módon aszerint, hogy melyik tényezőt állítjuk elő sorvekto­raival és melyiket oszlopvektoraival. Az

A =

alakban felírt tényezők esetén

és B = [bi;b2; . . . ;b j

a a‘bi a^b2 . . . a V

AB = a^ [bi; b2; . ..;bp] = a^bi a^b2 . . . a^bp

a"_ a"bi a"b2 a"bp.

tehát a szorzatmátrixnak n sora és p oszlopa van, és elemei skalárszorzatok. Az

A = [a i;a2; és B =

b""

67

alakban felírt tényezők esetén pedig

AB = [a i;a2; a „ ]

tehát a szorzat m számú diád összege: két mátrix szorzata mindig felírható diádok összegeként.

A gyakorlatban sokszor van szükség arra, hogy a mátrixok sorait, ill. oszlopait egymással felcseréljük, egy sorhoz vagy oszlophoz valamely másik sor vagy oszlop valahányszorosát hozzáadjuk, és így tovább. A számítógépek ezeket a műveleteket mátrixszorzással hajtják végre, ezért most néhány ilyen példát mutatunk be.

1. Képezzük az

1 4 - 3 ‘ TA = 2 0 1 és B = 1

(3 • 3) - 1 3 - 5 (3 • 1) 1

mátrixok AB szorzatát!

A =

1B = 1

1

1 4 - 3 22 0 1 3

- 1 3 - 5 - 3= AB.

Vegyük észre, hogy az AB mátrix egy olyan oszlopvektor, amelynek elemei az A mátrix megfelelő soraiban álló elemek összegei.

Általában is igaz, hogy ha az (m • n) típusú A mátrixot jobbról megszorozzuk, az (« • 1) típusú [1; 1 ; 1 ] * oszlopvektorral, az oszlopösszegező vektorral (mátrixszal), akkor egy olyan oszlopvektort kapunk, amelynek elemei rendre az A mátrix megfelelő soraiban álló elemek összegei.

Hasonló módon belátható, hogy ha az {m ■ n) típusú A mátrixot balról megszoroz­zuk az (1 • m) típusú [1; 1 ; 1 ] sorvektorral, a sorösszegező vektorral (mátrixszal), akkor egy olyan sorvektort kapunk, amelynek elemei rendre az A mátrix megfelelő oszlopaiban álló elemek összegei.

Megjegyezzük, hogy az elektronikus számítógépek ilyen módszerrel (mátrixszor­zással) összegezik mátrixok oszlopaiban (soraiban) álló elemeket.

2. Szorozzuk most meg az

A =(3 ■ 3)

4 - 1 0' 0 1 0'3 2 - 1 mátrixot a P = 0 0 15 - 6 3 (3 • 3) 1 0 0

permutáló mátrixszal előbb balról, majd jobbról!

PA =0 1 0"

0 0 11 0 0

' 4 - 1 0' 3 2 - 1 5 - 6 3

2 - 1 - 6 3 - 1 0

Látható, hogy a szorzás eredményeként az A mátrix sorai megcserélődtek, mégpe­dig az első sorból harmadik sor, a másodikból első és a harmadikból második sor lett. Ez annak a következmnye, hogy a P mátrixban az űi2, ű23, ű3i elemek helyén álltak az 1-esek. Vegyük észre, hogy ha ezeknek az elemeknek az indexeit fordított sorrend­ben elolvassuk, a végbement sorcseréket állapíthatjuk meg.

AP ='4 - 13 2 - 1 5 - 6 3

1 0 1 0‘

0 0 1 =1 0 0

0 4 - 1 ‘ - 1 3 2

3 5 - 6

Most az látható, hogy a szorzás eredményeképpen az A mátrix oszlopai cserélődtek fel, mégpedig az első oszlopból második, a második oszlopból harmadik, és a harma­dik oszlopból első oszlop lett. A permutáló mátrix nem zérus elemeinek, az 012, 023, Ü31 elemeknek az indexe a végbement oszlopcseréket világosan mutatja, ha azokat sorrendben olvassuk le.

A permutáló mátrixokkal való szorzás útján tetszőleges mátrixok sor-, illetve oszlopcseréje is végrehajtható.

Nézzük most meg, milyen permutáló mátrixszal kell megszoroznunk az

A =

2 4 - 3 1

0 5 - 2 7

mátrixot, hogy az első és harmadik, továbbá a második és negyedik sora helyet cseréljen?

Mivel sorok cseréjét akarjuk elérni, a permutáló mátrixszal balról kell szoroznunk, és hogy a szorzás elvégezhető legyen, egy negyedrendű permutáló mátrixot kell választanunk. A kívánt sorcseréket akkor érjük el, ha az a permutáló mátrix 1-es elemeit az 013, 031, ű24, 042 elemek helyére választjuk.

69

Valóban

P =

A =

2 4- 3 1

0 5 - 2 7

0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0

0 5 - 2 7

2 4 - 3 1

1 1 1 1 - 3 17

= AP.

Figyeljük meg: mivel a sorokat egymással cseréltük fel, a P permutáló mátrix szimmetrikus!

3. Szorozzuk meg az

A ='1 3 - 2 '1 0 0'4 - 1 2 mátrixot a C = 0 1 01 2 1 0 0 c

mátrixszal balról, majd jobbról (c valós szám)!

CA =3 - 2

- 1 2 2 1

’l 3 - 2 '1 0 0'AC = 4 - 1 2 0 1 0 =

1 2 1 0 0 c

'1 3 - 2 '4 - 1 2c 2c c

1 3 — 2c4 - 1 2c1 2 c

Vegyük észre, hogy az első esetben A harmadik sorának, a második esetben A har­madik oszlopának minden eleme c-vel szorzódott!

Általában, ha az egységmátrix (főátlójában álló) an=l eleme helyére a valós c számot írjuk, akkor ezzel a mátrixszal balról szorozva a vele konformábilis A mátri­xot A i-edik sora, jobbról szorozva a vele konformábilis B mátrixot, B f-edik oszlopa c-vel szorzódik.

4. Szorozzuk meg az'1 3 - 2 ' 1 c 0‘

A = 4 - 1 2 mátrixot a D = 0 1 01 2 1 0 0 1

mátrixszal balról, majd jobbról (c valós szám)!

70

DA =1 c 0' 0 1 0 0 0 1 1

AD =1 3 - 2 4 - 1 2 1 2 1

3 ■2 ■l+4c 3 - c - 2 + 2 c1 2 = A - 1 22 1 1 2 1

-

1 "1 c 0' "1 c + 3 - 20 1 0 = 4 4 c - 1 2 .0 0 1 1 c + 2 1

Vegyük észre, hogy az első esetben a szorzás ugyanazt eredményezte, mintha az A mátrix második sorának c-szeresét hozzáadtuk volna az első sorhoz, a második esetben pedig azt, mintha az első oszlop c-szeresét adtuk volna hozzá a második oszlophoz.

Általában, ha az egységmátrix űy=0 (iV/) eleme helyébe a c valós számot irjuk, és az így kapott mátrixszal balról megszorozzuk a vele konformábilis A mátrixot, akkor az A mátrix i-edik sorához adódik a >edik sor c-szerese; ha pedig ugyanezzel a mátrixszal jobbról szorozzuk meg a vele konformábiUs B mátrixot, akkor a B mátrix í-edik oszlopának c-szerese adódik a y-edik oszlopához.

5. Végül határozzuk meg, milyen mátrixszal kell megszorozni az

A(4 • 3)

mátrixot, hogya) első sorához adjuk negyedik sorának kétszeresét,b) első oszlopának háromszorosát és második oszlopának — 2-szeresét adjuk a

harmadik oszlopához?A feladat a) része követelményeinek teljesítéséhez írjunk a negyedrendű egységmát­

rix a i4 = 0 eleme helyébe a c = 2 számot, és az így kapott C mátrixszal szorozzuk meg balról az A mátrixot!

Valóban

1 3 - 25 - 2 10 - 4 22 5 - 3

CA =

’l 0 0 20 1 0 00 0 1 00 0 0 1

3 - 2- 2 1- 4 2

5 - 3

’9 135 - 20 - 42 5

- 8 ‘12

- 3

A feladat b) része követelményeinek teljesítéséhez írjunk a harmadrendű egység- mátrix Ű13 = 0 eleme helyébe 3-t, ű23 eleme helyébe ( - 2)-t, és az így kapott D mátrix­szal szorozzuk meg az adott A mátrixot jobbról!

71

Valóban

A =

1 0 3D = 0 1 - 2

0 0 1

5 3 - 2 5 3 75 - 2 1 5 - 2 200 - 4 2 0 - 4 10

' 2 5 - 3 2 5 - 712 2 - 2 12 2 30

= AD.

2.2.6 Mátrixok hatványozása

Definíció. Az A négyzetes mátrixból képezhető n tényezős

1 2 3 nA- A- A- . . . - A = A"

szorzatot az A mátrix n-edik hatványának nevezzük (n természetes szám). Meg­állapodunk abban, hogy

A« = E„.(n • n)

A definícióból következik, hogy egy diagonális mátrix n-edik hatványa ismét diagoná- lis mátrix, amelynek a főátlóban álló elemei az eredeti mátrix főátlójában álló megfe­lelő elemek n-edik hatványai:

<aü a2 ' , a k > " = < a"; ax',. . Ok>.

A négyzetes zérusmátrix minden hatványa zérusmátrix, az egységmátrix minden hatványa egységmátrix.

Ha az A mátrixhoz található olyan k kitevő, amelyre

A" = 0,

akkor az A mátrixot nilpotens mátrixnak nevezzük. Az olyan háromszögmátrixok, amelyeknek a főátlóban álló elemei is zérusok, nilpotensek! Például az

72

N =0 1 - 10 0 20 0 0

mátrix nilpotens, mert

1 0 0' 0 1 —rNO = 0 1 0 5 N' = 0 0 2

0 0 1_ 0 0 0

0 0 1 0 0 o'N = 0 0 0 5 N = 0 0 0

0 0 0 0 0 0

vagyis a harmadik hatvány már zérusmátrix.A zérusmátrix nilpotens, mert

0‘ = 0 (A:= 1,2,...).

Azt a P mátrixot, amelynek bármely pozitív egész hatványa önmagával egyenlő, azaz

p = p2 = p3 =

projektor- (vetítő-) mátrixnak vagy idempotens (önmagát visszaadó) mátrixnak nevez­zük. A zérusmátrix és az egységmátrix egyúttal projektormátrix is.

K id o l g o z o tt pé ld á k

1. Példa. Mutassuk meg, hogy az

N =1 - 3 - 4

- 1 3 41 - 3 - 4

mátrix nilpotens! Megoldás. Valóban

N^ = - 11 - 3 - 4

3 4 1 - 3 - 4

1 - 3 - 4 - 1 3 4

1 - 3 - 4

0 0 0'

- 0 0 00 0 0

73

2. Példa. Mutassuk meg, hogy

projektormátrix!Megoldás.

P =

p 3 _ p 2 p _ p p _ p ^ P" = P, tehát P valóban projektormátrix.

P =2 - 2 - 4

- 1 3 41 - 2 - 3

p =2 - 2 - 4

- 1 3 4 1 - 2 - 3

2 - 2 - 4 - 1 3 4

1 - 2 - 3

2 - 2 - 4 - 1 3 4

1 - 2 - 3= p2 = P;

2.2.7 A négyzetes mátrix determinánsa

Dehníció. Az

A =

űll Ö12 021 022

flnl Öb2

ainÜ2n

a„„

négyzetes mátrix determinánsán az elemeiből képezett determinánst értjük, ame­lyet I A|-val vagy det A-val jelölünk:

űll a i 2 ••• öiBdet A = 021 Ű22 ••• Ö2b

•

ÖbI Űb2 ••• Onn

Ha det A #0, akkor az A mátrix reguláris, ha det A = 0, akkor A szinguláris.

Könnyen igazolható, hogydet A=det A*,

det (AB)= (det A) (det B).

74

Minden A mátrixhoz egyértelműen hozzárendelhető egy természetes szám, a mátrix rangja.

Definíció. Az A mátrix q (A)-val jelölt rangja akkor r e N, ha r-edrendű négyze­tes minormátrixai között van legalább egy reguláris, és minden (r+ l)-edrendű (valamint ebből következően minden (r+ l)-edrendűnél magasabb rendű) mi- normátríxa szinguláris.

A definícióból következik, hogy egy mátrix rangja nem lehet nagyobb sem sorai, sem oszlopai számánál. A zérusmátrix rangja 0. Ha egy mátrix rangja 0, akkor abból következik, hogy zérusmátrix.

Például az

2.2.8 A mátrix rangja

A =1 2 3‘2 3 43 5 7

mátrix rangja e(A) = 2, mert

det A =1 2 32 3 43 5 7

= 0, de 1 2 2 3 = - 1^ 0.

Könnyen belátható, hogy összeadható, ill. összeszorozható mátrixok esetén

e(A+B) ^ e(A)+e(B);

0(AB) ^ e(A), e(AB) ^ m ;

továbbá ha det C #0 , akkor

e(AC)=e(CA)=e(A).

A mátrix rangjának fontos szerepe van az alkalmazásokban, de kiszámítása ezen definíciója alapján nagy elemszámú mátrixok esetén nagyon fáradságos. Ezért a 2.3.5 pontban a mátrix rangjának egy másik definícióját is meg fogjuk adni, és egy másik meghatározási módját is meg fogjuk mutatni.

75

K id o l g o z o tt pé ld á k

1. Példa. Határozzuk meg az

A =1 - 3 5‘

- 2 4 3 0 - 2 13

mátrix rangját! Megoldás. Mivel

1 - 3 5 1 - 3 5det A = - 2 , 4 3 = 0 - 2 13

0 - 2 13 0 - 2 13= 0,

és A-nak van olyan minormátrixa, pl.

1 - 3 0 - 2

amelynek determinánsa nem 0, ezért g(A) = 2. 2. Példa. Állapítsuk meg az

A =

2 - 1 25 - 2 32 - 1 - 25 0 3

mátrix rangját!Megoldás. Az A mátrix determinánsát utolsó sora szerint kifejtve,

= 0,

ugyanis a két kapott harmadrendű determináns egy-egy oszlopának elemei csak előjelben különböznek egymástól, ezért (A) 3. Viszont A-nak van olyan minormát­rixa, amelynek determinánsa

1 - 1 2 1 2 - 1det A = 5 2 . - 2 3 + 3 2 5 - 2

1 - 1 - 2 1 2 - 1

det All =5 - 2 3 2 - 1 - 2 5 0 3

= 5 -7 + 3 ( - l ) = 32#0,

ezért e(A) = 3.

76

Definíció. Az A négyzetes mátrix adjmgált mátrixának vagy röviden adjungált- jának nevezzük az

2.2.9 A négyzetes mátrix adjungáltja

adj A =

A ll A 21 A i2 A 22

Aln A 211

A „ i

A„2

mátrixot, ahol Aij az A mátrix determinánsának ay eleméhez tartozó (előjeles) aldeterminánsa.

Külön kiemeljük, hogy az adj A /-edik sorának A:-adik eleme a det A determináns it-adik sora /-edik eleméhez tartozó előjeles aldetermináns, vagyis adj A az

A ll A i2 A 21 A 22

A i „

A 2n

Inl An2

mátrix transzponáltja.Megjegyezzük, hogy diagonális mátrix, háromszögmátrix, szimmetrikus mátrix,

adjungáltja is ugyanolyan típusú.A műveletek elvégzésével igazolható, hogy

A(adj A) = (det A)E és (adj A)A = (det A)E.

Ugyanis (csak az első állításra szorítkozva) az

ön a i 2 ... öin ^11 A 2I ... ^ n í

A(adj A) = a i i a i 2 ... Uin A 22 ... A n 2

Clnl Clnl Clnn ^ In Á n Ann

szorzás eredménye olyan mátrix, amelynek főátlójában a fc-adik elem az A mátrix determinánsának kifejtése a A:-adik sor szerint:

űkiAki + cik2Ak2 +. . . + ciknAkn ~ det A.

Az eredménymátrixnak nem a főátlóban álló elemei zérusok, mert az elemek a nem hozzájuk tartozó aldeterminánsokkal vannak szorozva, és az ilyen szorzatok összege0. így

77

det A 0 0

A(adj A) = 0 det A ... 0

Ó Ó det A

= (det A)E.

Innen az is következik, hogy

A(adj A) det A

= E.

K id o l g o z o tt pé ld á k

1. Példa. Számitsuk ki az

A =1 2 3‘2 3 23 3 4

mátrix adjungált mátrixát!Megoldás. A szükséges aldeterminánsok:

A ll —

A i 3 —

A 22 —

A 31 —

3 2 2 23 4 = 6; A í2 = — 3 4

2 3 2 33 3 == — 3; A 21 = — 3 4

1 3 1 23 4 — ~S\ A 23 ~ ~ 3 3

2 33 2 = -5 ; A 32 = - 1 3

2 2

= - 2 ;

= 1;

= 3;

= 4;

A 33 —1 2 2 3 = - 1.

így A adjungáltja:

6 1 - 5adj A = - 2 - 5 4

- 3 3 - 1

2. Példa. Az 1. példa A mátrixára mutassuk meg, hogy A(adj A) = (det A)E3.

78

Megoldás.

3. Példa. Mutassuk meg az

A =3 - 2 í4 1 - 3

- 6 4 - 2

szinguláris mátrixra, hogy

Megoldás. A adjungáltja:

A(adj A) = 0.

adj A =10 0 5 26 0 13 22 0 11

es

= A(adj A) = 0.

79

2.2.10 A négyzetes mátrix inverze

Definíció. A reguláris négyzetes A mátrix A szimbólummal jelölt inverz mátrixának vagy reciprok mátrixának nevezzük azt a mátrixot, amelyre

AA“ ‘ = E, ül. A“ ‘A = E.

Az előző fejezetben említettük, hogy

A(adjA) ^ (adjA)A ^—:— :— = E es — :— = E, det A det A

ezért az A mátrix jobb és bal oldali inverze megegyezik és

A -‘ =adj A det A

A definíció alapján könnyen belátható, hogy

(A -‘) - ‘ =A, (A*)-i = (A -‘r , (AB)-^ = B - ‘A -‘,

továbbá szimmetrikus mátrix inverze szimmetrikus, háromszögmátrix inverze három­szögmátrix.

A 2.3.6 pontban az inverz mátrixra egy másik kiszámítási módot is adunk.

K idolgozott példák

1. Példa. Számítsuk ki az

A =1 2 3‘2 3 23 3 4

mátrix inverzét! Megoldás. Mivel

(lásd 2.2.9 pont 2. példa), és

det A = - 7

6 1 - 5 ‘adj A - - 2 - 5 4

- 3 3 - 1

80

(lásd 2.2.9 pont 1. példa), ezért az inverz mátrix

1

det A

2. Példa. Határozzuk meg az

adj A =

A =

672737

1 2 3'2 4 53 5 6

75737

1

mátrix inverzét! Megoldás. Mivel

1 2 3 1 2 3det A = 2 4 5 = 0 0 - 1

3 5 6 3 5 6

1 2 3 5 = - i# o ,

ezért A“ létezik. Minthogy A szimmetrikus, ezért három - például a főátló alatti elemekhez tartozó - előjeles aldetermináns kiszámítását megtakaríthatjuk. A szüksé­ges aldeterminánsok

111

A 22 —

4 5 2 5 2 45 6 — “ 1; A í2 — — 3 6 — 3; A li — 3 5

1 3 1 2 1 23 6 = “ 3; A 2z — — 3 5 — 1; A 33 = 2 4

= -2 ;

= 0.

így

det A

-1 3 - 2 1 - 3 23 - 3 1 = - 3 3 - 1

- 2 1 0 2 - 1 0

81

2.3 A lineáris tér

2.3.1 A lineáris tér fogalma

Eddigi tanulmányaink során láttuk, hogy a matematika különböző ágaiban gyak­ran találkozunk olyan fogalmakkal, amelyekre az összeadás és a valós számokkal való szorzás értelmezve van. Ezt láttuk például az előző fejezetekben a vektorok, a determinánsok és a mátrixok esetében is. E különböző fogalmak egységes tárgyalása érdekében bevezetjük a lineáris tér fogalmát.

Definíció. Legyenek ol, p, y, ... az R számtest elemei, x, y, z, ... pedig egy L halmaz elemei. Az L halmazt lineáris térnek (vektortérnek, gyakran röviden térnek) nevezzük, ha

1. bármely két x e L , y e L eleméhez egyértelműen hozzá van rendelve a halmaz egy eleme, amelyet az x és y elem összegének nevezünk, és x + y-nal jelölünk. Az összeadás tulajdonságai:

(a) kommutatív, azaz x + y = y + x;(b) asszociatív, azaz x + (y + z) = (x + y) + z;(c) létezik olyan elem, az ún. zéruselem, jele 0, melyre x + 0 = x minden x-re;(d) létezik minden x-hez a — x (inverz) elem úgy, hogy x + ( — x) = 0;2. bármely x e L elemhez és bármely A e R számhoz egyértelműen hozzá van

rendelve az L halmaznak egy eleme, amelyet a 1 szám és az x elem szorzatának nevezünk, és 2x-szel jelölünk. A számmal való szorzás tulajdonságai:

(a) a számtest 1 egységelemének és az x elemnek szorzata maga az elem:1 • X = x;

(b) több számmal végzett szorzás asszociatív, azaz

a0?x) = (ay9)x;

3. a számmal való szorzás és az elemek összeadása disztributív, vagyis(a) (a+y9)x = ax+y9x,(b) a(x + y) = ax + ay.

Egy lineáris tér elemeit alkothatják az 1.1 részben tárgyalt sík- vagy térvektorok az ugyancsak ott definiált (szokásos) vektorösszeadás és számmal való szorzás műve­letére nézve. Könnyen belátható, hogy például a valós számokból álló (2 • 2)-es mátrixok lineáris teret alkotnak a szokásos mátrixösszeadás és mátrixnak számmal való szorzására nézve. A valós számokra értelmezett összeadásra és szorzásra nézve lineáris teret alkot még például az [a, b] intervallumon értelmezett folytonos függvé­nyek halmaza, vagy például a legfeljebb «-edfokú polinomok halmaza, de a pontosan «-edfokú polinomok halmaza nem, mert két «-edfokú polinom összege lehet alacso­nyabb fokú polinom is.

82

Az 1.1 részben a vektorokat irányított szakaszokként definiáltuk, majd beláttuk, hogy egy sikvektor és egy valós számokból álló rendezett (a számok ^orrendje is meghatározott) számpár, illetve a geometriai tér egy vektora és egy rendezett szám­hármas között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. Mivel az eddig defi­niált vektorok lineáris teret alkotnak, ez azt is jelenti, hogy a rendezett valós számpá­rok és számhármasok halmaza is egy-egy lineáris teret alkot.

Könnyen ellenőrizhető, hogy a valós számokból álló (xi, xa, ..., x„) rendezett szám-«-esek halmaza is egy lineáris teret alkot, ha összeadásnak a megfelelő sorszámú számok összeadását, a X számmal való szorzásnak pedig az összes szám A-val való megszorzását definiáljuk.

Egy lineáris tér elemeit vektoroknak szokás nevezni még akkor is, ha ezek az elemek nem vektorok. Mi azért választjuk ezt az elnevezést, mert a tárgyalásra kerülő konkrét lineáris terek elemei a mi esetünkben valóban vektorok.

Ha a lineáris tér definíciójában szereplő két műveleten kívül még más műveletek elvégezhetőségét is megköveteljük, akkor speciális lineáris tereket definiálhatunk. Azt a lineáris teret, amelyben például a vektorok köréből ismert skaláris szorzás érvényes­ségét is megköveteljük, euklideszi térnek nevezzük. A térbeli irányított szakaszok (vektorok) például euklideszi teret alkotnak.

2.3.2 A lineáris függetlenség

Definíció. Az

aiXi + a2X2 + ... + a„x„

kifejezést (ot,- e R, i= 1, 2 , n) az Xi, X2, x„ vektorok lineáris kombinációjá­nak nevezik.

Definíció. Az L lineáris tér xi, Xi, x„ vektorait akkor mondjuk lineárisan függetleneknek, ha az

otiXi + a2X2 + ... + a„x„ = 0

összefüggés (a.- e R) csak az

ai = a2 = ... = ot„ = 0

esetben áll fenn.

Definíció. Az L lineáris tér Xi, X2, x„ vektorait akkor nevezzük lineárisan összefüggőknek, ha van olyan nem csupa 0 -ból álló n számú ai, «2, valós

83

érték, hogy

otiXi + a2X2 + ... + a„x„ = 0.

T étel. Ha az L lineáris tér Xi,X2, vektorai lineárisan összefüggök, akkor legalább egy közülük kifejezhető a többiek lineáris kombinációjaként.

Bizonyítás. Ha az Xi, X2, x„ vektorok lineárisan összefüggők, akkor

aiXi + a2X2 + a3X3 + ... + a«x„ = 0

úgy teljesül, hogy például ai ^0 . Fejezzük ki az xi vektort az előbbi egyenlőségből! Ekkor

aaXi = ------X2-------X 3 - . . . -------x„.

ai «i ai

Innen a

Pl — , P 3 — , • • • ) Pn —«1 ai «1

jelölésekkel láthatjuk, hogy az Xi vektor kifejezhető az X2, X3, ..., x„ vektorok lineáris kombinációjaként.

2.3.3 A lineáris tér dimenziója, bázisa

Definíció. Az L lineáris teret n-dimenziósnak nevezzük, ha létezik benne n számú lineárisan független vektor, de nem létezik benne ennél nagyobb számú lineárisan független vektor.

Jelölje az ^-dimenziós lineáris teret L„.Például a geometriai tér vektorai között lehet találni három lineárisan független

vektort, de bármely négy vagy több vektor már lineárisan összefüggő. Ezért a geomet­riából ismert ún. háromdimenziós tér a lineáris algebra értelmezése szerint is háromdi­menziós lineáris tér.

Definíció. Az ^-dimenziós L„ lineáris tér bármely n számú lineárisan független bi, bi, b„ vektorából álló rendszert az L„ tér egy bázisának nevezzük, e vektorok mindegyikét pedig bázisvektoroknak.

Például a geometriai térben bázist alkot bármely három, nem egy síkban fekvő vektor. Mi a vektorok tárgyalásakor az

84

T 0* 0'i = 0 , j = 1 , k = 0

0 0 1

ortonormált bázist választottuk.Be lehet látni, hogy az L„ térben az

Cl =

" r 0‘ 0'0 1 0

, 62 = , . . . , Cn

ó ó i

«-elemű («-dimenziós) egységvektorok ortonormált bázist alkotnak, jele E„. Számítá­sainkat legtöbbször ebben a bázisban végezzük el.

Tétel. A z n-dimenziós L„ lineáris tér bármely x vektora egyértelműen előállítható a bázisvektorainak lineáris kombinációjaként.

Bizonyítás. Álljon az L„ lineáris tér egy bázisa a bi, b2, b„ bázisvektorokból, és vegyük hozzájuk az x vektort. Mivel ez összesen n + 1 számú vektor, ezért lineárisan összefüggők, vagyis az

otox + a i b i + aihi + . . . + a„h„ = 0

egyenlőségben nem lehet mindegyik a,- = 0 . ao biztosan nem 0 , mert akkor az előbbi egyenlet alapján a bi, hz, ..., b„ vektorok nem lennének lineárisan függetlenek. így az X vektor kifejezhető ebből az egyenletből:

ai «2, oc„X = ------- b i -------- h l - . . . -------- b„.

OCo OCO «0

Az előállítás egyértelműségét indirekt úton bizonyítjuk be. Tegyük fel, hogy az x vektornak létezik két felbontása a bázis vektoraival:

X = J?ibi+J?2b2 +X = jS i b X + J?2b2 +

Vegyük e két egyenlet megfelelő oldalainak különbségét! Ekkor

(jSl-lS[)bt + ifi2 - ^ 2)b2 + ... + (fin-p'n)K = 0.

Mivel a bi, b i, ..., b„ vektorok hneárisan függetlenek, ezért

85

Pl=^U Pn=P'n,

és ezzel az előállítás egyértelműségét beláttuk.

Definíció. Ha bi, ba, b„ az L„ tér egy bázisa, és

tehát

x = Xibi+X2b2+. . .+ .x„b„,

akkor az xi, X2, x„ számokat az x vektor bi, b2, b„ bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük.

Az adott X vektor koordinátái tehát a bázis megválasztásától függnek. Adott feladatok megoldásához ezért célszerű alkalmas bázist választani.

Definíció. Az L lineáris tér L' alterének nevezzük az L elemeinek olyan részhal­mazát, amely az L-ben értelmezett összeadás és számmal való szorzás műveleté­re maga is lineáris teret alkot.

Ha például L3 a geometriai tér, és egy olyan síkot tekintünk, amely illeszkedik a koordináta-rendszer kezdőpontjára, akkor e sík vektorainak halmaza az L3 lineáris tér egy L3 = Li alterét alkotja.

Minden L lineáris térben alteret képezhetünk úgy, hogy kiválasztjuk az L tér tetszőleges xi, X2, ..., x, vektorát, és képezzük ezek lineáris kombinációit. Az így kapott L' alteret az xi, X2, ..., Xr vektorok által generált altérnek nevezzük. A k számú lineárisan független bi b2, ..., b* vektor által generált altér A:-dimenziós, és a b^, b2, ..., bt vektorok benne bázist alkotnak.

2.3.4 Az elemi bázistranszformációkA lineáris terek vizsgálatainál nagyon fontos szerepet játszik a bázis célszerű

megválasztása. A bázis definíciója szerint az L„ lineáris tér minden n számú lineárisan független vektorrendszere bázist alkot az n koordinátájú vektorok terében. Az aláb­biakban azt vizsgáljuk meg, hogyan lehet a tér egy bázisáról áttérni a tér egy másik bázisára.

Definíció. Ha az L„ tér valamely adott bázisáról áttérünk egy másik bázisára, akkor bázistranszformációról beszélünk.

Definíció. A bázistranszformációnak azt a legegyszerűbb esetét, amelynél az adott bázisnak egy lépésben csak egy bázisvektorát cseréljük ki, elemi bázis­transzformációnak nevezzük.

86

Legyen az L„ lineáris tér egy bázisa a

bi) I>25 •••5 bj, b„

vektorrendszer. Annak a feltétele, hogy a b; bázisvektort kicserélhessük az L„ tér egy adott b?^0 vektorával az, hogy a

b = Pihí +jff2b2 + •••+y9ibi+ ... + )9„b„, y9ie R

vektornak a b; bázisvektorra vonatkozó pi koordinátája ne legyen 0.Vizsgáljuk meg, hogy az L„ tér egy a vektorának a bi, h z , b„ bázisra vonatkozó

a = aibi + aihz +. . . + a.bi +. . . + a„b„, ai e R

koordinátái hogyan változnak meg, ha a bázis bj vektorát kicseréljük az L„ tér egy nem zérusvektor

b = )9lbi+jff2b2 + . . .+Abi+-” +jffnbn

vektorával!A csere lehetséges, ha Pi 0. Ekkor bi felírható az új b i, b2, . . b , ..., b„ bázisvekto­

rok lineáris kombinációjaként:

h - + ‘ h * h

A jobb oldalon álló együtthatók a b; vektornak az új, a bi, b2, b, ... b„ bázisra vonatkozó koordinátái.

Helyettesítsük a b,-re kapott kifejezést az a vektort előállító lineáris kombinációba! Ekkor az

a = aibi + a2b2 + ... + ai

alakhoz jutunk, amelyet átrendezve az

( Oíi \ / OLi \ Xi f di ,c i í - —Pi bi + ( a 2 - —y?2 b2+. . .+—b+...+ a„- —p„]h„

Pi J \ Pi / Pi \ Pi

OCiösszefüggést kapjuk. Ha bevezetjük az — = őt jelölést, akkor

Pi

a = (ai — őiPi)bi + {a2 — őiP2)^2 + --- + Si\}+... + ((x.n — őiP„)h„.

87

<Xi-öiPu cí2 -SiPi, ői, a„-őiP„

számok az a vektornak az új, a bi, ba, b ;-i, b, b, + i, b„ bázisra vonatkozó koordinátái.

Gyakorlásképpen bemutatunk néhány bázistranszformációt.1. Tekintsük az a = [6,3; -1]* vektort az ci = [1;0;0]*, C2 = [0; 1;0]*,

63 = [0; 0; 1]* vektorokból álló bázisban. Cseréljük ki az Ci bázisvektort a b = [ — 2; 3; 2]* vektorra! Számítsuk ki a koordinátáit az új bázisra nézve!

Mivel b = -2 e i + 3e2 + 2c3, vagyis Pi = - 2 # 0 , ezért a csere lehetséges. ai 6

Esetünkben Si = — = ----= — 3, ezért a koordinátái az új bázisra vonatkoztatvay9i - 2

az a.k — öiPk, k = 2,3 képlet alapján;

A jobb oldalon álló

■-3 ■-3'a - 3 - ( - 3 ) 3 = 12

- l - ( - 3 ) 2 5

Ellenőrizzük számításainkat! Mivel

a = —3b+12e2 + 5e3 = — 3( —2ci+ 3e2 + 2e3)+12c2 +5c3 = 6ei + 3e2~e3,

ezért számításaink helyesnek bizonyultak.A könnyebb áttekinthetőség érdekében számításainkat táblázatba is foglalhatjuk.A készítendő táblázat első oszlopában a mindig éppen aktuális bázis bázisvektorai,

első sorában (fejlécében) a bázisvektorként szóbajöhető vektorok és az a vektor áll, amelynek az új bázisra vonatkozó koordinátáit keressük, a táblázat többi oszlopában pedig a fejlécben álló vektoroknak az éppen aktuális bázisra vonatkozó koordinátái állnak. A bázisba bevonni kívánt vektornak azt a koordinátáját, amelyik a kicserélen­dő (ún. kilépő) bázisvektorra vonatkozik, jelöljük meg, például keretezzük be. Ez nem lehet 0. A megjelölt számot szokás generáló elemnek nevezni. Induló táblázatunk tehát a következő:

bázis 62 63

Cl - 2 0 0 6

62 3 1 0 3

63 2 0 1 - 1

Ebből az új táblázatot az alábbiak szerint készítjük el:Mivel az Ci bázisvektor helyébe a b vektor lép, ezért az új táblázatunkban a

bekeretezett, a generáló elem helyén 1 kell álljon. Ezt éppen azzal érjük el, hogy a

táblázat első sorának elemeit rendre elosztjuk a generáló elemmel = ( — 2)-vel.«i 6

Ekkor a első koordinátája valóban Öí = — = — = - 3.Pl - 2

Az a vektor második és harmadik új koordinátáját rendre úgy kaphatjuk meg, hogy a régi táblázat második, illetve harmadik sorának elemeiből kivonjuk az új táblázat már meglévő első sora megfelelő elemeinek a = ill- = 2-szeresét. Ekkor a megkívánt ak — őiPk (k = 2, 3) összefüggés valóban teljesül. Végrehajtva ezeket a mű­veleteket a

bázis C2 63 a

b 1 0 0 - 3

62 0 1 0 12

C3 0 0 1 5

táblázathoz jutunk, amelyből a koordinátái a b, C2, 63 bázisra nézve már leolvashatók. Vegyük észre, hogy b új koordinátáira az első oszlopban b = [1; 0; 0]* adódott, ami

b = 1 b + 0 e 2 + 0 e 3

összefüggésből is nyilvánvaló.2. Folytassuk az előző feladatot azzal, hogy a kapott bázis 62 vektorát cseréljük ki

a c = 2b + 6c2 - 3c3 vektorral! írjuk fel a koordinátáit ebben a bázisban!A csere lehetséges, mert 72 = 6 # 0.Az induló táblázat

bázis b c — r C3 1 a1

b 1 2 0 ] - 3

C2 0 0 i 12

Ca 0 5 1 1 5... ....1.........

oí 12Most Ő2 = — = — = 2. Ennek segítségével azonnal felírható az új táblázat második

72 6sora, majd az előző feladat módszerét követve az egész táblázat:

bázis b c 63 1 a

b 1 0 0 [ - 7

c 0 1 0 1 2

63 0 0 1 1 11

vagyis az új bázisban a = [ - 7; 2; 11]*.

89

Valóban

a = — 7b + 2c+lle3 = — 7b + 2(2b + 6e2~3e3)+llea =

= - 3 ( - 2 e i + 3e2 + 2e3) + 12e2 + 5e3 = 6ei + 3e2-e3.

3. Tekintsük ismét az ortonormált bázisban megadott a = [6; 3; -1]* vektort! Cseréljük ki a bázis Ci vektorát a b = [ —2;3;2]* vektorra, az C2 vektorát a c' = [2; 6; - 3]* vektorra! írjuk fel a koordinátáit az új rendszerben!

A feladat első részét már megoldottuk az 1. pontban, a második része azonban merőben más, mint amit a 2. pontban tárgyaltunk, mert c' most az eredeti bázisban van megadva! Ezért c' koordinátái már az első transzformáció során is változni fognak.

Induló táblázatunk most a következő alakú:

bázis b c' C3 1 a

Cl - 2 2 0 ] 6

62 3 6 0 3

C3 2 - 3 1 1 - 1

Ő i = - 2 .

Osszuk el az első sor elemeit <Ji = ( —2)-vel, ez lesz a második-táblázat első sora, majd ennek a sornak a 3-szorosát, ill. 2-szeresét vonjuk ki a régi táblázat második, ill. harmadik sorából! Ekkor

bázis b c' C3 a

b 1 - 1 0 - 3

62 0 0 12

C3 0 - 1 1 5

ö2 = — = r .

Most a második sor - -szeresét az első, majd a harmadik sorhoz adva.

90

Az a vektor koordinátái az új rendszerben a =

Ellenőrizzük számításaink helyességét! Valóban

5 4 193 ’ 3 ’ y

5 4 19 5a — —- b + - c ' + — 6 3 — — - ( —2ei + 3e2 + 2e3) +

4 19+ - ( 2e i + 662 — 363) + — 63 = 061 + 362 “ 63.

A táblázatok leirása egyszerűsödik, ha a következőkben állapodunk meg:a) A táblázatokban szereplő egységvektorok szimbólumát nem tüntetjük fel. Üre­

sen hagyott helyükre a megfelelő új bázisvektorokat írjuk be a bázisba való bevonás sorrendjében.

b) A bázisba bekerült vektornak megfelelő oszlopot a következő lépésnél rendre elhagyjuk.

c) A leegyszerűsített táblázatokat nem egymástól elkülönítve, hanem folytatólago­san egymás mellé írjuk.

Feladatunk megoldása ezek alapján így írható le röviden:

2.3.5 A mátrix rangjának meghatározása elemi bázistranszformációkkal

Minden {m • n) típusú A mátrixnak megfeleltethetünk két vektorrendszert, az osz­lopvektorok és a sorvektorok alkotta vektorrendszert. Mind az oszlopvektorok, mind a sorvektorok lineáris kombinációi egy-egy lineáris alteret alkotnak. Be lehet látni, hogy e két lineáris altér dimenziója azonos.

Definíció. Az A mátrix sorvektorterének és oszlopvektorterének dimenzióját megadó számot a mátrix rangjának nevezzük, és g(A)-val jelöljük.

Be lehet látni, hogy ez és a 2.2.8 pontban adott definíció azonos fogalmat határoz meg (azaz a definíciók ekvivalensek.)

91

Mivel egy lineáris tér dimenzióját a tér lineárisan független vektorainak a száma adja meg, ezért egy mátrix rangja a lineárisan független oszlopvektorainak (sorvekto­rainak) a számával egyenlő. Ezek száma elemi bázistranszformációkkal könnyen meghatározható, mert csak azt kell megvizsgálnunk, hogy közülük hány vonható be a tér bázisvektorai közé, ugyanis az n-dimenziós tér egy bázisát pontosan n számú lineárisan független vektor alkotja.

Határozzuk meg az

A =(3 ■ 4)

1 2 3 4 0 1 1 1 1 0 1 2

mátrix rangját!A mátrix tipusa miatt g(A)^3. Kíséreljünk meg elemi bázistranszformációkkal

minél több oszlopvektort a bázisba bevonni! Az elemi bázistranszformációk tábláza­tai:

ai 32 83 34 32 33 34 33 34

ai 1 2 3 4 2 3 4 1 2

32 0 1 1 1 T 1 1 1 1

1 0 1 2 -2 - 2 - 2 0 0

Minthogy as és 34 harmadik koordinátája 0, ezért harmadik bázisvektornak egyi­kük sem vonható be. Ezek szerint A oszlopvektorai közül csak kettő vonható be a bázisba, azaz csak két hneárisan független vektor van az oszlopvektorok között, ezért a mátrix rangja ^(A) = 2.

Természetesen ugyanerre az eredményre jutunk, ha az A mátrix sorvektorterének a dimenzióját határozzuk meg. Hogy a táblázatot a szokásos elrendezésben vehessük fel, az A mátrix a \ a^, a sorvektorait oszlopokba írtuk. Az elemi bázistranszformá­ciókat mutató táblázat most:

3^ a^ 3^ 3^ 3^ 3^

3 ^ [T 0 1 0 1 13^ 2 1 0 [T - 2 - 2

3 1 1 1 - 2 04 1 2 1 - 2 0

A táblázat utolsó oszlopából már kiolvasható, hogy a sorvektorok között is csak két független vektor található, ezért q( \ ) = 2.

