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Sesin 12Geometra Analtica parte 1:Docente : Alberto Henry Ulloa Lpez Ecuacin de la recta cnicas en el plano regiones planas aplicaciones
CAPACIDAD :Aplica la ecuacin de la recta usando puntos en el plano cartesiano, as como las cnicas y regiones planas. Participa expositivamente.INDICADOR DE LOGRO :Calcula Geometra analtica parte I presentando portafolio de ejercicios desarrollados.
LA RECTA
LA RECTA Geomtricamente podemos decir que una lnea recta es una sucesin continua e infinita de puntos alineados en una misma direccin; analticamente, una recta en el plano est representada por una ecuacin de primer grado con dos variables, x e y.Adems es el lugar geomtrico de todos los puntos que tomados de dos en dos, poseen la misma pendiente.
ECUACIONES DE LA RECTA
PENDIENTE DE UNA RECTACul de las rectas est ms inclinada?Cmo medimos esa inclinacin?La pendiente, m, de la recta L es:
CLCULO DE LA PENDIENTE DE UNA RECTASea L una recta no vertical que pasa por los puntos P1(x1;y1) y P2(x2; y2).P2(x2; y2)P1(x1;y1)y=y2 - y1x=x2 - x1
ECUACIONES DE LA RECTA
ECUACIONES DE LA RECTA
ECUACIN GENERAL DE LA RECTA
ECUACIN GENERAL DE LA RECTA
RESUMENLa recta es una sucesin continua e infinita de puntos alineados en una misma direccin; analticamente, una recta en el plano est representada por una ecuacin de primer grado con dos variables, x e y.Adems es el lugar geomtrico de todos los puntos que tomados de dos en dos, poseen la misma pendiente.
TAREA
RECTAS PARALELAS
EJEMPLO DE RECTAS PARALELAS
RECTAS PERPENDICULARES
EJEMPLO DE RECTAS PERPENDICULARES
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA1.- Si la ecuacin de una recta es Ax +By +C=0 , entonces su pendiente es - A / B2.- Si un punto P1( x1,y1) est en la recta, entonces esta cumple en la ecuacin de la recta.3.- La distancia de un punto hacia la recta esta dada por:
NGULO ENTRE DOS RECTAS:
El ngulo entre dos rectas que se cortan
Si dos rectas se cortan l1 y l2 forman ngulos suplementarios, cada uno de los cuales puede ser tomado como el ngulo que forman dichas rectas. Con el objeto de evitar la ambigedad, definimos el ngulo que forman l1 y l2 ( o el que forman l2y l1) como aquel que se mide por la amplitud de la rotacin de l1, (en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj) en torno del punto de interseccin hasta colocarse sobre l2. Representaremos por el ngulo que forman las rectas
NGULO ENTRE DOS RECTAS
NGULO ENTRE DOS RECTAS
NGULO ENTRE DOS RECTASConsiderando el ngulo formado por l1 y l2 y recordando que el ngulo exterior de un triangulo es igual a la suma de los interiores no adyacentes, se tiene: a 2= a 1+ = a 2- a 1
Luego: tan =tan(a 2- a 1)= [tan(a 2) tan( a 1)] / [1+ tan(a 2) tan( a 1)]Tan a 1=m1Tan a 2=m2
Entonces:
Al aplicar esta formula tngase presente que m1 es la pendiente del lado inicial y m2 la pendiente del lado final del ngulo .
Recuerda que para encontrar el punto de interseccin entre las dos rectas, debes resolver el sistema de ecuaciones, como lo resolviste en la Unidad 1.
RESUMEN
RESUMEN
RESUMENEl ngulo entre dos rectas est dado por:
TAREA1. Halle la ecuacin de la recta de abscisa en el origen 3/7 y que es perpendicular a la recta 3x + 4y - 10 = 0.2. Si la recta L : ax + 2y 6 + b = 0 pasa por el punto P(2, -3) y es paralela a la recta (b 2 ) x - 3y + a = 0 ; Hallar a y b.3. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por P (5 ,4 ) y forman con la recta L: 3x 2y + 12 = 0 un ngulo cuya tangente es 1/ 2.4. Hallar el valor de k , de manera que la distancia de la recta de ecuacin 5x - 12y + (3+k) =0 al punto (-3,2) sea igual a 4.
