Kombinacija:

Zadatak 1.1. Osnovne osobine i vremenske transformacije signalaa) Odrediti analitički izraz za signale:

i

b) Nacrtati grafike signala , , i .

c) Analitički odrediti paran i neparan deo signala i .

d) Prikazati grafike , , , , i .

Rešenje:

a) Zamenom parametara i dobijamo funkcije:

b) Grafike ćemo nacrtati primenom programa MatLab. Heviside-ova funkcija, , biće određena

izrazom , jer ovaj izraz u MatLab-u vraca vrednost za ispunjen i vrednost za neispunjen

uslov.

Dobijeni grafici:

-2 -1 0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

t

x(t)

Zadati signal x(t)

-2 -1 0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

t

f(t)

Dobijeni signal f(t)

-2 -1 0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

g(t)

t

Dobijeni signal g(t)

Kod kojim su iscrtani grafici signala u programu MatLab je:>> t=-2:0.0001:6; // interval vremena>> x=abs(sin(pi.*t/2)).*((t>=0)-(t>=4)); // izračunavanje

>> f=abs(sin(pi.*(2-4.*t)/2)).*(((2-4.*t)>=0)-((2-4.*t)>=4));// izračunavanje

>> g=x+f; // izračunavanje

>> subplot(3,1,1),plot(t,x); // iscrtavanje funkcije signala

>> subplot(3,1,1),xlabel('t'); // ispisivanje labela na grafiku>> subplot(3,1,1),ylabel('x(t)');>> subplot(3,1,1),title('Zadati signal x(t)');

>> subplot(3,1,2),plot(t,f); // iscrtavanje funkcije signala

>> subplot(3,1,2),xlabel('t'); // ispisivanje labela na grafiku>> subplot(3,1,2),ylabel('f(t)');>> subplot(3,1,2),title('Dobijeni signal f(t)');

>> subplot(3,1,3),plot(t,g); // iscrtavanje funkcije signala

>> subplot(3,1,3),ylabel('g(t)'); // ispisivanje labela na grafiku>> subplot(3,1,3),xlabel('t');

>> subplot(3,1,3),title('Dobijeni signal g(t)');

c) Funkcija signala ima oblik,

Parni deo signala izračunavamo primenom obrasca,

.

Tako dobijamo,

.

Neparni deo signala izračunavamo primenom obrasca,

.

Tako dobijamo,

.

Funkcija signala ima oblik,

.

Parni i neparni deo signala dobijamo na sličan način kao i kod funkcije signala ,

Kako je dobija se,

d) Dirac-ova funkcija, , biće određena izrazom , jer ovaj izraz u MatLab-u vraca vrednost

za ispunjen i vrednost za neispunjen uslov.

Dobijeni grafici za signal :

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

n

Ev(

w[n

])

Parni deo signala w[n]

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-2

-1

0

1

2

n

Od(

w[n

])

Neparni deo signala w[n]

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

n

w[n

]

Signal w[n]=Ev(w[n])+Od(w[n])

Kod kojim su iscrtani grafici signala u programu MatLab je:

>> n=-10:10; // interval vremena>> Ev=1/2.*((n>=-6)-(n>=0)+2.^(n/4).*((n>=0)-(n>=8))+((-n)>=-6)-((-n)>=0)+2.^(-n/4).*(((-n)>=0)-((-n)>=8)));

// izračunavanje parnog dela w

>> Od=1/2.*((n>=-6)-(n>=0)+2.^(n/4).*((n>=0)-(n>=8))-((-n)>=-6)+((-n)>=0)-2.^(-n/4).*(((-n)>=0)-((-n)>=8)));

// izračunavanje neparnog dela w

>> w=Ev+Od; // w predstavlja zbir parnog dela

i neparnog dela

>> subplot(3,1,1),stem(n,Ev); // iscrtavanje signala

>> subplot(3,1,1),xlabel('n'); // ispisivanje labela na grafiku>> subplot(3,1,1),ylabel('Ev(w[n])');>> subplot(3,1,1),title('Parni deo signala w[n]');

>> subplot(3,1,2),stem(n,Od); // iscrtavanje signala .

>> subplot(3,1,2),xlabel('n'); // ispisivanje labela na grafiku>> subplot(3,1,2),ylabel('Od(w[n])');>> subplot(3,1,2),title('Neparni deo signala w[n]');

>> subplot(3,1,3),stem(n,w); // iscrtavanje signala

>> subplot(3,1,3),xlabel('n'); // ispisivanje labela na grafiku>> subplot(3,1,3),ylabel('w[n]');>> subplot(3,1,3),title('Signal w[n]=Ev(w[n])+Od(w[n])');

Dobijeni grafici za funkciju :

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.5

1

n

Ev(

z[n]

)

Parni deo signala z[n]

-3 -2 -1 0 1 2 3-0.5

0

0.5

n

Od(

z[n]

)

Neparni deo signala z[n]

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.5

1

n

z[n]

Signal z[n]=Ev(z[n])+Od(z[n])

Kod kojim su iscrtani grafici signala u programu MatLab je:

>> n=-3:3; // interval vremena>> Ev=1/2.*(2.*(n==0)+(n==1)+(n==-1)); // izračunavanje parnog dela z

>> Od=1/2.*((n==1)-(n==-1)); // izračunavanje neparnog dela w

>> z=Ev+Od; // z predstavlja zbir parnog dela

i neparnog dela

>> subplot(3,1,1),stem(n,Ev); // iscrtavanje signala

>> subplot(3,1,1),xlabel('n'); // ispisivanje labela na grafiku>> subplot(3,1,1),ylabel('Ev(z[n])');>> subplot(3,1,1),title('Parni deo signala z[n]');

>> subplot(3,1,2),stem(n,Od); // iscrtavanje signala .

