Upload
justin-morris
View
264
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
dsfsd
Citation preview
7/18/2019 SerenTak Modulasi
http://slidepdf.com/reader/full/serentak-modulasi 1/16
CONTOH PENGGUNAAN METODE GAUSS
Terdapat 3 persamaan dengan 3 variabel yang tidak diketahui
berikut ini:
2a−4bc=1
a3b−2c=2
3a−2b4c=4
maka metode penyelesaian menggunakan metode Gauss Naif dapat
dilakukan sebagaimana prosedur berikut ini
1. SUSUN MATRIK
a b c F
2 -4 1 1
1 3 -2 2
3 -2 4 4
2. LAKUKAN PEMBUATAN SEGITIGA ATAS
a. Kolom a
Gunakan (a11 = 2) sebagai pivot
Eliminasi baris ke-2 dengan cara:
! "encari faktor m # a2$a # $2
2! Eliminasi suku baris 2 dengan baris sebagai pivot:
a! - m % 2 # & '!)2 # '
b! 3 & m )(-*+ # 3 & '!)(-*+ #
c! (-2+ & m) # (-2+ & '!) # -2!
d! 2 & m) # 2 & '!) # !
3! ,apatkan matrik berikut:
a b c F
2 -4 1 1
0 5 -2.5 1.5
3 -2 4 4
7/18/2019 SerenTak Modulasi
http://slidepdf.com/reader/full/serentak-modulasi 2/16
Eliminasi baris ke-3 dengan cara:
! "encari faktor m2 # a3$a # 3$2
2! Eliminasi suku baris 3 dengan baris sebagai pivot:
a! 3 - m2 % 2 # 3 & !)2 # '
b! (-2+ & m2 )(-*+ # (-2+ & !)(-*+ # *
c! * & m2) # * & !) # 2!
d! * & m2) # * & !) # 2!
3! ,apatkan matrik berikut:
a b c F
2 -4 1 1
0 5 -2.5 1.5
0 4 2.5 2.5
b. Kolom b
Gunakan (a22 = 5) sebagai pivot
Eliminasi baris ke-3 dengan cara:
! "encari faktor m3 # a32$a22 # *$
2! Eliminasi suku baris 3 dengan baris 2 sebagai pivot:
a! ' - m3 %' # ' & '!)' # '
b! * & m3 )(+ # * & '!)(+ # '
c! (2!+ & m3)(-2!+ # (2!+ & '!)(-2!+ # *!
d! 2! & m3)! # 2! & '!)! # !3
3! ,apatkan matrik berikut:
a b c F
2 -4 1 1
0 5 -2.5 1.5
0 0 4.5 1.3
3. LAKUKAN SUBTITUSI BALIK
a! . # !3$*! # '!2/
b! 0 # (! - (-2!+)'!2/+$ # '!****
c! 1 # ( & ()'!2/+ - (-*+)'!****+$2 # !2**
7/18/2019 SerenTak Modulasi
http://slidepdf.com/reader/full/serentak-modulasi 3/16
CATATAN
! ika dalam pena!"an #a$%o! ditemukan pemba&"an 'en&an (
maka dapat dilakukan p!o)e) pe!%*$a!an ba!")
2! ika dalam proses pembagian faktor ditemukan bilangan
yang )an&a% be)a! ataupun )an&a% $e"l maka dii4inkan
proses pen)$alaan yaitu men&al"$an )e%"ap )*$* 'alam
ba!") %e!)eb*% 'en&an )*a%* $on)%an%a!
7/18/2019 SerenTak Modulasi
http://slidepdf.com/reader/full/serentak-modulasi 4/16
GAUSS JORDAN
Metode Gauss Jordan mirip dengan metode Gauss Naif. Perbedaannya
adalah pada bentuk matrik akhir nya. Jika pada Gauss Naif dihasilkan
matrik Segitiga Atas, maka pada Gauss Jordan dihasilkan bentuk matrik
Identitas.
Contoh
2a−4bc=1
a3b−2c=2
3a−2b4c=4
dengan teknik Gauss Jordan akan dihasilkan matrik berikut
LANGKAH PENGGUNAAN
1. BUAT MATRIK SEGITIGA ATAS
a. Kolom +
Gunakan (a11 = 2) sebagai pivot
Eliminasi baris ke-2 dengan cara:
! "encari faktor m # a2$a # 5
2! Eliminasi suku baris 2 dengan baris sebagai pivot:
a! - m % 2 # & '!)2 # '
b! 3 & m )(-*+ # 3 & '!)(-*+ #
c! (-2+ & m) # (-2+ & '!) # -2!
