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Apresentação
Este material foi organizado pelo professor Zulli. Vale ressaltar que foi disponibilizado
para a SEDUC – MT pelo professor para o projeto Pré-Enem Digit@l Gold.
Triângulo Semelhantes
Dois triângulos são semelhantes quando possuem os três ângulos ordenadamente
congruentes (mesma medida) e os lados correspondentes proporcionais. Usamos o símbolo
~ para indicar que dois triângulos são semelhantes.
Para saber quais são os lados proporcionais, primeiro devemos identificar os ângulos
de mesma medida. Os lados homólogos (correspondentes) serão os lados opostos a esses
ângulos
Para identificar se dois triângulos são semelhantes, basta verificar alguns elementos:
1º Caso: Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos de um são congruentes a dois do
outro. Critério AA (Ângulo, Ângulo).
2º Caso: Dois triângulos são semelhantes se os três lados de um são proporcionais aos três
lados do outro. Critério LLL (Lado, Lado, Lado).
3º Caso: Dois triângulos são semelhantes se possuem um ângulo congruente compreendido
entre lados proporcionais. Critério LAL (Lado, Ângulo, Lado).
Atividades
1) Escreva a relação entre os triângulos.
Resolução: observe que no triângulo PDA, o ângulo P é congruente ao ângulo G do triângulo
GIH, pois ambos são 45°. Observe também que o ângulo D é congruente ao ângulo I, pois
ambos medem 75° e, consequentemente, o ângulo A é congruente ao ângulo H.
2) Escreva a relação entre os triângulos.
Resolução comentada: observe que no triângulo SFV, o ângulo V é congruente ao ângulo
N do triângulo JBN, pois ambos são 90°. Observe também que o ângulo F é congruente ao
ângulo B, e, consequentemente, o ângulo S é congruente ao ângulo J.
3) Determine a altura do prédio da imagem a seguir, sabendo que os lados EC e FG são
perpendiculares a CD; e EC e FG são paralelos entre si.
Resolução: Analisando a imagem, o vértice C mede 90°, pois a altura de um prédio sempre
determina um ângulo reto com a base. Como a reta FG é paralela à reta EC então podemos
concluir que o ângulo G também é um ângulo reto. O ângulo D é comum aos dois triângulos,
logo temos triângulos semelhantes pois:
{𝑪 ≡ 𝑫𝑫 ≡ 𝑫
𝒍𝒐𝒈𝒐 𝒐 ∆𝑪𝑫𝑬 ~ ∆𝑮𝑫𝑭
Denominando a altura do prédio de CE, teremos que:
𝐶𝐸
5=
5218
8 ⇔ 8𝐶𝐸 = 26090 ⟺ 𝐶𝐸 =
26090
8 ⟺ 𝐶𝐸 = 3261,25 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠.
4) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A, ADEF é um quadrado, AB = 2cm e AC =
6cm. Quanto mede o lado do quadrado?
5) Determine a medida da reta AC abaixo.
Resolução: O ângulo C do triângulo CBA é congruente ao ângulo D triângulo DBE pois são
ângulos de 90° (reto). O ângulo B do triângulo CBA é congruente ao ângulo B do triangulo
DBE pois são opostos pelo vértice. Dessa forma, temos que ∆𝑪𝑩𝑨 ~ ∆𝑫𝑩𝑬. Assim:
𝒙
𝟑 =
𝟐𝟕
𝟒, 𝟓
𝟒, 𝟓𝒙 = 𝟖𝟏
𝒙 = 𝟏𝟖
6) Para determinar a largura de um lago, foi utilizado o esquema representado pela figura
abaixo, em que CD // AB. Qual é a largura do lago?
Resolução: O ângulo A do triângulo ACB e o ângulo
D do triângulo DEB são ângulos de 90° (reto) pois são
vértices do quadrado. O ângulo C do triângulo ACB é
congruente ao ângulo E do triângulo DEB pois as retas
AC e DE são paralelas. ∆𝑨𝑪𝑩 ~ ∆𝑫𝑬𝑩 Assim,
nomeando o lado do quadrado de x temos que, DB =
2 – x. Portanto:
𝟐
𝟐 − 𝒙 =
𝟔
𝒙
𝟐𝒙 = 𝟏𝟐 − 𝟔𝒙
𝟐𝒙 + 𝟔𝒙 = 𝟏𝟐
𝟖𝒙 = 𝟏𝟐
𝒙 = 𝟏, 𝟓
Resolução: O ângulo C do triângulo CPD é congruente ao ângulo a triângulo APB pois as
retas DC e BA são paralelas e, pelo mesmo motivo, o ângulo D do triângulo CPD é
congruente ao ângulo B do triangulo APB. Dessa forma, temos que ∆𝑪𝑷𝑫 ~ ∆𝑨𝑷𝑩. Dessa
forma, denominando a largura do rio de CD, temos:
𝑪𝑫
𝟏𝟎𝟎 =
𝟐𝟎𝟎
𝟖𝟎
𝟖𝟎𝑪𝑫 = 𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎
𝒙 = 𝟐𝟓𝟎