SI-4101 Sistem RekayasaSI-4101 Sistem Rekayasa

13 Agustus 201013 Agustus 2010

Dr. Dhemi HarlanDr. Dhemi Harlan

PercentagePercentage

Activity (hour/week)Activity (hour/week)

Assessment/PenilaianAssessment/Penilaian

References/BibliographyReferences/Bibliography

Knowledge = 20 %Knowledge = 20 %Skill = 40 %Skill = 40 %Attitude = 40 %Attitude = 40 %

Course = 3Course = 3Tutorial = 3Tutorial = 3Mandiri = 3Mandiri = 3

UTS = 30 %UTS = 30 %UAS = 40 %UAS = 40 %Tugas = 30 %Tugas = 30 %

1.1. Taha, H.A,”Operations Research, an Taha, H.A,”Operations Research, an introduction”, Prentice-Hall Int, Incintroduction”, Prentice-Hall Int, Inc

2.2. Ossenbruggen,P.J,”System Analysis Ossenbruggen,P.J,”System Analysis for Civil Engineers”’ John Wileyfor Civil Engineers”’ John Wiley

3.3. Templeman, A.B.,”Civil Engineering Templeman, A.B.,”Civil Engineering Systems”, The Macmillan Press Ltd.Systems”, The Macmillan Press Ltd.

4.4. Wilkes, F.W.,”Elements of Wilkes, F.W.,”Elements of Operational Research”, McGraw-HillOperational Research”, McGraw-Hill

5.5. Markland, R.E.,”Topics in Markland, R.E.,”Topics in Management Science”, John Wiley.Management Science”, John Wiley.

Rincian KuliahRincian Kuliah

Mg 1 Pengantar optimasiMg 1 Pengantar optimasi

Mg 2-7 Linear programmingMg 2-7 Linear programming

Mg 8 UTSMg 8 UTS

Variabel, objektif, kendala, dan Variabel, objektif, kendala, dan

solusi dlm masalah pengambilan solusi dlm masalah pengambilan

keputusan, pemodelan, model keputusan, pemodelan, model

matematikmatematik

Solusi grafisSolusi grafis

Metode simplexMetode simplex

Metode simplex dua faseMetode simplex dua fase

Hubungan dual-primalHubungan dual-primal

Transportation modelTransportation model

Assignment modelAssignment model

Mg 9-11 Dynamic programming Mg 9-11 Dynamic programming

(Deterministik)(Deterministik)

Mg 12 Pengantar inventory Mg 12 Pengantar inventory

modelmodel

Mg 13 Inventory modelMg 13 Inventory model

(Deterministik)(Deterministik)

Mg 14-15 Pengantar sistem Mg 14-15 Pengantar sistem

antrianantrian

Mg16 UASMg16 UAS

- Prinsip optimalitas, dasar-dasar Prinsip optimalitas, dasar-dasar

komputasi Rekursifkomputasi Rekursif- Rekursi ke depan Rekursi ke depan - Rekursi ke belakangRekursi ke belakang

- Inventory model secara umumInventory model secara umum

- Model dengan pola permintaan yang Model dengan pola permintaan yang deterministikdeterministik

- Guna sistem antrianGuna sistem antrian- Elemen-elemen model antrianElemen-elemen model antrian

Pengertian Analisis SistemPengertian Analisis Sistem

Sistem dapat didefiniskan sebagai Sistem dapat didefiniskan sebagai gabungan berbagai komponen gabungan berbagai komponen struktural dan non-struktural yang struktural dan non-struktural yang saling terkait yang saling terkait yang diorganisasikan untuk mencapai diorganisasikan untuk mencapai sejumlah output (tujuan) tertentu sejumlah output (tujuan) tertentu dengan cara mengatur input dari dengan cara mengatur input dari sistem (berupa sumber daya sistem (berupa sumber daya materi, energi dan informasi dll). materi, energi dan informasi dll).

