Semana 01Catalina Domnguez,Universidad del Norte

Doctorado en IngenieraSemestre II de 2015

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Concepto bsicos

14 Agosto de 2014

Domnguez C.

Ecuacin de Poisson 1D

(

uu(0)

= f (x, u(x)),= u(1) = 0

1

Problema de vibracionesde una cuerda o unabarra

2

Problema de conduccinde calor

x (0, 1)

Diferencias finitasEscoger n nodos equidistantes del intervalo (0, 1)

1b

02

3

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b

b

xj

b

b

xj = jh

1

j = 0, . . . , n + 1

h = 1/(n + 1);

Usando diferencias centrales

1u (xj ) 2 u(xj+1 ) 2u(xj ) + u(xj1 )h

1j = 1, . . . , n 2 uj1 2uj + uj+1 = f (xj , uj ),hConcepto bsicos

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Diferencias finitasUsando la expansion de Taylorf (a + h) = f (a) + f (a)h +

f (n) (a) nf (a) 2h + +h + Rn (x),2n!

truncando la serie se puede aproximar f (a) mediantef (a + h) f (a)Diferencias progresivashf (a) f (a h)f (a) =Diferencias regresivashf (a + h/2) f (a h/2)f (a) =Diferencias centralesh

f (a) =

Derivada de 2do orden: diferencias centralesf (a) =Pgina 3

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f (a + h) 2f (a) + f (a h)h214 Agosto de 2014

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function Ej1DiferenciasFinitas1D(NumNodesIn,MiFuncion)% Esta programa resuleve el problema de valores de frontera% -u(x) = f(x,u)% u(0) = u(1) = 0% usando diferencias finitas centrales.% Entrada:% NumNodesIn: numero de nodos (no incluye 0,1)% MiFuncion: funcion handle @(x) f(x)% Salida% u: vector - solucion aproximada

% longitud de los sub-intervalosh = 1/(NumNodesIn+1);% discretizacion dominioNodes = (0:h:1);% numero de nodos (incluyendo frontera)n = size(Nodes,2); % o n=NumNodesIn+2%Nodos Dirichlet - depende del dominioDirNodes =[1,n];% Nodos libresFreeNodes = setdiff(1:n,DirNodes);% Condicon de fronterau(DirNodes) = [0 0];% matriz del sistemaA = -1/h^2*gallery(tridiag,n,1,-2,1);%nOnes = ones(n, 1) ;%A = diag(2 * nOnes, 0) - diag(nOnes(1:n-1), -1) - diag(nOnes(1:n-1), 1);% lado derechoB = MiFuncion(Nodes);% solucionu(FreeNodes) = A(FreeNodes,FreeNodes)\B(FreeNodes);plot(Nodes,u)end

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