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Secretaria de Estado da Educação Superintendência da Educação Departamento de Políticas e Programas Educacionais Coordenação Estadual do PDE
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
ÁREAS E PERÍMETROS: UMA ABORDAGEM SIGNIFICATIVA
PROF.ª PDE: Marise Ozieranski ORIENTADOR: JOÃO CESAR GUIRADO
MARINGÁ – PR
2012
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL
UNIDADE DIDÁTICA
MARISE OZIERANSKI
Produção Didático Pedagógica apresentada à
Secretaria de Estado da Educação – SEED,
na disciplina de Matemática, como parte dos
requisitos do Programa de Desenvolvimento
Educacional – PDE 2012/2013, em convênio
com a Universidade Estadual de Maringá.
Orientador: Prof. Ms. João Cesar Guirado.
MARINGÁ – PR
2012
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
SUMÁRIO
1 FICHA DE IDENTIFICAÇÃO........................................................................... 3
2 APRESENTAÇÃO........................................................................................... 4
3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ..................................................................... 6
4 MATERIAL DIDÁTICO ................................................................................. 16
4.1 Atividade 1 – Questionário diagnóstico....................................................... 16
4.2 Atividade 2 – Planta baixa de uma casa ..................................................... 21
4.3 Atividade 3 – Diálogo sobre a atividade 2 ................................................... 22
4.4 Atividade 4 – Construção do metro quadrado ............................................ 23
4.4.1 Tipos de Geoplanos.........................................................................26
4.5 Atividade 5 – Geoplano ............................................................................. 27
4.6 Atividade 6 – Moldura do quadro ............................................................... 30
4.7 Atividade 7 – Palitos de fósforo....................................................................32
4.8 Atividade 8 – Figuras quadriculadas .......................................................... 33
4.9 Atividade 9 – Recobrimento da base da piscina ......................................... 34
4.10 Atividade 10– Exercícios..........................................................................36
4.11 Atividade 11– Dobrando e Triplicando........................................................37
4.12 Atividade 12– Produtos notáveis.................................................................39
4.13 Atividade 13 – Atividades com recortes em papel .....................................42
4.14 Atividade 14 – Explorando perímetros e áreas..........................................43
4.15 Atividade 15 – Deduzindo fórmulas de áreas..............................................43
5 ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS..............................................................47
6 REFERÊNCIAS ........................................................................................... 48
3
1 FICHA DE IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA
TURMA - PDE/2012
Título: Áreas e Perímetros: uma abordagem significativa
Autor Marise Ozieranski
Disciplina/Área (ingresso no PDE) Matemática
Escola de Implementação do
Projeto e sua localização
Colégio Estadual Adaile Maria Leite – EFM
Rua : Armando Crippa, 735
Município da escola Maringá
Núcleo Regional de Educação Maringá
Professor Orientador João Cesar Guirado
Instituição de Ensino Superior Universidade Estadual de Maringá – UEM
Relação Interdisciplinar
Resumo
Esta Produção Didático-Pedagógica é requisito obrigatório do PDE, tratando-se da consolidação do que foi definido no Projeto de Intervenção Pedagógica. Pretende-se por meio deste trabalho oferecer aos professores de matemática do ensino fundamental uma proposta de sequência de atividades a serem realizadas pelos alunos do 9° ano, a fim de solidificarem os conceitos sobre áreas e perímetros de figuras planas, favorecendo o trabalho com as expressões algébricas. Utilizar-se-á, como recurso didático, o material manipulável conhecido como geoplano, que será manipulado pelos alunos de forma individual e também outros materiais pertinentes ao tema em estudo como recortes em papel, além de outros. O trabalho será desenvolvido com abordagem que perpasse as importantes temáticas da Educação Matemática: História da Matemática, Investigações Matemáticas e Resolução de Problemas, procurando favorecer a compreensão dos conceitos pelos alunos, mostrando-lhes que a Matemática é um conhecimento social e que são capazes de desenvolver estas habilidades, descobrir regularidades, levantar conjecturas, atuando ativamente no processo. Além disso, pretende-se que estas interações sejam realizadas com seus colegas e com o(a) professor(a), desenvolvendo conhecimentos de forma autônoma.
Palavras-chave Investigação matemática; Formação de conceitos; Materiais
manipuláveis
Formato do Material Didático Unidade Didática
Público Alvo Desenvolvido para os alunos do 9º ano do Ensino Fundamental
4
2 APRESENTAÇÃO
Neste trabalho pretende-se desenvolver uma metodologia de ensino que
se afaste um pouco da educação tradicional, sustentada nos princípios de uma
visão de matemática como um corpo acabado de conhecimentos, de aulas onde o
professor, único detentor da verdade, repete para os alunos uma matemática
pronta e decorada.
Percebe-se, com as leituras realizadas dos textos mais atualizados, a
necessidade de diversificar estratégias e práticas pedagógicas visando ampliar,
também, a experiência matemática dos alunos, uma vez que se tem constatado
que os alunos apresentam elevado grau de desmotivação para o estudo em
matemática.
Para tanto, as atividades a serem desenvolvidas, na forma de uma
Unidade Didática, serão mais abertas, de cunho exploratório e investigativo, que
conformam uma concepção de matemática como algo dinâmico, um
conhecimento em construção, através do desenvolvimento de ideias e processos,
constituintes do pensar e fazer matemáticos.
Nessa forma de trabalho, a importância da resposta correta cede lugar à
importância da resolução, oportunizando aos alunos viverem, ao seu nível de
maturidade, o trabalho dos matemáticos profissionais.
No que diz respeito à resolução de problemas, temos uma situação que
demanda a realização de uma sequência de ações ou operações para obter um
resultado. Ou seja, a solução não está disponível de início, mas é possível
construí-la. Os problemas usualmente apresentados aos alunos não constituem
verdadeiros problemas porque não apresentam um real desafio nem a
necessidade de verificação para validar o processo de solução.
Para subsidiar o trabalho, serão utilizados materiais manipuláveis, pois
conforme ratificam diversos autores, a validação do uso desse tipo de material,
como ferramenta auxiliar do ensino, favorece a passagem do concreto ao
raciocínio abstrato.
Autores nos explicam que a manipulação ativa destes materiais leva os
aprendizes a desenvolverem um repertório de imagens que podem ser usadas na
manipulação mental de conceitos abstratos e, além disso, é descrevendo a
5
maneira como estão pensando e observando os objetos que os estudantes
podem alcançar a abstração.
O trabalho em atividades de investigação na aula de matemática leva os
alunos a uma participação e envolvimento ativos que ajuda a criar um ambiente
de trabalho estimulante, que pode ser desenvolvido individualmente ou em
pequenos grupos, cujas conclusões podem ser apresentadas em forma escrita,
oral ou ambas. Após, o trabalho realizado deve ser compartilhado por toda a
turma por meio de discussão, complementação e enriquecimento, pois a
realização desses três recursos constitui-se tarefa indispensável nesse tipo de
metodologia.
A elaboração de relatórios finais sobre o trabalho desenvolvido em
atividades de investigação tem sido, de longe, a forma de avaliação mais comum,
conforme apontam vários estudiosos que desenvolvem pesquisas nessa área,
como por exemplo, Brocardo, Ponte e outros.
Em diversas teses e dissertações disponíveis, é possível observar relatos
de professores mencionando que os alunos, terminada a realização de cada
tarefa, elaboram um relatório com o maior número de detalhes, podendo concluí-
lo em atividade extraclasse e entregue na próxima aula.
Devido a não linearidade ser uma característica da atividade de
investigação, esse tipo de avaliação é mais adequado, pois vai privilegiar muito
mais o processo (atores em interação) do que o produto (com resultado
estanque).
As tarefas selecionadas têm como objetivo que os alunos compreendam
como se faz uma generalização a partir de alguns casos particulares, utilizando os
processos de investigação, desenvolvendo assim habilidades como: a busca de
padrões; sistematização de resultados; realização de abstrações e
generalizações; formalização de resultados matemáticos.
As atividades propostas neste trabalho relacionam geometria e álgebra e
têm o objetivo de conduzir o aluno do processo de contagem para a busca de
generalização. Nessa direção, a álgebra ganha significado concreto.
Pretende-se, também, explorar o cálculo de áreas de uma maneira
intuitiva, chegando às fórmulas de uma maneira mais significativa.
