ALAN V. OPP NHEIM ALAN S. WILLSKVs.HAMID MAWAB

CONTENIDOp en"clO

XVII

RECONOCIMI F""'TOSPs IIX.o

xxv

XXVII

1 SE.r.ES y SISTEMASJ ,oIntrodnrdn

11

J

1.1

Seales roatin.... y disaela J 1.1.1 Ejemplos y re presentacin matciMtica 1.1.2 Seales de energa y de potencia 5

1.3 Seiiales upoaeadales y seDOidalts 14 1.3.1 Seales continuas exponencial compleja y senoidal 15 1.3.2 SenaJes discretas exponencial compleja y senoidal 21 1.3.3 Propiedades de periodicidad de exponenciales discretas

25

J ,6,4

ESlabilidadI jnealidad

48

1.6.51,6,6

Invariancia en el tiempo53

50

1,7

ResgW'OPmbltmU

56

57

2

S ISTEMAS LINE ALES INVA RIANTES EN EL TIEMP O 742 ,02.1

Intmdllf'Ji6n

7475

SgemulJ1dk'dos:lemm,de mem'ed6n

vII

..111

Contenido7S

2.1.1 2. 1.2

La re presentacin de sellales discretas en tnninos de los impulsos La respuesta al impulso unitario discreto y la representacin de la suma de convolucin de sistemas 1 TI 77

l.J

Propiedades de los sistemas lineales e invariantes en el tiem po

103

2.3.6 Causalidad para los sistemas LTI 11 2 2.3.7 Eslabilidad para los sistemas LTI 11 3 2.3.8 Respuesta al escaln unitario de un sistema l TI

liS

242

2.S

2.6

ECllQciones de dife rencias lineales con coefici entes constantes 12 1 2.4.3 Representacin en diagrama de bloque de sistemas de primer orden descritos mediante ecuaciones diferenciales y de diferencias 124 Fundones singulares 127 2.5.1 El impulso uni tario como un pulso eorlo idealiUldo 128 2.5.2 Definicin del impulso unitario mediante la convolucin 131 2.5.3 Dobletes unitarios y otras runciones singulares 132 Resumen 137 problemas 137

3O

lol rud"cdp

In

3.1 3.2 3.3

Un. perspedj". hb:lriea 178 La respuesta de sistemas LTlIII exponenciales complejas 182 Re presentadn en series de Fourier de sellles peridicas continWll5

186

3.3.23A 3.5

Detenninacin de la re presentacin en series de Fourier de una seal peridica continua 190 202

Con"eraenda de las series de Fourier 195 Propiedades de la serie continua de rourier 3 5 l linealidad 202 3.5.2 Desplazamiento de tiem po 202 3.5.3 Inversin de tiempo 203 3.5.4 Escalamiento de tiempo 204

Contenido

,.

3.6

Repraentadn en series de Fouricr de sea-h. PCri6dic:u discretas 3.6.1 Combinacio nes li neales de exponenciales com plejas n:lacjonadas armnicamente 211

2.11

3.7.3 3.7.4 3.8

Re lacin de Parseval para seales peridicas discretas E jemplos 223

223

Serie de Fourier y sistemas LTI 3.9. 1 3.9.2

Z26

3.9 filtrado bUf1urQS conformadores de frecue ncia 232 Eltros sele ctiyos e n frecuencia 236

3.10

Ejemplos de filtros continuos desultos mfldl-nte ecuacioaes dlftreod.la 219

,

3.11

Ejemplos de filtros CSCft'tos desailos medlnte tI'dones de d jfere ng " 244 3.11 .1 Filtros recursivos discre tos de primer o rden 244 3 11 2 E h ms D O reo lDivos discretos 245Resumen 149

3.12

Problrm.s

250

4

T,A TRANSFORMADA CONTINlJA

DE FOlIRIER4O'ntrndu""n 181

284

4.1

Representacin de seales .peridicas: La tnlnsfonn.... conlln,,' de Fom"'" W I

4.3

Proptedades de .. tnlm'onn.... coaliDua de Fourier4 .3 . I I iDeal jd a d 301

300

4.3.5 Escalamiento de tie mpo y de frecue ncia 308 4.3.6 Dualidad 309437 Relacin de pacsc: ya l 312

Contenido

4.44.3

u

propledltd de coDvolud6n 4.4.1 Ejemplos 317

314

La propiedad de multipliadn 322 4.5.1 Filtrado selectivo en frecuencia con frecuencia central variableT.blas de las proptect.des de Fourier y de 105 plll"eS bsicos de traDsrormaclr de Fotlrier 328

325

4.6

4.74.8

Sistemas amtderiudos por eaaadones diferendales lineales COII cocfideoles roastaates 330

RHumen

333 Problemas JJ4

5

LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE TIEMPO DISCRETO 3585.0 5.1 Inlrodumn 358 Represellhldn de seDales 8periclkas: La tnnsrofQ! da de Fourier de tiempo discnto 359

de la conve rge ncia asociados con la transformada 5.2

Sol

366 La tnMrormacb de FOUJer pan RWes perlclkas 367 Propiedades de 1IIlrusrormad' de Fourier de tiempo disaeto

de Fo urier de tiempo discreto

5.4

5.3.1 53.2 5.3.3 Desplazamiento de tiempo y desplazamiento de frec uencia 5.3.4 Conjugacin y simetrfa conjugada 375 5.3.5 Dife renciaci n y acumulacin 375 5.3.6 Inve rsi n e n tie mpo 376 5.3.7 Expansin en tiempo 377 5.3.8 Diferenciacin e n frecuencia 380 5.3.9 La relacin de Parseval 380 La propiedad de eODyoludD 38Z 5.4.1 Ejemplos 383La propied.llcl de muftipUcadn

372 Periodicidad de la transformada de Fouricr de tiempo discreto linealidad de la transformada de Fourier 373373

373

50S5.6 5.7

388

Tablas de las propiedades de la fransronneda de Fourier y pares b"Kos de la tramronnad' de Fomer 390 Dualidad 390 5.7.1 Dualidad en la serie discre ta de Fourier 39 1 5.7.2 Dualidad entre la transrormada de Fourier de tiempo discreto y la serie continua de Fouricr 395

S.8

Sldcma earadcrizados por eroadoDes en direrendas UneaJes con c:ocfirientes l'Omtantes 396

Contenido5.9 RHllmcn 399 400

.,

problemas

6

CARACTERIZACIN EN TIEMPO Y FRECUENCIA 423 DE SEALES Y SISTEMAS6.0 6.1 Introducci611 423 423 Represenl.d6n de l. magnitud-fase de l. traruformada de Fourier Repiesentad6n de la magnitud-fase de l. respuesta en frecuend. de siste m s LTI 427 6.2.1 Fases lineal y no lineal 428 6.2.2 Retardo de grupo 430 6.2.3 Magnitud logartmica y diagramas de Bode 436 Propiedades en el dominio delllempo de nUros ideales selectivos en fruenda 439Aspectos en el dOnUnlo del tiempo y en el dominio de la treroenda de los rutros no kleales 444

6.2

6.3

6A

60S Sistemas continuos de primer y segundo rdenes 4486.5. 1 6.5.2 6.5.36.6

Sistemas continuos de primer orden 448 Sistemas continuos de segundo orden 451 Diagramas de Bode para respuestas en frecuencia racionales

456

Sistemas discretos de primer y segundo 6rdenes 461 6.6.1 Sistemas discretos de primer orden 461 6.6.2 Sistemas discretos de segundo orden 46S Ejemplos de . n"isis de sistemas en el dominio del tiempo y de la fretDenda 472 6.7. 1 A nlisis de un sistema de suspensin para automvil 6.7.2 Ejemplos de filtros discretos no recunivos 476 Resnmen 481 Problemas483

6.7

473

6.8

7

M UESTREO7.0

514514

Introduttin

7.1

Repiuenhld6n de una seal continua mediante sus muestras: EltcorfliUl de muestreo S15 7.1.1 Muestreocontrendeimpulsos 516 7.1.2 Muestreo con un retenedor de orden cero 520 Reconstruccin de una seala partir de sus m..esbas IIS.....O la InlHpOlad6n S22 El dedo del submuestreo: Traslape 527 Proco samienlo discreto de seialu colltinllAS 7.4.1 Diferenciador digital 54 1 7.4.2 Retardo de media muestra 543 Muesbw de seales dJsc:n:tas S4.5 7.5. 1 Muestreo con tren de impulsos 545

7.27.3

7.4

.5J4

7.5

xII

Contenido549

7.5.2 7.6

Decimacin en tiempo discreto e interpolacin 555 SS6

Resumen Problemas

8

SISTEMAS DE COMUNICACIN8.08.1

582S8J585I

Introducdn

582

Moduladn de amrlitud con exponendal romp&eja y RDOidaI

8.1.18.1.2

Modulacin de amplitud con una portadora exponencial compleja 583Modulacin de amplitud con una portadora senoidal

8.2

Demodulacin para AM senoklal S87 8.2.1 Demodulacin sncrona 587 8.2.2 Oemodulacin asfncrona 590Multiplexaje por divisin de I'remenda S94 Modulacin de ampUtud RDOida! de boda laten.! nk:a S97601

8.3 8.48.5

ModuJadn de amplitud ron una portadora de tren de pulsos

8.5.1 Modulacin de una portadora de tren de pulsos8.5.2 8.6 Multiplexaje por divisin de tiempo 604 Moduladn de amplitud de pulsos 604 8.6.1 Seales moduladas por amplitud de pulsos 604 8.6.2 Interferencia intersfmbolo en sistemas PAM 6f1l 8.6.3 Modulacin di gital por amplitud de pulsos y por codificacin de pulsos 610

601

8.7

8.8

8.9

Modullldn de frttutnda 5enoklal 6U 8.7.1 Modulacin de frecuencia de banda a ngosla 613 8.7.2 Modulacin de frecuencia de banda ancha 615 8.7.3 Se al modulado ra de o nda cuadrada peridica 617 Modulacin dlscnla 619 g.8.1 Modulacin de amplilUd scnoida! discreta 619 8.8.2 Transmodulaci6 n de tiempo discre to 623 Resumen 613Problemas 625

9

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE9.0 9.1 9.2

654662

Introduccin

654

La lransfonnada de Laplace La regi6n de con~'erenda

65S pan las Inns'onnad" de LaplHe

9.39.4

La trans'ormada in1"ef$a de Laplace

670

Evaluacin geomtrica de la transformada de Fourier a partir del diagrama de polos y ceros . 674 9.4.1 Siste mas de primer orden 676 9.4.2 Siste mas de segundo o rde n n 9.4.3 Siste mas pasa todo 68! Propiedades de la transformada de Lapl.Ke 682

9.5

Contenido Linealidad de la transformada de Laplace 683 Desplazamie nto en el tiempo 684 Desplazamie nto e n el dominio de s 685 Escalamienlo en tiempo 685 Conjugacin 687 Propiedad de convolucin 687 Diferenciacin e n el dominio del tiempo 688 9.5.8 Dife renciacin e n el dominio de s 688 9.5.9 Integracin en el dominio del tiempo 690 9.5. 10 Los teoremas de valor inicial y de valor final 690 9.5.11 Tabla de propiedades 691 9.6 9.1 Alcunos pares de transfonn ed" de ....pIlIa: 692 An'lk's y tanCterad60 de los sistendll LTI ..... ndo la transl'onn-d- de ....plKe 693 9.7.1 Causalidad 693 9.7.2 Estabilidad 695 9.7.3 Sistemas Lll caracterizados por ecuaciones dife renciales lineales con coefici entes constantes 698 9.7.4 Ejemplos que relacionan el comportamiento del sistema con la funcin del siste ma 701 9.7.5 Filtros Butterworth 703 lgebn de la rwtd6n dd sistema y reprneatada ea cUapama de bloqoes 1(16 9.8.1 Funciones del sistema para interconexiones de sistemas LTI 7fJ1 9.8.2 Re presentaciones en diagrama de bloques para los sistemas Lll causales descritos por ecuaciones diferenciales y funci ones racionales del sistema 708 9.5.1 9.5.2 9.5.3 9.5.4 9.5.5 9.5.6 9.5.7

xiii

9.8

9.9

.... tramronn ed aau.teral de .... place 714 9.9.1 Ejemplo de transformadas unilaterales de Laplace 714 9.9.2 Propiedades de la transformada unilateral de Laplace 716 9.9.3 Solucin de ecuaciones diferenciales usando la unila teral transformada de Laplace 719 9.10 R...,qmea 720