Analisis sistem merupakan suatu Analisis sistem merupakan suatu pendekatan yang menempatkan pendekatan yang menempatkan sumber daya yang ada dengan sumber daya yang ada dengan cara yang efisien. Sumber daya cara yang efisien. Sumber daya dimaksud bisa berupa tenaga dimaksud bisa berupa tenaga buruh, uang, dan material. Ini buruh, uang, dan material. Ini berguna untuk proyek skala besarberguna untuk proyek skala besar

sistem pengatur udara : sistem pengatur udara : pengatur suhu, sistem penukar panas, pengatur suhu, sistem penukar panas,

sistem pipa distribusi udara dll (struktural), sistem pipa distribusi udara dll (struktural), standar pengaturan suhu ruang, kebiasaan standar pengaturan suhu ruang, kebiasaan penghuni ruang dll (non struktural)penghuni ruang dll (non struktural)

Input dari sistem: udara dari ruangan Input dari sistem: udara dari ruangan outputnya: udara yang suhu dan outputnya: udara yang suhu dan kelembabannya sudah diatur untuk kelembabannya sudah diatur untuk didistribusikan ke berbagai ruangan didistribusikan ke berbagai ruangan

Sistem irigasi:Sistem irigasi:

bendung, saluran pembawa, bangunan bendung, saluran pembawa, bangunan bagi, jaringan tersier dll (struktural), bagi, jaringan tersier dll (struktural), peraturan mengenai pengambilan air, pola peraturan mengenai pengambilan air, pola tanam dll. (non struktural) tanam dll. (non struktural)

Input dari sistem: air sungai Input dari sistem: air sungai

outputnya : agar air dapat didistribusikan outputnya : agar air dapat didistribusikan

ke petakan sawah sesuai dgn kebutuhan.ke petakan sawah sesuai dgn kebutuhan.

• Alat bantu bagi seorang system engineer adalah model matematik. Alat bantu bagi seorang system engineer adalah model matematik. Model matematik ini yang digunakan untuk menentukan suatu solusi Model matematik ini yang digunakan untuk menentukan suatu solusi yang optimum, sehingga dikenal juga dengan nama model optimisasi.yang optimum, sehingga dikenal juga dengan nama model optimisasi.

• Optimisasi adalah suatu proses untuk mencari penyelesaian atau Optimisasi adalah suatu proses untuk mencari penyelesaian atau perencanaan terbaikperencanaan terbaik dari suatu persoalan (A process of finding the dari suatu persoalan (A process of finding the "best" solution or design to a problem)"best" solution or design to a problem)

Dalam hal ini perlu dicatat beberapa hal berikut :Dalam hal ini perlu dicatat beberapa hal berikut :

1. Solusi terbaik (the "best" solution) dapat dinilai dari segi biaya (cost), 1. Solusi terbaik (the "best" solution) dapat dinilai dari segi biaya (cost), kinerja (performance), keindahan (aesthetic), lingkungan (environment), kinerja (performance), keindahan (aesthetic), lingkungan (environment), kesejahteraan (weel being) dll. kesejahteraan (weel being) dll.

2. Solusi terbaik sangat tergantung dari persoalan serta siapa yang 2. Solusi terbaik sangat tergantung dari persoalan serta siapa yang melakukan penilaian. Contoh penggunaan air di Bendungan jatiluhurmelakukan penilaian. Contoh penggunaan air di Bendungan jatiluhur

- Untuk petani ikan jaring apung di reservoar Jatiluhur penggunaan air- Untuk petani ikan jaring apung di reservoar Jatiluhur penggunaan air

yang terbaik adalah untuk perikanan jaring apung.yang terbaik adalah untuk perikanan jaring apung.

- Untuk petani sawah di daerah Irigasi Jatiluhur (330.000 Ha) - Untuk petani sawah di daerah Irigasi Jatiluhur (330.000 Ha)

penggunaan air yang terbaik adalah untuk irigasi sawahpenggunaan air yang terbaik adalah untuk irigasi sawah

- Untuk PDAM dan Daerah Industri di DKI penggunaan air yang terbaik - Untuk PDAM dan Daerah Industri di DKI penggunaan air yang terbaik

adalah untuk Air Minum dan Industri (adalah untuk Air Minum dan Industri (Gambar 1‑1Gambar 1‑1).).

