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7/25/2019 signaux-phjgderiodiques
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5.1 Les 2 reprsentations des signaux.
Une faon naturelle de connatre un signal est dobserver son allure en fonction du temps : cest la
, donne par exemple par un oscillogrammeLes oscillogrammes nous renseignent sur lamplitude, la valeur crte, la valeur moyenne, etc mais pas sur
les frquences contenues dans le signal.
Dans le domaine des tlcommunications, un problme important est la quantit dinformations (ou dbit)
quil est possible de transmettre sur un support donn (ligne tlphonique, liaison coaxiale, fibre optique)
A titre dexemple, les signaux analogiques images dune conversation tlphonique doivent rester compris
dans la gamme de frquences {300 Hz 3300 Hz} ; un metteur de radiodiffusion FM ne doit pas occuper
une bande de frquence plus large que 150kHz
Pour satisfaire des exigences de cette sorte, il faut reprsenter les signaux, non plus en fonction du temps,
mais en fonction de la frquence : cest la
Le spectre dun signal est la reprsentation en fonction de la frquence des amplitudes des diffrentes
composantes prsentes dans le signal.
Exemples : Voici les 2 reprsentations dune tension triangulaire.
Il sagit dune tension priodique, de frquence 300Hz ; , des frquencesmultiples de 300Hz, de hauteur dcroissant avec la frquence.
Pour un signal musical, le spectre a une allure un peu diffrente : Un tel signal volue de faon quasi alatoire
au cours du temps, tant en amplitude quen timbre.
En consquence, si on tablit son spectre sur un intervalle de temps suffisamment long, nous constateronsquil renferme pratiquement toutes les frquences comprises entre 20 Hz et 20 kHz (domaine audio).
On parle dans ce cas de .
Temporelle Spectrale
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Ci-dessous, les 2 reprsentations dune dizaine de ms dun signal audio :
5.2 Spectre dun signal priodique.
5.2.1 Le thorme de Fourier.En simplifiant quelque peu les Mathmatiques, on peut dire que toute fonction priodique du temps
peut sexprimer sous la forme dune somme de fonctions sinusodales et ventuellement dune constante.
Ceci constitue une version de lnonc du thorme de Fourier.
Une autre version consiste parler de dcomposition dune fonction priodique en srie de Fourier.
(Rque : Nous admettons ce rsultat, mme en prsence de certaines discontinuits, telles que les fronts)
Soit x(t) un signal de forme quelconque, mais priodique de priode T
Le mathmaticien Fourier a dmontr que la fonction x(t) peut scrire sous la forme suivante :
x(t) = X0+ C1sin(t + 1) + C2sin(2t +2) + C3sin(3t + 3) + ... + CNsin(Nt + N) + ...
X0est la valeur moyenne de x(t): ==T
0
0 dt).t(xT1XX
C1sin(t + 1) est le terme fondamental de x(t) ; sa pulsation est = 2f = 2/T ;.son amplitude est C1.
C2sin(2t +2) est lharmonique de rang 2; sa pulsation est 2; son amplitude est C2.
CNsin(Nt + N) est lharmonique de rang N; sa pulsation est N; son amplitude est CN.
Noter quon ne parle pas dharmonique de rang 1, mais de terme fondamental.
Cette dcomposition peut aussi scrire de la faon suivante :
x(t) = X0+ A1cost + B1sint + A2cos(2t) + B2sin(2t) + + ANcos(Nt) + BNsin(Nt) +
{A1cost + B1sint} reprsente le terme fondamental ; { ANcos(Nt) + BNsin(Nt)} est lharmonique de
rang N ;
Les coefficients de cette nouvelle expression se calculent de la faon suivante :
=T
0
N dt).tNcos().t(xT2A
=T
0N dt).tNsin().t(xT
2B
Les 2 dcompositions sont bien sur quivalentes : On aura : CN2= AN
2+ BN2 et tanN= BN/AN
Temporelle Spectrale
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Lorsque la dcomposition dun signal est dtermine, on peut reprsenter son spectre damplitude :
On reprsente les amplitudes CNen fonction de la frquence ; comme les CNcorrespondent des frquences
multiples du fondamental, on obtient unspectre de raies.Lallure gnrale dun spectre est la suivante :
5.2.2 Quelques proprits simplificatrices.
Intressons nous des fonctions alternatives (pour lesquelles X0= 0)
- Fonctions paires ou impaires.Pour une fonction x(t) paire, nous avons x(-t) = x(t) ; sa dcomposition en srie de Fourier ne peut
renfermer que des fonctions paires.