LA CIRCUNFERENCIAC(h,k)P(x,y)r
LA CIRCUNFERENCIADEFINICIN:
FORMA CANNICA DE LA CIRCUNFERENCIA
FORMA CANNICA DE LA CIRCUNFERENCIA
FORMA CANNICA DE LA CIRCUNFERENCIA
FORMA CANNICA DE LA CIRCUNFERENCIA
FORMA CANNICA DE LA CIRCUNFERENCIA
FORMA CANNICA DE LA CIRCUNFERENCIA
FORMA CANNICA DE LA CIRCUNFERENCIA
ELEMENTOS ASOCIADOS CON UNA CIRCUNFERENCIA
EJEMPLOS1.- Determine la ecuacin de la circunferencia que tiene por centro (-2,-3) y es tangente al eje X .2.- Halle la ecuacin ordinaria de la circunferencia
Asimismo determine el centro , el radio y las coordenadas de los extremos del dimetro paralelo al eje X. graficar la figura geomtrica.
APLICACIONES1.- Cul es el lugar geomtrico descrito por la trayectoria de un avin que se mantiene sobrevolando la ciudad de Tijuana a una distancia constante de 4 km. De la torre del aeropuerto esperando instrucciones para su aterrizaje.2.-un servicio sismolgico de baja california detecta un sismo con origen en la ciudad de mexicali a 5 km. este y 3 km. sur del centro de la ciudad con un radio de 4 km. a la redonda.Cul es la ecuacin de la circunferencia del rea afectada? Determine mediante la ecuacin si afect el centro de la ciudad de mexicali?
FORMA ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIAComo vemos, la forma ordinaria de la ecuacin de la circunferencia tiene tres parmetros: las coordenadas del centro h, k y el radio R.
FORMA ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIAEjercicios:Dadas las siguientes ecuaciones en la forma ordinaria, obtener las coordenadas del centro h y k, el radio R y graficar.3.2.1.
FORMA ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIAEJERCICIOS:
FORMA ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA
FORMA ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA
FORMA ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA
FORMA GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIALa forma general de la circunferencia est dado por:
De la forma ordinaria:FORMA GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIAExiste adems la forma general de la ecuacin de la circunferencia, a la que pueda llegarse operando sobre la forma ordinaria:
FORMA GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
EJERCICIOS 1.- Cuales de las siguientes ecuaciones no corresponden a una circunferencia:
2.- Hallar la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos ( 2,-1) ; (0,2) y (1,1)
RESUMEN
TAREA
PARBOLA La parbola, se forma al cortar el cono con un plano que no pase por el vrtice y sea paralelo a una generatriz.VrticePlanoGeneratriz
PARBOLA DEFINICION:Una parbola es el conjunto de todos los puntos del plano que se encuentra en la misma distancia de un punto fijo llamado FOCO y de una recta fija llamada DIRECTRIZ.DirectrizFoco
PARBOLA
ELEMENTOS DE LA PARBOLAFDVeEn toda Parbola conviene considerar:F : Es el punto fijo llamado Foco.D : Es la recta fija llamada Directriz.e : Es la recta perpendicular a la Directriz trazada por F y es el eje de Simetra de la Parbola. V : Se llama Vrtice y es el punto de interseccin de la Parbola con el Eje de Simetra.
ELEMENTOS DE LA PARBOLAFDVQP ( x, y )2p : Se conoce como Parmetro y es la distancia que existe entre el Foco y la Directriz. Su valor se representa por 2p ( FQ = 2p)Se cumple que el vrtice por equidistar del foco y la directriz, es el punto medio del segmento FQ. Es por ello que VQ = VF = P P : Es un punto determinado de la Parbola.2pe
ELEMENTOS DE LA PARBOLAFDVQP ( x, y )Radio Vector: Para un punto cualquiera de la Parbola, P, se denomina radio vector PF que va desde el punto al Foco.Segn la definicin de la Parbola el radio vector, PF, es igual a la distancia, PB, del punto a la Directriz. 2pBe
ECUACIN DE LA PARBOLA EN SU FORMA CANNICA Y ORDINARIA
ECUACIN DE LA PARBOLA EN SU FORMA CANNICA Y ORDINARIA
ECUACIN DE LA PARBOLA EN SU FORMA CANNICA Y ORDINARIA
ECUACIN DE LA PARBOLA EN SU FORMA CANNICA Y ORDINARIA
ECUACIN DE LA PARBOLA EN SU FORMA CANNICA Y ORDINARIA
ECUACIN DE LA PARBOLA EN SU FORMA CANNICA Y ORDINARIA
ECUACIN DE LA PARBOLA EN SU FORMA CANNICA Y ORDINARIA
ECUACIONES DE LA PARBOLA
RESUMEN
RESUMEN
TAREA
ELIPSE
F2 F1ELEMENTOS.V2 V1M1
M2.