Mind a két esetben a vektorokat indexük sorrendjében kíséreltük meg bevonni a bázisba. A sorrend természetesen tetszőleges lehet, de egyszerűsíti a számításokat, ha a generáló elemet 1-nek választjuk.

92

Most a gyakorlás érdekében mind a sorvektorok, mind az oszlopvektorok bevoná­sára más sorrendet is mutatunk.

Az oszlopvektorok esetében

ai 32 aa a4 a2 a3 32 84

1 2 3 4 2 2 2 0 0

aa 0 1 1 1 1 1 1 1 1

ai 0 1 2 0 1 2 - 1 1

a sorvektorok esetében

a a a a'i a

a^ 1 0 1 1 r 1

2 1 0 - 2 - 2 0

3 1 1 - 1 - 1 0

a^ 4 T 2 4 2 2

2.3.6 A mátrix inverzének meghatározása elemi bázistranszformációkkal

A 2.2.10 pontban láttuk, hogy az «-edrendű nem szinguláris A mátrix A“ ^-gyel jelölt inverz mátrixa az az «-edrendű mátrix, amelyre

A“ ‘A = AA“ ‘ = E.

Az AA“ = E egyenlőség azt jelenti, hogy az E egységmátrix e; (í= 1, 2, . . . ,«) oszlopvektorai előállithatók az A mátrix a; (i = 1, 2 , oszlopvektoraiból. Ezt elérhetjük olyan elemi bázistranszformációkkal, amelyekkel az E mátrix egységvekto­rai helyébe rendre bevonjuk az ai, a2, a„ vektorokat. Ekkor ugyanis az e; egység­vektorok kifejezhetők az a,- (/= 1, 2, . . . ,«) vektorok lineáris kombinációjaként.

Az eljárás egyes lépéseit konkrét példán mutatjuk meg.Határozzuk meg az

’l 2 3‘A = 2 4 5

3 5 6

mátrix inverz mátrixát!

93

A 2.2.10 pont 2. példájában már láttuk, hogy A nem szinguláris, ezért A inverz mátrixa létezik.

Az elemi báziscseréket mutató táblázatunk oszlopaiban az egységvektorok is szere­pelnek, hiszen éppen arra vagyunk kíváncsiak, hogy ezek hogyan fejezhetők ki az A mátrix oszlopvektoraival. Az induló táblázatunk (most még nem használjuk a rövidí­tett változatot):

bázis 3l »2 33 Cl 62 C3

Cl 1 2 3 1 0 0

62 2 4 5 0 1 0

63 3 5 6 0 0 1

Vonjuk be a bázisba az Ci helyére az ai vektort! A generáló elem 1. Vonjuk le az első sor elemeinek kétszeresét a második, háromszorosát a harmadik sor megfelelő elemeiből! Ekkor

bázis ai 32 aa11 Cl1 62 63

ai 1 2 3 1 0 0

62 0 0 - 1 1 -21

1 0

63 0 - 1 - 3 1-31

0 1

Most vonjuk be a bázis ea vektora helyébe az 03 vektort! (Az 82 vektor ebben a helyzetben nem vonható be az 62 helyébe, mert a generáló elem 0.) A generáló elem — 3. Osszuk el ezzel a táblázat harmadik sorának elemeit! A kapott sort hozzáadjuk a második sorhoz, háromszorosát kivonjuk az első sorból. Ekkor

Végül az 32 vektort vonjuk be a bázisba az 62 vektor helyébe. Most ez lehetséges,

mert a generáló elem - . Az előzőekhez hasonló számításokkal

94

bázis ai 32 83 Cl 62 C3

Hl 1 0 0 1 - 3 2

32 0 1 0 - 3 3 - 1

03 0 0 1 ' 2 - 1 0

Célunkat elértük, az ei, 62, 63 vektorokat kifejeztük az ai, 02, 83 vektorokkal, A inverz mátrixa a táblázatból leolvasható:

1 - 3 2‘A-^ - - 3 3 - 1

2 - 1 0

(Vő. a 2.2.10 pont 2. példájával!)Számításainkat áttekintve azt látjuk, hogy táblázataink lényegesen egyszerűsithe-

tők, ha csak a feltétlenül szükséges oszlopokat írjuk le. Például a még vagy már egységvektorokat tartalmazó oszlopokat nem tüntetjük fel. Előző táblázataink e megállapodásnak megfelelően a következőképpen festenek. Az induló táblázat:

A többi sorrendben

ai »2 83

Cl [T 2 3C2 2 4 563 3 5 6

Cl 02 83

ai 1 2 3C2 - 2 0 - 163 - 3 - 1 - 3

Cl 32 63

ai - 2 1 11 l

62 - 1 3 3l 1

»3 - 1 3 ” 3

Cl C2 63

ai 1 - 3 2- 3 3 - 1

83 2 - 1 0

95

Az ai, H2, 33 vektorokatprimálváltozóknak szokás nevezni és az xi, X2, X3 szimbó­lumokkal jelölni, az Cl, 62, €3 vektorokat duálváltozóknak szokás nevezni és az ui, ui, «3 szimbólumokkal jelölni.

A mátrix invertálásakor a prímái- és a duálváltozók szerepet cserélnek.Az inverz mátrix kiszámításakor elemi bázistranszformációk segítségével az eredeti

Cl, C2 ,63 bázisvektorokat (tehát az összest) kicseréltük az ai, a2, as bázisvektorokkal, és az eredeti és az új bázisvektorok kapcsolatát az A“ mátrix adja meg. Ezért az A" ‘ mátrixot a báziscsere mátrixának is szokás nevezni.

Ha az elemi bázistranszformációk során nem az azonos indexű bázisvektorokat (változókat) cseréljük fel egymással, akkor az eljárás végén nem az inverz mátrixot kapjuk meg. Alkalmas, az utolsó táblázatból leolvasható sorcserével (oszlopcserével) azonban e mátrixból is megkapható az inverz mátrix.

Gyakorlásképpen ismét határozzuk meg az előbbi A mátrix inverzét, de most ne csak azonos indexű változókat cseréljünk fel!

Az alábbiakban mind a részletes, mind a rövidített táblázatokat az összehasonlítás kedvéért egymás mellett közöljük.

3i 32 3 3 Cl 62 63 Xl X2 X3

Cl T 2 3 1 0 0 Ml \ T 2 362 2 4 5 0 1 0 Uz 2 4 5C3 3 5 6 0 0 1 U3 3

Ml

5

X2

6

•X3

ai 1 2 3 1 0 0 Xl 1 2 3C2 0 0 - 1 - 2 1 0 U2 - 2 0 - 163 0 - 1 - 3 - 3 0 1 M3 - 3

Ml

- 1

X l

- 3

M2

ai 1 2 0 - 5 3 0 Xl - 5 2 333 0 0 1 2 - 1 0 X3 2 0 - 1C3 0 - 1 0 3 - 3 1 U3 3

Ml

- 1

M3

- 3

M2ai 1 0 0 1 - 3 2 Xl 1 2 - 333 0 0 1 2 - 1 0 X3 2 0 - 132 0 1 0 - 3 3 - 1 X2 - 3

Ml

- 1

Ul

3

M3

ai 1 0 0 1 - 3 2 Xl 1 - 3 232 0 1 0 - 3 3 - 1 X2 - 3 3 - 133 0 0 1 2 - 1 0 X3 2 - 1 0

96

Az utolsó lépésben már csak a változókat hoztuk természetes sorrendbe, hogy az inverz mátrix közvetlenül leolvasható legyen.

A mátrix szingularitásának vizsgálatával nem kell feltétlenül a feladat elején foglal­koznunk, mert eljárásunk során az is kiderül, hogy az adott mátrix szinguláris-e vagy sem.

Tekintsük például az

A =2 - 3 - 4

- 1 7 23 1 - 6

mátrixot! Keressük meg az inverzét!Elemi bázistranszformációkat alkalmazva a következő táblázatokat Írhatjuk fel.

Most is mind a részletes, mind a rövidített táblázatokat feltüntettük.

3i 32 33 Cl 62 63 Xi X l X3

Cl 2 - 3 - 4 1 0 0 Ml 2 - 3 - 4ez - 1 7 2 0 1 0 U2 - 1 7 263 3 1 - 6 0 0 1 m 3

U2

1

X l

- 6

X3

Cl 0 11 0 1 2 0 Ui 2 11 0ai 1 - 7 - 2 0 - 1 0 Xí - 1 - 7 - 263 0 22 0 0 3 1 m 3 22 0

11 «2 Ml X3

1 2 2 182 0 1 0 0 Xl 0

TI TI iT I I7 3 3 7

ai 1 0 - 2 0 Xl - 2TI TI TI I I

63 0 0 0 - 2 - 1 1 m - 1 - 2 0

Az utolsó táblázatokból már látható, hogy az aa (ill. xa) már nem vonható be a bázisba, mert a generáló elem 0. Ebből következik, hogy az ai, »2, as oszlopvektorok lineárisan függők (az A mátrix rangja 2), ezért az A mátrix szinguláris, inverze nem értelmezhető.

97

2.4 A mátrixok néhány alkalmazása

2.4.1 Termelési összefüggések leírása mátrixokkal

A termelési és gazdasági folyamatok, illetve azok egyszerűsített, de a folyamatok lényeges elemeit tartalmazó képe sok esetben leírható a matematika eszközeivel. A termelési modellhez hozzárendelhetünk egy matematikai modellt úgy, hogy a termelési modell kategóriáinak mennyiségeket, a kategóriák közötti összefüggések­nek matematikai kifejezéseket feleltetünk meg. A matematikai modellben ismert és ismeretlen mennyiségek szerepelnek. Egy jól megválasztott modellben az ismeretlen mennyiségek - ha egyáltalában létezik megoldás - meghatározhatók az adott mennyi­ségek segítségével. A kapott adatok értékes információk a termelési és gazdasági folyamatok elemzéséhez, a döntések megalapozásához.

Az elmondottak szemléltetésére néhány fogalmat vezetünk be.Tekintsünk egy üzemet. Jelöljön Ti, Tx, ..., Tm egy-egy, az üzem által gyártott

terméket. A gyártáshoz Ei, Ej, ..., E„ erőforrás (nyersanyag) szükséges. Az egyes termékegységekre vonatkozó ráfordításokat, az ún. technológiai együtthatókat a kö­vetkező táblázat mutatja:

T i T 2 ... Tm

E l a i i a i 2 ü lm

E l 0 2 1 a i i d2m

Én (^n\ an2 Uftm

Uij jelenti azt a ráfordítást, amely az £’,• erőforrásból egységnyi Tj előállításához szükséges.

A táblázatban feltüntetett számadatok a technológiai mátrixot adják:

ö n Ű12 Ű21 Ö22

Cllma i m

Clnm

A mátrixnak annyi sora van, ahány erőforrással rendelkezünk, és annyi oszlopa, amennyi a termékek száma.

Ha az üzemnek a Ti, T2, ..., T„ termékekből rendrep i , p 2, . . . , P m egységnyit kell előállítania, ezt a feladatot a

P = [PúPi;

98

oszlopvektorral adjuk meg, amit programvektornak vagy programmátrixnak nevez­nek.

Az Mp, szorzat az adott termelési program erőforrás- (nyersanyag-) szükségletét mutatja, erőforrások szerinti bontásban.

A rendelkezésre álló erőforrások adatait tartalmazó

\i = [ kú k 2,...-,k„]*

oszlopvektort kapacitásvektornak nevezik.Az egyes erőforrások egységárait tartalmazó

a* = [űi; a z , a„]

sorvektort árvektornak szokás nevezni. Ezekkel az adatokkal a termelési program anyagköltsége

K=a*Mf.

Az a*M mátrix az egyes termékek egységére eső ún. fajlagos anyagköltséget adja meg.

Ha az egyes termékek egységeinek eladásából az üzemnek bi, bi, ..., bm bevétele vari, akkor ezt a b* = [bi, bi, í>m] sorvektorral, az ún. bevételvektorral írhatjuk fel. Ekkor az üzemnek

5=b*p

bevétele származik, ha a p programvektor szerinti termelést teljesíti.A B és K egybevetése a termelés gazdaságossági vizsgálatainak az alapja.Tegyük fel, hogy egy vállalat n ágazatból áll és az egyes ágazatok bizonyos időszak­

ban rendre

bú 62; b„

értéket állítanak elő. A

h^[b i;b 2;...;b„]*

oszlopvektor az ún. bruttó kibocsátás vektora. Ha az ágazatok által felhasznált értékeket egy A = [űy] mátrixszal (az ágazati kapcsolatok mátrixával) jellemezzük, ahol az ay elem azt jelenti, hogy az /-edik ágazat termelt értékéből mennyi szükséges a y-edik ágazat egységnyi termeléséhez, akkor az

Ab

szorzatmátrix a termelői fogyasztás vektora, melynek komponensei rendre egy-egy

99

ágazat termelt értékéből az összes ágazat termeléséhez szükséges felhasználást adják meg. A bruttó kibocsátás és a termelői fogyasztás vektorának különbsége:

b - A b = Eb- Ab = (E -A )b = n,

a nettó kibocsátás vektora. Az

(E-A )b = n

egyenletet az ágazati kapcsolatok mérlegegyenletének szokás nevezni.Sokszor azonban nem a nettó termelésre vagyunk kíváncsiak, hanem előirt n nettó

kibocsátáshoz kell a b bruttó kibocsátást meghatároznunk. Ehhez szükséges, hogy az E — A mátrix reguláris mátrix legyen, vagyis inverze létezzék. Ekkor ugyanis

( E -A) - HE -A) b = ( E - A) - i n

alapján

b = ( E - A ) - ‘ii.

Az (E —A)~‘ mátrixot szokás a teljes szükséglet mátrixának nevezni, és T-vel jelölni.

Kidolgozott példák

1. Példa. Egy üzem három erőforrás segítségével négyféle terméket készit. Egy termék előállításához az egyes erőforrásokból a következő mennyiségek szükségesek:

Ty T2 ^3 T,

E, 1 3 2 4E2 0 2 3 3Ez 2 1 1 2

Legyen az egyes erőforrások kapacitása rendre 450, 400 és 300 egység, egységára10, 12, 8 egység. A termékekből rendre 40, 25, 60, 50 darabot kívánunk gyártani és azokat darabonként rendre 30, 60, 70, 90 egységért értékesíteni.

írjuk fel adatainkat mátrixok segítségével! Számítsuk ki a tervezett termelés erőfor­rás-szükségletét, fajlagos anyagköltségét, anyagköltségét, bevételét! Gazdaságos-e ez a tervezett termelés?

Megoldás. A technológiai mátrix, a programvektor, a kapacitásvektor, az árvektor és a bevételvektor rendre

100

1 3 2 A 40"2560

450'M = 0 2 3 3 , P = , k = 400

2 1 1 2 30050

a* = [10; 12; 8], b* = [30; 60; 70; 90],

A tervezett termelés erőforrás-szükséglete

Mp =1 3 2 4' 0 2 3 32 1 1 2

'40'256050

435'380265

Ennek elemei a kapacitásvektor megfelelő elemeinél rendre kisebbek, tehát a termelés végrehajtható. A fajlagos anyagköltség

a*M = [10; 12; 8]

A termelés anyagköltsége

' 1 3 2 4 0 2 3 3 2 1 1 2

= [26; 62; 64; 92],

K = (a*M)p = [26; 62; 64; 92]

40'256050

= 11 030,

vagy

K = a*(Mp) = [10; 12; 8]

egység. A bevétel

5 = b*p = [30; 60; 70; 90]

435380265

'40'256050

= 11 030

= 11400

egység. A termelés kifizetődő, mert B - K = 370 > 0.Az a*M és b* vektorok összehasonlításából az is azonnal látszik, hogy az üzem a

második és negyedik termékét veszteséggel értékesíti.

101

2. Példa. Egy üzem három nyersanyagból (legyenek Ni, Ni, Nz) az első munkacik­lusban három félkészterméket (ezek Fu Fi, F^) állít elő, majd ezekből a második ciklusban három végterméket (ezek Vi, V2, F3). Az anyagfelhasználást az alábbi séma mutatja. A vonalakra írt számok a szükséges fajlagos anyagmennyiséget jelentik.

Például az Ni-et és F2-t összekötő vonalon levő 5-ös azt jelenti, hogy egy egység F2 előállításához 5 egység A i-re van szükség.

Határozzuk meg a nyersanyagszükségletet és az anyagköltséget, ha a programvek­tor, ill. árvektor

P =100'

200300

a* = [10; 20; 15].

Megoldás. A táblázatból könnyen leolvasható, hogy az első munkaciklus technoló­giai mátrixa

Ml =1 5 0'3 4 1 0 2 3

ahol most az oszlopvektorok az egyes félkésztermékek fajlagos anyagszükségletét jelentik; a második munkaciklus technológiai mátrixa

M2 =2 1 0‘

3 6 4 0 3 2

amelynek egyes oszlopvektorai egy-egy végtermék félkésztermék-szükségletét mutat­ják.

A teljes gyártás technológiai mátrixa az M 1M2 mátrix; a teljes anyagszükséglet

M 1M2P.

102

A szorzást elvégezve:

Ml =

2 1 0 100M2 = S 6 4 200

0 3 2 300

1 5 0 17 31 20 13 9003 4 1 18 30 18 13 2000 2 3 6 21 14 9 000

4 11 4 41 82 52

= P

= M 1M 2P.

Vagyis A^i-ből 13 900, # 2-ből 13 200, A3-ból 9000 egység szükséges a kívánt mennyiségű végtermék előállításához.

A tervezett termelés anyagköltsége

a*(MiM2p) = [10; 20; 15]13 900' 13 200 9 000

= 538 000

egység.3. Példa. Tekintsünk három iparágazatot. Az egyes ágazatok összes igényét, vala­

mint teljes termelését az egyes időszakra az alábbi táblázat tartalmazza (millió forint­ban):

Ágazat 1 2 3 Teljes termelés

1 240 72 140 8002 80 264 180 6003 - 120 400 i'ooo

Az első sor például azt jelenti, hogy az első ágazat teljes termeléséből (800 mil­lió Ft) az első ágazat 240 millió, a második 72 millió, a harmadik ágazat 140 millió Ft értékű terméket használ fel.

írjuk fel az ágazati kapcsolatok mátrixát! Mekkorának kell lennie a bruttó terme­lésnek, ha azt akarjuk, hogy a nettó kibocsátás vektora

n = [200; 500; 800]*

legyen?Megoldás. Az ágazati kapcsolatok mátrixának elemeit megkapjuk, ha az egyes

ágazatok szükségleteit elosztjuk az illető ágazat teljes termelésével. így

103

240 72^11 “ ~ 0,30; qh — 7;^ — 0,12;800

80

0"31 = — = 0;

600 264

= 655 “120

^32 ~ ~ 0,20;800 600

Az ágazati kapcsolatok mátrixa tehát a következő:

1*0■ 1 S 5 '

400^33 = TTTT = 0,40.

140

1000

0,30 0,12 0,14'A = 0,10 0,44 0,18

0 0,20 0,40

A keresett b kiszámításához először az E -A mátrixra van szükségünk:

'1 0 0' 0,30 0,12 0,14' 0,70 -0 ,12 -0 ,14’E -A = 0 1 0 0,10 0,44 0,18 = -0,10 0,56 -0,18

0 0 1 0 0,20 0,40 0 -0,20 0,60

Az E - A mátrix inverzének meghatározását báziscserével végezzük el. Az egyes lépéseket rögzítő táblázatok:

^2 ^3

Ml 0,70 -0 ,12 0,14«2 -0 ,10 0,56 0,18M3 0 -0 ,20 0,60

U2 ^ 2 ^ 3

Ml 1 3,8 -1,4Xi - 1 0 -5 ,6 1,8Ma 0 -0 ,20 0,6

«2 M3 ^ 3

Ml 7 19 10Xi - 1 0 - 2 8 15X2 0 - 5 - 3

«2 «3 Ml

X 3 0,7 1,9 0,1Xi 0,5 0,5 1,5X2 2,1 0,7 0,3

104

Ebből (az oszlopokat és sorokat természetes sorrendbe rakva) az inverz mátrix leolvasható:

4,50,30,1

0,52,10,7

0,50,71,9

A bruttó kibocsátás vektora tehát:

'1,5 0,5 0,5' 200' ■ 950'b = 0,3 2,1 0,7 500 = 1670

0,1 0,7 1,9 800 1890

Ez azt jelenti, hogy az első ágazatnak 950 millió, a másodiknak 1670, a harmadik­nak 1890 millió forint értékű árut kell termelnie ahhoz, hogy a fogyasztásra (nettó kibocsátás) ágazatonként rendre 200, 500, 800 millió forint értékű áru jusson.

4. Példa. Legyen három népgazdasági ágazat ágazati kapcsolatainak mátrixa

0,20 0,10 0,25 ■ 0,10 0,05 0,125 0,12 0,11 0,275

Tegyük fel, hogy az egyes ágazatok termelésükhöz rendre termelt értékük 10%-, 30%-, 25%-ának megfelelő importot használnak fel. Ha azt akarjuk, hogy az egyes ágazatok rendre 200,100, 220 millió forint értékű árut adjanak át a lakosság fogyasz­tása céljára, akkor mekkora értékű importról kell gondoskodnunk?

Megoldás. Először a bruttó kibocsátás vektorát határozzuk meg:

Esetünkben

E - A =

b = ( E - A ) i | i

0,80 -0,10 -0,25 ■ -0,10 0,95 -0,125 -0 ,12 -0,11 0,725

az ( E-A) ‘ mátrixot pedig elemi báziscserékkel határozzuk meg. A számításokat mutató táblázatok:

105

Xi X2 ^3

Ml 0,80 -0,10 -0,25«2 -0,10 0,95 -0,125«3 -0,12 -0,11 0,725

Xi Ml •X3

X2 - 8 -1 0 2,5U2 7,5 9,5 -2 ,5m - 1 - 1,1 1

Xi Ml M3

X2 -5 ,5 -7,25 -2 ,5U2 6,75 2,5

-1 -1,1 1

U2 Ml M3

X2 1,1 0,175 0,25Xí 0,2 1,35 0,5x^ 0,2 0,25 1,5

A változókat természetes sorrendbe rakva;

Ui M2 M3

Xl 1,35 0,2 0,5X2 0,175 1,1 0,25 ,X3 0,25 0,2 1,5

az inverz mátrix közvetlenül leolvasható.Ennek segítségével a bruttó kibocsátás vektora

1,35 0,20 0,50' 0,175 1,10 0,25 0,25 0,20 1,50

200'

100220

400'200400

Az ágazatok importszükséglete az

i* = [0,10; 0,30; 0,25]

mátrixszal adható meg, ennélfogva a szükséges import:

106

/ = i*b = [0,10; 0,30; 0,25]'400‘200400

= 200,

azaz 200 millió forint értékű importról kell gondoskodnunk.

2.4.2 Lineáris egyenletrendszerek megoldása

A lineáris algebra tárgykörének egyik központi kérdése a lineáris egyenletrendsze­rek megoldása és a megoldási módszerek alapelveinek tárgyalása. Az alábbiakban megvizsgáljuk egy lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának feltételeit, és mód­szert adunk a megoldás megkonstruálására. A megoldási módszer alapjaként az elemi bázistranszformációt tekintjük.

D efiníció . AzaiiXi + ai2X2 + + = bi,a2 i,Xí + Ü22X2 + ■■■ + a2r.Xn = í>2,

amlXi + a„2X2 + ■■■ + amnXn = bm

egyenletek halmazát, ahol X jsR (J = 1, 2, ..., n) az ismeretleneket, űyeR (/ = 1, 2 ,..., w) (/ = 1 ,2 ,..., n) az ismeretlenek együtthatóit jelentik, és a - k valós számok, lineáris egyenletrendszernek nevezzük.

Ha a bi számok mindegyike zérus, akkor a lineáris egyenletrendszer homogén, ellenkező esetben inhomogén.

Az egyenletrendszer együtthatóiból alkotott

A(m • n)

üli a\2 a2í a22

Clml Clml

ainCl2n

mátrixot az egyenletrendszer együtthatómátrixának nevezzük.Ha bevezetjük az

X = [xi; X2 , ...; x„]* és b = [bü b2, ...; 6™]*

oszlopmátrixokat, akkor a lineáris egyenletrendszer röviden a következő mátrix­egyenlettel írható le:

Ax = b.

107

Az Ax = b mátrixegyenletet megoldani annyit jelent, mint meghatározni mindazon X vektorokat, amelyek eleget tesznek az egyenletnek. Ez pedig nem jelent mást, mint az A mátrix oszlopvektorainak azokat a lineáris kombinációit megkeresni, amelyek a b vektort állitják elő.

Amennyiben ilyen x vektor, illetve x vektorok léteznek, ezek egy halmazt, az ún. megoldáshalmazt alkotják. Jelölje a megoldáshalmazt M, akkor

M = {x I Ax = b}.

Az M halmaz nem üres, ha b benne fekszik az A oszlopvektorai által generált altérben. Ezt úgy is kifejezhetjük, hogy az

A = [ai,32,

és a

B = [a i ,32 , ..., a„,b]

bővített mátrixra teljesül a

e(A)=e(B)

feltétel. Az elmondottakat a következő tétel rögzíti:

T é t e l . A z

anXi + ai2X2 -\- ... + UinXn = bi

(i = 1 ,2 ,..., m) lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor oldható meg, ha a B bővített mátrix rangja egyenlő az A mátrix rangjával.

Bizonyítás. Először belátjuk, hogy a feltétel szükséges. Legyen az Ax = b egyenlet­rendszer megoldható. A lehetséges megoldást jelölje az m = [mi, m i , ..., m„]* vektor. Ezt a mátrixegyenletbe helyettesítve azonosságot kapunk; Am = b, és ez így is írható:

Aniai+m2a2 + ... + m„a„ = b.

Eszerint az (w • («+ 1)) típusú B bővített mátrix utolsó oszlopa kifejezhető a többi oszlopának lineáris kombinációjaként. Mivel a B mátrix első n oszlopa az A mátrixot adja, ez azt jelenti, hogy B utolsó, («+ l)-edik oszlopa előállítható A oszlopvektorai­nak Uneáris kombinációjaként. Ebből következik, hogy B rangja megegyezik A rang­jával.

Most belátjuk, hogy a feltétel elegendő.

108

Legyen most ismeretes, hogy e(A) = e(B). Eszerint az A mátrix oszlopvektoraiból kiválasztható maximális számú lineárisan független vektor a B mátrixban is lineárisan független marad. Ezért B utolsó oszlopa felírható A oszlop vektorainak lineáris kom­binációjaként, vagyis léteznek olyan mi, mz, számok, amelyekkel A oszlopvek­torait megszorozva, és a kapott vektorokat összegezve b-t kapjuk:

miSíi + m23t2 + - b.

Ezért az m = [mi,m2, vektor koordinátái az egyenletrendszer megoldásátadják, vagyis a ^(A) = (B) egyenlőségből következik az egyenletrendszer megoldha­tósága. Ezzel a bizonyítást befejeztük.

D efiníció . Ha e(B) = e(A), akkor azt mondjuk, hogy a b vektor kompatíbilis az A mátrix oszlopvektoraira nézve.

Ha a e(A) = ö(B) egyenlőség egy lineáris egyenletrendszerre nem teljesül, akkor az egyenletrendszernek nincs megoldása, az egyenletrendszer ellentmondó. Ezt úgy is mondjuk, hogy a b vektor nem kompatibilis az A mátrix oszlopvektoraira nézve.

Ha a lineáris egyenletrendszer ismeretleneinek száma n, akkor a tanultak szerint az A együtthatómátrix rangja ^(A) ■^n.

Bizonyítás nélkül közöljük a következő tételt:

T étel . Ha az Ax = b egyenletrendszerre Q{A) = Q{B) = n, akkor az egyenletrend­szernek egyértelmű megoldása van. Ha e(A) = g(B) = r < n, akkor az egyenlet­rendszernek n — r = s számú szabadon választható értéktől függő végtelen sok megoldása van. Az s természetes szám az egyenletrendszer szabadságfoka.

A lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának a megállapítása még nem ad mód­szert a megoldás megkeresésére. A megoldás megkeresésére több (és sokféle formában leírható) módszer létezik. Mi a megoldás megkeresését az elemi bázistranszformációk­ra alapozzuk, és kihasználjuk, hogy a kompatibilitási kérdés megvizsgálása és a megoldás megkeresése így összekapcsolható.

Megjegyezzük, hogy abban a speciáhs esetben, amikor az A együtthatómátrix négyzetes mátrix (az ismeretlenek száma megegyezik az egyenletek számával) és egyúttal nem szinguláris (rangja egyenlő az ismeretlenek számával, vagyis szabadság- foka 0), akkor az

Ax = b

egyenlet egyetlen megoldása közvetlenül az

x = A“ b

alakban írható fel. Ez az ún. Craw^r-szabály.

109

Az inverz mátrix meghatározása történhet elemi bázistranszformációk segitségével, ekkor ugyanazokat a számításokat kell elvégezni, mint amelyek a kompatibiUtási vizsgálathoz szükségesek. Ha viszont az inverz mátrixot a 2.2.10 pontban leírtak szerint az A mátrix determinánsa és adjungáltja alapján számítjuk, akkor külön meg kell vizsgálnunk a kompatibilitást, és ha det A # 0, akkor a Cramer-szabály a követke­ző alakban írható:

Xi =det Ai det A

(/■ = 1,2,

ahol Ai azt a mátrixot jelenti, amelyet úgy kapunk, hogy az A mátrix i-edik oszlopá­nak elemei helyébe a b oszlopvektor elemeit tesszük.

Ha az Ax = b egyenletben b = 0, vagyis az egyenletrendszer homogén, akkor azonnal látszik, hogy az x = 0 vektor az egyenletrendszer megoldása, tehát nyilvánvaló, hogy az

M = {x I Ax = 0}

halmaz nem üres. Az xi = 2 = ... = x„ = 0 megoldás a homogén lineáris egyenletrend­szer triviális megoldása.

A homogén egyenletrendszer esetében ezért fölöslegessé válik a kompatibilitás vizsgálata, de nem hagyhatjuk el az együtthatómátrix r rangjának a meghatározását, mert e nélkül nem tudjuk megállapítani a rendszer szabadságfokát. Ha r = «, azaz az egyenletrendszer szabadságfoka 0, akkor a homogén egyenletrendszer egyetlen meg­oldása a triviális megoldás, ha r<n, akkor a homogén egyenletrendszernek van a triviálistól különböző megoldása is, mégpedig végtelen sok, és a szabadon megvá­lasztható ismeretlenek száma s = n - r , a szabadságfok értéke. Ha A négyzetes mát­rix, és r < «, akkor az A mátrix szinguláris, vagyis det A = 0. Annak szükséges feltétele tehát, hogy az n számú ismeretlent tartalmazó és ugyanennyi egyenletből álló homo­gén egyenletrendszernek legyen a triviálistól különböző megoldása az, hogy det A = 0.

Az egyenletrendszerek megoldásához vezető lépéseket az egyszerűség kedvéért számpéldákon keresztül mutatjuk be.

1. Adjuk meg a következő egyenletrendszer megoldását:

2^1-3x2+ = “ 1,Xi —2x2 —3x3 = 6,

3jCi+ X 2 + X3 = 5.

Annak eldöntésére, hogy van-e olyan x = [xi; X2; X3]* vektor, amelynek koordiná­tái kielégítik az adott egyenletrendszert, meg kell vizsgálnunk, hogy ab = [ — 1; 6; 5]* vektor kompatíbilis-e az

A =2 - 3 1‘ 1 - 2 - 33 1 1

110

együtthatómátrix oszlopvektoraira nézve. Ehhez ki kell számítanunk az A és a bőví­tett B mátrix rangját. Az egyes elemi bázistranszformációk elvégzéséhez szükséges számításokat ismét táblázatokba foglaljuk. Most azonban az A mátrix oszlopvekto­rainak szimbólumai helyére a megfelelő ismeretleneket írjuk a táblázatokba. A számí­tások jobb követése érdekében most még nem a rövidített változatot választjuk.

1 ^2 ^3 b-

Cl 2 - 3 1 - 1C2 1 - 2 - 3 6«3 3 1 1 5

Cl - 1 - 4 0 - 6«2 10 1 0 213 3 1 1 5

Cl 39 0 0 78• 2 10 1 0 21^3 - 7 0 1 - 1 6

1 0 0 2^2 0 1 0 1^3 0 0 0 - 2

Az utolsó táblázat S?erint b kompatíbiUs az A mátrix oszlopvektoraira nézve, mert

b = 2ai + a2-2a3,

ezért az egyenletrendszernek van megoldása. Mivel az A mindegyik oszlopvektorát sikerült bevonnunk a bázisba, ezért ^(A) = 3, és a kompatibilitás miatt egyúttal e(B)=?3. Minthogy az ismeretlenek száma n = 3, ezért egyértelmű megoldás van. A megoldás az utolsó oszlopból kiolvasható:

Xi = 2; X2=l; X 3= -2 .

Könnyen belátható, hogy az Ax = b egyenletrendszer ezzel a számhármassal valóban teljesül, mert

'2 - 3 1 1 - 2 - 3 3 1 1

Ha az egyenletrendszert a Cramer-szabály determinánsos alakját felhasználva óhajtjuk megoldani, akkor a következőképpen járunk el:

2 ■ - f1 = 6

- 2 5

111

Mivel A négyzetes mátrix, és

det A =- 3 1 - 2 - 3

1 1= 39#0,

ezért a Cramer-szabály alkalmazható. Minthogy b = [— 1; 6; 5]*, ezért

det Ai165

- 3- 2

1= 78,

det A2

de! A3 =

2 - 1 1 1 6 - 3 3 5 1

2 - 3 - 1 1 - 2 6 3 1 5

= 39,

= -7 8 ,

es Így

_ det A2 _ 39 _ ~ det A

det A3 - 78det A 39 = - 2,

amint azt az előbb is láttuk.Vegyük észre azt is, hogy az A mátrix determinánsának az értéke (39) a bázistransz­

formációhoz felhasznált generáló elemek szorzatával (I I- 39) egyenlő, ami általá­ban is igaz. Ez a tény lehetővé teszi, hogy egy determináns értékét az eddigiektől eltérő módszerrel is meghatározhassuk.

2. Oldjuk most meg a következő egyenletrendszert:

X1 + X2 + X3 = 1,8x 1 —X2 + 2X3 = 0,

25X1 — 2X2 + 7X3 = 1.

Először megvizsgáljuk, hogy ab = [1; 0; 1]* vektor kompatibilis-e az A oszlopvek- toraira nézve.

A szükséges elemi bázistranszformációk az alábbi táblázatokban találhatók:

112

Az utolsó táblázat már mutatja, hogy A-nak kettőnél több oszlopvektora nem vonható be a bázisba, tehát e(A) = 2. (Ez a táblázatban úgy jelentkezik, hogy abban a sorban, amelyben az A transzformáit elemeire csupa zérust kaptunk, a b oszlopvek­tor eleme is 0.) A b vektor kompatibilis A mátrix oszlopvektorterére nézve, mert

1 8

Ezért az egyenletrendszer megoldható.Mivel az ismeretlenek száma n = 3ésr = q{A) = 2, ezért végtelen sok megoldás van.

A szabadságfok s ^ n - r = 1, vagyis egy ismeretlen szabadon választható. Legyen ez például a harmadik ismeretlen (jelöljük most í-vel), akkor az utolsó táblázatból

1 13 “ 9 ’2 8

és ebből1 I

8 2 íe R .

X3 = t,

Behelyettesitéssel a megoldás helyessége ellenőrizhető.

l.i

A megoldás során az lényegtelen volt, hogy az elemi bázistranszformiiciókat éppen ebben a sorrendben hajtottuk végre. A megoldás során most az serr volt lényeges, hogy éppen a harmadik ismeretlent választottuk szabadon (ez nem mindig van így,1. a 4. példát!); de célszerű volt, mert ekkor a második és első ismeretlen megadása a táblázat alapján egyszerű volt. Ha valami oknál fogva egy másik, például a második ismeretlent lett volna szükséges szabadon megválasztani (paraméternek tekinteüi), akkor w-val jelölve a paramétert a táblázatból az

1

92 8

"+ 3 '3 = ,

összefüggések írhatók fel, és ezekből (az előzőnél hosszabb számítással)

1 ]

4 3X3 = 3 - -2 » .

3. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

Xi — 5x2 +9^3 = — 1,3 x i— ,x:2 + 5x3 = 1,Xi + 2x2 —2x3 = 2.

Először azt vizsgáljuk meg, hogy a b = [ - 1; 1; 2]* vektor kompatíbilis-e az együtt­ható mátrix oszlopvektoraira nézve.

Az elvégzett elemi bázistranszformációkat a következő táblázatok mutatják;

114

Az utolsó táblázat utolsó sora mutatja, hogy A alapvektorai közül kettőnél több nem vonható be a bázisba (e(A) = 2), de b ezekkel nem fejezhető ki (utolsó koordiná­tája 1), ezért b nem kompatíbilis A oszlop vektoraira nézve, vagyis az egyenletrend­szernek nincs megoldása, az egyenletrendszer ellentmondó.

Az ellentmondás közvetlenül is ellenőrizhető. Például ha a második egyenlet megfe­lelő oldalaiból kivonjuk a harmadik egyenlet megfelelő oldalainak a kétszeresét, akkor

X j — 5 X 2 + 9.X3 = — 3 ,

és ez az egyenlet ellentmond az egyenletrendszer első egyenletének.4. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

X j - X 2 + X 3 “ 4 ,

X i + 2 x 2 + X 3 = 1 3 ,

2 x i + 4 x 2 + 2 x 3 = 2 6 ,

4 x ' i + 5 x 2 + 4 x 3 = 4 3 .

A kompatibilitási vizsgálathoz szükséges elemi bázistranszformációkat a következő táblázatokban foglaltuk össze:

Xi ^ 2 ^3 b

Cl T - 1 1 4C2 1 2 1 1363 2 4 2 2664 4 5 4 43

Xi 1 - 1 1 4©2 0 3 0 963 0 6 0 1864 0 9 0 27

Xi 1 0 l 7^ 2 0 1 0 3«3 0 0 0 0

64 0 0 0 0

Az utolsó táblázat mutatja, hogy A kettőnél több oszlopvektora nem vonható be a bázisba (e(A) = 2), és b kifejezhető e kettővel

b = 7ai + 3a2.

Ez azt jelenti, hogy b kompatíbiUs A oszlopvektoraira nézve, tehát az egyenletrendszer megoldható. Mivel n = 3, r = 2, ezért a szabadságfok s = n — r — 1, vagyis egy isme­

115

rétién szabadon választható. A második sor mutatja, hogy ez nem lehet a második ismeretlen, mert X2 = 3. Ha ez például az első, akkor az utolsó táblázat első sorából (a'i helyébe t-t írva) t + x^ = 7.

így az egyenletrendszer megoldása

Xi = t,X2 = 3, / e R.

1 - t ,

5. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

Xi + 2x2~ X3+ X4 = 2,2xi + 3a'2 - 3xj - 2x4 = 4,

— 3xi —5x2 + 4x3+ X4 = —6.

A kompatibilitási vizsgálathoz szükséges elemi bázistranszformációk táblázata:

Az utolsó táblázatból látható, hogy kettőnél több oszlopvektor nem vonható be a bázisba, tehát r=e(A) = 2. A b vektor kompatíbilis az A oszlopvektoraira nézve, mert

b = 2ai + 0a2,

ezért az egyenletrendszernek van megoldása.(Figyeljük meg, hogy a kompatibilitás az utolsó táblázatból úgy olvasható le

gépiesen, hogy azokban a sorokban, amelyekben a szaggatott vonal előtt csupa 0 áll, a vonal után is 0 áll. A vonal után állhat másutt is 0. Ennek jelentését éppen ez a feladat mutatta be.) Mivel « - r = 4 - 2 = 2, a szabadságfok 2, vagyis két ismeretlen választható szabadon. Az utolsó táblázatra pillantva látszik, hogy Xa-t és X4-et célszerű paraméternek választani, mert ekkor

Xj —3x3 —7x4 = 2,

116

következőleg

Xj = 2+ 3x3+ 7x4.

Ha bevezetjük az X3 = m és X4 = t; jelölést, akkor

= 2 + 3w + 7r.

Hasonló módon

■ Xj = —u — 4v.

Az egyenletrendszer megoldása tehát

Xi = 2 + 3m + 7i;,

u, ve R.X2 = —u — 4v.X3 = u,X4. = V,

6. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

Xi + 11x2—12x3 + 34x4 —5x5 = 0,X ^ — 5 X 2 + 2 X 3 — 1 6 X 4 + 3 X 5 = 0 ,

2x i — 2x2“ 3X3— 7X4+ 2x5 = 0,3xi+ X j- 8x3+ 2x4+ X5 = 0.

Az egyenletrendszer homogén, triviális megoldása

Xi = X2 = X3 = X4 = X5 = 0.

Az egyenletrendszer nem triviális megoldását - ha ilyen van - az előző feladatokban alkalmazott módszerrel határozhatjuk meg. A b zérusvektort most fölösleges feltün­tetni a következő oldalon szereplő táblázatokban.