Proble mu

721

10 LA TRANSFORMADA Z10.0 bltrodacda 741 741 10.1 .... madona.... z 10.3 .... tnasronnlldl z lllYcrsa

741748

10.1 .... rei6n de ooaverxeltd. de la trusrornaHa t

157

JOA Evaluada pomtrica de II tI1Insr~ de Fourier a partirdel diagta m de polos Y (erOl 763 IOAl Siste mas de prime r orden 763 10.4.2 Sistemas de segundo o rden 765 10.5 Propiedlclcs de II tnn"ormlldl 10.5.1 lJnealidad 767

z

767

...Desplazamiento en tiempo 767 10.5.3 Escalamiento en el dominio de z 768 10.5.4 Inversin de tiempo 769 10.5.5 Expansin en el tiempo 769 10.5.6 Conjugacin 770 10.5.7 Propiedad de convolucin no 105.8 Diferenciacin en el dominio de z m 105.9 Teorema del valor inicial 773 105.10 Resumen de propiedades 774 10.6 Algunos pares comunes de tnlmlorm ad Z' 714 10.7 Anlisis y canderlzadn de los Aistemas LTI uunclo

ICOntenido

10.5.2

w

lraDsfonnada Z'

714

10.7.1 10.7.2 10.7.3

10.7.4

Causalidad 776 Estabilidad 777 Sistemas Lll caracterizados por ecuaciones de diferencias lineales con coeficienles constantes m Ejemplos que relacionan el comportamiento del sistema con la funcin del sistema 781

10.8 lgebn de rundn del sistema y representadones ca diagramas de bloqHS 78J 10.8.1 Funciones de sistema de interconexiones de sistemas LTI 784 10.8.2 Represenlaciones en diagramas de bloques para los sistemas LTI causales descritos por ecuaciones de diferencias y funciones de sistema racionales 78410.9 La trandol'l11ll.... t unilateral 789 10.9.1 Ejemplos de transformadas t unilaterales y transformadas inversas 790 10.9.2 Propiedades de la transformada t unilateral 79210.9.3 Solucin de ecuaciones de diferencias usp ndo la transformada t unilateral 795 10.10 Resumen 796 Problentall 797

11

SISTEMAS LINEALES RETROALIMENTADOS8198ZO

816

lLO lntroduc:dn 816 11.1 Sistemas lineales retroalimenUMIos

11.2 Algunas apllc:adonH y consecuendu de .. retrOllUmeatad6a t 1.2.l Diseo de un sistema inverso 820

I

11 .2.2 Compensacin de elementos no ideales 821 11 .2.3 Estabilizacin de sistemas inestables 823 11.2.4 Sistemas retroalimentados para datos muestreados 826 11.2.5 Sistemas de rastreo 828 11 .2.6 Desestabilizacin causada por la retroalimentacin 830 11.3 Anlilil dclluar eomtrico de las nkes de los .sistemas lineales retroaUmentHos 831 11.3.1 Un ejemplo introductorio 833

,

Contenido

geomtrico de tas ralees

84 1

U.4 El criterio de estabilidad de N)'quist

846

,El criterio de Nyquist para sistemas LTI retroaJimentados discrelos 856 U.s Mrgenes de ganancia y rase 858 11 ,6 ResumCD 866 11.4.3

Problemas

867

A r ;' NDl CE

EXPANSI N EN F R .\ CCIO NES p ARCIAl ES

909

Bmlloc RAFA

921 93 1

R F.S PIIESTASI NDlCE

94 ]

PREFACIOEste libro es la segunda edicin de un texto disei'lado para cursos de seales y sistemas a nh" l c licenciatura. Si bien tales cursos se e ncuentran con frecuencia en los programas de Ingeniera Elctrica, los conceptos y las tcnicas que confo rma n el ncleo de este tema son de funda mental importancia para todas las disciplinas de la inge nierfa. Oc hecho, el alca nce de las aplicaciones actuales y potenciales de los m todos de anlisis de seftaJes y sistemas contina expandindose a medida que los ingenieros se enfrentan a nuevos retos que involucran la sntesis o el anlisis de procesos complejos. Por estas razones senlimos que un curso de seales y sistemas no slo constituye un e lemento esencial de los programas de ingeniera, sino que tambin puede llegar a ser uno de los cursos ms gratificanles, estimulantes y l1tiles que los estudian tes de ingenierfa pueden tomar durante su educacin a nive llicencialura. Nuestro tratamiento del te ma de sei'iales y sistemas en esta segunda edici n conserva la misma filoscO:. general de la primera edicin, pero con cambios significativos en la redaccin y la estructuracin. adems de contar con algunas adicio nes. Estos cambios se han disellado tanto para a uxiliar al instructo r en la presen tacin de material como para ayudar al est udiante a do minarlo. E n el prefacio de la primera ed icin establecimos que nuestro e nfoque general de las sel\ales y los siste mas habla sido guiado por el continuo desarro llo de tecnologlas para el disello y puesta en prctica de senales y siste mas. razn por la cual resulta cada vez ms importante para un estudiante estar familiarizado con tcnicas 3decuadas para anali7.ar y sintetizar sistemas tanto continuos como discretos. Al mo mento de eS 88

20--0200~-"OO"'-800~~'800""-c',~OOO~,~~ , O entonces, forzosa me nte, E.. ;; gr;. Esto. por supuesto, tiene sentido, ya que si hay una e nerga promedio diferente de C4!ro por unidad de tiempo (es decir, potencia dife rente de cero), entonces integrando o s umando sta sobre un inte;valo de tie mpo infmito se obtiene una cantidad infinita de energla. Por ejemplo, la seal constante xln J =- 4 tiene energfa infinita. pero la potencia promedio es P.. "" 16. Tambin hay seales para las cuales ni P.. ni E- son finit as. Un simple eje mplo es la seftal x(t) "" t. Encontra re mos otros ejemplos de seftales e n cada una de estas clases en el resto de este y los siguientes capitules. 1.2 TRANSFORMACIONES DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE Un concepto central en el anlisis de seales y siste mas es el de la transformacin de una seal. Por ejemplo. e n el siste ma de control de un avin,las seftales correspondientes a las acciones del piloto son transformadas mediante sistemas elctricos y mecnicos en cambios en el empuje del avin o en las posiciones de sus superficies de control,como el limn o los alerones. los cuales a su vez son transformados a travs de la dinmica y cinemtica del vehfculo en cambios de velocidad y direccin del avin. De la misma forma . en un sistema de audio de alta fidelidad , una sei'ial de enlrada que repre5enta la mLlsica grabada en una cinta o en un disco compacto se modifica para enriquecer las caractersticas deseables, eliminar el ruido de la grabacin o balancear los diversos componentes de la seal (es decir. agudos y graves). En esta seccin nos enfocaremos e n una clase muy limitada. pero importante, de transformaciones de seales eleme ntales que involucran modificaciones sencillas de la variable independiente, es decir, el eje del tiempo. Como veremos e n esta seccin y en las subsecuentes de este capitulo. dichas transformaciones cle nle ntales nos permiten introducir varias propiedades bsicas de las seales y Jos sistemas. En los capitulos posteriores encontraremOs que tambi n juegan un importante papel en la definicin y caracterizacin de clases de sistemas mucho ms ricas e importantes.

Seriales y sistemas

capitulo 1

1.2.1 Ejemplos de transfo.maciones de la v.n.bIe Incleplndllnt.

Un ejemplo simple '1 muy importante de transformacin de la vari.able independiente de una seal es un corrimiento de tiempo. En la figura L8 se ilustra un corrimiento discreto en el cual tencmos dos seales x(n) '1 x(n - nol que son id~n li cas en forma pero estn desplazadas una con respecto a la otra. Tambin encontraremos corrimientos continuos, como se ilustra en la figura 1.9, en la cual x(r - ro) represe nta una versin de x(t) retar-

dada (si lo es positivo) o adelantada (si lo es negativo). Las seftales que estn relacionadasde esta forma se presentan en aplicaciones como el radar, el sonar y el procesamiento de

seales ssmicas. en las cuales varios receptores situados en diferentes localizabiones delectan una scilal que est siendo transmitida a trav& de un cierto medio (agua, roca, aire, ete.). En este caso, la diferencia en el tiempo de propagacin desde el punto de origen de la seal transmitida a cualquier par de receptores tiene como resultado un corrimiento de tiempo entre las seales obtenidas por los dos receptores. Una segunda transformacin bsica del eje del tiempo es la inlltrswn de tiempo. Por ejemplo. como se ilustra en la figura 1.1O. la seftal x[- n] se obtiene a partir de la seftal .r{n] mediante un reflejo respecto a n : O (es decir. invirtiendo la senal). De manera similar, como se ilustra en la figura 1.1 1, x( - t) se obtiene a partir de la senal x(t) mediante el reflejo de 1 "" O. Esto es, si X(I) representa una sel\al de audio grabada en una cinta, entonces x( - 1) es la misma grabacin pero tocada en sentido conlrario. Otra transformacin es la de escalamiento de tionpo. En la figura 1.12 hemos ilustrado tres seales,x(t).x(21) y x(rI2), que estn relacionadas por cambios lineales de escala en la variable independiente. Si pensamos nuevamente en el ejemplo de X(I) como una grabacin en cinta. entonces x(21) es la grabacin tocada al doble de la velocidad y X(112) es la grabacin tocada a media velocidad Con frecuencia resulta interesante determinar el efecto de transformar la variable independiente de una sei\al x(r) determinada para obtener una senaJ de la forma x(at + /1), donde a y fJ son mlmeros dados.. Esta transformacin de la variable independiente con serva la forma de x(r), excepto que la serial resultante puede ser alargada linealmente si lal < 1, comprimida linealmente si lal > 1, invertida en tiempo si a < 0, y desplazada en tiempo si fJ es diferente de cero. Esto se ilustra en los siguientes ejemplos.

"

,..".

Sellales discretas

rC/onadas por un corrlmlento de tiempo. En esta figura ~ > O .de manera que xln - ~ll$ una versin atrasada de xln) (es cIecIr. cada punlo en x[nl ocurre ms

tarde en xln -

~ll .

Seccin 1.2

Transformaciones de fa variable independiente

,xi- nI

K{t-tal

,Fl4ur. 1.9 Sellares continuas relacionadas mediante un corrimiento de tlempo. En !sta figura. ~ < O. d! manera que A'(t - ob) !s una versin adelantada de.-(I) (es decir, cada punto en.-(I) ocurre con anticipacin en A'(t - ~)).~)

Flgur. , . , O (a) Una sellal discreta xjnl; (b) su reflejo xl -nI alr8{je{jor de n .. O .

oI~

,

,

K( - I )

,'1 2, x(lr) tambifn el cero para t > ,.

Ejemplo 1.3Suponga que deseamos determinar el efecto que tendra transforma r la variable independiente de una sel\al determinada,x(r), para obtener una seilal de la forma x(ar + 13), donde a y fJ 50n mimen)5 dados. Una aproximacin sistemtiea para hacerlo consiste en retardar o ade lantar X(I) de acuerdo con el valor de 13 y despufs realizar el escalamien10 de tiempo y/o la inversin de tiempo en la sel\al resultante de acue rdo con el valor de a. La sena! retardada o adelantada le alarga linealmente si lal < 1, se comprime linealmente si lal > I Yse invierte en tiempo si a < O. Para ilustrar esta aproximacin, mostraremos cmo se determina XUI + 1) para la sel\al x(r} mostrada en la figura 1.1 3(a). Ya que 13 - 1. primero adelantamos (corrimiento a la izquierda)x(I) una unidad como se muestra en la figura 1.13(b). Puesto que lal -1, podemos comprimir en forma lineal la senal desplazada de la figura 1. 13(b) medianle un ractor de I para obtener la senal mostrada en la figura l.I 3(e). Adems de su uso en la representacin de fenm e nos ffsicos como el corrimie nto de tiempo en una sei\al de sonar y el adelanto o retroceso de una cinta d e audio, las transformaciones de la variable independiente son extremadamente liles en el anlisis de sei\ales y sistemas. En la secci6n 1.6 y en el capitulo 2 usaremos transfo rmaciones de la variable independiente para introducir y analiza r las propiedades de los sislemas. Estas transformaciones tambin son im portanles para definir y examinar a lgu nas propiedades importantes de las sei\ales.

