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Principios del anlisis numrico
Catalina Domnguez,
Universidad del Norte
Maestra en Ciencias Bsicas
Semestre II de 2015
Pgina 1 Semana 1 30 Agosto de 2015 Domnguez C.
Principios
Anlisis Numrico
Desarrollo e investigacin de mtodos constructivos para la solucin
numrica de problemas en matemticas, ingeniera y/o practicas
cientficas.
Principal objetivo: proveer mtodos numricos eficientes para el
computo de una solucin.
Conceptos fundamentales
1 Consistencia y estabilidad de un mtodo numrico
2 convergencia del mtodo numrico
Pgina 2 Semana 1 30 Agosto de 2015 Domnguez C.
Principios del anlisis numrico
Problema
Encontrar x tal queF (x, d) = 0
donde
d: conjunto de datos
F : funcional que relaciona x y d
Clasificacin
1 Directos: F y d son dados.
2 Inversos: F y x son dados.
3 Identificacin: x y d son dados.
Pgina 3 Semana 1 30 Agosto de 2015 Domnguez C.
Problema:
Encontrar x tal queF (x, d) = 0
Problema bien puesto
El problema anterior es bien puesto si admite una nica solucin x, y stadepende continuamente de los datos.
En caso contrario decimos que el problema esta mal puesto.
Ejemplo
El problema de encontrar las races de un polinomio, no depende
continuamente de los coeficientes:
Las races de p(x) = x2 + a desaparecen cuando a < 0.
p(x) = x4 (2a 1)x2 + a(a 1)
Dependencia continua de datos significa una pequea perturbacin en los
datos resulta en pequeas variaciones de la solucin.
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Estabilidad Numrica
Sea D el conjunto de datos admisibles y d D, denotamos por d unaperturbacin admisible, es decir, d+ d D y sea x la correspondienteperturbacin de la solucin, es decir,
F (x+ x, d+ d) = 0
Numero de condicin relativo
K(d) = sup{x/xd/d
, d 6= 0, d+ d D}
Numero de condicin absoluto
Kabs(d) = sup{xd
, d 6= 0, d+ d D}
El problema es mal condicionado siK(d) es grande para cualquier datoadmisible d.
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Si el problema admite una nica solucin, entonces existe una aplicacin G(resolvente) tal que
x = G(d), es decir F (G(d), d) = 0
Por tanto, x+ x = G(d+ x). Aplicando expansion de Taylor
G(d+ d) G(d) = G(d)d + o(d), d 0
entonces
K(d) = supd+dD
x/x
d/d
G(d + d) G(d)/G(d)
d/d=G(d)d
G(d)
d
d
=G(d)d
G(d)
Pgina 6 Semana 1 30 Agosto de 2015 Domnguez C.
Numero de condicin de una matriz
Considere el problema de resolver el sistema lineal
Ax = b
siendo A Mn,n no singular, entonces
K(b) A1b
A1b=A1Ax
x AA1 =: K(A)
Numero de condicin de una matriz A
K(A) := AA1
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Definicin
La aplicacin
: Rmn R
define una norma matricial sii
1 A 0 para toda A Rmn y A = 0 A = 0
2 A = || A para toda R, A Rmn
3 A+B A+ B para toda A,B Rmn
Una norma matricial es compatible con una norma vectorial si
Ax A x
Ejercicio
La norma matricial F (de Frobenius) es compatible con la normavectorial euclidiana 2
Pgina 8 Semana 1 30 Agosto de 2015 Domnguez C.
Teorema [arteroni, Th. 1.1]
Sea una norma vectorial. La funcin
A := supx 6=0
Ax
x
es una norma matricial, la cual se dice norma matricial inducida o
norma matricial natural.
Pgina 9 Semana 1 30 Agosto de 2015 Domnguez C.
Sistema lineal de ecuaciones: Aplicaciones
{u = f(x, u(x)), x (0, 1)
u(0) = u(1) = 0
1 Problema de vibraciones
de una cuerda o una
barra
2 Problema de conduccin
de calor
Diferencias finitas
1 Escoger n nodos equidistantes del intervalo (0, 1)
0 1xjb bb b b
xj = jh j = 0, . . . , n+ 1
h = 1/(n + 1);
2 Usando diferencias centrales
u(xj) 1
h2
(u(xj+1) 2u(xj) + u(xj1)
)3
1 ( )Pgina 10 Semana 1 30 Agosto de 2015 Domnguez C.
Diferencias finitas
Usando la expansion de Taylor
f(a+ h) = f(a) + f (a)h+f (a)
2h2 + +
f (n)(a)
n!hn +Rn(x),
truncando la serie se puede aproximar f (a) mediante
f (a) =f(a+ h) f(a)
hDiferencias progresivas
f (a) =f(a) f(a h)
hDiferencias regresivas
f (a) =f(a+ h/2) f(a h/2)
hDiferencias centrales
Derivada de 2do orden: diferencias centrales
f (a) =f(a+ h) 2f(a) + f(a h)
h2
Pgina 11 Semana 1 30 Agosto de 2015 Domnguez C.
function Ej1DiferenciasFinitas1D(N,MiFuncion)
% Esta programa resuleve el problema de valores de frontera
% -u(x) = f(x,u)
% u(0) = u(1) = 0
% usando diferencias finitas centrales.
% Entrada:
% N : numero de nodos (no incluye 0,1)
% MiFuncion: funcion handle @(x) f(x)
% Salida
% u: vector - solucion aproximada
% longitud de los sub-intervalos
h = 1/(N+1);
% discretizacion dominio
Nodes = (0:h:1);
% numero de nodos (incluyendo frontera)
n = size(Nodes,2); % o n=N+2
%Nodos Dirichlet - depende del dominio
DirNodes =[1,n];
% Nodos libres
FreeNodes = setdiff(1:n,DirNodes);
% Condicon de frontera
u(DirNodes) = [0 0];
% matriz del sistema
A = -1/h^2*gallery(tridiag,n,1,-2,1);
%nOnes = ones(n, 1) ;
%A = diag(2 * nOnes, 0) - diag(nOnes(1:n-1), -1) - diag(nOnes(1:n-1), 1);
% lado derecho
B = MiFuncion(Nodes);
% solucion
u(FreeNodes) = A(FreeNodes,FreeNodes)\B(FreeNodes);
plot(Nodes,u)
end
Pgina 12 Semana 1 30 Agosto de 2015 Domnguez C.
Kress, Rainer
Numerical analysis,
Graduate Texts in Mathematics
181,
Springer-Verlag,
1998,
arteroni, Alfio M. and Saleri, Fausto and Sacco, Riccardo
Numerical Mathematics,
Text in applied mathematics 37,
Springer Verlag, New York,
2000,
Demmel, James W.
Applied numerical linear algebra,
Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM),
1997,
Mathews, John H. Fink, Kurtis D.
Mtodos numricos con MATLAB 3ED
Prentice Hall
2000
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