117

A szükséges táblázatok:

Az utolsó táblázatból látható, hogy kettőnél több oszlopvektor nem vonható be a bázisba, ezért r = g(A) = 2. Mivel az ismeretlenek száma 5, ezért a szabadságfok í = 5 — 2 = 3, vagyis három ismeretlen választható meg szabadon. Legyen ez = t, x^ = u, x^ = v; t,u,ve R, ekkor az utolsó táblázat első két sorából leolvasható, hogy

19 3 1

25 I

ez ezzel megkaptuk az egyenletrendszer megoldását.7. Mutassuk meg, hogy az

Xi+ JC2 + 2X3 —3x4 = 0,■ 2xi + 3x2~ X3+ X4 = 0,

2xi — 2x2 “ ^3 + 4X4 = 0,Xj —4x2 —3x3+ 2x4 = 0 ,

homogén egyenletrendszernek csak triviális megoldása van!Az adott homogén egyenletrendszernek csak triviális megoldása akkor van, ha az

együtthatómátrix rangja egyenlő az ismeretlenek számával, azaz r = 4. Határozzuk meg ezért az együtthatómátrix rangját! Az elemi bázistranszformációkat mutató táblázatok:

118

Mivel mind a négy oszlopvektort sikerült a bázisba bevonnunk, az együtthatómát­rix rangja 4, ezért az adott egyenletrendszernek egyetlen megoldása van, a triviális megoldás.

2.4.3 Néhány lineáris transzformáció

A vektorterek is halmazok, ezért közöttük is értelmezhetők leképezések. Ha például a (p leképezési utasítás a Fi tárgyvektortér vektorait a V2 képvektortér vektoraiba viszi át, azt röviden

(p : V i^ V 2szimbólummal jelöljük.

119

A leképezések között kitüntetett szerepet játszanak azok, amelyek összegtartók és aránytartók. Ez azt jelenti, hogy ha x, Xi, X2 e V,a .eR ,ésA egy ilyen leképezés, akkor

^ (X l + X2> = A(X i ) + A{X2),A{ax) = aA(\).

Az ilyen leképezéseket lineáris leképezéseknek nevezzük.Egy lineáris leképezés tárgyvektortere és képvektortere azonos is lehet.

Definíció. Az L lineáris térnek önmagába való lineáris leképezéseit az L lineáris tér lineáris transzformációinak nevezzük.

Legyen x = [xj; X j ; x„]* és y = l j i ; j 2 ; •••;>'»]*. j = l , 2 ,7 = 1, 2 ,..., n, az E„ bázissal meghatározott n-dimenziós lineáris tér egy-egy vektora. Tegyük fel, hogy x és y (E„-re vonatkozó) koordinátái között a következő összefüggé­sek állnak fenn:

nyi = ííllXi + fli2X2 + ... + ainX J 2 = a 2 í X i + a 2 2 X 2 + . . . + a 2 n X „

y„ = a„iXi + a„2X2 + ... + a„„x„

vagy az atj valós számokat az A mátrixba rendezve röviden

y = Ax.

Az egyenletrendszerrel az x tárgyvektort az y képvektorba képezzük le, és mivel ez a leképezés összegtartó és aránytartó, ezért ez egy lineáris transzformáció. Az aij számokat a lineáris transzformáció együtthatóinak, az A mátrixot a lineáris transzfor­máció mátrixának nevezzük. Be lehet látni, hogy egy lineáris transzformációt a mátrixa egyértelműen meghatároz.

A Uneáris transzformációt regulárisnak vagy nemszingulárisnak nevezzük, ha külön- böző vektorok képe különböző. Minden más esetben a lineáris transzformáció szingu­láris. Belátható, hogy egy lineáris transzformáció akkor és csak akkor nemszinguláris, ha mátrixa nemszinguláris. Egy nemszinguláris lineáris transzformáció lineárisan független vektorokat lineárisan független vektorokba, lineárisan függőket lineárisan függőkbe visz át.

Ha az L tér x vektorát az A mátrixszal megadott lineáris transzformáció az y vektorba, az y-t a B-vel adott lineáris transzformáció a z vektorba, a z-t a C-vel jellemzett lineáris transzformáció a v vektorba viszi át (és igy tovább), akkor

y ~ Axz = By = B(Ax) = (BA)x, v = Cz-C(BA)x = (CBA)x,

120

és így tovább, vagyis több lineáris transzformáció egymás utáni végrehajtása helyette­síthető egyetlen lineáris transzformációval, amelynek mátrixa az egyes transzformá­ciók mátrixainak olyan szorzata, amelyben a következő transzfonnácíó mátrixával mindig balról szorzódik a megelőző transzformáció mátrixa.

Ha az A mátrixszal adott lineáris transzformáció nemszinguláris, akkor létezik az egyértelműen meghatározott

x = A“ V

inverz transzformáció, és ez az y képvektorhoz az eredeti x tárgyvektort rendeli. Ekkor a tárgyvektorok és a képvektorok között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés áll fenn.

A fejezet elején felírt egyenletrendszer nemcsak úgy fogható fel, mint két vektornak azonos bázisra vonatkozó koordinátái közötti összefüggés, hanem úgy is, mint ugyanannak a vektornak két különböző bázisra vonatkozó koordinátái közötti össze­függés. Ebben az esetben a hneáris transzformáció báziscserét, azaz koordinátarend- szer-transzformációt jelent. Ha az x vektor bázisáról például elemi bázistranszformá­ciókkal áttérünk az y vektor bázisára, és a báziscsere mátrixa B, akkor - mivel ugyanarról a vektorról van szó -

By = x

kell legyen. Ezt összehasonlítva az inverz transzformáció x = A~^y egyenletével, azonnal látszik, hogy B = A “ .

Az alábbiakban néhány nevezetes lineáris transzformáció mátrixát mutatjuk be.1. Tekintsük a sík egy p vektorát, legyenek koordinátái az ei = [1; 0]*, Ci = [0; 1]*

bázisban p = [x; j]*. Tükrözzük ezt a vektort az Cj bázisvektorra (a szokásos derék­szögű koordináta-rendszer x tengelyére)! Mik a tükörkép koordinátái? írjuk fel a tükrözést jelentő utasítást mátrixalakban!

Legyen p tükörképe p' = [x'-,y']. Akkor (27. ábra) koordinátáira

x ' = l - x + O j = x,/ = 0 • X - 1 • > = - y

teljesül. Ebből a transzformáció T* mátrixa leol­vasható:

Valóban

P' = T.P =

1 00 - 1

‘ l o ' X X_0 - 1 - ~ y .

121

Hasonló módon kaphatók az 62 bázisvektorra (y tengelyre), az origóra, a bázisvek­torok = és >’ = - X egyenletű szögfelezőire történő tükrözés mátrixai. Ezek sor­rendben:

Tv =' - 1 0' ‘ - 1 0'

0 1 > To — _ 0 - i _

Ti = '0 r 0 - r1 0 , T2 = - 1 0

Azt állítjuk, hogy a Vo = [11; vt\* egységnyi irányvektorú, az origón áthaladó egyenesre való tükrözés mátrixa a

T = 2voV^:-E

alakban írható fel.Ha ugyanis az x vektornak a vo vektorra vett tükörképe x', akkor az x vektornak

a Vo vektorra eső merőleges vetületvektorát kétféle módon felírva

^(x + x') = vo(vSx).

Ebből

x' = 2 v o V o X -x = (2voV*“ E )x .

T elemeit kiszámítva (vegyük észre, hogy vov* diadikus szorzást jelöl).

T = 2 í iV2 [í i; vi] - 1 0

0 1Vi - v l 2 Vi V2

2 ..22V2Vi V2 — V1

mert vl + vl — 1.Háromdimenziós térben:

Vi~ 1 0 0'T = 2voV?;-E = 2 V2 b i; V2, t?3] -- 0 1 0

V3 0 0 1

v j~ V 2 - vl2V2Ví2v^vi

2ViV2 vl - v l - vl

2 V3V2

2ViV32V2V3

v l - v l - vl

122

2. Tekintsük most a geometriai tér egy p vektorát. Legyenek koordinátái a szokásos C l, 6 2 , C3 bázisban p = [ x ; y ; z ] * . Tükrözzük p-t az Ci és 62 által kifeszített x y síkra! Mik a tükörkép koordinátái? írjuk fel a tükrözést jelentő utasítást mátrixalakban!

Ha p tükörképének koordinátái p' = [ x ' ; y ' \ z']*, akkor

x' = 1 x + 0 - j + O-z,/ = 0 • x + 1 • _); + 0 • z, z' = 0 • X + 0 • j — 1 • z.

Ebből

1 0 00 1 00 0 - 1

Teljesen hasonló módon kapható az xz, yz síkra, az x, y, z tengelyre és az origóra való tükrözés mátrixa. Ezek sorrendben:

'1 0 0' ■-1 0 0‘0 - 1 0 , T,. = 0 1 00 0 1 0 0 1

'1 0 0 ' - 1 0 0 ’ ■ - 1 0 0 '

T . = 0 - 1 0 , T , = 0 1 0 , T . = 0 - 1 0

0 0 - 1 0 0 - 1 0 0 1

' - 1 0 0'To = 0 - 1 0

0 0 - 1

Igazolható, hogy valamennyi tükröző mátrix determinánsának abszolút értéke 1.3. Forgassuk el a sík p = [x; >?]* vektorát az origó körül (pozitív irányban) q>

szöggel. Határozzuk még az elforgatott vektor koordinátáit! írjuk fel a forgatást jelentő utasítást mátrixalakban!

Jelölje az elforgatott vektor koordinátáit p' = Ekkor a 28. ábrán láthatóderékszögű háromszögekből OP=OF miatt

x' = OF cos (oL + f) = OP (cos a cos ^ — sin a sin f) = x cos ^ — y sin <p, y' = OP' sin (a + ) = OP (sin a cos (p + cos a sin (p) = y cos + x sin f .

Ebből az origó körül (p szöggel való elforgatás mátrixa már leolvasható:

F . =cos (p sin q>

-sm (p cos (p

123

Az ábrán a 9? és az a + í? hegyesszögek voltak, de állításunk tetszőleges szögek esetére is igaz.

4. Forgassuk el a tér egy p = [x; y; z]* vektorát az 63 vektor (z tengely) körül pozitív irányban <p szöggel! írjuk fel a forgatás mátrixát!

Jelölje az elforgatott vektort p' = [x'\y'\z']*.A forgatás során p harmadik koordinátája nem változik, azaz

Az Cl, 62 vektorok síkjában az origó körüli <p szöggel való elforgatás eredményekép­pen

X = xcos (p—y sm cp, y' = X sin (p+y cos (p.

A három összefüggésből a forgatómátrix már leolvasható

cos <p - sin í? 0 sin (p cos tp 0

0 0 1

Hasonló módon kapható az x, és az y tengely körüli <p szöggel való forgatás mátrixa:

’l 0 0 cos (p 0 sin <pF. = 0 cos (p — sin (p , F ,= 0 1 0

0 sin (p cos (p -s in (p 0 cos (p

Bebizonyítható, hogy a Vo = [t i; V2, 13]* egységnyi irányvektorú egyenes mint tengely körüli a szöggel történő pozitív irányú elforgatás F mátrixa a következő alakú;

124

V1 V2 VlVi" ■ 0 V2 ' vl + v\ - V 1V2 - V 1V3F = VlVl V2V3 + V3 0 -V l sin a + -V 2V1 vl + vl -V 2V3

V3V1 V3V2 vl _ -V 2 Vl 0 -ViVi -V 3V2 vi + vicos a.

Bebizonyítható, hogy valamennyi forgatómátrix determinánsának értéke 1.5. Nyújtsuk meg a p = [2; 6; - 3]* vektor első koordinátáját a kétszeresére, máso­

dik koordinátáját zsugorítsuk a harmadára, harmadik koordinátáját pedig hagyjuk változatlanul. írjuk fel a transzformáció mátrixát!

Ha képvektor koordinátái p' = [x'; y'; z']*, akkor

x' = 2 x, z' = z,

és ebből a transzformáció N mátrixa már leolvasható:

N =

'2 0 0'1

0 — 03

0 0 1

Általában az

N =ki 0 0 k2 0 0

0 ‘0kz

mátrixszal olyan transzformáció írható le, amely a tárgyvektor egyes koordinátáit ki-, kz-, A:3-szorosára nyújtja. Külön felhívjuk a figyelmet arra, hogy egy vektor fc-szoro- sára történő nyújtását (a szokott értelemben) akkor érjük el, ha ki = k 2 = k-i = k.

6. Vetítsük a tér p vektorát merőlegesen az u = [ui, U2, Ma]* vektorra! írjuk fel a merőleges vetítés mátrixát!

A p vektornak az u vektorra eső merőleges vetületvektorát megadó

p» = (pe„)e„

tanult képletét (1.2.1 pont) mátrixokkal felírva

p„ = (u*u)“ (pu*)u,

és ebből a vetítőmátrix már leolvasható:

P = (u*u)“ ^uu*.

125

illetve más alakban

1

U\-^U2 + u\

U\ U1 U2 W1W3

U2U1 u\ U2U2,W3W1 W3W2

Könnyen ellenőrizhető, hogy P projektormátrix, mert = P. A projektormátrix determinánsa 0, ezért ez a lineáris transzformáció szinguláris, egyértelmű inverze nem létezik.

Be lehet látni, hogy az u = [i/i; 112, wj]* és v = [uj; V2, 13]* vektorok síkjára merőle­ges vetítés P projektormátrixa

P =

7. Most keressük meg annak a lineáris transzformációnak a mátrixát, amely az X = [xi; X2; X3]*, y = z = [z ú z z , z z ] * tárgyvektorokat azx' = [x'i; x'i, .v'3]*, y' = [y'ü yr, j '3]*, z' = [z[; ^3]* képvektorokba viszi át!

Ha a tárgy vektorokat a

u*u u*v -1 Ml Ui «2 W3U*v v*v U2 V2 V2 t 3_“3

Z = [x; y; z]* =

a képvektorokat a

W = [x';y';z']* =Xi Zi^2 y'i ^2 x '3 y '3 z'3

mátrixszal írjuk le, akkor a feladat megoldása annak az A mátrixnak a megkeresését jelenti, amely az

AZ = W

mátrixegyenlet megoldása. Ha det Z 0, az egyenlet megoldható, mégpedig

A = W Z“ ‘.

Ha det Z = 0, a feladat nem oldható meg.8. A szilárdságtanban megmutatják, hogy ha egy szilárd test erők hatására alakvál-

Altozást szenved, akkor az az e = — fajlagos hosszváltozással és a y szögváltozással

l(\

126

adható meg. Az általános alakváltozási állapot a szokásos derékszögű koordináta- rendszerben az ún. alakváltozási mátrixszal adható meg:

S =

1

21

-Jzy

1

1

ahol az indexek mutatják, hogy melyik koordinátatengelyre, ill. koordinátasíkra vonatkozó változásról van szó. Ha n a test belsejében felvett tetszőleges egységvektor, akkor a d = Sn vektort, az alakváltozási állapotra jellemző vektort deformációvektor­nak nevezik.

A test belső erőinek - a feszültségeknek -- eloszlása a test egy vizsgált keresztmetsze- íeben a keresztmetszetre merőleges xs riormális fesziiltségvektorral és a keresztmetszet síkjában ébredő t csúsztató feszültségvektorral írható le. Az általános feszültségi állapot a szokásos koordináta-rendszerben a

T =GxTyx

i'Xy(Tv

' zx ' zy

TxzTyzOz

feszüllségmátrixszal adható meg, ahol az indexek mutatják, hogy a vektorok mely irányú komponenseiről van szó. Ha n a keresztmetszet egy egységvektora, akkor az f=Tn vektor az ún. feszültségvektor.

2.4.4 Sajátérték-számításAz előző pontban láttuk, hogy az «-edrendü

A =öliŰ21

« 1 2

022

a„i a„2

ai„Ö2n

a„„

mátrixszal az E„ vektortér egy Uneáris transzformációja adható meg, amely az X = [xiixj; tárgyvektorhoz az y = Ax képvektort rendeli. A gyakorlatbanfontos szerepet játszanak azok a vektorok, amelyeknek az iránya a transzformáció során nem változik meg.

127

Definíció. Azokat a vektorokat, amelyekre

Ax = Ix,

ahol X valós szám, az A lineáris transzformáció (az A. mátrix) sajátvektorainak, a X számokat a transzformáció (ill. az A mátrix) sajátértékeinek nevezzük.

Ha egy x vektor sajátvektor, akkor nyilván tetszőleges a-szorosa (a e R) is sajátvek­tor, amely ugyanahhoz a X értékhez tartozik. Az x és ax sajátvektorokat nem tekint­jük lényegesen különbözőknek.

Az A mátrix sajátvektorainak meghatározásához meg kell oldanunk a

(AE-A)x = 0

mátrixegyenletet, ill. az ennek megfelelő

(A -a i l )X i - ű!,2X2 Uy„X„ = 0 ,+ ( A - Ű 2 2 ) ^ ' 2 =0 ,

-ö„iXi - ö„2X2 ~...-^{X-a„„)x„ = Q

homogén lineáris egyenletrendszert. Ennek akkor van a triviálistól különböző megol­dása, ha determinánsa, az A mátrix karakterisztikus determinánsa 0, azaz

det(AE-A) =A -a ii -Ű12 •••— Ű21 X —Ü22 ~Ö2„

711 ■ X-a„

= 0.

A determinánst kifejtve X-ra egy pontosan «-edfokú polinomot, az A mátrix karakte­risztikus polinomját kapjuk. A det (AE —A) = 0 egyenletet az A mátrix karakteriszti­kus egyenletének nevezzük, ennek gyökei a sajátértékek. A valós számok felett értel­mezett vektortérben nem minden lineáris transzformációnak van sajátértéke, mert nem biztos, hogy a karakterisztikus egyenletnek van valós gyöke. Be lehet azonban látni, hogy pl. a szimmetrikus mátrixok valamennyi sajátértéke valós.

Minden sajátértékhez tartozik sajátvektor, amelynek koordinátáit úgy kapjuk meg, hogy a kiszámított X értéket visszahelyettesítjük a homogén egyenletrendszerbe, majd az egyenletrendszert megoldjuk. Tekintettel arra, hogy egy homogén egyenletrendszer nemtriviális megoldása tartalmaz szabadon választható ismeretlent, ezért csak a sajátvektorok iránya van egyértelműen meghatározva (a nagyságuk nem).

Ha az «-dimenziós térre vonatkozó, az A mátrixszal adott lineáris transzformáció­nak n számú különböző sajátértéke van, akkor ezekhez n számú sajátvektor tartozik, amelyekről be lehet bizonyítani, hogy lineárisan függetlenek, tehát bázist alkotnak. Számos gyakorlati feladat megoldása során ez a bázis előnyösen felhasználható.

128

Legyen az n-edrendü A mátrix «-számú különböző sajátértéke Xu Xz, X„, az ezekhez tartozó n számú sajátvektora Si, »2, s„. Ekkor

Asj AiSj,AS2 ^282?

Az

es az

As„ AnS„.

S = [Si,S2,

L =

00 Á2

0 0 . . . Xn

mátrixok bevezetésével az előbbi egyenletrendszer

AS = SL

alakban írható fel, és mivel det S # 0, ezért létezik, és ezzel

S -'A S = L.

Ez azt jelenti, hogy az A mátrixot a sajátvektorokból álló S bázisra való áttérés az L diagonálmátrixba viszi át, amelynek foátlójában éppen a sajátértékek állnak.

Gyakorlásképpen határozzuk meg az

A =3 2 - r 7 8 - 1

- 4 - 4 3

mátrixszal adott lineáris transzformáció sajátértékeit és sajátvektorait! A karakterisztikus egyenlet a karakterisztikus determinánsból

det(AE-A) =A -3 - 2 1 - 7 A -8 1 H

4 4 A -3

= (A -3 ) [a -8 ) (A -3 ) -4 ] + 2 [-7 (A -3 )-4 ] + [ -2 8 -4 ( /l-8 ) ] =

= A^-14A^ + 351-22 = 0.

A kapott egyenlet gyökei = 1, A2 = 2, 13= 11.

129

A Ai = l sajátértékhez tartozó Si = [su; ^12; -Sia]* sajátvektor koordinátái az (1 E —A)Si = 0, illetve részletesen felírva a

- 2 í i i -2 5 i 2+ 5i 3 = 0,- lS l i - lS í2 + 513 = 0,

45ii + 45i 2""2í i 3 = 0

homogén egyenletrendszerből számíthatók ki. Az egyenletrendszert elemi bázis­transzformációkkal oldjuk meg. A táblázatok

^ 1 1 ‘ 12

ei - 2 - 2 T

62 - 7 - 7 T"

^3 4 4 “ 2

513 - 2 - 2 1

«2 - 5 - 5 0

63 0 0 0

■S] 3 0 0 1

512 1 1 0

6 3 0 0 0

Az utolsó táblázatból látható, hogy kettőnél több oszlopvektor nem vonható be a bázisba, ezért e(A) = 2. Mivel« = 3, ezért a szabadságfok 1, egy ismeretlen választha­tó meg szabadon. Ez nem lehet 513, mert í i 3 = 0. (Ez az utolsó táblázat első sorából következik.) Ha = akkor a második sorból / + 512 = 0, és így 512= Ha például 1, akkor az Si sajátvektor Sj = [1; - 1; 0]*.

Válasszuk t értékét úgy, hogy Si egységvektor legyen, azaz normáljuk a sajátvektort! Ekkor

s? =

Hasonló számításokkal megkapható, hogy & Xi = 2 sajátértékhez például az

2 3 4S2 = [ - 2; 3; 4]* sajátvektor, illetve az „0 _ *2 |/29’ f l9 '

normált sajátvektor; a A3 = 11 sajátértékhez pedig például az

S3 — [—1; —3; 2]* sajátvektor, illetve az

normált sajátvektor tartozik.

130

1

/ Í 4 ’ ] [Ü 'ÍÜ \

3. KOMPLEX SZAMOK

3.1 A komplex számok bevezetéseA v.ííós számok megismerésekor láttuk, hogy a valós számok rendezett számtestet

alkotnak, és szemléltetésük a számegyenes pontjaival (helyvektoraival) történhet. Eddigi tanulmányaink során azonban azt is láttuk, hogy a valós számok halmazában nem végezhető el korlátlanul minden, a gyakorlatban felmerülő művelet, hiszen pl. a valÓN egyútíhat<Ss másodfokú algebrai egyenlet sem oldható meg a valós számok hahnaziiti, ha diszkriminánsa negatív. Ezért célszerű volna a valós számok halmazát úgy bővíteni, hogy egyrészt a bővített halmazban tudjunk negatív számból is négyzet­gyököt vonni, másrészt a valós számok halmazában fennálló törvényekből minél többel mentsünk át az új halmazba. Kívánalmainkat három követelményben fogal­mazzuk meg:

1. A bővített számhalmazban az

x ^ = - l

egyenletnek legyen gyöke.2. A bővített számhalmaz elemei alkossanak számtestet.3. Az új számtest tartalmazza a valós számtestet.A valós számoknak a számegyenes helyvektoraival való szemléltetése sugall egy

lehetséges megoldást. Mivel a valós számoknak megfeleltetett pontok, a helyvektorok végpontjai kitöltik a számegyenest, ezért természetes az a gondolat, hogy a számegye- nesről lépjünk le a számegyenest tartalmazó síkra, és a sík pontjaiban fedezzük fel a bevezetendő számok képét. A sík helyvektorai két valós szám segítségével adhatók meg, ezért célszerűnek látszik az új számok, a komplex számok következő definíciója:

D ffin íc iü . Komplex számnak nevezzük az (a; h) valós számokból álló rendezettszámpárt.

Az (a; b) komplex szám akkor és csak akkor egyenlő az (a'; b') komplex számmal, ha a = ű' és b = b'.

A komplex számok körében a következőképpen értelmezzük az összeadás művele­tét

(ű; Z)) + (c;í/) = {a + c\b + d),

131

és a szorzás műveletét

{a; b) (c; d) — {ac — bd\ ad + be).

Kimutatható, hogy a fenti összeadás és szorzás kommutatív és asszociatív, továbbá a disztributivitás is teljesül.

A komplex számok halmazában van zéruselem, a (0; 0) számpár, mert

(a;/)) + (0;0) = (a; b)-

van egységelem, az (1; 0) számpár, mert

(a;í))(l;0) = (a; 6);

az összeadás egyértelmű módon megfordítható, vagyis a kivonás elvégezhető

(ű;6) + ( -ű ; -b ) = (0;0);

a (0; 0) komplex szám kivételével minden komplex számhoz egy és csak egy komplex szám található, amellyel megszorozva az egységelemet kapjuk:

vagyis az osztás egyértelműen elvégezhető.Ezzel beláttuk, hogy a 2. követelményünk teljesült, mert a komplex számok halma­

za valóban számtestet alkot. A komplex számok testét C-vel fogjuk jelölni.A 3. követelményünk is teljesül, hiszen ha minden egyes a valós számnak az (ű; 0)

komplex számot feleltetjük meg, akkor a komplex számokra értelmezett műveletek a valós számokra értelmezett műveleteket adják. Például (űi + ű 2)-nek

(űi; 0) + (ű2; 0) = {ai + ai, 0)

felel meg.Jelöljük a (0; 1) komplex számot i-vel! Ekkor

/" = « = (0; 1)(0; 1) = (-1 ;0 ).

A jobb oldalon az előzőek szerint valós szám áll, mégpedig - 1. így

i ^ = - \

vagyis az x^= - \ egyenletnek valóban van megoldása, nevezetesen az i komplex

132

szám, amelyet imaginárius vagy képzetes egységnek nevezünk. (Az i helyett használa­tos a j jelölés is.)

Ezzel beláttuk, hogy a komplex számokkal szemben támasztott 1. követelményünk is teljesült.

Megemlítjük, hogy a komplex számok ~ a valós számokkal ellentétben - nem alkotnak rendezett testet (ezt nem is követeltük meg!), mert a komplex számok testében a „kisebb”, „nagyobb” fogalom nincs definiálva, és nem is definiálható.

Felmerülhet még az a kérdés is, hogy a komplex számtestet nem lehetne-e még tovább bővíteni úgy, hogy a kapott új számok valamilyen más előirt szempontból „még jobbak” legyenek. Ilyen további bővítés vezet a kvaterniókhoz, és bebizonyítha­tó, hogy más bővítés lényegében nincs.

Bár a komplex számokat már a XVIII. sz. végén is használták, pontos elméletüket a XIX. sz. húszas éveiben alkotta meg C. F. Gauss és A. Cauchy.

3.2 Műveletek algebrai alakú komplex számokkal

3.2.1 A komplex számok algebrai alakja, szemléltetése

Az előző részben láttuk, hogy az a valós szám komplex számként az (a; 0) alakban, az i képzetes egység a (0; 1) alakban írható fel. Legyen b egy valós szám, azaz komplex alakja (b; 0). Ekkor b és i szorzata

bi = (b; 0) (0; 1) = (0; b).

Definíció. A (0; b), ill. bi alakú számokat képzetes számoknak nevezzük.

Mivel

(a-0) + (0-b) = ia;b),

ezért a z = (ű; b) komplex szám a z = a + bi alakban is felírható.

Definíció. A komplex szám

z = a + bi

alakját a komplex szám algebrai vagy kanonikus alakjának nevezzük.

133

a a z komplex szám valós része, gyakran használt jele Réz, h a z komplex szám képzetes része, jele lm z.

A gyakorlatban szükségünk van egy komplex szám konjugáltjának a fogalmára.

Definíció. A z = a + bi komplex szám konjugáltjának a

z = a -b i

komplex számot nevezzük.

A definícióból következik, hogy z = z, Z1+Z2 = Z1 + Z2. ZjZj = ZjZj. ( —V 2/

továbbá z = z akkor és csak akkor, ha z valós szám.A műveletek elvégzésével látható, hogy

Z2

z + z = (a; b) + {a; -b ) = (2a; 0) = 2 Réz, zz = (ű; b) (a; -h ) = (a + 6 ; 0) = (Re z) + (lm z) ;

vagyis z + z valós, zz pedig nemnegatív valós szám.Megemlítjük még, hogy az — 1 egyenlőségből kiindulva, és mind a két oldalt

í-vel megszorozva az alábbi összefüggéseket kapjuk:

f = (/^)/ = - i i = = 1,= (/")/ = /.

Látható, hogy i hatványai négyesével ismétlődnek, továbbá legyen z*’ = 1. Ezek szerint / magasabb hatványai is nagyon egyszerűen számíthatók ki, mert i-t az adott hatvány­kitevő 4-gyel való osztás utáni maradékára kell hatványozni. Például

- 1, = i.

A komplex számokat szemléltetni is szoktuk. Vegyünk fel a síkban egy derék­szögű koordináta-rendszert. Feleltessük meg a z = a + bi komplex számnak az (ű; b) koordinátájú P pontot (29. ábra) ! Ez a megfeleltetés nyilván kölcsönösen egyértelmű. Ha a komplex számokat a sí­kon ábrázoljuk, akkor a Gauss-féle vagy komplex számsíkról beszé\ünk. A sík pont­jai a komplex számok egy modelljének te­kinthetők.

134

Minthogy a koordináta-rendszer x tengelyén a komplex számok valós részét (mint abszcisszát) ábrázoljuk, továbbá a tengely pontjainak a valós számok felelnek meg. ezért az x tengelyt valós tengelynek nevezzük. Az tengelyen pedig a komplex számok képzetes részét (mint ordinátát) ábrázoljuk, és a tengely pontjainak a képzetes számok felelnek meg, ezért az v tengelyt képzetes tengelynek nevezzük.A z komplex számnak azonban nemcsak az előbbi P pont, hanem az OP helyvektor is megfeleltethető (29. ábra), és ez a megfeleltetés is kölcsönösen egyértelmű. A sík helyvektorai a komplex számok egy másik modelljének tekinthetők. A vektorokkal való szemléltetés különösen előnyös akkor, ha a komplex számok összeadását vagy kivonását óhajtjuk szemléltetni.

A 30. ábrán a zi = 3 + 2i, zz = 3 —2/, Z3 = — 1 + 3i, Z4 = 2, Z5 = —1/2 / komplex számokat ábrázoltuk. Az ábráról az is leolvasható, hogy a Z2 = Zj szám képe a zi szám képéből úgy kapható, hogy azt a valós tengelyre tükrözzük.

135

3.2.2 Algebrai alakú komplex számok összevonása

A komplex számoknak a 3.1 részben értelmezett összeadását és kivonását a

Zi = ai + b^i, 22 = +

algebrai alakú komplex számokra alkalmazva:

Zi±Z2 = (ű i±Ű2) + (^1±^2)í-

Két algebrai alakú komplex számot tehát úgy adunk össze (vonunk ki), hogy a valós és képzetes részeket külön-külön összeadjuk (kivonjuk). Az összevonás több komplex számra hasonlóan érvényes.

Ha komplex számokat vektorok­kal szemléltetjük, akkor ez az össze­adás és kivonás - amint az a 31. ábrán látható - éppen a vektorok halmazán értelmezett összeadást (paralelog­ramma-szabály) és kivonást szolgál­tatja.

K id o lg o zo tt pé ld á k

\. Példa. Legyen zi = 3 + 44 Z2 = - 1 + i. Határozzuk meg a Z1 + Z2 és Z1- Z 2 komplex számokat!

Megoldás. Esetünkben

Z1 + Z2 = (3 + 4i) + (~ 1+ i) = 2 + 5i,Z1-Z 2 = (3 + 4 z ) - ( - l + 0 = 4 + 3/.

2. Példa. Adott a z = 2 + 3i komplex szám. Határozzuk meg a z + z és z - z komplex számokat!

Megoldás. Mivel z = 2 — 3i, ezért

z + z = (2 + 3i) + (2 -3 0 = 4 = 2 Réz, z - z = (2 + 3 i)- (2 -3 i) = 61 = 2Im z.

136

3. Példa. Határozzuk meg a következő komplex számok összegét:

Zi = — 2 + z, Z2 = 10 — 8/, Zz — — 3 —4z.

Megoldás. Z1+Z2 + Z3 = ( - 2 + /) + (10-8/) + ( - 3 - 4 0 = 5 - l h ‘.4. Példa. Oldjuk meg az x^ + 2x + 2 = 0 egyenletet a komplex számok halmazán! Megoldás.

- 2 ± l / 4 ^Xi,2 = ------ T------ = - 1 ± /.

Mind a két gyök kielégíti az egyenletet.

3.2.3 Algebrai alakú komplex számok szorzása, osztása, hatványozása

A) Szorzás

Szorozzuk össze a Zj = aj + b^i, Z2 = ö2 + komplex számokat a valós számok­ra megismert szabályok szerint. Ekkor - felhasználva, hogy - 1 -

Z1Z2 = (űi + í>iO(a2 + í>20 == aiÜ2 + a2bii+aib2Í+bib2Í^ == aia2-bib2 + {aib2 + a2bi)i,

és a kapott szorzat éppen az a komplex szám, amelyet két komplex szám szorzatának definiáltunk, tehát eljárásunk alkalmazható, vagyis

ZíZ2 = (űia2“ ^1^2) + («1^2 + Ö2*l)í-

A szorzás több tényezőre is kiterjeszthe­tő. Ha a komplex számokat vektorokkal szemléltetjük, a szorzatvektor megszer­keszthető, erre a következő fejezetben mu­tatunk eljárást.

Érdemes megfigyelni, hogy ha egy komplex számot /-vei szorzunk meg, akkor a komplex számot szemléltető vektor az

origó körül ^ szöggel pozitív irányba el­

fordul.

137

Ugyanis

{a + bi)i — —b + ai

(32. ábra).

K idolgozott példák

1. Példa. Legyen zi = 3~4i, Z2 = 7+ /. Határozzuk meg a ZiZi, z{Z2,ZiZ2,ZiZ2 ^^Z1Z2 komplex számok algebrai alakját!

Megoldás. Esetünkben = 3 + 4?, = 1 - i. Ekkor

ZiZ2 = ( 3 - 4 0 ( 7 + 0 = 21 -2 8 H -3 /-4 /^ = 25-25/, z'iz2 = (3 + 40(7 + 0 = 21+28/+3/ + 4f = 17 + 31/.Z1Z2 = ( 3 - 4 0 ( 7 - 0 = 2 1 -28z-3 í + 4/ = 17-31/,ZiZ2 = (3 + 4 0 (7 - 0 = 21+ 2 8 /-3 /-4 /^ = 25 + 25/,Z1Z2 — z^Z2 = 25 + 25/.

2. Példa. Határozzuk meg a zz, z és z^ komplex számokat, ha " = 2 -3 /! Megoldás. Mivel most z = 2 + 3/, ezért

ZZ = (2 -3 0 (2 + 30 = 4 -9 /^ = 13,z = (2-3/)^ = 4 -1 2 / + 9/ = - 5 - 1 2 / .z-2 = (2 + 3/) - = 4+12/ + 9/ = -5 + 1 2 / = F .

3. Példa. Legyen z — 2 + 31. Határozzuk meg az /z, iz^, (/z)^ komplex számokat! Megoldás. Esetünkben

iz = /(2 + 30 = - 3 + 2/,/z - = /(2 + 3/)2 = /(4+12/+9/^) = /(-5 + 1 2 0 = - 1 2 - 5 / ,

( iz f = ( - 3 + 20^ = 9 - 12/+4/^- = 5 -1 2 / = - z ^

B) Osztás

Osszuk el a z, = «i + 6ii komplex számot a Zj = 02 + 2* komplex számmal!A hányadost algebrai alakban szeretnénk megkapni. Hogy a formálisan felírt

Zi ai + bii Z2 Ü2 + í>2Í

hányados nevezőjéből a képzetes részt kiküszöböljük, bővítsük a törtet a nevező konjugáltjával, akkor

138

2i a, +Z?j/ (öl+ 61/) (ű 2 ~ ^ 2 0 +

“2 <2 + 2' (íí2 + b-J) (Ü2 - b2Í) a\ --aia2 + bib2 , -űiÖ2 + «2^i .H--------::;—-:;---- i.

al + bl aj + bj

vagyis:

A kissé bonyolult végeredményt nem szükséges megtanulni, csak annyit érdemes megjegyezni, hogy az osztás végrehajtásának az első lépése a nevező konjugáltjával való bővítés.

Kidolgozott példák

1. Példa. Határozzuk meg - algebrai alakját!i

Megoldás.1 i

1 z f2. Példa. Legyen z = 4 - i. Határozzuk meg az - és - komplex számok algeb-

z z zrai alakját!

Megoldás. Mivel f = 4 + /, ezért

1 1 4+i 4 + i2 4 - / (4 - 0 (4 + /) 1 6 - í"

2 4 - i (4 -0 " 1 6 -8 /+ z"Z 4 + i (4+ 0 ( 4 - 0 16-Z 4 + í (4 + 0" 16 + 8/+/"Z 4 - i (4 -0 (4 + 0 16-/"

4 1= 7;; + t;; h

15 8T? 1715 8-----h — /.17 17

3. Példa. Határozzuk meg a z = a + hi komplex szám reciprokának algebrai alak­ját!

Megoldás.

1 1 a — bi a — bi+

~hz a + bi (a + bí) (a - hí) a^ + b^ a^ + b~ a" + b~

amint azt a 3.1 részben már láttuk.

139

4. Példa. Legyen zi = 4 — i, Z2 = 3 + 2/. Határozzuk meg a — és — törtek al-

gebrai alakját!Megoldás.

4 - i (4 - 0 (3 -2 i) 1 2 -3 /-8 /+ 2 /^ 10 113 + 2i (3 + 2 0 (3 -2 03 + 2í (3 + 20(4 + 0

■ 4 - i ~ (4 -0 (4 + 0 '

9 - 4 f l2 + S i+ 3i+ 2f

16-/^

13 13 10 11 .

~ I? ^ I?

C) Hatványozás

A z = a + algebrai alakú komplex szám «-edik (n természetes szám) hatványát a binomiális tétel segítségével számítjuk ki.

Kidolgozott példa

2^ +/

2^(-5í) + \ ^ ^ j 2 \ - 5 i y +

= 16 - 160z + 600/ - 1000/ + 625/^ == 16 - 160i - 600 + 1 OOOi + 625 = 41 + 840/.

/4N

\3 /2 ( - 5 0 " + ( 4 ) ( - 5 í r =

3.3 Műveletek trigonometrikus alakú komplex számokkal

3.3.1 A komplex számok trigonometrikus alakja

A z = a + b ikomplex számot a valós és a képzetes része egyértelműen meghatároz­za. Egy komplex számot azonban nem kell feltétlenül ezzel a két adattal meghatároz­ni, a meghatározására van más lehetőség is.

Tekintsük ugyanis a z = a + bi komplex szám­nak az origótól mért távolságát, valamint a komp­lex számhoz mutató vektor és a valós tengely pozi­tív irányával bezárt szöget (33. ábra). Az előbbit a komplex szám abszolút értékének (vagy modulu­sának) nevezzük (jele \z\ vagy r), az utóbbit a komplex szám irányszögének (vagy argumentumá­nak) nevezzük (jele (p). Világos, hogy - az origótól, mint komplex számtól eltekintve - minden komp­lex szám megadásához az r és ^ megadása szüksé­ges, és adott f és a komplex számot egyértel­

z=a+bi

33. ábra

140

műén meghatározza. Az origónak az irányszöge határozatlan ugyan, de az origót az r= 0 feltétel egyedül is egyértelműen meghatározza. Fordítva nem ilyen egyértelmű a helyzet, ugyanis azonnal látszik, hogy minden komplex számhoz végtelen sok irányszög tartozik, mert ^-vel együtt (p + 2 n, (p + An, és így tovább (p + 2 kn, ^ = 0; ± 1; ± 2 ,... is nyilván irányszögnek tekinthető.

Ez azt jelenti, hogy a komplex szám irányszöge - 2n egész számú többszöröseitől eltekintve - egyértelműen meghatározott szög. Az irányszögek közül legtöbbször csak az a szög fontos számunkra, amely 0 és 2 n közé (az egyik határt is beleértve) esik, az ún. főirányszög. A gyakorlatban ezt tekintjük irányszögnek. Az irányszögnek ez a határozatlansága - amint látni fogjuk - a gyökvonásnál fog jelentős szerepet játszani.

Nézzük meg most, hogy milyen összefüggések állnak fenn a komplex számok valós és képzetes része, valamint az abszolút értéke és irányszöge között.

A 33. ábrán látható derékszögű háromszögből

a — r cos (p é?, b = r sm (p,

illetve

r = fa^ + b^,

ésb b

tg f = - , és ebből ^ = arc tg - . a a

bA í? = arc tg - összefüggés nem határozza meg egyértelműen a q> szöget, mert

ab . , . . a - hányados például negatív lehet azért, mert a negatív és b pozitív, vagy fordítva. a

Az első esetben (p értéke ^ és 7t, a második esetben - n é s 2 n közé esik. <p helyes értékét

minden esetben az a és b előjele alapján kell meghatároznunk. Ez természetesen történhet úgy is, hogy a komplex számot ábrázoljuk, és az ábráról olvassuk le, hogy a komplex szám a számsík melyik negyedében van.

Az előbbiek alapján tehát a z komplex szám a

z = a + bi = r cos (p + {r sin (p)i = r(cos (p + i sin (p)

alakban is felírható.

Definíció. A z komplex szám

z = r(cos (p + i sin q>)

alakját a z komplex szám trigonometrikus alakjának nevezzük.

