Upload
others
View
31
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
i
SIFAT-SIFAT NILAI EIGEN DALAM MATRIKS QUATERNION
THE PROPERTIES OF THE EIGENVALUE IN THE QUATERNION MATRICES
SUSI EKAWATI
PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS HASANUDDIN MAKASSAR
2019
ii
SIFAT-SIFAT NILAI EIGEN DALAM MATRIKS QUATERNION
Tesis
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar Magister
Program Studi
Magister Matematika
Disusun dan diajukan oleh
SUSI EKAWATI
Kepada
PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS HASANUDDIN MAKASSAR
2019
iii
iv
LEMBAR PERNYATAAN KEASLIAN TESIS
Yang bertanda tangan di bawah ini
Nama : Susi Ekawati
Nomor Mahasiswa : P3500216018
Program Studi : Magister Matematika
Menyatakan dengan sebenarnya bahwa tesis yang saya tulis ini
benar-benar merupakan hasil karya saya sendiri, bukan merupakan
pengambilalihan tulisan atau pemikiran orang lain. Apabila dikemudian
hari terbukti atau dapat dibuktikan bahwa sebagian atau keseluruhan tesis
ini hasil karya orang lain, saya bersedia menerima sanksi atas perbuatan
tersebut.
Makassar, Januari 2019
Yang menyatakan
Susi Ekawati
v
PRAKATA
Alhamdulillahirobbi’alamin. Puji syukur penulis panjatkan kehadirat
Allah Swt. Tuhan bagi seluruh semesta alam atas limpahan rahmat dan
karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini dengan
baik.Salawat dan taslim semoga tetap tercurah kepada Rasulullah SAW
yang menjadi suri tauladan bagi umat Islam dalam menjalani hidup yang
sesungguhnya.
Dalam proses penulisan dan penyelesaian tesis ini, penulis banyak
mendapatkan dorongan motivasi, bantuan, dukungan dan arahan dari
berbagai pihak, sehingga tesis ini dapat penulis selesaikan dengan baik
dan tepat waktu. Oleh karena itu, penulis dengan tulus menyampaikan
terima kasih kepada:
1. Ayahanda Mustari dan Ibunda Rabia tercinta yang senantiasa
memberikan kasih sayang, dorongan, dukungan, do’a, dan materi
kepada penulis dalam menuntut ilmu.
2. Prof. Dr. Amir Kamal Amir, M.Sc dan Prof. Dr. Eng. Mawardi, M.Si
yang dengan sabar meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran dalam
membimbing dan mengarahkan penulis pada penyusunan tesis.
3. Prof. Dr. Hj. Aidawayati Rangkuti, MS., Dr. Loeky Haryanto, MS.,
M.Sc., M.Math, dan Dr. Budi Nurwahyu, MS sebagai tim penguji
yang telah memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis
ini.
vi
4. Seluruh dosen di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin
yang telah mendidik, mengajarkan, membimbing, dan mencurahkan
ilmu-ilmunya kepada penulis.
5. Dekan, Wakil Dekan, Staf Fakultas, dan Staf Jurusan yang selama ini
banyak membantu penulis dalam urusan administrasi.
6. Kepada saudara-saudaraku. Hariani, Tommy Anggriawan, dan
Ervin Alamsyah serta seluruh keluarga besar yang selalu
memberikan motivasi, dukungan, dan do’a yang tiada batas.
7. Teman-teman seperjuangan mahasiswa Magister Matematika
angkatan 2016 atas segala motivasi dan bantuannya selama penulis
di kampus Universitas Hasanuddin.
8. Semua pihak yang namanya tidak tercantum tetapi telah banyak
membantu penulis dalam menyelesaikan tesis ini.
Penulis menyadari dalam penyusunan tesis ini masih terdapat
banyak kekurangan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dan
kritik yang membangun demi kesempurnaan tesis ini.
Makassar, Januari 2019
Susi Ekawati
vii
ABSTRAK SUSI EKAWATI. Sifat-sifat Nilai Eigen dalam Matriks Quaternion (dibimbing oleh Amir dan Mawardi).