2 & m) # 2 & '!) # !
3!,apatkan matrik berikut:
X Y Z F
2 -4 1 1
0 5 -2.5 1.5
3 -2 4 4
X Y Z F
2 -4 1 1
1 3 -2 2
3 -2 4 4
7/18/2019 SerenTak Modulasi
http://slidepdf.com/reader/full/serentak-modulasi 5/16
Eliminasi baris ke-3 dengan cara:
! "encari faktor m2 # a3$a # 3$2
2! Eliminasi suku baris 3 dengan baris sebagai pivot:
a! 3 - m2 % 2 # 3 & !)2 # '
b! (-2+ & m2 )(-*+ # (-2+ & !)(-*+ # *
c! * & m2) # * & !) # 2!
d! * & m2) # * & !) # 2!
3! ,apatkan matrik berikut:
b. Kolom ,
Gunakan (a22 = 5) sebagai pivot
Eliminasi baris ke-3 dengan cara:
! "encari faktor m3 # a32$a22 # *$
2! Eliminasi suku baris 3 dengan baris 2 sebagai pivot:
a! ' - m3 %' # ' & '!)' # '
b! * & m3 )(+ # * & '!)(+ # 'c! (2!+ & m3)(-2!+ # (2!+ & '!)(-2!+ # *!
d! 2! & m3)! # 2! & '!)! # !3
3! ,apatkan matrik berikut:
2. NORMALISIR SEMUA SUKU DIAGONAL
Normalisir tiap baris dengan !ara membagi setiap suku dalam baris
tersebut dengan nilai suku diagonalnya. "engan !ara ini akan didapatkan
matrik berikut
1 -2 0.5 0.5
0 1 -0.5 0.3
0 0 1 0.2889
2 -4 1 1
0 5 -2.5 1.5
0 4 2.5 2.5
2 -4 1 1
0 5 -2.5 1.5
0 0 4.5 1.3
7/18/2019 SerenTak Modulasi
http://slidepdf.com/reader/full/serentak-modulasi 6/16
3. BUAT MATRIK IDENTITAS dengan CARA ELIMINASI
SUKU MATRIK ATAS
a. Kolom -
Gunakan (a 33 = 1) sebagai pivot
Eliminasi baris ke-2 dengan cara:
! "encari faktor m* # a23$a33 # -'!$ # -'!
2! Eliminasi suku baris 2 dengan baris 3 sebagai pivot:
a! ('+ - m* % ' # ('+ & (-'!+)' # '
b! (+ - m* % ' # (+ & (-'!+)' #
c! (-'!+ - m* % # (-'!+ & (-'!+) # '
d! ('!3+ - m* % '!2/ # ('!3+ & (-'!+)'!2/ # '!****
3!,apatkan matrik berikut:
Eliminasi baris ke- dengan cara:
! "encari faktor m # a3$a33 # '!$ # '!
2! Eliminasi suku baris dengan baris 3 sebagai pivot:
a! (+ - m % ' # (+ & ('!+)' #
b! (-2+ - m % ' # (-2+ & ('!+)' # -2
c! ('!+ - m % # ('!+ & ('!+) # '
d! ('!+ - m % '!2/ # ('!+ & ('!+)'!2/ # '!36,apatkan matrik berikut:
X Y Z
1 -2 0.5 0.5
0 1 0 0.4444
0 0 1 0.2889
X Y Z
1 -2 0 0.3556
0 1 0 0.4444
0 0 1 0.2889
7/18/2019 SerenTak Modulasi
http://slidepdf.com/reader/full/serentak-modulasi 7/16
b. Kolom ,
Gunakan (a22 = 1) sebagai pivot
Eliminasi baris ke-3 dengan cara:
! "encari faktor m6 # a2$a22 # -2$ # -2
2! Eliminasi suku baris dengan baris 3 sebagai pivot:
a! (+ - m6 % ' # (+ & (-2+) ' #
b! (-2+ - m6 % # (-2+ & (-2+) # '
c! ('+ - m6 % ' # ('+ & (-2+)' # '
d! ('!36+ - m6%'!**** # ('!36+&(-2+)'!**** # !2***
3!,apatkan matrik berikut:
"engan ditemukannya matrik Identitas diatas, maka nilai #ariabel $, % dan
& dapat ditentukan sebagai
$ ' (.)*** % ' +.****
& ' +.)-
X Y Z
1 0 0 1.2444
0 1 0 0.4444
0 0 1 0.2889
7/18/2019 SerenTak Modulasi
http://slidepdf.com/reader/full/serentak-modulasi 8/16
CONTOH APLIKASI
Sensor suhu dari enis /M01 mempunyai respon suhu (+m23oC dan
digunakan untuk mengukur suhu antara (+oC sampai *+oC. 4an!ang
pengkondisi sinyal agar mempunyai spesi5kasi tegangan yang memenuhi
spesi5kasi tegangan masukan A"C 6+.7 2 sampai *.128.