Kawasan Industri

Jatiluhur

Daerah Irigasi

Daerah Irigasi

PDAM

3. Dengan demikian perlu dicari suatu pola pemanfaatan air yang dapat3. Dengan demikian perlu dicari suatu pola pemanfaatan air yang dapat memenuhi kebutuhan “semua pihak”, yaitu petani ikan jaring apung,memenuhi kebutuhan “semua pihak”, yaitu petani ikan jaring apung, petani sawah, PDAM dan Daerah Industri di DKIpetani sawah, PDAM dan Daerah Industri di DKI4. Pola pemanfaatan air yang dapat memenuhi kebutuhan “semua pihak”, 4. Pola pemanfaatan air yang dapat memenuhi kebutuhan “semua pihak”, harus mempertimbangkan batasan-batasan (Contraint) yang terkaitharus mempertimbangkan batasan-batasan (Contraint) yang terkait dengan masing-masing pihakdengan masing-masing pihak - Air yang masuk ke reservoar dan volume reservoar - Air yang masuk ke reservoar dan volume reservoar air yang masuk air yang masuk terbatas dan volume reservoar juga terbatas.terbatas dan volume reservoar juga terbatas. - Kebutuhan Air perikanan jaring apung, irigasi sawah dan untuk PDAM - Kebutuhan Air perikanan jaring apung, irigasi sawah dan untuk PDAM dan Daerah Industri di DKIdan Daerah Industri di DKI - Batasan tentang Prioritas penggunaan air - Batasan tentang Prioritas penggunaan air 1) Air Minum, 2) Industri, 3) 1) Air Minum, 2) Industri, 3) Irigasi dan 4) Perikanan.Irigasi dan 4) Perikanan.

5. Dengan demikian yang dimaksud 5. Dengan demikian yang dimaksud optimisasioptimisasi adalah adalah Suatu proses untuk mencari mencari penyelesaian atau perencanaan Suatu proses untuk mencari mencari penyelesaian atau perencanaan terbaikterbaik dari suatu persoalan yang memiliki batasan-batasan tertentu (A dari suatu persoalan yang memiliki batasan-batasan tertentu (A process of finding the "best" solution or design to a constrained problem)process of finding the "best" solution or design to a constrained problem)

6. Tujuan analisa sistem adalah bagaimana mengatur input suatu 6. Tujuan analisa sistem adalah bagaimana mengatur input suatu sistim (yang pada umumnya terbatas) sedemikian rupa hingga diperoleh sistim (yang pada umumnya terbatas) sedemikian rupa hingga diperoleh output yang “output yang “optimum”optimum” dan memenuhi batasan yang harus dipenuhi dan memenuhi batasan yang harus dipenuhi sistem. sistem.

• Secara umum terdapat dua jenis Model Matematik untuk mencari solusi Secara umum terdapat dua jenis Model Matematik untuk mencari solusi optimum, yang biasa digunakan dalam praktek.optimum, yang biasa digunakan dalam praktek.

1. Model Deterministik : 1. Model Deterministik : Model Matematik Model Matematik dimana persoalan atau sistem yang perilakunya dimana persoalan atau sistem yang perilakunya tidak mengandungtidak mengandung unsur probabilitas atau ketidak pastian (uncertainty). unsur probabilitas atau ketidak pastian (uncertainty).

2. Model Stokastik : 2. Model Stokastik : Model Matematik dimana persoalan Model Matematik dimana persoalan atau sistem yang perilakunya atau sistem yang perilakunya mengandungmengandung unsur probabilitas atau unsur probabilitas atau ketidak pastian (uncertainty).ketidak pastian (uncertainty).

• Kuliah Sistem Rekayasa Sipil (SI-4252) sebagian besar akan membahas Kuliah Sistem Rekayasa Sipil (SI-4252) sebagian besar akan membahas Model DeterministikModel Deterministik. .

Model MatematikModel Matematik• Dalam Analisis sistem, model matematik merupakan unsur yang Dalam Analisis sistem, model matematik merupakan unsur yang

penting dalam proses membuat keputusan. Model matematik adalah penting dalam proses membuat keputusan. Model matematik adalah pernyataan yang eksak dan jelas dari suatu tujuan yang dicapai. pernyataan yang eksak dan jelas dari suatu tujuan yang dicapai. Sebagai tambahan model matematik terdiri dari satu set kondisi batas Sebagai tambahan model matematik terdiri dari satu set kondisi batas finansial, fisik, dan institusi yang harus dipenuhi. Solusi untuk sebuah finansial, fisik, dan institusi yang harus dipenuhi. Solusi untuk sebuah masalah berupa solusi optimum, merupakan pernyataan bagaimana masalah berupa solusi optimum, merupakan pernyataan bagaimana sumber daya digunakan dengan cara efisien dan efektif.sumber daya digunakan dengan cara efisien dan efektif.

