Signali i sustavi - FERsis.zesoi.fer.hr/predavanja/pdf/sis_2001_ho05.pdf · 2012-01-12 · Signali i sustavi Sustavi drugog reda 2 Definicija i blok dijagram Sustav drugog reda ima

1

Signali i sustaviSignali i sustavi

Sustavi drugog reda

2

Definicija i blok dijagramDefinicija i blok dijagram

Sustav drugog reda ima dva elementa s memorijom, dakle, dva integratora u blok dijagramu.Opisan je s diferencijalnom jednadžbom drugog reda, odnosno s dvije jednadžbe prvog reda.

3


),,( 2122 uxxf

dtdx

=

),,( 21 uxxgy =

),,( 2111 uxxf

dtdx

= 1001 )( xtx = 0 za tt >

2002 )( xtx =

Sustav s ulazom u i izlazom y je drugog reda ako se mogu identificirati dvije varijable stanja x1 i x2.

2

4


u

f1

f2

g

∫

∫

y

v1

v2

x1

x2

Opći oblik blok dijagrama za sustav drugog reda može se nacrtati s funkcijskim blokovima samo s jednim izlazom:

5


x =

xx

1

2

Sustav drugog reda:

0)0( xx =

),,( 21 uxxgy =

),( udtd xfx

=),,(

),,(

2122

2111

uxxfdt

dx

uxxfdtdx

=

=

),( uy xg=

Vektor stanja:

6


.))(),(()(0

0 ∫+=t

t

dut τττxfxx

Dobivena je integralna jednadžba u kojoj sefunkcija stanja x(t) pojavljuje implicitno, pa je nije moguće jednostavno riješiti.To je oblik koji se koristi u numeričkim postupcima.

Rješenje vektorske diferencijalne jednadžbe možemo napisati formalno u obliku kao da se radi o diferencijalnoj jednadžbi prvog reda:

3

7

Vladanje i svojstva sustava Vladanje i svojstva sustava drugog redadrugog reda

Opći oblik jednadžbe stanja:

BuAxx +=→

+

⋅

=

&

&

&

2

1

2221

1211

2

1

2221

1211

2

1

uu

bbbb

xx

aaaa

xx

Može se transformirati u diferencijalnu jednadžbu drugog reda:

).(T),(T

222

111

tvxxxtuxxx

=∆+−=∆+−

&&&

&&&

2221212221212

2121112121111

ububxaxaxububxaxax

+++=+++=

&

&

Linearni sustav vremenski stalan

8


Pri tom su:A matrice tragT 2211 aa +=

A od tadeterminan∆ 21122211 aaaa −=

222121222111221121111121

212111212222212111222112

)()()()()()(

ubububabaubabatvubububabaubabatu&&

&&

++−+−=++−+−=

Ako su obje konstante a12 = a21 = 0 (matrica A je dijagonalna) sustav je opisan s dvije razvezane jednadžbe prvog reda.

9


,02 20 =++ xxx ωα&&&

2α = − T, α je faktor prigušenja,

ω0 je frekvencija neprigušenog titranja.

,20 ∆=ω

Često se jednadžba drugog reda nepobuđenog sustava piše u obliku:

4

10


.X)( ptetx =

Uvrštenje vodi do karakteristične jednadžbe:

,02 20

2 =++ ωαpp

čija rješenja su karakteristične ili prirodne frekvencije sustava drugog reda.

Pretpostavimo da je rješenje eksponencijala:

11


±−>=−>>±−

=−±−=

dd

0

0d20

212

<<0 za0 za0 za

pωαωα

ωααωααα

ωααj

220d

20

2d

αωω

ωαα

−=

−=

tt eex 21 p2

p1 XX +=Rješenje je oblika:

12


zavisno od veličina α i ω0 postoji tzv.nadkritično prigušenje α > ω0,kritično prigušenje α = ω0,podkritično prigušenje α < ω0,neprigušeni slučaj α = 0.