6
A iniciativa de recorrer às letras no início de um raciocínio não é um
fenômeno que se dá espontaneamente nos estudantes, ele precisa ser ensinado
e estimulado por nós professores.
Conforme destaca Polya (2006, p.111) “A fala e o pensamento estão
intimamente relacionados, pois o uso das palavras ajuda a pensar”. Dessa forma,
o trabalho estimulará nos alunos tanto a comunicação oral quanto a escrita,
desenvolvendo-lhes a autonomia e a capacidade de trabalhar em grupo, agora
enquanto estudante, mais tarde, como cidadão.
A implementação do trabalho será feita com alunos do 9.º ano do Ensino
Fundamental, do Colégio Adaile Maria Leite, do município de Maringá- PR,
durante as aulas regulares da disciplina.
3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Os subsídios teóricos que embasam este trabalho têm sua sustentação
na linha de pensamento filosófico que acredita ser o homem um ser social onde a
aprendizagem vai movimentar o seu desenvolvimento no sentido de que seja
possível usufruir de todo conhecimento científico construído pela humanidade
através de mediações instrumentais.
Para embasar tais colocações, buscamos o conceito vigotskyano, citado
por Damazio, ao afirmar que
O conceito científico é um sistema de relações que o homem já estabeleceu e que chegou ao nível de abstração com base em leis, princípios e teorias, apresentando propriedades próprias. Desenvolvem-se pela linguagem e reflexão (um processo de análise e síntese), o que exige atenção intencional e voluntária. É independente do contexto e são aprendidos pelos alunos em situação formal de educação (DAMAZIO in: SOBRINHO e
DAMAZIO (orgs.), 2010, p. 16)
Então, o nosso aluno está em formação e vai evoluindo por mediação da
ação dos professores, mas também de seus pares, tornando-se um ser
independente em relação ao mundo.
Ao nascer, possuímos as potencialidades biológicas e queremos
sustentar que qualquer conhecimento adquirido será por meio de interações
7
culturais. A cada estágio de desenvolvimento, ocorre uma percepção diferente e
isso nos leva a acreditar que o desenvolvimento é concebido por crises.
Dessa forma, o trabalho proposto situa os alunos enquanto autores do
seu conhecimento matemático, em processo de elaboração conceitual e, como
consequência, das tarefas por eles desenvolvidas. Assim, espera-se que seja
possível eliminar o rótulo de que a matemática é uma ciência pronta, acabada e
exata, pois o desenvolvimento da matemática passou por inúmeros processos de
avanços e equívocos, em que muitos matemáticos e estudiosos também
passaram por dúvidas e contradições.
Como diz Vigotsky (2001), é preciso apresentar ao aluno um ambiente
propício, de modo que com a orientação do professor, desenvolvam suas
potencialidades, adquirindo independência intelectual para realizarem sozinhos
aquilo que em outro momento não tinham condições e isso só será possível se o
aluno experienciar, de várias maneiras, o conteúdo abordado.
Para alicerçar essa fundamentação, apresentaremos, a seguir, um pouco
da história da matemática alusiva ao tema em questão.
Atualmente, a matemática desenvolvida é altamente sofisticada, mas que
deriva de ideias originalmente centradas nos conceitos de número, grandeza e
forma. A matemática surgiu como parte da vida diária do homem.
O desenvolvimento do conceito de número foi um processo longo
e gradual e é improvável que isso tenha sido a descoberta de um
indivíduo ou de uma tribo e pode ter-se desenvolvido tão cedo no
desenvolvimento cultural do homem quanto o uso do fogo, talvez
há 300 000 anos. Afirmações sobre a origem da matemática, seja
da aritmética seja da geometria, são necessariamente arriscadas,
pois os primórdios do assunto são mais antigos que a arte de
escrever (BOYER, 1974, p. 1).
Temos duas teorias opostas quanto às origens da matemática defendidas
por Heródoto e Aristóteles que não quiseram se arriscar a propor origens mais
antigas que a civilização egípcia, mas é claro que a geometria que tinham em
mente tinha raízes mais antigas. Heródoto acreditava que tinha surgido da
necessidade prática de fazer novas medidas de terras após cada inundação anual
8
no vale do rio Nilo. Já Aristóteles achava que a existência no Egito de uma classe
sacerdotal com lazeres é que tinha conduzido ao estudo da geometria.
O fato dos geômetras egípcios serem às vezes chamados “estiradores de corda” (ou agrimensores) pode ter tomado como apoio de qualquer das duas teorias, pois cordas eram indubitavelmente usadas tanto para traçar as bases de templos como para realinhar demarcações apagadas de terras. Não podemos contradizer com segurança nem Heródoto nem Aristóteles quanto à motivação que produziu a matemática, mas é claro que ambos subestimaram a idade do assunto (BOYER, 1974, p.4).
Há vestígios encontrados da época do homem neolítico que demonstra
através de seus desenhos e figuras a preocupação com relações espaciais que
abriu caminho para a geometria.
“Seus potes, tecidos e cestas mostram exemplos de congruência e, que
em essência são partes da geometria elementar.” (Boyer, 1974, p. 4). O problema
é que no período pré-histórico não há documentos, tornando impossível
acompanhar a evolução da matemática desde um desenho específico até um
teorema familiar.
Os mais antigos resultados geométricos encontrados na Índia formam o que se chamou os Sulvasutras, ou “regras da corda”. Tratava-se de relações simples que aparentemente se aplicavam à construção de templos e altares. Pensa-se usualmente que a motivação geométrica dos “estiradores de corda” no Egito era mais prática do que a dos seus colegas na Índia. [...] Devemos ter em mente que a teoria da origem da geometria numa secularização de práticas rituais não está de modo nenhum provada. O desenvolvimento da geometria pode também ter sido estimulado por necessidades práticas de construção e demarcação de terras, ou por sentimentos estéticos em relação a configurações e ordem. Podemos fazer conjecturas sobre o que levou os homens da Idade da Pedra a contar, medir, e desenhar. Que os começos da matemática são mais antigos que as mais antigas civilizações é claro. Ir além e identificar categoricamente uma origem determinada no espaço e no tempo, no entanto, é confundir conjectura com história (BOYER, 1974, p. 5).
9
Os currículos escolares devem oportunizar ao professor o ensino
integrado de geometria, álgebra e aritmética. A seguir, teceremos alguns
comentários que justificam essa colocação.
De acordo com Lima (1991) e Imenes (2002), etimologicamente,
geometria quer dizer medida da terra. Esta denominação grega é justificada pelo
mais antigo historiador que conhecemos, o grego Heródoto, que viveu há quase
2500 anos, que atribui aos egípcios a origem dessa ciência. Segundo ele, o
imposto que pagavam os proprietários de terra no Egito era diretamente
proporcional à área de cada lote. Assim, o cálculo de áreas e volumes é um
assunto milenar, cuja importância se revelou muito cedo, mesmo em civilizações
organizadas de modo simples em relação aos padrões atuais.
Já na álgebra, Diofante (aproximadamente século III a.C.), filósofo grego,
foi o primeiro a fazer uso de abreviações nos problemas e nas operações com os
números, estágio denominado de sincopado.
Conforme apontam Souza e Diniz (2008), a álgebra é a linguagem da
matemática utilizada para expressar fatos genéricos. Enquanto a aritmética trata
de números, operações e de suas propriedades, visando à resolução de
problemas ou de situações que exigem uma resposta numérica, a álgebra procura
expressar o que é genérico, aquilo que se pode afirmar para vários valores
numéricos independentemente de quais sejam eles exatamente. Assim
poderíamos afirmar que a principal função da álgebra é a de comunicar ideias
gerais envolvendo vários possíveis valores numéricos.
Segundo Niven (In: LINDQUIST e SHULTE (orgs.), 1994), os
compartimentos estanques há muito tempo desapareceram em matemática. A
integração do conhecimento é uma questão muito importante e não devemos
deixar passar boas oportunidades naturais para unificar tópicos diferentes.
A geometria é uma matéria visual, de modo que as figuras são de
importância fundamental para seu aprendizado.
Segundo Linda J. Deguire (in LINDQUIST e SHULTE (orgs.), 1994), é
possível citar muitas razões para que se estude geometria na Educação Básica.
Uma delas é a oportunidade que a geometria oferece de ensinar a resolver
problemas e ensinar para resolver problemas.