• Pendekatan analisis sistem terdiri dari tahapan:Pendekatan analisis sistem terdiri dari tahapan: 1. Tentukan tujuan/objektif, tetapkan ukuran efektifitas yang sesuai.1. Tentukan tujuan/objektif, tetapkan ukuran efektifitas yang sesuai. 2. Tentukan batasan2 finansial, fisik, dan institusi, dan tetapkan2. Tentukan batasan2 finansial, fisik, dan institusi, dan tetapkan satu set persamaan2 pembatas.satu set persamaan2 pembatas. 3. Tentukan solusi optimum3. Tentukan solusi optimum

• Tipikal model analisis sistem akan terdiri dari fungsi objektif tunggal Tipikal model analisis sistem akan terdiri dari fungsi objektif tunggal dan satu set persamaan pembatas. Fungsi objektif diasumsikan dan satu set persamaan pembatas. Fungsi objektif diasumsikan sebagai fungsi satu set desain, keputusan, atau variabel kendali. sebagai fungsi satu set desain, keputusan, atau variabel kendali. Fungsi objektif bisa dinyatakan sebagai hubungan matematikFungsi objektif bisa dinyatakan sebagai hubungan matematik

z=f ( xz=f ( x11, x, x22, …, x, …, xnn ) )

dimana xdimana x11 , x , x22 , … , x , … , xnn merupakan sejumlah n variabel kendali. merupakan sejumlah n variabel kendali. Mewakili persamaan jumlah pekerja, jumlah uang, dan volumeMewakili persamaan jumlah pekerja, jumlah uang, dan volume material, dimana semuanya nilai yang tidak negatifmaterial, dimana semuanya nilai yang tidak negatif

• Variabel kendali dalam model matematik dinyatakan sebagaiVariabel kendali dalam model matematik dinyatakan sebagai xx1 1 ≥ 0≥ 0 xx22 ≥ 0 ≥ 0 .. .. xxnn ≥ 0 ≥ 0• Batasan finansial, fisik, dan institusi diwakili oleh satu set m persamaan Batasan finansial, fisik, dan institusi diwakili oleh satu set m persamaan

pembataspembatas gg11(x(x1 1 , x, x22 , … , x , … , xnn) {= , ≤ , ≥} b) {= , ≤ , ≥} b11

gg22(x(x1 1 , x, x22 , … , x , … , xnn) {= , ≤ , ≥} b) {= , ≤ , ≥} b22

..

.. ggmm(x(x1 1 , x, x22 , … , x , … , xnn) {= , ≤ , ≥} b) {= , ≤ , ≥} bmm

• Fungsi f(x) dan set fungsi yang diwakili g(x) bisa berupa linier dan nonlinierFungsi f(x) dan set fungsi yang diwakili g(x) bisa berupa linier dan nonlinier

Solusi Grafis untuk Model Matematik LinierSolusi Grafis untuk Model Matematik Linier • Konsep dasar untuk mendapatkan solusi optimum dapat diilustrasikan Konsep dasar untuk mendapatkan solusi optimum dapat diilustrasikan

dengan model dan pengertian grafis. Model grafis terbatas untuk dua dengan model dan pengertian grafis. Model grafis terbatas untuk dua variabel kendali atau yang disebut model bivariate.variabel kendali atau yang disebut model bivariate.

• Model Matematik linier bivariate dapat ditulisModel Matematik linier bivariate dapat ditulis

z = cz = c11xx11 + c + c22xx22

aa1111xx11 + a + a1212xx22 { = , ≤ , ≥ } b { = , ≤ , ≥ } b11

aa2121xx11 + a + a2222xx22 { = , ≤ , ≥ } b { = , ≤ , ≥ } b22

.. ..

aam1m1xx11 + a + am2m2xx22 { = , ≤ , ≥ } b { = , ≤ , ≥ } bmm

• Prosedur grafis terdiri dari tahapanProsedur grafis terdiri dari tahapan 1. Tentukan wilayah fisibel dari set persamaan2 pembatas.1. Tentukan wilayah fisibel dari set persamaan2 pembatas.