5

13


SIMULINK primjer

14


Rješenje se može napisati u obliku:

.)pp(p)0()0(

)pp(p)0()0()( 21 p

12

1p

21

2 tt exxexxtx−

−+

−−

=&&

).0(x&Proizvoljne konstante određuju početni uvjeti x(0) i

15

Rješenje homogene jednadžbe stanja možese dobiti pretpostavkom da eksponencijalne funkcije x1 = X1ept , x2 = X2ept zadovoljavaju skup od dvije jednadžbe:

2221212

2121111

xaxaxxaxax

+=+=

&

&


6

160X)(X0XX)(

222121

212111

=−+=+−

paaapa

Dobije se sustav karakterističnih algebarskih jednadžbi:


2221212

2121111

XXXXXX

aapaap

+=+=

( )( ) ptpt

ptptex

ex

eaaepeaaep

xaxaxxaxax pt

pt

2221212

2121111XX

2221212

2121111

XXXXXX

22

11

+=+=

→+=+= =

=

&

&

17

Da bi sustav karakterističnih jednadžbi dao rješenja za amplitude X1, X2 različite od nule, mora determinanta sustava isčezavati,

.0)(

)(

2221

1211 =−

−paa

apa

.0T2 =∆+− pp

To daje polinom drugog stupnja:


18

odakle slijede prirodne frekvencije p1 i p2 za koje ept zadovoljava jednadžu.

Rješenje se može napisati u obliku:

.XX)(,XX)(

21

21

p22

p212

p12

p111

tt

tt

eetxeetx

+=

+=


7

19


Druge dvije konstante proizlaze iz prvih uvrštenjem u jednadžbe stanja za t = 0.

21

20121021111 pp

)p(X−

+−=

xaxa12

20121011112 pp

)p(X−

+−=

xaxa

21

20222102121 pp

)p(X−

−+=

xaxa

12

20122102122 pp

)p(X−

−+=

xaxa

Nezavisne su samo dvije konstante i one se odrede iz dva početna uvjeta.

20


12

21

axdt

dx

xdtdx

=

=

a01

0a0

0a10

22

12

21

11

2

1

2

1

−=∆==

===

⋅

=

aa

Taa

xx

xx&

&

∫ ∫

x2 x1

a

dtdx2

dtdx1

Primjer: Najjednostavniji slučaj dva integratora s povratnom vezom.

21


0aa

1 2 =−=−

−p

pp

⋅

=

20

10

2

1

)ch()sh(

)sh()ch()()(

xx

tαt

tαttxtx

ααα

0a za >

α±=±= ap12

Determinanta sustava mora isčezavati

. . .

x(t) = Φ(t)x0 , gdje je Φ(t) − prijelazna matrica.

8

22


.12

10

2

2

10

1 =

−

xx

xx

α

Veza između x1(t) i x2(t).Jednadžbu krivulje F(x1, x2) = 0 možemo dobiti eliminacijom vremena.Uzmimo početno stanje x10, (x20 = 0):

23


0

Im

Re α -α

x1 0

x2

x10

∞→∞→∞→∞→

txtx

za za

2

1 Nestabilan sustav. Ravnoteža x = 0 se ne dosegne − sedlo

24

1xx

2

10

2

2

10

1 =

+

xx

ω

0

Im

Re-jωd

jωd

0

x2

x1

Zatvorena krivulja − periodičan proces. Trajektorija obilazi oko točke ravnoteže − fokus.

