Semana 6

1

Centro Preuniversitario de la UNS S-06 Ingreso Directo

).(T.RCo220

90R

).(T.R360

180R

)(RT

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

CEPUNS

Ciclo 2013-III

TRIGONOMETRÍA “Reducción al Primer Cuadrante” Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.

Objetivos:

Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver

problemas con reducción al primer cuadrante. Aplicar técnicas empleadas en la comprobación de diversas identidades.

Aplicar razones trigonométricas equivalentes de ángulos mayores a 360°, menores a 360º y negativos.

Def inición:

Es el procedim iento m ediante el cual se determ inan las razones trigonom étricas de un ángulo que no es a gudo, en función de otro que sí lo sea.

La conversión de una razón trigonométrica (R.T) de u n ángulo cualquiera en otra razón equivalente de un á ngulo del primer cuadrante se llama:”reducción al pr imer cuadrante” También reducir al prim er cuadrante un ángulo significa encontrar los valores de las RT de cualquier á ngulo en forma directa mediante reglas prácticas.

Casos:

I. Ángulos cuyas medidas están en

<90º ; 360º>: En este caso, el ángulo original "α" se descom pone com o la suma o resta de un ángulo cuadrantal (90º ; 180º ; 270º ó 360º) con un ángulo qu e sea agudo; para luego aplicar :

Donde el signo que deberá anteponerse al resultado dependerá del cuadrante al que pertenezca el ángulo original " α "

Por ejemplo; calculemos:

*

*

*

*

II. Ángulo cuya medida es mayor que 360º: En este caso, se procede de la siguiente manera:

Por ejemplo, calculemos:

*

R.T.( ) R.T.( )

: no es agudo : sí es agudo

).(T.RCo220

90R

).(T.R360

180R

)(RT

2

3º30Cos)30º90(Senº120Sen

)(

2

1º60Cos)º60º180(Cosº120Cos

)(

3º30Cot)º30º270(Tanº240Tan

)(

2º30Csc)º30º360(Cscº330Csc

)(

R.T. ( ) = R.T. ( ) ; donde 360º

q

Residuo

2

3º60Senº2580Sen * Tan 3285º = Tan45º = 1

2580º 360º

2520º 7

60º

3285º 360º

3240º 9

45º

Semana Nº 6

Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.

2


*

Si el ángulo estuv iese expresado en radianes, se pr ocede de la siguiente manera:

*

Es decir, si fuese: Se divide:

*

III. Ángulos de medida negativa: Se

procede de la siguiente manera:


*

*

IV. Ángulos relacionados:

1 .

2 .


En esta expresión note que:

Luego:

Reduciendo, quedaría C = 0

ROBLEMAS RESUELTOS

1. Reducir:

tg º sec ºsen( º )Q

cos( º ) ctg º csc º

270 90180

90 360 180

A) 0 B) -3 C)-1 D) 3 E) 1

RESOLUCIÓN

sen ctg cscQ

sen ctg csc

Q 1 1 1 1

2

3º60Senº2580Sen * Tan 3285º = Tan45º = 1

2580º 360º

2520º 7

60º

3285º 360º

3240º 9

45º

Sec1200º = Sec120º = Sec(90º + 30º) = Csc30º = 2

1200º 360º

1080º 3

120º

( )

133 4

132 33

1

127 6

126 21

1

12

1Sen

2Sen133

2

1

3

1Cos

3127Cos

*

133 4

132 33

1

127 6

126 21

1

12

1Sen

2Sen133

2

1

3

1Cos

3127Cos

*

2ba ; b

a.T.R

a 2bq

r este residuo reemplaza al numerador "a"