2. Asumsikan solusi z2. Asumsikan solusi z00 dan tetapkan kemiringan garis c dan tetapkan kemiringan garis c11xx11 + c + c22xx22 = z = z00

3. Tentukan solusi optimum z* dengan menetapkan garis yang paralel3. Tentukan solusi optimum z* dengan menetapkan garis yang paralel terhadap zterhadap z00 dan terletak pada batas wilayah fisibel dan terletak pada batas wilayah fisibel

• Misal, dalam perencanaan pembangunan 2 ruangan seperti pada gambar , Misal, dalam perencanaan pembangunan 2 ruangan seperti pada gambar , kontrak menyatakan bahwa total luas lantai dari bangunan harus luas kontrak menyatakan bahwa total luas lantai dari bangunan harus luas minimum dari 5000 ftminimum dari 5000 ft22 dan masing-masing ruang bangunan harus dan masing-masing ruang bangunan harus mempunyai luas spesifik maksimum dari 5000 ftmempunyai luas spesifik maksimum dari 5000 ft22 dan 3000 ft dan 3000 ft22. Dengan . Dengan spesifikasi ini, dimungkinkan bahwa solusi optimum akan berupa ruang spesifikasi ini, dimungkinkan bahwa solusi optimum akan berupa ruang tunggal dari 5000 fttunggal dari 5000 ft22. Misal variable kendali x. Misal variable kendali x11 dan x dan x22 mewakili luas lantai mewakili luas lantai ruang 1 dan 2. Asumsikan bahwa $50/ftruang 1 dan 2. Asumsikan bahwa $50/ft22 dan $60/ft dan $60/ft22 adalah unit adalah unit penerimaan rutin untuk ruang 1 dan 2. Maksimum total penerimaan, R, penerimaan rutin untuk ruang 1 dan 2. Maksimum total penerimaan, R, adalah fungsi dari luas lantai xadalah fungsi dari luas lantai x11 dan x dan x22 yang dapat diwakili dengan fungsi yang dapat diwakili dengan fungsi objektif dan set persamaan pembatas berikutobjektif dan set persamaan pembatas berikut

Maximize R = $50 xMaximize R = $50 x11 + $60 x + $60 x22

xx11 + x + x22 ≥ 5000 ( total luas lantai ) ≥ 5000 ( total luas lantai )

xx11 ≤ 5000 ( ruang 1 ) ≤ 5000 ( ruang 1 )

xx22 ≤ 3000 ( ruang 2 ) ≤ 3000 ( ruang 2 )

xx11 ≥ 0 ≥ 0

xx22 ≥ 0 ≥ 0

Ruang 1Ruang 2

• Model matematik diatas terdiri dari fungsi objektif linier dan satu set Model matematik diatas terdiri dari fungsi objektif linier dan satu set persamaan pembatas. Permasalahan dengan bentuk matematik ini disebut persamaan pembatas. Permasalahan dengan bentuk matematik ini disebut model matematik linier.model matematik linier.

• Tentukan wilayah fisibel dan tidak fisibel, serta solusi optimum Tentukan wilayah fisibel dan tidak fisibel, serta solusi optimum berdasarkan model matematik diatas !!berdasarkan model matematik diatas !!

• Langkah pertama: tentukan wilayah fisibelLangkah pertama: tentukan wilayah fisibel

Misalkan kita tetapkan wilayah fisibel dengan memperhatikan masing2 Misalkan kita tetapkan wilayah fisibel dengan memperhatikan masing2 pembatas secara terpisah, dan selanjutnya digabung untuk membangun pembatas secara terpisah, dan selanjutnya digabung untuk membangun wilayah fisibel dari seluruh persamaan pembatas.wilayah fisibel dari seluruh persamaan pembatas.