S9/:SI
(. Asumsikan respon /M01 linier dan berkisar pada tegangan (++m2
sampai *++m2.
). Asumsikan model matematis dari pengkondisi sinyal adalah
Vadc = m(Vin) + b
0. ;abel hubungan 2ad! dan 2in adalah
Vin Vadc
100mV 0.7V
400mV 4.5V
Sehingga bentuk persamaan serentaknya adalah
+.(<m = b ' +.7
+.*<m = b ' *.1*. "engan metode Gauss Jordan akan didapatkan nilai m dan b sebagai
berikut
Sehingga didapatkan persamaan sebagai berikut.
Vadc 12.!!"# V$ % &.'!!!"
1. "engan bantuan Mat/ab akan dapatkan diagram berikut ini
1 0 12.66667
-3.33333 0 -3 1.7
1 0 12.66667
0 1 -0.56667
m b y
0.1 1 0.7
0.4 1 4.5
7/18/2019 SerenTak Modulasi
http://slidepdf.com/reader/full/serentak-modulasi 9/16
%**************************************************
% Simulasi hasil kombinasi 2 fungsi
%**************************************************
clear;
clc;
Vin = 0.1:0.01:0.4;
Vadc = 12.6667.*Vin - 0.56667;
plot(Vin, Vadc); grid;
"engan bantuan 94CA", maka pers. Matematis tersebut dapat
di>uudkan dalam bentuk rangkaian 9pAmp dan mempunyai respon
sebagaimana diagram berikut
0 .1 0 .15 0 .2 0 .25 0 .3 0 .35 0 .4 0 .45 0 .50 .5
1
1 .5
2
2 .5
3
3 .5
4
4 .5
5
V in
V
a
d
c
7/18/2019 SerenTak Modulasi
http://slidepdf.com/reader/full/serentak-modulasi 10/16
7 8 7 *
' ' m 7 ' m 7 2 ' ' m 7 2 ' m 7 3 ' ' m 7 3 ' m 7 * ' ' m 7
7 ( 9 2 : 9 T +
' 7
2 ! 7
! ' 7
7/18/2019 SerenTak Modulasi
http://slidepdf.com/reader/full/serentak-modulasi 11/16
INTERPOLASI
Adalah suatu teknik untuk mendapatkan suatu nilai yang terletak
diantara tabulasi nilai?nilai yang didapatkan dari hasil pengukuran
sebelumnya.
"alam pengukuran kadangkala kita mendapatkan suatu data yang
berbentuk tabulasi. "ata?data tersebut umumnya merupakan tabulasi dari
nilai?nilai rangsang yang diberikan 6#ariabel bebas @ 8 dengan respon
sistem yang diukur 6y8. Sebagai misal tabulasi nilai suhu dengan nilai
tegangan pada sensor /M01. :ntuk dapat menentukan nilai (egangan
yang ($da) (e*da+a( dalam daftar tabulasi akan tetapi ,a-$ da/a,
*ange +eng0)0*an, dapat digunakan teknik Interpolasi.