Consquence :Les coefficients BNsont tous nuls pour une fonction paire.Pour une fonction x(t) impaire, nous aurons x(-t) = - x(t) ; la dcomposition en srie de Fourier ne peut
renfermer cette fois que des fonctions impaires.
Consquence :Les coefficients ANsont tous nuls pour une fonction impaire.
Attention : La parit dpend souvent du choix de lorigine des temps !!
Les 2 signaux triangulaires ci-dessus prsentent videmment le mme spectre damplitude ; les
amplitudes CN des 2 dcompositions sont identiques ; par contre, les phases lorigine Nseront
diffrentes dans les 2 critures.
- Fonctions prsentant une symtrie dalternances Ce type de fonction prsente des alternances positives et ngatives de mme forme et telles quon puisse
crire x(t + T/2) = - x(t) (On parle galement de symtrie de glissement )
En consquence, si une fonction priodique du temps possde la symtrie dalternances, toutes les
harmoniques de sa dcomposition en srie de Fourier doivent la possder.
Dans ces conditions,toutes les harmoniques de rang pair sont damplitude nulle.
On a reprsent 2 tensions u1(t) et u2(t) en haut de la page suivante ; u1possde la symtrie dalternances ;
par contre, u2ne la possde pas mais est toutefois impaire.
on crira : u1(t) = {A2p+1.cos(2p+1)t + B2p+1.sin(2p+1)t}, avec p entier variant de 0 +
et u2(t) = Bp.sin(pt)
t t
xx
0 0
Signal triangulaire pair Signal triangulaire impair
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5.2.3 Dcomposition des signaux les plus courants.
u1 u2
0 0t t
+++
=5
t5sin3
t3sintsinE4)t(x
+
=
222 5t5sin
3t3sintsinE8)t(x
++
=15
t4cos23
t2cos21E2)t(x
+
=3
t3sin2
t2sintsinE2)t(x
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5.3 Notion sur les spectres de signaux non priodiques.
Pour prsenter simplement ce type de spectre, raisonnons sur un exemple : Quel est lallure du
spectre dune impulsion rectangulaire unique ?
On peut trs bien dduire le spectre cherch du spectre du signal priodique correspondant.Considrons ainsi un signal rectangulaire positif de rapport cyclique a ; les reprsentations temporelles et
frquentielles dun tel signal sont donnes ci-dessous :
Le spectre comprend des raies aux frquences Nf, dont lamplitude volue avec la frquence comme une
fonction de typesin . Cette fonction enveloppepasse par 0 aux frquences multiples de linverse de la
largeur des crneaux : 1/aT, 2/aT...
Pour obtenir le spectre dune impulsion unique, il suffit daugmenter infiniment la priode T Dans ce
cas, les raies se rapprochent et le spectre est constitu dune infinit de raies juxtaposes, alors que
lenveloppe ne change pas :
Nous aurons maintenant unspectre de bandeet non plus unspectre de raies.
On ne trace plus les raies, le spectre est maintenant une fonction continue de la frquence F(f).
Lamplitude nest videmment pas la mme dans les 2 cas, puisquun train dimpulsions contient beaucoup
plus dnergie quune impulsion unique.
Remarque: Ce spectre est fugitif puisquil nexiste que pendant le temps trs bref de la dure delimpulsion. Dans le cas dun signal priodique au contraire, le spectre est stable dans le temps.
Le spectre de frquence dune fonction x(t) non priodiquese calcule grce une opration nomme
Transforme de Fourieret que nous noterons X().