1.2.2 Seales perldk.sUn tipo importante de seilales que encontraremos con frecuencia e n lado el libro es la clase de sei\ales peri6dicas. Una sei\al peridica continua x(t) tiene la caracterstica de que hay un valor positivo T para el cual

x(t) "" x(t + 7)

(1.11)

para lodos los valores de t. En otras palabras. una sei\al peridica ti e ne la propiedad de que no cambia para un corrimiento de tiempo T. En este caso d ecimos que X(I) es peridica con periodo T. Las sedales peridicas continuas surgen en una gran variedad de contextos. Por ejemplo, como se ilustra en el problema 2.61. la respuesta natural de sislemas en los cuales se conserva la energa, como los circuitos Le ideales sin disipaci6 n de energfa resistiva y los sistemas mecnicos ideales sin prdidas por fricci 6 n, son seales peridicas y de hecho, estn compuestas de algunas de las sel'lales peridicas bsicas que presentaremos e n la secci6n 1.3.

..."

Seales y sislemas

Capftulo 1

- 2T

--:'.---' - ' ' - _L-'---}---'LL-k--',-T O T 2T I

Figura'.' 4 Una senal peridica continua.

En la figura 1.14 se muestra un ejemplo de una seal peridica continua. A partir de la fi gura o de la ecuacin (l. U ) podemos deducir fcilmenle que si x(t) es peridica con periodo r, entonces xC,) = x(t + mI) para toda t y para cualquier entero m. Por tanto, x(t) tambin es peridica con periodos 2T. 3T. 4T, ... E l p~riodo fillldam~mal To de x(r) es el valor positivo ms pequeilo de T para el cual la ecuacin (1. JI ) se satisface. Esta definicin del periodo fundamental es vlida excepto cuando x(t) es una constante. En este caso el periodo fundamental es indefinido ya que x(t) es peridica para cualquier valor de T (de manera que no hay un valor positivo ms pequeo). U na seal x( r) que es no peridica se conoce como una seal aperidica.

Las seales peridicas discretas son definidas de manera analgica. Especfficamente, una seal discreta .1'(11) es peridica con periodo N. donde N es un entero positivo. si no cambia con un corrimiento de tiempo de N. es decir. sixiII ) '" xln +N)

(1.12)

para todos los valores de ti . Si la ecuacin (1.12) se satisfa ce, entonces x{n) es tambi6n peridica con periodos 2N, 3N, ... El periodo fundamM/af No es el valor positivo mspeq ue o dc N para el c ual la ecuacin ( 1.12) se satisface. En la figura I . IS se m uestra un

ejemplo de una seal peridica discreta con periodo rundamental No = 3.xln)

.- ..EjemplO 1.4

Figura' . ' 5 Una senal perldiea discreta con periodo lun'

damentalAb '"' 3.

Permftasenos mostra r el tipo de resolucin de problemas que se requiere para determi D si una sei'l al dada es o no es peridica. La seal cuya periodicidad se desea verificar ar est dada por cos(r) $i r < O ( 1.13)x(r) -

sen(t) si t

~

O

.

De la lrigonometrfa ube mos que cos(! + 2'/1') - cos(!) y sen(! + 2'/1') - sen(r). Asf. con &iderando a r > O Ya r < O por separado. vemos que x(r) se repite sobre cada intervalo de longitud 2'/1'. Sin embargo,como se iluma en la figura 1.16,x( t) tambic! n tie ne una discontinuidad en el origen del tiempo que no repite en ningn olro mome nto. Puesto que cada caracterfstica en la forma de una seal peridica d,.1n repctil'5C peridicamente, concluill105 que la sell.al x(r) no es peridica.

Seccin 1.2

Transformaciones de la variable independiente

..6. ,en el ejemplo 1.4.

2.

oconsl~rada

f~ur.

1. 16

la sena! Atl)

1.Z.3 Seales par e Impar Otro conjunto de propiedades tiles de las senales est relacionado con la simetra que presentan con la invenin de tiempo. Una seal x(r) o X[II J es conocida como una seal par si es idntica a su contraparte invertida en el tiempo, es decir. con su renejo respecto del origen. En tiempo continuo una seal es par six(-r)E

X(l),

(\.14) (\.15) ( \.16) (\.17)

mientras que una senal en tiempo discreto es par si

xl - n] :: xIII].A una seal se le considera impar si

x(- t);; -x(t) ,

xl - n]

=

- xln).

Una seal impar debe ser necesariamente Oen f = Oo n = O. ya que las ecuaciones (1.16) y (1.17) requieren que x{O) = - x(O) y x(OJ = -x[O]. En la figura 1.17 se muestran ejemplos de sei\ales par e impar continua.

-~.L'-------o.----------' ~-----;,

..

,~)

Flgur. 1. 17 (a) Una seRa! par continua; (b) una seRallmpar

continua.

lI[nJ -

Sei'lales y sistemas

capitulo 1

,- 3- 2 - 1

1,0;10 0 0,0 o

'h ..o1 2 3

- 3- 2- 1

-1. 0 O ; .flgur. l.J1

La ecuacin (1.67) se ilustra en la figura 1.31. En este caso el valor difercnlc de cero de{n - k] se encuentra en el valor de k igual a n, por lo cual nuevamenle vemos que la sumatoria en la ecuacin (1.67) es Opara n < OY1 para 11 2: O . Una interpretacin de la ecuacin (1.67) es semejante a la superposicin de impulsos retrasados; es decir, la ecuacin se puede ver como la suma de un impulso unitario {nJ en 11 ,., 0, un impulso unitario {n - Ij en n = 1, Yotro, 8[11 - 21 ,en 11 '"" 2, CIC. En el capitulo 2 haremos un uso explfcilo de esta interpretacin. La secuencia impulso unitario se puede utilizar para obtener muestras del valor de una seal e n n = O. En particular. ya que 8(n ) es diferente de cero (e igual al) slo para n E O, se desprende que, (n('1n(~

,(O('1n(.11

(1.68)= ~,

De manera ms general. si consideramos un impulso unitario 6(1/ - nol en toncesx(n )8(II - 1101 = x(/to]8(n - 110).

en-

(1.69)

Esta propiedad de muestreo del impulso unitario juega un papel central en los capftulos 2 y 7.1.4.2 Las funciones contlnu.as esc.aln untt.rto e Impulso unlurtoLa funcin acal6n unitario u(r) continua se define de manera similar a su conlraparte

discreta. Espedficamente11 () t

""

O. [ l.

t

O

>O

,

(1.70)

como se muestra en la figura 1.32. Obserye que el escaln unitario es discontinuo en I = O. la funcin impulso unitario 6(1) continua est relacionada con el escaln unitario de manera anloga a la relacin que existe entre las funciones discretas impulso unitario y

seccin 1.4

Las funciones impulso unitario y escaln unitario

..

,-----_ _ _..., _ _ _ _ _ _ _ _ _---,

o

t

1.12 Funcin escaln unitario continuo.F~ur.

escaln unitario. En particular. el escaln unitario continuo es la impulso unitariou(r) ""

;nl~grol cOnfin/la

del

f . 6(.,)d1:

(1.71)

lo anterior tambi ~ n sugiere una relacin entre c5(r) y u(,) anloga a la expresin para 6(11) en la ecuacin (1.65). En particular, a partir de la ecuacin (1.71) vemos que el impulso unitario continuo puede obtenerse de la primera derivada del escaln unitario continuo:" ) du(r) ",r - dt '

(1.72)

En contraste con el caso discreto, esta ecuacin presenta cierta dificultad fonnal como representacin de la funcin impulso unitario, ya que U(l) es discontinua en t '= O y, en consecuencia, fonnalmente no es diferenciable. Sin embargo, podemos interpretar la ecuacin (1 .72) al considerar una aproximacin del escaln unitario U.1(t). como se muestra en la figura l.33, la cual se eleva del valor O al valor 1 en un corto intervalo de tiem po de longitud d . Por supuesto. el escaln unitario cambia de valor instantneamente y entonces puede considerarse como una idealizacin tan corta de U~(l) para 11 que su duracin no es significativa para propsitos prcticos. De manera fonnal , (l) es ellfmite . de uJo(r) conforme 11 ... O Consideremos ahora la derivadaliJo(!) _ dJ;').

(1.73)

como se muestra en la figura 1.34.

,----~o~.~-----,1.JlI Aproximacin continua al escaln unitario uJo(~ .F~ur.

'.~

------~o

.--~ ,

flgur. 1.lI4U.1 ( ~ .

Derivada de

k1

5ei'iaJes y sistemas

capitulo 1

oFlgur. 1.55 ImpulSo unitario conUnuo.

1

oFlgur. 1.16 escalado. Impulso

1

Observe que Bl(t) es un pulso corto de duracin 6. y con un rea unitaria para cualquier valor de 6 . A medida que . ..... 0, lil(t) se vuelve ms angosto y ms alto. manteniendo su rea unitaria. Su fonna limite,

6(1)

= lnJ.

-o

6.1.(t) ,

(1.74)

puede considera rse como una idealizacin del pulso ,corto B.l,(t) conforme la duracin 11

se vuelve insignificante. De hecho. ya que 8(1) no tiene. duracin sino rea, para mostrarla adoptamos la nolacin grfica de la figura 1.35, donde la flecha en t = O indica que el rea del pulso est concentrada en t .,. O Y la altura de la flecha as! como el " .. a un lado de la misma se usan para representar el 6na del impulso. De manera ms general, un impulso escalado kO(t) tendr un rea k. y entonces

f.

kB(:r)dr - ku (t).

La fi gura 1.36 muestra un impulso escalado con rea k. donde se busc que la altura

de la necha utilizada para representar el impulso escalado fuera proporcional al rea del impulso. . Al igual que en tiempo discreto, podemos proporcionar una imerpretacin grfica sencilla de la integral continua de la ecuacin (1.71 ); esto se muestra en la figura 1.37. Ya que el rea del inlpulso unitario continuo 6('1) est concentrada en T '" O vemos que la , integrAl continua es O para t < O Y I para t > O Tambi~ n observamos que la relacin en . la ecuacin (1.71) entre el escaln y el impulso unitario continuos puede rescribirse en foro ma diferente, anloga a la fonna discreta de la ecuacin (1.67), cambiando la variable de integracin de '1 a u :c t - r.u(t) =

f.

6('1)d'1 =

J:

8(1 - u)(-du),

o. en fonna equivalente,u(t) ""

L -

li(t - u)du.

(1.75)

La interpretacin grfi ca de esta forma de relacin eDlre Il(t) y li(t) se muestra en

la figura 1.38. Puesto que en este caso el rea de 8(t - u) est concentrada en el punto U "" t. de nuevo vemos que la integral en la ecuacin (1.75) es O para t < O Y 1 para t > O . Este tipo de interpretacin grfica del comportamiento dd impulso unitario dentro de una integracin ser extremadamente til en ~ I capftulo 2.

Seccin 1.4

Las funciones impulso unitario y escaln unitario

IntetVaIo de ln1egrr.c1n

JntetValo de Integracin

--------- ---.

!(t- a)

- ----- ----- ---- -- --

,

o

------, --~ o~----------~ .I~

Intervalo de inlegiClCi.'l

Intervalo de Integracln

----- --- -- ---- -- ---,

"',

- ---- -- ---- ---- ----

o1)

,

----------"*0---'- - - --::. 1)FI,ur. 1. J8 RelaCin dada en La ecuacin (1.75): (a) t < O (b) t > O ; .

Ftgur. 1 . 3:7 Integral continua dada en la ecuacin (1.71): (a) t < O (b) t > O ; .

Al igual que con el impulso discreto, el impulso continuo tiene una propiedad de muestreo muy importante. En particular. por di versas razones.. ser importanle considerar el producto de un impulso y runcionesx(t) continuas bien definidas. La inlerprelacin de esta cantidad se desarrolla con mayor facilidad usando la definicin de 6(,) de acuerdo con la ecuacin (1.74). Espedfi camente, considereX(t) :: x(t)8,1(I).

En la fi gura 1.39(a) hemos dibujado las dos funciones de tiempo x(t) y 6,1(t), y en la figu. ra 1.39(b) observamos una vista ampliada de la porcin diferente de cero del producto de ambas. Por construccin, x l(t) es cero fue ra del intervalo O s t S 6. Para A es suficiente menle pequei'l a de manera que X(I) sea ap roximadamente constante sobre este intervalo,

Ya que .s(t) es ellfmile a medida que .6. ..... O de 8l (t), tendre mos q uex(.)6(.) = x(O)6(.).

