Simpel Lineær Regression

Opsplitning af variationen

Determinations koefficient

Variansanalyse – F-test

Model-kontrol

Opbygning af statistisk model

Specificer modelLigninger og antagelser

Estimer parametre

ModelkontrolEr modellen passende

Anvend modellen

Ja

Nej

Simpel Lineær Regression - repetition

Model:

),0( iid 210 Nxy iiii

Systematisk komponent Stokastisk komponent+

Spørgsmål: ”Afhænger y lineært af x ?”.

Estimation - repetition

Vha. Mindste Kvadraters Metode finder vi regressionslinien

hvor

iiiii xbbyyye 10ˆ

iiii

x

xy

xxXYxbby

xbyb

b

1010

010

11

) |(E afestimat ˆ

afestimat

afestimat SS

SS

xbby 10ˆ

Residual:

Forklaret og uforklaret afvigelse Yi’s afvigelse fra kan opdeles i to.

.Y

X

Y

Y

Y

X

Forklaret afvigelse

Totale afvigelse

Forklaret afvigelse

X

Y

Total og forklaret variation - illustration

Den totale variationses når vi “kigger langs” x-aksen

Den uforklarede variation ses når vi “kigger langs” regressionslinien

Y

X X

Y

Den totale variation

Den totale variation for data er

”Variationen i data omkring datas middelværdi” SST = Sum of Squares Total

)()(1

2Y

n

i i SSyySST

Opslitning af den totale variation Den totale variation kan opslittes:

er den uforklarede variation.

er den forklarede variation.

SSR = Sum of Squares Regression

2

1

2

1

2

1ˆˆ

n

i i

n

i ii

n

i i yyyyyy

2

1ˆ

n

i ii yySSE

2

1ˆ

n

i i yySSR

Total og forklaret variation

Opslitning a variationen

SSRSSESST

yyyyyyn

i i

n

i ii

n

i i

2

1

2

1

2

1ˆˆ

Forklaret Uforklaret Total

Determinations koeffcienten Determinations Koeffcienten: Andelen af den totale

variation, der er forklaret.

Pr definition: 0 ≤ r2 ≤ 1.

Jo tættere r2 er på 1, jo mere af variationen i data er forklaret af modellen.

r2 >0.8 er godt! … r2 meget tæt på 1 er dog mistænkeligt.

SST

SSE

SST

SSESST

SST

SSRr

12

variation Total

variation Forklaret

Eksempler på r2

Y

X

r2 = 0 SSE

SST

Y

X

r2 = 0.90SSE

SST

SSR

Y

X

r2 = 0.50 SSE

SST

SSR

r2 og Korrelationskoefficienten r Den estimerede korrelationskoefficienten

Vis at r2 = r2 …. :-s

Ingredienser:

YX

XY

SSSS

SSr

YSSSST X

XY

SS

SSb 1

SSRSSESST

SST

SSRr 2 XYY SSbSSSSE 1

Variansanalyse-tabel Hypoteser:

H0: β=0 ”Lineær regression er ikke besværet

værd.”

H1: β≠0

Under H0 gælder SSE/2 og SSR/2 er uafhængige og 1~2~ 2

22

2

SSR

nSSE

og

Antal parametre involveret i testen.

Antal observationer minus totale antal parametre.

Variansanalyse - fortsat Af forrige slide følger:

Store værdier af F er kritiske for H0.

Med signifikansniveau α afviser vi H0, hvis

2,1 nFF

2,1~2

1

nF

MSE

MSR

nSSE

SSRF

SPSS output

21

nSSEMSESSRMRE

SSTSSESSR

12

1

nn

MSEMSRF værdip

Sums of Squares Frihedsgrader Mean Sums of Squares

F-teststørresle

403,0250,42256

044,170302 SST

SSRr

403.0635.0 2

Modelkontrol

For at kunne stole på test og estimater skal vi sikre os, at modellens antagelser er overholdt!

Er der en lineær sammenhæng mellem X og Y ?

Er fejlleddene ε1,…, ε1 uafhænige?

Følger fejlleddene ε1,…, ε1 alle N(0,2)?

Bemærk at residualet

er et estimat for εi.

Dvs. ei’erne groft sagt skal opføre sig som uafhængige N(0,2) variable!

Grafisk kontrol: Plot ei’erne mod xi eller .

Residualanalyse

iii yye ˆ

iy

Residualplot

y ellerx ˆ0

Residualer

Homoskedastisk: Residualerne ser ud til at variere ufahængigt af hinanden og x.