02012p0a za ωω j±=−±=<Primjer:


9

25

⋅

=

2

1

22212

1 10xx

aaxx&

&

djωα ±−=12p 220 αωω −=d


∫ ∫

x2 x1

a22

dtdx2

dtdx1

+

a21

26

12

10d

2

2

10

1 =

+

−− tt ex

xexx

αα ω

0

Im

Re -α

-jωd

jωd

x2

0 x1


27

0 10

20 30

0 1

2 3

4 -1.5

-1 -0.5

0 0.5

1 1.5

t x1

x2

10

28

0 10

20 30

01

2 3

-0.5

0

0.5

1

t x1

x2

29

0 10

2030

0 1

2 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

t x1

x2

30


0

Im

Rep2 p1

0

x2

x1

stabilni čvorSlučaj realnih i različitih p1 i p2,

a) p1, p2 < 0

11

31


0

Im

Re p1 p2

0

x2

x1

nestabilni čvorSlučaj realnih i različitih p1 i p2

b) p1, p2 > 0

32

SIMULINK primjer

33

Vremenski Vremenski varijantanvarijantan sustav sustav drugog redadrugog reda

)()()()(

12

21

txtatxxtx−=

=&

&

∫ ∫

x2 x1

dtdx2

dtdx1

a(t) = α + βf(t)

-1

Pojačanje a(t) u petlji blok dijagrama je zavisno od vremena.

12

34


a t f t( ) ( )= +α βHillova diferencijalna jednadžba,))(( 121 xtfxx βα +−== &&&

Za f(t) = 2cos 2t izlazi Mathieu − ova diferencijalna jednadžba:

.0)2cos2( 11 =++ xtx βα&&

.0))(( 11 =++ xtfx βα&&

Vremenska funkcija a(t) pojačanja će utjecati na vladanje sustava.

35


Za f(t) = r(t) pravokutan oblik, gdje je funkcija pojačanja konstantna po odsječcima (Meissnerova jednadžba). Jednadžba se može rješavati po invervalimakao diferencijalna jednadžba s konstantnim koeficijentima.

36

Pretpostavimo a(t)

))(m1()( trαta +=

Za 1,3,5,... četvrtinu perioda jednadžba stanja je

.0)m1( 12112112 =+=+−= xωxxxxαx &&&&

Za 2,4,6,... četvrtinu perioda jednadžba stanja je .0)m1( 1

2212112 =+=−−= xωxxxxαx &&&&

≤−<−

≤+<=

ππ

π

α

αtr

)m1(2

12

)m1(01)(


13

37


Prvi slučaj: ).m1(21 += αω

Drugi slučaj: ).m1(22 −= αω

Rješenje izraženo s početnim uvjetima je:

.cossin

,sincos

20102

20101

ωtxωtωxx

ωtωxωtxx

+−=

+=

U oba slučaja je to rješenje vremenski nepromjenljivog sustava.

38


Kao početno stanje u prvom intervalu uzmimo: .0 ,0 2010 ≠= xx

Odredimo rješenje gornjih diferencijalnih jednadžbi u 1, 2, 3 i 4. vremenskom odsječku.U svakom odsječku ćemo smatrati da vrijeme počinje od t = 0.Kao početno stanje uzet ćemo krajnje stanje iz prethodnog vremenskog intervala.

39


Uz dane pretpostavke dobije se izraz za amplitudu titranja:

.m1m1)2( 1010

2

2

11 xx

ωωx

−+

=

=π

14

40


1010

2

2

1

m1m1 xx

−+

=

ωω

0

x1(t)

x10

t

0

1

t

-1

r(t)

10

2

2

1 x

ωω

x10

x1 0

x2

41


Periodična promjena parametra pogodnog polariteta m > 0 i dvostruke frekvencije izaziva porast amplitude titranja.Analizirani sustav je model:

fizikalnog njihala (dječja ljuljačka) gdje se težiste mase mijenja,titrajnog kruga čiji se kapacitet mijenja dvostrukom frekvencijom od frekvencije titranja kruga.

Promjenljivi element pumpa energiju u sustav.

42

Nelinearni sustav drugog redaNelinearni sustav drugog reda

)( 212

21 xfx

dtdxx

dtdx

+−==

∫ ∫

x2 x1 dtdx2

dtdx1

+

f(x)

−

Neka je funkcija nelinearnog bloka polinom trećeg stupnja, f(x) = ax − cx3.