Penelitian ini bertujuan menentukan sifat-sifat nilai eigen dalam matriks quaternion.
Menurut Zhang (2007), jika (
) adalah matriks quaternion
dengan dan adalah nilai eigen kiri dari , maka | || |
| || |. Dalam tesis ini akan ditunjukkan tiga hal. Pertama, jika (
)
adalah matriks quaternion dengan dan adalah nilai eigen kiri dari
maka ( ) ( ) . Kedua, jika (
+ adalah matriks
quaternion dengan kondisi tertentu dan adalah nilai eigen kiri dari
maka ( ) ( ) ( ) . Dan ketiga, jika (
,
adalah matriks quaternion dengan kondisi tertentu dan adakah nilai eigen kiri dari maka ( ) ( ) ( ) ( ) . Kata Kunci : Quaternion, Determinan Cayley, Nilai Eigen Kiri
viii
ABSTRACT SUSI EKAWATI. The Properties of Eigenvalue in the Quaternion Matrices (Supervised by Amir and Mawardi).
This research aimed to determine the properties of eigenvalue in the quaternion matrices.
According to Zhang (2007), if (
) is a quaternion matrix
with and is the left eigenvalue of , then | || | | || |. In
this thesis three things will be shown. The first, if (
) is a
quaternion matrix with and is the left eigenvalue of , then
( ) ( ) . The second, if (
+ is a quaternion
matrix with certain condistions and is the left eigenvalue of , then
( ) ( ) ( ) . And the third, if (
, is a
quaternion matrix with certain conditions and is the eigenvalue of then ( ) ( ) ( ) ( ) .
Keywords : Quaternion, Cayley Determinant, Left Eigenvalue
ix
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ........................................................................... i
HALAMAN PENGAJUAN ................................................................ ii
LEMBAR PENGESAHAN ................................................................ iii
LEMBAR PERNYATAAN KEASLIAN .............................................. iv
PRAKATA ........................................................................................ v
ABSTRAK ........................................................................................ vii
ABSTRACT ...................................................................................... viii
DAFTAR ISI .................................................................................... ix
DAFTAR SIMBOL ............................................................................ xi
BAB I PENDAHULUAN ................................................................... 1
A. Latar Belakang ..................................................................... 1
B. Rumusan Masalah ............................................................... 2
C. Tujuan Penelitian ................................................................. 3
D. Batasan Penelitian ............................................................... 4
E. Manfaat Penelitian ............................................................... 4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA .......................................................... 5
A. Quaternion ........................................................................... 5
1. Definisi Quaternion........................................................... 5
2. Sifat-sifat Quaternion ....................................................... 5
B. Matriks ................................................................................. 7
1. Definisi Matriks ................................................................. 7
2. Jenis-jenis Matriks ............................................................ 8
3. Determinan Matriks .......................................................... 10
x
C. Nilai Eigen dan Vektor Eigen ................................................ 11
BAB III METODE PENELITIAN ........................................................ 16
A. Jenis Penelitian .................................................................... 16
B. Lokasi dan Waktu Penelitian ................................................ 16
C. Rancangan Penelitian .......................................................... 16
D. Alur Kerja Penelitian ............................................................. 17
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................... 18
A. Teorema 1 ............................................................................ 18
B. Teorema 2 ............................................................................ 24
C. Teorema 3 ............................................................................ 32
D. Teorema 4 ............................................................................ 42
E. Teorema 5 ............................................................................ 50
BAB V PENUTUP ............................................................................ 87
A. Kesimpulan .......................................................................... 87
B. Saran ................................................................................... 88
DAFTAR PUSTAKA ......................................................................... 89
LAMPIRAN ...................................................................................... 90
xi
DAFTAR SIMBOL
Simbol Arti/Keterangan
Bilangan Quaternion
Nilai Eigen suatu Matriks
Vektor Eigen suatu Matriks
( ) Matriks Quaternion Berordo
Matriks Quaternion Berordo
Bilangan Riil
Bilangan Imajiner dalam Quaternion
Bilangan Imajiner dalam Quaternion
Bilangan Imajiner dalam Quaternion
Matriks berordo
Bilangan Quaternion
Konjugat dari Quaternion
Bilangan Quaternion
Konjugat dari Quaternion
Bilangan Quaternion
Konjugat dari Quaternion
Bilangan Quaternion
Konjugat dari Quaternion
Bilangan Quaternion
Konjugat dari Quaternion
| | Norm Quaternion
Bilangan Riil yang lebih besar dari nol
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Quaternion merupakan perluasan dari bilangan-bilangan kompleks
yang tidak komutatif dan diterapkan dalam mekanika tiga dimensi.