INTERPOLASI LINIER
;eknik interpolasi dengan me?linierkan hubungan ) nilai tabulasi
yang mengapit nilai yang diinginkan sebagaimana Gambar (. berikut ini
Gambar (. Interpolasi /inierSumber Choiron,???(B
Jika terdapat ) buah pasangan nilai, maka nilai antara dari kedua
pasangan nilai tersebut dapat di!ari dengan
( )1
1
n nn n
n n
y y y y x x
x x
+
+
−= + − −
7/18/2019 SerenTak Modulasi
http://slidepdf.com/reader/full/serentak-modulasi 12/16
dengan
yn ' nilai y disebelah kiri nilai yang diinginkan
yn=( ' nilai y disebelah kanan nilai yang diinginkan
n ' nilai disebelah kiri nilai yang diinginkan
n=( ' nilai disebelah kanan nilai yang didinginkan
, y ' pasangan nilai yang diinginkan
C9N;9
"alam pengukuran tegangan didapatkan pasangan nilai sebagai berikut
Vin Vout
1 0.4
2 0.6
Carilah tegangan 2out untuk 2in ' (.+1 2olt
SOLUSI
2outn ' +.*D 2outn=( ' +.BD 2inn ' (D 2inn=( ' )
INTERPOLASI LAGRANGE
Adalah teknik untuk mendapatkan suatu nilai dengan merumuskan
terlebih dahulu persamaan polinom berdasarkan tabulasi nilai yang
didapat. Jadi konsep utamanya adalah mendapatkan dahulu persamaan
polinom dari nilai?nilai sebelumnya, kemudian menghitung nilai yang
diinginkan berdasarkan polinom tersebut.
Se!ara umum persamaan polinom yang dimaksud dalam teknik
interpolasi ini adalah
dimana yo sampai yn adalah nilai y 6#ariabel bebas8 dalam tabulasi.
( )( 1 . 0 5 )0 . 6 0 . 40 . 4 1 . 0 5 1
2 1
0 . 4 1
V o u t − = + − −
=
( ) 1 1 2 2( ) ( ) ( ) . . . . ( )n o o n n P x y b x y b x y b x y b x= + + + +
7/18/2019 SerenTak Modulasi
http://slidepdf.com/reader/full/serentak-modulasi 13/16
Jika dapat dibuat agar Pn6i8 ' yi maka nilai b dapat di!ari dengan
persamaan berikut
dimana
sehingga Polinom lengkapnya dapat dituliskan sebagai
CONTOH:
Carilah y6+.)18
SOLUSI
y(0.25) = 1.158
( )
( )( )
0 1 2
1 1 0 2
2 2 0 1 3
( ) ( ) . . . . . ( )
( ) ( ) . . . . . ( )( ) ( ) ( ) . . . . . ( )
o n
n
n
b x C x x x x x x
b x C x x x x x xb x C x x x x x x x x
= − − −
= − − −
= − − − −
0
1 2
1
0 2
2
1 3
1
( ) ( ) . . . . . ( )
1
( ) ( ) . . . . . ( )
1
( ) ( ) . . . . . ( )
n
n
n
C x x x x x x
C x x x x x x
C x x x x x x
=− − −
=− − −
= − − −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1
0 1 1 1
. . . . . .
. . . . . .
no j j n
n j
j j o j j j j j j n
x x x x x x x x x x P x y
x x x x x x x x x x
− +
= − +
− − − − −=
− − − − −∑
n X Y0 0.2 1
1 0.3 1.2
2 0.4 1.35
3 0.5 1.4
4 0.6 1.2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 3 4
0 . 2 5
1 2 3 4
0 2 3 4
1
0 2 3 4
0 1 3 4
2
0 1 3 4
0 1 2
3
0 . 2 5 0 . 2 5 0 . 2 5 0 . 2 5
0 . 2 0 . 2 0 . 2 0 . 20 . 2 5 0 . 2 5 0 . 2 5 0 . 2 5
0 . 3 0 . 3 0 . 3 0 . 3
0 . 2 5 0 . 2 5 0 . 2 5 0 . 2 5
0 . 4 0 . 4 0 . 4 0 . 4
0 . 2 5 0 . 2 5 0 . 2 5 0 . 2 5
o
x x x x y y
x x x x x x x x
y x x x x
x x x x y
x x x x
x x x x y
− − − −=
− − − −
− − − −+
− − − −
− − − −+
− − − −
− − − −+
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
4
0 1 2 4
0 1 2 3
4
0 1 2 3
0 . 5 0 . 5 0 . 5 0 . 5
0 . 2 5 0 . 2 5 0 . 2 5 0 . 2 5
0 . 6 0 . 6 0 . 6 0 . 6
x x x x
x x x x y
x x x x
− − − −
− − − −+
− − − −
7/18/2019 SerenTak Modulasi
http://slidepdf.com/reader/full/serentak-modulasi 14/16
CURVE FITTING
Curve Fitting adalah suatu et!de untu" enda#at"an #ersaaaan ateatis dari
suatu deretan data $ang saling ber#asangan.