( 1.76)

Empleando el mismo argumento, tenemos una expresin anloga para un impulso concentrado en un pun to arbitra rio, digamos tOo Es decir.x(t)8 (1 - lo) .. X(lo)6(1 - lo).

..ro----------~,~.--------------c,lO

Seales y sistemas

Capitulo 1

',ro

-----------,-----. ---------;,~I

Flgr 1.19 El producto ,t(t6J,(t:(a) gf['[Jo[2 --.

') O~ + 2.0 ' B .

(2. JI)

Sistemas lineales Invariantes en el tiempo2

Capfiulo 2

0.5

o

,(oJ

k

n- 2 n- l

, , J' ,

h(fH4, n< O

"

- 2 -1

,, " , , -, , o o

o

k

.h{O- ~

k h(1- k) kh(2 - k)

'1 1 1 o ,2

kh[3- kj

o

'1 1 1 ,23

kh(n - k, n> 3

o 0>,

n--2 n- 1

1 11 ,

k

Flgwa Z.. Interpretacin de la ecuacin (2.6) para las seftaJes h(n] y x[nJ en la figuI1 2.3: (al la senal xl.,. y lb) la seI\aI h(n - kJ como una funcin de koon n lijO) para diversos valores de n (n < O n - O 1, 2, 3; ; , n :> 3). Cada seftal se obtiene mediante el r~ y el corrimiento de la respuesta al Impulso unitario lI(ij. la respuesta y(n) para cada Y3Ior de n se obtiene multiplicando las sel\ales x[kI y hin - kJ en (b) y (e) y sumando despu6s lOs productos sobre todos los valores de t El clculo de este ejemplo se detalla en el ejemplo 2.2.

r (31 -

-

x(kJh(2 - kl - 2 0.

(2.12)

Fnalrnc nlC, para n > 3, el producto xlkJhln - k) es cero para toda k. a partir de lo cual concluimos que J(n] - O para n :> J. Los valores de salida resultantes concuerdan con los obtenidos en el ejemplo 2.1.

Seccin 2.1

Sistemas lTl discretos: la suma de convolucin

..

Ejemplo 2.3Considere una entrada x[n) y una respuesta al impulso unitario hIn) dada por

con < a < 1. Estas se ~ales se ilustran en la figura 2.5. Adems, para ayudamos a visualizar y calcular la ca nvolucin de las sei'lalcs.en la figura 2.6 hemos dibujado la senal x(k) seguida por hl - k] ,h( - 1 - kJy hll - kJ(cs decir, hin - kJ para n ., 0, - 1 Y + 1) y, finalmente, hIn - k] para un valor pO!5itivo arbitrario de n y un valor negativo arbitrario de n. De esta figura podemos observar que, para n < 0, no hay traslape entre puntos diferentC$ de cero en x!k] y hin - k] . Entonces, para n < O ,xlk]hln - k] .. Opara todos los valores de k , y en consecuencia, de la ecuacin (2.6) vemos que ,,[n) - O n < O Para , . n ~ O. a., O s k s n x[k]h[n - kJ - { O, con Olro valor '

xln) - a"u[n], hln) - ulnl.

x(n) - a"u[n)

ohin) - u[n)

(o)

oFlg",.2.5

(b)

"

Las sel\ales x[ n y /l[ n del ejemplo 2.3.

Asf. para n

~

O.,,(n] ,,"

.

: a -,

t,

y usando el resultado del problema 1.54 se puede escribir como,,[n) =

: ~ ~O

..

ak

=

1-

a..... ]

1- a

paran ~ O.

(2.13)

Entonces. para toda n.,,(nj -

(\-"."')u[n].\ - "

La se ~al "In] est representada en la figura 2.7.

Sistemas lineales Invariantes en el tiempo

Captulo 2

xfkl - ., \.[k)

(o)

k

TlITI

lb)hl- 1- kl

k

,-'O

(o)

k

hll - k)

Flgur. 2 . 6 Interpretacin Ofifica del ~lCulO de la suma de convolucin del ejemplo 2.3.

Seccin 2.1

Sistemas lTI discretos: La suma de convoluciny(o)

.s

(1-a'" 1) ulo) ,-.

Figura 2 . 7

Salida par.1!1 ejemplo 2.3.H

La operacin de convolucin algunas veces se describe en trminos de "deslizar la secuencia hin - kl sobre xlkl. Por ejemplo. suponga que hemos evaluado ylnl para algn valor particular de 11 . digamos./l = Ilo. Esto es. hemos dibujado la seftalll lno - kl.la hemos multiplicado por la senal x[k) y sumado el resultado con todos los valores de k. Para evalua r JI"I en el siguiente valor de 11 - es decir. n ::: 110 + 1-. necesitamos dibujar la seftal 111(110 + 1) - kl. Sin embargo. esto se puede hacer tomando simplemenle la seft al l/f IlO kl Ydesplazndola un punto a la derecha. Para cada valor sucesivo de 11 . continuamos con el proceso de desplazar h[1I - kl un punlo a la derecha, mulliplicarla por xlkl y sumar el resultado sobre k.

Ejemplo 2.4Como un ejemplo adicional. con~idere las dO$ secuencias

,

x["I -

{

o.

1.

O SnS 4 con otro valor

h" [1

( O.

a".

Os " s6 con otro valor .

Es las sel'lales estn represen tadas en la figura 2.8 para un valor posi tivo de a > 1. Para calcul ar la convolucin de las dos sel'lales. resulla conven iente considerar cinco interva los separados para ". Esto se ilustra en la fi gura 2.9. 1. Para n < O. no hay traslape en tre las porciones diferentes de cero de x[k) y hIn - kJ. Y en consecue ncia, y[n) = O.Inle~lo

Inlen1llo 2. Para O S " S 4.xfkJh[n -

""-'. kl - { o.

OskSn con otro valor '

Sistemas lineales invariantes en el liempox[o)

Capftulo 2

--~~~.c.+-+-o ,

.

- 2 -1

2 3 4 5~)

6~7~~~-----: ,

.

Flgur. 2..Asf. en este intervalo.

Las sellales a convoluclonarse en el ejemplo 2.4.

)'["1 -

" L

a" - k,

(2.14)

Oo'

Podemos evaluar esta suma medi ante: el uso de la frmul a de: suma fi nil a, ecuacin

(2.13). Espectficamc: ntc. cambiando la variable de la sumalora en la ecuacin (2.14) de k a , - " - k. obtenemos

, [II J-

.1 -,

:t 0' -

I - a" H1 - (1

.ti

lalft"Yalo 3. Para " > 4 pero 11 - 6 :so O (es decir. 4 .o(n) y

...

L L L

--..

x(m + xJx(m]

~,,[nJ =

"'~,,[nJ =y

y las funciones de corrdaci6n cruzada estn dadas por

--

y[m + n)y[mJ

...~,,[n[ -

---

x[m + n)y[m[

L-.y[m + nl.:,.[n J y ~[n) son funciones par, mientras que 4>z,.{nJ ... 4>,..[ -n}. (a) Calcule las ~cuencias de autocorrelacin para las ~ales xl[n]. x2[n1. xlln] y x.(n] mostradas en la figura P2.6S. (b) Calcule las ~cuencias de correlacin cruzada4>A..,lnJ,i

'* j.

i ,j - 1,2,3, 4,

para xiln]. i '"' 1.2. 3. 4, como se muestra en la figura P2.6S. (t) Sea x[n) la entrada de un sistema LTl con respuesta a la muestra unitaria hIn}. y sea y(n) su salida correspondiente. Encuentre expresiones para ~lnJ y ,py,[n] en trminos de 4>.:,.[n] y hIn]. Demuestre la forma en que 4>z,ln] y I,br,(n} ~ pueden ver como la salida de sistemas LTl con 4>.:,.[n 1 como entrada. (Haga esto

Capitulo 2

Problemas

lO.Xl

o1

.'111. 2 3

[ni

,"-1

1

~

Inl

-.~~~ O~,LT2~.-___ _, "-1

,

2

,

x, [ni

JI,.

Inl

-, 01

" Flgur.

.1 .r... J ,O

" Z.65

"

especificando de manera explcita la respuesta al impulso de cada uno de los dos sistemas.} (d) Sea hIn] = xlln] en la figu ra P2.6S. y sea >,(n) la salida del sistema LTI con respuesta al impulso hIn] cuando la entrada xf"] es tambin igual a xl(n]. Calcule tAo,ln] y 4o,:,[n] usando los resultados de la parte (e). 2.66. Sean h l(I} , h2(t) y h](t). bosquejadas en la figura n .66. las respuestas al impulso de tres sistemas LTI. Estas tres sei\aJes se conocen como funciones de Walrh y son de considerable importancia prctica porque se pueden generar fcilmente con circuitos lgicos digitales y porque la multiplicacin por cada una de estas funcion es puede llevarse a cabo con facilidad mediante un interruptor inversor de polaridad.

,f-

, -,3

-,

,

,

,

2

3

,

(a) Detennme y dibuje su seleccin para XI(I), una sei\al continua que tiene las si-

guientes propiedades: (i) XI(t) es reaJ. (ii) XI(t)= O para t < o. (i) !x1(t)1 s 1 para toda f c: o. (iv) >'I(t) a XI(t) h(t } es tan grande como sea posible en t '" 4. (h) Repi ta la parte (a) para Xl(t) y Xl(') haciendo n (t) ;: Xl(t) h2(t) Y)'J(t) '" X)(I) hl(t) cada una tan grande como sea posible en t '" 4. (e:) Cul es el valor deY';'r)e

x~t)

hp). i

*j

ent '" 4parai. j '" 1,2,31

170

Sistemas lineales-Invariantes en el tiempo

Capitulo 2

El sistema con respuesta al impulso h(r) se conoce como filtro de acoplam;mto para la seal x(r) ya que la respuesta al impulso se sintoniza con x{r) para producir la sei'lal de salida mxima. En el siguiente problema. relacionamos el concepto de filtro de acoplamiento con el de la (uncin de correlacin para seales continuas. 2.67. La funcidn de cornlaci6n cruzada entre dos sedales reales continuas X(I) y )'(1) es

tfJ~(t) : : :en la ecuacin (P2.67-1):

L:.(I +

r)Y(T)dT.

(P2.67-1)

La funcin de autoco"dacin de una seal.r(r) se obtiene al establecer y(r) ... X(I)

q,.u(t)

=

L+:X(t + T).r(T)d'l".

(a) Calcule la funcin de autoco rrelaci6n para las dos seales XI(I) y Xl(r) representadas en la figura n .67(a).

,o2

,

, -,-

,

2

3

S

7

,

,-

,2 3

-, ,

, - , -,~)

2

3

,

(b) Sea X(I) una senal dada, y suponga que es. adems. de duracin fin ita, es decir, que x(t} = Opara t < OYt > T. Encuentre la respuesta al impulso de un sistema LTI de manera que t/Iu.(t - 7) es la salida si x(t) es la entrada. (l:) El sistema determinado en la parte (b) es un filtro de Dl:opltzmietlto para la seal x(l). De los datos siguientes se puede deducir que esta definicin de un filtro de acoplamiento es id6ntica a la introducida en el problema 2.66:

Capitulo 2

Problemas

nI

Sea x(r) como en la pa rte (b). y sea q ue y(t) denote la respuesta a x(t) de un sistema LTI con respuesta real al impulso h(t). Suponga q ue h(t) = Opara t < O Y para t > T. Demuestre que la seleccin de h(t) que maximiza y(7). sujeta sta a la limitacin de que

Lh (r)dt T 2

M , un nmero positivo fijo.