Pembatas xPembatas x11 ≥ 0 dan x ≥ 0 dan x22 ≥ 0 membatasi wilayah fisibel pada semua titik ≥ 0 membatasi wilayah fisibel pada semua titik dalam kuadran positif atau kuadran Idalam kuadran positif atau kuadran I

I

IV

II

III

x2

x1

II

III

x2

x1

II

III

x2

x1

IV

I

IV

I

• Pembatas xPembatas x11 + x + x22 ≥ 5000 , x ≥ 5000 , x11 ≤ 5000 , dan x ≤ 5000 , dan x22 ≤ 3000 ditunjukkan pada ≤ 3000 ditunjukkan pada gambar dibawahgambar dibawah

x1

x2

5000

5000x1 + x2 ≥ 5000

x1

x2

5000

5000

x1 ≤ 5000

x1

x2

5000

5000

x2 ≤ 3000

x1

x2

5000

5000Batas / boundary

Titik ekstrim

2

1

(a) (b)

(c) (d)

• Perpotongan bidang pada Gambar (a), (b), dan (c) diatas menghasilkan Perpotongan bidang pada Gambar (a), (b), dan (c) diatas menghasilkan wilayah fisibel seperti ditunjukkan pada Gambar (d). Semua titik yang wilayah fisibel seperti ditunjukkan pada Gambar (d). Semua titik yang terletak didalam atau pada batas wilayah fisibel disebut terletak didalam atau pada batas wilayah fisibel disebut solusi fisibelsolusi fisibel. . Semua titik terletak diluar wilayah fisibel disebut Semua titik terletak diluar wilayah fisibel disebut solusi tidak fisibelsolusi tidak fisibel. Titik 1 . Titik 1 dan 2 adalah contoh solusi fisibel dan tidak fisibel.dan 2 adalah contoh solusi fisibel dan tidak fisibel.

• Langkah kedua: fungsi objektif digambarkan untuk nilai asumsi zLangkah kedua: fungsi objektif digambarkan untuk nilai asumsi z00..

Karena fungsi objektif adalah fungsi linier, kita dapat dengan mudah Karena fungsi objektif adalah fungsi linier, kita dapat dengan mudah menetapkan menetapkan garis konturgaris kontur atau atau locuslocus dari titik2 yang memenuhi dari titik2 yang memenuhi

50x50x11 + 60x + 60x22 = z = z00. Misalkan dipilih z. Misalkan dipilih z00 sama dengan $150,000. Untuk sama dengan $150,000. Untuk memudahkan, kita tentukan titik (xmemudahkan, kita tentukan titik (x11,0) dan (0,x,0) dan (0,x22). Titik ini terletak pada ). Titik ini terletak pada sumbu xsumbu x11 dan x dan x22. Jadi. Jadi

50x50x11 + 60 . 0 = 150,000 atau x + 60 . 0 = 150,000 atau x11 = 3000 atau (3000,0) = 3000 atau (3000,0)

50 . 0 + 60x50 . 0 + 60x22 = 150,000 atau x = 150,000 atau x22 = 2500 atau (0,2500) = 2500 atau (0,2500)

Garis zGaris z00 harus melewati titik (3000,0) dan (0,2500). Semua titik yang harus melewati titik (3000,0) dan (0,2500). Semua titik yang terletak pada zterletak pada z00 = $150,000 dan tidak berpotongan seperti ditunjukkan = $150,000 dan tidak berpotongan seperti ditunjukkan pada gambar dibawah disebut solusi tidak fisibel. Tidak satupun titik2 tsb pada gambar dibawah disebut solusi tidak fisibel. Tidak satupun titik2 tsb dapat menjadi solusi optimum.dapat menjadi solusi optimum.

• Langkah ketiga: solusi optimum dapat ditemukan dengan menggambarkan Langkah ketiga: solusi optimum dapat ditemukan dengan menggambarkan garis kontur paralel terhadap zgaris kontur paralel terhadap z00 yang terletak pada titik ekstrim wilayah yang terletak pada titik ekstrim wilayah fisibel. Arah pertambahan nilai z ditunjukkan pada gambar dibawah. Garis fisibel. Arah pertambahan nilai z ditunjukkan pada gambar dibawah. Garis kontur baru z harus berpotongan solusi fisibel bisa dikatakan kandidat kontur baru z harus berpotongan solusi fisibel bisa dikatakan kandidat solusi optimum. Untuk model linier, titik ekstrim didefinisikan sebagai solusi optimum. Untuk model linier, titik ekstrim didefinisikan sebagai perpotongan dua atau lebih persamaan pembatas. perpotongan dua atau lebih persamaan pembatas.