Cette fonction complexe est dfinie par : +
= dte)t(x)(X tj
Le module X() reprsente lenveloppe du spectre de la fonction x(t) ; il na de sens que pour les valeurs
positives de la frquence.
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5.4 Lanalyseur de spectre.
Cet appareil permet laffichage du spectre des signaux sur un cran. Il peut tre autonome , intgr au
sein dun oscilloscope ou associ un ordinateur.
On peut distinguer lanalyseur de spectre analogique et lanalyseur de spectre numrique.
Principe de lanalyseur de spectre analogique.
Un gnrateur de dents de scie de trs faible frquence wobule un VCO sinusodal. Un multiplieur effectue le
produit du signal analyser et du signal sinusodal de sortie du VCO. Un filtre permet dextraire la valeur
moyenne de ce produit.
La dent de scie (image de la frquence instantane fBde sortie du VCO) est applique lentre Xdunoscilloscope, tandis que la sortie du filtre moyenneur est applique lentre Y; on obtient ainsi lcran unecourbe reprsentant lamplitude du signal analyser en fonction de la frquence, cest dire son spectre.
Analyseur de spectre numrique.
Cet appareil travaille sur des chantillons du signal traiter, prlevs une cadence rgulire, puis
numriss.
En pratique, on prlve un nombre n dchantillons qui est une puissance de 2 (1024 ou 2048 trs souvent) ;
ce prlvement ncessite une dure nTE, si TEest la priode dchantillonnage.
Il est facile de comprendre que la fentre temporelle nTEdacquisition doit tre suprieure la priode du
signal traiter (si celui-ci est priodique).
Le systme effectue alors une opration appele Transforme de Fourier discrtesur les n chantillons :En nommant XNlchantillon du signal analogique x(t), prlev la date NTE, il vient
=
=1N
0k
kTjkm EeXA
En thorie, la reprsentation de Amen fonction de donnera le spectre de x(t).
En pratique, les diffrents chantillons prlevs sont pondrs par des mthodes diverses (fentre de
Hamming, de Bartlett). On calcule, non pas la transforme de Fourier discrte, mais unetransforme de
Fourier rapide(FFT),qui permet de conserver lessentiel des caractristiques des spectres, tout en rduisantconsidrablement le volume des calculs effectuer. (algorithme de Cooley-Tukey)
Gnrateur dedents de scie
V.C.O
Multi-plieur
Filtrepasse-bas
X
Y
Signal analyser x(t)
Acos Bt
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5.5 Valeur efficace Taux de distorsion harmonique.
Considrons un signal priodique dont la dcomposition est : ++=N
NN )tNsin(CX)t(x .
5.5.1 Valeur efficace.
Par dfinition, sa valeur efficace X se calcule selon : =T
022 dt)t(x
T1X
Exprimons x2(t) : ++
++=
NNN
2
NNN22 )tNsin(CX2)tNsin(CX)t(x
Or, on peut vrifier aisment que :
- La valeur moyenne de toute fonction sinusodale est nulle.- La valeur moyenne du produit de 2 fonctions sinusodales de pulsations diffrentes est nulle.- La valeur moyenne du carr dune fonction sinusodale est gale .
On en dduit alors : +=N
2N
22 C
21X)t(x
Le second terme reprsente la valeur efficace de londulation de x(t), soit =N
2NOND C2
1X
Et la valeur efficace cherche est : )XX(X 2OND2+=
Exemple:
Soit la tension
x(t) = 0,5 + 2sin(200t) +0,25sin(600t) + 0,1sin(1000t)
Sa valeur moyenne est 0,5V
La valeur efficace de son ondulation est :
V43,12
1,025,02X
222OND
++=
La valeur efficace X est :
V51,143,15,0X 22 +=
5.5.2 Taux de distorsion harmonique
Le taux de distorsion harmonique permet de chiffrer la puret spectrale dun signal, par rapport un
signal sinusodal de rfrence.