141

A trigonometrikus alak felírásánál lényeges, hogy r nemnegatív, és a zárójelben + előjel álljon. Például a

/zi — — 2

\

% n \ ( Ti _ n \cos — f- /■ sin “ és a Z2 = 2 cos----/ sin --

4 4 / V 4 4 /

egy-egy komplex szám ugyan, de nem trigonometrikus alakú! Az első szám Irigono-/ 5;r 57r\ , ( I n , ln \

metrikus alakja a zi =21 cos---- Hí sin— , a másodiké -2 = 2 cos---- h/sin— .\ 4 4 / \ 4 4 /

Megjegyezzük végül, hogy az irányszög mind ívmértékben, mind fokban megad­ható.

K.iíx)lgozott példák

1. Példa. írjuk fel a z = |/3— / algebrai aiakú komplex szám trigonometrikus alak­ját!

Megoldás, z abszolút értéke

r= l , '3 + l = 2,

irányszöge

b / ní? = arc tg - = arc t g ----

a \ |/3/

A tangensfüggvény a második és negyedik síknegyedben negatív, de mivel z valós része pozitív, ezért ez a komplex szám a negyedik síknegyedben van, vagyis

(p = 360°-30° = 330°.

így z trigonometrikus alakja

z = 2(cos 330° + i sin 330°).

2. Példa. írjuk fel a z = 3(cos 140°+ i sin 140°) komplex szám algebrai alakját! Megoldás. A szögfüggvénytáblázat alapján

z = 3(-0,7660 + / - 0,6428) = -2,2980+1,9284/.

142

3.3.2 Trigonometrikus alakú komplex számok szorzása, hatványozása, osztása

A komplex számok összeadására vonatkozó paralelogramma-szabály mutatja, hogy az összeg abszolút értéke, ill. irányszöge a tagok abszolút értékéből, ill. irányszö - géböl nem számítható ki egyszeri) módon, ezért trigonometrikus alakban megadott komplex számok összevonására nem adunk formulát. Ilyenkor a trigonometrikus alakú komplex számokat algebrai alakúakra alakítjuk át, és az összevonást algebrai alakban végezzük el.

A) Szorzás

Legyen

— í*i(cos (Pl+ / sin ^i), 22 = r2(.cos (;P2 - i sin (pz).

akkor

2 iZz — ri/’2(cos (pl + i sin ^i) (cos (p2 + i sin ^2) == n r 2[cos f i cos q>2 ~ sin (pi sin ^2 + K&in <pi cos q>2 + cos <pi sin (p2)] == r ir2[cos {(pí + (p2) + i sin {<pi + (p2)\

Az átalakításnál az ismert

cos a cos sin a sin ji — cos (a+fi), sin a cos fi+ cos a sin — sin (a+ P)

összefüggéseket használtuk fel.Általában, ha Zi, 22, 23, Zn'n db komplex szám, amelyeknek abszolút értéke

rendre ri, rz, r^, r„, irányszögeik pedig (p\, (p2, í>3, • (p», akkor (amint az teljes indukcióval könnyen bizonyítható)

Z1Z2■■■z„ = i\r 2 ■ • -rjcos {(pi + (pi-\- ... + <p„) + i sín + • • - + <»«)]■

Szavakban; komplex számok szorzatának abszolút énéke a tényezők abszolút értéké­nek szorzata, irányszöge pedig a tényezők irányszögének az összege.■ E szabály alapján a z = z^zj komplex szám megszerkesztésére a következő egyszerű eljárás adható meg (34. ábra):

Az egyik, például a Z2 komplex számhoz mutató vektor fölé az O, E és zi csúcsok­kal rendelkező háromszöghöz hasonló és vele azonos körüljárású háromszöget szer­kesztünk, az Jí-nek a Z2-t feleltetve meg. E háromszögben a zi-nek megfelelő csúcsba mutató vektor a ZjZj komplex szám vektora.

143

Valóban, a Z^Z2 komplex szám abszolút értéke a zi és zi komplex számok abszolút értékének szorzata, hiszen a háromszögek ha­sonlósága alapján felírható

IZ1Z2I : Izil = IZ2I : 1

aránypárból

IZ1Z2I = Izil IZ2I,

és a szerkesztés miatt z irányszöge zi és Z2 irányszögének összege.

K idolgozott példák

1. Példa. Legyen zi = 3(cos 105° + i sin 105°), Z2 = 3i. Számítsuk ki a ZjZ2 komplex számot!

Megoldás.

Z1Z2 = 3(cos 105° + i sín 105°) • 3(cos 90° + i sín 90°) = 9(cos 195° + i sin 195°).

2. Példa. Legyen Zi = 2(cos 38° + i sín 38°) és Z2 = — 2 + 2i. Számítsuk ki a z = Z1Z2 értéket!

Megoldás. Mivel Zj_ a zi-nek az x tengelyre vett tükörképe, ezért trigonometrikus alakja:

zi = 2[cos (360° - 38°) + i sín (360° - 38°)] = 2(cos 322° + i sin 322°).

A szorzás elvégzéséhez Z2-t is trigonometrikus alakban kell felírnunk:

T2 = )/4 + 4 — i f i és <p2 — arc tg ( — 1).

Ennek alapján ^2 = 135° vagy 9)2 = 315° lehetséges. Mivel Z2 valós része negatív, 9)2= 135°, és így Z2 trigonometrikus alakja

Z2 = 2 1/2 (cos 135° +i sin 135°),

és a keresett szorzat

Zi • Z2 = 4 ^ (cos 457° + i sín 457°) = 4 ^ (cos 97° +i sín 97°).

144

B) Hatványozás

Ha « számú egyenlő komplex számra alkalmazzuk a szorzási szabályt, a hatványo­zás szabályát kapjuk. Ha tehát

Zi=Z2 = Z3=...=Z„ = Z,

és ennek megfelelően

ri = r2 = r3 = ... = r„ = r

(pí = <P2 = (Pi = = =

ekkor a hatványozás szabálya:

z" — r"(cos n(p + i sin nf).

Ezt a formulát Moivre-féle formulának szokás nevezni.

K idolgozott példák

1. Példa. Számítsuk ki z = 2(cos 37° + i sin 37°) harmadik hatványát!Megoldás.

= 8(cos 111°+/sin 111°).

2. Példa. A 3.2.3 pont utolsó példájában láttuk, hogy a z = 2 —5 /komplex szám negyedik hatványának kiszámítása a binomiális tétel alapján elég hosszadalmas volt. Gyorsabban jutunk célhoz, ha a műveletet a szám trigonometrikus alakjával végezzük el.

/ 5\Mivel |zl = |/4 + 25 = |/29, és (p = arc tg - - -bői (figyelembe véve, hogy a z a

\ Vnegyedik síknegyedben van) (p = 360°-68,2° = 291,8°, ezért

z = | / ^ (cos 291,8° + / sin 291,8°),

és így negyedik hatványa

z = 292(cos 1167,2° +z sin 1167,2°) = 29"(cos 87,2° +i sin 87,2°).

145

Ha algebrai alakjára is kíváncsiak vagyunk,

= 841(0,0488+ /0,9988) = 41,08 + 839,99/,

és ez jól közelíti meg a pontos 41 + 840/ értéket.

C) Osztás

Ha zi = riCcos (p\ + i sin ^i) és Z2 = raCcos f 2 + ? sin <p2) és ,"2 -Q, akkor

Zj ri(cos ipx -t i sin (p{) ri(cos (pi + / sin (f?i) (cos 02 ~ i sin ( 2)Z2 r2(cos ^2 + i sin ^2) raícos (p2 + i sin (p ) (cos 02 ~ i sin ^2 >

ri cos <pi cos (p2 + sin (pt sin (pz + /(sin cos (p2 ' cos ffi sin fz)Y2 cos^ q>2 +■ sin “ (j>2T]

= - [cos (9>i - <p2) + i sin (<pi - q>2)].>'2

tehát a --- hányados abszolút értéke --ve i, iránvszöge {(pi ■ (p2)-vei egyenlő, azazZ2 í-a ■ ■

K idolgozott példák

1. Példa. Legyen

zi = 6(cos 185°+/sin 185°) és zi = 2(cos43°+/ sin 43°).

Számítsuk ki a — és — hányadosokat! 22 Zl

Megoldás.

. Zi 6(cos 185°+/sin 185°)2(cos 43° + / sin 43°)

= 3(cos 142° + / sin 142°);

Z2 2(cos 43° + / sin 43°) 1í - 185-) - 3 < - «

1= - (cos 218° + / sin 218°).

146

2. Példa. Kiszámítandó a 2 = -(cos 60° + i sin 60°) hányados!i

Megoldás. Mivel

i = I(cos90°+!sin90°),

ezért

2(cos 60° +í sin 60°) ' ^..:...= 2[cos(-30°) + /sin (-30°)] =

cos 90 + / sm 90— 2(cos 330° +i sin 330“).

Könnyen belátható, hogy az eddigi műveletek során az irányszögnél fellépő határo­zatlanság nem játszik szerepet, mert 2n egész számú többszöröseinek összege, különb­sége és többszöröse ismét 27i-nek egész számú többszöröse, és így a műveletek elvégzé­se után ismét csak 2t í , vagy ennek egész számú többszöröse léphet fel.

2

3.3.3 Gyökvonás trigonometrikus alakú komplex számból

A z = r(cos (p + i sin (p) komplex szám «-edik gyökén (« pozitív egész), azt a ö(cos ij/ + i sin if/) komplex számot értjük, amelynek «-edik hatványa z, azaz

[e(cos y/ + i sin y/)f = ^"(cos ny/ + i sin «^) = r(cos (p + i sin (p).

De két trigonometrikus alakban adott komplex szám csak úgy lehet egyenlő, ha abszolút értékük megegyezik, irányszögük pedig legfeljebb 2;i-nek egész számú több­szörösével különbözik egymástól. így az előző egyenlőség csak úgy állhat fenn, ha

es

Innen

ny/ = g> + 2kn.

Q - f(p + 2kn

y / ------------ , ^ - 0, ± 1, ± 2 ,... .

147

Eszerint ][z trigonometrikus alakja:

(0 + 2kn (p + 2kn\Ír 1 cos---------+ ís in ---------- , = 0, ± 1, ±2, ....

n n J

A jobb oldalt az «-edik hatványra emelve, látjuk, hogy minden ilyen alakú szám valóban «-edik gyöke a z-nek. Ha k helyébe a 0, 1, 2, ..., n — 1 természetes számokat írjuk, a következő gyöksorozatot kapjuk:

rí n

n nfz^ = frn n

fz^ = fr

n n

f n = f r

(p . (p cos — I- / sin - n n

w 27í \cos I - -I------f 2 sm

n n )(p 47t\ . , ^

cos 1 - H-----+ / sin - +n n } \n n j

> («-l)27t\ . . ( < p { n - X ) l ncos I - H-------------1 + 1 sm

n n

' (p Irt) \« « / j

<p 47 t\

n n

k=0,

k = l,

k = l.

k = n - \ .

Mivel a gyökök irányszöge egymástól 27t-nél kevesebbel tér el, a gyökök között nem íehet egyenlő, ha viszont k helyébe pl. az n, «+ 1, ..., 2« — 1 értéket helyettesítjük, a kapott irányszögek az előzőktől rendre csak 2;r-ben különböznek, azaz rendre az előző gyökökhöz jutottunk. Látható tehát, hogy n helyébe az egész számokat helyette­sítve a gyökök periodikusan ismétlődnek, és közöttük pontosan n db különböző van. Ez azt jelenti, hogy minden zérustól különböző z komplex számnak pontosan n db különböző n-edik gyöke van, azaz az «-edik gyökvonás pontosan n értékű művelet a komplex számok körében.

Ennek alapján

"r " r í (p + 2kn (p + 2knl/z = l/r cos-----------1- i s in------V n n

A: = 0, 1, 2, 1.

Kidolgozott példák

1. Példa. Határozzuk meg a z = 8(cos 7 8 °+ /sin 78°) komplex szám harmadik gyökeit!

Megoldás.3 /l Zj = 2 I cos ■

78°+0°+ i sin

78° + 0°\= 2(cos26° + /sin26°), k= 0.

3 3V 78°+ 360° 78° + 360°\|/z = 2 cos----- ------ + i sin------ ;----- = 2(cos 146° + i sin 146°), A: = 1,

148

3 / 78° + 2-360° 78° + 2-360°\= 2 cos----------------- h I sin--------------- I = 2(cos 266° + i sin 266°), k = 2.

\ 3 3 /

360°Vegyük észre, hogy az egymás utáni gyökök irányszöge mindig = 120°-kal

növekszik.2. Példa. Számítsuk ki a z = 5 + 2/ komplex szám ötödik gyökeit!Megoldás. Az adott komplex számot először trigonometrikus alakra kell hoznunk.

Mivel az

2r = |/25 + 4 = f2§, és <p = arc tg ~ = arc tg 0,4

összefüggésből <» = 21,8°, hiszen z az első siknegyedben van, ezért z trigonometrikus alakja:

z = 1 ^ (cos 21,8° + /sin 21,8°).

így az ötödik gyökök (felhasználva, hogy a gyökök irányszöge mindig 360°/5 = = 72°-kai növekszik)

5 10

j/zj = (cos 4,36° + i sin 4,36°), k=Q,5 10fz ^= (cos 76,36° + / sin 76,36°), A: = 1,5 10fz ^= (cos 148,36° + / sin 148,36°), k= 2 ,5 10

fz^ = ^ (cos 220,36° + / sin 220,36°), A: = 3,5 10j/ = l /^ (cos 292,36° + / sin 292,36°), A: = 4.

3. Példa. Meghatározandó ][\6 algebrai alakban.Megoldás. Mivel 16 = 16(cos 0 ° + /sin 0°), ezért

4

|/Í6^ = 2(cos 0° + / sin 0°) = 2, A: = 0,4

|/Í6^ = 2(cos 90° + / sin 90°) = 2/, A: = 1,4

| / í ^ = 2(cos 180° + / sin 180°) = - 2, A: = 2,4

■ |/Í6^ = 2(cos 270° + / sin 270°) = - 2/', /r = 3.

149

4. Példa. Kiszámítandó - 2/ négyzetgyökeinek összege.Megoldás. Minthogy — 2i = 2(cos 270° + i sin 270°), ezért

= f i (cos 135° +í sin 135°) = (/l - y + y /^ = - 1+/, A: =0,

= p. (cos 315° + i sin 315°) = ( y ' y 1-

A két gyök összege ( - 1 + /) + (1 - 0 = 0.

3.3.4 Egységgyökök

Mivel a komplex számok halmazának részhalmaza a valós számok halmaza is, ezért a gyökvonásról mondottak természetesen a valós számokra is érvényesek. Ezek szerint egy 0-tól különböző valós számnak is pontosan n db különböző «-edik gyöke van a komplex számok körében, és ezeket az előbb ismertetett módon határozhatjuk meg.

A legegyszerűbb eset az, amikor a valós egységből, az 1-ből vonunk «-edik gyököt.

Definíció. Mindazokat a számokat, amelyeknek n-edik hatványa 1-gyel egyen­lő, n-edik egységgyöknek nevezzük és „e-nal jelöljük.

Számítsuk ki az «-edik egységgyököket!1-nek, mint komplex számnak a trigonometrikus alakja

1 = l(cos 0°+í sin 0°),

és így «-edik gyökei:

„fii = cos 0° sin 0° = 1, k =Q,360° 360°

„£2 = cos —----h i sin-----, K = 1,n n

2 • 360° 2 • 360° , ^„C3 = cos-----------h i sín---------, k = 2,

n n

(«-1)360° ( n - 1)360°= cos---------------h i sín-------------, k = n —l.

n n

Az «-edik egységgyököknek szemléletes geometriai jelentésük is van, ugyanis ezek az O körül írt egységsugarú körön helyezkednek el, mégpedig egy olyan szabályos n-szög csúcsaiban, amelynek egyik csúcspontja az (1; 0) pont.

150

(,íii ~ cosO° + / sinO“ - 1,

360“ 360° 1 /36fi2 COS - + i sin = cos 60° + / sin 60° = - + y

2 • 360” 2 • 360° 1 36fi3 “ COS-----------h i. sin---------= cos 120 + i sin 120 = ----- H------i,

6 2 2

így például a hatodik egységgyökök ,

63 ■ 360°

6fi4 — cos —6

4 • 360°6£5 = COS

65 • 360

3 • 360°+ i sin-------- ~ COS 180° + i sin 180° = — 1,

64 • 360° 1 j/3

+ / sin--------— cos 240 + / sin 240 = -------------i,6 2 2

5 • 360” 16S(y == COS-----------h i sin-------- == cos 300""+/ sin 300** = --------- i

6 6 2 2

egy egységsugarú körbe írható szabályos hatszög csúcsai, és az egyik csiks az (1; 0) pontban van (35. ábra).

Az egységgyökökkel kapcsolatban még to­vábbi érdekes megállapításokat tehetünk. Először is vegyük észre ~ például a hatodik egységgyökök esetében - , hogy a harmadik egységgyök a másodiknak négyzete, a negye­dik egységgyök a másodiknak köbe, és így tovább,azaz

„ . 2 . 3. 4.6'S'3 6 2? 6 4 6 2? 6 5 6 2?

6 6 6 2- 6 1 “ 6^2‘

Ez azt jelenti, hogy valamennyi hatodik egységgyök egyetlenegy hatodik egység­gyök hatványaiként felírható. Azt az n-edik egységgyököt, amelynek pozitív egész kitevőjű hatványaival az összes többi «-edik egységgyök előállítható, primitív egy­séggyöknek nevezzük. Az egységgyökök között lehet több primitív egységgyök is, de nem mindegyik egységgyök egyben primitív egységgyök is. Például a hatodik egység­gyökök közül a harmadik nem primitív egységgyök, mert hatványai

6 3 6 5? 6 3 6 3 6 3?

és így a hatodik egységgyökök közül a második, negyedik és hatodik egységgyök nem kerül sohasem sorra.

Érdemes megfigyelni továbbá azt, hogy a hatodik egységgyökök összege zérus. Ez általában is igaz, vagyis az n~edik egységgyökök összege 0.

151

Végül vegyük észre még azt is, hogy a tetszőleges z komplex szám n db «-edik gyöke:

r í ff

n n

n n

cos - + 1 sin - n ní(p 2n

cos I - H-----1 + / sm\M n

1 + ^ \n « / J

cos I - H-------------n ” /

> {n -l)2n4- í sin I - H----------

n n

0 ,

k = l,

k = n —l

úgy is felfogható, mint a z szám első «-edik gyökének és az «-edik egységgyököknek a szorzata. E felismerés azt jelenti, hogy egy z komplex szám összes n-edik gyökének meghatározásához elegendő egy n-edik gyökét megtalálnunk, az összes gyök ebből az n-edik egységgyökökkel történő szorzással kapható. Ennek a számítástechnikában van nagy jelentősége.

3.4 Műveletek exponenciális alakú komplex számokkal

3.4.1 Az Euler-féle összefüggés

A trigonometrikus alakú komplex számoknál szereplő cos ^ + « sin f e R kifeje­zésre Euler nyomán vezessük be az jelölést, azaz

cos (p + isin(p = e" .

A komplex változós függvények körében bebizonyítható, hogy ez az összefüggés valóban fennáll, és a jobb oldalon álló függvényt exponenciális függvénynek nevezik.

3.4.2 A komplex számok exponenciális alakja

Legyen ^ e R. Akkor az Euler-féle összefüggés alapján

cos q> + ismq> =

Ha (p&z komplex szám irányszöge és r az abszolút értéke, akkor az előbbi összefüggés mind a két oldalát r-rel megszorozva

r(cos (p + i sin <p) = re'" ,

152

és az összefüggés ba! oldalán a z komplex szám trigonometrikus alakja áll. A jobb oldalon álló kifejezés is a r komplex számot adja meg, de más alakban.

Definíció. A z komplex szám

z = re"''

alakját a z komplex szám exponenciális alakjának nevezzük.

Az exponenciális alakban a komplex szám abszolút értéke és irányszöge szerepel. Lényeges, hogy ebben az alakban az irányszög csak ívmértékben adható meg.

A komplex szám exponenciális alakját szokás a z = r exp (itp) alakban is leírni.

Kidolgozott példák

1. Példa. írjuk fel a z = 3(cos 198° + / sin 198°) komplex szám exponenciális alakját!

Megoldás. Mivel a 198°-os irányszög ívmértékben kifejezve radián, ezért az

exponenciális alak

Ibi.z = 3e'“ '.

2. Példa. írjuk fel a

Zl = Í, 2 2 - - 2 , ,23 = 2 - l Í

komplex számok exponenciális alakját!Megoldás. A keresett exponenciális alakok:

zi =

mert | Z2 | = 2, <p2 = n;

/-> Jiizi = 2e ,

Z3 = 2 ^ / ,

_______ _ — 2

mert | Z3 | = |/4 + 4 = 2}/2, ^3 = arc tg = arc tg ( - 1), és mivel z a negyedik sík­

153

negyedben van, ezert (pz == ~ .

3, Példa, írjuk fel a r ~ 3e komplex szám algebrai alakját! Megoldás. Az Euler-féle összefüggést felhasználva

\J2 /— i- i

3.4.3 Exponenciális alakú komplex számok szorzása, hatványozása, osztása; gyökvonás

Már a trigonometrikus alakú komplex számok műveleteinek tárgyalásakor megem­lítettük, hogy az abszolút értékkel és irányszöggel megadott komplex számok összegé­nek és különbségének abszolút értéke és irányszöge nem határozható meg egyszerű módon. Ezért az exponenciális alakú komplex szám összeadására és kivonására sem mutatunk eljárást. Ha exponenciális alakú komplex számokat kell összevonnunk, akkor előbb átalakítjuk őket algebrai alakba, elvégezzük az összevonást, majd az eredményt visszaalakítjuk exponenciális alakba.

Az exponenciáhs alakú komplex számok viszont könnyen szorozhatok, hatványoz­hatok, s egyszerűen vonható belőlük gyök. Legyen zi = rie’’“, — Azt állítjuk, hogy ekkor

Zi-2 = rívze(tf/i -\~02)Í

Alakítsuk át az adott exponenciális alakú komplex számokat trigonometrikus alakúvá, ebben az alakban végezzük el a szorzást, majd a szorzatot alakítsuk expo­nenciális alakúvá. Ekkor

ziz2 -= (fii?'"') =[ri(cos f i + i sin ^i)] [r2(cos + i sin ^2)] =

= r ir2[cos ( f i + fz ) + i sin ( f i + (p2)] = rirte '"' * .

Teljesen hasonló módon látható be, hogy

154

n n $±2 .\íz ■----fre " , ^ = 0, 1,2, 1.

Figyeljük meg, hogy az exponenciális alakú komplex számokra ugyanazok a műve­leti szabályok érvényesek, mint az egyenlő alapú valós kitevőjű hatványokra.

K idolgozott példák

n . ^ . Z ^Példa. Legyen z, = 3>e \ Z2 = 16e‘ '. Határozzuk meg a ZjZj,

számokat!Megoldás. Esetünkben rendre

ziZ2 = 48<?" = 4 8 e “ ;3 - i? i 3£i = A. ^ = — e

Z2 Í6 16

Zi = 243e’5k .Töl

1/7 == S2>n48

Un . 2 . ^ ‘,

16^

I45i i .TT'

A: = 0,

k = \,

k=2,

k = 3.

2. Példa. Értelmezzük az i' kifejezést!

Megoldás. Mivel i — e~ és azt akarjuk, hogy a valós számok körében érvényes műveleti szabályok érvényesek maradjanak, ezért az

n.\i n.2 1

értelmezést célszerű elfogadni. Figyeljük meg, hogy így i’ valós szám!3. Példa. Oldjuk meg a

z ^ - z ^ + l = 0

. egyenletet a komplex számok halmazán! írjuk fel a gyököket algebrai alakban is! Megoldás! Az egyenlet z^-ra nézve másodfokú egyenlet, amelynek gyökei

l ± \ ^ 1 /3zl 2 = ---- '------ = - ± - - i.

2 2 2155

A két gyök exponenciális alakja

Z? = / ,5k .

mert abszolút értékük egyenlő, mégpedig r =

gyedben lévő első gyök irányszögeD'*(f = 1, és az első síkne-

^1 = arc tg 1/3 = - ,

a negyedik siknegyedben fekvő második gyöké pedig

571ÍP2 = arctg(-(/3) = y .

A még szükséges köbgyökvonásokat elvégezve az alábbi hat gyököt kapjuk:

f i , - '

k = 0.In .

k= 1,U n .

[ e ^ \ k = 2;

f 5 n .

k = 0.\\n.

k= 1,\ln.

k = 2.

Ahhoz, hogy a gyököket algebrai alakban írhassuk fel, először trigonometrikus alakjukat kell meghatároznunk. Az átalakításokat végrehajtva:

l(cos 2 0 °+ /sin 20°) l(cos 140° + / sin 140°)

l l(cos 260° +Í sin 260°)

l(cos 100°+ í sin 100°) fz l(cos 220° + / sin 220°)

' i I(cos340°+isin340°)

0,9397+ 0,3420!-, A: = 0,-0,7660 + 0,6428/, k = \,- 0,1736-0,984S, A: =2;

-0,1736 + 0,9848?-, A: =0,- 0,7660-0,6428?', k = \,0,9397-0,3420(-, k=2.

156

4. Példa. Kapcsoljunk egy R ohmikus, egy L induktív, és egy C kapacitív ellenállás sorba kapcsolásából keletkező rendszer sarkaira U=Uo cos cot váltakozó feszültséget. Számítsuk ki a rendszer impedanciáját, az eredő ellenállását és az impedancia belső szögét; ha R = 20Q, L = 0,3H, C= lOO^F és co= 100;r (50 Hz)!

Megoldás. Az elektrotechnikából ismeretes, hogy ebben az esetben a rendszer impedanciája komplex érték, mégpedig

/ 1 \Z = R+ \ coL----- - i,V " w

amelynek abszolút értéke az eredő ellenállás:

Z | = R^+ I coL-1 2

coCj

és irányszöge az impedancia belső szöge vagy más néven fázisszöge:

1coL-

R (úC<p == arc cos-----, illetve (p = arc tg ------------ .

I ZI R

Feladatunk tehát

1_____ ^í\ 1 — L ,/

Z = 20+ ( 0,3 • IOOtt- . ^q-6 = 20 + (94,2-31,8)í = 20 + 62,4í.

Az eredő ellenállás

1 Z I = 1/20^+ 62,42 = [/400 + 3894 = 65,5fi,

az impedancia belső szöge pedig

20(p = arc cos-----= arc cos 0,3053 = 72,2°.

65,5

157

4. EGYENLETEK KÖZELÍTŐ MEGOLDÁSA

4,1 Az egyenletek megoldásárólEgyenletekkel és azok megoldásával már eddigi tanulmányaink során is találkoz­

tunk.

Definíció. Egyismeretlenes egyenletnek nevezzük az /(.x) = 0 egvenlöscget, ah<:>!.Y jelöli az ismeretlent, / pedig az ,x adott függvényét.

Az /(x) = 0 egyenletet a valós számok halmazán megoldani aiíoyit jelent, niisu megkeresni x mindazon valós értékeit, amelyekre az egyenlet bal oldala 0. Ezek az .V értékek az egyenlet megoldásai, gyökei. Ez másképpen fogalmazva azt jelenti, hogy meg kell keresni azokat az x valós értékeket, amelyekre az / függvény f{x) helyettesí­tési értéke 0.

Ha / polinom, akkor algebrai egyenletről beszélünk. Az algebrai egyenlet foka az ismeretlennek az egyenletben szereplő legmagasabb fokú hatványának a kitevőjével egyenlő.

Eddigi tanulmányaink során csak az első- és másodfokú algebrai egyenletek általá­nos, a közvetlen gyökvonással megoldható magasabbfokú algebrai egyenletek, vala­mint azoknak az egyenleteknek a megoldásával foglalkoztunk, amelyek rendezéssel vagy alkalmas helyettesítésekkel az előbbi típusok valamelyikére vezethetők vissza.

Az elsőfokú algebrai egyenletből az ismeretlen közvetlenül kifejezhető, a másodfo­kú algebrai egyenlet megoldására a jól ismert gyökképlet szolgál, amelynek segítségé­vel az egyenletben szereplő állandókból a négy alapművelet és a gyökvonás végesszá­mú alkalmazásával az egyenlet gyökei egzakt módon kiszámíthatók. A komplex számok halmazában a valós együtthatós másodfokú algebrai egyenletnek pontosan két gyöke van. A másodfokú egyenletek megoldását már az ókori görögök is ismer­ték.

A valós egjoxtthatós harmad- és negyedfokú algebrai egyenletek megoldása csak a XVI. században vált ismertté. A harmadfokú egyenlet megoldása S. dél Ferro és N. Tartaglia nevéhez fűződik, de a megoldóképletet először G. Cardano közölte az 1539-ben megjelent könyvében. A negyedfokú egyenletre először L. Ferrari adott megoldási módszert. A magasabb fokú algebrai egyenletek megoldásával sokan foglalkoztak, míg végül részben P. Ruffini, majd N. H. Ábel megmutatta, hogy az ötöd- és ennél magasabb fokú algebrai egyenleteket egzakt módon, azaz a négy

158

alapművelet és a gyökvonás véges számú alkalmazásával nem lehet megoldani, „gj'ökképlet’" nem írható fel.

Ez az elvi akadály tette szükségessé olyan közelítő módszerek kidolgozását, ame­lyek segítségével az igényeknek megfelelő pontossággal meghatározhatók az ötödfo­kú és az ennél magasabb fokú algebrai vagy más típusú egyenletek gyökei. Természe­tesen ezek a módszerek alkalmazhatók az egyébként egzakt módon is megoldható egyenletek megoldására is, és a gyakorlatban ezeket használjuk is, mert lényegesen egyszerűbb és sok esetben kevesebb számítással járnak, mint az egzakt megoldások.

A közelítő eljárások - az elvégzendő egyszerűbb műveletek miatt - könnyen programozna tók számítógépekre, és ma már kész programcsoírsagok kaphatók egy- egy közelítő eljárás elvégzéséhez.

Az /(jc) ~0 egyenlet valós gyökei közelítő értékeinek a kiszámítását két lépésre tagolhatjuk:

Az eísö (eiökészitő) lépésben tájékozódunk a?, egyenlet gyökeinek száma és a szám­egyenesen való elhelyezkedése felől, maja a gyököket (illetve a feladat szempontjából érdekes gyököt vagy gyököket), elkülönítjük (izoláljuk). Ez annyit jelent, hogy a felderíleti gyökök körül olyan intervallumokat határozunk meg, amelyekben más gyök már nincs.

A második lépésben azokat az intervallumokat, amelyekben egy-egy gyök találha­tó, addig szűkítjük, amíg a feladat kitűzésekor megszabott pontosságot el nem érjük.

Definíció. A keresett gyököt akkor tekintjük n jegyre pontosnak, ha annak a zárt intervallumnak, amelyben a gyök elhelyezkedik, a kezdőpontját, illetve a végpontját megadó szám első n jegye megegyezik, illetve szabályos kerekítés után egyezik meg.

Például az a- gyök két jegyre pontos értéke 1,1, ha [1,05; 1,14].Az első lépés végrehajtásához több módszer alkalmazható.1. Ha speciálisan egy egész együtthatós algebrai egyenlet racionális gyökeit keressük,

akkor azok Bézout tétele értelmében pontosan meghatározhatók.

T éte l (Bézout té te le ). A z egész együtthatós algebrai egyenletek racionális gyökei azon törtek közül kerülnek ki, amelyeknek a számlálója az egyenlet állandójának egy osztója, nevezője pedig az egyenlet legmagasabb fokú tagja együtthatójának egy osztója.

E tétel segítségével egy egész együtthatós algebrai egyenlet racionális gyökei véges sók lépésben pontosan meghatározhatók (tehát közelítő számításokra nincs is szük­ség), de nagyszámú osztó esetében a számítások nagyon hosszadalmasak is lehetnek.

2, Egy valós együtthatós algebrai egyenlet pozitív gyökeire felső korlát adható meg.

T éte l (L agrange té te le ). A z

anx” + ati-ix” + an-2x” + ... + ön-tx" *+... + űtlX +ŰO ~ 0

159

k ,---l/M

K = \ + — r a„

szám, ahol a„>0. M a legnagyobb abszolút értékű negatív együttható abszolút értéke, k pedig az a szám, amely az első negatív együttható indexét n-re egészíti ki.

A negatív gyökök egy alsó korlátját megkapjuk, ha a polinomban x helyébe — x-ei helyettesítünk és a műveletek elvégzése után kapott polinom pozitív gyökeinek a felső korlátját határozzuk meg az előző képlettel. Ennek ellentettje a negatív gyökök egy alsó korlátja.

Ezáltal egy intervallumot határozhatunk meg, amely tartalmazza a gyököket. (Megjegyezzük, hogy ez a korlát meglehetősen durva, csak tájékozódásra alkalmas.)

3. Ha az /(x) = 0 egyenlet bal oldalán álló / függvényről sikerül megállapítani, hogy az [a, b] intervallumban folytonos, és az f(a) és f{b) helyettesítési értékek ellenkező előjelűek, akkor Bolzano tétele értelmében az egyenletnek az [a, b\ intervallumban van (legalább egy) gyöke, ha ezen túlmenően az / függvényről még azt is tudjuk, hogy szigorúan monoton az [a, 6] intervallumban (például onnan, hogy f'(x)¥=0, x e [a, b], akkor az egyenletnek az [a, b] intervallumban pontosan egy gyöke van. Ha f'{xi) = 0, Xi e [a, b], i= 1, 2, . . . , k, akkor az xi osztópontokkal az {a, b] intervallum ^ + 1 számú részintervallumra bontható, amelyeket külön-külön vizsgálhatunk meg.

4. Ha az / függvény grafikonját az [a, b] intervallumban fe l tudjuk vázolni, akkor a grafikonnak és az x tengelynek a metszéspontjai tájékoztatnak az egyenlet gyökei­nek a számáról és az elhelyezkedésükről. A metszéspontok abszcisszái az ábráról durva közelítéssel leolvashatók. Sokszor ezt a vázlatot nem lehet vagy csak nagyon fáradságos munkával, ráadásul nagyon pontatlanul lehet elkészíteni, de / felbontható két függvény különbségére, azaz felírható például/ = g - h alakban, és mind g, mind h grafikonja külön-külön könnyebben és pontosabban vázolható fel az [a, b\ interval­lumban. Ekkor a két grafikon metszéspontjainak abszcisszái nyilván kielégítik g{x) = h(x) egyenlettel ekvivalens /(x) = 0 egyenletet, tehát tájékoztatnak a keresett gyökök számáról és elhelyezkedéséről.

Ha már az első lépésben sikerült meghatároznunk olyan intervallumot (vagy inter­vallumokat), amelyek tartalmaznak gyököket, akkor a gyökök pontosabb meghatá­rozására a 4.2-4.5 részekben ismertetett négy alapvető eljárást használhatjuk.

Kidolgozott példák

1. Példa. Állapítsuk meg, hogy a

4x + 3jc -2 8 x - 21 = 0

egyenletnek racionális gyökei mely számok közül kerülhetnek ki!

valós együtthatós algebrai egyenlet pozitív gyökeinek egy felső korlátja a

160

Megoldás. Mivel 4 osztói: ±4; ±2; ± 1; 21 osztói pedig ±21; ±7; ±3; ±1, ezért a szóbajöhető értékek:

21 21 7 7 3 3 , 1 1± 2 1 ; ± y ; ± — ; ± 7 ; ± - ; ± - ; ± 3 ; ± - ; ± - ; ± l ; ± - ; ± ^ .

Hosszadalmasabb számítás után ki lehetne deríteni, hogy ezek közül csak az

X = ---- érték gyöke az egyenletnek, az egyenlet másik két gyöke nem racionális.4

2. Példa. Tájékozódjunk az előbbi

4x + 3x^ -2 8 jc-2 1 = 0

egyenlet gyökeinek a számegyenesen való elhelyezkedéséről!Első megoldás. Használjuk Lagrange képletét a gyökök korlátainak megállapításá­

ra! Mivel esetünkben k = 2. A/=28, a„ = 4, ezért a pozitív gyökök egy fölső korlátja

^ = 1 + j/7 = 3,65.

A negatív gyökök egy alsó korlátjának a meghatározásához helyettesítsünk x helyébe— x-et! Ekkor

-4x^ + 3x + 28x-21 = 0,

illetve annak érdekében, hogy a„ pozitív legyen, ( - l)-gyel végigszorozva az egyenletet

4 x ^ -3 x ^ -28^ + 21 = 0.

Most k = \, M =28, ű„ = 4, és így a legutolsó egyenlet pozitív gyökeinek egy fölső korlátja

28K* = \ + 1 + 7 = 8.

4

Az eredeti egyenlet negatív gyökeinek egy alsó korlátja tehát - 8. Az egyenlet valós gyökei a [ - 8; 3,65] intervallumban vannak.

Második megoldás. Minthogy az f{x) = 4x^ + 3x^-28x-21 , x e R függvény az értelmezési tartományában folytonos, továbbá / ( —3)= — 18,/( —2)= 15,/( — 1) = 6, / (0 ) = -2 1 , / ( l ) = - 4 2 , / (2 ) = -3 3 , /(3) = 30, ezért az egyenlet egyik gyöke a [ - 3; - 2] intervallumban, egy másik gyöke a [ - 1; 0] intervallumban, végül egy újabb gyöke a [2; 3] intervallumban van. Az eddigiekből az is kiderült, hogy az egyenletnek három valós gyöke van.

161

Megjegyzés. Tudva azt, hogy az egyenlet egyik gyöke xi — - - , az egyenlet bal

oldala szorzattá alakítható;

(4x4-3) ( x ' ' - 7) = 0,

és ebből az egyenlet másik két gyöke már leolvasható:

X2 = |/7 és X3 = - fi.

Könnyen ellenőrizhető, hogy a három gyök benn van az első megoldásban kapott intervallumban, és egy-egy gyök a második megoldásban kapott három intervallum egyikében van.

3. Példa. Határozzuk meg a

36. ábra

sinx —x + 2 = 0

egyenlet gyökeinek a számát és tájé­kozódjunk elhelyezkedésükről!

Megoldás. Az adott egyenlet ekvi­valens a

sin X = X — 2

egyenlettel. Az egyenlet bal és jobb oldalán álló függvények grafikonja könnyen felvázolható (36. ábra), és az ábráról leolvasható, hogy az egyenletnek egy gyöke van, és ez a [2; 3] intervallumban van.

4.2 A Horner-féle eljárásA Horner-féle eljárás polinomok helyettesitési értékeinek a kiszámítására alkalmas,

és ezért elsősorban az egyenlet gyökeinek a behatárolásához használják, de gyökköze­lítő módszernek is tekinthető, ha a gyököt tartalmazó intervallum szűkítéséhez szük­séges értékeket a Horner-féle eljárással határozzuk meg.

Számítsuk a

p(x) = a„x” + a„-íx” * + ... + aiX + űo

alakú polinom helyettesítési értékeit!

162

Ha a helyettesítést p eredeti alakjába végezzük el, akkor ez a hatványozás miatt elég hosszú munkát igényel. Horner a polinom átalakításával a helyettesítési érték kiszá­mítását szorzások és összeadások ismételt elvégzésére vezette vissza, és ezért az eljárás könnyen gépesíthető. Ha számítógépünk közbülső adatok tárolására nem alkalmas, a Horner-féle elrendezésben könnyen áttekinthető módon rögzíthetjük adatainkat.

Ha a p{x) M-edfokú polinomot x-nek («— l)-szeri kiemelésével a

p{x) =-- x{x...x{x{a„x + a„-i) + a„-2]--- + ai) + ao

alakra hozzuk, észrevehetjük, hogy a p(xi) helyettesítési érték úgy számítható ki, hogy ö„-t megszorozzuk xi-gyel, majd hozzáadjuk íj„-i-et. A kapott eredményt (ez van a gömbölyű zárójelben) megszorozzuk xi-gyel és hozzáadjuk a„-2- t A kapott ered­ményt (ez van a szögletes zárójelben) megszorozzuk xi-gyel és hozzáadjuk a„ - 3-t. E/l az eljárást addig folytatjuk, amíg ao-t is felhasználjuk. A műveletsorozat végén a helyettesítési érték áll előttünk. Az egyes részleteket olyan táblázatba rendezhetjük, amelynek fejlécébe a polinom együtthatóit írjuk az ismeretlen fogyó hatványi szerinti sorrendben, a bal oldali oszlopba azokat a számokat, amelyeket be óhajtunk helyette­síteni, egy ilyen szám sorába pedig azokat a részleteredményeket, amelyeket egy-egy együttható bevonásával kaptunk. A táblázat fejléce és egy sora tehát így fest;

ün Cin — 1 Cin —2 ao

ün üijX 1 “í“ Qfi — 1 {a„xi + a„-i)xt + a„ - 2 ... P{Xl)

Megemlítjük végül, hogy a Horner-féle eljárás a kerekítési hibákra nagyon érzé­keny, ezek gyorsan halmozódnak. Ha valamely kitevőjű hatvány nem szerepel a polinomban (együtthatója 0), akkor ezt a 0-t is fel kell tüntetni a fejlécben.