Wilayah fisibel

5000

50003000

2500

Z0 = $150,000

Arah utk menambah nilai z

Titik ekstrim

Titik ekstrim

x1

x2

• Titik ekstrim akan terletak pada batas wilayah fisibel, selanjutnya ini Titik ekstrim akan terletak pada batas wilayah fisibel, selanjutnya ini adalah solusi fisibel dan kandidat untuk solusi optimum. Garis kontur yang adalah solusi fisibel dan kandidat untuk solusi optimum. Garis kontur yang ditandai dengan z* adalah paralel terhadap zditandai dengan z* adalah paralel terhadap z00 dan garis tsb akan melewati dan garis tsb akan melewati titik ekstrim x*. Lokasi solusi optimum untuk masalah maksimum titik ekstrim x*. Lokasi solusi optimum untuk masalah maksimum ditunjukkan pada gambar dibawah.ditunjukkan pada gambar dibawah.

5000

50003000

3000

Pembatas tidak aktif

x1 + x2 = 5000

Pembatas aktif : x2 = 3000

Pembatas aktif :

x1 = 5000

x1

x2

Z* = $430,000

X*

• Titik x* adalah unik karena z adalah maksimum dan memenuhi kondisi Titik x* adalah unik karena z adalah maksimum dan memenuhi kondisi yang ditetapkan set pembatas dari masalah. Jadi, solusi optimum masalah yang ditetapkan set pembatas dari masalah. Jadi, solusi optimum masalah ini adalahini adalah

xx11* = 5000 ft* = 5000 ft22 dan x dan x22* = 3000 ft* = 3000 ft22

dengan total penerimaan optimum atau maksimum sama dengandengan total penerimaan optimum atau maksimum sama dengan

z* = $50 . 5000 + $60 . 3000z* = $50 . 5000 + $60 . 3000

= $430,000= $430,000

• Ini adalah pendekatan langsung untuk memecahkan model matematik Ini adalah pendekatan langsung untuk memecahkan model matematik linier. Dalam langkah ketiga, titik optimum z* bisa ditetapkan sebab linier. Dalam langkah ketiga, titik optimum z* bisa ditetapkan sebab kemiringan dari fungsi objektif selalu paralel terhadap garis kontur zkemiringan dari fungsi objektif selalu paralel terhadap garis kontur z00 berkenaan dengan nilai asumsi zberkenaan dengan nilai asumsi z00. Ini adalah karakter fungsi linier. . Ini adalah karakter fungsi linier. Pendekatan ini dapat digunakan untuk model matematik linier yang Pendekatan ini dapat digunakan untuk model matematik linier yang dibatasi untuk dua variable kendali dengan suatu fungsi objektif minimum dibatasi untuk dua variable kendali dengan suatu fungsi objektif minimum atau maksimumatau maksimum

• TUGAS 1TUGAS 1

• Soal 1Soal 1

Tinjau set pembatas:Tinjau set pembatas:

xx11 – 2x – 2x22 ≤ 2 ≤ 2

2x2x11 + x + x22 ≤ 9 ≤ 9

-3x-3x11 + 2x + 2x22 ≤ 3 ≤ 3

xx11 tidak ada batasan tidak ada batasan

xx22 ≥ 0 ≥ 0

(a) Tunjukkan wilayah fisibel dengan jelas pada gambar untuk (a) Tunjukkan wilayah fisibel dengan jelas pada gambar untuk

set pembatas diatas.set pembatas diatas.

(b) Tandai titik2 ekstrimnya.(b) Tandai titik2 ekstrimnya.

(c) Jika x(c) Jika x11 ≥ 0 digunakan, tunjukkan wilayah fisibel dan tandai titik2 ≥ 0 digunakan, tunjukkan wilayah fisibel dan tandai titik2

ekstrimnya. ekstrimnya.