Le taux de distorsion harmonique ne concerne que londulation des signaux ; les composantes continues
ventuelles ne sont pas prises en compte pour son valuation.Lappareil permettant sa mesure se nommedistorsiomtre.
Soit le signal priodique le plus gnral : ++=N
NN )tNsin(CX)t(x
On appelledistorsion dordre Nle rapport1
NN
CC
d =
On appelledistorsion harmonique totalele rapport1
2N
23
22
C
...C...CCTHD
++++=
Exemple :
Reprenons le signal prcdent : x(t) = 0,5 + 2sin(200t) +0,25sin(600t) + 0,1sin(1000t)
Nous avons C1= 2V, C2= 0, C3= 0,25V, C4= 0 et C5= 0,1V
On peut en dduire les distorsions dordre 3 et 5 : d3=0,125 et d5= 0,05 , ainsi que le taux de distorsionharmonique totale de cette tension : THD 0,135, soit 13,5%.
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Remarque: Pour un signal prsentant un faible taux de distorsion, on peut assimiler la valeur efficace de
londulation la valeur efficace du fondamental du signal ; on obtient ainsi une dfinition approche du taux
de distorsion :...C...CCC
...C...CCTHD
2N
23
22
21
2N
23
22
+++++
++++
Cette approximation est utilise par certains distorsiomtres qui fonctionnent selon le schma suivant :
5.5.3 Classification gnrale des distorsions.
Quand un tage non linaire dforme un signal sinusodal, nous pouvons distinguer 2 cas :
- Apparition majoritaire dharmoniques de rang impair.Cest le cas des tages en saturation, des amplificateurs symtriques (push-pull) ; la distorsion est
symtrique ; on parle dedistorsion dharmonique3.
- Apparition majoritaire dharmoniques de rang pair.Cest le cas des tages amplificateurs un seul transistor, par exemple ; la distorsion est dans ce cas
dissymtrique, et on parle dedistorsion dharmonique 2.
Exemples : Par rapport la sinusode de rfrence u0, les tensions u1, u2et u3prsentent toutes un THD de
15%, et pourtant
Eliminationcomposante
continue
Eliminationdu fondamental
Val effharmoniques
Val effondulation
Rapport
THD
Signal traiter
u0= cos(100t)
u1= cos(100t) + 0,15cos(200t)
u2= cos(100t) + 0,15cos(300t)
u3= cos(100t) - 0,15cos(300t)
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5.6 Oprations de traitement des signaux : Consquences sur les spectres.
5.6.1 Translations.
- Translation temporelle. Cest le cas du traitement dun signal par une ligne retard. Ce type de bloc
fonctionnel apporte un retard constant tout signal.
Toutes les composantes spectrales sont retardes de la
mme faon : Leurs amplitudes ne sont pas modifies.
- Translation de niveau.On ajoute ici un dcalage continu (offset) un signal. Londulation nest pas affecte.
Seule la composante continue est modifie ici.
- Translation de frquence.La translation de frquence est gnralement ralise par fonction produit (multiplieur).
Cest un 1erexemple dopration non-linaire.
Considrons, pour simplifier, le produit de 2 tensions sinusodales :
Soient u1(t) = U12sin(2f1t) et u2(t) = U22sin(2f2t)
Un multiplieur effectue le produit de ces 2 tensions, un facteur dchelle K prs :uS(t) = K.u1(t).u2(t) = 2K.U1.U2.sin(2f1t).sin(2f2t), soit, en linarisant :
uS(t) = K.U1U2.cos[2(f1 f2)t] - K.U1U2. cos[2(f1+ f2)t]
La tension uSainsi produite comporte 2 raies dgale amplitude, aux frquences |f1 f2| et f1+ f2.
Noter que ces 2 raies nexistaient pas dans les spectres de u1et de u2.
Cf. exemple ci-contre :
u1(t) = sin(4000t)
u2(t) = 0,5.sin(250t)
uS(t) = 0,2.u1.u2
Remarque relative aux systmes non linaires : La fonction produit est lopration nonlinaire de base. Les
redresseurs, les dcoupeurs (hacheurs ou choppers), les blocs fonctionnels en rgime de saturation sont
dautres exemples doprateurs non linaires.
