Shperndarja Probabilitare Te Nderprera

8/13/2019 Shperndarja Probabilitare Te Nderprera.

1/41

1

Shprndarjetprobabilitare t

ndrprera

Tema 6


2/41

2

Shprndarjet probabilitare t ndrprera Nj variabl t rastit sht nj funksion apo rregull

q i cakton nj vler numerike pr do ngjarje t

thjesht n nj hapsir t mostrs. Nj variabl t rastit pasqyron aspektet e nj

eksperimenti t rastit q sht me interes pr ne.

Ka dy lloje te shperndarjesh probabilitare: Te nderprera

Te vazhdueshme


3/41

3

Nj variabl e rastit sht e nderprere n qoft se ajo

mund t marr nj numr t llogaritshme vlerash.

Nj variabl e rastit sht i vazhdueshm n qoft se ajo mundt marr nj numr t panumrueshm t vlerave.

0 11/21/41/16

Te vazhdueshme

Pas llogaritjes se vleres se pare,

te gjitha tjerat gjenden

Pra, mund te dime numrin e variablave

Pas gjetjes se vleres se pare,

cfare do numri mund te vije pas

Te nderprera

Nuk e dime numrin e variablave

0 1 2 3 ...

Shperndarjet probabilitare te nderprera dhe

te vazhdueshme


4/41

4

Nj tabel, formul, ose grafik q liston t gjitha vlerat emundshme te nj variable t rastit te nderprere mund t

supozojm, s bashku me probabilitetin e lidhur, quhetnj shprndarje probabilitare e ndrprere .

Per te llogaritur variablen X, supozojme se, P(X=x)

Shtojme mundesine qe mund te ndodhe qe X=x Ka metoda kalkulimi(tree diagram),

Definicione probabiliteti

Shprndarjet probabilitare t ndrprera


5/41

5

Nese nje variable ka vleren xi, atehere

nenkuptohet ky ekuacion:

1)(.2

1)p(x0.1 i

ixcdo

i

i

xp

xpercdo

Shprndarjet probabilitare t ndrprera


6/41

6

Shperndarja dhe frekuenca relative

Ne praktike, shpesh shperndarjet probabilitareperllogariten nga frekuenca relative.

Shembull Nje anketim tregon keto te dhena ne nje shtet te SHBA sesa TV

me ngjyra ka cdo shpi

Numri I TV Numri I shtepiavave x p(x)

0 1,218 0 1218/Total = .012

1 32,379 1 .3192 37,961 2 .374

3 19,387 3 .191

4 7,714 4 .076

5 2,842 5 .028

Total 101,501 1.000


7/417

Llogaritja e ngjarjeve te probabilitetit

Shperndarja probabilitare mund te perdoret per te

llogaritur probabilitetin e ngjarjeve te ndryshme

Shembulli me lart

Llogarisni probabilitetin per keto ngjarje :

P(Numri I TVs eshte 3) = P(X=3) =.191

P(Numri I TV eshte dy ose me shume) =P(X2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=

.374 +.191 +.076 +.028 = .669


8/418

Llogaritja e vlerave te probabilitetit ndodh ne

menyra te ndryshme dhe me programe te

ndryshme Shembulli 2

Nje person qe punon ne nje call center, ka 20% shans

per te mbyllur nje kontrate ne cdo telefonate Cila eshte shperndarja probabilitare nese ajo flet me tre

kliente?

Zhvillimi I nje shperndarjeje probabilitare


9/41

9

Zgjidhja: Metodat e probabilitetit

Ngjarja S = {Nje shitje eshte bere}.

Zhvillimi I nje shperndarjeje probabilitare

P(S)=.2

P(SC)=.8

P(S)=.2

P(S)=.2

P(S)=.2

P(S)=.2

P(SC)=.8

P(SC)=.8

P(SC)=.8

P(SC)=.8

S S S

S S SC

S SC S

S SC SC

SC S S

SC S SC

SC SC S

SC SC SC

P(S)=.2

P(SC)=.8

P(SC)=.8

P(S)=.2

X P(x)

3 .23= .008

2 3(.032)=.096

1 3(.128)=.3840 .83 = .512

(.2)(.2)(.8)= .032


10/41

10

Pershkrimi I popullates,

ne shperndarjen probabilitare Shperndarja probabilitare perfaqeson nje popullate

Interesi jone te pershkruhet popullata me

parametra te ndryshme

Thene me thjeshte, llogaritim mesataren aritmetike

te popullates si dhe variancen.


