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Domaines de représentation des signaux
domaine temporel
domaine fréquentiel
domaine temps-fréquence
représentation de base
caractériser les signaux,visualiser et extraire les propriétés des systèmes, interpréter les résultats d’essais et de simulations numériques.
évaluation directe de la périodicité ou non des phénomènes
évaluation de la stationnarité ou non des phénomènes
évaluation de la distribution de l’énergie en fonction de la fréquence
évaluation de la distribution de l’énergie en fonction du temps et de la fréquence
Buts :
fonction de corrélation
développement en séries de Fourier
transformation de Fourier
transformation en ondelettes
transformation de Hilbert
2
Classification des signaux
signaux
déterministes
aléatoires
permanents
transitoires
stationnaires
non-stationnaires
Signaux périodiques
signaux continus
signaux discrets
signaux déterministes à énergie finie
signaux de puissance finie (théorie)
+∞<∫+∞
∞−dttx
2)(
+∞<∫+
−+∞→
2
2
21T
TT
dttxT
)(lim
Signaux non-périodiques
)cos()( tatx ω=
)()( txTtx =+
dtttxnxn
n)()()( ∆
ε−∆
ε+∆δ=∆ ∫
3
Domaine temporel
∫∫+∞
∞−
+∞
∞−τ+=τ−=τ dttxtxdttxtxR
xx)()()()()(
mesure des dépendances internes du signal
signal déterministe à énergie finie )(tx
prédictibilité des signaux,
+∞<∫+∞
∞−dttx
2)(
Cas des signaux de puissance finie (théorie)
puissance moyenne transportée par le signal +∞<∫+
−+∞→
2
2
21T
TT
dttxT
)(lim
∫+
−+∞→τ−=τ 2
2
1T
TT
xxdttxtx
TR )()()( lim
fonction d’autocorrélation
5
temps
Signaux usuels et leurs fonctions d’autocorrélation respectives normalisées
retard
DOMAINE TEMPOREL AUTOCORRELATION)(tx )(τxxR
6
Propriétés de l’autocorrélation pour des signaux physiques
)(τxxR hermitienne
)(τxxR réelle et paire
)0()( xxxx RR ≤τLe module de la fonction d’auto-corrélation est maximal à l’origine, où la fonction est réelle, positive, égale à l’énergie totale de x(t)
)0()()(
xx
xx
R
R ττ =Γcohérence(degré de self cohérence)
1)0( =Γ
1)( ≤Γ τ
x(t) réel
x(t) complexe
7
Domaine temporel
∫+∞
∞−τ−=τ dttytxR
xy)()()(
+∞<∫+∞
∞−dttx
2)(
+∞<∫+∞
∞−dtty
2)(
+∞<∫+
−+∞→
2
2
21T
TT
dttxT
)(lim
+∞<∫+
−+∞→
2
2
21T
TT
dttyT
)(lim∫
+
−+∞→τ−=τ 2
2
1T
TT
xydttytx
TR )()()( lim
signaux déterministes à énergie finie )(ty)(tx et
signaux de puissance finie)(ty)(tx et
fonction d’intercorrélation
8
Signaux et fonctions d’intercorrélation respectives (normalisées)
temps
temps temps
temps
retardretard
)(tx )(tx
)(ty
)(τxyR )(τxyR
)(ty
9
)(τxyR
Propriétés de l’intercorrélation pour des signaux physiques réels
réelle mais non paire
)0()0()(2
yyxxxy RRR ×≤τ
degré de cohérence entre x(t) et y(t) )0()0(
)()(
yyxx
xyxy
RR
R
×=Γ
ττ
1)( ≤Γ τxy
degré de ressemblance entre les fonctions x(t) et y(t)
10
Domaine fréquentiel
)(tx est périodique de période T )(tx peut se décomposer en série de Fourier
π+
π+= ∑
+∞
= Tntb
Tntaatx
nn
n
221
0sincos)(
0a valeur moyenne de x(t) ∫−= 2
20
1T
T dttxT
a )(
∫−
π= 2
2
22T
Tndt
Tnttx
Ta cos)( ∫−
π= 2
2
22T
Tndt
Tnttx
Tb sin)(
)(tx est non périodique et intégrable sur R
On peut calculer la transformée de Fourier
∫+∞
∞−
πν−=ν dtetxx
