SÉRIES

NUMÉRICAS

Uma série numérica é uma sequencia de números que respeita uma “regra” , uma lei de formação.Sendo assim todos foram produzidos à partir de uma mesma ideia.Exemplos:

2,10,12,16,17,18,19, ?

2,4,6,8,10, ?

2,4,8,16,32, ?

Séries Numéricas

Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r.O número r é chamado de razão da progressão aritmética.Alguns exemplos de progressões aritméticas:Ø 1, 4, 7, 10, 13, ..., é uma P.A em que a razão (a diferença entre os números consecutivos) é igual a 3.

Ø -2, -4, -6, -8, -10, ..., é uma P.A. em que r = -2.

Ø 6, 6, 6, 6, 6, ..., é uma P.A. com r = 0.

Progressão Aritmética

Exemplo

Na série (5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, ...)r = a2 – a1 = 9 – 5 = 4 ou

r = a3 – a2 = 13 – 9 = 4 ou r = a4 – a3 = 17 – 13 = 4

e assim por diante.

DICA: Observe que a razão é constante e pode ser calculada subtraindo um termo qualquer pelo seu antecessor.

Uma P.A. pode ser classificada em crescente, decrescente ou constante dependendo de como é a sua razão (R).

Exemplos:I – (5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, ...) → CRESCENTE pois r = + 3II – (26, 18, 10, 2, – 6, – 14, – 22, ...) → DECRESCENTE pois r = – 8III – (7, 7, 7, 7, 7, ...) → ESTACIONÁRIA OU CONSTANTE pois r = 0

TERMO GERAL ou enésimo termo ou último termo

Numa P.A. de n termos, chamamos de termo geral ou enésimo termo o ultimo termo ou o termo genérico dessa sequência.

Atenção!

a20 = a1 + 19r ou a20 = a7 + 13r ou a20 = a14 + 6r

1. Sabendo que o 1º termo de uma PA é igual a 2 e que a razão equivale a 5, determine o valor do 18º termo dessa sequência numérica.

2. Dada a progressão aritmética (8, 11, 14, 17, ...), determine:a) razão b) décimo termo c) a14

3. A razão de uma PA de 10 termos, onde o primeiro termo é 42 e o último é –12 vale:a) -5b) -9c) -6d) -7e) 0

4. Calcule a razão da P.A. em que o terceiro termo vale 16 e o décimo primeiro termo vale 40.

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

TERMO GERAL ou MÉDIONuma progressão aritmética, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor, isto é,

Exemplos:Na P.A (2, 4, 6, 8, 10,...) veremos que:

DICA: Sempre a cada três termos consecutivos de uma P.A, o termo central é a média dos seus dois vizinhos, ou seja, a soma dos extremos é o dobro do termo central.Além disso a soma dos termos equidistantes dos extremos é constante.

Progressão Aritmética

5. Determine a razão da P.A. (x+2, 2x, 13).a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

6. O tempo de serviço de três funcionários da Secretaria da Fazenda em progressão aritmética. Colocando em ordem crescente tem-se (1 + 3x, 4x + 2, 7x + 1). Assim o funcionaáriocom menor tempo de serviço está contratado há .a) 1 anob) 2 anos.c) 3 anos.d) 4 anos. e) 5 anos.

SOMA DOS “n” TERMOSSendo n o número de termos que se deseja somar, temos:

DICA: Essa fórmula pode ser lembrada como a soma do primeiro e do último termos , multiplicada pelo número de casais (n/2).

Exemplo Na sequência numérica (–1, 3, 7, 11, 15,...), determine a soma dos 20 primeiros termos.1)Cálculo da razão da PA

2)Determinando o 20º termo da PA

3) Calculando a Soma dos termos

7. Um funcionário da Secretaria da Fazenda recebeu a tarefa de organizar todos os documentos de um departamento em apenas uma semana. Se ele começou no domingo organizando 15, na segunda-feira 23 e assim por diante até terminar, quantos documentos ele organizou no total?a) 32b) 237c) 220d) 273e) 63

8. Devido à epidemia de gripe do último inverno, foram suspensos alguns concertos em lugares fechados. Uma alternativa foi realizar espetáculos em lugares abertos, como parques ou praças. Para uma apresentação, precisou-se compor uma plateia com oito filas, de tal forma que na primeira fila houvesse 10 cadeiras; na segunda, 14 cadeiras; na terceira, 18 cadeiras; e assim por diante. O total de cadeiras foi:a) 384b) 192c) 168d) 92e) 80

9. A soma dos 12 primeiros termos de uma P.A. é 180. Se o primeiro termo vale 8, calcule o último termo dessa progressão.a) 16b) 18c) 20d) 22e) 24

10. O Professor Dudan adora brincar com números. Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência conforme mostrada no esquema a seguir.

Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas. A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9ª linha da sequência de caixas empilhadas por Dudan?a) 9b)45c)64d)81e)285

PROGRESSÃO

GEOMÉTRICA

Uma progressão geométrica (abreviadamente, P. G.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante q.

O número q é chamado de razão da progressão geométrica.

Progressão Geométrica

Alguns exemplos de progressões geométrica:s

Ø1, 2, 4, 8, 16, ..., é uma P.G em que a razão é igual a 2.

Ø-1, -3, -9, -27, -81, ..., é uma P.G. em que q = 3.

Ø6, 6, 6, 6, 6, ..., é uma P.G. com q = 1.

Ø(3, 9, 27, 81, 243, ...) → é uma P.G Crescente de razão q = 3Ø(90, 30, 10, 10/3, ...) → é uma P.G Decrescentede razão q= 1/3

Exemplo

Na série(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...)

q = a2 / a1 = 2/1 = 2 ou q = a3 /a2 = 4/2 = 2 ou

q = a4 /a3 = 8/4= 2e assim por diante.

DICA: Observe que a razão é constante e pode ser calculada dividindo um termo qualquer pelo seu antecessor.

Uma P.G. pode ser classificada em crescente, decrescente, constante ou oscilante, dependendo de como é a sua razão (q).Exemplos:

I – (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...) → CRESCENTE pois a2 > a1 , a3 > a2 e assim por diante; II – ( – 1, – 3, – 9, – 27, – 81, ...) → DECRESCENTE pois a2 < a1 , a3 < a2 e assim por diante; III – (7, 7, 7, 7, 7, ...) → CONSTANTE pois q =1 e a2=a1 e assim por diante;IV – (3, – 6, 12, – 24, 48, – 96, ...) → OSCILANTE pois há alternância dos sinais.

TERMO GERAL ou enésimo termo ou último termo

Numa P.G. de n termos, chamamos de termo geral ou enésimo termo o ultimo termo ou o termo genérico dessa sequência.

Atenção!

a20 = a1q19 ou a20 = a7.q13 ou a20 = a14.q6 ou a20 = a18.q2

11. Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 6º termo dessa PG.

12. Dada a progressão geométrica (5, 10, 20, 40, ...), determine:a) razão b) oitavo termo c) a10

13. Calcule a razão da P.G. na qual o primeiro termo vale 2 é o quarto termo vale 54.a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

TERMO GERAL ou MÉDIONuma progressão geométrica, a partir do segundo termo, o termo central é a média geométrica do termo antecessor e do sucessor, isto é,

ExemploNa P.G (2,4,8,16,...) veremos que :

DICA: Sempre a cada três termos consecutivos de uma P.G, o termo central é a média geométrica dos seus dois vizinhos, ou seja, o produto dos extremos é o quadrado do termo central.

14. Sabendo-se que a sucessão (x – 1, x + 2, 3x, ...) é uma P.G. crescente e representa o numero de filhos de três funcionários da Secretaria da Fazenda determine x.

15. As idade de três funcionários do Sefaz são x-10, x e x+ 15 e formam, nessa ordem, uma P.G cuja razão valea) 1/2. b) 3/2. c) 5/2. d) 2/3. e) 4/5.

SOMA DOS FINITOS TERMOS

Caso deseja-se a soma de uma quantidade exata de termos, usaremos:

16. Considerando a PG ( 1, 3, 9, ...), determine a soma dos seus 7 primeiros elementos .a) 234b) 121c) 364d) 1093e)1245

SOMA DOS INFINITOS TERMOS

Para calcular a soma de uma quantidade infinita de termos de uma P.G usaremos:

DICA: Essa fórmula é usada quando o texto confirma o desejo pela soma de uma quantidade infinita de termos e também quando temos 0 < q < 1.

17. A soma dos infinitos termos da progressãoa) 10b) 11c) 12d) 13e) 14

÷øö

çèæ ... ,

43 , , ,

2336

18. A soma da série infinita é ...511 ++++

1251

251

19. Considere que em julho de 1986 foi constatado que era despejada uma certa quantidade de litros de poluentes em um rio e que, a partir de então, essa quantidade dobrou a cada ano. Se hoje a quantidade de poluentes despejados nesse rio é de 1 milhão de litros, há quantos anos ela era de 500 mil litros? a) Nada se pode concluir, já que não é dada a quantidade despejada em 1986. b) Seis. c) Quatro. d) Dois. e) Um.

20. A contratação de novos servidores do SEFAZ foi iniciada há exatamente um ano e, durante esse período, o número de servidores duplicou a cada contratação. Elas são feitas a cada três meses e hoje, será feita uma nova contratação de 16 servidores.Sendo assim o total de servidores após essa contratação será de a) 26b) 32c) 34d) 40e) 46