Sebagai himpunan, quaternion dilambangkan sebagai . memiliki tiga
jenis operasi yaitu penjumlahan, perkalian skalar, dan perkalian
quaternion. Elemen-elemen quaternion disimbolkan sebagai dan
( , , dan adalah komponen imajiner) dan dapat dituliskan sebagai
kombinasi linier : dimana , dan adalah bilangan riil.
Persamaan-persamaan lainnya adalah , ,
, dan . (Wikipedia, 2017)
Dalam jurnal Zhang (2007) mengatakan bahwa misalkan
(
) adalah matriks quaternion dengan . Jika adalah nilai eigen
kiri dari , maka | || | | || |. Farid, dkk (2011) mengatakan
bahwa misalkan (
) ( ) dengan . Jika ( )
adalah nilai eigen kiri dari , maka | | | | jika dan hanya jika
| | | |
Telah diketahui bahwa jika (
* adalah matriks bilangan riil
dengan ordo , maka determinan dari matriks adalah
2
dan jika (
+ adalah matriks bilangan riil dengan ordo ,
maka determinan dari matriks adalah
. Sedangkan berdasarkan definisi determinan
Cayley, jika (
* adalah matriks bilangan quaternion dengan ordo
, maka determinan dari matriks adalah dan jika
(
+ adalah matriks bilangan quaternion dengan ordo ,
maka determinan dari matriks adalah ( ) (
) ( ). (Aslaksen, 1991)
Misalkan , disebut nilai eigen kiri dari jika
untuk beberapa yang tak nol atau ekuivalen dengan matriks
( ) yang tidak memiliki invers, sehingga ( ) . Kemudian
jika misalkan , disebut nilai eigen kanan dari jika
untuk beberapa yang tak nol. (Zhang, 2007)
Dari uraian di atas, peneliti bermaksud melakukan penelitian untuk
menyelidiki bagaimana sifat-sifat nilai eigen terhadap diagonal matriks
quaternion.
B. Rumusan Masalah
Pada penelitian ini, masalah yang akan dibahas adalah sebagai
berikut
3
1. Bagaimana sifat nilai eigen terhadap diagonal matriks quaternion
pada ( ) dengan ?
2. Bagaimana sifat nilai eigen terhadap diagonal matriks quaternion
pada ( ) dengan kondisi terdapat entri matriks yang sama
dengan nol?
3. Bagaimana sifat nilai eigen terhadap diagonal matriks quaternion
pada ( ) dengan kondisi semua entri matriks tidak ada yang
sama dengan nol?
4. Bagaimana sifat nilai eigen terhadap diagonal matriks quaternion
pada ( ) dengan ?
C. Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah sebagai berikut
1. Mengetahui sifat nilai eigen terhadap diagonal matriks quaternion
pada ( ) dengan .
2. Mengetahui sifat nilai eigen terhadap diagonal matriks quaternion
pada ( ) dengan kondisi terdapat entri matriks yang sama
dengan nol.
3. Mengetahui sifat nilai eigen terhadap diagonal matriks quaternion
pada ( ) dengan kondisi semua entri matriks tidak ada yang
sama dengan nol.
4. Mengetahui sifat nilai eigen terhadap diagonal matriks quaternion
pada ( ) dengan .