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Os conceitos e ideias da geometria se aplicam a uma vasta gama de
feitos humanos – na ciência, na arte e no mercado. Podemos destacar também o
prejuízo que ocorre quando a geometria fica esquecida [...], pois o não estudo de
uma parte da matemática acarreta o não desenvolvimento do tipo de pensamento
referente a essa parte (LORENZATO, 2006, p. 58). Ainda segundo este autor,
[...] todos os campos da matemática previstos no currículo oficial
devem ser ensinados, e mais, de modo integrado.Assim fazendo,
os alunos irão perceber a harmonia, coerência e beleza que a
matemática encerra, apesar de suas várias partes possuírem
diferentes características, tal qual uma orquestra.No entanto, para
fazer essa integração é preciso identificar pontos de conexão
entre os campos, bem como respeitar as características de cada
campo (vocabulário, simbologia, regras, conceitos, definições)
(LORENZATO, 2006, p.60).
O mesmo autor lembra que essa proposta de ensino pode ser útil também
para atender ao currículo em espiral e que, para muitos alunos, pode ser um
apoio para a aprendizagem, pois facilita a percepção do significado de conceitos e
símbolos.
Outro recurso importante que fundamenta o trabalho proposto é a
abordagem da Investigação Matemática em sala de aula, uma vez que, na
implementação, objetiva-se abordar essa linha de pesquisa, perpassando pela
História da Matemática e pela Resolução de Problemas.
Segundo Ponte et al. (2009), investigar não significa necessariamente
lidar com problemas muito sofisticados na fronteira do conhecimento. Investigar
significa procurar respostas com fundamentação e rigor aos problemas para os
quais não temos uma resposta pronta.
O que mais fortemente caracteriza as investigações é o estilo de
conjectura - teste - demonstração, constituindo uma poderosa forma de construir
conhecimento. Para os matemáticos profissionais, investigar é descobrir relações
entre objetos matemáticos conhecidos, procurando identificar as respectivas
propriedades.
11
Uma investigação matemática desenvolve-se usualmente em torno de um
ou mais problemas, podendo os alunos generalizarem a partir da observação de
casos.
Aprender Matemática não é simplesmente compreender a
Matemática já feita, mas ser capaz de fazer investigação de
natureza matemática (ao nível adequado a cada grau de ensino).
Só assim se pode verdadeiramente perceber o que é a
Matemática e a sua utilidade na compreensão do mundo e na
intervenção sobre o mundo. Só assim se pode realmente dominar
os conhecimentos adquiridos. Só assim se pode ser inundado
pela paixão “detetivesca” indispensável à verdadeira fruição da
matemática. Aprender Matemática sem forte intervenção da sua
faceta investigativa é como tentar aprender a andar de bicicleta
vendo os outros andar e recebendo informação sobre como o
conseguem. Isso não chega. Para verdadeiramente aprender é
preciso montar a bicicleta e andar, fazendo erros e aprendendo
com eles (BRAUMANN, In: PONTE, 2009, p.19).
Os processos usados numa investigação matemática abrangem
inicialmente: 1) o reconhecimento da situação, a sua exploração preliminar e a
formulação de questões; 2) o processo de formulação de conjecturas; 3)
realização de testes e o eventual refinamento das conjecturas; 4) demonstração e
avaliação do trabalho realizado.
Queremos reforçar que as investigações matemáticas constituem uma
das atividades que os alunos podem realizar e que se relacionam, de muito perto,
com a resolução de problemas.
Na disciplina de Matemática, como em qualquer outra disciplina escolar, o
envolvimento ativo do aluno é uma condição fundamental da aprendizagem. O
aluno aprende quando mobiliza os seus recursos cognitivos e afetivos com vista a
atingir um objetivo. Ao requerer a participação do aluno na formulação das
questões a estudar, essa atividade tende a favorecer o seu envolvimento na
aprendizagem.
O papel do professor neste tipo de trabalho é o de ficar mais de
retaguarda. Cabe-lhe então procurar compreender como o trabalho dos alunos se
vai processando e prestar o apoio que for sendo necessário.
12
No caso em que os alunos trabalham em grupo, as interações que se
geram entre eles são determinantes no rumo que a investigação irá tomar. É
nessa fase que se vão embrenhando na situação, familiarizando-se com os dados
e apropriando-se mais plenamente do sentido da tarefa. A situação de trabalho
em grupo potencia o surgimento de várias alternativas para a exploração da
tarefa. Os alunos procuram integrar os seus conhecimentos matemáticos na
investigação, algo que o professor deve estimular no decurso da aula. Os autores
ressaltam a importância da realização de um registro escrito do trabalho de
investigação. É fundamental que o professor procure levar os alunos a
compreender o caráter provisório das conjecturas. O professor tem um papel
determinante nas aulas de investigação.
Uma das grandes vantagens de apresentar uma postura interrogativa nas
aulas com investigação é o fato de ajudar os alunos a compreenderem que o
papel principal do professor é o de apoiar o seu trabalho e não simplesmente
validá-lo. Uma conjectura só assume o papel de conclusão válida para todos os
casos a partir do momento em que é demonstrada. Realizando investigações, os
alunos podem desenvolver competências numéricas indispensáveis no mundo de
hoje.
Segundo Ponte et al. (2009, p.71) “A Geometria é particularmente
propícia, desde os primeiros anos de escolaridade, a um ensino fortemente
baseado na exploração de situações de natureza exploratória e investigativa.”
Outra recomendação curricular geral que tem vindo a ser salientada já há
alguns anos é a de utilizar, na sala de aula, material manipulável. Dentre vários
autores que justificam a importância da utilização de materiais visuais e táteis,
citamos a recomendação do The Nacional Council of Teachers of Mathematics
(NCTM)
• Todas as salas de aula devem ser equipadas com conjuntos de
material manipulável (por exemplo, cubos, placas, geoplanos,
escalas, compassos, réguas, transferidores, papel para traçado de
gráficos, papel ponteado).
• Professores e alunos devem ter acesso a material apropriado
para desenvolver problemas e idéias para explorações.
(NCTM , 1989 apud PONTE, BROCARDO e OLIVEIRA, 2009, p.
87).
13
Encontramos, também, nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica
do Estado do Paraná a validação para utilização dessas ferramentas como uma
das formas de o aluno expressar seu conhecimento a fim de superar dificuldades
que o professor verificou pela observação sistemática durante o processo
avaliativo. Salienta-se, porém, que o uso de material manipulável deve estar
cercado de cuidados, lembrando que não deve ser utilizado com um fim em si
mesmo, mas um meio para através da reflexão se chegar à aquisição de um
conhecimento específico. Confirmando o exposto, citamos Serrazina (1990), que:
[...] ao analisar a utilização de materiais didáticos no ensino da
matemática, observa que deve haver um cuidado especial quando
se pretende fazer uso desse recurso, e que, nesse aspecto, o
professor tem um papel fundamental (SERRAZINA, 1990 apud
PASSOS in LORENZATO, 2009, p. 78).
Dessa forma, o uso de materiais manipuláveis vai servir como um meio
para alcançar os objetivos propostos, na medida em que a aprendizagem deve
ocorrer pela compreensão dos conceitos e isso é um processo que acontece no
interior do indivíduo, mas que será favorecido pelas interações do indivíduo com o
mundo.
A importância do material manipulável é também enfatizada por Rêgo e
Rêgo (2009), ao afirmarem que
[...] o material concreto tem fundamental importância pois, a partir
de sua utilização adequada, os alunos ampliam sua concepção
sobre o que é, como e para que aprender matemática, vencendo
os mitos e preconceitos negativos, favorecendo a aprendizagem
pela formação de idéias e modelos (RÊGO e RÊGO, 2009, p. 43).
Ainda segundo esses autores, é importante frisar que a utilização de todo
e qualquer recurso didático exige cuidados básicos por parte do professor, entre
os quais destacam:
14
dar tempo para que os alunos conheçam o material
(inicialmente é importante que os alunos o explorem
livremente);
incentivar a comunicação e troca de idéias, além de discutir com
a turma os diferentes processos, resultados e estratégias
envolvidos;
mediar, sempre que necessário, o desenvolvimento das
atividades por meio de perguntas ou da indicação de materiais
de apoio, solicitando o registro individual ou coletivo das ações
realizadas, conclusões e dúvidas;
realizar uma escolha responsável e criteriosa do material;
planejar com antecedência as atividades, procurando conhecer
bem os recursos a serem utilizados, para que possam ser
explorados de forma eficiente, usando o bom senso para
adequá-los às necessidades da turma, estando aberto a
sugestões e modificações ao longo do processo; e,
sempre que possível, estimular a participação do aluno e de
outros professores na confecção do material (RÊGO e RÊGO,
2009, p. 54).