>> subplot(3,1,2),xlabel('n'); // ispisivanje labela na grafiku>> subplot(3,1,2),ylabel('Od(z[n])');>> subplot(3,1,2),title('Neparni deo signala z[n]');

>> subplot(3,1,3),stem(n,z); // iscrtavanje signala

>> subplot(3,1,3),xlabel('n'); // ispisivanje labela na grafiku>> subplot(3,1,3),ylabel('z[n]');>> subplot(3,1,3),title('Signal z[n]=Ev(z[n])+Od(z[n])');

Zadatak 1.2. Konvolucija i korelacijaa) Analitički odrediti konvoluciju

Nacrtati grafik signala .

b) Analitički odrediti korelaciju

Nacrtati grafik signala .

Rešenje:a) Na osnovu komutativnosti operacije konvolucije signala, računamo sledeću konvoluciju:

Pošto funkcija sa vrednošću postoji samo na intervalu od , možemo pisati da je:

Uvođenjem smene da je dobijamo integral:

Kada funkciju integralimo po intervalima, dobijamo:

Grafik signala dobija se sledećim kodom otkucanim u MatLab-u:

>> a=2/pi.*(1-cos(pi.*t/2)).*((t>0)-(t>2)); //interval funkcije

>> b=4/pi.*(t/t)*((t>2)-(t>4)); //interval funkcije

>> c=2/pi.*(1+cos(pi.*t/2)).*((t>4)-(t>6)); //interval funkcije

>> d=a+b+c; //ukupna vrednost

>> plot(t,d); //iscrtavanje grafika>> xlabel('t'); //ispisivanje labela>> ylabel('cv(t)');>> title('Konvolucija signala x(t) i y(t)');

Time dobijamo grafik funkcije :

-1 0 1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t

cv(t

)

Konvolucija signala x(t) i y(t)

b) Data je korelacija:

Zamenom korektnih vrednosti broja , u opsegu dobijaju se vrednosti diskretnog signala

.

Na osnovu prethodno izračunatih vrednosti možemo napisati analitički izraz za signal .

Grafik funkcije se dobija sledećim kodom u programu MatLab:

>> n=-8:8 //postavljanje opsega>> cr=(2.^(7/4)).*(n==-7)+(2.^(-n/4)+2.^((-n+1)/4)).*((n>=-6)-(n>=0))+2.*((n>=0)-(n>=8))

//analitički izraz funkcije

>> stem(n,cr) //iscrtavanje grafika>> xlabel('n') //ispisivanje labela>> ylabel('cr[n]')>> title('Korelacija signala w[n] i z[n]')

Dobijeni grafik signala je:

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

1

2

3

4

5

6

7

n

cr[n

]

Korelacija signala w[n] i z[n]

Zadatak 1.3. Osnovne osobine sistemaa) Analitičkim postupkom utvrditi da li je sistem S:

linearan, stacionaran, sa memorijom, kauzalan.b) Analitičkim postupkom utvrditi da li je sistem L stabilan.

c) Utvrditi da li je sistem L invertibilan, pa ako jeste, odrediti njemu inverzni sistem .

Rešenje:

a) Da li je sistem linearan videćemo proverom homogenosti sistema:

Ako podubu zamenimo pobudom dobijamo:

Kako je , sledi da sistem nije linearan.

Sistem je stacionaran ako za pobudu generiše signal .

Zamenom pobude dobijamo:

Dalje sledi:

Konačno dobijamo:

Na osnovu čega zaključujemo da sistem nije stacionaran.

Sistem je memorijski, jer za određivanje vrednosti , potrebno je poznavati ulazni signal

, tj. ulazni signal u drugom vremenskom trenutku.

Sistem je kauzalan jer se za izračunavanje trenutne vrednosti signala ne koriste

vrednosti ulaznog signala iz budućnosti, već samo trenutna vrednost i vrednost iz prošlosti,

i .

b) Sistem je stabilan ako postji konstanta takva da je i ako je tada odziv ogranicen

nekom konstantom .

Za datu funkciju sistema :

sledi:

Dokazali smo da je sistem stabilan.

c) Racunajuci izlazni signal u razlitim trenucima dobijamo

Sumiranjem gore navedenih jednacina dobijamo:

Na ovaj način možemo odrediti pobudu na osnovu izlaznog signala.Zaključujemo da je sistem invertibilan.