• Soal 2Soal 2

Dengan pendekatan grafis, tentukan lokasi solusi optimumDengan pendekatan grafis, tentukan lokasi solusi optimum

Maksimumkan z = 3xMaksimumkan z = 3x11 + 2x + 2x22

2x2x11 + 4x + 4x22 ≤ 21 ≤ 21

5x5x11 + 3x + 3x22 ≤ 18 ≤ 18

xx11 ≥ 0 ≥ 0

xx22 ≥ 0 ≥ 0

(a) Tunjukkan wilayah fisibel dengan jelas.(a) Tunjukkan wilayah fisibel dengan jelas.

(b) Tentukan harga dan lokasi titik optimum.(b) Tentukan harga dan lokasi titik optimum.

(c) Tandi pembatas aktif dan tidak aktif.(c) Tandi pembatas aktif dan tidak aktif.

• Soal 3Soal 3

Minimalkan z = 3xMinimalkan z = 3x11 + x + x22

2x2x11 + 2x + 2x22 ≤ 9 ≤ 9

2x2x11 – 4x – 4x22 = 6 = 6

xx11 ≥ 0 ≥ 0

xx22 ≥ 0 ≥ 0

(a) Tunjukkan wilayah fisibel dengan jelas.(a) Tunjukkan wilayah fisibel dengan jelas.

(b) Dengan pendekatan grafis tentukan solusi optimum.(b) Dengan pendekatan grafis tentukan solusi optimum.

(c) Jika batasan tidak negatif pada x(c) Jika batasan tidak negatif pada x22 (misal x (misal x22 ≥ 0) dihilangkan, tentukan ≥ 0) dihilangkan, tentukan

pengaruh pada nilai optimal zpengaruh pada nilai optimal z

• Soal 4Soal 4

Maksimumkan z = 2xMaksimumkan z = 2x22

xx11 ≤ x ≤ x22 (1) (1)

-x-x11 + 2x + 2x22 ≤ 2 (2) ≤ 2 (2)

2x2x11 + 2x + 2x22 = 3 (3) = 3 (3)

xx11 tidak ada batasan tidak ada batasan

xx22 ≥ 0 ≥ 0

(a) Tunjukkan wilayah fisibel dengan jelas.(a) Tunjukkan wilayah fisibel dengan jelas.

(b) Tentukan harga titik optimum.(b) Tentukan harga titik optimum.

(c) Tandai pembatas aktif dan tidak aktif.(c) Tandai pembatas aktif dan tidak aktif.

(d) Bagaimana titik optimum dipengaruhi jika pembatas (2) dihilangkan.(d) Bagaimana titik optimum dipengaruhi jika pembatas (2) dihilangkan.

Mengapa ?Mengapa ?

• Soal 5Soal 5

Seorang kontraktor membeli material dari dua lokasi tanah dan kerikil yang Seorang kontraktor membeli material dari dua lokasi tanah dan kerikil yang berbeda. Unit harga material termasuk pengantaran dari lokasi 1 dan 2 berbeda. Unit harga material termasuk pengantaran dari lokasi 1 dan 2 adalah $5/ydadalah $5/yd33 dan $7/yd dan $7/yd33. Kontraktor membutuhkan 100 yd. Kontraktor membutuhkan 100 yd33 dari dari campuran. Campuran harus mengandung minimum 30 persen tanah. campuran. Campuran harus mengandung minimum 30 persen tanah. Lokasi 1 mengandung 25 persen tanah, dan lokasi 2 mengandung 50 Lokasi 1 mengandung 25 persen tanah, dan lokasi 2 mengandung 50 persen tanah.persen tanah.

Tujuan adalah untuk meminimalkan biaya material.Tujuan adalah untuk meminimalkan biaya material.

(a) Tentukan variabel kendali.(a) Tentukan variabel kendali.

(b) Formulasikan model matematiknya.(b) Formulasikan model matematiknya.

(c) Gambarkan wilayah fisibel.(c) Gambarkan wilayah fisibel.

(d) Tentukan solusi optimum dengan pendekatan grafis.(d) Tentukan solusi optimum dengan pendekatan grafis.

(e) Tandai pembatas aktif dan tidak aktif.(e) Tandai pembatas aktif dan tidak aktif.