1315 8

51 164

35

3

1345

31345Sen

*

4

3Tan

41315Tan

Sen(-x) = -Senx Csc(-x) = -Cscx

Cos(-x) = Cosx Sec(-x) = Secx

Tan(-x) = - Tanx Cot(-x) = - Cotx

2

2º45Sen)º45(Sen

2

1º60Cos)º60(Cos

3)º30Cot()º30º90(Tanº120Tan)º120(Tan

)(

TanyTanx

CosyCosx

SenySenx

180ºyx : Si

TanyTanx

CosyCosx

SenySenx

360ºyx : Si

7

6Cos

7

5Cos

7

4Cos

7

3Cos

7

2Cos

7CosC

7

6Cos

7Cos

7

6

7

7

5Cos

7

2Cos

7

5

7

2

7

4Cos

7

3Cos

7

4

7

3

7

6Cos

7

5Cos

7

4Cos

7

4Cos

7

5Cos

7

6Cos C


3


RPTA.: C

2. Si

3

Calcule: sen cos

P

sec csc

15 92

927 1683

2 2

A) 3

16

B) 1

16

C) 1

16

D) 3/16 E) 5

16

RESOLUCIÓN

sen 15 sen 15 sen sen

cos cos 92

csc sec

1683

2

927sec csc

2

Reemplazando:

sen cos sen cosP

1csc sen

sen cos

sen cos 2 2

reemplazando:

3

P sen cos

2 2

3 3

2 2

3 1 3

2 2 16

RPTA.: A

3. Reduce:

cos x cos x cos xW

sen x

24 53

47

2

A) -1 B) 1 C) -3 D) 3 E) 0

RESOLUCIÓN

* cos x cosx

* cos x cos x cosx 24 2 12

* cos x cos x 53 52 cos x cosx

* sen x sen x

47 47

2 2

cosx cosx cosxW

cosx

W = 1 RPTA.: B

4. Siendo “ ” y “ ” las medidas de dos

ángulos complementarios:

32

23

64cos

42cos

ctg

tgQ

A) -1 B) 1 C) 0 D) -2 E) 2

RESOLUCIÓN

* 90

* cos cos 2 4 2 2 2 cos cos 180 2 2

* cos cos 4 6 4 4 2 cos 360º 2 cos2

* tg 3 2 tg 2 2 tg 180º tg

* ctg ctg 2 3 2 2 ctg ctg 180

cos tg cos

Q Qcos ctg cos

2 2

2 180 2

tg

ctg

90

RPTA.: D

5. Reducir:

3 4 67 7 7 7

H cos cos cos cos

A) 0 B) 1 C) 2 D) ½ E) 3

RESOLUCIÓN

3 4 67 7 7 7

H cos cos cos cos

sen x

322

2

22cos

2cos

ctg

ctgQ


4


3 3H cos cos cos cos

7 7 7 7

H cos7

3cos

7

3cos

7

cos

7

H = 0 RPTA.: A

6. Si: ctg20 a

Calcule: csc200ºsen110ºEcos290ºcsc430º

A) a B) -a C) 2a D)

2a E) 1

RESOLUCIÓN

( ) ( )

( )

csc200 sen110E ( )cos290 csc430

csc20 sen70E

sen20 csc70

csc20 cos20E

sen20 sec20

2

2

cos 20ºE

sen 20º

2

cos20E

sen20

2E ctg 20º

2E a RPTA.: D

ROBLEMA DE CLASE

1) Si , simplifique:

1º9022

122

CosCos

CosSenF

A) - 1

B) - ½

C) 0 D) ½ E) 1

2) Si SenA +2Cos2A = 0, Calcule el valor de F , Si:

ASenACosACxc

ATgASecACtgF

º360.º180.º180

º90.º180.º270

A) –8

B) -5

C) 5/4 D) 0 E) 8

3) Al reducir: (Examen de admisión 2011 – II)

xsenxctg

xxxtgR

40.2

91

90sec.2

37cos.99

a) 1 b) senx c) cosx d) - secx e) cscx

4) Si: cos 10º = a. ¿a que es igual

E = sen100º.cos190º? a) a b) 2a c) a/2 d) a2 e) -a2

(Segundo examen sumativo 2011 – II)

5) ¿Qué relación existe entre a y b? sabiendo que:

04

b2a36Ctg

8

b3a2Tg

a) ½ b) 1/3 c) ¼ d) 1/5 e) 1/6

6) Cuál es la relación que existe entre x e y.