Dentre os materiais manipuláveis a serem utilizados no desenvolvimento
deste trabalho, destacamos o Geoplano. Esse recurso, trata-se de uma tábua
plana que possibilita o desenvolvimento de conteúdos da álgebra e,
principalmente, da geometria. Esse termo deriva da palavra inglesa geoboards ou
da palavra francesa geoplans onde geo vem de geometria e board/ plan significa
plano, tábua, tabuleiro ou superfície plana.
Estima-se que o primeiro a falar sobre o Geoplano foi Caleb Gattegno, do
Institute of Education, London University, em 1961. Esse educador egípcio foi
reconhecido mundialmente pelas suas pesquisas em Educação Infantil, divulgou
as famosas barras de Cuisenaire e, por toda a sua vida, dedicou-se à criação de
materiais pedagógicos.
Esse material é, em geral, apresentado em uma placa de madeira com
pregos ou pinos (representando pontos no plano), espaçados entre si, mantendo
a mesma distância, de modo a formar uma malha, a qual pode ter vários aspectos
15
estruturais e entre os pontos, esticam-se elásticos que permitem desenhar as
mais diversas figuras geométricas.
No mercado e em Laboratórios de Ensino de Matemática, pode-se
encontrar diversos tipos de Geoplano: os isométricos (os pregos são colocados
na interseção das linhas), os quadrangulares (os pregos mantêm a mesma
distância nas linhas e nas colunas), os circulares (os pregos são dispostos em
círculos concêntricos), os trelissados (os pregos são dispostos de modo que
estejam alinhados obliquamente), os ovais (os pregos são dispostos em forma
elíptica). Neste trabalho, utilizaremos o geoplano quadrangular, pois a disposição
dos pregos permite que sejam elaborados alguns conceitos: a unidade de
comprimento é a distância entre dois pregos adjacentes e a unidade de área é a
superfície do menor quadrado formado por pregos. Além desses, há os geoplanos
artesanais, para fins decorativos.
Esse recurso didático-pedagógico tem sido considerado de suma
importância na Educação Básica por se tratar de um material dinâmico e
manipulativo (construir, movimentar e desfazer), o que facilita a aprendizagem e
permite que aluno e professor(a) se desprendam do ambiente tradicional da sala
de aula para um momento mais interativo e concreto, o que facilita a construção
do conhecimento. Além disso, contribui para explorar problemas geométricos e
algébricos, que reproduzidos em papel quadriculado, possibilitam a aferição de
conjecturas.
Outra importante razão para o seu uso reside no fato de o material
oportunizar o raciocínio com objetos e, portanto, favorece o ensino por meio da
resolução de problemas, pois conforme destaca Deguire (1994, p.78) “Cada uma
delas pode ser uma excelente atividade de aprendizagem e também pode ser
ampliada para favorecer desafios de resolução de problemas”. A autora ratifica
sua posição, mencionando que os resultados das atividades devem ser
registrados em papel pontilhado com disposição semelhante ao geoplano, para
que os alunos sejam desafiados a desenvolver estratégias de resolução de
problemas, como a tentativa e erro, além de outras possibilidades inicialmente
não previstas.
Os geoplanos usados como recurso para atividades de investigação na
Educação Básica podem proporcionar interessantes experiências geométricas,
16
propondo desafios de forma, dimensão, semelhança e, mais tarde, em teoria dos
grupos e nas geometrias métrica e projetiva.
Com o geoplano, pode-se também trabalhar importantes conteúdos, tais
como: a tabuada e as quatro operações; frações e suas operações; as leis de
formação de funções, relacionada aos números quadrados e triangulares; as
grandezas de medida; sequência; perímetro e área; simetria, reflexão, rotação,
translação; a demonstração do Teorema de Pitágoras, fazendo com que o aluno
construa a fórmula; os produtos notáveis e o procedimento de completar
quadrados; dentre tantos outros assuntos matemáticos.
4 MATERIAL DIDÁTICO
A seguir, apresentaremos algumas atividades que podem ser
desenvolvidas junto aos alunos, tendo sempre em mente nossa proposta de
trabalho, baseada na investigação matemática.
4.1 ATIVIDADE 1 – Questionário Diagnóstico
Esta atividade tem por objetivo verificar o conhecimento dos alunos sobre o
conceito de área e perímetro, tendo em vista que esse assunto já foi ou deveria
ter sido abordado anteriormente. Para isso, será aplicado um questionário com
questões inerentes à metodologia do trabalho, por se tratar de investigação
matemática, e após, um rol de exercícios sobre área e perímetro. O questionário
será respondido individualmente e, após, tabulado.
Questionário/Atividades diagnósticas
Caro aluno, este questionário servirá como ponto de partida ao nosso
trabalho com a metodologia de Investigação Matemática. Para isso, procure
responder a todas as questões e, desde já, agradeço.
(A) Por que é importante estudar Matemática?
(B) Para você, o que é investigação? E investigação em Matemática?
(C) Explique o que é uma conjectura.
(D) Complete corretamente as tabelas a seguir:
17
0 1 2 3 4 5 6 ... l
0 4 16
0 1 2 3 4 5 6 ... n
0 4 8
(E) Utilizando o retângulo abaixo como unidade de medida, meça quantas vezes
esse padrão “cabe” nas outras figuras:
(F) Escreva uma fórmula para determinar o perímetro em função das medidas
dos lados de cada figura, expressas na mesma unidade, as quais serão
representadas por letras minúsculas de nosso alfabeto.
a) Paralelogramo c) Triângulo equilátero
b) Losango d) Hexágono regular
unidade
18
(G) Calcule a área das figuras a seguir:
a) b)
6 cm 3 cm
2,8 cm 2,4 cm
1,75 cm 1,75 cm
c)
2,7 cm
3 cm
d) e)
4 cm 2,6 cm
2,8 cm
19
f)
2,8 cm
4,1 cm
5 cm
g)
2,6 cm
2,6 cm
(H) Associe os quadrados aos trinômios que representam as suas áreas. Para
isso, escreva a letra e o número correspondentes.
(1)
20
(2)
(3)
(I) Desenhe em seu caderno um quadrado cuja medida do seu lado seja
3x + 2. Em seguida, escreva o polinômio que representa a área do quadrado
que você desenhou.
Comentários:
O(A) professor(a) que adotar esse questionário em suas aulas deve estar
atento para complementar, se necessário, as informações dos alunos referentes
ao item A, apontando que a Matemática não pode ser vista simplesmente como
aplicação e exerce papel crucial no desenvolvimento de muitas ciências. Todavia,
em nível escolar, cabe ressaltar sua importância em inúmeras atividades
cotidianas, auxilia na futura profissão e, principalmente, ajuda a pensar e a
compreender.
No item B, é provável que os alunos se reportem ao termo
semanticamente. Cabe ao professor mostrar, por meio de exemplos, que
21
investigação em matemática não tem o caráter policialesco comumente
empregado, pois, em geral, a primeira noção que nos vem à mente é relativa à
inquirição de testemunhas, mas, em sentido amplo, investigação é uma
indagação ou pesquisa que se faz buscando, examinando e interrogando.
No item C, é provável que muitos alunos não conheçam o termo
“conjectura”. Nesse caso, o professor deve permitir que os alunos consultem um
dicionário e, após, acrescente, com exemplos, alguma conjectura plausível de ser
aceita ou refutada pelos alunos.
No item D, a intenção é fazer os alunos encontrarem a generalização em
cada caso.
No item E, observe que a unidade de medida não “cabe” nas figuras
apresentadas, mas é possível fazer uma comparação entre a unidade de medida
e a área das demais figuras. A indicação do resultado pode ser expressa na forma
de uma fração própria, imprópria ou aparente.
No item F, cabe ressaltar que o conceito de perímetro tem sido trabalhado
como a “soma das medidas dos lados” e isso só é válido para polígonos, pois as
figuras não poligonais apresentam por perímetro a medida do contorno da figura.
No item G, objetiva-se verificar se os alunos recordam das fórmulas das
áreas de figuras planas e se as utilizam corretamente.