Le point commun tous les oprateurs non linaires est de faire apparatre des composantes harmoniques
nouvelles.Ce phnomne est mis profit pour raliser par exemple des multiplieurs de frquence, laide
damplificateurs en saturation, associs un filtre passe-bande adapt.
Retard
e(t) s(t) = e(t - )
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!
K.d / dt
e(t) s(t) = Kde / dt
5.6.2 Drivation.
Un bloc drivateur labore un signal proportionnel
la drive par rapport au temps de son signal dentre.
(Noter que la constante K est homogne un temps)
Avec ++=N
NN )tNsin(.CE)t(e ,
Il vient : )tNcos(.KCdt
de
K)t(s NN N +== Au niveau des spectres, on peut constater que la composante continue est limine et que les harmoniques
sont amplifies dautant plus que leur rang est lev.
Exemple: e(t) = 2sin(100t) + 0,1sin(200t) + 0,05sin(300t) + 0,01sin(400t)
Le THD de e(t) est de lordre
de 5%.
Il nempche que e(t) reste assez
proche dune sinusode.
A linverse, s(t) en diffre assez
fortement.
En conclusion, nous dirons quun
circuit drivateur dgrade le taux
de distorsion harmonique.
5.6.3 Intgration.
Cette fois, le bloc considr labore un signal proportionnel une primitive du signal appliqu.
Avec ++= NNN )tNsin(.CE)t(e ,
Il vient +
+==N
NN
t
)tNcos(.NC
'.Kt.E'.Kdt).t(e'.K)t(s
La constante K a la dimension de linverse dun temps.
Une premire remarque est que la prsence dune composante continue dans e(t) va entraner la saturation de
lintgrateur au bout dun certain temps !
Au niveau de londulation, on peut voir que les harmoniques sont maintenant attnues, dautant plus que leur
rang est lev.
Exemple: e(t) = 2sin(100t) -0,2sin(300t) + 0,1sin(500t) - 0,05sin(700t)
Le THD de e(t) est de 11,5%
(e(t) pratiquement triangulaire)
Lintgrateur labore la tension
=t
dt).t(e10)t(s
Cette tension est bien plus proche
dune sinusode : Lintgration
permet damliorer le THD.
K.
e(t) s(t) = Ke(t)dt
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5.6.4 Somme ou diffrence.
Dans la somme de 2 signaux priodiques e1(t) et e2(t) , on va bien sur trouver toutes les composantes
harmoniques de e1(t) et de e2(t). Par contre, la frquence apparente de la somme s(t) = e1(t) + e2(t) nest pas
aussi simple dfinir.
Raisonnons sur un exemple : Soient e1(t) = sin(200t) et e2= 0,5sin(250t).
e1est sinusodale, de frquencef1= 100Hz (T1= 10ms)
e2est sinusodale, de frquence
f2= 125Hz (T2= 8ms)
s = e1+ e2nest pas sinusodale, et de
priode T = 40ms, soit f = 25Hz.
Le spectre de s contient 2 raies, aux
frquences f1et f2, mais pas de raie la
frquence f !!
(Remarque : 40ms est le plus petit
commun multiple 8ms et 10ms)
5.6.5 Filtrage.
Un filtre transmet une bande de frquences donne ; il transmettra , soit la totalit du spectre dun signal,
soit une partie seulement. Un filtre ne peut quappauvrir le spectre dun signal.
Soit la tension u(t) = sin(200t) + 0,2sin(600t + /6) +0,05sin(1000t + /3) 0,02sin(1400t).
Envisageons diffrents filtrages de u(t) :
Elimination des harmoniques de u(t)
par filtrage passe-bas : Il ne reste que
le fondamental de frquence 100Hz.
Elimination du fondamental de u(t) :
Il subsiste les harmoniques 3, 5 et 7.
(Remarquer la frquence apparente
qui demeure 100Hz toutefois !!)