Az eljárás részletes végrehajtását példákon keresztül mutatjuk meg.1. Keressük meg az

p(x) = x^ — 2x^ —5x+6 = 0

egyenlet valós gyökeit a Homer-féle eljárással két jegy pontossággal!Először gyakorlásképpen számítsuk ki az egyenlet bal oldalán álló polinomfügg-

vény néhány helyettesítési értékét!Esetünkben 03 = 1, így a fejléc első eleme 1, és a többi sor első eleme is I. A fejléc

többi eleme rendre —2, —5, 6. Legyen az első érték, ahol p helyettesítési értékét kiszámítjuk: x o = 4. Ekkor az első sor második eleme 4 1 -2 = 2, harmadik eleme 4 -2 — 5 = 3, negyedik eleme 4 -3 + 6 = 1 8 , vagyis

1 - 2 - 5 64 1 2 3 18 '

A táblázatból leolvasható, hogy p(4)= 18, és xo = 4 nem gyöke az egyenletnek.

163

Határozzuk meg néhány más érték, például x= -3 , x= - l , x = 0, x = 2, x = 3 esetén a függvény helyettesítési értékét! Eredményeinket foglaljuk táblázatba:

1 - 2 - 5 6- 3 1 - 5 10 -2 4- 1 1 - 3 - 2 8

0 1 - 2 - 5 62 1 0 - 5 - 43 1 1 - 2 0

Gyakorlás közben már meg is találtuk az egyik gyököt: xi = 3, mert ezen a helyen a helyettesítési érték éppen nulla. A kapott helyettesítési értékeket vizsgálva az is azonnal megállapítható, hogy egy gyöknek az x = —3 és jc= —l értékek között, vagyis a [—3; -1 ] számközben, egy további másiknak az x = 0 és x = 2 értékek között, vagyis a [0; 2] számközben kell lennie, mert a függvény helyettesítési értéke a két-két szélső helyen ellenkező előjelű és p az egész értelmezési tartományban folytonos. Nézzük meg a helyettesítési értéket a számközök felezőpontjaiban, hogy megállapíthassuk, melyik felükben van a gyök:

1 - 2 - 5 6- 2 1 - 4 3 0 !

1 1 - 1 - 6 0 !

Láthatjuk hogy mind a két helyettesítési érték nulla, így újabb két gyököt kaptunk. Ezzel meghatároztuk a harmadfokú egyenlet mind a három valós gyökét (mégpedig pontosan):

Xl = 3, X2= - 2 , X3= 1.

Ebben a speciális esetben a Horner-éljárással kevés számolással megkaptuk a pontos gyököket.

2. Oldjuk meg a

\2 x ^ -U x ^ + Sx + l = 0

egyenletet a valós számok halmazán két jegy pontossággal!Határozzuk meg először az előző pontban említett 2, módszer alapján a gyökök

alsó és felső korlátját, hogy az ezek által meghatározott intervallumból válasszunk majd a Horner-féle eljáráshoz induló értéket.

Esetünkben 1, Af=44, a„= 12, ezért a pozitív gyökök egy felső korlátja

44/s: = 1 + — = 1 + 3,67 = 4,67.

164

Ha az egyenlet bal oldalán x helyébe — x-et helyettesítünk és az egyenlet mind a két oldalát ( — l)-gyel megszorozzuk, a

12x + 44x + 5a— 7 = 0

egyenletet kapjuk. Ez utóbbi egyenlet pozitív gyökeinek egy felső korlátja, mivel k = 3, M = l, a„=12.

K* = 1 +12

= 1 + 0,84 = 1,84.

Az eredeti egyenlet negatív gyökeinek egy alsó korlátja tehát — 1,84. Az egyenlet valós gyökei ezért a [ - 1,84; 4,67] intervallumban vannak.

A Horner-féle eljárás induló értékéül válasszuk ebből az intervallumból az jc = 0 és az X = — 1 értékeket. Eredményünk:

12 -4 4 5 7, 0 12 -4 4 5 7- 1 12 -5 6 61 -5 4

Mivel a két helyettesítési érték különböző előjelű, ezért egy gyök — 2 és 0 között van (ezt mutatja a nyíl is). Finomítsuk a behatárolást úgy, hogy válasszuk egy közbenső pontot, és számítsuk ebben a pontban a függvény helyettesítési értékét. Következő lépésben ismételjük meg ezt az eljárást arra a részintervallumra, melynek két végpont­jában a helyettesítési érték ellenkező előjelű. Ezt addig folytatjuk, míg a gyököt az előírt pontossággal meg nem közelítjük.

12 -4 4 5 7-0,5-0,3-0,4-0,35-0,33

1212121212

-5 0-47,6-48,8-48,2-47,96

3018,2824,5221,8720,83

1,52- 2,8-0,6545

0,127

A táblázatból látható, hogy a keresett gyököt már elég jól megközelítettük. Alkalmaz­

zuk most Bézout tételét. Ennek értelmében lehetséges, hogy — - gyöke egyenletünk­

nek. Helyettesítsük ezt az értéket a Horner-féle formulánkba.

12 -4 4 5 71

~ 312 -4 8 21 0!

165

Ezzel az egyik gyököt megkaptuk. Megkísérelhetnénk most más (például pozitív) értékek behelyettesítésével egy másik gyököt is megkeresni, de nem ezt a módszertkövetjük.

Ismeretes, hogy ha az xi érték egy polinom zérushelye, akkor a polinom az (x -jci)í r

gyöktényezővel osztható. Osszuk el tehát az eredeti egyenlet bal oldalát

(12x^ -4 4 jc + 5jc + 7).Y x + = 12x^-48x + 21

12x^+ 4x^

x -\— )-dal:^ j

-48x^ + 5x + 7 -4 8 x ^ -1 6 x+

21x + 7 21x + 7

“ Ö

így az eredeti egyenlet bal oldala az (12x^ —48x + 21) alakban írható fel,

és a hiányzó két gyök meghatározásához már csak a

12x^-48x + 21 = 0

1 , 7másodfokú egyenletet kell megoldanunk. Ennek gyökei xi = - és X2 = - . Az eredeti

harmadfokú egyenlet gyökei tehát pontosan

1 7 1^1 = 2 ’ ^2 = 2 ’ = - 3 •

Vegyük észre - de ennek részletes bizonyításával nem foglalkozunk -, hogy a Horner-féle elrendezés utolsó sorában, vagyis abban a sorban, amelyben a gyököt megtaláltuk, annak az eggyel alacsonyabb fokú poUnomnak az együtthatóit találjuk meg, amelyet az eredeti polinomnak az illető gyökhöz tartozó gyöktényezővel való elosztása után kaptunk. Ez a fehsmerés feleslegessé teszi az előbb bemutatott osztás végrehajtását.

3. Oldjuk meg az

x" + x ^ -2 3 x ^ -3 x + 60 = 0

egyenletet Horner-módszerrel a valós számok halmazán két jegy pontossággal!

166

Először is kíséreljük meg legalább egy gyök behatárolását!

1 1 -2 3 - 3 600 1 1 -2 3 - 3 601 1 2 -21 -2 4 362 1 3 -1 7 -3 7 -1 41,7 1 2,7 -18,4 -34,2 21,8 1 2,8 -17,95 -35,2 -3 ,21,74 1 2,74 -18,23 -34,72 -0,421,73 1 2,73 -18,27 -34,62 0,11

1 1/3+1 1/3 - 2 0 -20^^ 0!

A feladat szövegének már az utolsó lépés előtt is eleget tettünk, hiszen az xi = \ , l gyök két jegyre pontos, de szerencsés ötlettel pontos gyökhöz jutottunk.

Ezzel megkaptuk a negyedfokú egyenlet egyik gyökét xy = f í , és az (x-|/3 ) gyöktényezővel való osztás után kapott még megoldandó harmadfokú egyenletet:

x^ + (|/3+l)x^ + (|/3 -20)jc-20[^ = 0.

Ismét a Horner-féle eljárással keresünk újabb gyököt.

1 1/3 +1 1^-20 - 201^

- 1

- 21 [/3 -2 0 2 0 -2 0 (/'3 < 0 1 1/3 - 1 / 3 - I 8 -18 |/3 + 3 6 > 0

- 1 és - 2 között biztosan van gyök, és mivel az együtthatókban többször is szerepel a j/S, ezért megnézzük, hogy - )/3 nem gyök-e.

1 |/3+ l j/3-20 -201/3

- f i - 2 0 0

Ezzel megtaláltuk a harmadfokú egyenlet egyik és egyúttal az eredeti negyedfokú egyenlet egy újabb gyökét: xz = - 1/3, és a még megoldandó másodfokú egyenlet

x^ + x -2 0 = 0.

Ennek gyökei

- 1 ± 1/1+ 80X 3 ,4 = -----------. . . . . . . . . , ^ 3 = 4 , X4 = - 5 .

167

így az eredeti negyedfokú egyenlet négy (valós) gyöke

X t = ][l, X2 = -|/3 , X3 = 4, X4 = - 5 .

A megoldást utólag végigtekintve látható, hogy ha az első gyök keresését a 4, illetve a - 5 körül kezdtük volna el, sokkal egyszerűbben találtuk volna meg a gyököket, mert először a racionális gyökökhöz jutottunk volna el.

4.3 A húrmódszerHa az /(x ) = 0 egyenlet egy gyökét már behatároltuk, akkor a gyök egyre ponto­

sabb értékének meghatározása eddig elég önkényesen választott ütemben történt. így előfordulhat, hogy sok, a feladat megoldását előre nem vivő, fölösleges számítást is végzünk. A megoldást gyorsítja, hogy ha a finomítást nem ötletszerűen, hanem tudatosan végezzük.

Ezt a célt szolgálja például a húrmódszer. Az eljárás akkor alkalmazható, ha az / függvény abban a számközben, amelyben a zérushelyét keressük,/o/j/o«o5. Ez példá­ul polinomfüggvény esetében teljesül.

Az eljárás szemléltetése érdekében az / függvény grafikonját is ábrázolni fogjuk.Tegyük fel, hogy már ta­

láltunk két olyan helyet {a ésb), ahol a függvény értéke különböző előjelű és az [a, b] intervallumban csak egy gyök van (37. ábra). Kös­sük össze a Pi(ű; f{a)) és Piib-, f{b)) pontokat egy húrral, és tekintsük e húrnak az X tengellyel való xi met­széspontját. Ez vagy gyök (és ekkor készen vagyunk), vagy nem, azaz „hamis ér­ték” (innen ered az eljárás elnevezése; regula faisi, fal- sus = hamis, latin). Ha nem

gyök, akkor ezt választjuk az új számköz egyik végpontjának, másik végpontnak pedig a és 6 közül azt, ahol f{x) előjele ellenkező mint /(x i) előjele, legyen ez pl. a. A Pi(a; f(a)) és ^ 3(^1; /(^ i)) pontokon át ismét húrt fektetünk, kiszámítjuk ennek az X tengellyel való metszéspontját, ez vagy gyök, vagy nem. Ha igen, készen vagyunk, ha nem, folytatjuk az eljárást mindaddig, amíg a gyököt el nem érjük, vagy kellő pontossággal közelébe nem értünk.

168

Végezzük most el az előbb vázolt számításokat! A Pi(a; f{a)) és P2{b\ f{b)) ponto­kon áthaladó egyenes (húr) egyenlete

y - f { a ) = —7------i x - a ) .b — a

Ennek metszéspontja az x tengellyel ott van, ahol 3 = 0, és így a metszéspont abszcisz- szája, azaz a gyök első közelítő értéke

b - am -m

Megemlítjük, hogy e módszernél a számítást nem lehet „elrontani”, ugyanis, ha valamely lépésben rosszul számolunk, azt a következő lépésekben helyrehozzuk, csak a számítás áll majd a szükségesnél több lépésből.

K id o lg o zo tt példa

Az előző rész második példájában láttuk, hogy a I2x^ — 44x^ + 5jc + 7 = 0 egyenlet­nek egyik gyöke a - 0,4 és - 0,3 értékek közé esik. Határozzuk most meg a gyök közelítő értékét a húrmódszerrel négy jegy pontossággal!

Legyen a = -0 ,4 , ekkor láttuk, hogy /(a ) = -2 ,8 , legyen 6 = -0 ,3 , ekkor f(b)= 1,52. A gyök első közelítő értéke

-0 ,3 + 0,4 = -0 ,4 + 2,8 , ’ = -0,3351.

1,52 + 2,8

Az f (x i) helyettesítési érték

/ 12 -4 4

-0,3351 12 -48,02 21,09 -0,067

negatív, tehát a második közelítő értéket a Pi(-0,3351; -0,067) és a P(-0 ,3 ; 1,52) pontok alapján számítjuk ki.

-0 ,3 + 0,3351 X2 = -0,3351+0,067 = -0,3336.

1,52 + 0,067

Az /(X2) helyettesítési érték

/ 12 -4 4

-0,3336 12 -48,0032 21,0138 -0,0102

abszolút értékben kisebb, mint /(x i), vagyis valóban közelebb jutottunk a gyökhöz.

169

A harmadik közelítő értéket a ?2(-0,3336; -0,0102) és P (-0 ,3 ; 1,52) pontok alapján számítjuk ki.

-0 ,3 + 0,3336 . . . - 0 , 3 3 3 6 + 0 , 0 1 0 2 - 0 . 3 3 3 3 7 .

Az X2= -0,3336 és x$= -0,333 37 értékét összehasonlítva látjuk, hogy a kitűzött feladatot megoldottuk, és a közelítő érték 4 jegy pontossággal x = -0,333.

Az előző részben láttuk, hogy a gyök pontos értéke ^ ~ ^ • Aközelítés hibája

kisebb, mint 10"^.Az X3 közelítő gyök esetében annak az intervallumnak a hossza, amelyben a gyök

található | 6 - xs | = | - 0,3 - (-0,333 37) | < 0,0334. A valóságban xs sokkal köze­lebb van a gyökhöz, mint az előbbi intervallum hossza, hiszen

- - - ( -0 ,3 3 3 37) = 0,000 04. Ezt azonban csak a gyök pontos értékének az

ismeretében írhattuk fel. Az eltérés oka a következő: példánkban a gyök közelítő értékeinek a sorozata a gyököt csak az egyik oldalról közelítette meg, mert a P pont valamennyi közelítésben szerepelt, és így a gyököt tartalmazó intervallum a gyöknek csak az egyik oldalán (esetünkben a bal oldalán) szűkült, a P felőli része változatlan maradt. Ha a gyök az intervallum mindig szereplő végpontjától „távol” van, akkor a közelítés üteme az eljárás során a lehetségesnél lassúbb lehet.

A közelítő eljárást meggyorsíthatjuk azzal, hogy amikor az eljárás során észrevesz- szük, hogy a közelítés lelassul, akkor önkényesen a gyök másik oldalán is szűkítjük az intervallumot, természetesen vigyázva arra, hogy a helyettesítési értékek előjele közben azonos maradjon, azaz ne ugoijuk át a gyököt.

Például ha feladatunkban a második lépés után az X2 = - 0,3336 értékhez önkénye­sen az X* = - 0,333 közelítő értéket választjuk, akkor

/ 12 -4 4 5 7

, -0,333 12 -47,996 20,9827 0,0127 >0

és ezzel

-0,333 + 0,3336 - 0 , 3 3 3 6 . 0 , 0 . 0 2 - ^ , 5 ^ 5 ^ ^ . -0,333 3327,

ami 6 jegy pontosságú gyök kiszámításához is felhasználható.

170

4.4 Az érintőmódszerAz f(x ) = 0 egyenlet gyökének közelítő meghatározásakor esetenként gyorsabban

jutunk célhoz, ha az [a, b] intervallum, amelyben a gyök található, egyik végpontjában az / függvény grafikonjához érintőt húzunk és ennek az érintőnek és az x tengelynek a metszéspontját választjuk a keresett gyök első közelítő értékének. Az eljárást az így kapott értékkel megismételjük, majd addig folytatjuk, amíg a gyököt a kívánt pontos­sággal el nem érjük (38. ábra). Be lehet bizonyítani, hogy ez az eljárás a gyökhöz vezet, ha / az [a, b] intervallumban kétszer differenciálható, xe[a , b\, ésf"(a)f(a)>0, ha az a abszcisszájú pontból indulunk ki.

Ha az / függvény grafikonjához a P(a; f(a)) pontban érintőt húzunk, akkor an­nak egyenlete

y - / ( a ) = f ( a ) ( x - a )

alakú, mert iránytényezője /'(a). Ez az érintő ott metszi az x tengelyt, ahol j = 0, ezért a metszéspont abszcisszája (jelöljük j>ci-gyel)

f(a)f ia )

Ha ez az érték gyöke az egyenletnek, akkor készen vagyunk, ha nem, akkor az eljárást a /(x i)) pontból kiindulva megismételjük. Az így kapott xi, X2 , ...,x„ sorozat a mondott feltételek mellett konvergens és a gyökhöz tart.

K idolgozott példa

Határozzuk meg a 4.2 rész 2. példájának - 0,4 és - 0,3 közé eső gyökét érintőmód­szerrel öt jegy pontossággal!

A megoldáshoz szükséges függvények:

f(x ) = 12x^ - 44x^ + 5x + 7, f { x ) = 36x^-88a: + 5, f"(x) = 72X-88.

Induljunk ki például az a = - 0 ,4 értékből! Láttuk, hogy ekkor /(a) = -2 ,8 , /'(ű ) = 45,96, mert

/ ' 36 -8 8 5

-0 ,4 36 -102,4 45,96

171

f"(a)= - 116,8. Az érintőmódszer alkalmazható, mert

/'(a ) #0 , f i a ) fia) = ( - 2,8) ( - 116,8) > 0.

Az első közelítés

A helyettesítési értékek:

-0,3391.45,96

/ 12 -4 4 5 7

-0,3391 12 -48,0689 -21,3001 -0,2229

/ ' 36 -8 8 5

-0,3391 36 -100,2076 38,9804

A második közelítő érték

- 0 2229X2 = -0,3391------- -0,333 38.

38,9804

A helyettesítési értékek

így

/ 12 -4 4 5 7

-0,333 38 12 -48,000 56 21,002 43 -0,001 78

/ ' 36 -8 8 5

-0,333 38 36 -75,9832 .30,363 19

X3 = -.n -0,001780,333 38----------------= -

30,363 190,333 32.

X2 és X3 egybevetéséből látható, hogy a keresett gyök közelítő értéke öt jegy pontossággal —0,3333.

Figyeljük meg, hogy a húrmódszer alkalmazásakor a harmadik lépés után csak három, az érintőmódszer alkalmazásakor pedig már öt jegy pontossággal kaptuk meg a gyököt.

172

4.5 Az iteráció módszereSok esetben - különösen a nem algebrai egyenletek megoldásához - az iteráció

módszerét célszerű alkalmazni, amelynek a lényege a következő:A megoldandó /(x ) = 0 egyenletet (például x-et az egyenlet mind a két oldalához

hozzáadva)X = f(x ) + x — <p{x)

alakúra hozzuk. Legyen egyenletünk egy gyökének egy (akár durva) közelitő értéke xi, és képezzük a következő számsorozatot:

(p(,Xi) = X2,(p{X2) = X2,,

<p{x„- í ) = x„.

Ha az {x„} számsorozat konvergens, akkor minden «>«o természetes számra

I X „ - X „ - 1 I = I ( p { x „ - í ) - x „ - i I < f i ,

ahol e tetszőlegesen kicsi pozitív szám. Ez pedig éppen azt jelenti, hogy a q>{x) - x = 0 és ezzel együtt az eredeti f{x) = 0 egyenletnek egy tetszőlegesen pontos megoldását adja x„.

Az eljárás jobb megértése érdeké­ben lépéseinket szemléltetni is érde­mes. Tegyük fel, hogy / és vele együtt f is folytonos függvény, és ábrázoljuk közös koordináta-rend­szerben az _v = <p{x) és >» = X egyenletű grafikonokat (39. ábra)\ A (p{x) — x egyenletet megoldani szemléletesen annyit jelent, mint megkeresni az y = f{x) és az _v = X egyenletű grafiko­nok közös pontjának az abszcisszá­ját.

Legyen a gyök első közelitő értéke xi, akkor (p{x{) a Pi pont ordinátája.A (p{xi) = X2 egyenlőség úgy is értelmezhető, hogy megtaláltuk az = x egyenesen azt a P'i pontot, amelynek abszcisszája egyenlő a Pi pont ordinátájával, vagyis az y = <p{xi) egyenletű, az x tengellyel párhuzamos egyenes és az 3 = x egyenletű egyenes metszéspontját. A f{x 2) kiszámítása megfelel annak, hogy megkeressük az y - f ( x ) egyenletű görbének és az y tengellyel párhuzamos x = xi egyenletű egyenesnek a

173

metszéspontját, a P2 pontot. Most P2-ből kiindulva megismételjük az előbbi eljárást. A 39. ábrán nyilak mutatják, hogy a vonalak meghúzását milyen rendszer szerint ismételtük (iteráltuk): Az x tengely egy pontjából kiindulva az y tengellyel párhuza­mosan haladtunk &zy = <p{x) egyenletű görbéig, onnan az x tengellyel párhuzamosan haladtunk ■dzy = x egyenletű egyenesig, onnan az tengellyel párhuzamosan^ görbé­ig, majd az x tengellyel párhuzamosan az egyenesig, és így tovább, amíg a gyök kívánt pontosságú környezetébe nem értünk.

A 39. ábrára tekintve az is azonnal látható, hogy ha az x* pontból indultunk volna el, akkor a Qi, Qi, ... pontokon át ugyanahhoz a gyökhöz jutottunk volna el.

Az, hogy az xi, xz, X3, ... számsorozat konvergens-e vagy divergens, és az eljárás gyökhöz vezet-e vagy sem, továbbá hogy ennek mi a feltétele, az a 39-42. ábrákról leolvasható. Az ábrák mutatják, hogy az eljárás akkor vezet gyökhöz, ha a gyök közelében dLzy-(p{x) egyenletű görbe meredeksége abszolút értékben kisebb, mint az y - x egyenletű egyenesé, azaz \q>' \ < 1. Hogy e feltétel szükséges és elegendő, az függvénytani módszerekkel bizonyítható be, de ettől itt eltekintünk.

174

Felvetődik még az a kérdés, hogy mi a teendő akkor, ha a gyök közelében t I > 1- Ebben az esetben - ha létezik - n f függvény (p-\ inverz függvényét vesszük. Ez <p grafikonjának az y = x egyenletű egyenesre való tükrözését jelenti, és ez a tükrözés a grafikon és az egyenes közös pontjait helyben hagyja. Ebből követke­zik, hogy a ^{x) = x és a <p-i{x) = x egyenlet gyökei megegyeznek, ezért az utóbbiak

kiszámításával feladatunkat megoldottuk. Az analízisben tanultuk, hogy q>'-i = —,9

ezért ha | (p'{x) 1 > 1, akkor i | < 1, és ezért eljárásunk gyökhöz vezet.

KIDOI.GOZOTT PÉLDA

Oldjuk meg aze~* — x ~ 0 egyenletet a valós számok halmazán az iteráció módsze­rével öt jegy pontossággal!

Megoldás. Az egyenletet az

alakra hozva és az y = ~ * és j = .v egyenletű grafikonokat ugyanabban a koordináta-

rendszerben ábrázolva (43. ábra) látható, hogy az egyenlet egyetlen gyöke a [0; 1] intervallumban van. Mivel a [0; 1] intervallum bármely x értékére

1< 1,

ezért az iteráció módszere alkalmazható. Induljunk ki például az = 1 értékből és képezzük a közelítő gyökök sorozatát:

175

0,3678,e" 0.3678g - 0 ,6922

e “ 0 - 5 o o 4 ^ Q g Q g 3 ^

^ - 0 , 6 0 6 3 ^ 0 5 4 5 4 ^

e " 0 - 5 4 5 4 ^ 0 5796 e"0.5796^Q5gQj^

e~0’560i = 0,5711,^ - 0 , 5 7 1 1 5 ^ 4 9 ^

^ - 0 , 5 6 4 9 ^ Q 5 g g 4 ^

e“0’5®8 = 0,5664,e~0.5664^()^5g75^^ - 0 , 5 6 7 5 ^ Q 5gg9^

e~0-5665> 0,5672, e^"’ ®72 0,5670,^“0-5670^0,5671,e~o-S67i_0,5671.

A keresett gyök közelítő értéke öt jegy pontossággal

x = 0,5671.

Végigtekintve a kiszámított értékeken látható, hogy példánk a ■ÍO. ábrán szemlélte­tett esetet valósította meg.

176

FÜGGELEKVEKTORANALÍZIS

1. EGYPARAMETERES VEKTOR-SKALÁR-FÜGGVÉNYEK,

TÉRGÖRBÉK

1.1 Az egy skaláris változótól függő vektorfüggvény

Tekintsük a valós számok halmazán vagy részhalmazán értelmezett három egyvál­tozós függvényt, az x, y, z függvényeket, és legyen e függvényeknek a t valós értékhez (paraméterértékhez) tartozó x(í), y{t) és z{t) helyettesítési értéke egy r helyvektor három koordinátája a derékszögű koordináta-rendszerben:

t r(í) = x(Oi+.KOj + (Ok-

Ha a í paraméter befutja az értelmezési tartományt, akkor az előbbi utasítással egy skaláris változótól (paramétertől) függő vektorfüggvényt, röviden egyparaméteres vektor-skalár-függvényt értelmeztünk. Ilyen függvénnyel eddigi tanulmányaink során már találkoztunk, ugyanis az egyenes

r(t) = ro + ív = (xo + tv^)i + (yo + tv )] + (zq + tv.^k

vektoregyenletének (1.3.1 pont) a jobb oldala egyparaméteres vektor-skalár-függ- vénynek tekinthető.

Az értelmezett leképezés R->R^ típusú.Annak érdekében, hogy az r vektor-skalár-függvényt az r vektortól megkülönböz­

tessük, a függvényt sokszor r(í)-vel fogjuk jelölni.Az f(í) vektor-skalár-függvény értelmezési tartományát Z),-rel, az értékkészletet

i?,-rel szokás jelölni.Ha az r(í) vektor-skalár-függvény értékkész­

letéi alkotó helyvektorokat egy derékszögű ko­ordináta-rendszerben ábrázoljuk, akkor ezek végpontjainak a halmaza az r(í) grafikonját al­kotja. Ez általában egy térgörbe (FI. ábra).

Ha az r(í) vektor-skalár-függvénynek csak két komponense van, akkor grafikonja síkgörbe, de nem minden síkgörbe adható meg kétkompo- nensü vektor-skalár-függvénnyel. fi. ábra

179

A t paraméternek több különféle jelentés tulajdonítható. Ha például t időt jelent, akkor az r(í) vektor-skalár-függvény egy mozgó pont pályagörbéjét írja le.

Az r vektor-skalár-függvény egy adott íq paraméterértékhez tartozó vektorát r(ío)-lal vagy röviden fo-la l fogjuk jelölni. Ha a függvény komponenseit vagy a koordinátáit is fel akarjuk tüntetni, akkor az

r(/o) = x (ío )i + X ío )j + 2(^o)lí

vagy az

rW^o); X^o); A Q )

jelölést alkalmazzuk.

Definíció. Az r függvény határértéke a t^ paraméterértékű pontban a W vektor, ha minden eeR"^ számhoz van olyan á (e )e R ‘ szám, hogy bármely, a0 < lí—?ol ^ <5 feltételt kielégítő t esetében

|r (0 -W | < e.

Ha r-t komponenseivel írjuk fel, akkor látható, hogy r határértékének létezése három skalárfüggvény határértékének létezését követeli meg.

Definíció. Az r vektor-skalár-függvény folytonos a t^ paraméterértéknél, ha ott van helyettesítési értéke, van határértéke és a kettő egyenlő egymással.

r komponenseire áttérve látható, hogy r folytonossága az x, y és z függvény folytonosságával egyenértékű.

Az r függvény az [a; b\ paraméterintervallumban folytonos, ha annak minden pontjában folytonos; ekkor grafikonja folytonos vonal.

Kidolgozott példa

Tekintsük azt a hengert, amelynek vezérgörbéje az jc, y síkban az x^ + y^ = egyenletű kör és tengelye a z tengely. íqunk a hengerre olyan csavarvonalat, amelynek emelkedése állandó, legyen ez b. írjuk fel a csavarvonal egyenletét!

Megoldás. Az adott kör paraméteres egyenlete x = a cos t, y = a sin t. A csavar­vonal állandó b emelkedése azt jelenti, hogy a paraméter egy radiánnyi növekedése esetén a csavarvonal pontjai a henger tengelye irányában, esetünkben a z tengely irányában b egységnyit elmozdulnak (F2. ábra).

így a keresett csavarvonal vektoregyenlete

r(í) = {a cos í)i + (a sin í)j + bt\i.

180

A csavarvonal egy menetét akkor kapjuk meg, ha 0^í^27 t. a csavarvonal menetmagassága a h = 2nb érték. Ha ez ismert, akkor ebből az emel­kedés b = hjln. A hengerre írt állandó emelkedé- sű csavarvonal menetei egybevágóak. A henger tengelyének egy egységnyi hosszára eső menetek száma: a menetsürüség. Léteznek nem állandó emelkedési! csavarvonalak is, ezek menetsűrűsé­ge változó.

F2. ábra

1.2 DeriváltfüggvényDefiníció. Az r vektor-skalár-függvényt differenciálhatónak mondjuk a t^eD , paraméterértékű pontban, ha áttérve az értelmezési tartomány egy t paraméter­értékű pontjára (F3. ábra), a

r(í)-r(ío) hm ------------f- to t —ÍQ

határértékvektor létezik. Ez a határérték a differenciálhányados-vektor, jele f(ío).

Az r(ío) vektor az r = r(í) egyenletű görbének a íq paraméterértékű pontjában húzható érintője irányába mutat, azaz az érintő egyik irányvektora.

Ha az r fűggyény a ]/i; íji <= D, intervallum minden pontjában differenciálható, akkor az intervallumban differenciálható, és a í -> f(0, te^ty', t-^ függvényt az r

függvény deriváltfüggvényének vagy deriváltjának nevezzük; jele f, — .dt

Az f deriváltfüggvény komponensei a íq paraméterértéknél az eredeti függvény komponenseiből a definíció alapján a következő módon határozhatók meg:

181

V , ^ 1 • ~ ^ o )« + X ^ o ) j + z ( ^ o ) k ]r(ío) = nmt-to t-ÍQ

= iimt-*to

x(í) - x(to). y(t) - yito). z(t) - z(to),1 + — — -------j +

t - to t - to t - t ,

= x(ío)i+J>(ío)j + (ío)k-

így a deriváltfüggvény komponensei:

f(í) = x(0i + j)(0j + i(0k , t e D , .

Hasonló módon mutatható meg, hogy ha az r(/) = x(í)i+j(0j + (0k kétszer differenciálható, akkor a második derivált komponensei az eredeti függvény kompo­nenseinek második deriváltjaival egyenlők:

r(í) = x(í)i+ j(r)j + f(Ok, t e A-

Hasonló szabály érvényes a magasabbrendű deriváltak kiszámítására is.Az r vektor-skalár-függvény differenciálhatóságát a következő módon is definiál­

hatjuk ;

Definíció. Az r függvényt a íq paraméterhelyen differenciálhatónak mondjuk, ha a paraméterértékeket A t = t - t o értékkel megváltoztatva a függvény r(í) — r(/o) = Ar megváltozása felírható a

Jr = D At + eA t

alakban, ahol D a ÍQ-tól függő, de a At-iő\ független vektor és ha At-^0, akkor £ - » 0.

Belátható, hogy D az első definícióban szereplő f(ío) vektorral egyenlő, vagyis

Ar = f(ío) At + &At.

Ha r differenciálható egy intervallumban és f ott folytonos, akkor azt mondjuk, hogy az r grafikonja sima ebben az intervallumban.

Könnyen bizonyíthatók a következő differenciálási szabályok:

\. — {ax{t)) = ai(J), {a skaláris állandó); dt

2 .y (/(0 r (0 ) = /(0 r (0 + /(0 f(0 ; dt

182

3 .^ M 0 + r 2 « ) = íi(0+ f2(0 ;at

4.^(ri(0r2(0) = ri(0r2(0 + ri(0f2(0;

5. ^ (ri(0 >« r2(0) = ri(0 x TjÍO + ri(/) x i^{i) ;

6. ^(riíOraíOrsíO) = fi(í)r2(0r3(0 + ri(0r2(0r3(0 + ri(0r2(0r3(0; at

7. ^ r(/(0) = ^ /(O, ^ (r ° y) = (f ° /)/■aí at at

Kidolgozott példák

1. Példa. Határozza meg az

r(/) = {e * sin /)> + {t sh í)j + i f ' + l)k, / e R

első és második deriváltját! írja fel a deriváltvektorokat a = 0 helyen!Megoldás. Az első derivált:

x{t) = (2e ' sin t + cos í)i + (sh í + / eh t)\ + 2ík;

a második derivált:

f(/) = (3e^‘ sin t + cos í)í + (2 eh í + í sh Oj + 2k.

A deriváltak az adott helyen:

f(0) = i; f(0) = 4i + 2j + 2k.

2. Példa. Mutassuk meg, hogy ha |r(í)l állandó, akkor r(í) merőleges r(/)-re (í e D,)! Megoldás. Ha |r(í)l = c (állandó), akkor r^(t) = r(í)r(0 = c - Mind a két oldalt

diflferenciálva

2r(0f(0 = 0,

és ez éppen azt jelenti, hogy f(í) merőleges az r(í) vektorra.

183

1.3 A görbe kísérő triéderének élei és síkjaiAz r(r) = x{t)\ +y{t)i +z{i))í, í e R görbe érintőjének egy irányvektora i. Ez általá­

ban nem egységvektor. Az irányába mutató egységvektort tangenciális egységvektor­nak nevezzük és t-vel jelöljük;

* Ifi ■

Az r = r(í) egyenletű görbe íq paraméterű pontjába mutató helyvektora r(ío), az érintője egy irányvektora f(ío), ezért az érintő vektoregyenlete:

W(ü) = r(ío) + e R-

Ha az egyenlet két oldalán álló vektorok komponenseinek egyenlőségét írjuk fel, akkor az érintő skaláris egyenletrendszerét kapjuk:

X = x(/o) + t);c(ío),Y ^ y(to) + vy(to), t’eR- Z = zito) + vz(to).

Ez röviden így is írható:

X = X o + vxo; Y = y o + vyo; Z = Zo + vzq; reR.

Ha f egyik koordinátája sem zérus, akkor az egyenletrendszerből v kiküszöbölhető, és ekkor az érintő egyenletrendszere

X Xq ^ Y y^ ^ Z Zq

■0 yo ^0

Tekintsük az r = r(í) görbe három pontját! Ezen a három ponton át (ha nem esnek egy egyenesre) egy sík fektethető. Közeledjünk pl. a két szélső ponttal a középső Fq helyvektorú Pq ponthoz és képzeljük el az így kapható síkok sorozatát! A görbe Pq pontbeli simulósikjának nevezzük az előbb konstruált síkok határsíkját, ha a két pont Po tetszőleges közelébe kerül. Be lehet látni, hogy a simulósíkot az ííí,,) és az f(/o) vektorok feszítik ki, ezért a simulósík egy normálvektora az r(to) x r(ío) vektor. Ha W(A"; Y; Z) jelöli a simulósík egy tetszőleges pontjának a helyvektorát, Tq egy adott pontjának a helyvektorát, akkor a simulósík vektoregyenlete

(foXfo)(W -ro) = 0

184

alakú és ez skálát alakban determináns segítségével írható fel:

X -X o Y -y^^ Z - Z q Xo jo ’ 0^0 yo z’o

= 0.

Ha a görbe síkgörbe, akkor minden pontja (így a simulósík definíciójához felhasz­náltak is) ugyanabban a síkban, mégpedig a simulósíkban van.

Az r X f vektor irányába mutató egységvektort binomiálisnak nevezzük és b-vel jelöljük.

b =fxirIfxfl

A bínormális a definícója miatt merőleges az f-ra és ezzel a t-re is.A bínormális vektor irányába mutató egyenest binomiális egyenesnek nevezik,

vektoregyenlete

W(r) = r(ío) + Kí(ío)xiP(ío)), veR.

Ez az egyenlet is átírható skaláris alakba.Az érintő és a bínormális vektorok merőlegesek egymásra, ezért síkot feszítenek ki.

A sík neve: rektifikáló sík. A rektifikáló sík normálisa (f x f) x r irányú, ezért egyenle­te:

[(foXÍfo)xfo](W-ro) = 0.

Az (f X if) X f irányú egységvektort fönormálisnak nevezik és f-fel jelölik:

f =( fx i f )x fl(íx if)x f|

Mivel t és b egymásra merőleges egységvektorok, ezért az irányítást is figyelembe véve

f = txb.

A főnormális irányába eső egyenes vektoregyenlete

W(ü) = To + t [(ro X fo) X fo], v eR .

185

A főnormális és a binomiális által kifeszitett síkot, normálsíknak nevezzük; egy normáJisa az érintő irányába mutató vektor, vektoregyenlete tehát

fo(W--ro) = 0.

A t, f, b páronként egymásra merőleges egységvektorok alkotják (ebben a sorrend­ben) a görbe kísérő triéderét, amely bázisnak is választható. A három vektor páron­ként egy-egy síkot feszít k i: t és f a simulósíkot, f és b a normálsíkot, b és t a rektifikáló síkot.

Kidolgozott példa

Határozzuk meg az

r(0 = ( í3 - l) i + (2í2+l)j + (3 í-2 )k

egyenletű térgörbe íq = l paraméterű pontjában a kísérő triédere éleinek és síkjainak az egyenletét, valamint a kísérő triéder vektorait!

Megoldás. A szóban forgó pont helyvektora

r(l) = 3j + k, így P(,(0; 3; 1).

A szükséges deriváltak és a helyettesítési értékek:

f(0 = l,tH + 4fJ -I- 3k, f(l) = 3i + 4j + 3k; f(0 = 6ri + 4j, if(l) - 6i + 4 j.'

Az érintő egy irányvektora í’(l), ezérí vektoregyenlete

W(v) = r(l) + OT(l) = 3d + (3 + 4t’)i + (l + 3t;)k,

skaláris egyenletrendszere

X — 3t’, y = 3 +4v, z = l + 3u, t>eR.

A binomiális egyenes egy irányvektora f x f. Esetünkben

r(I)xif(l) =i j k

3 4 3 6 4 0

= -1 2 i+ 18 j-12k ,

ezért az irány vektor a bi(2; - 3 ; 2) vektor lehet. A binonnális egyenes vektoregyenle- te

W(i ) = r(l) + t;bi = 2vi + (3 - 3t>)j + (1 + 2i;)k.

186

A főnormális egyenes egy irányvektora az (f x if) x r. Esetünkben

(f(l)x f( l))x r(l) =• j k

-1 2 18 -1 23 4 3

= 102i-102k,

ezért az irány vektor az fi(l; 0; - 1) lehet. A főnormális egyenes vektoregyenlete

W(d) = r(l) + t;fi = üi + 3j + (l- t;)k .

A simulósik egy normál vektora az f(l) x f(l) vektor, ezért egyenlete

- 12(x-0)+ 1 8 0 ;-3 )- 12(z- 1) = 0,

illetve rendezés után

2 x-3 y+ 2 z + l = 0.

A normálsík egy normálvektora az f(l) vektor, ezért egyenlete

3(x - 0 ) + 4 0 ;-3 ) + 3(2-1) = 0,

3x + + 3z — 15 = 0.illetve

A rektifikáló sík egy normálvektora az (f(l) x f(l)) x f(l) vektorral párhuzamos fj vektor, ezért a rektifikáló sík egyenlete

x - z + l = 0.

A kisérő triédert kifeszitő három egységvektor:

t =r(l) 3 4 3

— :i+ — j+ — k = 0,51i + 0,69j + 0,51k;

f( l)x f ( l) -1 2 18 -1 2 b = ^ = ^ = i + ^ = j + = k = -0,49i + 0,73j-0,49k;

|f(i)xf(i)i ién ]í 2 [ / ^

6f = b x t =

iíÁ i / ^

i j k- 2 3 - 2

3 4 3

—!^(17 i-17k ) = = 0,71i-0,71k.I l i i i i \fi

187

1.4 A görbe ívhosszaAz X = x(t), y = y{t) alakban, azaz paraméteresen megadott síkgörbék ívhossza

a ti és Í2 határok között - amint azt már láttuk ([1], 4.6.2 pont) - az

integrál adja meg. Ha az előbbi síkgörbét azr{t) = x(0i + > (0j

alakban képzeljük megadva, akkor az ívhosszat megadó képlet

5 = J |f| dt ti____

alakban írható fel, és belátható, hogy ez érvényes akkor is, ha a görbe nem síkgörbe.A görbe íq paraméterű rögzített pontjától egy tetszőleges (változó) t paraméterű

pontjáig terjedő ív hosszúsága az előbbiek szerint

\ \r \d t = s{t)-s{tQ),tü

ahol í(0 í-től függ, sííq) állandó. Az ívhossznak t szerinti deriváltja így |f| =

vagy röviden

dsjt)dt

Ifi =dsJ t '

ugyanis az állandó í (ío) deriváltja 0. Ez azt jelenti, hogy ha r(r) egy mozgó pont pályáját írja le, akkor a mozgás pályasebességének nagysága az első deriváltvektor abszolút értékével egyenlő.

Kidolgozott példa

Számítsuk ki az

r(0 = (e** cos í)i + sin í)j + j/2

kúpos csavarvonal ívhosszát, ha 1.