4.2 ATIVIDADE 2 – Planta baixa de uma casa
O objetivo desta atividade é explorar o conceito de área e perímetro de
figuras planas. Para isso, cada aluno receberá uma ficha de atividade descrita a
seguir, para ser respondida como atividade extraclasse.
FICHA-ATIVIDADE
Você está recebendo a planta baixa de uma casa térrea. A partir da leitura desta
planta, responda o que se pede:
22
1) Qual a escala utilizada?
2) De acordo com a escala, quantos metros de comprimento tem a cozinha?
Quantos metros de largura tem a cozinha?
3) Se você fosse ladrilhar a cozinha desta casa, qual o seu procedimento para
saber a quantidade de ladrilhos necessários?
4) Como você faria para descobrir a medida do rodapé da cozinha? (Lembre-
se de desconsiderar as portas)
Observação: Se você tiver dificuldade em responder às questões propostas,
converse com seus familiares, consulte algum vizinho que entenda do assunto ou
pesquise em alguma fonte confiável.
4.3 ATIVIDADE 3 – Diálogo sobre a atividade 2
De posse das respostas trazidas pelos alunos, explorar a oralidade,
valorizando a troca de informações entre os mesmos e a professora. Neste
momento, será recordado o conceito de escala, bem como as unidades de
medidas padrão uni e bi-dimensionais, relembrando a nomenclatura matemática.
Em seguida, para fixação, será solicitado que os alunos, em dupla, elaborem uma
3,36
23
lista, com, pelo menos, cinco medições que sejam lineares e cinco que sejam de
superfície.
4.4 ATIVIDADE 4 – Construção do metro quadrado
O objetivo desta atividade é construir o metro quadrado. Para isso, os
alunos, em duplas, deverão marcar, em uma folha de papel conveniente, 1 metro
no sentido do comprimento e, a partir dos extremos dos segmentos obtidos,
marcar, perpendicularmente, 1 metro no sentido da largura e, em seguida, unir os
outros dois extremos, obtendo um quadrado. A área do quadrado obtido será de 1
metro quadrado (1 m2).
Utilizando esta unidade de medida, os alunos deverão estimar a área da
sala de aula. É provável que a unidade de medida não caiba um número inteiro de
vezes na superfície a ser medida. Nesse caso, o professor deverá observar as
diferentes estratégias de solução, mostrando a necessidade dos submúltiplos do
metro quadrado.
Caso nenhum aluno tenha apresentado o resultado como uma
aproximação do produto das dimensões lineares da sala, o professor deverá
solicitar que os alunos o façam. Todavia, para confirmação de que a área de
superfícies retangulares é dada pelo produto da medida do comprimento pela
medida da largura, sugerimos que o(a) professor(a) proponha atividades
utilizando malhas quadriculadas, em que cada quadradinho representa uma
unidade de medida de área, como por exemplo a que segue:
Determine a área de cada figura desenhada na malha, utilizando um
quadradinho ( ) como unidade de medida.
24
Nesse momento pode-se questionar a respeito da quantidade de pessoas
que cabem, em pé, em uma superfície que mede 1m2. Pode-se levantar
questionamentos fazendo-os correlacionar a matemática com o cotidiano, tais
como:
1) Você sabia que há uma lei que garante qual o espaço que cada aluno deve ter
dentro da sala de aula? Qual é esse espaço? Em nossa escola essa lei está
sendo respeitada? E quando há a presença de um aluno cadeirante?
2) Como são estimadas as quantidades de pessoas em eventos públicos?
3) Há lei que especifique a quantidade de prisioneiros em cada cela? Isso tem
sido respeitado?
Na sequência, pode-se propor atividades com o submúltiplo do metro
quadrado, o decímetro quadrado (dm2). Para isso, os alunos confeccionarão, em
papel, o decímetro quadrado, da mesma forma que fizeram para o metro
quadrado. De posse desse material, propor que respondam o que segue:
a) Quantos quadrados de um decímetro quadrado de área são necessários
para recobrir o quadrado de um metro quadrado de área?
b) Utilizando essa nova unidade de medida (dm2), estime qual a medida da
superfície de sua carteira.
É provável que surjam respostas expressas não apenas por números
inteiros. Assim, devemos, neste momento, salientar que quando se trata de
medidas, é mais provável encontrarmos um número decimal, do que números
inteiros.
25
Para justificar a necessidade de uma unidade padrão de medidas, o(a)
professor(a) solicitará que dois alunos de estaturas diferentes meçam uma das
dimensões da sala de aula, utilizando o comprimento de seus pés como unidade
de medida. A partir de questionamentos, fazê-los compreender a necessidade das
unidades-padrão. E no caso das áreas? Com azulejos de tamanhos diferentes, o
que ocorrerá na compra da quantidade para revestir determinado espaço?
Ao final deste trabalho, solicitar, aos alunos, a realização de um relatório
com o registro das conclusões observadas.
Na sequência, serão abordados alguns tópicos da história relativa a esses
assuntos. Para isso, serão utilizados textos e vídeos, tais como o texto do livro
didático da 5ª série “Coleção Matemática para todos”, dos autores Luiz Márcio
Imenes e Marcelo Lellis, complementadas com as duas linhas de pensamento,
quanto ao surgimento das medições defendidas por Heródoto e Aristóteles.
Novamente, será solicitado aos alunos a confecção de um relatório,
inclusive com ilustrações relacionadas ao tema.
A partir daqui, terá início um trabalho com atividades exploratórias
investigativas, fazendo uso do geoplano, papel pontilhado ou quadriculado, palitos
de fósforo e recortes em papel. Como ilustração, para que eles não percam as
dimensões do metro quadrado, do decímetro quadrado e do centímetro quadrado,
será afixado, na parede da sala de aula, um exemplar dos respectivos materiais
por eles confeccionados.
Antes de iniciar o trabalho com o geoplano, é importante tecer
comentários sobre esse material, conforme exposto na Fundamentação Teórica.
Além disso, é importante apresentar aos alunos os vários tipos de geoplanos,
embora o trabalho pedagógico será realizado apenas com o geoplano
quadrangular.
Sugere-se que cada aluno tenha o seu geoplano para a realização das
atividades investigativas e exploratórias, o qual será confeccionado com pinos
cilíndricos e não pregos com cabeça, como em geral são comercializados, pois
esse último material pode ferir os dedos dos alunos. Em relação aos elásticos,
pode-se utilizar não apenas os chamados elásticos de dinheiro e sim elásticos
utilizados em confecção, por serem mais resistentes.
26
4.4.1 Tipos de geoplanos
a) Quadrangulares
(os pregos mantêm a mesma distância nas linhas e nas colunas)
b) Circulares
(os pregos são dispostos em círculos concêntricos)
c) Trelissados ou isométricos
(os pregos são colocados na interseção das linhas, ou seja, os pregos são
dispostos de modo que estejam alinhados obliquamente)
27
d) Ovais (os pregos são dispostos em forma elíptica)
e) Artesanais (utilizados como decoração)
Neste trabalho, utilizaremos o geoplano quadrangular, pois a disposição
dos pregos permite que sejam elaborados alguns conceitos: a unidade de
comprimento, que é a distância entre dois pregos adjacentes; a unidade de área,
que é a superfície do menor quadrado formado por pregos.
ATIVIDADE 5 – Geoplano
As atividades a seguir são relativas a trabalhos com o geoplano, em que os
alunos trabalharão em duplas.
1) Escolham um número primo, um número composto e um número quadrado
perfeito. No geoplano, construam todos os possíveis retângulos com lados
de medidas inteiras e com área igual aos valores escolhidos por vocês e
estabeleçam conjecturas quanto ao número de figuras obtidas em cada
caso, considerando que duas figuras de mesmas dimensões, embora
posicionadas de maneiras diferentes, serão computadas como uma única
figura.
Após a realização da atividade e das conclusões dos alunos, o(a)
professor(a) complementará os estudos, fazendo uma síntese dos resultados:
Se o número escolhido for primo, haverá apenas uma maneira de
construir o retângulo;
Se o número escolhido for composto, haverá mais de uma maneira
de construir o retângulo. Essa quantidade é um número par? Veja
que para os números compostos 6, 8, 10, 14 etc., a quantidade de
28
retângulos é par; porém, para os números 12, 18, 20 etc., a
quantidade de retângulos é impar;
Se o número escolhido for um quadrado perfeito, haverá um número
par de retângulos, sendo necessariamente, um deles um quadrado.