11/41

11

Mesatarja e popullates

Ne nje variabel te dhene, me vlera xi, me probabilitet per

te ndodhur p(xi), mesatarja eshte:

ixcdo

ii xpxXE )()(


12/41

12

X eshte nje variabel me shperndarje te

nderprere. Varianca e X

ixcdo

ii xpxXEXV )()()()( 222

Varianca e popullates

2

tan

dardsDeviacioni


13/41

13

Mesatarja dhe Varianca

Shembull Gjeni mesataren, variancen, dhe deviacionin standard per

tabelen ne shembullin e pare:

Zgjidhje E(X) = = Sxip(xi) = 0p(0)+1p(1)+2p(2)+=

0(.012)+1(.319)+2(.374)+ = 2.084

V(X) = 2= S(xi- )2p(xi) = (0-2.084)

2p(0)+(1-2.084)2p(1) +

(2-2.084)2+ =1.107 = 1.1071/2= 1.052


14/41

14

Vazhdimi

Varianca mund te perllogaritet dhe ne kete menyre:

Mesatarja dhe Varianca

107.1084.2...)2(2)1(1)0(0

)()()(

2222

22222

ppp

xpxXEXVixcdo

ii


15/41

15

Shperndarja bivariate perdoret per te studiuarmarredhenien midis dy variablave.

Ne formule shprehet ne kete forme:

p(x,y) = P(X=x and Y = y)

Shperndarja bivariate


16/41

16

Shperndarja bivariate duhet te plotesoje

kete kusht:

1y)p(x,2.

1y)p(x,01.:bivariateaShperndarj

ycdo

xcdo


17/41

17

Shembull

Jane dy agjent imobilare, A dhe B. X dhe Y do teperfaqesoje numrin e shtepive qe ate do te shesin

ne javen qe vjen.

Shperndarja bivariate jepet si me poshte:



18/41

18

p(x,y)


X

Y

X=0 X=2X=1

y=1

y=2

y=0

0.42

0.12

0.21

0.07

0.06

0.02

0.06

0.03

0.01

X

Y 0 1 2

0 .12 .42 .061 .21 .06 .03

2 .07 .02 .01


19/41

19

Probabiliteti Marxhinal

Shembulli

Shuma e kolonave dhe rreshtave

X

Y 0 1 2 p(y)

0 .12 .42 .06 .60

1 .21 .06 .03 .30

2 .07 .02 .01 .10

p(x) .40 .50 .10 1.00

p(0,0)

p(0,1)p(0,2)

Probabiliteti marxhinal P(X=0)

P(Y=1), probabiliteti

marxhinal


20/41

20

Pershkrimi I shperndarjes bivariate

Behet vetem duke patur vleren e variances,

mesatares dhe deviacionit standard

Perdoret probabiliteti marxhinal.

x p(x) y p(y)

0 .4 0 .6

1 .5 1 .32 .1 2 .1

E(X) = .7 E(Y) = .5

V(X) = .41 V(Y) = .45


21/41


22/41

22

Shuma e dy variablave

Shperndarja probabilitare per X+Y gjendet: Analizohen te gjitha vlerat qe X dhe Y mund te marrin

Shembulli I shtepive te shitura Gjeni probabilitetin e shtepive qe kane shitur agjentet


23/41

23

P(X+Y=0) = P(X=0 and Y=0) = .12

P(X+Y=1) = P(X=0 and Y=1)+ P(X=1 and Y=0) =.21 + .42 = .63

P(X+Y=2) = P(X=0 and Y=2)+ P(X=1 and Y=1)+ P(X=2 and Y=0)= .07 + .06 + .06 = .19

Probabiliteti P(X+Y)=3 and P(X+Y) =4 llogariten ne

te njejten menyre

X

Y 0 1 2 p(y)

0 .12 .42 .06 .60

1 .21 .06 .03 .302 .07 .02 .01 .10

p(x) .40 .50 .10 1.00

Shuma e dy variablave


24/41

24

Shperndarja binominale

Kesperimenti binominal rezulton vetem ne nje nga

dy ose me shume rezultate

Rastet tipike

Hedhja e monedhes

Kandidati fiton ose humb

Nje punetor eshte mashkull ose femer

Makinat jane me nafte ose me benzine


25/41

25

Jane n ngjarje

Cdo ngjarje mund te jete sukses ose deshtim]

Probabiliteti p per te qene sukses eshte I njejte perte gjitha ngjarjet

Cdo eksperiment eshte I pavarur nga tjetri.

Variabla binominale Kjo variable numeron numrin e sukseseve te n

ngjarjeve ne eksperimentin binominal

Eksperimenti binominal


26/41

26

S1

S2

S2

F2

F1

F2

S3

S3

S3

S3

F3

F3

F3

F3

P(SSS)=p3

P(SSF)=p2(1-p)

P(SFS)=p(1-p)p

P(SFF)=p(1-p)2

P(FSS)=(1-p)p2

P(FSF)=(1-p)p(1-p)

P(FFS)=(1-p)2p

P(FFF)=(1-p)3

P(S2|S1

Zhvillimi I nje eksperimenti binominal(n = 3)


27/41

27

P(SSS)=p3

P(SSF)=p2(1-p)

P(SFS)=p(1-p)p

P(SFF)=p(1-p)2

P(FSS)=(1-p)p2

P(FSF)=(1-p)p(1-p)

P(FFS)=(1-p)2p

P(FFF)=(1-p)3

X, numri I sukseve ne ngjarje

X = 3

X =2

X = 1

X = 0

P(X = 3) = p3

P(X = 2) = 3p2(1-p)

P(X = 1) = 3p(1-p)2

P(X = 0) = (1- p)3

Kjo llogaritet me formule

SSS

SS

S S

SS

Zhvillimi I nje eksperimenti binominal(n = 3)


28/41

28

Llogaritja e probabilitetit binominal

xnxn

x )p1(pC)x(p)xX(P

Ne pergjithesi eshte kjo formule:

)!(!