(P2.67-2)

es un mltiplo escalar de la respuesta al impulso determinada e n la parte (b). (Sugerencia: La desigua ldad de Schwartz establece q ue

para cualesquie ra dos sellales u(t) y V(I). U lilcela para o btener un limite sobre y(1)1 (d) La restriccin establecida por la ecuacin (P2.67-2) proporciona simplemente un escalamiento a la respuesta al impulso, ya que al increme ntarse M slo cambia 'il escalar multiplicador mencionado en la parte (e). Ento nces, ve mos que la seleccin particular de h(t) e n las partes (b) y (e) se igua la a la seftal x(t) para producir la salida mima. sta es una pro piedad en extremo importante e n dive~ aplicaciones, como indicaremos a continuacin. En problemas de comunicacin, de un pequefto nl1mero de posibles piezas de informacin con (recuencia se desea transmitir slo una. Por ejemplo. si un mensaje complejo se codifica e n una secuencia de dfgi tos binarios. pode mos imaginar un sistema que transmite la informacin bit por bit. Entonces, cada bit se puede transmitir mediante e l e nvo de una selial. digamos xo(t). si e l bit es un O o una seftal diferente x,(t) si es un 1 10 que debe comunicarse. E n este caso. . e l sistema receptor de dichas sedales debe ser capaz de reconocer si se ha recibido xo(r) o Xl(l). De manera intuitiva, lo que tie ne sentido es tener dos sis temas en el recepto r. uno sintonizado e n xo(t) y el otro en Xl(l). donde "sintoniza r" significa que e l sistema proporciona una gran salida despus de que se recibi la seftal para la que est! sintonizado. La propiedad de producir una salida grande cuando se recibe una seftal particular es precisamente la que posee e l filtro de acopla miento. E n la prctica, siempre hay distorsi n e interfere ncia e n los procesos de transmisin y recepcin. En consecuencia. q ue remos maximizar la dife rencia entre la respuesta de un filtro de acoplamiento a la e ntrada para la cual est sintonizado. y la respuesta del filtro a una de las otras seftales que puede se r transmitida. Para ilustrar este punto. conside re las dos seftales xo(t) y Xl(t) representadas e n la figura P2.67(b). Demos por sentado que Le deno ta e l filtro de acoplamiento para Xo(l) y L. de nota el filtro de acoplamie nto para x.(,). (i) Dibuje las respuestas de Lo a Xo(l) y X.(I) . H aga lo mismo para L . (i) Compa re los valores de estas respuestas e n f ." 4. Cu nto se puede modificar xo(t) de manera ta l que el receptor pueda distinguir ms rcilmente e ntre Xo(l) y X.(l) en que la respuesta de Le a X.(l) y la de L . a Xo(l) sean cero en 1'" 47 2.68. Otra aplicacin e n la cual juegan un papel importante los fil tros de acoplamiento y las funci ones de correlacin es en los sistemas de rada r. El principio bsico del radar consiste e n un pulso el ectroma~tico que se transmite a un objetivo; este

.. z

Sistemas lineales invariantes en el tiempo

caphulo 2

pulso ser reflejado por dicho objetivo y regresar al transmisor con un retraso proporcional a la distancia a la que se encuentra el objetivo. En forma ideal, la senal recibida ser una versin desplazada y posiblemente escalada de la sea] original trans mitida. Sea p(t) el pulso original que se e nva. Demuestre que

"'",,(0) = m~ "'",(1).8 10 es., cf>p,(O) es el valor ms grande que toma ,p,,(t). Utilice esta ecuacin para deducir que, si la forma de onda que regresa al transmisor es

X(I) - ap(1 donde a es una constante positiva, entoncestI>~p(to) -

rOJ,

m", ''~,.(t).

(Sugerencia: Use la desigualdad de Schwartz.)De eSle modo, la forma en la cual operan Jos sistemas sencillos de rastreo por radar se basa en el uso de un ftltrO de acoplamiento'parp. la fQrma de onda transmitida p(t) y en la anotacin del tiempo en el cual la salida de este sistema aleaDVI su mximo valor. 2.69. En la seccin 2.5 caracterizamos el doblete unitario mediante la ecuacin

X(/) u(t) =

L+.'-X{I -

.,)u(.,)d., '" X'(/)

(P2.69-I)

pa ra cualquier sei\al x{t). A partir de esta ecuacin, dedujimos la relacin

-

(P2.69-2)

(a) De muestre que la ecuacin (P2.69-2) es una caracterizacin equivalente de

III(t) probando que la ecuacin (P2.69-2) implica la ecuacin (2.69-1).(Sugeu,,da: Fije I y defina la sefial g(1') = X(I - t).) As, be mos visto que caracterizar el impulso unitario o el doblete unitario mediante el comportamiento bajo la convolucin es equivalente a caracterizar la fo nna en que se comporta bajo la integracin cuando se multiplica por una seal arbitraria g(/). De hecho, como se indic en la seccin 2.5, la equivalencia de estas defmiciones operacionales se cumple para todas las seftales y. en particular, para todas las funcion es singulares. (b) Seaf(t) una seftal dada. Demuestre quej{t)lI l (t) - j{O)ul (t ) - /,(O)8I...t)

mostrando que ambas funcion es lienen las mismas definiciones operacionales. (e) Cul es c:1 valor de

[ ..x( .,)u2( 1")d1'lEncuentre una expresin paraf(t)1I2(t) anloga a la de la partl (h) paraj{t)ul(t).

Capitulo 2

Problemas

170

2.70. En analoga con las funcione s singulares continuas, podemos definir un conjunto de sei\ales discretas. Especfficamente. sea u _ lln) '" uln),

/loln) '"y

6(n],

ul [n) = 6(/') - 6(n - 1).y definase

k veces

-

y

u. ln) '" I, _,(n ) . IL ,[nI ... " _,In}, k < O .

.

Ikj veces=

'

Observe que

xln] . D{n]

xl"]

xl" ) ,,ln) '"y

"' --.

L

x(m).

xiII) ./I(,,)(.) A qu corresponde

=

x[,,] - X[II - 1).

L x[mJII ,[mJ? (b) DemuC5tre que

xI")".!"]

=

x(O]u ,["] - [x(1] - x[OJ]D{n - 1]

=

xll]",I"] - Ixll] - x]OIl'i"]

(e) Grafique las seales /l2 y /lJ[n] . 1n] (d) Grafique IH ln) y I/-J(n). (1:) Demuestre que. en general. para k > O.

".t[n]

=

'(k n. _ n),Iulnl .

(- l )"k!

- ul" -

k -

In

(n.70- 1)

(Sugf!rcllcia: Utilice la induccin. De la parte (e), resulta evidente que u.!n) satisface la ecuacin (P2.70- 1) para k = 2 Y 3. Entonces. suponiendo q ue la ecuacin (P2.70-1) satisface u~lnl . escriba Ilt .. ,[n] en trminos de ".t["J. y demuestre q ue la ecuacin tam bin satisface u. .. ,ln) .)

. .4

Sistemas Iln83les Invariantes en el tiempo(f) Demuestre que, en general. para .k

Capitulo 2

> O.(P2.70-2)

_ (n+k - l)! u_..[n] - n!(k _ 1)! u[rI] .(Sugf!renc:ia: De nueva cuenta, utilice la induccin. Observe que

(P2.70-3) Entonces, consider:mdo que la ecuacin (P2.70-2) es vlida para u- tln]. use la ecuacin (P2.70-3) para demostrar q ue la ecuacin (P2.70-2) lam bi~ n es vida para II- IHI)[n].) . 2.71. En este caphulo hemos usado va rias propiedades e ideas que racilitan ampliamente

el anlisis de sistemas LTI. Entre

~$I as,

hay dos que deseamos analizar con ms

detalle. Como veremos ms adelante, en ciertos casos muy especiales se debe tener cuidado al usar dichas propiedades, pues de otro modo se pueden cumplir sin vali dacin. (a) Una de las propiedades bsicas y ms importantes de la convolucin (tanto continua como discreta) es la de asociatividad. EsIO es, si X(I), h(t) y gil) son tres seales, entonces (P2.7I -1) Esta relaci n se cumple en tanto las tres expresiones estn bien definidas y sean fi ni tas. Puesto que. en general se es el caso en la prctica. usaremos la propiedad de asociatividad sin comentarios ni consideraciones. Sin embargo, hay algunos casos en los que no se cumple. Por ejemplo, considere el sistema ilustrado en la figura n .7l, con h(l) .., U1(1) y git) .. U(I). Calcule la respuesta de este sistema a la ent rada

X(I) ""' 1 para toda t.

Ftgu,. PZ.71Realice esto en las tres diferentes formas indicadas por la ecuacin (P2.7I-I) y a partir de la figura: (i) Convolucionando primero las dos respuestas al impulso y convolucionando despus el resultado con X(I). (ii) Convolucionando primero x(t) con U(I) y convolucionando posteriormente el resultado con 11(1). (jii) Convolucionando primero X(I) con U(I) y convolucionando el resultado con III{t) .

Capitulo 2

Problemas

...h(l) =~ - fll (I) ,

(b) Repita la parte (a) para

y g(.) 30 /l l(l)

+ 6(1).

(e) Haga lo mismo para

x[nl,

=

Gt(~r,[nl,~n l

"[nl =g[nl =

-

;:~n

1

- 1[.

AsC pues, por lo general la propiedad de asociatividad de la convolucin

se cumple si y slo si las tres expresiones en la ecuacin (P2.71-1) tienen senlido (es decir. si y slo si su interpretacin en trminos de los sistemas LTI son significativas). Por ejemplo, en la parte (a), diferenciar una constante e integrarla despus tiene sentido, pero el proceso de integrar una constante desde t'" _!XI Y entonces diferenciarla no lo tiene. y es slo en tales casos que la asociatividad no se cumple. Muy relacionado con el anlisis anterior est un tema que involucra los sistemas inversos. Considere el sistema LTI con respuesta al impulso h(t) '" 11(1). Como vimos en la parte (a), hay entradas (especlficamente x(t) '" una constante diferente de cero) para las cuales la salida de este sistema es infi nita y, por tanto, no tiene importancia considerar el planleamiento de invertir esos sistemas para recuperar la entrada. Sin embargo, si nos limitamos a entradas que conduzcan a salidas fi nitas, esto es, entradas que satisfagan(P2.712)

,

entonces el sistema es invertible, y el sistema LTI con respuesta al impulso IIl(t) tiene su inverso. (d) Demuestre que el sistema LTI con respuesta al impulso IIl(r) no es invertible. (Sugerencia: Encuentre dos entradas diferentes que produzcan salida cero para todo tiempo.) Sin embargo, demuestre que el sistema es invertible si nos limitamos a entradas que satisfagan la ecuacin (P2.71-2).Sugerencia: En el problema 1.44. demostramos que un sistema Lll es invertible si ninguna entrada exceptox(r) '" Oproduce una salida que es cero para todo tiempo; existen dos entradas x(t) que satisfagan la ecuacin (P2.71-2) Yque conduzcan de manera idntica a respuestas cero cuando se convolucionan con u l{r)?] Lo que hemos ilustrado en este problema es lo siguiente: (1) Si x(t), h(t) y g{l) son tres seales, y si X(I). g(.),X(I) h(l) Yh(.). g(r) estn biell definidas y son finitas. entonces se cumple la propiedad de asociatividad, la ecuacin (P2.7 t -L).

...

Sistemas lineales invariantes en el tiempo

Capitulo 2

(2) Sea h(t) la respuesta al impulso de un sistema LTl, y suponga que la respuesta al impulso g(l) de un segundo sistema tiene la propiedadh(,) g(,) 6(,).

(P2.71-3)

Entonces, a partir de (1), para todas las entradas x(t) para las cuales X(I) 11(1) Y X(I) g(l) estn bien definidas y son fini tas, los dos sistemas en cascada ilustrados en la figura n .11 actan como el sistema identidad, y por lanlo, los dos sistema LTl pueden considerarse como inversos uno del Olro. Por ejemplo, si h(t) ::: U(I) y g(I) :::: Ul(t), entonces, en tanto nos limitemos a entradas que satisfagan la ecuacin (P2.71 -2), podremos considerar estos dos sistemas como inversos. Por tanto, vemos que la propiedad de asociativKla.d de la ecuacin (P2..lI- l ) y la

definicin de sistemas LTI inversos como fue proporcionada por la ecuacin(P2.7 1.3) son vlidas, en lanlo que las convoluciones involucradas sean finilas. Puesto que sle es el caso en cualquier problema real, usaremos en general estas propiedades sin comentario o validacin. Observe que, aunque hemos descrito gran parte de esle anlisis en lnnin05 de senales y sistemas continuos, los mismos puno lOS se aplican en el caso discreto (lo cual debe resultar evidente de la parte (e)]. 2.72. Sea que 8,\(,) denota el pulso rectangular de altu ra i para O < , :S .1. Verifique que

;;;86(') - " (6(,) - 6(, 2.13. Demuestre por induccin que/t - I

d

1

")1

" _t(t)

:a

(k _ I)! u(t) para k "" 1,2, 3, ...