%et!de ini ban$a" diguna"an dala suatu e"s#erien $ang enuntut "ita untu"
enda#at"an ruusan uu dari deretan data tersebut &biasan$a hasil #engu'ian(.
LINIER CURVE FITTING
)i"a suatu deretan hasil #erc!baan dirasa"an ebentu" garis lurus atau
tersebar dise"itar suatu garis lurus ba$angan* a"a da#at diguna"an et!de Curve
Fitting linier. +andang sebaran data dala bentu" "aresian beri"ut ini
,abar 1. ebaran data dise"itar garis lurus ba$angan
engan eandang ,abar 1* a"a da#at di"ata"an bah/a !del ateatis dari
sebaran data diatas adalah
engan et!de "uadrat ter"ecil*a"a nilai da#at dicari dengan #ersaaan
dan b da#at dicari dengan
i i y xa b y b x
n n= − = −∑ ∑
( ) 22
i i i i
i i
n x y x yb
n x x
−=
−
∑ ∑ ∑∑ ∑
y a b x= +
7/18/2019 SerenTak Modulasi
http://slidepdf.com/reader/full/serentak-modulasi 15/16
CURVE N!NLINIER
#abila bentu" sebaran data tersebut ebentu" leng"ungan &bu"an garis
lurus(* a"a da#at diguna"an te"ni" linierisasi sebagai beri"ut
1. +ersaaan berbentu" y " #bx a"a da#at diguna"an te"ni" beri"ut ini
,abar 2. +r!ses linierisasi "urva e"s#!nen "e linier
a. a"u"an !#erasi Ln #ada su"u disebelah "iri dan "anan #ada #ersaaan $
aebx sehingga dida#at"an #ersaaan ln$ ln a &b(ln&e( atau Y b
sebagaiana ,abar 2
b. ,una"an te"ni" #encarian nilai $ dan b sebagaiana te"ni" sebelun$a.
i $i Yi n $i i Yi i2
1 $1 Y1 ln $1
2 $2 Y2 ln $2
. .
n $n
Σn Σ$n ΣYn Σn$n Σn2
c. 6!ralisir nilai dengan " #$
i iY xa b
n n= −∑ ∑
( ) 22
i i i i
i i
n x Y x Y b
n x x
−=
−
∑ ∑ ∑∑ ∑
7/18/2019 SerenTak Modulasi
http://slidepdf.com/reader/full/serentak-modulasi 16/16
2. +ersaaan berbentu" y " %b
a. a"u"an #r!ses ln #ada "edua ruas dala #ersaaan tersebut sehingga
dida#at"an #ersaaan ln $ ln &a( b ln&( atau Y bX
b. engan te"ni" curve linier da#at"an nilai $ dan b
i $i Yi n $i Xi ln i XiYi Xi2
1 $1 Y1 ln $1 X1 ln 1
2 $2 Y2 ln $2 X2 ln 2
. . .
n $n
Σn Σ$n ΣYn ΣXn ΣXnYn ΣXn2
c. 6!ral"an nilai dengan " #$
3. +ersaaan dengan y " 0 & 1% & 2%2 & '. & ( %
(
ala te"ni" ini sebaran data $ang ada din$ata"an sebagai sebuah #!lin!. 6ilai a 0*
a1 .. ar dari #!lin! tersebut dida#at"an dengan en$elesai"an atri" beri"ut ini
engan te"ni" ,auss )!rdan atau#un ,auss 6ai7* a"a nilai a0* a1 .. ar da#at
diteu"an.
2
2 3 1
1
22 3 4 2
2
1 2
. .
. .
. .... . . . . .
... . . . . .
. .
r ioi i i
r i ii i i i
r
i ii i i i
r r r r r n
i ir i i i i
yan x x x
x ya x x x x
x ya x x x x
x ya x x x x
+
+
+ + +
=
∑∑ ∑ ∑∑∑ ∑ ∑ ∑
∑∑ ∑ ∑ ∑
∑∑ ∑ ∑ ∑
( ) 22
i i i i
i i
n X Y X Y b
n X X
−=
−
∑ ∑ ∑∑ ∑
i iY X a b
n n= −∑ ∑