2) Construam agora todos os retângulos com medidas de lados inteiras e com
área 36 u2. Agora respondam:
a) Se se tratasse de salas de aula, o que poderíamos afirmar sobre a
distribuição desse espaço?
b) Meçam o contorno de cada sala, isto é, calculem o perímetro e
explicitem suas observações, comparando os valores encontrados com
as medidas dos lados das salas.
Após a realização dessa atividade caberá ao(à) professor(a) fazê-los
concluir que não basta conhecer a área de uma região para ter uma ideia clara
sobre o seu aproveitamento, ou seja, o aproveitamento do espaço não depende
apenas da área disponível.
Com a realização da atividade proposta no item b, espera-se que os alunos
concluam que quanto mais próximas entre si forem as medidas do comprimento e
da largura, menor será o perímetro da sala; quanto mais aumentarmos uma das
dimensões em relação à outra, mais aumentará o perímetro.
3) Façam testes com retângulos de medidas de lados inteiras e com áreas
iguais a 6 u2, 18 u2, 36 u2 e verifiquem a seguinte conjectura: “Quanto
menor a área, menor a quantidade de retângulos obtidos”. Para verificar se
essa conjectura é válida, apenas esses números serão suficientes? Para
auxiliar nas suas respostas, preencha uma tabela.
Note que a escolha das medidas das áreas sugeridas não foi aleatória, pois os
alunos, ao preencherem a tabela com apenas esses números, poderão inferir,
erroneamente, que a conjectura é verdadeira. No entanto, basta considerar, por
exemplo, um retângulo de área 25 u2 para garantir a falsidade da conjectura.
4) Construam, no geoplano, polígonos, conforme as especificações a seguir,
e, após a confecção de cada polígono, preencha o quadro, inclusive para
os polígonos que apresentam mais de três pregos em seu interior, mesmo
sem construí-los.
8 pregos no contorno (pontos de bordo - b) e nenhum prego no
interior;
8 pregos no contorno (pontos de bordo) e 1 prego no interior;
8 pregos no contorno (pontos de bordo) e 2 pregos no interior;
8 pregos no contorno (pontos de bordo) e 3 pregos no interior.
29
8 pregos no bordo
Número de pregos no
interior
0 1 2 3 4 5 6 7
Área
Refaça o mesmo para 9 pregos no bordo do polígono.
9 pregos no bordo
Número de pregos no
interior
0 1 2 3 4 5 6 7
Área
Finalmente, repita o procedimento para 10 pregos no bordo do polígono.
10 pregos no bordo
Número de pregos no
interior
0 1 2 3 4 5 6 7
Área
Fazendo a investigação sobre os resultados obtidos, qual será a área do polígono
com 20 pregos no bordo e 2 pregos no interior? Qual será a fórmula que permite
calcular a área de polígonos, usando esse método? Para auxiliá-lo a encontrar o
resultado, preencha os quadros a seguir:
1 prego no interior (i)
Nº de pregos
no bordo (b)
Área (A)
5
6
7
8
Escreva a área relacionada aos pontos de bordo (b) e pontos do interior (i).
2 pregos no interior
Nº de pregos
no bordo (b)
Área (A)
5
6
7
8
30
Escreva a área relacionada aos pontos de bordo (b) e pontos do interior (i).
3 pregos no interior (i)
Nº de pregos
no bordo (b)
Área (A)
5
6
7
8
Escreva a área relacionada aos pontos de bordo (b) e pontos do interior (i).
Essa fórmula é conhecida como Fórmula de Pick.
Comentários:
Espera-se que, a partir da análise dos resultados obtidos, os alunos
cheguem à fórmula: A = i + b/2 – 1.
Essa atividade pode ser enriquecida, mostrando que nem todas as figuras
planas são poligonais, mas que é possível, a partir da fórmula de Pick, estimar
áreas de regiões irregulares, como superfícies de lagos, áreas desmatadas e
muitas outras.
4.6 ATIVIDADE 6 – Moldura do quadro
Nesta atividade os alunos trabalharão em grupos de quatro.
1) Observem a figura a seguir, que representa um painel de 2 metros de
comprimento por 1 metro de largura.
Se esse painel for contornado com fita, quantos metros de fita serão
necessários?
2) Se colocarmos mais um painel justaposto ao anterior, conforme figura a
seguir, qual será o perímetro do novo painel?
31
3) Acrescentando mais um painel à fileira de painéis, qual o perímetro do
novo painel?
4) E se na fileira de painéis houver 4 painéis?
5) Agora, imaginem a fileira com 19 painéis. Qual será o perímetro do painel?
E se a fileira tiver 101 painéis?
Comentários:
Para auxiliar os alunos à generalização, sugere-se que confeccionem
uma tabela relacionando a quantidade de painéis ao perímetro do novo painel.
Provavelmente, necessitarão desenhar as primeiras situações, mas espera-se
que consigam inferir para quantidades em que o desenho não se torna mais
prático. É importante deixar os alunos pensarem livremente até que consigam a
fórmula geral que permite descobrir o perímetro para qualquer quantidade de
painéis da fileira. Dessa forma, poderão raciocinar que na fileira sempre haverá
dois metros de comprimento nas pontas (1 metro em cada ponta) e, a partir do
segundo painel, sempre haverá o dobro do perímetro do painel anterior,
excetuando os extremos, ou seja,
No primeiro painel: 4 + 2
No segundo painel: 2 x 4 + 2
No terceiro painel: 3 x 4 + 2
.
.
No 19º painel: 19 x 4 + 2
.
.
No 101º painel: 101 x 4 + 2
No entanto, essa não é a única maneira de raciocinar, pois poderão
observar a sequência numérica:
(6, 10, 14, 18, ...) =
(2 x 3, 2 x 5, 2 x 7, 2 x 9, ...) =
(2 x (2 x 1 + 1); 2 x ( 2 x 2 + 1); 2 x ( 2 x 3 + 1); 2 x ( 2 x 4 + 1); ...)
É claro que há outras formas de se chegar à expressão geral 2(2n + 1).
32
4.7 ATIVIDADE 7 – Palitos de fósforo
Esta atividade tem por objetivo explorar a área e o perímetro com palitos de
fósforo.
1) Observem a sequência que se segue, construída com fósforos (cada
fósforo é uma unidade):
Exemplo: Figura 1
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4
2) Representem, no quadriculado acima, a 5ª figura desta sequência.
3) À sequência de figuras apresentada, podemos associar várias sequências
numéricas. Preencham as três tabelas seguintes, completando todos os
espaços em branco. Apresentem os cálculos e registrem como chegaram à
conclusão.
33
Sequência A Sequência B Sequência C
Figura
Perímetro
1
2 10
3
4
5
... ...
10
... ...
718
... ...
450
... ...
n
4) Existirá, nesta sequência, uma figura cujo perímetro seja igual a 180
unidades? Justifique.
4.8 ATIVIDADE 8 – Figuras quadriculadas
Nesta atividade, os alunos trabalharão em grupos de quatro e, novamente,
investigarão o que ocorre com o perímetro de figuras formadas por quadrados
que se unem pelos lados.
1) Investiguem o que acontece com o perímetro de figuras formadas por
quadrados unidos pelos lados. Para isso, observem as seguintes
possibilidades:
2) Construam figuras utilizando quantidade crescente de quadrados.
3) Observem o que acontece com os perímetros dessas figuras.
4) Organizem as informações obtidas.
5) Encontrem um padrão para os perímetros.
Figura
Nº total de quadrados
1 1
2
3
4
5
... ...
10
... ...
196
... ...
30
... ...
n
Figura Nº de quadrados na base
1
2
3 5
4
5
... ...
10
... ...
71
... ...
300
... ...
n
34
6) Utilizem esse padrão para prever o que acontecerá com os perímetros das
figuras formadas por 10 quadrados.
7) Verifiquem se, na prática, a previsão estabelecida se confirma.
8) Façam outras previsões e justifiquem os motivos pelos quais elas podem
ser consideradas corretas.
9) Tendo como base a investigação desenvolvida, vocês consideram possível
prever o que acontecerá com os perímetros de uma figura formada por
uma quantidade qualquer de quadrados? Justifique a resposta.