REPRESENTACIN DE SEALES , PERIODICAS EN SERIES DE FOURIER

3 . 0 INTRODUCCiNLa representacin y el anlisis de los sistemas LTI mediame la suma de convolucin,

desarrollados en el captulo 2, se basa en la representacin de seales como una combinacin lineal de impulsos desplazados. En ste y en los dos siguientes caprtulos, exploraremos una representacin alternativa para sei\ales y sistemas LTI. Al igual que e n el captulo 2.el punto de partida para nuestro anlisis es el desarrollo de una representacinde seales como combinaciones lineales de un conjunto de seales bsicas. Para llevar a

cabo esta representacin alternativa usamos las exponenciales complejas. Las representaciones resultantes se conocen como la serie y la transronnada de Fourie r de tiempo continuo y de tiempo discreto. Como veremos ms adelante, stas se pueden usar para construir una amplia y til clase de seales. Posteriormente procederemos como lo hicimos en el captulo 2 Esto es. debido a la propiedad de superposicin, la respuesta de un sistema LTI a cualquier entrada que consista en una combinacin lineal de seales bsicas es la misma combinacin lineal de las respuestas individuales a cada una de dichas seales bsicas. En el capftulo 2 todas estas respuestas eran las versiones desplazadas de la respuesta al impulso unitario, 10 cual conduca a la suma o a la integral de convolucin. Como veremos en este captulo. la respuesta de un sistema LTI a una exponencial compleja tambin tiene una forma particularmente sencilla, la cual nos proporciona otra representacin conveniente para los sistemas LTI y otra forma analizar estos sistemas y obtener algn aprendizaje sobre sus propiedades. En este captulo dirigimos nuestra atencin a la representacin de las seales peridicas continuas y discretas conocidas como la serie de Fourier. En los captulos 4 y 5 ampliamos el anlisis a la representacin mediante la transformada de Fourier de la amplia clase de seales aperidicas y de energfa finita. Unidas, estas representaciones proporcionan uno de los ms poderosos e importantes conjuntos de herramientas as como las bases para analizar, diseftar y entender las seales y sistemas Lll, por 10 que dedicamos una considerable atencin en ste y en el siguiente captulo a explorar el uso de los mtodos de Fourier.

...

Representacin de sei'lales peridicas en series de Fourier

Gaprtulo 3

Iniciamos la siguiente seccin con una breve resea histrica que nos permita penetrar un poco en los conceplos y lemas que desarrollamos con ms de talle en las secciones y capltulos que le siguen. 3.1 UNA PERSPEClIVA HISI RICA

El desarrollo del anlisis de Fourier tiene una larga historia que involucra a un gran nmero de personas as! como la investigacin de muchos fenmenos fsicos difere nles. 1 E l concepto del empleo de ~sumas trigonomuicas" (esto es, las sumas de senos y cosenos relacionadas armnicamente, o las de exponenciales complejas peridicas. relacionadas en la misma (orma), para describir fenmenos peridicos dala cuando menos del tiempo de los babilonios, quienes utilizaron ideas de este tipo para predecir eventos astronmioos.2 La historia mode rna de esta mate ria empieza en 1748. cuando L. Euler examina el movimiento de una cue rda vibratoria. En la figura 3.1 mostramos algunos de los primeros "modos normales" de este tipo de cue rda. Si consideramos la deflexin vertical f(t. x) de la cuerda en el tie mpo t y a una distancia x a lo largo de la cuerda, e nto nces. para cualquier instante fijo de tiempo. los modos normales son funciones senoidales de x relacionadas armnicamente. Lo que Euler not fue que si la configuracin de una cuerda vib ra toria en algn punto del tiempo es una combinacin lineal de estos modos normales. tambin lo es su configuracin e n cualquier tiempo subsecuente. Ms an, Euler de mostr que uno pocHa calcular los coeficientes de la combinacin lineal para un tie mpo posterior de una manera muy directa a partir de los coeficientes del tiempo anterior. A l hacer esto, Euler haba dectuado el mismo tipo de clculo que nosotros ha remos en la prxima seccin cuando deduzcamos una de las propiedades de las sumas trigonomtricas que las hace n ta n tiles para el anlisis de los sistemas LTI. Especficamente. veremos que si la e ntrada a un sistema LTI se expresa como una combinacin lineal de exponenciales complejas peridicas o senoides. la salida tambin se puede expresar de esta forma, con coeficientes que estn relacionados de una forma directa con los de la entrada. La propiedad descrita en el prrafo precedente no sera de utilidad particular alguna si no fuera cierto que una amplia clase de funci ones interesantes puede representarse mediante combinaciones lineales de eq>Onenciales complejas. A mediados del siglo XVIII este punto fue motivo de un acalorado debate. En 1753 D. Bemo ulli argumen taba, con bases fsicas, que todos los movimientos Csicos de una cuerda podian ser represe ntados mediante combinaciones lineales de modos normales, pero l no sustent matemtica. mente estas ideas. por lo que no fueron acep tadas ampliamente. De hecho. el mismo Euler desca rt las series trigonom tricas. y en 1759 J. L Lagrange critic fuertemente su uso e n el examen de cuerdas vibratorias. Las crticas de Lagrange se basaban en su propia creencia de que era imposible representar seibles con esquinas (es decir. con pendientes discontinuas) e mpleando series trigonom tricas. Puesto que dicha configuracin surget E l mal~rial histrico ~n est~ capitulo fue lomado de las siguientes rdercnc:ias: l. Grltt&Q Guincu,1osf'plt f'oHrier. 1768- t8J() (Cambridge. Mass.: 1he MIT Presa. tm); F. Simmocu, Din~rtmfiDt EqulJfioIU: Wlt ApplCl/tiOlU lUId lIiJwriaU Nous (Nueva York: McGrlwHiU Book Company. I972); c.l..anc:zos.. DiK",,~ "" Fou.wr Seria (Londres: O iVC'r and Boyd. 1966); R. E. Ed ...ardl. FOuriu Sriu: A Mod~m tnrroducfOtl (Nueva York : Springer-Verlag. 2" ed . 197tl): y A. D. AkbandrO'l. A. N. Kol!tK>!ormr. y M. A.l..avn:nl'~v. MIJ/Itnrultia : tts CMltll'. MffloodJ, IJl1d Mtonlflg. Irld. por S. H. GouJd: vol. : trld. por K. Hinc:h: vol. iii (Cambridge, Masa.: The Mrr Prns, 19(9). De b1"" un rclato mucho m completo de la vida ycontrihuc:iones de Fourier puede enoon trllK en el libro de Granan-Guiness, Otru rclereooas tspedflCA'l se citan en varias panes del capitulo. 1H. Dym Y H. P. McKean. FoIlri,r s.-rid lUId InllgfQ/s (Nueva York: ACldcmic Prcss, 1m). Este lellO)' el librn de SimmOItS cuya rcfereoo. se cita en la nota l . tambi~n contienen discusiones del problema de la cuero da vibrltoria y de su papel en el desarrollo del an.flit,it de Fourier.

o.

Seccin 3.1

Una perspectiva histrica

17.

o

~--------''- de .. euerda largo

_ .. -- ---- --- ---- --- -, , '- ... _-_ ...

,P'lgur. 3.1 Modos normales de una cuerda en vibracin. (las Ifneas slidas Indican la conllguracln de cada uno de estos modos en algun Instante de tiempo lito t)

, , --,, ,, ,,-,, I

I

,,

,

--'

I

I

,

, ,'--

I

cuando se pulsa una cuerda (es decir. tensndola para despus soltarla), ti argumentaba que las series trigonomtricas eran de uso muy limitado. Fue dentro de este ambiente un tanto hostil y eSCl!ptico que Jean Baptiste Joseph Fourier (figura 3.2) present sus ideas medio siglo despus. Fourier naci el 21 de mano de 1768 en Auxerre, Francia, y para la poca en que entr en la controversia sobre las series trigonomtricas ya tenfa toda una vida de experiencias. Sus muchas contribuciones. en particuJar aquellas relativas a las series y transformadas que llevan su no mbre, son aun

Imagen protegida

pe d recho[n] + U-:!:4l,(n] + ...

+ a~Mnl

(3.97)

A partir de la ecuacin (3.86), llln) .. 4>,... [n) y e ntonces,. basndonos en la comparacin de las ecuaciones (3.96) y (3.97), d ebemos concluir que no = aNo En forma similar, haciendo que k flucte sobre cualquier conjunto de N enteros consecutivos y usando la ecuacin (3.86) podemos concluir que

(3.98)Esto es, si consideramos ms de N valores secuenciales de k, los valores de Qk se repetirn peridicamente con periodo N. Es importante interpretar este hecho cuidadosamente. E n particular, ya que hay slo N distintas exponenciales compleju que son peridicas con periodo N , la representacin en serie discreta de Fourier es una serie finita con N trminos. Por tanlO, si fijamos los N valores consecutivos de k sobre los cualesd e finimos la serie d e Fourier en la ecuacin (3.94), obtendremos un conjuntq, de exactamen te N coeficientes de Fourier a partir de la ecuacin (3.95). Por otro lado, en algunas ocasiones ser conveniente usar diferentes conjuntos de N valores de k y. en consecuencia. resulla til cons iderar la ecuacin (3.94) como una s uma de cualquier conjunto aTbiImrio de N valores sucesivos de k. Por esta razn. algunas veces es convenie nte pensar en a t co mo una secuencia definida para todos los valo res de k. pero slo N elementos sucesivos en esta secuencia sern usados en la representacin e n serie de Fourier. Ade ms. ya que ~(II ) se repite peridicamente con periodo N conforme va riamos k (ecuacin (3.86)1. tambin 10 debe hacer al;. !ecuacin (3.98). Este punto de vista se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.10

(3.99)

la cual es la contraparte discrela de la lei'lal XC - sen......, del ejemplo 3.3. xIn) es peI) ridica slo si 2vf~ es un enlero o una razn de enteras. Para el caso cuando 2vf,.,. sea un eOlero N. esto es.. cuando

x(nJ es peridica con periodo fundamental N. y obtenemos un result.c\o que es exactamenle anlogo al caso continuo. ElIpandiendo la sedal como una luma de dos exponend ales complejas, obtenemos1 xl"1 _ -1 eJ(Z"N}o _ _ e -/(z"/ !i')t2j

2j

.

(3.100)

Comparando la ecuadn (3.100) con la (3.~) velllOl., por ifl!lpeccin. que

..L

-1 2j

-11'

1

(3.JOJ )

Seccin 3,6

Representacin en series de fourier de sena les peridicas discretas

...

yel resto de los coeficientes en el interva lo de la sumatoria-es cero. Como se describi6 anteriormente. estos coeficientes se repiten con periodo N: por lanto. D .... U l amb~n es igual a (In,) y D." _l es igual a ( - Ini). Los coeficientes de la serie de Fourier para este ejemplo con N - S se ilustran en la figura 3. 13. Se indica el hecho de que se repiten peridicamente. Sin embargo. se utiliza slo un periodo en la tIaci6n de sntesis (3.94) .

- 8 -1

-,- 5- 4 - 3 - 2

-,

"

,,

4

5

,,

9 910 11k

F~ur.

J.1 J

Coeficientes de Fourier para x(n] .. sen(2m'5)n.

Considere ahora el caso cuando 2mwo es una relaci6n de enteros. esto es. cuando20M % - N .

Suponiendo que M y N no tuvieran factores comunes.x(nJ tie ne un periodo fundamental de N. De nueva cuenta.expandiendox(n) como una suma de dos exponenciales complejas.. tenemos

a >anr de la cual podemos determinar por inspeccin que UN - (In,). D_N - ( - II2) Y el resto de los coeficientes en un periodo N son cero. Los coeficientes de rourier para este ejemplo con M 3 Y N - 5 se han representado en la figura 3. 14. Una vez ms hemos indicado la periodicidad de los coeficientes. Por ejemplo. para N - S. U! - a_Jo 1 0 cual en nuestro ejemplo e5 igual a ( - In,). Sin embargo. observe que en cualquier periodo de longitud S hay slo dos coeficientes de Fourier dife rentes de cero y. por tanto. ha y solamente dos trminos diferentes de cero en la ecuacin de sntesis.

