Sem 7-Sistemas Ecuaciones Lineales

Dpto. de Ciencias Semestre 2013-II 1

Semana 7

CURSO: MATEMÁTICA BÁSICA

Tema :

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

DEFINICIÓN: Se denomina sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a un conjunto

de ecuaciones de la forma:

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

(1)

Siendo:

- ija son los coeficientes del sistema.

- ib son los términos independientes del sistema.

- jx son las incógnitas del sistema.

Donde: las constantes reales de las ecuaciones (1) se pueden establecer en el siguiente arreglo

de m x n

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

a la cual denominaremos matriz de coeficientes.

A los vectores:

nx

x

x

X2

1

mb

b

b

B2

1

X es vector columna de las incógnitas ó vector solución.

Sistemas de ecuaciones lineales: Método de Cramer y por Reducción


B es vector columna de los términos independientes.

Entonces, el sistema (1) se puede representar matricialmente de la siguiente forma

AX=B

Clasificación de los sistemas de ecuaciones en función del conjunto de soluciones:

1) Sistema Incompatible (S.I): cuando no tiene solución.

2) Sistema Compatible (S.C): cuando admite más de una solución.

a) Sistema Compatible y Determinado (S.C.D): esto es, que tenga una única solución.

b) Sistema Compatible e Indeterminado (S.C.I): esto es, que tenga infinitas soluciones

que se va a calcular resolviendo el sistema asociado a la matriz escalonada.

METODOS DE SOLUCIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1. MÉTODO DE CRAMER

Se utiliza para resolver sistemas cuadrados del tipo:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

con n ecuaciones lineales y con n incógnitas.

Es decir el sistema es de Cramer si tiene tantas ecuaciones como incógnitas, en ese caso la

matriz de coeficientes A es una matriz cuadrada.

Si el determinante A de la matriz de coeficientes A es diferente de cero, entonces el sistema tiene una

única solución. Además, la solución está dada por

1

1

Ax

A ,

2

2

Ax

A , …,

n

n

Ax

A


Donde kA , el numerador de kx , es el determinante de la matriz obtenida al reemplazar la k-ésima

columna de A por la columna de constantes.

Ejemplo: Dado el sistema de ecuaciones 2 5 0

3 6

x y

x y

. Solucionar el sistema.

Solución:

El sistema, se puede escribir de la siguiente manera: 2 5

3 6

x y

x y

El determinante A de la matriz de coeficientes es: 2 1

1 3A = (2)(3)-1(1) = 5

Como el determinante de la matriz de coeficientes es diferente de cero, entonces el sistema

tiene solución única.

Luego, calculamos:

1

5

6

121

3A

2

5217

1 6A

Entonces, la solución del sistema de ecuaciones es:

1 21

5

Ax

A

2 17

5

Ay

A

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema utilizando la regla de Cramer

{

Solución:

En primer lugar se resuelve el determinante de la matriz de coeficientes:


; como 0A , existe una solución única.

Resolvamos para x:

Resolvamos para y:

Resolvamos para z:

La solución es:

| |

| |

| |

| |

| |

| |

2. MÉTODO DE GAUSS

Este método comprende una serie de operaciones sobre un sistema de ecuaciones lineales para obtener

en cada paso un sistema equivalente; es decir, un sistema con la misma solución que el sistema original.

La variante que suele denominarse método de Gauss-Jordan consiste en la obtención de la forma


escalonada reducida de la matriz/matrices de los coeficientes. Es decir, una vez obtenida la forma

escalonada se pivota hacia arriba para anular todos los elementos no nulos que puedan quedar por

encima del pivote, y se divide cada fila por su pivote.

El método de Gauss-Jordán implica a realizar lo siguiente:

1. Se escribe la matriz aumentada correspondiente al sistema, que es

A B =

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

21

222221

111211

2. En caso necesario, se intercambian las filas para obtener una matriz aumentada donde el primer

valor en la primera fila sea distinto de cero. Luego se pivotea la matriz con ese valor.

3. En caso necesario, se intercambian la segunda fila con otra para obtener una matriz aumentada

donde el segundo valor de la segunda fila sea distinto de cero. Luego se pivotea la matriz con

ese valor.

4. Se continúa hasta que la última matriz tenga una forma escalonada reducida por filas. (Una

matriz escalonada o reducida por filas de A se obtiene a partir de A mediante

operaciones elementales por filas en la cual el primer elemento no nulo de cada fila se

encuentra a la derecha del primer elemento no nulo de la fila anterior, y por encima de

él todos los elementos son nulos).

Antes de escribir la matriz aumentada, asegúrese de escribir las ecuaciones con las variables a la

izquierda y los términos constantes a la derecha del signo de igualdad.

Además, asegúrese que las variables tengan el mismo orden en todas las ecuaciones.