Comentários:
Note que a quantidade de perímetros possíveis para uma mesma figura, a
partir das figuras obtidas por quatro ou mais quadradinhos não é única, pois essa
quantidade está condicionada à representação, podendo-se obter perímetros ora
mínimo, ora máximo e, outras vezes, intermediário. O importante é os alunos
perceberem que figuras de mesma área podem ter perímetros diferentes. Esse
fato não é imediato e, caso os alunos não tenham chegado à essa conclusão,
caberá ao(à) professor(a) fazer as colocações necessárias, sempre no sentido de
propiciar-lhes a investigação.
Outro fato a ser mencionado refere-se à análise de quanto maior a
quantidade de quadradinhos utilizados para formar a figura, maior será a
possibilidade de perímetros diferentes. Isso pode ser observado a partir da
construção de uma tabela.
4.9 ATIVIDADE 9 – Recobrimento da base da piscina
Nesta atividade os alunos trabalharão em grupos de quatro e o objetivo é que
descubram regularidade matemática por meio da área de figura plana.
1) A figura a seguir representa a base de uma piscina.
35
2) Suponham que essa piscina será pavimentada com azulejos quadrados
todos de mesma dimensão. Iniciando a pavimentação por um canto da
piscina, colocou-se à volta do primeiro azulejo outros azulejos e assim
sucessivamente, conforme ilustra a figura a seguir:
3) Construam uma tabela como a que segue e a preencham, seguindo o
esquema, ou seja, mantendo a representação das adições, visando
descobrir a regularidade.
Número de
Azulejos
Medida do
lado
do quadrado
Medida da
Área
1 1 1
1 + 3
...
4) Se a piscina tiver 9 unidades de lado (lembrem-se que cada azulejo tem 1
medida de lado), quantos azulejos serão necessários no total? Escreva a
resposta, conforme o resultado obtido na primeira coluna da tabela.
36
Comentários:
Nesse tipo de atividade é importante a atuação do professor no sentido de
encorajá-los na busca da regularidade, pois, em geral, os problemas propostos
não contemplam essa forma de raciocínio.
4.10 ATIVIDADE 10 – Exercícios
Nesta atividade, objetiva-se fazer os alunos exercitarem o cálculo de perímetro,
conhecida área da região plana.
Exercício 1: Deseja-se colocar rodapé na parede de um sótão, constituído por
duas salas quadradas como mostra a figura.
Sabendo-se que a sala maior tem 324 m2 de área, a sala menor tem 144 m2 de
área e que em uma das paredes há uma porta de 1 m de largura, quantos metros
de rodapé serão necessários? Apresente todos os cálculos necessários.
Exercício 2: Um terreno de forma retangular pode ser dividido em dois quadrados
(como mostra a figura) e a sua área é de 1800 m2. Qual é o perímetro do terreno?
Apresente todos os cálculos necessários.
Comentários:
Ao realizarem os cálculos, os alunos necessitarão extrair a raiz quadrada
dos números 144 e 324. É bem provável que saibam que a raiz de 144 é 12, mas,
provavelmente, para a extração da raiz quadrada de 324, será necessário
decompor esse número em fatores primos, obtendo, como resposta, 18.
37
4.11 ATIVIDADE 11 – Dobrando e Triplicando
O objetivo desta atividade é evidenciar as diferenças entre perímetro e área de
figuras. Para isso os alunos desenvolverão a atividade em grupos de quatro e
utilizarão os cubinhos do Material Dourado.
1) Complete a tabela com o auxílio dos cubinhos disponíveis, dobrando e
triplicando todas as dimensões (comprimento, largura e altura) das figuras
originais.
Figura Perímetro do
Topo
(em unidades)
Área do Topo
(em unidades
quadradas)
Área da
Superfície (em
unidades
quadradas)
1.
Dobrado
Triplicado
2.
38
Dobrado
Triplicado
3.
Dobrado
Triplicado
39
4.
Dobrado
Triplicado
2) Com relação à tabela que você acabou de preencher, responda:
a) Observando a 2ª coluna da tabela, o que acontece com o perímetro ao
se duplicar uma determinada figura? E ao se triplicar a figura?
b) Você consegue perceber outras regularidades observando as linhas ou
colunas desta tabela? Em caso afirmativo, explique essas
regularidades.
4.12 ATIVIDADE 12 – Produtos notáveis
O objetivo desta atividade é relacionar os produtos notáveis às áreas de
figuras, ou seja, pretende-se que os alunos demonstrem uma interpretação
geométrica da multiplicação associada ao cálculo de área. Novamente, os alunos
atuarão em grupos de quatro e poderão utilizar o geoplano ou papel quadriculado.
O produto notável (a + b)2
1) Representem, no geoplano (ou papel quadriculado), os produtos 2x2, 3x3 e
4x4. Utilizem um quadradinho ( ) como unidade de medida.
A configuração esperada será:
40
Comentário:
Esse é o momento de o(a) professor(a) questionar os alunos quanto à
existência de se escrever 2x2 sob a forma de potência. Em seguida, questioná-
los, também, qual será a representação em forma de potência da área de um
quadrado no qual desconhecemos a medida de seu lado. Qual a representação
geométrica nessa situação?
Para essa atividade, o(a) professor(a) disponibilizará aos alunos folhas de
papel em branco, pois pretende-se verificar se a generalização foi alcançada
pelos alunos, uma vez que o trabalho com o geoplano ou folhas de papel
quadriculada não possibilita ao professor verificar se tal generalização ocorreu.
O produto notável (n + 2)2
1) Apresentem, no geoplano (ou papel quadriculado), uma representação da
expressão (2 + 3)2, sem adicionar os algarismos 2 e 3.
Comentário:
É possível que alguns alunos respondam que (2 + 3)2 é 22 + 32. O
professor deve auxiliá-los deixando claro que (2 + 3)2 é a área de um quadrado de
lado 5 ou seja (2 + 3) unidades, chegando à seguinte representação:
41
2) Como vocês podem expressar a área do quadrado maior, a partir das
figuras que o compõe?
Comentário:
Os alunos deverão identificar que o quadrado maior é formado por dois
quadrados menores e dois retângulos. Espera-se que os alunos observem que os
dois retângulos têm a mesma área, que podem ser expressas por 2x3 ou 3x2.
Dessa forma, chegarão à conclusão que:
Área total = área da + área da + área da + área da
figura 1 figura 2 figura 3 figura 4
(2 + 3)2 = 22 + (2 x 3) + (3 x 2) + 32
ou
(2 + 3)2 = 22 + 2x (2 x 3) + 32
A área do é igual à área mais duas vezes a mais a área
quadrado de do quadrado área do retângulo do quadrado
lado (2 + 3) de lado 2 de lados 2 e 3 de lado 3
A seguir podem ser feitos outros exemplos, chamando a atenção para o
significado de cada parte das expressões.
O próximo objetivo é o da manipulação da expressão sem o apoio da
representação no geoplano ou no quadriculado. Questionar então:
Como podemos escrever a área do quadrado de lado 4 + 3?, Ou seja,
como podemos representar (4 +3)2?
A partir do resultado obtido, espera-se que os alunos concluam como a
expressão (n + 2)2 pode ser reescrita, considerando que ela representa um
quadrado de lado (n + 2) unidades.
Espera-se que os alunos cheguem à seguinte representação:
42
Dessa forma, concluirão que:
(n + 2)2 = n2 + 2 x (2 x n) + 22
ou
(n + 2)2 = n2 + 4 x n + 22
4.13 ATIVIDADE 13 – Atividades com recortes em papel
Para essa atividade, os alunos receberão um conjunto de peças
triangulares congruentes e um conjunto de peças quadrangulares congruentes,
confeccionadas em papel.
1) Fazendo uso das peças triangulares, monte uma sequência onde o
segundo triângulo tenha seus lados duplicados em relação ao primeiro, o
terceiro triângulo tenha seus lados triplicados em relação ao primeiro e
assim sucessivamente.
2) Repita o procedimento utilizando as peças quadrangulares.
3) O que você pode concluir a respeito da área das figuras obtidas em relação
à medida do lado?
Comentários:
É bem provável que os alunos, intuitivamente, tenham a ideia de que
duplicando a medida do lado, a área será duplicada; triplicando a medida do lado,
a área será triplicada. No entanto, ao realizarem a experiência, constatarão que a
área das figuras não mantém essa relação e sim que a área é dada pelo
quadrado da medida do lado.