[1] Kovács József-Takács Gábor-Takács Miklós: Analízis. Főiskolai tankönyv. Tankönyvkiadó, Buda­pest, 1986.

188

Megoldás. Mivel

f(0 = e‘* '(4 cos t - sin Oi + " ‘(4 sin t + cos t)\ + 4 fie^% |f(OI = ^“ '1/16+1 + 32 = le^\

ezért az ívhossz1

40; 1] = le^U t = 7 ‘ = Z(e4_i) = 93,í 0 ^

egység.

1.5 A vektor-skalár-függvény szögsebességeHa az adott w(0 vektor-skalár-függvénynek az értelmezési tartománya két külön­

böző ÍJ és Í2 értékéhez tartozó w(íj) és yi{t^ vektorát közös kezdőpontból felrajzol­juk, akkor a két vektor általában nem egyirányú, hanem pl. A(p szöget zár be egymással. A w vektor-skalár-függvény átlagos szögsebességén a

á(p Acpát t-y-t.

hányadost értjük, amely arra ad felvilágosítást, hogy a paraméter egységnyi megválto­zása a vektornak mekkora szöggel való elfordulását eredményezi. Értéke annál inkább jellemző a w függvény helyi viselkedésére, minél kisebb át intervallumra képezzük az előbbi hányadost. így jutunk el a pillanatnyi szögsebesség fogalmához, amely az átlagos szögsebesség határértéke, ha At minden határon túl csökken:

d(p A(pco = — = hm — .

dt At

Feladatunk most már csak annak a kiderítése, hogyan kell a pillanatnyi szögsebes­séget a w(/) képletéből kiszámítani.

Tekintsük a w vektor-skalár-függvényt a.tbst + At helyen. A két vektor által bezárt szög legyen A(p (F4. ábra). Ekkor

|w(í) X w(í + /íí)l = |w(OI \yi{t+At)\únA(p, és ebből - mivel w(/) x w(í) = 0 -

sin A(p =I w(0 X (w(f + /j 0 - w(/)) I

|W(0I \sv{t + At)\

189

A következő bővítés nem változtat az egyenlőség helyességén:

w(í + J 0 “ w(0w(0 X

Atsin A f A(p _A(p At |w(OI |w(í + Jí)l

únAíp w(t+ A t)-w (t)Ha A t -i^O, akkor A<p 0 é s ---------- > 1, továbbá---------------------> w(í), és így a

pillanatnyi szögsebesség értékeA^ At

dtp A(p iw(í)^w(/)|^ dt At |w(/)!^

vagy röviden

co =Iwx w|

|w|2

K idolgozott példa

Határozzuk meg az

r(0 = ( í^ - l) i+ (2 r ''+ l)j + (3r-2 )k

vektor-skalár-függvény szögsebességét a í = 1 paraméterű pontjában! Megoldás. Az előző fejezet példájában láttuk, hogy

r(l) = 3j + k, f(l) = 3i + 4j + 3k.

Ezekkel

így

i j kr( l)x f(l) = 0 3 1

3 4 3= 5i + 3 j-9 k .

_ ^ _ |r( l)x r(l) | _ fU 5 _ rád ^ dt |r(l)|2 ' 10 ’ s

190

1.6 A görbületA hétköznapi életben, például gépkocsi vezetése közben is fontos tudnunk, hogy

milyen éles kanyarban, azaz mennyire görbe útvonalon haladunk éppen. Egy görbe fontos és jellemző adata, hogy - tréfásan szólva - mennyire görbe a görbe, mennyire tér el az egyenestől. Gépkocsinkban azt is tapasztaljuk, hogy azt a görbét kell görbébbnek tekintenünk, amelynél az érintő irányának (a gépkocsi irányának) a megváltozása azonosan hosszú úton nagyobb. E tapasztalatok birtokában a görbe átlagos görbülete a következő módon definiálható:

Tekintsünk a görbén két különböző pontot, P-t és Q-t, jelölje a közöttük lévő ívJa

hosszát Js. Legyen a görbéhez aF ésQ pontban hú/ható érintők hajlásszöge Ja. A —Js

hányadost a görbe PQ ívéhez tartozó átlagos görbületének nevezzük. Ez az érték természetesen attól is függ, hogy mekkora ívre képeztük a viszony számot; nyilván­való, hogy ha az ív hosszát csökkentjük, akkor az átlagos görbület egyre pontosabban jellemzi a görbe helyi görbületét, amelynek a definíciója a következő;

DEnNÍció. A görbe P pontbeli G görbületének nevezzük a PQ ívéhez tartozó átlagos görbületének a véges határértékét, amikor a Q pont tetszőleges pontos­sággal megközelíti a P pontot (a Js ív hossza nullához tart):

Ja da G = lim — = —-.

Js OS

A definícióból következik, hogy G^O és az egyenes görbülete 0.Feladatunk most annak a meghatározása, hogyan kell az r = r(/) egyenletű görbe

görbületét kiszámítani.A görbület definíciójában szereplő határérték a következőképpen alakítható át:

da Ja íJ a J5 \ da dsG = -— = hm — = lim

ds. m -^ o \J t ' J t j dt d t ’

daugyanis ha Js 0, akkor J t -*0 (de fordítva nem biztos!), és ahol — az érintővek-

dttor, vagyis f szögsebessége, tehát

— = = 1 (0 * (01 dt ^ |f(í)l^

191

ds— pedig az ívhossz t szerinti deriváltja (1.4 fejezet), vagyis dt

ds- = I K 0 1 .

Ezeket felhasználva a görbület

_ d a ds _ |r(Qxf(f)| dt dt if(í)|^

vagyis (elhagyva a paraméter jelölését):

G =IfxirI

A görbület dimenziója a hosszúságegység reciproka. Utólag megállapítható, hogy csak a legalább kétszer differenciálható r függvénnyel megadható görbének értelmez­hető a görbülete.

Be lehet bizonyítani, hogy a görbület reciproka a görbületi kör sugarával egyenlő:

Q =

Kidolgozott példák

1. Példa. Számítsuk ki az

r(0 = ( í^ - l) i + (2/2 + l)j + (3í-2)k, íe R

egyenletű görbe görbületét a í = 1 paraméterű pontjában!Megoldás. Az 1.3 fejezet kidolgozott példájában láttuk, hogy

r(l) = 3i + 4j + 3k, r(l)xif(l) = - 12i+18j-12k,

így a görbület

G =(1/9+16 + 9)3 r 39304

= 0,125.

192

2. Példa. Mutassuk meg, hogy a hengerre írt

r(í) = (3 cos 0* + (3 sin í)j + 4ík, t e R

csavarvonal görbülete állandó.Megoldás. Mivel

r(0 = ( - 3 sin í)i + (3 cos í)j + 4k; r(Ó = ( - 3 cos í) i - (3 sin í)j;

i j k r(f) X f(0 = - 3 sin í 3 cos t 4

- 3 cos í - 3 sin í 0if(í) X r{t)\ = |/144 + 81 = 15; !f | = = 5,

e/ért155“

ez pedig állandó.

= (12 sin í)i-(12cos 0j + 9k;

1.7 A torzióA görbe görbülete arról tájékoztat minket, hogy a görbe mennyire tér el az egyenes­

től. A görbe egy másik fontos tulajdonsága az, hogy mennyire tér el a síkgörbétől. Ha a görbe síkgörbe, akkor az a sík, amelyben a görbe elhelyezkedik, a görbe simulósíkja; ha a görbe nem síkgörbe, akkor simulósíkja pontról pontra változhat, és ezt a csavarodást a simulósík normálvektorának, azaz a görbe binormálisának a változásával lehet mérni.

Definíció. A görbe T torzióját (csavarodását) a következő határértékkel defini­áljuk :

dp .. Ap T = ~ = h m - / , ds ás

ha ez véges, ahol AP a görbe binormálisának a As ív mentén bekövetkezett irányváltozását jelenti.

Átalakítva a kifejezést;

dt dtjs->o As át-*o\At At

193

dfiés itt — a binomiális szögsebessége, azaz

dí

dp ^ ib ( r ) x fe(/)i

Jt ' "“ |b(Oi^ ’

dsés — = |f(OI. Ezeket felhasználva és b helyébe a vele párhuzamos fxif vektort

dthelyettesítve egyszerű (de hosszadalmasabb) átalakítás után a

ií(0 x f(0 i'

kifejezést kapjuk.Ha a számlálóban álló vegyesszorzatnak nem vesszük az abszolút értékét, akkor

előjeles torzióról beszélünk (itt már nem írtuk ki a paraméter jelét);

r r r r _ ]f xif|2 ’

és a torzió előjelének érdekes geometriai jelentés tulajdonítható.

Definíció. A görbét jobb-, vagy balcsavarodásúnak nevezzük aszerint, amint a torziója pozitív vagy negatív. Ha T= 0, akkor a görbe síkgörbe. (Emlékeztetőül: a facsavar menetének éle jobbcsavarodású.)

Utólag látható, hogy torziója csak a legalább háromszor differenciálható r függvé­nyek görbéjének értelmezhető.

Kidíjlgozott példák

J. Példa. Számítsuk ki az

r(0 = ( í3 - l) i + (2í2+i)j + (3í-2)k, íe R

térgörbe torzióját a í = 1 pontban! Jobb- vagy balcsavarodású-e a görbe e pontban? Megoldás. Az 1.3 fejezet kidolgozott példájában láttuk, hogy

r( l)x f( l) = -I2 i+ 1 8 j-1 2 k , |f ( l)x r( l) | = ][e\2.

194

Mivel r (0 = 6i, r ( l ) = 6i, ezért [ í( l)x f( l) ]r(1) = -7 2 , és így az előjeles torzió

-0,1,8;

és ez azt is jelenti, hogy a görbe ebben a pontban balcsavarodású.2. Példa. Bizonjátsuk be, hogy az

1+ í 1 1 , ,- 1 ^ 7 * + 1 7 ; “ -

egyenletű görbe síkgörbe!Megoldás. Állításunkat bebizonyítottuk, ha beláttuk, hogy a görbe torziója a t

paraméter minden lehetséges értékére 0.Először a deriváltfüggvényeket számítjuk ki:

4 2(1+ 3í^) - 2

12 24í(l + í^) 6

A torzió képletének számlálójában álló vegyesszorzatot két lépésben számítjuk ki:

í(0 x f(0 =

1

2J2t

k1

d - 0 " ( l - / ¥ (1 + 0" 4 2(1+ 3í'') - 2

(1 - t f (1 - e f (1 + t f

- 4 t 2(1+ 3t^) ^( l - t ^ n i + t^) ~ ^ + í^ ) ( l - í2 ) V

/ - 4 4

+

V ( i - o " ( i+ o ' ( i - o " í i+ o -4(1 + 3t^) 8t

( i - 0 " ( i - í ' ') ^ ( i - í )3 ( i - í2 yk =

- 2 8 4( l - r ^ ‘ ( l - í ¥ ^ ( l - í ¥

195

Ezt felhasználva a vegyesszorzat

' ( i - í Y v ( i “ 0' ( 1 - ^ y ( i+^ r ,24[ - (1 + + 8í(l + + (1 - tf]

(1 - t y ( i - t Y_ 2 4 [-4 í-4 /3 + 8í(1 + ?2)-4/-4 í3] ^

ezért r = 0, és így a görbe síkgörbe. A T nevezőjét ezek után fölösleges kíszámítaní.

1.8 Az ívhossz mint paraméterHa az r(í), í e R egyparaméteres vektor-skalár-függvény t paraméterének speciálí-*

san az 5 ívhosszat választjuk, akkor a függvény, illetve a vele megadott grafikon (térgörbe) eddig megemlített jellemző adatai (pl. a kísérő triéder elemei, a görbület, a torzió) kiszámításához megadott képletek alakja sokkal egyszerűbbé válik.

Tekintsük az

r(0 = x(Oi+>>(0j + z(Ok, t e [ti, Í2\ <= R

egyparaméteres vektor-skalár-függvényt, és legyenek az x(í), y{t), z{t) függvények a t paraméter folytonosan differenciálható függvényei. Ekkor az

s{t) = \ \ i \ d x ti

integrál létezik és az r(/) függvény grafikonjának ívhosszát adja meg a [íi, /] interval­lumban. Ha ezt az s ívhosszat választjuk a függvény paraméterének, akkor az r függvény az

r(j) = x(í)i + j(s)j + z(s)k

alakban írható fel.

Tétel. A z r(s) vektor-skalár-függvény s szerinti deriváltja az érintő irányú egy­ségvektorral egyenlő, azaz

dx{s)ás

= Ir'(í)! = |t | = 1.

196

(Az s ívhossz szerinti differenciálást a t paraméter szerinti differenciálástól való megkülönböztetés érdekében vesszővel fogjuk jelölni.)

Bizonyítás. Az összetett és az inverz függvény differenciálási szabálya szerint ugyanis

dx dr dt dr ds ds dt ds dt dt

dsMivel (1,4 fejezet) — = |r| , ezért

dt

dx fds ]f| ’

ez pedig éppen az érintő irányú egységvektor, azaz

r' = t

ésigy |r ' | = l.Mivel |r' | = 1, azaz állandó, ezért r' deriváltja, az r" merőleges r'-re, vagyis r"±r'.

Tétel. Azt állítjuk, hogy r" abszolút értéke a görbülettel egyenlő, azaz

Bizonyítás. Ha az ívhosszt választjuk paraméternek, azaz t —s, akkor

| f x f | | r ' x r " |G = _'|3

de |r'| = l, ezért | r ' p = l , továbbá már láttuk, hogy r"Xr', ezért | r 'x r" | = = |r'| |r"| sin 90° = |r"|. Ezeket felhasználva G = |r"i, és ezzel állításunkat beláttuk.

Az r" vektor irányába mutató egységvektort főnormáhsnak nevezik. Be lehet látni, hogy ez az 1.3 fejezetben definiált főnormáUssal azonos. Ezzel a jelöléssel

Mivel r" = t', ezért t' = 6rf. Ez Frenet első formulája.

197

Tétel. A z r = r(5) alakban megadott görbe torziója

Bizonyítás. Ha t=s, akkor |rxif| = |r"| = G, és így

r r f r ' t W "

~ |f xf|2 “ | r 'xr"|2 ” ’

és ezzel állításunkat beláttuk.

K idolgozott példák

1. Példa. írjuk fel az a sugarú hengerre írt b emelkedésü,

r(/) = {a cos Oi + (a sin í)j + bt\&., a, Z) g R, te [0, 2n]

egyenletű csavarvonal egyenletét az ívhossz függvényeként!Megoldás. Minthogy

f(0 = ( - a sint /)i + (a cos /)j + bkés

0

hosszúságegység, ezért

s{t) = i |f | í/t = j |/a^ sin^ t+a^ cos^ t + b dx = 0 0

= J |/a + b^ dr = ^a^ + b^t

st =

így a csavarvonal egyenlete s függvényeként:

í s \ f s \ bsr(í) = a cos , . I i + a sin , I j + k,V i/?+Fy V

ahol 5 6 [0, 2n2. Példa. Határozzuk meg az előbbi r(5) csavarvonal görbületét és torzióját annak

egy tetszőleges pontjában!

198

Megoldás. Mivel

rX ) = í — ■/==== sin ~r ) i + c o s - 7 ™ = ) j + T F f ^ k ,

a sr"(5) = I -----í— cosa^ + b- |/^+A2

a s:sin

fa^ + fa^ + h^) |/a + b\

ha . s

i+ ---- ;---- ?sin

i+ -

a + b a

7

cos\^a^ + b y \ía + b

ezért a görbület

G = ir"| = / («2 + Í,2)2, cos2 --------- + -------fa^ + b^ í a U p a + b^'

Ha az r'r'Y ' vegyesszorzat determinánsát a harmadik oszlopa szerint kifejtjük, akkor

b]/a + b ^ \ ^ + b ^ y

cos 5 , s2 --------- + sjjj2------ a^b'ű^ + b^J {a + ’

es Így a íorzio

r =r'r"r" (ű2 + í,2)2

{a + b ^ f a + b^'

k hengerre írt csavarvonal görbülete is, torziója is állandó.

1.9 A térgörbe természetes egyenlete

A térgörbét megadó r(í) paraméteres egyenlet alakja függ a koordináta-rendszer megválasztásától. A görbét azonban koordináta-rendszertől független adatokkal is tudjuk jellemezni: be lehet látni, hogy a G{s) > 0 és T{s) függvények egyértelműen meghatározzák a térgörbe alakját (a térben való elhelyezkedését nem), vagyis adott G{s) görbülethez és T{s) torzióhoz csak egyetlenegy térgörbe található.

A G{s) és T{s) függvényeket együtt a térgörbe természetes egyenletének nevezzük.Végül megjegyezzük, hogy ha egy térgörbe valamely pontjában G^Q, T#0, akkor

a görbe ezen pontbeU elegendő kis környezetének a kisérő triédere síkjaira vett merőleges vetületei az F5. ábrán látható görbék. Az ábra alapján a simulósíkon levő vetület egy egyenest, a térgörbe érintőjét egy oldalról érinti, de nem metszi és a vetület

199

\\ , \

/ ' 'k X\ t <o

F5. ábra

rektifikáló sík normábík

egy parabolához hasonlít; a rektifikáló síkon levő vetületnek a pont inflexiós pontja, a térgörbe érintője a vetület inflexiós érintője, ezért ez átmetszi a vetületi görbét és a görbe egy harmadfokú görbéhez hasonlít; a normálsíkon levő vetületnek a pontban csúcsa van, a csúcsérintő a térgörbe főnormálisa, és a vetületi görbe egy z = y^'^ egyenletű görbéhez hasonlít.

Kidolgozott példa

Határozzuk meg a hengerre írt

r(0 = (a cos 0< + (a sin í)j + btk, a, b e R, te [0, 2ti]

csavarvonal természetes egyenletét!Megoldás. Az 1.8 pont 2. kidolgozott példájában láttuk, hogy

G(s) = T(s) =a^ + b^'

E két egyenlet együtt a csavarvonal természetes egyenlete. Ezekből a csavarvonal sugara és emelkedése kiszámítható;

a =G + T ^ ’ G + T^'

200

2. KETPARAMETERES VEKTOR-SKALÁR-FÜGGVÉNYEK,

FELÜLETEK

2.1 Két skaláris változótól függő vektorfüggvény

Tekintsük az (u, v) síkon (paramétersíkon) vagy annak egy tartományában értelme­zett három kétváltozós függvényt, az x, y, z függvényeket, és legyen e függvényeknek az értelmezési tartománybeli u, v számpárhoz tartozó x{u, v), y(u, v); z(u, v) helyettesí­tési értéke egy r helyvektor három koordinátája a derékszögű Descartes-féle koordi- náta-rendszerben:

(u, v) ^ r(u, v) = x(u, v)i+y{u, v)\ + z{u, u)k.

Ha u, V befutja az értelmezési tartományt, akkor az előbbi utasítással két skaláris változótól (paramétertől) függő vektor-skalár-függvényt értelmeztünk. Az értelme­zett leképzés R^->R^ típusú.

A r(«, v) vektor-skalár-függvény értelmezési tartományát Z>,-rel, értékkészletét i?r-rel jelölik.

Ha az r(u, v) vektor-skalár-függvény értékkészletét alkotó helyvektorokat a koor­dináta-rendszerben ábrázoljuk, akkor ezek végpontjainak halmaza az r(u, v) grafi­konját alkotja. Ez általában egy felület (F6. ábra).

Az Uq, Vq számpárhoz tartozó helyettesítési értéket r(«o, fogjuk jelölni.

^v= dllandó

ü= áííandó

F7. ábra

201

Ha az egyik paramétert, mondjuk az u-i állandónak választjuk, akkor r(í/, v) csak egyetlen paramétertől függ, tehát grafikonja egy, a felületen elhelyezkedő görbe (felületi görbe). Mivel az w = állandó választással jött létre, v paramétervonalnak nevezzük ('FZ.öéraj.

Hasonlóképpen a v — állandó választással az u paramétervonalak jönnek létre.

Például annak a síknak a kétparaniéteres vektoregyenlete, amely illeszkedik az origóra és amelyet az a és b vektorok feszítenek ki:

r(u, t>) = Ma + üb

(F8. ábra). Esetünkben a paramétervonalak az a, illetve b vektorral párhuzamos egyenesek.

u= állandó

v= tíllandó

FS. ábra

Az r(«, v) függvény határértékét, illetve folytonosságát az r(t) függvény határértéké­vel, illetve folytonosságával analóg módon definiálhatjuk, csak most három kétválto­zós függvény határértékére, illetve folytonosságára kell hivatkoznunk. Megemlítjük, hogy ha r(«, v) folytonos, akkor, grafikonja, a felület is folytonos.

F9, ábra

K idolgozott példák

1. Példa. írjuk fel az

x^ + y^ + z' — a^

egyenletű gömbfelület vektoregyenletét!Megoldás. A gömbfelület tetszőleges P pont­

jának koordinátái, ha «-nak választjuk a P pont A-, y síkon lévő P' vetületéhez vezető egyenes és az X tengely hajlásszögét és i>-nek a P ponthoz vezető sugár és a z tengely hajlásszögét (F9. áb raj:

202

jc = a sin t; cos u,

y = asinv sin u,

z = acosv;

ezért a gömbfelület vektoregyenlete

r(u, r) = (a sin v cos m)í + (a sin v sin «)j + (a cos v)k,

ahol O ^ u ^ ln , O ^ v ^ n .

2. Példa. írjuk fel annak a hengerfelületnek a vektoregyenletét, amelynek vezérgör-

béje az — + — = 1 egyenletű ellipszis, tengelye pedig a z tengely, az a ( l ; 1; 3)4 9 '

vektorral párhuzamos!Megoldás. Az ellipszis paraméteres egyenlete: x = 2 sin m, >> = 3 cos u ,0 ^ u ^ 2 n ;

vektoregyenlete;

r(w) = (2 sin «)i + (3 cos «)j.

A hengerfelület bármely pontjához az a) eset­ben az

r(u, v) = (2 sin «)i + (3 cos k)J + t;k

helyvektor, a bj esetben az

r(u, v) = (2 sin u+v)i + (3 cos « + i;)j + 3rk

helyvektor mutat, ezért ezek a keresett egyen­letek. Mind a két egyenletben O ^ u ^ ln , v eR .A b J hengerfelület az FIO. ábrán látható.

FIO. ábra

3. Példa. írjuk fel annak a kúpfelületnek a vektoregyenletét, amelynek csúcspontja az .<4(2; 2; 3) pont, vezérgörbéje pedig az y = x^, - 1 1 parabola!

Megoldás. A kúpfelület egy tetszőleges pontjához úgy juthatunk el az origóból, hogy először a kúpfelület csúcspontjába megyünk az a helyvektor mentén, majd az r(«) egyenletű vezérgörbe egy tetszőleges pontjába az ri(«) = r (« )-a vektor, a kúp alkotója mentén. Ha a v paraméter azt jelöli, hogy mennyit haladtunk a?, alkotó mentén, akkor a kúpfelület egyenletének általános alakja

r(u,v) = a + t?ri(«) = a + t)(r(M) —a) = (1 — u)a + t;r(M).

203

Esetünkben, ha M-nak választjuk x-et, a vezérgörbe (parabola) vektoregyenlete

r(w) = tú + u \

a kúp csúcsába mutató helyvektor a(2; 2; 3), ezért a kúpfelület vektoregyen­lete:

r(w, v) = 2i + 2j + 3k ++ r[(«-2)i + (M ^-2)j-3k] =

= {uv — 2v + 2)i + {u^v ~2v + 2)j ++ (3-3ü)k,

ahol —l ^ M ^ l , ueR. A kúpfelület egy része az FII. ábrán látható.

Ha az

2.2 A felület érintősíkja

r(u, v) = x(u, i?)i + y(u, v)j + z(u, t;)k

felületre egy kiszemelt P pontján át felületi görbéket rajzolunk, akkor e görbék P pontbeli érintői a felületet is érintik. Ha valamennyi lehetséges érintőegyenes ugyanabban a sikban fekszik, akkor ezt a síkot a felület P pontbeU érintősíkjának nevezzük. Az érintősík normálvektorát, amely merőleges az összes P pontbeli érintő­re, a felület normálisának nevezzük. Be lehet látni, hogy az r(w, v) felületnek akkor létezik érintősíkja a P pontjában, ha ott az x ,y ész kétváltozós függvények totálisan differenciálhatók (Analízis, 5.3.2 fejezet).

Az érintősík egyenletének felírásához szükségünk van a felület normálisára. Mivel a normális merőleges valamennyi görbe érintőjére, ezért a paramétervonalak érintőire is. Ha i; = állandó, akkor a csak az u változót tartalmazó

r(w) = x{u)i +y{u)i +z{u)k

paramétervonal érintőjének az irányvektora a —— deriváltvektorral egyenlő, és ezdu

az eredeti függvény u szerinti parciális deriváltvektora:

204

dr{u, v) _ dx{u, v) . dy(u, v) , dz(u, v) du du du du ’

amit röviden r„-val (vagy r'-val) fogunk jelölni. Ha m = állandó, akkor az

r(ij) = x(r)i + >;(t;)j + z(t;)k

paramétervonal érintőjének irányvektora - az előzőhöz hasonló módon - az r(u, v) függvény v szerinti parciális deriváltvektora:

dr(u, v) dx{u, v) dy(u, v) dz{u, v)r„ = — ---- i+ — :----- J+ — :-----k.

dv 8v dv dv

Ennek alapján az adott érintősík normálisa, amely merőleges az előbbi két vektor­ra, az

n =

vektor, az érintősík egyenlete pedig, ha Fq jelenti a sík egy adott, W (Z ; Y; Z) pedig egy tetszőleges pontjának a helyvektorát;

( r „ x r „ ) ( W - r o ) = 0.

Az érintősík egyenletének skaláris alakját megkapjuk, ha a vektoregyenlet bal oldalán álló vegyesszorzatot determináns alakban írjuk fel:

X - X q Y -y o Z-Zo dx(u, v) dy(u, v) dz{u, v)

du du dudx{u, v) dy(u, v) dz(u, v)

dv dv dv

= 0,

majd a determinánst kifejtjük.Megjegyezzük, hogy ha a felület egyenlete z = /(x , y) alakú, akkor x-et és y-t

választva paraméternek, a felület vektoregyenlete

r(x ,j) = xi + _yj+/(x, j)k,

az érintősík egyenlete pedig

alakú.

X Xq Y yQ Z Zq1 0 /;0 1 / ;

= 0

205

r(M, v) = (u^- 2v^)i + uv^ + {uh^ + w)k

felület érintősíkjának egyenletét az m= - 1, d = 1 paráraéterű pontjában!Megoldás. Az m = — 1, i?= 1 paraméterértékekhez tartozó P pont helyvektora:

r ( - l , l ) =

Az érintősík normálvektorának meghatározásához szükség van a parciális derivál­takra:

t„(u,v) = + + l)k,r„(w, v) = — 4d + 2«i;j + 2u^vk,

K idolgozott példa

Határozzuk meg az

illetve ezek P pontbeli helyettesítési értékére;

r „ ( - l , l ) = 3 i + j - k , r „ ( - l , l ) = - 4 i - 2 j + 2k.

így az érintősík egy normálvektora

j k = -2j-21 .i j k3 1 - 1

- 4 - 2 2

E helyett alkalmazható a vele párhuzamos n(0; 1; 1) vektor is. Ezt felhasználva, az érintősík egyenlete

O + l ) + (z -0 ) = 0,vagy összevonva

y + z + l = 0.

2.3 A felület felszíneTekintsük az (u, v) paramétersik egyszeresen összefüggő, mérhető területű T tarto­

mányán értelmezett,

r(u, v) = x(u, v)i+y(u, v)j + z(u, i))k

alakban niegadott felületet, és legyenek az x, y, z kétváltozós függvények folytonosan

206

differenciálhalók. E felületdarab felszínét a következő módon definiálhatjuk és szá­míthatjuk k i:

Borítsuk be az adott felületei a paramétervonalak sűrű háló­zatával. Két-két szomszédos paramétervonal által közrefo­gott véges felületdarab (görbe­vonalú négyszög) felszínét kö­zelítsük annak a paralelogram­mának a területével, amelyet a görbevonalú négyszög egyik (például r(u, o)) csúcsából kiin­duló görbeivek húrvekíorai Fe­szítenek ki (FI2. ábra). Jelölje a = állandó, illetve az i<== á l­landó paramétervonalon fel­vett húrvektort F12. ábra

J„r = r{u + Au, v)~r(u, v),illetve

r(u,v + Av) — r(u,v),

ekkor a paralelogramma területe

|J„rx/f^r|.

A felületdarab S felszínének egy durva közelítése e paralelogrammák területének az összege, ahol az összegezést előbb minden v vonal mentén, majd egy u vonal mentén hajtjuk végre:

Alakítsuk át ezt a kifejezést:

í r . 40AuAv =

= ZI r(w + Au, v ) - r(w, v) ^ r{u, v + Av)~ r{u, v)Au Av

AuAv.

207

Definíció. Ha a paramétervonalak további sűrítésével a felület felosztását minden határon túl oly módon finomítjuk, hogy

a) Ju^O, Av-*0;b) a paralelogrammák nagyobbik szöge nem tart 0-hoz (a paralelogrammák

nem fajulhatnak el vonalakká, ez az ún. élszögkorlátozás);c) két szomszédos paralelogramma síkjának a szöge nem tart 0-hoz (a szom­

szédos paralelogrammák nem borulhatnak egymásra, nem tapadhatnak össze, ez az ún. lapszögkorlátozás)

és a finomítás során kapott előbbi kettős összegek sorozatának mindig ugyanaz a véges határértéke van, akkor ezt a véges

Au-Jv-y(

r(u + Au, v) - r(u, v) r(u, v + Av) — r(w, v)Au Av

AuAv

határértéket nevezzük a felületdarab felszínének.

A definíció a felszín kiszámítására is módszert ad. Vegyük észre, hogy a kettős összegek vektoriális szorzatában mind a két tényező egy-egy differenciahányados, és

dr dvha Au->0, akkor az első tényező határértéke — , ha Av-^0. akkor a másodiké ^ . Ezt

du dvdr dr

felismerve az is látható, hogy a kettős összegek a - - x — függvény integrálközelítődu dv

összegei, amelyeknek határértéke a mondott feltételek mellett a függvény területi integráljával egyenlő. így

J u -Av-

5 = Hm ^ ^0 „ ,

• őr

•'rí

x{u -h Au, v) — r(u, v) r(u, v-i-Av) — r(u, v)------- X -------

drdu dv

Au

du dv.

AvAuAv =

dr dr , vagy a — = r„, ^ jelöléseket használva a felszín:

du dv

í í dudv.(T)

Megjegyezzük, hogy egy felület felszíne a mondott feltételektől eltérő (esetenként enyhébb) feltételek mellett is létezik és kiszámítható. Például a T tartomány lehet többszörösen összefüggő, de felbontható véges sok egyszeresen összefüggő résztarto­mányra (ívlöbius-szalag); a felületnek lehet törésvonala vagy csúcsa, de T megközelít-

208

hetö olyan T„ tartományokkal, amelyekre r„ és folytonos; az r(«, v) függvény lehet nem egyértékű függvény, de T felbontható olyan T„ tartományokra, amelyekre már egyértékű; a felület lehet zárt, de felbontható véges sok egyszeresen összefüggő nyílt darabra.

A feltételek között kimondott élszögkorlátozás és lapszögkorlátozás szükségességét először H. A. SCHWARZ és G. PEANO mutatta meg híres lampion-feladatával.

A felszínt megadó képletet számítástechnikai szempontból előnyösebb alakra hoz­hatjuk, ha a következő módon alakítjuk át:

Mivel tetszőleges a és b vektorra

laxbl^ = |a|^|b|^ sin^ (a, b) = |a |^ |b |^ -|a |^ |b i^ cos^ (a, b) = lal^|b|^-(ab)^,

és ebből

laxbl = l/|ai^|b|^-(ab)^.

ezért a = r„, b = r„ választással

5' = í í | / | r j ^ | r j ^ - ( r „ r du dv.(T)

Bevezetve a {rJ^ = E, (rJ^ = G, = F Gauss-féle elsőrendű főmennyiségeket

| r „ x r j = EG -F^,

és képletünk a következő alakban írható:

5 = JJ ]/EG-F^dudv.(T)

Abban az esetben, ha a felület egyenlete z = z(x, y) alakban van megadva, tehát x-et és j- t választjuk paraméternek, akkor

r(x,y) = xi +yj +z(x, y)k; = i + z^k, = j + z^k;E = = 1 + (zj2, F = (r,,) = 1 + (z,,)^ G = r , • r,, = z^z ;

EG -F ^ = [ l+(zj2][l + ( z ,) 2 ] - ( z ^ / = l + (zj2 + (z ,)\

és így a felület felszíne

5 = í í f T n l ^ f ^ ^ d x d y .(T)

209

r(w, i;) = (cos u — v sin ií)i + (ún u~rv cos í/)j + (u + v)k

feíiílcí darabjának a felszínét!Megoldás. A parciális deriváltak:

r„ ^ sin u~v cos + (cos u — v sin w)j + k,^ sin w)i + (cos ()J -f- k

r zeket felhasználva:

E “ ( r j “ ( - sin u-~v cos + (cos u - v sin w)"’ -í- 1 ir r- 2,F = r Fy ( “~ sin u v cos u){ - sin ti) -i (cos u v sin £ )cos u-r l 2, G = (rj^ = sin z + cos^ w + 1 = 2,

EG-F^ - (i)^f 2)2-4 - 2v\

így a kiszámítandó felszín:

K id o l g o z o t t p é l d á k

I, Példa. Számítsuk ki az

S =0 0

1— [ v nV dv = y2n —r

J _ 2 _

1 \2n

0 ^ "2"

területegység.2. Példa. Számítsuk ki a

I

~2y

felület azon darabjának a felszínét, amely a 0 ^ x ^ l , l ^ > ’ 2 négyzet felett helyezke­dik el!

Megoldás. Mivel

X

és ezzel

2+

1 / /(x^ + 2y^).2 2

4yA

210

ezért az integrandus

l/l + (z,)2 + ( z / = — + 1,

és a keresett felszín:

2 1

1 0

+ 1 dx dy =l6 /

+ x dy =2C í 1

\6y^+ 1 \dy =

12 J \ 6 J 12területegység.

211

3. VEKTOR-VEKTOR-FÜGGVÉNYEK (VEKTORMEZŐK)

3.1 A három skaláris változótól (vektortól) függővektorfüggvény

Tekintsünk az euklideszi tér egy tartományában értelmezett három háromváltozós függvényt, a v , V2 , függvényeket, és legyen e függvényeknek az értelmezési tarto­mány (x, y, z) számhármasához tartozó Vi(x, y, z), V2(x, y, z), Ujíx, y, z) helyettesítési értéke egy v helyvektor három koordinátája a derékszögű koordináta-rendszerben;

(x , y, z) !-» v(x , y, z) = Vi(x, y, z)i + V2(x, y, z)j + Vj(x, y, z)k .

D e f in íc ió . Ha x , y, z befutja a D, értelmezési tartományt, akkor az előbbi hozzárendeléssel egy három skaláris változótól függő vektor-skalár-függvényt értelmeztünk. Ha az (x, y, z) számhármast egy r helyvektor három koordinátá­jának tekintjük, akkor az értelmezett függvény az

r v(r) = r i (x , y, z)i + V2(x, y, z)j + V3(x, y, z)k

vektor-vektor-függvény, vagy vektormező.

Az értelmezett függvény (leképezés) -> típusú. Szokás a vektormezőt vektor­térnek is nevezni, de ezt az elnevezést a lineáris algebra más célra már lefoglalta (2.3.1. pont), ezért itt lehetőleg kerüljük.

Használjuk azonban a tér elnevezést, ha a v(r) függvény erőteret, például gravitáci­ós, elektromos, mágneses erőteret ír le.

Azok a vektorhalmaznak vektorhalmazra való speciális, nevezetesen lineáris leké­pezései, amelyekből néhányat tanulmányaink során már megismertünk (2.4.3. pont), (speciális) vektor-vektor-függvények. A tárgyvektortér vektorainak és a képvektortér vektorainak koordinátái közötti összefüggéseket (ezek száma három dimenzió esetén kilenc) egy 3x3 típusú

A =űii«21%1

^12 ^13 ^22 ÖÍ23 <'32 Ö33

212

négyzetes mátrixszal adtuk meg. Ez a lineáris vektortranszformáció (vektor-vektor- függvény) az ebben a fejezetben bevezetett jelöléssel

v(x, y, z) = (ül iX+ Űi2y + a i3Z)Í + (ű21 + + Ö23 )j + («31- + + 033^)^

alakban írható fel. Ha a koordináták közötti kapcsolatok nem lineárisak, akkor az összefüggések mátrixszal nem adhatók meg.

Definíció. A homogén lineáris vektortranszformációt (vektor-vektor-függ- . vényt) tenzornak nevezik.

Mivel egy vektor-vektor-függvény az értelmezési tartomány minden helyvektorá­hoz (minden pontjához) egy vektort rendel, a függvény szemléltetése csak a legegysze­rűbb esetekben vezet áttekinthető ábrához. Egy vektormező elképzeléséhez azonban jó támpontot nyújt például az áramló folyadék látványa, mert e folyadék molekulái sebességének nagysága és iránya éppen egy vektormezőt határoz meg és szemléltet.

A v(r) vektormező határértéke és folytonossága a kétparaméteres vektor-skalár- függvény határértékének és folytonosságának definíciójával analóg módon definiál­ható, csak most három háromváltozós függvény határértékére és folytonosságára kell hivatkoznunk.

Kidolgozott példák

1. Példa. Milyen vektormezőt ír le a v(r) = r vektor-vektor-függ­vény?

Megoldás. A v(r) = r = xi + + j j + zk függvény a tér minden pontjához a pont helyvektorát rendeli (F13. ábra).

FI 3. ábra

2. Példa. Milyen vektormezőt ír le a v(r) = ^ vektor-vektor-függvény?

Megoldás. Mivel az r = xi+yj + zk vektor abszolút értéke |r| = ^x^+y^ + z^, ezért a

r X y , z|r| + y + z^’ - x + y + z |/x + y + z

213

függvény a tér minden pontjához a pont helyvektorának irányába mutató egységvek- íort rendeli (FI4. ábra).

3. Példa. Készítsünk ábrát a v = - r vektormezőről!Megoldás. A v = - r = - x i - y j - z k függvény a tér minden pontjához helyvekto­

rának az ellentettjét, tehát a pontból az origóba mutató vektort (F15. ábra) rendeli.

3.2 Vektor-vektor-függvény differenciálhatósága, divergenciája, rotációja

v(r), = y, z)i + V2Íx, y, z)j + v^ix, y, z)k

vektor-vektor-függvényt akkor mondjuk differenciálhatónak az r^ix^; y^; Zo)e D, pontban, ha áttérve az Tq környezetében levő tetszőleges r(x; y; z) pontra (jelölje ezt az r - f o változást a zír vektor) a v függvény Av megváltozása felírható a

alakban, ahol

J v = D/ír+sAr

D =

'dvi ŐVi dvi'dx dy őzdv2 dü2 dV2dx dy dzdV3 dV3 ŐÜ3_dx Sy dz _

214

egy homogén lineáris leképezés, a deriváítíenzor mátrixa, továbbá s is egy hornogén lineáris leképezés mátrixa és £-» 0 , ha /4r-->0. Unem függ a ár megválasztásától, csak az fo ponttól.

A D deriváítíenzor mátrixáról látszik, hogy elemei függnek a v(r) vektor-vektor- függvény leírásához használt koordináta-rendszer megválasztásától, de be lehet bizo­nyítani, hogy az elemek bizonyos kifejezései függetlenek a koordináta-rendszer meg­választásától és csak a vektor-vektor-függvénytől függnek, ezért ezek a vektormezőt közvetlenül jeliemző lényeges adatok.

Két, a koordináta-rendszerre nézve invariáns adatot említünk meg.

D efiníció . A v(r) vektor-vektor-függvény D mátrixa főátlójában álló elemeinekdVi dv

+ + dv-,■ összegét, a deriválttenzor skalárinvariánsát, a v(r) vektor-vek-

dx dy dztor-függvény (vektormező) divergenciájának nevezzük és div v jellel jelöljük, vagyis

dvi dv2 dv3 div V = -■-----H +

í.v dy dz

A divergenciának érdekes (és szemléletes) jelentést lehet tulajdonítani. Azt mond­juk, hogy a V vektormező egy adott pontban forrásmentes, ha ott div v = 0, forrása van, ha div v > 0 és nyelője van, ha div v < 0. A divergencia más (az integrál segítségés^el történő) definíciója is ismeretes.

D efiníció . A v(r) vektor-vektor-függvény deriválttenzora D mátrixának elemei­ből alkotott

dzi +

dv d v ^ \ . / dv2 dvidz dx J + dx dy

vektort, a deriválttenzor vektorinvariánsát, a v(r) vektor- vektor-függvény rotá- dójának nevezzük és a rőt v jellel jelöljük, vagyis

rőt Vdv^'dy

dvidz dx /

j'+dv2 dvi dx dy ^

X rotációnak is érdekes és szemléletes jelentést lehet tulajdonítani. Azt mondájuk, hogy a V vektormező egy adott pontban örvénymentes, ha ott rőt v = 0. A rőt v vektor szoros kapcsolatban van a vektormező örvénylésének a szögsebességével. A rotáció értelmezhető integrál segítségével is.