4
D. Batasan Penelitian
Pada penelitian ini, permasalahan yang dibahas terbatas hanya
pada matriks dengan kondisi sebagai berikut:
1. Matriks quaternion pada ( ) dengan .
2. Matriks quaternion pada ( ) dengan kondisi terdapat entri
matriks yang sama dengan nol.
3. Matriks quaternion pada ( ) dengan kondisi semua entri
matriks tidak ada yang sama dengan nol.
4. Matriks quaternion pada ( ) dengan .
E. Manfaat Penelitian
Dari penelitian ini diharapkan dapat menambah wawasan dan
pengetahuan tentang nilai eigen dan vektor eigen quaternion serta dapat
dijadikan referensi bagi peneliti lain tentang matriks quaternion.
5
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dikaji beberapa definisi, sifat-sifat, teorema, dan
contoh yang akan digunakan dalam membuktikan hasil penelitian.
A. Quaternion
Menurut Shomake (2007) aljabar quaternion diciptakan oleh
Hamilton pada tahun 1853 dan dinotasikan dengan untuk
menghormatinya yang merupakan perluasan bilangan kompleks untuk
aljabar empat dimensi.
1. Definisi Quaternion
Quaternion merupakan kombinasi linear skalar riil dan tiga satuan
imaginer ortogonal (dilambangkan dengan dan ) dengan koefisien riil
yang dapat dituliskan sebagai
* | +
dimana elemen dan memenuhi aturan perkalian Hamilton berikut ini :
.
2. Sifat – sifat Quaternion
Berikut dijelaskan sifat – sifat operasi pada bilangan quaternion :
6
a. Operasi penjumlahan dan perkalian
Diberikan dua buah quaternion yaitu :
dengan .
Penjumlahan dua buah quternion tersebut adalah
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) .
dan
Perkalian dua buah quaternion adalah
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) (
) ( ) (
)
( ) ( )
( ) ( ) .
b. Konjugat dari Quaternion
Jika , maka konjugat dari adalah
7
Contoh :
c. Norm dari Quaternion
Norm dari quaternion diperoleh dari modulus perkalian quaternion
dengan konjugatnya .
| | √ √
Salah satu sifat norm quaternion adalah | || | | |.
Contoh :
| | √ ( ) √
d. Invers dari Quaternion
| |
Contoh :
( )
(Djuddin, 2015)
B. Matriks
1. Definisi Matriks
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan.
Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam
matriks. Matriks yang mempunyai baris dan kolom dinyatakan dengan
8
(
)
Matriks tidak mempunyai nilai tetapi ukuran. Ukuran matriks disebut
ordo yang ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom. Jika
matriks mempunyai baris dan kolom, maka matriks berordo .
2. Jenis-jenis Matriks
Adapun jenis-jenis matriks antara lain:
a. Matriks Nol
Matriks nol adalah matriks di mana semua unsurnya nol.
Contoh : *
+.
b. Matriks Bujur Sangkar
Matriks bujur sangkar adalah suatu matriks yang banyaknya
baris sama dengan banyaknya kolom, yang dinyatakan dengan
, dimana , dapat ditulis dengan ( ) . Matriks
berordo disebut juga bujur sangkar ordo . Dalam hal ini hanya
matriks bujur sangkar yang mempunyai elemen diagonal utama dan
elemen diagonal kedua.
Contoh : *
+ [
].
9
c. Matriks Segitiga
Matriks segitiga atas adalah matriks bujur sangkar dengan
elemen-elemen yang terletak di bawah elemen diagonal utama
semua nol. Bentuk umumnya adalah ( ) dengan
Contoh : [
].
Matriks segitiga atas adalah matriks bujur sangkar dengan
elemen-elemen yang terletak di atas elemen diagonal utama semua
nol. Bentuk umumnya adalah ( ) dengan
Contoh : [
].
d. Matriks Diagonal
Matriks diagonal merupakan matriks bujur sangkar dengan
semua elemen-elemen yang bukan elemen diagonal utama adalah
nol. Dengan kata lain suatu matriks berorde disebut matriks
diagonal, jika untuk .