43
4.14 ATIVIDADE 14 – Explorando perímetros e áreas
1) Para essa atividade, os alunos receberão um conjunto de peças
duplicadas, conforme sugestão a seguir e utilizarão uma tesoura.
a) Utilizando as peças 1, mantenha uma e modifique a outra de modo a
apresentar maior perímetro e menor área.
b) Utilizando as peças 2, mantenha uma e modifique a outra de modo a
apresentar o mesmo perímetro e menor área.
c) Utilizando as peças 3, mantenha uma e modifique a outra de modo a
apresentar menor perímetro e menor área.
Comentários:
Com essa atividade, os alunos poderão estabelecer uma relação correta
entre perímetro e área, pois muitos têm a impressão que aumentando o
perímetro, a área será aumentada.
O(A) professor(a) deve estar atento para indicar possíveis soluções às
atividades propostas, explorando-as com a participação dos alunos.
Este tipo de atividade consta na obra “Un processus d’apprentissage du
concept d’aire de surface plane”, de R. Douady et M. Perring Glorian, publicada
no Cahier de Didactique dês Mathematiques – nº 37, Paris VII, 1987. Neste
trabalho, fizemos uma adaptação da proposta sugerida por Anna Franchi e Dione
Lucchesi de Carvalho através do texto “Aspectos Cognitivos da Construção do
Conceito de Área”- Coleção Ensinando e Aprendendo.
ATIVIDADE 15 – Deduzindo fórmulas de áreas
O objetivo desta atividade é possibilitar que os alunos encontrem as
fórmulas das áreas de algumas figuras conhecidas, a partir de recortes em papel.
Para facilitar a memorização das fórmulas, será afixado, na sala de aula, um
cartaz em branco, para ser preenchido com as fórmulas que serão deduzidas
1
2 3
44
pelos alunos, no decorrer do processo, tomando como área conhecida a área do
retângulo.
Área do retângulo
Dado um retângulo de dimensões a e b, sua área é dada por A = a x b.
Área do quadrado
A área do quadrado é um caso particular da área do retângulo, uma vez que suas
dimensões são iguais e, nesse caso, os alunos concluirão que a área é dada por
A = a x a = a2.
Área do paralelogramo
1) Recortem, em papel, um paralelogramo qualquer.
2) Como proceder para transformar esse paralelogramo em um retângulo?
3) Chamando a base do paralelogramo de a e sua altura de h, qual a fórmula
dessa figura?
Comentários:
Espera-se que os alunos façam um corte perpendicular à base, de modo
que o corte atinja o lado paralelo à base, obtendo dois trapézios retângulos.
Justapondo-os adequadamente, devem obter um retângulo. Dessa forma,
concluirão que a área do paralelogramo é dada por A = a x h.
Cabe ressaltar que é possível obter o retângulo fazendo o corte a partir de
um dos vértices da base, como geralmente encontramos nos livros didáticos.
Área do triângulo
1) Recortem, em papel, dois triângulos quaisquer congruentes.
2) Utilizando os triângulos recortados, obtenha um paralelogramo.
3) Qual a fórmula da área de triângulo?
Comentários:
Espera-se que os alunos concluam que a área do triângulo é dada pela
metade da área do paralelogramo, ou seja, A = (b x h) / 2. No caso particular em
que os alunos recortarem triângulos retângulos congruentes, obterão um
retângulo, chegando à mesma fórmula.
Área do trapézio
1) Recortem, em papel, dois trapézios quaisquer congruentes.
2) Como proceder para obter um paralelogramo, utilizando os dois trapézios?
3) Chamando a base maior de B, a base menor de b e a altura de h, qual a
fórmula da área do trapézio?
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Comentários:
Espera-se que os alunos concluam que a área do trapézio é dada por A =
(B + b)x h / 2.
Para enriquecimento da atividade, pode-se propor que os alunos
obtenham a fórmula da área do trapézio, utilizando apenas um trapézio. Nesse
caso, será necessário decompor o trapézio em um retângulo de dimensões b e
h e em dois triângulos, sendo um de base a e altura h e o outro de base c e
altura h. Dessa forma, a área do trapézio é dada por
A = b x h + a x h/2 + c x h/2 = b x h + (a + c) x h/2 = b x h + (B – b) x h/2 =
= (2b x h + B x h – b x h)/2 = (B x h + b x h)/2 = (B + b) x h/ 2.
Note que esse procedimento é bastante algébrico e caberá ao professor
avaliar até que ponto é adequado aos seus alunos.
Área do losango
1) Recortem, em papel, um losango.
2) Utilizando recortes no losango construído, como proceder para obter um
retângulo?
3) A partir da nova figura obtida, qual a área do losango?
Comentários:
Espera-se que os alunos concluam que a área do losango é dada por
A= d x D/2.
A proposta foi induzir os alunos à obtenção do retângulo por meio de
recortes. Todavia, é possível obter um retângulo completando o losango com
quatro triângulos congruentes. O importante é que as duas ideias levarão à
mesma fórmula, havendo apenas diferença quanto aos cálculos algébricos.
Neste momento do trabalho, faz-se necessário relembrar com os alunos a
definição de altura em Matemática, uma vez que, na linguagem comum, altura é
um comprimento vertical. Por exemplo, altura de um prédio, de uma pessoa etc.
Na matemática, altura de uma figura geométrica depende da figura considerada.
Por exemplo, nos triângulos (ou paralelogramos), a altura é o segmento que tem
uma extremidade num vértice do triângulo (ou do paralelogramo) e a outra em um
ponto da reta suporte do lado oposto a esse vértice e, além disso, é perpendicular
à reta suporte. Repare que todo triângulo tem, então, três alturas, sendo cada
uma relativa a um dos lados. Repare, ainda, que, particularmente, nos retângulos,
qualquer lado pode ser altura.
Nos trapézios, altura é a distância entre um ponto qualquer P0 da reta
suporte de uma das bases, isto é, a reta que contém a referida base, e o ponto P1
da reta suporte da outra, tomado na perpendicular às retas suportes, passando
por P0.
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Para o fecho dessa atividade, propõe-se que os alunos resolvam o
seguinte exercício:
“Construa, no geoplano, os polígonos estudados nessa atividade e, para cada um
deles, calcule a respectiva área, primeiramente, por meio de contagem e, em
seguida, aplicando as fórmulas que foram deduzidas”.
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4 ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS
Encontramos nos documentos oficiais do Programa de Desenvolvimento
Educacional (PDE) que seu objetivo é proporcionar aos professores da rede
pública estadual subsídios teórico-metodológicos para o desenvolvimento de
ações educacionais sistematizadas, e que resultem em redimensionamento de
sua prática.
Dessa forma, queremos com a presente Unidade Didática proporcionar
aos professores um rol de sugestões de atividades, onde procurou-se trabalhar
integradamente a aritmética, a álgebra e a geometria, de forma a despertar um
envolvimento mais ativo por parte dos alunos nas aulas de Matemática,
objetivando, primordialmente, a aprendizagem.
Este trabalho de formulação de questões, elaboração de conjecturas,
teste, refinamento das questões e conjecturas anteriores, demonstração,
refinamento da demonstração e comunicação dos resultados aos seus pares, que
nos sugere o trabalho com investigações matemáticas está ao alcance de todos
os alunos.
Pode parecer que a intervenção do professor nesse tipo de metodologia
não seja tão importante, pois realmente objetiva-se a autonomia dos alunos. Mas
pelo contrário, estamos diante de um quadro de ação mais exigente e trabalhoso
para o professor, pois como afirma Polya (2006): “apresentando problemas
compatíveis com os conhecimentos dos alunos e auxiliando-os por meio de
indagações estimulantes, estaremos incutindo-lhes o gosto pelo raciocínio
independente”.
O professor deve colocar-se no lugar do aluno, perceber o ponto de vista
deste, procurar compreender o que se passa em sua cabeça e fazer uma
pergunta ou indicar um passo que poderia ter ocorrido ao próprio estudante.
(Polya, 2006, p. 1)
Por outro lado, as atividades de investigação possibilitam ao professor
uma visão mais completa de cada aluno. Conforme explicitado no item 3, sempre
que possível, o(a) professor(a) deve propor atividades coletivas, em duplas ou em
equipes, para que as ideias sejam discutidas, cumprindo com o importante papel
da sociabilidade, a troca de experiências, o que contribui para o enriquecimento
do trabalho pedagógico.
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