15

43


dtx

dxdf

dtdx

dtxd 2

2

12

22

⋅+=

odnosno .0)c3a( 222

222

2

=+−− xdt

dxxdt

xd

Van der Pol − ova jednadžba

,2

222

22

dtdx

dxdfx

dtxd

⋅+−=

Jednadžbe se mogu svesti na jednadžbu drugog reda

44

SIMULINK primjer

45


Uz zanemarenje člana s dominantni proces

može se opisati jednadžbom:čije je rješenje harmonijsko titranje.

dtdx2

022 =+ xx&&

Ova jednadžba je poslužila za analizu nekoliko tipova oscilatora.Od niza zanimljivih fenomena posvetit će se pažnja radu ovog sustava kao oscilatora.Pretpostavit ćemo da veličine a << 1 i c << 1 tako da je sustav vrlo oscilatoran.

16

46


Pretpostavimo zato rješenje u obliku:x A t t= ( ) sin( )

gdje je A(t) sporo mijenjajuća amplitudaoscilacija.

ttAttAx cos)(sin)( += &&

ttAttAttAx sin)(cos)(2sin)( −+= &&&&&

Mali srednji član će utjecati na sporo mijenjanje amplitude titranja.

xx &)c3a( 2−

Za očekivati je da će se proces moći opisati približno s harmonijskim titranjem.

47


.0cossin)(c3cos)(acos)(2

,0sin)(c)(3sin)(asin)(sin)(23

32

=+−

=+−−

tttAttAttA

ttAtAttAttAttA&

&&&&

Iz druge jednadžbe izlazi:

( ) .03coscos4c3cos)(acos)(2 3 =−+− ttAttAttA&

Da bi jednadžba bila zadovoljena, svi članovi koji množe sin(t) i koji množe cos(t) moraju biti jednaki nuli.

48

Nelinearni sustav drugog redaNelinearni sustav drugog redaEfekt treće harmoničke komponente (3t) semože zanemariti, pa dobijemo jednadžbu za sporo mijenjanje amplitude:

.0)(4c3)(a)(2 3 =+− tAtAtA&

Stalna amplituda 0)( =tA& uspostavit će se pri:

.c3a4Ai 0Atj.0)(

4c3a)( 2

ss2

3,21===

− tAtA

17

49


.

1AA1

A)(a

2

0

s

s

te

tA−

−

+

=

Pretpostavimo da je početno stanje usustavu izazvalo početnu amplitudu titranjaA(0) = A0.

Rješenjem jednadžbe za amplitudu, dobit ćemo izraz za utitravanje oscilatora od A0do As:

50


A0

t 0

A(t)

As

A0

Amplituda se u početku ekspenencijalno razvija počevši od A0, a kasnije asimptotički približava stalnoj vrijednosti As.U slučaju A0 < As raste, dok za A0 > As asimptotički pada na As.Amplituda oscilacija pokazuje svojstvo stabilnosti.

51


Trajektorija u ravnini stanja kreće od početnog stanja i teži zatvorenoj krivulji.Zatvorena krivulja opisuje tzv. granični ciklusu sustavu.

x2

x1 0

18

52


Za razliku od zatvorenih trajektorija ulinearnom sustavu, gdje početno stanje određuje veličinu zatvorene krivulje, ovdjeparametri nelinearnog funkcijskog bloka (a, c)određuju veličinu zatvorene trajektorije.U njenoj neposrednoj blizini nema drugihtrajektorija.Takve trajektorije se nazivaju izoliranim.

Documents

Signali i sustavi - FERsis.zesoi.fer.hr/predavanja/pdf/sis_2001_ho05.pdf · 2012-01-12 · Signali i sustavi Sustavi drugog reda 2 Definicija i blok dijagram Sustav drugog reda ima