2-15

K id o l g o z o t t p é l d á k

1. Példa. Számítsuk ki a

v(r) = r = xi+^'j + zk

vektormező divergenciáját és rotációját egy tetszőleges Tq helyvektorú pontban! Megoldás. Mivel

dx dy dz div V = - + - - + — = 1 + 1 + 1 = 3,

dx dy ez

a divergencia állandó. A rotáció:

rőt V =dz dy\ . / dx dz\ . / dy dx\

K T y - t p ^ y T z - T x p ^ y s - . - T y r - " '

Így a vektormező örvénymentes (F13. ábra).2. Példa. Számítsuk ki a

v(r) = (3x—4y^)i + (x — 4y + z^)} — (3y + 5z)k

vektormező divergenciáját és rotációját az ro(l; 2; - 1) pontban!Megoldás. Mivel

d ~ 3 Ödivv = — (3x-4>’ )+ -—{x-A y + z'^)-^ — ( - 3 j - 5 z ) = 3 - 4 - 5 = -6 ,

ox dy dz

azaz állandó, ezért az helyvektorú pontban is div v = — 6. A negatív előjel mutatja, hogy itt a vektormezőnek nyelője van.

A rotáció egy tetszőleges pontban

d d ro tv = — ( - 3 y - 5 z ) - ~ ( x - 4 y + z )

_cy dz

^ ( 3 x - 4 / ) - f ( -3 j;-5 z ) dz dx

^ ( x - 4 j + z 2 ) - ^ ( 3 x - 4 j2 ) dx dy

= ( - 3 -2 z ) i + (0)j + (l + 8j)k.

+

+

i +

j +

k =

Ez az fo(l; 2; - 1) pontban

rőt v(fo) = — i + I7k.

216

4. SKALÁR-VEKTOR-FÜGGVÉNYEK (SKALÁRMEZŐK)

4.1 A három skaláris változótól (vektortól) függő skalárfüggvény

Az (x, y, z) h* u(x, y, z) háromváltozós függvény értelmezési tartománya az tér vagy ennek egy része minden P pontjához egy skaláris értéket rendel, ezért a leképezés

^R^ típusú. Ha az x, y, z értékeket egy r vektor három koordinátájának tekintjük, akkor az n-»M(r) skalár-vektor-függvényt kapjuk, amit skalármezönek is nevezünk. Skalármezővel írható le például hőmérséklet-eloszlás, nyomáseloszlás, vektormező­ben a potenciál stb. Szokás a skalármezőt skalártérnek is nevezni.

A skalárterek vizsgálatakor felmerül a kérdés, hogyan helyezkednek el azok a pontok, amelyekhez a skalártér ugyanazokat az értékeket rendeli?

Az u{x, y, z) = áll. egyenlet egy felület egyenlete, ez az u skalártér szintfelülete vagy nivófelülete. Ha a skalártér például hőmérséklet-eloszlást ír le, akkor a nívófelületeket izotermikus felületeknek nevezik.

Az «(r) skalár-vektor-függvények globális tulajdonságai a háromváltozós skalár- függvények tárgyalásánál megtalálhatók ([1], 5.2.2 pont).

K idolgozott példák

1. Példa. Állapítsuk meg, hogy mik az

u - z - x ^ - y ^ x ,y , z e R

skalármező szintfelületei az m = 0; 2; 4 értékre! Megoldás. Az u = 0; 2; 4 értékére kapott

= 0, = 2, z - x ^ - y ^ = 4

egyenlet egy-egy forgási paraboloid egyenlete. A pa- raboloidok úgy keletkeztek, hogy a z=y^, z = y^ + 2, 2 = j 2_|_4 egyenletű parabolákat a z tengely körül megforgattuk. A paraboloidok csúcspontja a z tenge­lyen a z = 0, z = 2, z = 4 pontban van (F16. ábra).

FI6. ábra

217

2. Példa. Milyen felületek az w = r^, tgR -' skalármezö szintfelületei? Megoldás. Az r = xi + yj + zk szokásos jelöléssel

u(x,y,z) = = x^ + y^ + z^.

Legyen az u állandó értéke c^, ekkor a szintfelületek egyenlete

x2+y2 + 2 ,2

ezek pedig az origó köré irt c sugarú gömbök egyenletei.

4.2 A skalármezö gradienseA többváltozós skaiárfüggvények differenciálszámításánál tanultakat ([1], 5.3.4)

háromváltozós függvényekre alkalmazva a következőket mondhatjuk:

Definíció. A differenciálható u skalár-vektor-függvény értelmezési tartománya bármely P pontjában kiszámított parciális deriváltjaiból alkotható

du du dti

ax oy oz

vektort az u skalármezö P pontbeli graciiensvektorának vagy gradiensének ne­vezzük és a grad ii szimbólummal jelöljük:

du du du graáu - i+ — j+ - - k .

dx dy dz

A gradiensvektor abba az irányba nmtat, amerre haladva a skalármezö értékei a legnagyobb mértékben változnak.

(Kidolgozott példák

1. Példa. Számítsuk ki az w -■= z - ~ skalármezö gradiensét a Po( ~ 1 í 2; — 3) pontban!

Megoldás. Az adott skalármezö gradiense értelmezési tartománya egy tetszőleges pontjában

grad M = -- 2xi - 2yj + k,

az adott pontban pedig

grad == 2i ~ 4j + k.

218

2. Példa. Számítsuk ki az t<(r) = r^ skalármező gradiensét az ro (l; 2; 3) helyvektorú pontban! A gradiens a nagyobb vagy kisebb skalárértékű szintfelületek felé mutat-e?

Megoldás. Az m = = x^ + y' + z^ gradiensvektora egy tetszőleges pontban:

grad u — 2xi + 2yj + 2zk = 2r,

az fo helyvektorú pontban

gradwlrg = 2i + 4j + 6k = 2ro-

Mivel a I tq a szintfelület (gömb) egy pontjába mutató helyvektorral azonos irányú, de kétszer akkora vektor, ezért a nagyobb skalárértékű szintfelületekhez („kifelé”) mutat.

4.3 A nabla operátor

Az előző fejezetekben definiált három mennyiség, a grad u, a div v és a rőt v egységes módon írható fel, ha bevezetjük a nabla szimbolikus vektort.

Definíció. Tekintsük azt a jelképes vektort, amelynek koordinátái utasítások, mégpedig az x ,y ész szerinti parciális díflferenciálás elvégzésére felszólító utasí­tások. Legyen a vektor neve nabla és jele V. (A név és a jel a háromszög alakú lantszerű asszír hangszertől ered.)

így

A nablát differenciáloperátornak vagy Hamilton-operátornak is nevezik ([1], 5.3.4 pont).

A nabla vektor segítségével (a már eddig bevezetett jelöléseket alkalmazva);

du du du grad M = Vm = - - i + — j + —- k

ox' oy oz

(a V vektor szorzata az u skalárral),

dv, dv2 dv-, divv = Vv = —----H —----H

dx dy dz

219

(a V és V vektorok skaláris szorzata),

i j k

rőt V = V X V =d d d

~dx dy dzVi V2 V3

dvj_

dz )1 —

dx dz j +dvi

dx dy

(a V és V vektorok vektoriális szorzata).A nabla vektorra ugyanazok a szabályok érvényesek, mint amelyek a vektorokra,

és egymás után többször is alkalmazható.Megemlítjük, hogy a nabla vektor saját magával való skaláris szorzatát (négyzetét)

Laplace-operátornak nevezik és A -val jelölik:

+dx^ dy^ dz^J ’

így például

d^u d^u d^u A „ - d ,v g r a d „ = ^ + ^ + ^ .

A nabla vektor többszöri alkalmazása lehetséges, de nem történhet vaktában. Mert míg pl. a V X (V X v) = rőt rőt v értelmezhető, addig pl. a V x (V • v) = rőt div v értel­metlen, mert div v skalár és ennek nem értelmezhető a rotációja.

K idolgozott példák

1. Példa. Határozzuk meg div grad u értékét az ro( — 1; 0; 2) helyvektorú pontban, ha w = xe^ + x^z^-y'^x.

Megoldás. Mivel div grad m = V(Vm) = V^m= Am, ezért u második parciáHs deri­váltjaira van szükség:

du— = e + 2xz^-y^; ----dxdu .— = xe^-3y^x; dydudz dz

dx^ = d^u— = xe^-6yx-, dy^d^u

= 2x^.

220

Ezekkel

div grad u = 2z + xe^ — 6xy + 2x^.

Ennek értéke az Xq= - l, yo = 0, Zq = 2 pontban

div grad u\, = 8 - 1 + 2 = 9.

2. Példa. Határozzuk meg a rőt rőt v vektort á Po(l; 2; 3) pontban, ha

v(r) = x^yzi + xy^zj + xyz^k.

Megoldás. Először a rőt v vektort határozzuk meg.

rőt V = V X V =

í j kd d d

dx dy dzx^yz xy^z xyz'^

= (xz -,xy^)i - (yz - x^y)i + (y z - x^z)k- x(z -y^)i+y(x^ - Z )j + z(y - x )k.

rőt rőt V = V X rőt V =

i j kA A

dx dy dzx{z^ -y ^ ) y{x^ - z^) z{y^ -

= (2yz + 2yz)i — ( — 2xz — 2xz)\ + (2xy + 2xy)k = = 4(yzi + xzj + xyk).

A keresett vektor a P q(1 ; 2; 3) pontban

rotrotvipg = 24i+12j + 8k.

221

5. INTEGRÁLOK

5.1 Vektor- vektor-függvény vonalmenti integráljaHa az egységnyi tömegű pontra ható állandó P erő saját irányában s elmozdulást

létesít, akkor a végzett munka L — !PI !s|. Ha az erő állandó, de az elmozdulás irányával állandó a szöget zár be, akkor az erőnek csak az elmozdulás irányába eső komponense végez munkát és ez

L = IPj! |s| = (!P|cosa)|s| = Ps

( F I 7. ábra).

Pj =|P|cosa

F17. ábra F18. ábra

Az általános esetet vizsgálva, tekintsünk most egy P erőteret, amely pontról pontra változik, és az egységnyi tömegpont mozogjon egy folytonos, hurok és töréspont nélküli (sima) g térgörbén, annak A pontjától a B pontjáig. A végzett munka kiszámí­tása érdekében osszuk fel a görbe ^-tól 5-ig terjedő ívét n számú részívre, és jelölje az osztáspontok helyvektorait Tq, r ^ , . . . , r„. Kössünk össze két-két szomszédos osztó­pontot egy-egy húrvektorral és legyen a A:-adík húrvektor a vektor (FIS. ábra).

Pótoljuk a pontból a pontba vezető görbeívet a pontokat összekötőhúrvektorral és az erőtérnek e görbeíven felvett P vektorait egy, a görbeív tetszőleges

222

közbülső helyvektorú pontjához tartozó V’ÍQu) vektorral, majd tekintsük a

AL, - P(e,)Jr,

skaláris szorzatot. Ez közelítőleg megadja a görbeív mentén végzett munkaértékét. A görbeív mentén az A és B pont között végzett munka közelítő értéke e részmunkák összege;

t == t ji = i t = i

Készítsünk más felosztásokat is, és válasszuk a felosztásoknak egy olyan sorozatát, amikor az osztópontok száma úgy növeksrdk minden határon túl, hogy a leghosszabb zír* vektor is a zérusvektorhoz tart. Ha az sgy kapott közelítő összegek

raax 0 _ j

határértéke létezik és véges, akkor azt tekintjük a P erőtér munkájának, amit a g görbe mentén végez, amikor a tömegegységet az A ponttól a B pontig mozgatja.

A közelítő összegek határértéke másfelől egy határozott integrállal, a P erőtérnek a g görbe mentén A-tól 5-ig vett vonalmenti integráljával egyenlő, így

L = J P (k.A \

Ha P = P^i+ Py} + Pj,k és Ar - Axi + Ay}+ ázk. amely vektor a határátmenetkor & dr = dxi + dyi + dzk vektorba megy át, akkor a műnk át a következő alakú vonal­menti integrál adja:

L = <»' J (F,dx+ P^dy + P,dz).A

Definíció. Az előbb bemutatott gondolatmenet az R^-ban vagy ennek egy résztartományában értelmezett vektor-vektor-függvényre és sima görbére al­kalmazható, és eredményül a v(r) = Vii + V2j + v^k vektor-vektor-függvény

B Bj y dr = J (t>i dx+ 1>2 dy+ v dz)A A

alakban felírható, a g görbe mentén az A-tól B-ig terjedő határok közötti vonalmenti integrálját kapjuk.

223

A vonalmenti integrál definíciójából következik, hogy ugyanazon a g görbén haladva

B AJv<3&' = — dl,A B

vagyis a haladási irányt megfordítva a vonalintegrál értéke előjelet vált és

B c cJvífr + J v íá '= Jvdlr.A B A

Ugyancsak a definíció alapján látható, hogy (a határokat most nem írtuk ki):

J cv ífr = c IV iá',

I (v± w) íA-= j V íá-± J w í/r.

Ha a g görbe zárt, akkor körintegrálról beszélünk és a § jelet használjuk.Kérdés, hogyan kell a vonalintegrált kiszámítani?Legyen a vektormező (r e Z),)

v(r) = ri(x, y z)i+V2Íx, y, z)j + v^ix, y, z)k,

a g görbe egyenlete pedig

r(0 = x(í)i + K0j + 2(0k-

dlMivel r = — , ezért

dt

dt = i dt = (xi + j j + z\i)dt.

Minthogy minket a vektormező viselkedése most csak a g görbe mentén érdekel, lokalizáljuk a v függvényt, azaz komponenseiben írjuk be x, y, z helyébe a görbe egyenletében szereplő x(/), y{t), z{t) függvényeket: v(r(í)). Végül tartozzék a görbe A pontjához a a görbe B pontjához a ?2 paraméterérték. Ekkor

B (2

J V iá" = J v(r(/))f(/) dt,A t,

vagy röviden'

B Í2j V dr = j vf dt.A t,

224

f (Vi(t)x(t) + V2(t)y(t) + V3(t)z(t)) dt t\

alakú, ez pedig egy egyváltozós függvény határozott integrálja, amit a már tanult módszerekkel számíthatunk ki.

K idolgozott példák

1. Példa. Számitsuk ki a

v(r) = (xy -z) i + (y z -x ) j + (zx -y )k

vektor-vektor-függvény vonalmenti integrálját az

r(0 = + l)i + (1 - Oj + - Ok

egyenletű görbe A(l; 1; 0) pontjától a görbe B(5; — 1; 6) pontjáig terjedő íve mentén!Megoldás. Mivel a görbe egyenletéből x = t^+ \, y = \ - t , z = ezért a

vektormező lokalizált alakja

v(r(0) = [{t + 1) (1 - 0 - (í" - 0]i + [(1 - 0 - i ) - + DU ++ [ ( í3 - í ) ( í " + l ) - ( l - í ) ] k =

A görbe egyenletéből

r(0 = 2 d - j + (3 í"-l)k ,

és könnyen látható, hogy az A pont a ti = 0, a B pont a 12 = 2 paraméterértékhez tartozik, mert r(0) = i+ j, r(2) = 5 i- j + 6k.

így a keresett vonalmenti integrál

A 0

2

= \ { } f - t ^ - Z t ^ + t^ -3 t^ + 3t+2)dt =0

----------------- + ------ ^3+ — +2í8 6 5 4 2

A jobb oldalon álló integrál részletesen kiírva

0

32 96 256 = 96------------- + 4 - 8 + 6 + 4 = 102-------- = 50,8.

3 5 5

225

2. Példa. Számítsuk ki a

v(r) - (2xj + 2“)i + (2>z + A- )j + (2.xz + / ) k

vektor-vek tor-függvény vonalmenti integrálját a /*i(2: 1; 3) pontot a Po.( ■ 1; 3; - 2) ponttal összekötő egyenesszakasz mentén Pj-től Pi felé haladva!

Megoldás. Az integrációs út a P 1 P2 egyenes. Ennek egy irány vektora a— 3i + 2j - 5k vektor, az egyenes vektoregyenlete tehát

Ebből

r(/) = (2 - 3/)i + (1 + 20j + 0 - 5í)k.

r ( t) = -3 i + 2j-.6k.

A Pl pont a = 0, a P2 Pont a Í2 = l értékhez tartozik A vektor-vektor-függvény lokalizált alakja •

v(r(í)) = ( 3 7 - 44? + 13)i + ( - 1 1 - !((.' í 10)j + ("U/ - - 34/ + i 3)k.

így a vonalmenti integrál

Plí

Pí ydr = J [ ( - l lh 2 + 1 3 2 í-3 9 ) + ( -2 2 /^ -2 0 / + 20) + ( -1 7 0 í“-l- 170/-65)]í/< -

0

= }(-303í" + 282í-84)í/r = [-1 0 1 í^+141í2-84;]Í = -44 .

3. Példa. Számítsuk ki a

v(r) = (z^--j)i + (z + A)j + xjk

vektor-vektor-függvény vonalmenti integrálját az .x, y síkkal párhuzamos síkban elhelyezkedő C(2; 3; 4) középpontú /• = 5 sugarú körvonal mentén!

Megoldás. Mivel az adott körvonal az .x;, y síkkal párhuzamos síkban he­lyezkedik el, ezért minden pontjának z koordinátája a középpontjának z koor­dinátájával egyezik meg és ez 4. A kör­vonal egy tetszőleges P{x\ y\ 4) pontjá­ba az

r(it) = c + Cp — (2+5 cos /)i ++ (3 + 5 sin Oj + 4k

vektor vezet, ahol c a kör középpontjá­nak a helyvektora, t az a szög, amelyet

iZ

/t 5

- - A

t / } /

0 /

F19. ábra

226

a kör egy, az x tengellyel párhuzamos sugara és a CP sugár zár be (F19. ábra). Egy pont akkor futja be a zárt körvonalat, ha 0 í 2;r.

Az r deriváltfüggvénye

r(t) = ( — 5 sin + (5 cos í)j-

A vektor-vektor-függvény lokalizált alakja:

v(r(0) = ( 1 6 - 3 - 5 sin/)i + (64 + 2 + 5 cos 0j + (2 + 5 cos 0 (3 + 5 sin í)k-

A körintegrál így

jvcfr = J [(13 — 5 sin í) ( ~ 5 sin t) + (66 + 5 cos t) (5 cos /)] dt =02n

= J ( — 65 sin í + 330 cost í + 25) í/í = [65 cos í + 330 sin/+25í]o” = 507t.0

5.2 A vektor-vektor-függvény potenciálfüggvénye

A v(r) vektor-vektor-függvény vonalmenti integráljának a kiszámítása elvileg egy­szerű, ha a vonalintegrál

B

í (^1 dx + 2 ífy + í 3 dz)A

képletében álló integrandus egy háromváltozós u{x, y, z) skalárfüggvény teljes diffe­renciálja:

du du du (*) V, dx-^V2 dy + v dz = — dx+ — dy+ — dz = du,

dx dy dz

mert ekkor

fi BJ (ül dx + V2 dy + V3 dz) = J í/m = [u]\ = u{B)-u{A),A A

és ez azt jelenti, hogy az integrál értéke nem függ a g görbétől, hanem csak az A és B ponttól, az integrációs út kezdő- és végpontjától.

227

Definíció. Azt az u függvényt, amelyre a (*) egyenlőség teljesül, a v vektor-vek- tor-fiiggvény potenciáljának, vagy potenciálfüggvényének nevezzük.

A potenciálfüggvények hasonló szerepet töltenek be a vektor-vektor-függvények- nél, mint a primitív függvények az egyváltozós függvények halmazában.

Tétel. Ha a v vektor-vektor-függvénynek létezik potenciálja és a g görbe zárt, akkor A = B miatt u(B) = u(A), tehát a vonalmenti integrál értéke 0.

Dehníció. Ha v(r) erőteret ír le és van potenciálja, akkor az erőteret konzervatív erőtérnek mondjuk.

Konzervatív erőtérben a vonalmenti integrál értéke nem függ az integrációs úttól:

és a zárt görbe mentén vett integrál (körintegrál) értéke 0, azaz

dr = 0.

Felmerül a kérdés, hogyan lehet megállapítani egy v vektor-vektor-függvényről, hogy van-e potenciálja? Az alábbiakban szükséges és elegendő feltételt adunk a potenciál létezéséhez.

Ha a V = vektor-vektor-függvénynek van u(x, y, z) potenciálfüggvé­nye, azaz

du du= t), = V2,

du — =dx dy dz

akkor u második vegyes parciális deriváltjai egyenlők lévén ([1], 5.3.6 pont)

vagyis

dv^ d^u dv2dy dzdy dz ’dvi d^u dv^dz dxdz dx ’dv2 d^u dvidx dydx d y '

dv, dvj dv, dv-x dv, dv,— ----- = 0, — ----- ^ = 0, — ----- -dy őz dz dx dx dy

= 0.

228

Ez u létezésének szükséges feltétele. Be lehet látni, hogy ez a feltétel elegendő is. Ha észrevesszük, hogy e három egyenlet bal oldala éppen a rőt v vektor három koordiná­tája, akkor a következő tételt láttuk be:

Tétel. A v vektor-vektor-függvénynek pontosan akkor van potenciálja, ha

rőt V = 0.

Ha már tudjuk, hogy egy vektor-vektor-függvénynek van potenciálja, akkor azt hogyan határozhatjuk meg? Az alábbiakban egy módszert azonnal példán keresztül mutatunk be.

Kidolgozott példa

a) Bizonyítsuk be, hogy a

v(r) = (2xy + z^)i + (2yz + x^)j + (2xz+y^)k

vektor-vektor-függvénynek van potenciálja! Határozzuk meg a potenciált!b) Számítsuk ki a vektormező vonalmenti integrálját tetszőleges görbe mentén az

/í (2; 1; 3) és 5( — 1; 3; — 2) pontok között!c) Mutassuk meg, hogy az r(í) = (2 + 5 cos í)i + (3 + 5 sin í)j + 4k körvonal men­

tén {Q-^t-^ln) vett körintegrál értéke 0.Megoldás, a) Esetünkben

ezért

Vi = 2xy + z^, V2 = 2yz+x^, = 2xz+y^,

= 2 y -2 y = 0,

= 2z —2z = 0,

= 2x —2x = 0,

^z^ Vi ■■

dv^ dV2dy dzdvi ŐD3dz dxdv2 dvidx dy

és ebből következik, hogy potenciál van.

Mivel — = 2xv + z^, ezért a potenciáldx

u(x, j , z) = J (2xy + z^) dx = x^y + z^x + f(y , z)

229

dualakú, ahol f{y, z) azt jelöli, h o g y / csak j-tól és z-től függ. Azonban — = V2, vagyis

x^+ — = 2yz+ x^, dy

és ez minden szóba jöhető értékre csak akkor teljesül, ha

■ S f dy

vagyisf(y , z) = y^z + g(z),

ahol g(z) azt jelöli, hogy a g függvény csak z-től függ. így a potenciál részletesebb alakja

u{x, y, z) = x^y + z^x+ y^z + g{z).

du . /■Mivel végül — = V3, vagyis

dz ■ f

2 zx+y^ + g'(z) = 2 xz+y^,

ezért g'(2) = 0, g(,z) = K és a potenciál végleges alakja

u{x,y,z) = x^y + z^x+y^z + K,

ahol K tetszőleges állandó. Ez azt jelenti, hogy ha van egy potenciálfüggvény, akkor egyúttal végtelen sok is van. Vonalintegrálok kiszámításához a K= 0 értékhez tartozó

u(x,y,z) = x^y + z^x+y^z

potenciált célszerű választani.b) A kérdezett vonalintegrál értéke a potenciál létezése miatt nem függ az integ­

rációs úttól, tehát az út tetszőleges lehet.A vonalintegrál értéke

í vífr = lx b + z^x+y^z]\^,\\%-^^ =

= (3 -1 8 -4 ) - (4 + 3 + 1 8 ) = -4 4 ,

amint azt az 5.1 pont 2. példájában már láttuk.

230

e) Mivel f(/) = ( - 5 sin /)i + (5 cos t)\, ezért

v(rfO) dt - I [2(2 + 5 cos t) (3 + 5 sin t) + 16] [ - 5 sin t] dt +

[2(3 + 5 sin í)4 + (2 + 5 cos 0 1 [5 cos /] dt =

02n

+0In

= 5 J [28(cos í-sin í)+ 10 sin í cos í+ 20 (cos í-sin^ i)-0

- 50 sin ’ t cos t f 25 cos'* /] dt =

= 5

- 5(28-5-28 + 5) =■■ 0.

50 , 25 ,28(sin í + cos /)-5 cos 2t+ 10 sin 2 t- sin" í+25 sin t— *

2n

Ezt a hosszadalmas munkát megtakaríthattuk volna, ha a következőket mondtuk volna;

Mivel v-nek van potenciálja és az adott körvonal zárt görbe, ezért a körvonal mentén vett vonalintegrál (körintegrál) értéke 0.

5.3 Felszíni integrálDefiníció. Legyen adott a T eR ^ paramétertartományon értelmezett, mérhető felszinű r(M, v) felületdarab és ezen a felületdarabon értelmezett Í7(r) skalár-vek- tor-függvény. Osszuk fel a felületet részekre, és legyen az í-edik rész felszíne ASi- Jelölje f/j az U függvény helyettesítési értékét az i-edik felületdarab valamely pontjában. Képezzük a

I UiASii

összeget. Ha a felszín kiszámításakor kimondott (2.3 pont) korlátozó feltételek mellett a felületdarab felosztását minden határon túl finomítjuk és az így kapott összegek sorozatának mindig ugyanaz a véges határértéke van, akkor ezt a határértéket az Í7(r) függvénynek az r(«, v) felületre vett felszíni integráljának nevezzük és

í UdS(S)

jellel jelöljük.

231

Tétel. Ha a felszín kiszámításánál kimondott feltételek teljesülnek és t/(r) folyto­nos, akkor I U dS létezik és a 2.3 pontban bevezetett jelölésekkel

(S)

J UdS = Í J C/|r„xrJ dudv.(S) (T)

Bizonyítás. A A S í felületdarab felszíne

ASi= ÍJ | r„xrj dudv,

ahol J Ti a ASi felületdarabhoz tartozó paramétertartomány. így

Y ^ U ,A S ,^ Y ^ U ,l \ \ t^ x t , \d u d v .i i ( Ti)

Felhasználva a kettős integrál additivitását és a korlátozó feltevéseket, a jobb oldal határértéke valóban a képlet jobb oldalán álló integrál.

Minthogy I r„ x | = ]/EG-F^, ezért a felszíni integrál

í U dS= j j u f E G ^ d u d v(S) (T)

alakban is felírható.

Kidolgozott példa

Számítsuk ki az C/(r) = x + y + z függvény felszíni integrálját az

r(M, v) = (R sin v cos u)i + (R sin v sin w)j + (R cos v)k

O ^ u ^ ln , O ^ v ^ - alakban megadott félgömbhéjra!

Megoldás. Mivel

r„ = ( — i? sin i; sin u)i + {R sin v cos u)\,= {R cos v cos u)i + {R cos v sin i/)j + ( - i í sin ü)k,

ezért

E = = R^ V, F=tjc„ = Q, G = (r„) = i? , ]jEG-F^ = R^ sint;. Az U függvény a felületen

U{t) = sin f cos u+ R sin i; sin m + / í cos v

232

alakú, így a felszíni integrál

2 In

J U^EG-F^ dudv = \ í R \sin V cos M+sin t> sin m + cos i;)sin vdudv =(S) 0 0

712

= ií^ j [(sin i; sin w — sin v cos u + u cos i;)sin dv =0712

.2 ,,12 „= \2n sin v cos v dv = i? 7z:[sin v]l = R^n0

térfogategység.

5.4 Felületi integrálDefiníció. Legyen adott a T s paramétertartományon értelmezett, mérhető felszínü r(w, v) felületdarab és ezen a felületdarabon értelmezett v(r) vektor-vek- tor-függvény. Osszuk fel a felületet részekre, és az i-edik rész egy tetszőleges pontjában vegyünk fel egy r„ x irányú vektort, amelynek a hossza az /-edik rész JSi felszínének mérőszámával egyenlő. Ezt a vektort felszínvektornak nevezzük és zlSj-vel jelöljük. Jelölje V; a v(r) függvény azon a helyen vett értékét, amely helyen a JSj-t választottuk. Képezzük a V; és JS, vektorok skaláris szorzatának a

ZV; JSii

Összegét! Ha a felszínszámításnál kimondott (2.3 pont) korlátozó feltételek mellett a felületdarab felosztását minden határon túl finomítjuk és az így kapott Összegek sorozatának mindig ugyanaz a véges határértéke van, akkor ezt a határértéket a v(r) függvénynek az r{u, v) felületre vett felületi integráljának nevezzük és

I V íS(S)

jellel jelöljük.

233

Tétfx. Ha a felszínszámításnál k imondott felté telek teljesülnek és v(r) folytonos

függvény, akkor az J v áS létezik és az ottani jelölésekkel(S)

J V tíS ^ J j v(r„ X r ) du dv = j J v r„r,. du dv.iS ) (T ) (T )

Bizonyítás. Ha bevezetjük az IJ ^ vm skalár-vektor-függvényt, ahol m az r„ x irányába mutató egységvektor abban a pontban, ahol a v-t választjuk, akkor

VfJS; =és így

Xv.zíS,. = X UiAS,i i

Ezzel az átalakítással a felületi integrál definíciójában fellépő összegeket a felszíni integrál definíciójabeli összegekre vezettük vissza.. Ha az

f U\T„xr Jdudv(S)

felszíni integrálban az U — vm és |r„ x r,Jm = r„ x r , helyettesítést végrehajtjuk, akkor a felületi integrál valóban

I y(r^xr„) dudv (S)

alakú. Az integrandus vegyesszorzat alakjában is felírható. Ezzel állításunkat belát­tuk.

A felületi integrál értékének előjele függ az r„ x r,, felületi normális irányításától. Ezért, ha valamelyik feladatban megszabják, hogy az integrálást adott irányítású (pl. „kifelé” mutató) nonnális mellett kell elvégezni, akkor külön meg kell vizsgálni, hogy az adott irányítás a felületi normális irányításával azonos vagy azzal ellentétes irá- nyú-e. Ha a felületi normális irányítását ellentétesre változtatjuk, a felületi integrál értéke előjelet vált.

A felületi integrál additív, azaz ha két felület (S^ és S 2) egy vonal mentén érintkezik, akkor

I \ d S + f V = J V íS ,(S ,) (S ,t (S>

ahol S az és S2 egyesítése, ha a két ielület felüieti normálisa azonos irányítású.

234

Ha két felületdarab határgörbéje közös, azaz a két felület zárt felületet alkot, akkor a fenti képlet csak úgy áll fenn, ha a felületi normáhsok mind a két részfelület esetében vagy a zárt felületből kifelé, vagy a zárt felület belsejébe mutatnak.

K id o l g o z o tt p é l d á k

1. Példa. Számítsuk ki a v(r) = r = xi + j i + zk vektormező felületi integrálját az

r(w, v) = [(3 + cos m)cos d]í + [(3 + cos «)sin i?]j + (sin w)k

egyenletű gyűrűfelület (tórusz) x, y feletti darabja mentén „felfelé mutató’' normális mellett!

Megoldás. A példa szövegében említett felületdarab akkor jön létre, ha O^M^TTj O ^ v ^ ln (F20. ábra).

A felületi normáhshoz szükséges deriváltak:

r„ = ( - s in M cos v)i ++ ( - sin « sin ü)j + cos u k,

= [ ~ (3 + cos M)sin ü]i +.+ [(3 + cos m)cos tj]j.

Ezekkel a felületi normális

-(r„x r,)

r„ X r„ =i j k

- sin u cos V - sin M sin v cos u— (3 + cos M)sin V (3 + cos m)cos v 0

= - [(3 + cos m)cos u cos i;]i - [(3 + cos i/)cos u sin t)]j - [(3 + cos M)sin «]k.

Mivel a k egységvektor együtthatója negatív, ezért a „felfelé mutató” normális a felületi normáhs ellentettje lesz, azaz -(r„xr„). -

Az adott vektormező az adott felületen

v(r) = v(r(w, ü)) = [(3 + cos m)cos u]i + [(3 + cos w)sin t)]j + (sin t )k

alakú, a felületi integrál integrandusa

- v(r„ X r„) = (3 + cos m)^cos u cos^ r+ (3 + cos u'fcos u sin^ t; + (3 + cos w)sin u == (3 + cos m)^cos m+(3 + cos M)sin u == (3 + cos m)(3 cos M+1) = 3 cos^ m+ 1 0 cosm+3.

235

n 2n

(3 cos^ M+ 10 cos u+ 3)dv du =

r

(3 cos^ M+ 10 cos u + 3)du = 2n

így a felületi integrál

\ dS —(S) 0 0

= 2n0

r9u 3 n Í9n— + - sin 2u+ 10 sin u = 2n2 4 0

= 2n

térfogategység.2. Példa. Számítsuk ki a v(r) = yi + zi + xk vektormezőnek az F21. ábrán látható

egységsugarú negyedgömb teljes felületére vonatkozó felületi integrálját „kifelé muta­tó” normális mellett!

Megoldás. A felületi integrált három részlet­ben számítjuk k i: aj a negyedgömb felületére, b) az x ,y síkban fekvő félkörlapra, ej az x, z sík­ban fekvő félkörlapra.

a) A. szóban forgó Sy gömbfelület paraméte­res egyenletrendszere

y r(w, v) = (cos V cos m)í + (cos i; sin ü)\ + (sín i;)k,

r„ = ( - cos V sin u)i + (cos v cos t/)j,r„ = ( - sin i; cos m)í + ( - sin v sin u)\ + (cos t;)k;

' J k— cos V sin u cos v cos u 0— sin V cos M — sin t) sin u cos v

= (cos^ V cos m)í + (cos^ V sin u)\ + (sin v cos w)k.

Mivel a felső félgömbön 0 ^ i; ^ ^ , ezért sin i? cos t; ^ 0, a k egységvektor együttha­

tója pozitív, tehát a felületi normális „kifelé” mutat. Az adott vektorfüggvény a gömbfelületen

v(r) = (cos V sin u)i + (sin t;)j + (cos v cos «)k.

236

A felületi integrál ezek után

2 TIr(cos^ V cos w sin w + cos^ v sin í; sin u + cos^ v sin v cos u) du dv =

(?i) 0 0

0IL2

COS Vsin^ u

■ cos^ V sin V cos u + cos^ v sin v sin u dv =

% COS V2 cos^ t; sin y íít; = 2

323

térfogategység.b) A z x ,y síkban fekvő egységsugarú S2 körlap egyenlete

r(«, q) = (e cos m)í + (e sin ii)\,

ahol O^M^TT, 0 ^ 0 ^ 1. Mivel

>■» = ( “ e sin u)\ + {q cos w)j, Tg = (cos u)i + (sin u)\.

ezért

i j k- 0 sin M Qcosu 0

cos u sin M 0= -e k ,

azaz a felületi normális „kifelé” mutat. Az adott vektormező a körlapon

''(•■) = (q sin u)i + (q cos M)k.

így a felületi integrál

1 71 1

I \ dS = I - Q COS ududg = - J e^[sin u]q dg = Q.(Si) 0 0 0

c) Az X, z síkban fekvő egységsugarú körlap egyenlete

Q) = (e cos Oi + (ö sin í)k,

237

ahol O^í^Ti, Mivel

r, = ( - e sin í)i + (q cos fg = (cos í)i + (sin Ok,

ezert

r^xr =i i k

— ö sin í 0 Q cos t cos í Q sin í

= Qh

vagyis a felületi normális „befelé” mutat. A „kifelé” mutató normális ezért - öj- Az adott vektontnező az körlapon

v(r) = (q sin Oj + (q cos t)k.

így a felületi integrál

1 7t

\d S = — sin t dt dg = -e ^ [-c o s ífodQ =(S3) 0 0

l e ^ d e - -2q^ 2

3

térfogategység.Mivel a normális irányát mind a három esetben „kifelé” mutatónak vettük, ezért

a teljes felületre vonatkozó felületi integrált e három integrál összege adja

2 2 víiS = - + 0 - 2 = 0.

(S)

Tehát az adott vektormezőnek a teljes negyedgömb (zárt) felületre vonatkozó felületi integrálja zérus.

238

5.5 Térfogati integrálDefiníció. Legyen L/(r) egy, a FczR^ egyszeresen összefüggő, mérhető tarto­mányban (térrészben) értelmezett skalár- vektor-függvény. Osszuk fel a tarto­mányt zlVi részekre. Válasszunk minden egyes részben egy helyvektora pontot és legyen e pontban a függvény értéke U(ri). Tekintsük az Uir^AVi szorzatok összegéi, a

I

összeget. Finomítsuk a V feloszt.ását minden határon túl úg}'. hogy a JF , résziartomá riy ok

a) tél fogata laitson 0- hoz.b) rrc í'ajuljanak el síklapokká,!.:) oidallapiai ne í'ajuljanak el szakaszokká.

Ha a finomítás során kapott összegek sorozatának mindig ugyanaz a véges határértéke van, akkor ezt a határértékei nevezztik az í/(r) függvénynek aV tartományra vett térfogati integráljának és az

J’ U(r)dV(V)

jellel jelöljük.

Mivel az U{t) skalár-vektor-függvény egy háromváltozós U(x, y, z) függvénnyé írható át, ezéri a térfogati integrál kiszámítása hármas integrállal történik

f U{t) í/F - Í I J U(x, y, z) dV - í 11 V dx dy dz.(V) (V) (h'

Az integrál kiszámításakor a hármas integrálok kiszámítására vonatkozó szabályok az érvényesek.

KroOLGOZOTT PÉLDA

Számítsuk ki az

[/(r) = = x^ + y^ + z^

függvény térfogati integrálját arra az egységnyi élhosszúságú kockára, amelynek egyik csúcsa az origóban van, az ebből a csúcsból kiinduló élei pedig a koordinátaten­gelyek pozitív felére illeszkednek!

239

Megoldás.’A keresett térfogati integrál hármas, majd háromszoros integrállá ala­kítható át.

1 1 1J Í7(r) = J J í (x^ + y^ + z^) dV = j j (x^ + / + z^) dx dy dz.

(V) (K) 0 0 0

Az integrálásokat rendre elvégezve:

U(r) dV -¥) 0 0

1

y + X ( / + Z ) dydz ~1 1

]dydz =0 0

<% 1 f 2 z n 1- + z M J+ — dz = - + z \d z = - z 4 — == 1

J ^3 r 3_ 0 ^3 ) -3 3_ 0

Megjegyzés. Minthogy az U függvény x-ben, j-ban és z-ben szimmetrikus és a három integrációs határ is azonos, ezért esetünkben a hármas integrál egyszerűbben is kiszámítható:

1 1 1 12. „2 . 2(x^ + y^ + z^)dxdydz = 3

0 0 0

1t^dt== 3 = I

00

5.6 Stokes tétele

T étel. Tekintsünk egy S felületet, amelynek van felszíne, és határa egy rektifikál- ható g vonal. Irányítsuk a görbét úgy, hogy körüljárása az S felületi normálisa irányából nézve pozitív legyen (F22. ábra).Legyen továbbá az ezen a felületdarabon értelmezett v(r) vektormező folytonosan differenciálható. Ekkor

j rőt V űSS = j V ú?r.(S) ig)

Ez Stokes tétele, amely kapcsolatot teremt egy felületi és egy vonalintegrál között.

240

Bizonyítás. A tétel bizonyítását négy lépésben vázoljuk.1. Legyen az S felületdarab olyan derékszögű háromszöglap, amely az x, y síkban,

derékszögű csúcsa pedig az origóban van; befogói a, ill. b hosszúságúak, ezértX y

átfogójának az egyenlete - + 7 = I (F23. ábra). A felületi normális merőleges az x, ya b

síkra, és ha a háromszöglap határát pozitív irányítással látjuk el, akkor a felületi normális a z tengely (a k egységvektor) irányába mutat. Ezért a képlet bal oldalán az integrandusban szereplő skaláris szorzat a rőt v vektornak csak a harmadik kom­ponensét tartalmazza. Ha v = y j+ + alakú és a háromszöglapot b>.-gel jelöl­jük, akkor a bal oldalon álló integrál a következő alakba írható;

rőt V íS =/ dVy dv^

(t ) (ti.)dx dy

dt.

ahol a jobb oldalon a háromszöglapra vonatkozó területi integrál áll. Ez kettős integrállá alakítható át. Mivel (F23. ábra)

. dx(t )

dVy{ x , y, 0)dx

0 0hr /

V,, a - - y , y , Ö ] d y - Dy(0, j , 0) dy;

(fc-)Sy

0 0

dv^(x, y, 0) dy

v^(x, b---- X, 0a

dy dx —

a

dx — vj^x, 0, 0) dx.

241

ezért

rotvúSS = a - -y ,y ,Q ] d y +(S)

v/O, y, 0) dy+

+b \

c, b---- X, 0 dx +a J

Vx{x, 0, 0) dx.