!

xnx

n

Cku

n

x


29/41

29

Shembuj

Nje student rregjistrohet ne nje kurs statistike dhe ia ka lene fatit

ne dore kalimin ne provim

Testi ka 10 pyetje me alternativa, em 5 alternativa secila pyetje

Gjeni probabilitetin qe:

Studenti sdo gjeje asnje pergjigje?

Do gjeje dy pergjigje?



30/41

30

Zgjidhje

Dime qe:

Pergjigja eshte e sakte ose e gabuar

n=10

Pyetjet skane lidhje me njera tjetren

Probabiliteti p, qe cdo pergjgije te ejte e sakte eshte 0.20



31/41

31

Zgjidhje

Japim probabilitetin binominal:

X-numri I pergjigjeve te sakta


1074.)80(.)20(.)!010(!0

!10)0( 0100

XP

3020.)80(.)20(.)!210(!2

!10)2( 2102

XP


32/41

32

= p(0) + p(1) + p(2) + p(3) + p(4)

= .1074 + .2684 + .3020 + .2013 + .0881

=.9672

Zgjidhje

Gjetja e probabilitetit binominal:

Qe studenti te ngele, I bie qe te gjeje nje pergjgije oseasnje.


Kjo quhet probabilitet grumbullues ose bashkues

P(X4)


33/41

33

E(X) = = np

V(X) = 2= np(1-p)

Shembulli Nese studenti me lart, preferon te zgjedhe vfaredo

pytjet e testit cila eshte velra e mesatares dhe e

variances: Zgjidhje

= np = 10(.2) = 2.

= [np(1-p)]1/2= [10(.2)(.8)]1/2= 1.26.

Mesatja dhe varianca binominale


34/41

34

Eksperimenti I Poissonit, perfshin ngjarje me pakmundesi per te ndodhur ne nje kohe te caktuar nenje vend te caktuar

Shembuj Numri I gabimeve qe ben nje njeri qe shkruan ne

kompjuter Numri I makinave qe furnizohen ne nje karburant

Numri I makinave qe futen ne nje servis

Shperndarja e Poissonit


35/41

35

Numri I sukseseve qe ndodh ne nje kohe te caktuar

eshte I pavarur nga numri I sukseseve ne nje kohe

tjeter. Numri I sukseseve qe ndodh ne nje kohe te caktuar

I njejte per te gjitha intervalet e njejta

Prograsiv me gjatesine e intervalit

Probabiliteti qe 2 ose me shume suksese te ndodhin ne

nje interval shkon drejt 0 sepse dhe intervali behet me I

vogel



36/41

36

Variabla Variabla ketu tregon numrin e sukseseve qe ndodhin

gjate nje kohe te caktuar ne nje vend te caktuar gjateeksperimentit

Formula

)X(V)X(E

...2,1,0x!x

e)x(p)xX(P

x



37/41

37

Shperndarja e Poissonit ( grafiku)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3678.e!0

1e)0(p)0X(P 1

01

3678.e!1

1e)1(p)1X(P 1

11

1839.2

e

!2

1e)2(p)2X(P

121

0613.6

e

!3

1e)3(p)3X(P

131

0 1 2 3 4 5


38/41

38

Poisson Distributions (Graphs)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0

0.05

0.1

0.15

0.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0

0.05

0.1

0.15

0.20.25

0.3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Poisson probability

distribution with =2

Poisson probability


Poisson probability


0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15


39/41

39


Shembull

Numri I gabimeve qe ben nje njeri qe merret me

shkrimin ne kompjuter per shperndarjen e poissonit kanje mesatare 1.5 per 100 faqe.

100 faqet jane jo ne renditje

Cili eshte probabiliteti qe ska gabime ne nje faqe?

Zgjidhje

P(X=0)=e-x

x!

e-1.51.50

0!.2231= =


40/41

40


Shembull

Per nje liber 400 faqesh gjej probabilitetin qe: Ska gabime

Ka 5 ose me pak gabime

Zgjidhje

P(X=0)=

P(X5)=formula p(0), p(1),,p(5), na jepp(0)+p(1)++p(5) = .4457

e-x

x!

e-660

0!.002479= =

Mesatarja 1.5 per 100 faqe,

=6 per 400 faqe


41/41

Pyetje dhe rekomandime?

Documents

Shperndarja Probabilitare Te Nderprera