Ejemplo 1: Solucionar el siguiente sistema de ecuaciones:

1

52

132

yx

yx

yx

Solución:


pivot

pivot

1. Escribamos la matriz aumentada:

111

512

132

2. Realizar transformaciones elementales a la matriz aumentada

111

512

132

31 FF =

132

512

111

21 F(-2)F =

1 1 1

2 3 1

0 1 3

31 F(-2)F

0 1 3

1 1 1

0 1 3

32 FF =

000

310

111

2(-1)F =

000

310

111

El sistema equivalente al sistema original es:

000

30

1

yx

yx

yx

, entonces y =- 3, x = 4

Ya que el sistema original es equivalente a este sistema, tiene una solución única. (Compatible

determinado)

4 3x y

Ejemplo 2: Resolver el sistema de ecuaciones lineales dado por

832

322

9823

zyx

zyx

zyx

Solución:


pivot

pivot

Obtenemos la matriz aumentada

8321

3122

9823

1. Realizar transformaciones elementales a la matriz aumentada

8321

3122

9823

12 FF =

8321

3122

12901

21 F(2)F =

8321

271920

12901

31 F(-1)F =

41220

271920

12901

32 FF =

271920

41220

12901

2F2

1 =

271920

2610

12901

2 3(-2)F +F =

313100

2610

12901

3F31

1

1100

2610

12901

13 F(-9)F =

1100

2610

3001

23 F(6)F =

1 0 0 3

0 1 0 4

0 0 1 1

La solución es: x=3 y = 4 z =1

Ejemplo 3: Resolver el siguiente sistema

1234

02

42

yx

yx

yx

Solución:


1234

021

421

21 F1)F( =

1234

440

421

31 F)F( 4 =

450

440

421

2F 1

4=

450

110

421

12 F)F( 2 =

450

110

201

32 F)F( 5 =

100

110

201

De la última fila de la matriz reducida tenemos que 100 yx , y esto es imposible, por lo cual

el sistema no tiene solución.

Ejemplo 4: Resolver el siguiente sistema.

3532

1423

232

wzyx

wzyx

wzyx

Solución:

31532

14213

21321

31

21

F)F(

F)F(

2

3 =

1 2 3 1 2

0 7 7 7 7

0 1 1 1 1

2F 1

7

11110

11110

21321

32

12

FF

F2)F(

=

00000

11110

01101

Luego, el sistema es:

1

0

wzy

wzx

Que es un sistema con 2 ecuaciones y 4 variables; por lo tanto, se puede despejar dos

variables en términos de las otras dos.


Si hacemos que z=s y w= t

Entonces tenemos:

tw

sz

tsy

tsx

1

Donde s y t son números reales arbitrarios. Si s=1 t=2 entonces x=3 y=-1, luego una

solución particular seria x= 3 y=-1 z=1, w=2, si le damos cualquier valor a s y a t

obtenemos infinitos valores para x, y y w.

Entonces el sistema tendrá infinitas soluciones.

Ejemplo 5: Resolver el sistema

2 3 7 1

3 4 6 5

5 7 13 4

x y z

x y z

x y z

Solución:

La matriz ampliada es:

2 3 7 1

3 4 6 5

5 7 13 4

21 2

1 3 3

2 3 3

3 2

5 2

2 3 7 1 2 3 7 1

3 4 6 5 0 1 9 13

5 7 13 4 0 1 9 13

2 3 7 1 2 3 7 1

0 1 9 13 0 1 9 13

0 1 9 13 0 0 0 0

F F F

F F F

F F F

Hemos llegado a:

0. 0z

Entonces, para que se cumpla esta igualdad, z puede valer cualquier número. Por tanto hay

infinitas soluciones, es decir el sistema es Compatible Indeterminado.


En este caso decimos:

9 13 9 13

2 3 7 1 7 3 1

2

z z

y z y z

x y z z yx

Por tanto:

19 10

9 13,

x

y R

z

Ejemplo 6: Resolver el sistema: {

[

]

[

]

[

]

[

]

Solución: {

F2 -2F1

F3 – F1

F4 – 3F1

1/3F2

F3-1F2

F4-3F2


EJERCICIOS PROPUESTOS

I. Aplica la regla de Cramer para resolver los sistemas siguientes.

1. 2 5

4 1

x y

x y

2. 2 2 5

6 1

x y

x y

3. 6

2

x y

x y

4. 8

2 1

x y

x y

5. 2 3 15

4 4 10

x y

x y

6. 4.8 1.3 16.9

7.2 2.8 9.2

x y

x y

7. 2,3 1,7 8,5

6,7 3,7 38,4

x y

x y

8. {

9. {

10. {

11. {

12.

1000

0,7 0,6 0,3 500

0,2 0,4 180

x y z

x y z

x z

13. {

14. {

15. {

16.

2 3 5

4 5 2 4

2 1

6 7 4 2

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w


II. Aplica el método de reducción para resolver los siguientes sistemas.

1. 2 7

3 2 7

x y

x y

2. 3 3

2 3 13

x y

x y

3. 4 3 4

3 2 14

x y

x y

4.

1 2 3

2 3 4

1 52

3 6

x y

x y

5. 1,2 3,7 9,1

4,3 5,2 8,3

x y

x y

6. 4 3 2

3 2 24

x y

x y

7. 3 4

8

y x

x y

8. 2 12

5

x y

x y

9. {

10. {

11. {

12. {

13. {

14. {

15.

4 6 3 3

2 5

1

+z+w 0

x y z w

x y w

x z w

y

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