0

Residualer

Det buede mønster indikerer en underlæggende ikke-lineær sammenhæng.

0

Residualer

Residualerne udviser lineær trend med tiden (ellern anden variabel vi ikke har brugt). Dette indikerer at tid skulle inkluderes i modellen.

Tid

0

Residualer

Heteroskedastisk: Variansen for residualerne ændrer sig når x ændrer sig.

y ellerx ˆ

y ellerx ˆ

٪

٪

٪

√

TV-Statistik-Køkken Jeg har snydt og lavet mit eget data…

Det ligner reklame/salg data, men med flere observationer (n=30).

Residualer i SPSS

I ’Linear Regression’ vinduet vælges ’Save…’

I ’Save’ vinduet vælges ’Unstandardized’ både under ’Reresiduals’ (ei’erne) og ’Predicted Values’ ( ’erne) .iy

Efter endt regression skaber SPSS to nye søjler i ’Data Editor’, der indeholder residualer (’RES_1’) prædiktioner (’PRE_1’) .

Derefter kan man fx lave scatter plots.

Scatter plot af

residualer (ei’erne) mod ’højde’ (xi’erne) (øverst)

residualer (ei’erne) mod prædiktionerne (^yi’erne) (nederst).

Ser jo ganske usystematisk ud!

Grafiske check for NormalfordelingFor at tjekke holdbarheden af antagelsen om

normalfordelte fejlled: ( εi~N(0,σ2) ) Lav et histogram over residualerne og se

efter om det normalfordelt ud. Lave et normalfordelingsplot (Q-Q plot).

Lav et formelt χ2-test for ”goodness of fit” til en normalfordeling for residualerne

Det ser jo ca normalfordelt ud…

Histogram af residualer

Normalfordelingsplot (Q-Q plot) For hvert residual ei udregner vi

hvor li er antallet af residualer der er mindre end ei,

og mi er antallet af residualer med samme værdi som ei.

For hvert qi finder vi zi , så P(Z≤ zi )= qi , hvor Z~N(0,1).

Hvis ei’erne er normalfordelte vil et plot af (ei, zi) ligge på en ret linie.

1

21

n

mlq ii

i

Normalfordelingsplot (Q-Q plot) Nemmere med en tegning…

Vælg ’Analyze → Descriptive Statistics → Q-Q plots’

Ser helt fint ud – snor sig ikke alt for systematisk omkring linjen.

Prædiktion i SLR-modellen Punktprædiktion:

Hvilken værdi vil y forventeligt antage, hvis x antager en bestemt værdi, fx x=10 ?

Svar:

Dvs. vi prædikterer som bedste bud på punktets værdi.

Bedst ikke at prædiktere for x–værdier for langt fra, hvor vi har data

10ˆ 10 bbyGanske simpelt ved at indsætte x i den estimerede regressions linje!

xbby 10ˆ

Prædiktionsinterval for observationen

X

xx

nsnty

SS

)(11)1(ˆ

2

2

Et (1-α)100% prædiktions interval for Y|X=x er

Hvor s=√MSE.Et (1-α)100% konfidens interval for E(Y|X=x) er

X

xx

nsnty

SS

)(1)1(ˆ

2

2

Prædiktionsbånd

X

Y

Regressions- linie

Prædiktionsbånd for E[Y|X]

Prædiktionsbånd for Y|X

Prædiktionsbåndene fremkommer ved at betragte konfidensintervallets endepunkter som funktion af x.

y

x

SLR og lineær algebra Den simple lineære regressions model siger:

Hvor1,...,n er uafhængige og enfordelte 2~N(0,2) .

Det kan vi skrive som to søjle-vektore!

nnn x

x

x

x

y

y

y

y

10

3310

2210

1110

3

2

1

SLR og lineær algebra

Sådan!

Den sidste vektor kan vi skrive som en sum af vektore…

nnn x

x

x

x

y

y

y

y

10

3310

2210

1110

3

2

1

SLR og lineær algebra Modellen kan skrives vha. matrixer og vektore:

Hvor

Matricen X kaldes Design-matricen.

εXβ

nnnnnnn x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

y

y

y

3

2

1

1

03

2

1

3

2

1

13

2

1

0

10

3310

2210

1110

3

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

nnn x

x

x

x

y

y

y

y

3

2

1

1

03

2

1

3

2

1

1

1

1

1

εβXy

SLR og lineær algebra

Regneregel fra lineære algebra:

Estimatet for er:

n

i iy1

2yyT

1

0

β

yXXXb TT 1

1

0

b

b