ti2)()(ˆ
12
)(tx signal d’énergie totale finie
∫+∞
∞−
πν−=ν dtetxx
ti2)()(ˆ
νν= ∫∫+∞
∞−
+∞
∞−dxdttx
22)(ˆ)(théorème de Parseval
énergie par intervalle de fréquence dν densité spectrale d’énergie2
)(ˆ νx
transformation de Fourier inverse
densité spectrale d’énergie - autocorrélation
{ }21 ˆ. . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxT F x t x t x t x x t d Rν τ τ τ τ+∞−
−∞= ∗ − = − + =∫
fonction d’autocorrélation de x(t)
13
Densité spectrale croisée. Corrélation croisée
)(tx signal d’énergie totale finie
∫+∞
∞−
πν−=ν dtetxx
ti2)()(ˆ
ννν= ∫∫+∞
∞−
+∞
∞−dyxdttytx )(ˆ)(ˆ)()(théorème de Parseval
)(ty signal d’énergie totale finie
∫+∞
∞−
−= dtetyy ti πνν 2
)()(ˆ
énergie par intervalle de fréquence dν densité spectrale croisée d’énergie)(ˆ)(ˆ νν yx
transformation de Fourier inverse { } )()()()(ˆ)(ˆ.. tytxtyxFT −∗=νν−1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xyx t y t x y t d Rτ τ τ τ+∞
−∞∗ − = − + =∫
fonction d’inter-corrélation de x(t) et de y(t)
14
Puissance spectrale
Energie moyenne en fonction de la fréquence
∑=
=
≈
→≤≤−
→≤≤→≤≤
ni
ii
n
xn
SspectralePuissance
xFTnTtTntx
xFTTtTtx
xFTTttx
1
2
2
1
)(1
)(..,)1(),(
)(..,2),(
)(..,0),(
ω
ω
ωω
Analyse spectrale
• Définir la répartition de l’énergie en fonction de la fréquence
• Analyse par octave
• Analyse par 1/3 octave
infsup 2 ff =
inf3/1
sup 2 ff =
fsupfinf
16/32
Octave 1/3 Octave
bande Limite inf Centre Limite sup Limite inf Centre Limite sup
12 11 16 22 14,1 16 17,8
13 17,8 20 22,4
14 22,4 25 28,2
15 22 31,5 44 28,2 31,5 35,5
16 35,5 40 44,7
17 44,7 50 56,2
18 44 63 88 56,2 63 70,8
19 70,8 80 89,1
20 89,1 100 112
21 88 125 177 112 125 141
22 141 160 178
23 178 200 224
24 177 250 355 224 250 282
25 282 315 355
26 355 400 447
27 355 500 710 447 500 562
28 562 630 708
29 708 800 891
30 710 1000 1420 891 1000 1122
31 1122 1250 1413
32 1413 1600 1778
33 1420 2000 2840 1778 2000 2239
34 2239 2500 2818
35 2818 3150 3548
36 2840 4000 5680 3548 4000 4467
37 4467 5000 5623
38 5623 6300 7079
39 5680 8000 11360 7079 8000 8913
40 8913 10000 11220
41 11220 12500 14130
42 11360 16000 22720 14130 16000 17780
43 17780 20000 2239017/32
)(ty))(*()( txhty =)(tx
Système à une entrée et une sortie
)(tx
)(ty
Exemple poutre en flexion
Description très générale des systèmes
Description d’un système par fonctions de transfert
19
h réponse impulsionnelle
Fonction de réponse en fréquence
Transformée de Fourier de la réponse impulsionnelleFonction de réponse en fréquence
20
∫
∫
∫
∞+
∞+
∞−
∞+
∞−
−=
−=
=
0)()()(
)()()(
)(),()(
τττ
τττ
τττ
dtxhty
causalSystème
dtxhty
tempsledansinvariantSystème
dxtHty
linéaireSystème
Pour déterminer h on peut prendre x(t)=δ(t)
Il suffit de mesurer la sortie du système pour connaître la fonction h(t)
)()()( ωωω xhy
estfréquenceenntcomportemeLe
=
21
Densité spectrale d’énergie
Autre détermination de la fonction de réponse en fréquence
)(..)( ωτ xyxy SFTR ⇒
)(..)( ωτ xxxx SFTR ⇒
Interspectre
xx
yx
S
Sh
xhy
si
=
= *
22
Echantillonnage
)(
)(
en
en
nTyy
nTxx
==
Te est la période d’échantillonnage
in
ni
iin xhy
dtxhty
−
=
=
+∞
∑
∫
=
−=
0
0)()()( τττ
23