2

89

10

2415

10

40 Cos

yxCtg

xTg

a) 2y = 3x b) y = 3x c) 2y – 3x = k d) y = 3x + k e) 2y – 3x = 2k

7) Sabiendo que:

Entonces el valor de: M = |sen + csc| en

términos de K es: (k > 0)

A)2K B) 1/K C) 2/K D) E)

8) En un cuadrilátero convexo ABCD se cumple:

Entonces el valor del ángulo D es:

A) 45º B) 60º C) 90º D) 135º E) 150º

)sencos(2

77ctg

2

37Ksen

2

)1k( 2

k

)1k( 2

2

C

2

B

2

Asen

2

C

2

B

2

Acos)CBA(sen 22


5


9) Analice la veracidad de las proposiciones

siendo , Zn i . SennSen )(

ii .

6

5

6

5

2

3

3

2 CtgTgTg

iii . )()781( CosSecCosSec

iv.

xCtg

xnCtg

113

a) FFFF b) FFVF c) FVVV d) FVVF e) VFVF

10) Si a y b son ángulos complementarios,

simplificar la expresión:

baTgabCos

abTgbaSenM

1110.54

1413.76

a) -2 b) -1 c) 2 d) 0 e) 1

11) Calcular el valor de F, Si:

12

31

12

29

12

23

12

11

CtgTg

CtgTg

F

A) 2

3

B) 2

2 C) 2

3 D) 3 E) 32

12) Calcular:

osTér

CosCosCosCosR

min29

30

29...

30

3

30

2

30

a) 0 b) 1 c) - 1 d) 2 e) – 2

13) En el triángulo ABC, Simplifique la expresión F, si:

2.

2.

2.

ASenCBCos

BASec

CSenCBCscSenA

F

A) CBSen B) CBCos C) 0 D) 1 E) 2

14) Si entonces al simplificar:

Se obtiene:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5

15) Si a y c son suplementarios, además a y b son complementarios. Reducir:

)(

)(

)(

)34()32cos(4

cbaSen

cbaSen

cbatg

cbCsccaM

a) -3 b)2 c) -1 d)-2 e) 0

16) Calcular el valor de

ZkkCos

SecSen

Tg

E

;2

)12(

6

253

3

109

6

143

a) 7

2 b) 7

2

c) 21

32 d) 21

32

e)15

32

PROBLEMA DE REPASO

1. Hallar s ot

x

y

(x;-5)13

a) 2/3 b)-3/2 c) -2/3 d)3/2 e) -2

2. Calcular el valor de:

os os n

os (

)

x y2

3secx.sec y cos(8x 9y)F

tgx tgy sen(9x 8y)


6


x

y

a) n b) n c)-1 d) n e)1

3. Si se cumple: *

+ [ ]

[ ] *

+

2/3

Calcular: a) -2/3 b) -3/2 c) 2/3 d) 1 e) 1/3

4. Si : s

; s

D t rmin r l v lor d ‘‘m’’ qu h qu sean suplementarios. a) 1/2 b) -1/2 c) -1/4 d) 0 e) ¼

5. Si: es centro, hallar: n| | | ot |

x

y

3

21

O1

a) -2 b) 2 c) 0 d) 10/3 e) -10/3

6. Si:

∑ (

) ∑ (

)

Calcule:

∑ *

+

a) 0 b) -1 c) 1 d) 2 e) -2

7. Si ABCD es un cuadrado, calcular:

A

B C

D

M

a)-2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

8. Hallar: Ctg si ‘‘ ’’ s ntro

3

2

1

O

a)31/11 b)11/31 c) -31/11

d) -11/31 e) -1/3

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Semana 6