A Stokes-tétel jobb oldalán álló vonalmenti integrál a következő alakba írható;

j víA-= I (v^dx + vydy + v^dz) ^ j v^dx+ J Vydy+ | v^dz.(t ) (b.) (fc.) (t ) (ti )

Az utolsó integrál értéke nyilvánvalóan 0, hiszen a háromszög az x, y síkban van. Az első két vonalmenti integrál összege az

I Vjcdx+ j dx + j dx+ J Vy dy+ J Vj, dy + \ Vy dy-s i \ I

összegre bontható, ahol a nyilak helyzete a háromszögnek arra az oldalára utal, amely mentén az integrálás történik.

E hat integrál közül a harmadik, ill. a negyedik értéke 0, hiszen az integrációs út minden pontjának az x, illetve y koordinátája 0. A megmaradt tagok x, ill. y szerinti közönséges integrálokká alakíthatók át, ha x-et, ill. y~t választjuk paraméternek,

így a képlet jobb oldalán álló vonaUntegrál

y dr = vj^x, 0, 0) dx +(t )

v^l x, b---- X, 0a /

dx +

+ U - \dy+ i;/0, y, 0) dy,

ez pedig pontosan megegyezik a bal oldalon álló felületi integrálra kapott összeggel. Ezzel a tételt a speciális helyzetű derékszögű háromszöglapra igazoltuk.

Az F2J. ábrán az a és b valós számokat pozitívaknak ábrázoltuk, de ezt a bizonyítás során nem használtuk ki.

2. l.egyen most a háromszöglap nem feltétlenül derékszögű és helyezzük el a koordináta-rendszerben az F24. ábrán látható módon. Ez a háromszöglap két olyan derékszögű és speciális elhelyezkedésű A j és A 2 részháromszöglapra bontható fel.

242

amelyekre Stokes tétele külön-külön igaz, vagyis

f rőt V í S = f V í/r,(A,) (Ai)

J rotVííS = J \ dt.(Aj) • (Aj)

Adjuk össze az egyenletek megfelelő oldalait! A felületi integrál additivitása miatt a részháromszöglapokra vett felületi integrálok összege egyenlő az egyesítésükre (az eredeti háromszöglapra) vett felületi integrállal. A részháromszöglapok kerületén vett vonalmenti integrálok összege pedig a nagy háromszöglap kerülete mentén vett vonalmenti integrállal egyenlő, mert a részháromszöglapok közös oldalán vett vonal­menti integrálok összege 0, hiszen mindegyik közös oldal mentén kétszer integráltunk, mégpedig ellentétes irányítás mellett (F24. ábra). így

J rőt V úSS = J \ dx.( A) ( A)

3. Legyen a háromszöglap alakja és elhelyezkedése tetszőleges. Mivel egyrészt a rőt V független a koordináta-rendszer megválasztásától (hiszen a deriválttenzor vek­torinvariánsa), ezért ennek felületi integrálja is csak tőle és a háromszöglaptól függ, másrészt a vonalmenti integrál értéke is csupán a v-től és a háromszöglaptól függ, ezért ha egy új koordináta-rendszert úgy választunk meg, hogy ebben a háromszöglap az előbbi lépésben tárgyalt speciális helyzetbe kerül, akkor egyik integrál értéke sem változik meg, a speciális helyzetű háromszöglapra pedig igaz Stokes tétele.

4. Tekintsünk végül egy mérhető felszínű egyszeresen összefüggő S felületet, amely­nek a határa a g rektifikálható zárt görbe. írjunk a felületbe egy olyan P poliédert, amelynek oldallapjai háromszöglapok és minden csúcsa a felületen van. A P poliéder minden háromszöglapjára igaz a Stokes-tétel. Adjuk össze a kapott egyenletek megfe­lelő oldalait! A felületi integrál additivitása alapján az összeg egyik oldalán a P po­liéderre vonatkozó felületi integrál áll, a másik oldalon pedig a határoló g görbébe írt p polígonra vonatkozó vonalmenti integrál, mert a belső háromszöglapok minden oldala mentén kétszer, mégpedig egymással ellentétes irányítás mellett integráltunk a körüljárási irány megtartása miatt, ezért ezeknek a vonalmenti integráloknak az összege 0. így beláttuk, hogy

f rőt V úS = í \ dr.(P) (P)

Szaporítsuk most a felületen a pontok számát úgy, hogy a felszínszámításnál mondott korlátozó feltételek érvényben maradjanak a poliéderek valamennyi három­

243

szöglapjára. Bármilyen felosztást választva, a beírt poliéderre és a határoló töröttvo- rialra a tétel igaz. Finomítsuk a felosztást minden határon túl! Ekkor az előző feltételek mellett a poliéderekre kapott felületi integrálok sorozatának határértéke a felületre vonatkozó felületi integrál, a határoló poligonokra kapott vonalmenti integ­rálok sorozatának határértéke pedig a határoló görbére vett vonalmenti integrál, azaz

J rőt \ dS = j \ dr,(S) (9)

és ezzel Stokes tételét beláttuk.

K idolgozott példa

Tekintsük a v(r) = { -x ^ + y + z)i + (x -y ^ + z)] + + (x + j —z^)k vektormezőt és azt a véges felületet, amelyet az A{2; 0; 0), B{0; 2; 0), C(0; 0; 2) csúcspon­tú háromszöglap és az a két háromszöglap határol, amit az ABC sík az xz és yz síkokból kivág {F25. áb­ra). {A vonalkázással jelölt háromszöglap nem tarto­zik a felülethez.)

Igazolja az alakzatra Stokes tételét!

Megoldás. A három háromszöglapból álló alakzat határoló kontúrvonala a vonal- kázott háromszög oldalaiból álló g töröttvonal. Számítsuk ki először a vonalintegrál értékét a g vonal mentén. Ez három részből áll: az OA, AB és BO egyenesszakaszok­ból.

Az OA egyenes egyenlete x= t, j = 0, z = 0, ahol 1; x= 1, j = 0, i = 0. A vo­nalmenti integrál

Ii =

Az AB egyenes egyenlete x —t, y = 2 — t, z = 0, ahol 2 ^ í^ 0 . x= I, y= — 1, r = 0, a vonalintegrál pedig

0 0

h = H i - t ^ + 2 - t ) - ( í - { 2 - t y ) ] d t = j ( - 6 í + 6 ) d t =

= [6í-3/2]2 = 12-12 = 0.

Végül a BO egyenes egyenlete x = 0, y = t, z = 0, ahol 2 ^ /^ 0 . x = 0, j = l , i = 0, a vonalmenti integrál pedig

244

h =r^3n 8

3

Ezeket felhasználva

y dl = - - + 0 + - = 0 ,(9)

azaz a Stokes-tételt jelentő egyenlőség jobb oldala 0.Áttérve a felületi integrál kiszámítására, először a rőt v vektort határozzuk meg,

rőt V =

i j kA A Adx dy dz

— x^+ y + z x~ y^ + z x+ y — z^

= ( l - l ) i - ( l - l ) j + ( l - l ) k = 0.

Ezért a felületi integrál értéke és így a Stokes-tétel bal oldala is 0. A tétel két oldalán álló kifejezések egyenlők (mind a kettő 0), ezért Stokes tétele erre az alakzatra igaz.

5.7 VektorpotenciáiA felületi integrál kiszámítása Stokes tétele értelmében vonalmenti integrál kiszá­

mítására vezethető vissza, ha a felületi integrál integrandusa egy vektorfüggvény rotációja. ■

Ezért egy

I rőt V filS = J V ífr.(S) (9)

J wúSS(S)

felületi integrál kiszámítása elvileg egyszerűbb lenne, ha találnánk egy olyan v(r) vektor-vektor-függvényt, amelyre w = rőt v lenne, mert ekkor

|w í S = JrotvúSS = j y dr(S) (S) (9)

lenne. Kérdés: mi a szükséges feltétele annak, hogy egy ilyen v(r) függvény létezzék?

245

Tétel. A w vektormezőhöz akkor és csak akkor található egy v vektor-vektor- függvény úgy, hogy w = rőt v legyen, ha

div w = 0.

Bizonyítás. Legyen w = w j + wyj + w^k és v = v j + vyj + v^k. Ekkor

i j kd d d

rőt V = V X V =dx dy dz

dv dv„dy dz

i +dv^ dV;dz dx j +

dv dv,dx dy

k.

A w = rőt V feltétel értelmében

dv dv„ dv dv dy dz ’ dz dx '

_ dVy _ dv^'dx dy

Számítsuk ki a div w értékét:

div w = Vw =dw^ dw„ dw^

+dx dy

+dz

d \ d \ d^v^ d^v.dydx dzdx) \dzdy dxdy) \dxdz dydz)

d Vy d^v^\

Mivel egy háromváltozós függvény vegyes parciális deriváltjai egyenlők, ezért az utolsó egyenlőség jobb oldalán álló hat tag összege 0, azaz div w = 0, és ezzel állításunkat beláttuk.

Be lehet látni, hogy ez a feltétel elegendő is.

Definíció. A v vektor-vektor-függvényt, amelyre rőt v = w, a w vektor-vektor- függvény vektorpotenciáljának nevezik.

Definíció. Ha a w vektor-vektor-függvénynek van vektorpotenciálja, azaz div w = 0, akkor azt mondjuk, hogy a w vektormező forrásmentes (nyelőmen­tes).

Ha tehát w egy forrásmentes vektormező és v a vektorpotenciálja, akkor

J wdS = \ y dx,(S) (9)

246

vagyis az S felületre vonatkozó felületi integrál a felületet határoló g görbére vonatko­zó vonalmenti integrállá redukálódik. Ez azt jelenti, hogy a felületi integrál csak a felület határától függ és független a felület megválasztásától.

Ha az S felület zárt, akkor egy g görbe mentén két részre vágva a felületet és a kapott két részre felírva a felületi integrált, e két felületi integrál ugyanarra a határoló g görbé­re vonatkozó vonalmenti integrálra vezethető vissza, csak ez a két vonalmenti integrál ellen­tett értékű lesz, mert a görbén egyszer pozitív, másszor negatív irányban haladunk végig, hiszen a felületi normális az egész felületen azonos (például kifelé mutató) értelmű kell legyen (F26. ábra). F26. ábra

Ezért a forrásmentes w vektor-vektor-függvény zárt felületekre vonatkozó felületi integrálja 0, azaz

wűíS = 0.(S)

Kidolgozott példa

Számítsuk ki a

w(r) = x^yz\ + xy'^z\ — 2xyz'^\i

vektormező felületi integrálját az x^+y^ = 4, z=0, z = 6 zárt hengerfelületre, kifelé mutató normáhs mellett!

Megoldás. Mivel

div w = 2xyz + Ixyz — 4xyz = 0,

ezért a vektormező forrásmentes, és így bármilyen zárt felületre vonatkozó felületi integrálja 0.

5.8 Gauss-Osztrogradszkij-tételTétel. Legyen adott egy felszínnel rendelkező, zárt S felülettel határolt, mérhető térfogatú V térrész, továbbá ebben a térrészben értelmezett, folytonosan differen­ciálható w(r) vektor-vektor-függvény. Az S felület minden pontjában a felületi merőlegeseket a térrészből kifelé irányítjuk. Az elmondott feltételek mellett

I div w í/F = í w íS.(V) (S) ■

247

Ez a Gauss-Osztrogradszkij-tétel, amely kapcsolatot teremt egy térfogati és egy felületi integrál között.

A tételt a Stokes-tétel bizonyításával analóg módon láthatjuk be: a tételt először egy tetraéderre, majd tetraéderekből felépített poliéderre, végül a mérhető térfogatúV térrészre látjuk be. Ezt a bizonyítást nem végezzük el.

A Stokes- és a Gauss-Osztrogradszkij-tételeket közös névvel integrálredukciós tételeknek nevezik.

Felmerülhet az a kérdés, hogy a két tétel egymás utáni alkalmazásával nem lehet­ne-e egy térfogati integrált vonalmenti integrállá redukálni? A válasz: nem, mert - amint azt már láttuk - az

f wúSS = f vífr(S) (9)

redukció feltétele az, hogy div w = 0 legyen és ekkor a térfogati integrál integran- dusa 0.

K idolgozott példák

1. Példa. Legyen a

w(r) = ( - x ^ + y + z)i + (x -y ^ + z)} + {x+ y-z^)k

vektormező a 0 ^ j ^ 2 , 0 ^ z ^ 2 feltéte­lekkel adott kockatartományon értelmezve. Igazol­juk a Gauss-Osztrogradszkij-tétel helyességét erre az alakzatra úgy, hogy egymástól függetlenül kiszá­mítva a tétel két oldalán álló integrálokat, belátjuk ezek egyenlőségét!

Megoldás. Először a térfogati integrált számítjuk ki. Mivel

div w = Vw = —2x — 2y — 2z,

ezért a szóban forgó kockára (F27. ábra) vett tér­fogati integrál

2 2 2J div w dV = J J j ( — 2x — 2y — 2z) dx dy dz =(K) 0 0 0

2 2 2 2= - J ^[x^ + 2xy + 2xz]ldy dz = - J ^{4 + Ay + 4z) dy dz =

0 0 0 0

2 2 = ~^[4y + 2y^ + 4yz]ldz = - f (16 + 8z)űfz = -[ I6 z + 4z^]l = -48 .

248

Másodszor a kocka 6 lapjára vonatkozó felületi integrálokat laponként számítjuk ki. ,A kocka ferdén vonalkázott lapján ;c = 2, 0 ^ z ^ 2 . A lap felületi normáli­

sa az X tengellyel párhuzamos, és mivel kifelé mutat, ezért i irányú. Az Sj felületi integrál pedig, ha y-t és z-t választjuk paraméternek:

2 2

wi dS = (~ 4 + y + z) dy dz =(Si) (Si)

2

0 0

dz = ( - 6 + 2z)rfz = [-6 z + z ] =

A kockának az előbbi lappal párhuzamos hátsó lapján ;v = 0, 0 ^ z ^ 2 , ésa felületi normális — i irányú. Ezért

w dS —(S2) ÍSl)

2 2,•» /»

w( — i)dS = — J (y + z)dy dz =0 0

dz = - (2 + 2z)dz= — [2z+z^]o= ~8.

A kocka függőlegesen vonalkázott lapján 0^j>c^2,>’ = 2 ;0 ^ z ^ 2 ,a felületi normá­lis j irányú. így a felületi integrál

2 2

w dS =(Sj) (S,)

wj dS = {x — 4 + z)dxdz0 0

Vx^ 1 2 %

----- 4x + xz dz =J _ 2 0

( - 6 + 2z)í/z = [ —6z+z^]o = — 8.

Hasonló módon, a kocka még hátralevő három lapjára

2 2J w (-j)í/5 '= - J J (x-f-z) í/x ífe = - 8 ,

(Si) 0 0

2 2í w k ű f 5 = J = - 8 ,

(S s) 0 0

2 2J w (-k )í/S = I J (x + y )ííx ííj = -8 .

(Sí) 0 0

249

A felüleii integrálok összege - 48 és ez megegyezik a térfogati integrál értékével. Eizzel a Gauss-Osztrogradszkij-tétel helyességét erre az alakzatra igazoltuk.

2. Példa. Számítsuk ki a

w(r) = xi + 2vj + 3zk

vektormező felületi integrálját az x^+y^ = 9, ~2, z = 3 egyenletekkel megadott körhenger feliiietére, kifelé mutató normálisok mellett!

Megoldás. Alkalmazzuk a Gauss-Osztrogradszkij-féle tételt. Mivel div w = 1 ++ 2 + 3 = 6, ezért

J w íiS = J div w dV == j 6 dV = 6 j dV,W (») (V)

ahol az utolsó térfogati integrál a szóban forgó henger térfogatát jelenti, ami 3 • JT • 5 = 45rc. és így

I w (« = 210n ^ 848,2(Sh)

térfogategység.

5.9 Green-tételekTétel (Green első tétele). Legyenek az /(r) és ^(r) függvények kétszer folytono­san differenciálhatok egy V mérhető térfogatú és felszinü térrészben és tekintsük a

w = / grad g = /Vér

függvényt. Ekkor

j [(grad f ) (grad g) + fA g ]d V = \ ( J grad g) dS.(V) (S)

Bizonyítás. Az / grad g függvény legalább kétszer folytonosan differenciálható, ezért alkalmazhatjuk a Gauss-Osztrogradszkij-tételt. Minthogy (felhasználva a nabla operátorról tanultakat)

divw = Vw = V(/Véf) = V/Vőf + /V^0 = (grad/) (grad01) + / A 3,

ezért ezt a J div w í/F = J w íiS képletbe helyettesítve éppen az állítást kapjuk.(V) (S)

2.50

Ha speciálisan f ==g, akkor

J [(grad/)^ + /A / ] r f F = j‘ C /* g rad /)^ .iV) (S)

Ha speciálisan /~ 1 , akkor

í AgdV^- I (grad^)^= í V0ÍÍS.(V) (S) (S)

Tétel (Green második tétele). Tekintsük most az előbbi f és g függvényekből képzett

yi f grad g-ggvAÚ f = f V g - g y f

függvényt. Ekkor

f i f A g - g A f ) d V = ^ J ( fWg~gS/f)dS.(Y) (S)

Bizonyítás. Mivel most

divw = V{ f Vg- gVf ) = Vf Vg + f A g - S / f V g - g A f = f A g - g A f ,

ezért a Gauss-Osztrogradszkij-tételt alkalmazva éppen az állítást kapjuk.

251

IRODALOMJEGYZEK

Bjezikovics, Ja. Sz.: Közelítő számítások.Tankönyvkiadó, Budapest, 1952

Hajós György: Bevezetés a geometriába (6. kiadás).Tankönyvkiadó, Budapest, 1979

Halmai Erzsébet: Lineáris algebra.Tankönyvkiadó, Budapest, 1979

Krekó Béla: Lineáris algebra.Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 1976

Rózsa Pál: Lineáris algebra és alkalmazásai (2. kiadás).Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1976

Sárközi András: Komplex számok. Példatár.Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973

Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás. Példatár (3. kiadás).Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1979

252

MATEMATIKATORTENETI ÍZELÍTŐ

N. H. ÁBEL (1802-1829) norvég matematikus. Kimagaslóak az algebrai egyenle­tek elméletével kapcsolatos, valamint az elliptikus és hiperelliptikus függvényekre vonatkozó eredményei.

E. BÉZOUT (1730-1783) francia matematikus. Az algebrai egyenletek megoldásá­ban elért alapvető eredménye őrizte meg nevét.

B. BOLZANO (1781-1848) cseh matematikus, filozófus és teológus. Kutatásai jelentősen hozzájárultak a végtelen matematikai fogalmának a tisztázásához. Függ- vénytani munkáiban számos alapvető fogalmat vezetett be, és több tételt bizonyított be.

G. CARDANO (1501-1576) olasz matematikus, filozófus, természettudós és orvos. A szerencsejátékok vizsgálata során több, a valószínűségszámítás tárgykörébe vágó megállapításra jutott. Felfedezte a róla elnevezett kardántengelyes felfüggesztést.

A. CAUCHY (1789-1857) francia matematikus és fizikus. A matematikának a mechanikára és fizikára való alkalmazásával foglalkozott. Ez vezette a matematiká­ban is nagy felfedezésekre. Legnagyobb érdeme a komplex változós függvények elméletének a megalkotása, itt számos tétel a nevét viseli. A matematikai analízisben ma alkalmazott szigorúság neki köszönhető, ez előtte a matematikusok körében nem volt lényeges szempont.Nevéhez fűződik a sorozatok és sorok konvergenciájának vizsgálatához használt több, ma is használatos kritérium. Ő volt az első, aki differen­ciálegyenletek és differenciálegyenlet-rendszerek megoldásának létezését bizonyította.

A. CAYLEY (1821-1895) angol matematikus. Számottevő eredményeket ért el a véges csoportok, az algebrai görbék, a determinánsok és az algebrai formák invarian­ciájának elméletében. Tovább fejlesztette az eUiptikus függvények elméletét.

G. CRAMER (1704-1752) svájci matematikus. Jelentős eredményeket ért el a lineáris egyenletrendszerek megoldásában, a magasabb fokú algebrai görbék vizsgála­tában. Könyvünkben megismert szabályát 1750-ben hozta nyilvánosságra.

253

R. DESCARTES (1590-1650) francia filozófus, matematikus és természettudós. J.M. Géometrie című könyvében elsőnek használt kétismeretlenes egyenleteket görbék jellemzésére, és igy szoros kapcsolatot teremtett az algebra és a geometria között. Művében felismerhető a ma elterjedten használt analitikus módszer. Elősegítette a differenciál- és integrálszámítás kifejlődését, és továbbfejlesztette az algebrai egyenle­tek elméletét.

L. EULER (1707-1783) svájci matematikus és fizikus. Egy 1748-ban megjelent müve tartalmazza a mai trigonometriát, számos elemi függvény hatványsorát és a róla elnevezett összefüggést. Az anahtikus geometria egyik megalapozója. Fontos eredmé­nyeket ért el a számelméletben a magasabbfokú egyenletek, a pohéderek, a differenci­álegyenletek elméletében, az elemi geometriában. Elsőnek fedezte fel a fény hullámter­mészetét.

L. FERRARI (1522-1565) olasz matematikus. Nevét az általános negyedfokú algebrai egyenlet megoldása örökítette meg.

S. dél FERRO (71465-1526) olasz matematikus. Algebrai problémákkal foglalko­zott, és elsőnek fedezte fel a harmadfokú egyenlet megoldóképletét.

C. F. GAUSS (1777-1855) német matematikus, fizikus és csillagász, a „matemati­kusok fejedelme”. A matematika csaknem minden ágában ért el alapvetően fontos eredményeket. így például doktori értekezésében elsőnek adta meg az algebra alapté­telének szigorú bizonyítását, a Disquisitiones arithmeticae című, 1801-ben megjelent műve a modern számelmélet kezdetét jelenti. Nevéhez fűződik a felületek vizsgálatá­ban ma is használt számos tétel, a legkisebb négyzetek elve, a komplex számok elméletének megalkotása, a hipergeometrikus sorok vizsgálata, a potenciálelmélet megalkotása. Foglalkozott az elliptikus függvények elméletével, a nemeuklideszi geometriával, valószínűségi változók eloszlásával (Gauss-görbe).

G. GREEN (1793-1841) angol matematikus és fizikus. Megalapozta az elektro­mosság matematikai elméletét és kidolgozta a potenciálelméletet mint a matematika önálló ágát.

W. R. HAMILTON (1805-1865) ír matematikus, fizikus és csillagász. Felfedezte a kvaterniókat, megalapozta a vektorszámítást, feUsmerte a mechanikai törvények egységes megfogalmazását (Hamilton-elv).

O. HESSE (1811-1874) német matematikus. Az analitikus geometriában és a determinánselméletben ért el jelentős eredményeket.

W. G. HORNER (1786-1837) angol matematikus. Nevét a róla elnevezett eljárás őrizte meg, bár ezt az eljárást a kínai és perzsa matematikusok már jóval korábban is ismerték.

254

L. KRONECKER (1823-1891) német matematikus. Legjelentősebb eredményeit az elliptikus függvények elmélete, az ideálelmélet és a kvadratikus alakok elmélete terén érte el.

J. L. LAGRANGE (1736-1813) francia matematikus, fizikus és csillagász. Nevéhez fűződik a variációszámítás és a mechanika elméleti feldolgozása. Jelentősek az algeb­rai egyenletek megoldásában, a számelméletben és a differenciálegyenletek megoldá­sában elért eredményei.

P. S. LAPLACE (1749-1827) francia matematikus, fizikus és csillagász. Matemati­kai munkássága a determinánselméletre, a differenciálegyenletek elméletére, az integ­rálszámításra, a potenciálelméletre és a valószínűségszámításra terjed ki. Főműve az 5 kötetes Égi mechanika.

G. W. LEIBNIZ (1646-1716) német filozófus és matematikus. A természetben folytonosan lejátszódó változások leírására megalkotta I. Newton angol matema­tikustól függetlenül a differenciál- és integrálszámítást, meghonosította a ma is hasz­nálatos műveleti jeleket (-I-, :), a hasonlóság (~ ) és az egybevágóság ( = ) jelét, a differenciálszámítással kapcsolatos jelölésrendszert. Módszert adott a racionális függvények integrálására. Jelentős eredményeket ért el a determinánsok, a burkoló­görbék és a sorok elméletében is. Előfutárja a szimbolikus logikának. Feltalált egy számítógépet is.

A. de MOIVRE (1667-1754) francia származású angol matematikus. Jelentős eredményeket ért el a sorok elméletében, a valószínűségszámításban, a komplex számok elméletében. Érdekes, hogy a róla elnevezett formula mai alakja L. Eulertől származik.

A. F. MÖBIUS (1790-1868) német matematikus. Elsőnek vezette be az analitikus módszereket a projektív geometriába. Új rendszerezését adta a görbéknek és a felüle­teknek, rüevéhez fűződik az egyoldalú felületeknek a fogalma (Möbius-szalag).

I. NEWTON (1643-1727) angol természettudós, aki világra szóló felfedezéseivel egyaránt gazdagította a matematikát, a fizikát és a csillagászatot. Matematikai ered­ményei sorából kiemelkedik a differenciál- és integrálszámítás (Leibniztől független) felfedezése, az interpoláció elméletének és gyakorlatának megalkotása, az egyenletek gyökeinek közelítő meghatározásával, a határozott integrálok közelítő kiszámításá­val, a sorelmélettel, a variációszámítással kapcsolatos munkássága.

M. V, OSZTROGRADSZKIJ (1801-1861) orosz matematikus. Eredményeit a vektoranalízis, a matematikai fizika és az elméleti mechanika területén érte el.

G. PEANO (1858-1932) olasz matematikus. Vizsgálta a matematikai analízis alapvető fogalmainak belső összefüggéseit, megalapozta a matematikai logikát, meg­alkotta a természetes számokra vonatkozó Peano-féle axiómarendszert.

255

P. RUFFINI (1765-1822) olasz matematikus. Bebizonyította, hogy általános ötöd­fokú algebrai egyenlet megoldására nem adható meg „gyökképlet”.

H. A. SCHWARZ (1843-1921) német matematikus. Legtöbb fontos eredményét a komplex függvénytanban és a felületek felszínszámításában érte el.

G. G. STOKES (1819-1903) angol matematikus és fizikus. Legfontosabb felfedezé­sei a belső súrlódásra, a fénysugárzásra és a fluoreszcenciára vonatkoznak. Nevét a vektoranalízisben elért eredményei is megőrzik.

J. J. SYLVESTER (1814-1897) angol matematikus. Továbbfejlesztette a determi­nánsok elméletét, megalapozta a mátrixok elméletét. Jelentős a számelméleti munkás­sága is. Egyik legnevezetesebb tétele a kvadratikus alakok tehetetlenségi tétele.

N. TARTAGLIA (1500-1557) olasz matematikus. S. dél Ferrotól függetlenül felfedezte a harmadfokú algebrai egyenlet megoldóképletét, eredményeket ért el a szabadesés és a hajítások vizsgálata során.

256

NÉV- ÉS TÁRGYMUTATÓ

Ábel, N. H. 158, 253- -féle csoport 12 additív csoport 12ágazati kapcsolatok mátrixa 99- mérlegegyenlete 100 aktuális bázis 88 alakváltozási mátrix 127 algebrai egyenlet 158 - - f o k a 158altér 86alternáló művelet 29 antiszimmetrikus mátrix 50 aránytartó leképezés 120 árvektor 99

balcsavarodású görbe 194 bal oldali szorzás 65- zérusosztó 66 balrendszer 33 bázis 17, 84- alapvektora 17 báziscsere 121- mátrixa 96bázisra vonatkozó koordináták 86 bázistranszformáció 86 bázisvektor 44, 84, 87 bázisvektorok lineáris kombinációja 85, 87bevételvektor 99 Bézout, E. 253- tétele 159, 165 binomiális tétel 140

binormális 185- egyenes egyenlete 185 Bolzano, B. 253 Bolzano tétele 160 bővitett mátrix 108- rangja 108bruttó kibocsátás vektora 99

Cardano, G. 158, 253 Cauchy, A. 54, 133, 253 Cayley, A. 54, 253 Cramer, G. 253- -szabály 109, 110

csavarvonal 180- görbülete 192- menete 181- menetmagassága 181- menetsürűsége 181- természetes egyenlete 200- torziója 199- vektoregyenlete 180 csoport 12 csoportaxiómák 12 csúsztató feszültségvektor 127

deformációvektor 127 deriváltfüggvény (derivált) 181- komponensei 182 deriválttenzor 215- mátrixa 215- skalárinvariánsa 215

257

deriválttenzor vektorinvariánsa 215 Descartes, R. 18, 254 determináns 53- első sora szerinti kifejtése 53- értéke 53- főátlója 55 diád 67diagonálmátrix 49, 77, 129 dimenzió, lineáris téré 84 divergencia 215 duálváltozó 96

euklideszi tér 83 Euler, L. 254- -féle összefüggés 152, 154 exponenciális függvény 152

érintő 171érintő egyenes egyenlete 184 érintő (tangenciális) egységvektor 184 érintőmódszer 171, 172 értelmezési tartomány 179 értékkészlet 179

egyenes 36— paraméteres egyenletrendszere 37— vektoregyenlete 36 egyenlet, algebrai 158— foka 158— egyismeretlenes 158— megoldása 158— gyöke 158egyenletrendszer, lineáris egyértelmű megoldása 109— szabadságfoka 109— triviális megoldása 110— végtelen sok megoldása 109 egyismeretlenes egyenlet 158 egységelem 82, 132 egységgyökök 151 egységmátrix 49, 93egységnyi irányvektorú, az origón átha­ladó egyenesre való tükrözés mátrixa122egységvektor 9, 24, 49 együtthatómátrix 107 elem 53elemi bázistranszformáció 86 ellentmondó egyenletrendszer 109 előjeles aldetermináns 53 elsőfokú algebrai egyenlet 158 eredő 11eredő ellenállás 157 erőtér 212— munkája 223

fajlagos anyagköltség 99 faktoriális 53 Falk-módszer 64 felcserélés! tétel 34 felszín 208- kiszámítása 208, 209 felszíni integrál 231- - kiszámítása 232 felszínvektor 233 felület 201- érintősíkja 204- egyenlete 205- felszíne 208- normálisa 204 felületi integrál 233- kiszámítása 234 felületi normális 234ferdén szimmetrikus mátrix 50 Ferrari, L. 158, 254 dél Ferro, S. 158, 254 feszültségmátrix 127 feszültségvektor 127 folytonos függvények halmaza 82 forgatónyomaték 28- -vektor 28forrásmentes vektonnező 215 főátló 49főirányszög 141, 182 főnormális 185- egyenes egyenlete 185 Frenet első formulája 197

258

Gauss, C. F. 133, 254Gauss-féle elsőrendű főmennyiségek209- -féle komplex számsík 134 Gauss-Osztrogradszkij-tétel 247 generáló elem 88generált altér 86 gömbfelület 202 görbe 181- érintője 181- görbülete 191- ívhossza 188- kísérő triédere 184- természetes egyenlete 199- torziója 193 görbület 191 - , átlagos 191- kiszámítása 182, 197 görbületi kör 192- sugara 192gradiensvektor (gradiens) 218 Green G. 254 Green-tétel 250

első 250 második 251

gyök elkülönítése 159- közelítő értéke 169

Hamilton, W. R. 254 Hamilton-operátor 219 harmadfokú egyenlet 158 harmadrendű determináns 31 három vektor vegyes szorzatának kiszá­mítása 34háromdimenziós lineáris tér 84 háromszögmátrix 72, 77 helyvektor 19 hengerfelület 203 Hesse, O. 254- -féle normálegyenlet 38 homogén egyenletrendszer 110- lineáris egyenletrendszer 107 Horner, W. G. 254

Horner-féle eljárás 162, 163, 164- elrendezés 166- formula 165 Horner-módszer 166 húr 168húrmódszer 168, 169, 172

idempotens mátrix 73 i-edik sor és a fc-adik oszlop kompozí­ciója 63imaginárius egység 133 impedancia 157- belső szöge 157inhomogén lineáris egyenletrendszer 107integrálredukciós tételek 248 inverz 82- mátrix 80, 93- transzformáció 121 irányított szakasz 9 irányvektor 36iteráció módszere 173, 175 ívhossz 188izotermikus felület 217

jobbcsavarodású görbe 194 jobb oldali szorzás 65- zérusosztó 66 jobbrendszer 33 jobbsodrású rendszer 17

kapacitásvektor 99 karakterisztikus determináns 128- egyenlet 128- polinom 128 képvektortér 119, 127 képzetes egység 133- számok 133- tengely 135két mátrix egyenlősége 60- konformábilitása 63két vektor diadikus szorzata 67- egyenlősége 10, 19- hajlásszöge 23, 25

259

két vektor skaláris szorzata 22, 67- vektoriális szorzata 28 kilépő bázisvektor 88 kísérő triéder 184- élei 185- síkjai 183kommutatív csoport 12 kompatíbilis vektor 109 kompatibilitási vizsgálat 110 komplex számok 131- szám abszolút értéke 140, 152- szám algebrai alakja 133- szám argumentuma 140- szám exponenciális alakja 153- szám irányszöge 140, 152- szám kanonikus alakja 133- szám képzetes része 134- szám konjugáltja 134- szám modulusa 140- szám trigonometrikus alakja 141, 153- szám valós része 134 konvex lineáris kombináció 61 konzervatív erőtér 228 koordináta 88koordinátarendszer-transzformáció 121 kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés 10, 121körintegrál 224 közelítés hibája 170 közelítő érték 170 Kronecker L. 255- -féle szimbólum 49

. kúpfelület 203 kvadratikus mátrix 46 kvaternió 33

Lagrange, J. L. 255- tétele 159, 161 Laplace, P. S. 255 Laplace-operátor 220 Leibniz, G. W. 54, 255 leképezés 119 lineáris altér 91- egyenletrendszerek 107

- megoldása 109- szabadságfoka 109- triviális megoldása 110- leképezés 120- tér 82- bázisa 86- dimenziója 92- lineáris transzformációja 120- transzformáció 120- együtthatói 120- mátrixa 120

másodfokú algebrai egyenlet 158 matematikai modell 98 mátrix 46- eleme 46- jelölése 46- «-edik hatványa 72- oszlopa 46- rangja 75, 91- rendje 46- sora 46- szorzása skalárral 61- típusa 46- transzponálja 47 mátrixegyenlet 107, 128 mátrixok különbsége 60- lineáris kombinációja 61- összege 60- szorzata 63 megoldáshalmaz 108 merőleges vetítés mátrixa 125 minormátrix 48Moivre, A. de 255- -féle formula 145 Möbius, A. F. 255

nabla operátor 219 « jegyre pontos eredmény 159 M-dimenziós lineáris tér 84- vektor 43- vektortér 44- bázisa 44 «-edfokú polinom 82

260

«-edik egységgyökök 150 «-edrendű determináns 53 negyedfokú egyenlet 158 négyzetes mátrix 46- adjungált mátrixa 77- determinánsa 74nem kompatibilis vektor 109 nemszinguláris lineáris transzformáció 120- mátrix 93nettó kibocsátás vektora 100 Newton, I. 255 nilpotens mátrix 72 nívófelület 217normális feszültségvektor 127 normálsík 186 normált bázis 17- sajátvektor 130 nullvektor 9 nyújtás mátrixa 125

origó 18- körül (p szöggel való elforgatás mátri­xa 123origóra való tükrözés mátrixa 122, 123 ortogonális bázis 17 ortonormált bázis 17, 44, 85 oszlop, determinánsé 53

mátrixé 46 oszlopmátrix 47 oszlopösszegpróba 64 oszlopösszegző vektor (mátrix) 68 oszlopvektor 44, 47 oszlopvektorok alkotta vektorrendszer 91Osztrogradszkij, M. V. 255

örvénymentes vektormező 215 összegtartó leképezés 120 összegző mátrix 50- vektor 50 összetevő 11ötöd- és ennél magasabb fokú algebrai egyenletek 158

pályagörbe 180 pályasebesség 188paralelepipedon (ferde hasáb) előjeles térfogata 33paralelogramma-szabály 11, 143 paralelogramma területvektora 30 paraméterérték 179 paramétervonal 202 Peano,G. 256 permutáló mátrix 50, 69 poligonszabály 11 polinom helyettesítési értéke 162 ponthalmaz 10potenciálfüggvény (potenciál) 228 primálváltozó 96 primitív egységgyökök 151 programmátrix 99 programvektor 99 projektor- (vetítő-) mátrix 73

reciprok mátrix 80 regula faisi 168reguláris lineáris transzformáció 120- mátrix 74 rektifikáló sík 185 rekurzív definíció 53 rendezett szám-«-es 83- számpár 131- számtest 131- valós számhármasok 83- számpárok 83 rotáció 215 Rufíini, P. 158, 256

sajátérték 128 sajátvektor 128, 130 sakktáblaszabály 54 Schwarz, H. A. 256 sík 10, 37- egyenletének általános alakja 38- tengelymetszetes alakja 38- normálvektora 37- vektoregyenlete 37 síkbeli vektor 10

261

síkgörbe 179 síkvektor 82 sírna görbe 182 símulósík 184 skalár 9skalármező (skalár-vektor-függvény) 217-- gradiense 218- szintfelülete (nívófelülete) 217- teljes differenciálja 227 skalár-vektor-függvény (skalármező) 217sor, determinánsé 53

mátrixé 46 sormátiix 47 sorösszegpróba 64 sorösszegző vektor (mátrix) 68 sorvektor 44, 47sorvektorok alkotta vektorrendszer 91 Stokes, G. G. 256 Stokes tétele 240 Sylvester, J. J. 46, 256

szabadságfok 110 számegyenes 10, 131 számtest 131, 132 szimmetrikus mátrix 50, 77 szinguláris lineáris transzformáció 120- mátrix 74 szorzatvektor 137 szögsebesség 189- átlagos 189- pillanatnyi 189

tárgyvektor 127 tárgyvektortér 119 Tartaglia, N. 158, 256 technológiai együttható 98- mátrix 98teljes szükséglet mátrixa 100 tenzor 213 tér 82térbeli vektor 10térfogati integrál kiszámítása 239

térgörbe 179 termelési modell 98- program anyagköltsége 99 termelői fogyasztás vektora 99 térvektor 82tetraéder térfogata 34 tetszőlegesen pontos megoldás 173 torzió (csavarodás) 193- kiszámítása 194, 198 triviálistól különböző megoldás 110

Vo vektor körüli (p szöggel történő pozi­tív irányú elforgatás mátrixa 124 valós számok 10, 131- tengely 135 vektor 9- ábrázolása 9- abszolút értéke 9, 24- ellentettje 12- hossza 9- iránya 9- iránycosinusai 25- irányítása 9- jelölése 9- kezdőpontja 9- komponensei 18, 44- koordinátái 18, 44- végpontja 9vektorhármas reciprok vektorhármasa 35vektormező (vektor-vektor-függvény) 212- forrása 215- nyelője 215- örvénye 215vektornak egy skalárral való szorzata 13vektorok különbsége 12vektorok lineáris függetlensége 16, 43,83- kombinációja 17, 83, 84- összefüggése 16, 43, 83- összege 11- síkjára merőleges vetítés mátrixa 126

262

vektorok- vegyes szorzata 33- vekioriális szorzata 28- szorzatának kiszámítása 31 vektorpotenciái 246 vektor-skalár-függvény- egyparaméteres 179- deriváltfüggvénye 181- - differenciálhatósága 181- differenciálási szabályai 182- folytonossága 180- határériéke 180- szögsebessége i 89- kétparaméteres 201- háromparaméteres 212 vektor skaláris szorzata 22- szorzatának kiszámítása 23 vektortér 212vektor-vektor-függvény (vektormező) 212 ' ' '^ differenciálhatósága 214- divergenciája 215- potenciálfüggvénye 228- rotációja 215- vonalmenti integrálja 223 vetületvektor 26- hossza 25

vonalmenti integrál 223- kiszámítása 224, 225, 228

X tengely körül cp szöggel való elforgatás mátrixa 124X tengelyre való tükrözés mátrixa 121, 123xy síkra való tükrözés mátrixa 123 xz síkra való tükrözés mátrixa 123

y tengely körüli <p szöggel való elforga­tás mátrixa 123y tengelyre való tükrözés mátrixa 122,123y — x egyenesre való tükrözés mátrixa 122y — ~ x egyenesre való tükrözés mátrixa 122yz síkra való tükrözés mátrixa 123

zéruselem 82, 132 zérusmátrix 49 zérusosztópár 66 zérusvektor 9z tengely körül pozitív irányban q> szög­gel való elforgatás mátrixa 124 z tengelyre való tükrözés mátrixa 123

263

Tankönyvkiadó Vállalat A kiadásért felelős: Petró András igazgató

Dabasi Nyomda (88-2559) Bp-D abas Felelős vezető: Bálint Csaba igazgató

Raktári szám: 42439/1 Szedte a Nyomdaipari Fényszedő Üzem (888620/10)

Felelős szerkesztő: Divényi Andrásné Utánnyomásra előkészítette: Balassa Zsófia

Műszaki vezető: Telekes György ig.h.Grafikai szerkesztő: Schnedarek Péter Műszaki szerkesztő: Szilágyi Sándor

A kézirat nyomdába érkezett: 1988. november Megjelent: 1989. július

Példányszám: 4000 Terjedelem: 23,59 (A/5) ív

Készült az 1985. évi első kiadás alapján, álló montírungról és fényszedéssel, íves ofszetnyomással az MSZ 5601-59 és az MSZ 5602-55 szabvány szerint

2 7 - Ft

42 439/1