.. . -,- 1 - 6 - 5- 4

-, -;-:,,' "",,'-2-1 O 13 4 5 6

128 9 1011

.. ."k

Flgur.

J.'"

Coeficientes de Fourier para x(n] "" sen3(2m'5)n.

...Ejemplo 3.11

Representacin de senales peridicas en series de Fourier

GapH 3 ulo

Considere Ja seal

Esta seal es peridica con periodo N y, como sucedi en el ejemplo 3.10, podemos expandir .rln] directame nte en I~nninos de exponenciales complejas pan obtener

Agrupando trminos.. encon tramos q ue

xln) - I +

(~ + ~r~ + (~ - ;jr-~N)o+

Oc /~} pa.~ + (ic-/~}-ro.~.

Por consiguiente. los coerKienles de la se rie de reuner para esle ejemplo son

IJ-i+2j- i-i J,Q - I ..

40 .. 1, 3

1

3

1

3 I 31 . 2 - 2i .. 2" + 2)'

1 al - 2 " 1 a - 1 - - 2 /oon al .. O para otros valores de k en el intervalo de la sumatoria en la ecuacin de sntesis (3.94). De nuevo 1 coeficientes de Fourier son pcridKos con periodo N. asf que, 05 por eje mplo. Q' .. l , aJli_l .. ~ + ~j y O1. - N " E n Ja figura 3.15(1) hemos dibujado las panes rcal c: imagi naria de estos coeficientes para N .. 10. mientras que la magnitud y rase de 1 coeficientes estn represen tados en la figura 3.1S(b). 01

ij.

Observe que, en este ejemplo, Q- t "" para todos los valores de k . De hecho. esta igualdad se cumple siempre que xln) sea real. Esta propiedad es id6ntica a la que anali zamos en la seccin 3.3 para sedales peridicas continuas, y al igual q ue en el caso con linuo, una implicacin de este hecho es que hay dos formas alternativas para las series discretas de Fourie r de las secuencias peridicas reales. Estas formas son anlogas a las representaciones en la serie continua de Fourier dadas en las ecuaciones (3.3 1) y (3.32) Y se examinan en el problema 3.52. Para nuestros propsitos, la forma exponencial de la serie de Fo urier. como se obtu vo en las ecuaciones (3.94) y (3.95), es en particular con venienle y es la que usa remos exclusivamente.

a;

Seccin 3.6

Reprssentacjfl en series de Fourier de senales peridicas discretas

.17

1

-N

o

N

2N

,

, "-Nlo)

-t'o,

N

2N

,

,- 2N

"!

-N _

..1 o 1.......1

N

1.......1 'N 1...-',

.,,

(a) Partes rea) e imaginaria de los coeficientes de la ~tie de Fourler del ejemplo 3.11: (b) magnitud y fase de los mismos coeficientes.

Flgur. J.l S

...Ejemplo 3.12

Representacin de sena les peridicas en series de Fourier

Capftulo 3

En cste eje mplo conside ramos la onda cuadrada peridica discreta mostrada en la figura 3.16. Podemos evaluar la se ri e de Fourier para esta sellal usando la ecuacin (3.95). Debido a que x[1I1- 1 para - NI :S 11 :S NI.es particularmente co nvenient e seleccionar el in tervalo de longitud N en la sumat oria de la ecuacin (3.95) de manera que incluya la escala - NI :S n :s NI. En este caso, podemos ex presar la ecuacin (3.95) como(3. 102)

... .I III I. .... :III 1 ..... III 1 .. I. 1.:-NN

"

F~ur.

J .16

Onda cuadrada peridica discreta.

Si permitimos que m .. " + NI. observamos que la ecuacin (3. 102) se vuelveQ

_

_

1 ~, ' " e - ~l -N)(... N L.

.-.

N,)

(3.103)

La sumaloria en la ecuacin (3.103) consiste en la suma de los prime ros 2N, + 1 tt rrni nos en una serie geomtlrica, l. cual se puede evaluar usando el resultado del problema

l.54. Esto produce

..!.. t - jl(1~ [t jll.c ...., .. mv... _ t - jil-( ...., .. mv...)N Nt -joI:(1~lt}ltl.w.1 t -joI:(l~ J

(3.104)

..!.. sen[2nk(N, +yII~ -

Ja)JN)

sen( 1fkJN)

.

k

1, el sistema es inestable y la suma toria e n la ecuacin (3. 133) dive rge. al

3.9 FILTRADO

En una a mplia va riedad de a plic.1ciones. resulla de inters cambiar las amplit udes relativas de las componentes de frecuencia en una seal, o q ui zs elimina r por completo algunas componentes de frecuencia, proceso conocido como fi ltrado. Los siste mas lineales inva rian tes e n el tiempo q ue cambian la (o rma del espectro se conocen como fill r O:i COI/' form ado res de f recuencia. Los siste mas diseados para dejar pasar algunas frecue ncias esencialme nte no dis torsionadas y a tenuar de mane ra significati va o eliminar por como pleto otras se conocen como filtros selectivos el/ frecuen cia. Como se indica e n las ecuaciones (3.124) y (3. 131), los coeficientes de la serie de Fo urie r de la salida de un sistema Lll son aquellos de la e nt rada multi plicados por la respuesta en frecuencia del siste ma. En consecuc ncia, el filtrado se puede realizar e n forma conve niente median te el uso de s iste ma Lll con una respuesta c n fTecuencia seleccionada adecuadamente, y los mtodos e n el domi nio de la frec uencia proporcionan las he rramie ntas ideales pa ra examina r esta clase tan impo rtante de aplicaciones. En sta y e n las siguientes dos secciones damos un primer vis tazo al fil trado mediante algunos ejemplos.

...

Representacin de sei\ales peridicas en series de F ourier

Capitulo 3

J.9.1 Filtros conformOldores de frecuencl.U na aplicacin en la cual es fcil encontrar los filtros conformadores de frecuencia es en los sistemas de audio. Por ejemplo. los filtros LTl se incluyen comnmente en esos sis-

temas para permitir al oyente modificar las canlidades relativas de energa de baja frecuencia (graves) y energa de alta frecuencia (agudos). Estos filtros corresponden a los sistemas LTI cuya respuesta en frecuencia se puede cambiar manejando los controles de tono. Asimismo. un sistema de audio de alta fidelidad, llamado filtro ccualizador. seincluye a menudo en el preamptificador para compensar las caracterfsucas de respuesta

en frecuencia de las bocinas. En conjunto. a estas etapas de filtrado en cascada se lesconoce como circuitos ecualizadores para el sistema de audio. La figu ra 3.22 ilustra las tres etapas de los circuitos ecualizadores para una serie particular de bocinas de audio. En esta figura , la m3gnitud de la respuesta en frecuencia para cada una de estas etapas se muestra en una grfica log-Iog. De manera especifica, la magnitud se presenta en unidades de 20 IOglo/HU",,)1 conocidas como decibeles o dB. El eje de frecuencia se denomina en Hertz (es decir, ""12:.,,.) a lo largo de la escal3 1 0garftmica. Como se analizar con ms detalle en la seccin 6.2.3, una representacin logarftmica de la magnitud de la respuesta en frecuencia en esta forma es muy comn y de gran utilidad. En conjunto, los circuitos ecualizadores de la figura 3.22 estn diseados para compensar la respuesta en frecuencia de las bocinas con la habitacin en la que se encuentran y permitir al oyente controlar la respuesta en total frecuencia. En particular, ya que los tres sistemas eSln conectados en cascada, y puesto que cada sistema modifica una entrada exponencial compleja K~ al multiplicarla por la respuesta en frecuencia del sistema a esa Crecuencia, se concluye que la respuesta lotal en Crecuencia de la conexin en cascada de los tres sistemas es el producto de las tres respuestas en fre cuencia. Los primeros dos fil tros, indicados en la fi gura 3.22(a) y (b), forman la elapa de controt del sistema, ya que el componamiento en Crecuencia de estos filtros puede ser ajustado por el oyente. El tercer filtro, mostrado en la figura 3.22(c), es la etapa ecualizadora, la cual tiene la respuesta en frecuencia fija que se indica. El filtro de la figura 3.22(a) es un filtro de baja frecuencia controlado por un interruptor de dos posiciones. para proporcionar una de las dos respuestas en frecuencia indicadas. El segundo filtro en la etapa de control tiene dos interruptores deslizables que se pueden ajustar continuamente para variar la respuesta en frecuencia dentro de los lmites indicados en la figura 3.22(b). Otra clase de filtros conformadores de frecuencia encontrados a menudo son aquellos en los cuales la salida del filtro es la derivada de la entrada al filtro, es decir, )'(t) 3 dx(t)ldt. Con una X(I) de la Corma X(I) = d U , )'(1) ser )'(1 .., wdoif a partir de la cual se ) concluye que la respuesta en frecuencia es

HU"") = "".

(3.137)

Las caracteristicas de la respues ta en frecuencia de un filtro diferenciador se muestran en la

figura 3.23. Puesto que HU"") es compleja en general, y en este ejemplo en particular, HU"") se presenta a menudo (como en la figura) como las grficas separadas de IH'",,)1y O

-"20Hz 30 40

,60 100 200 4OO!IOO 1_ 2

" 3"

" e

ala

20

F_lO

.'"."

." 1.

Especifique dos seales diferentes que satisfagan estas condiciones.3.9. Use la ecuaci n de anlisis (3.95) para evaluar los valores numricos de un periodo de los coeficientes de la serie de Fourier de [a seal peridica

xl"l

=

"' --

..

(46(n - 4ml + 86(n - I - 4mll.

3.10. Sea xln ) una sei'lal peridica real e impar con periodo N = 7 Y coeficientes de Fouric r al. Dadas1115 -

j, 1116 - 2j, 1I17 - 3j,

determine los valores de llG. a _, a _l y 0 _). 3.11. Suponga que nos da n la siguiente inromacin acerca de la seal x[n]: 1. x(n J es una seal real y par.

2.x[nJ tie ne periodo N ::: 10 y coeficientes de Fourier a~ . 3. 0 11 ~ 5.

Demuestre que xln] ::: A cos(Bn + C). y especifique los valores numricos de las constantes A , B Y C. 3.12. Cada una de las dos secuencias Xli"] y xz(n ] tiene un periodo N = 4, Y los correspondientes coeficientes de la serie de Fourier estn especificados como

donde

o = a = - a 1 = - a1 = 1 0 ) 2 2

I

I

Usando la propiedad de multiplicacin de la tabla 3.1. determine los coeficientes de la serie de Fourier el para la seal g[n] = xl(n) xz lnj.

Cap~ulo

3

Problemas

...Hljw)::

3.13. Considere un sistema lTI de tiempo continuo cuya respuesta en frecuencia es

[}(t)C-J'" dI

::

sen~4w) .

Si la entrada a este sistema es una seal peridica

oS t < 44,St < 8con periodo T = 8, de te rmine la salida correspondie nte del sistema y(t).

3.14. Cuando el tren de impulsos

x(n( =

'in - 4>(

.t _ - .

es la entrada a un sistema LTI particular con respuesta en frecuencia H(d") . se encue ntra que la salida del sistema es

_{Sv + . v) y(n) = '-V,2"Determine los valores de H(eih fl ) para k ::::1 0. 1,2 Y3. 3.15. Considere un filtro S paso bajas ideal cuya respuesta en frecuencia es

HUw) =

[l. O.S

Cuando la entrada a este filtro es una seilal x(t) con periodo fundamental T :: 1116 y coeficientes de ,la serie de Fourier a.l;, se encuentra que

x(t) - )'(1) "" X(I) .Para qu valores de k se garamiza que Q,t = O? 3.16. Determine la salida del filtro mostrado en la fi gura P3.16 para las siguientes entradas peridicas: (a)xllnJ :z ( - 1)" (b) x2 ln) = J + sen( Jsrn + :)

(e) xlln) =

L;. _~ir - 4otu[n - 4k )

"1""

,-'o

-.

o,figura

P3.'.

n.