.M1M2: eje menorV1V2 : eje mayor LA ELIPSE
ELEMENTOS BSICOS DE LA ELIPSEEje focal Eje normalCentroFocos VrticesEje mayorEje menorLado rectoRadio vectorDirectricesCuerda , cuerda focal y dimetroExcentricidad Relacin entre a , b y c
La Tierra describe una trayectoria elptica alrededor del Sol, el cual se encuentra en uno de los focos. Si el semieje mayor de la elipse mide 1,485x108 km, y la excentricidad de la misma es aproximadamente igual a 1/60, se puede calcular la mxima y la mnima distancia de la Tierra al Sol. LA ELIPSE
ECUACIN DE LA ELIPSE EN SU FORMA CANNICA FORMA CANONICA DE LA ELIPSE
ECUACIN DE LA ELIPSE EN SU FORMA CANNICA
ECUACIN DE LA ELIPSE EN SU FORMA CANNICA
ECUACIN DE LA ELIPSE EN SU FORMA CANNICA
ECUACIN CANNICA DE LA ELIPSE-a -c c a b
-bF2 F1d(P,F1) + d(P,F2) = Cte (2a ) (a>b)+=1ECUACIN DE LA ELIPSE EN SU FORMA CANNICA
d(P,F1) + d(P,F2) = Cte (a>b)ECUACIN CANNICA DE LA ELIPSEb2+= 1P(x,y)F2 F1ECUACIN DE LA ELIPSE EN SU FORMA CANNICA
FORMA ORDINARIA DE LA ELIPSEECUACIN DE LA ELIPSE EN SU FORMA ORDINARIA
ECUACIN DE LA ELIPSE EN SU FORMA ORDINARIA
ECUACIN DE LA ELIPSE EN SU FORMA ORDINARIA
ECUACIN DE LA ELIPSE EN SU FORMA ORDINARIA
Si el eje focal de la elipse es paralelo al eje x , y si el centro de la elipse es el punto C(h,k); entonces la ecuacin de la elipse es:eje focalECUACIN DE LA ELIPSE EN SU FORMA ORDINARIA
Si el eje focal de la elipse es paralelo al eje y , y si el centro de la elipse es el punto C(h,k); entonces la ecuacin de la elipse es:ECUACIN DE LA ELIPSE EN SU FORMA ORDINARIA
LA HIPRBOLA
DEFINICIN Es el conjunto de puntos P (x, y) del plano cuyo valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos F1 y F2 (focos) es una constante positiva.
HIPRBOLA -c -a a cF2F1 |d(P, F1) d(P, F2) | = 2a (c > a)
HIPRBOLAELEMENTOS DE LA HIPRBOLA
V1V2: eje transverso: 2a B1B2: eje conjugado: 2b
b
-bHIPRBOLA
ECUACIN DE LA HIPERBOLA EN SU FORMA CANNICA FORMA CANONICA DE LA HIPERBOLA
ECUACIN DE LA HIPERBOLA EN SU FORMA CANNICA
ECUACIN DE LA HIPERBOLA EN SU FORMA CANNICA
ECUACIN DE LA HIPERBOLA EN SU FORMA CANNICA
HIPRBOLAFORMA CANNICA Si el eje x es el eje focal de la hiprbola, y el origen es el centro de la hiprbola; entonces la ecuacin de la hiprbola es:V1C B1
ECUACIN DE LA HIPERBOLA EN SU FORMA ORDINARIAFORMA ORDINARIA DE LA HIPERBOLA
ECUACIN DE LA HIPERBOLA EN SU FORMA ORDINARIA
Hiprbolas con centro (h,k) (Horizontal)
ECUACIN DE LA HIPERBOLA EN SU FORMA ORDINARIA
ECUACIN DE LA HIPERBOLA EN SU FORMA ORDINARIA
Hiprbolas con centro (h,k) (vertical)
Ecuaciones de las asntotas b
-bHIPRBOLA
1Figura 1ASNTOTAS DE UNA HIPRBOLA
ASNTOTAS DE UNA HIPRBOLA
EJERCICIOS:
-c -a a cF2F1LONGITUD DEL LADO RECTO: PQ
P(x,y) Q(x,-y)
EXCENTRICIDAD (e)
EXCENTRICIDAD (e)
Longitud del lado recto: Cada una de las cuerdas perpendiculares al eje focal por los focos de una hiprbola.
LR=
RESUMEN
RESUMEN
RESUMEN
TAREA1.2.
TAREA 3. 4.
*