Contoh : [
].
e. Matriks Identitas
Matriks identitas adalah matriks skalar dengan elemen-elemen
diagonal utama semuanya sama dengan satu. Bentuk umum matriks
10
identitas dinyatakan dengan ( ) dimana
dengan untuk dan untuk .
Contoh : *
+.
f. Matriks Quaternion
Matriks quaternion adalah matriks yang entri-entrinya adalah
bilangan quaternion.
Contoh : (
*.
3. Determinan Matriks
Determinan adalah susunan bilangan atau simbol yang berbentuk
bujur sangkar dan disajikan di antara dua garis tegak. Determinan sebagai
satu kesatuan yang mewakili suatu nilai dari matriks yang diberikan.
Determinan dinotasikan dengan | | atau ( ).
Jika diketahui matriks adalah bilangan riil yang berordo
(
*,
maka determinan matriks didefinisikan sebagai berikut
( ) |
|
(Kurniati, 2010)
Definisi determinan quaternion oleh Cayley dinotasikan dengan
adalah sebagai berikut
11
(
*
(
+ ( ) ( ) ( )
(
, |
| |
| |
| |
|
Contoh :
Carilah determinan dari matriks berikut
(
*.
Penyelesaian
Berdasarkan definisi determinan matriks quaternion oleh Cayley diperoleh
( )( ) ( )( )
( ) ( )
.
C. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Misalkan adalah suatu matriks . disebut suatu nilai eigen
dari jika terdapat suatu vektor tak nol sehingga . Vektor
disebut vektor eigen dari yang bersesuaian dengan . Persamaan
dapat dituliskan dalam bentuk
( ) . (i)
Persamaan (i) akan mempunyai penyelesaian tak trivial jika dan hanya
jika singular atau secara ekuivalen
12
( ) . (ii)
Jika determinan pada Persamaan (ii) diuraikan, maka diperoleh suatu
polinomial berderajat dalam peubah
( ) ( ).
Polinomial ini disebut polinomial karakteristik dan Persamaan (ii) disebut
persamaan karakteristik untuk matriks . Akar dari polinomial karakteristik
adalah nilai eigen dari . (Hermana, 2016)
Contoh :
Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks
(
*.
Penyelesaian
Nilai Eigen
( )
((
* (
))
(
*
Berdasarkan definisi determinan matriks quaternion oleh Cayley diperoleh
( )( ) ( )( )
( ( ) ( ) ( )) ( )
Jika , maka
(
) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
13
Sehingga diperoleh persamaan
( )
( )
( )
( )
Dari persamaan tersebut diperoleh nilai eigen
( √ )( )
( √ )( ).
Vektor Eigen
( )
(
* ( ) (
)
Untuk ( √ )( ), maka
( √ ( )
√ ( )) ( ) (
)
( √ ( )
* ( ) (
)
Diperoleh
√ ( ) ( ) √
Maka diperoleh vektor eigen : (
√ *.
Uji
14
(
*(
√ * ( √ )( )(
√ *
(( √ )( )
( √ )( )) (
( √ )( )
( √ )( )).
Untuk ( √ )( ), maka
(√ ( )
√ ( )) ( ) (
)
(√ ( )
* ( ) (
)
Diperoleh
√ ( ) ( ) √
Maka diperoleh vektor eigen : (
√ *.
Uji
(
*(
√ * ( √ )( ) (
√ *
(( √ )( )
( √ )( )) (
( √ )( )
( √ )( )).
Teorema :
Misalkan (
) adalah matriks quaternion dengan . Jika
adalah nilai eigen kiri dari , maka | || | | || |.
Bukti
Perhatikan bahwa
15
(
*
( )
( )( ) (
)( )
Telah diketahui bahwa , sehingga
( )( )
Dari persamaan tersebut diperoleh nilai eigen
Kemudian perhatikan bahwa
Untuk
| | | ( )|
| | | ( )|
| || |
Untuk
| | | ( )|
| | | ( )|
| || |
Sehingga jelas bahwa | || | | || |.