Representacin de senales peridicas en series de Fourler

Capitulo 3

3.17. Considere tres sistemas de tiempo continuo S I, S Zy S) cuyas respuestas a una entrada exponencial compleja eiSt estn especificadas comoSI :e Pl -

rePO,eJ5(' - I),

Sz:e}5l-

S,: e/5l - cos(St).Para cada sistema, de termine si la informacin proporcionada es suficiente para concluir que el sistema definitivamente no es Ul . 3.18. Considere tres sistemas discretos SI. 52 Y 53 cuyas respectivas respuestas a una entrada exponencial compleja ei rrf211 estn especificadas comoSI : e i fml2 ..... e /tml2u(n]. 52: eJ-n. _ e P ..,}2,SJ:e /ml1 ...... -ap-n.

Para cada sistema, determine si la informacin dada es suficiente para concluir que el sistema es definitivamente no LTl. 3.19. Considere un sistema LTI causal como el circuito RL mostrado en la figura P3.19. Una fuent e de corriente produce una corriente de ent rada X(I). y la salida del sistema se considera la corriente y(' ) que fluye por el inductor.

t

lHFigura "J. '9

(11) Encuentre la ecuacin diferencial q ue relaciona a X(I) con y(I).

(b) Determine la respuesta en frecuencia de este sistema, considerando la salida del sistema ante entradas con rorma X(I) = --. (~) Determine la salida Y(I) si ..r(r) = cos(r). 3.20. Considere un sistema LTl causal como el circuito RLC que se mUC$lra en la figura P3.20. En este circuito. X(I) es el voltaje de entrada. E l voltaje y(t) a trayEs del capacita r se considera como la salida del sistema.

"'"

+AC- 1F

y(1)

' - -_ _ _..1..-_ _ _

Capitulo 3

Problemas

(11) Encuent re la ecuacin diferencial que relaciona a x(t) con y(t).

(b) Determine la respuesta en frecuencia de este sistema, considerando la salida del sistema ame entradas con forma x(t) '" ti-. (e) Determine la salida y(t) si X(/) "" sen(/).

PROBLEMAS BASICOS3.21. Una seal peridica continua x(r) es de valor real y tiene periodo fund amental de T e 8. Los coe6cientes de la serie de Fourier difere ntes de cero para x(r) se especi. fican como

Exprese X(I) en la forma

J.ll. Determine las represen taciones en serie de Fourier de las siguientes seales: (.) Cada X(I) mostrada en la 6gura P3.22(a)-(f) . (b) Una X(I ) peridica con periodo 2 y

..,-, ,. ,-5 -4 -3 -2 '-:c_~ ,

xCt):: e- f

para

- )

x(t)dt = 1.4. ~ x(t)dt = 2.De termine x{r).

-"

...de Fo urie r Ot.

Representacin de seales peridicas en series de fourier

Captulo 3

3.4l. Sea x(t) una seal de valor real con periodo fundamental Ty coefi cientes de la serie(a) Demuestre que U k = a ! . y Uo deben ser reales.(b) Dcmueslrc q ue si x( t) es impar. los coeficie ntes de la serie de Fouricr de ben ser

T eales y pares. (e) Demuestre que si x(r) es impar, entonces los coefici entes de la serie de Fouric r son imaginarios e impares y no ~ O . (d) Demuestre que los coeficien tes de Fourier de la parte par de x(t) son iguales a(e) Demuestre que los coe ficientes de Fouricr de la parte impar de xC son iguales ,)

!Rqatl.

ai9m! otl3.43. (11) Se dice que una se al peridica x(. ) contin ua con periodo T es arm" ica impar

si, en su representacin en serie de Fourierx( t) =

.2:

a.eit (l ..rJ)l,

(P3.43- 1)

k _ - ..

al - O pa ra cada k clltcro para diferente de cero. (i) Demueslre que si x(t ) es armnica impar, entonces

X(I) =

-x + ~) (,para O < 1 < 1.

(P3.432)

(ii) Demuestre que si x(t ) satisface la ecuacin ( P3.43-2). entonces es armnica Impar. eb) Suponga que x(t) es una sellal peridica armnica impar con periodo 2 lal quex(t) - r

Bosqueje x(r} y encuentre sus coeficientes de la serie de Fourier. (e) De manera anloga a la seal armnica impar, podrfam os definir una seal armnica par como aquella para la cual o.' = O para una k impar en la representacin en la c

2.

4. X{I) "" - x(r - 3). 5. , p "(I)Pd, = '. iJ _l l 6. DI es un nmero positivo real.

Demuestre que X(/} = A cos(Br + C) y determ ine los valores de las conSlantes A .

By e.

Capftulo 3

Problemas

DO

3.45. Sea X(I) una senal peridica real cuya representacin en serie de Fourier se muestra en la forma seno-coscno de la ecuacin (3.32); es decir, X(I) '"

+ 2')" [B t cos kWJ - Ct sen kWo,J. f=

(.) Detennine la representacin en serie de Fourier de las partes par e impar de x(t); esto es, encuentre los coeficientes Ut y fJ,. en trminos de los coeficientes en la ecuacin (P3.45- 1) tales que

t.{X(t}} =f){x(t)} =(b) Cul es la relacin entre

LL

a~ i"",

t ... - ..

.---

fJ.e J'*tI .

y (t) Suponga que las seales X(I) y ~(t) mostradas en la figura P3.45 tienen las representaciones en series seno-coseno

{J-.'

a. y a _k en la parte (a)? Cual es la relacin entre fJ.

x(t) ::

DO

+ 2.: ,

Z(I) = do

+ 2': 1 Et'-V, 3

. [_12""') - C. (2""')]. B.'-V, 3 3 . [ __12""') (2""')]sen

- F.sen

3

.

""2

~-5~~-3 -2 ~O ~'---3 ~.--~. ~7--~'~' ~

-6

-.

-3

-1

123.56789

,Flgur. P3.45

LJ _ 2

...

Representacin de senales perldlcas en series de FourierGrafique la sealY(t) = 4(ao+ do)+2~ (~ +i Et "\, 3 lB.t 1

Capitulo 3

1 /, ..,) + F,tsen(,ma)) . __ 3

J.46. En este problema. deducimos dos importantes propiedades de la serie continua de Fouricr: la propiedad de multiplicacin y la relacin de Paneval. Sea x(r) y y(t) senales peridicas continuas que tienen periodo To y cuya representacin en serie de Fourier est dada porx(r) ""

k __ ..

.L

a.e lk .., ,

y(,) -

k __

.:

b.. ....

(P3.46-1)

-,

,""',

I

..... ""'"

_"'~ l(I) 88 fXlif .... M mt 3sbd

lb'

lo)

,.111... "3.46

capitulo 3

Problemas

...'(/) ~ X(/)Y(/) ~

(a) Demuestre que los coeficientes de la serie de Fourier de la seflal

.- .

,,< ...,

i~

estn dados por la convolucin discretac. ::

"--

L

..

o"bi

_ "

(b) Utilice el resultado de la parte (a) para calcular los coeficientes de la serie de Fourier de las seflales Xl(' )' Xl(t) y Xl(/) representadas en la fi gura P3.46.(e) Suponga que y(t) en la ecuacin (P3.46- 1) es igual a x(,). Exprese los b i de la

ecuacin en t ~ rminos de Ot y use el resultado de la parte (a) para probar la relacin de Parseval para seales peridicas: esto es

T: ), 1>(/)1' dI o o3.47. Considere la seflal

1 ('.

.1 ' t--.

xC,) "" ros 2111.Ya que X(I) es peridica con periodo fundamental de 1, tambi~ n es peridica con periodo N donde N es cualquier entero positivo. Cules son los coeficientes de la serie de Fourier de X(I) si la consideramos como una seftal peridica con periodo 31 3.48. Sea x(nJ una secuencia peridica con periodo N y re presentacin en serie de Fourier

x(n ) ::

)" a~j!('1./V)n. i -~"

(P3.48-1)

Los coeficientes de la serie de Fouricr para cada una de las siguientes seales se pueden expresar en trminos de 0.1: en la ecuacin (P3.48- 1). Obtenga las expre~ Slones (.) x[n - "0) (b) x(nJ - xln - J) (e) x[n) - xln - ~) (suponga que N es par) (d) xl") - xln + ~) (suponga que N es par: observe que esta seal es peridica con periodo Nn)

en

(e) xl - n)

(-I )"xln) (suponga que Nes par) (1) (- I}"xln] (suponga que N es impar, observe que esta seal es peridica con periodo2N) X(/I) . n par (h) )'(n] '" [0, n impar

3.49. Sea x[n) una secuencia peridica con periodo N y reprcscmllcin en serie de Fouricr

xln) '"

. .. ~>

)"

Oj:C ' i(2.1Nj1o.

(P3.49- 1)

Representacin de senales peridicas en series de Fourier(a) Suponga que N es par y quexln) en la ecuaci n (P3.49- 1) satisface

Capitulo 3

xlnJ ~ -x [n+r]

para toda

11 .

Demuestre que Di - O para cada valor entero par de k. (b) Suponga que N es divisi ble eon e 4. Demuestre que si

x],,1

=

-x [11 +

~1

para

loda n,

entonces a~ = O para cada valor de k que es m hi plo de 4. (e) En fonna general, suponga que N es divisible entre un entero M . Demuestre

que SI

fN')~- l ,_

X

[

/1

+ r; ,. O para toda n ,

N]

enlOnces Dk :::: O para cada valor de k que es un mltiplo de M . loSO. Suponga que se nos da la siguiente in(onnacin acerca de una seal peridica X(IIJ con periodo 8 y coeficientes de Fouric r t:Ik:

1. Di = -Ot_, .2. x(2/1

+

1] - ( - 1)".

Dibuje un peri odo de xl"l.

3.51. Sea X[II I una seal peridica con periodo N = 8 Ycoeficientes de la serie de Fourier at = - Ot _(. Se genera una senal

y[nJ ~ (

, +

7") -,.oen (27")).

'In} = do + 2~ [ =(2;*n -l.oen )) ) (2;*nG rafique la seal

3.SJ. Sea xln) una seal peridica real con periodo N y coeficientes de Fourier Ot. (a) Demuestre que si N es par, al menos dos dC los coeficientes de Fourier dentro de un periodo de Ol son reales. (b) Demuestre que si N es impar, al menos uno de los coeficientes de Fourier dentro de un periodo de al< es real. 3.54. Considere la funcin

(a) Demuestre q ue alk) '" N para k - O, =.N, 2N, 3N, ...

(h) Demuestre que DIle) "" O siempre que k no sea un m1l1tiplo entero de N. (Sugerf!ncia: use la frmula de suma finita .) (c) Repita las partes (a) y (b) si

alk]

a

')

eJ(2-N)bt,

...7:k>3.55. Sea x(n ) una seal peridica con periodo fundamental N y coeficientes de la serie de Fourier DIr. En este problema. deducimos la propiedad de escalamiento en el

tiempo ." .. = O+m, + 2m, ,- para otro valor mostrada en la tabla 3.2. (111) Demuestre que x{",(n 1tiene periodo mN. (b) Demuestre que si

x[n] .. v[n]entonces

+ w(n] ,

x,",l(n] '" v(oo)[n]

+ w(oo[n] .

Captulo 3

Problemas

x(m)ln)= ;;; ~ t:P-tt.+!N)III(IIt.V).

(c) Suponiendo que xln) = ef1 1f1cllN para algn e nlero IJ verifique que

1m-

I

Esto es. una exponencial compleja en xln J se vuelve una combinacin lineal de m expone nciales complejas en x(",)(n). (d) Usando los resultados de las partes (a). (b) y (e), demuestre que si x{n] tiene los coeficientes de Fourier al, entonces x (... )(n) debe tener coeficientes de Fourier , ato ;; . 3.56. Sea x[n] una seal peridica con periodo N y coeficientes de Fourier ato (.) Exprese los coeficientes de Fourier b" de Ix[n) p e n tnninos de at. (b) Si los coeficientes al: son reales., sc garantiza que los coeficientes b. sean tamo bi n reales? 3.57. (.) Sea

(P3.57-1)y

una seal peridica. Demuestre que

donde

N- I

N- I

et = ~ 0lb t _ 1 = ~ a. _lb/.

(b) Generalice el resultado de la parte (a) demostrando que

(re) Usando el resultado de la parle (h) para enconlrar la representacin en serie de Fourier de las siguientes sel\ales, donde xl"I est dada por la ecuacin (p3.57-1). (1)

x[n[

=(,;)_ 6[11 ..-

(ii)

X[II ] L ;:

rNJ': ])(suponga que N es divisible e ntre 3)

(iii) X[II] (

~ ;: _.. {; [11 -

(d) De