Kursblogg med stikkord og læringsmålhome.hvl.no/ansatte/ahas/mat101/filer/kursblogg.pdf · 2019-10-14 · Lineær programmering (lineær optimalisering) er en matematisk metode

MAT101 Matematikk i Praksis

Kursblogg med stikkord og læringsmål

Det er viktig å komme i gang. Fristen for innleveringsoppgavene blir torsdagene kl. 14.00 iuke 36, 37, 39, 40, 41, 43, 44, 46 der 6 av 8 skal bli godkjente for å kunne ta eksamen ogde 2 siste må være godkjente.

Uke 34 - Kapittel 1.1-10Stikkord:1.1 Mengder, lukket og åpnet intervall1.2 Tallinjen og de reelle talleneReelle tall, gjeldende siffer, tall på standardform1.3 Regning med reelle tallRegler for potensledd1.4 Røtter1.5 Relativ økning og vekstfaktorVekstfaktor og vekstprosent (rentefot)1.6 Rasjonale og irrasjonale tall1.7 Polynomdivisjon1.8 Logiske slutninger1.9 Løsning av likninger1.10 Summetegn og geometriske rekker

Dette har vi lært i kapittel 1Generelt grunnlag

Tall og størrelser

Tall på standard form: a · 10±n

der 1≤ a < 10 og n= 0,1, 2, · · ·


Noen grunnleggende regneregler

a+ bc=

ac+

bc

−a+ b

c= −

ac−

bc

ab· c =

acbc

ab

: c =ab·

1c=

abc

a :bc= a ·

cb=

acb

abc

= a ·cb=

acb

abcd

=ab·

cd=

adbc

abc=

abc

Potensregler

am · an = am+n npam = amn

am

an= am−n a−n =

1an

(ab)n = an bn a−n = a1n

(an)m = anm a0 = 1

Vekstfaktor

En verdi endrer seg fra x0 til x1.1) Absolutt endring: x1 − x0,

2) Relativ endring:x1 − x0

x0

3) Vekstfakror:x1

x0

En verdi endrer seg med rentefot p prosent pr. tidsenhet (år, mnd, osv. ). Vekstfaktor er

da 1+p

100

Rentefot (p) Vekstfaktor

En verdi vokser med 25 % 1,25

En verdi synker med 25 % 1,58

En verdi vokser med 100 % 2


Hvis en verdi K0 har endret seg med p % i i løpet av en tidsenhet, er verdien etter n tidsen-heter gitt ved:

K(n) = K0(1+p

100)n

Logiske slutninger

Et utsagn p kan ha sannhetsveriden 1(sann) eller 0 (usann).

Kunjuksjon p ∧ q og disjnuksjon p ∨ qp ∧ q er sann bare når både p og q er sanne.p ∨ q er usann bare når både p og q er usanne.Implikasjon p⇒ qp kalles premiss og q for konklusjon.Implikasjonen kan formuleres på mange måter:p impliserer q.p medfører q.p bare hvis q.Hvis p, så q.p er nødvendig betingelse for q ogq er tilstrekkelig betingelse for p.En implikasjon er alltid sann unntatt bare når sann premiss (sannhetsverdi 1) medførerusann konklusjon(sannhetsverdi 0).

Ekvivalens p⇔ qBiimplikasjonen p⇔ q (leses "hvis og bare hvis") er sann bare hvis begge utsagn p og q ersanne eller begge er usanne.

Andre gradsligninger

LIgning a 6= 0 Løsning

ax2 + bx + c = 0 x =−b± 3p

(b2 − 4ac)2a

ax2 + bx = 0 x = 0∨−ba

ax2 + c = 0 x = ±s

ca


Uke 35: Kapittel 1.11, 2.1-2.41.11 Plangeometri og koordinatsystem- Rette linjer (parallelle (a1 = a2 og lodrette linjer)- Avstander og litt om geometriske figurer- Trekanter og Pytagoras2.1 Funksjoner

- Definisjons- og verdimengder- Lineære funksjoner- 2degradsfunksjoner og parabler- Potensfunksjoner2.2 Invers funksjoner�Hvilke funksjoner er inverterbare og hvordan man finner inversfunksjonen?

- Monotonitet- strengt voksende/avtagende2.3 Lineær programmering2.4 Skifte av lineære skala

Funksjoner

En Funksjon f er en regel som tilordner et hvertelement, x , fra en mengde kalt definisjonsmengde,til et entydig bestemt element, y , i en mengdekalt verdimengde: y = f (x) der x ∈ Df og y ∈ Vf

Noen spesielle funksjoner

− Lineære funksjoner: y = ax + b,− Andre gradsfunksjoner funksjoner:

y = ax2 + bx + c der a 6= 0,

Polynom funksjoner:p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · ·+ an xn.

− Rasjonale funksjoner y =p(x)q(x)

der q(x) 6= 0,

− Eksponentialfunksjoner y = Cekx , der C 6= 0,− Logaritme funksjoner y = log x , y = ln x , · · · .

Lineære funksjoner

En punktsformel (et punkt (x0, y0) og stingsstallet, a, er kjent):

y = y0 + a(x − x0)

To punktsformel((x0, y0) og (x1, y1) er kjente):

y = y0 + a(x − x0) der a =y1 − y0

x1 − x0


Andre gradsfunksjoner

For å tegne grafen til f (x) = ax2 + bx + c ,finner man:

− Grafen smiler når a > 0 og er sur når a < 0.,

− Nullpunkt(ene): x =−b±

pb2 − 4ac

2a

− Symmetri linjen s =b

2a,

−For å bestemme bunnpunktet (a > 0 eller topppunktet (a < 0 er da: ( x= −b

2a, y =

f (−b

2a))

Inverse funksjoner

Anta f er en kontinuerlig funksjon definert på et intervall. Da har f en invers funksjon hvisog bare hvis den er en-entydig funksjon. En en-entydig funksjon er strengt voksende/avta-gende.

La f og g være to funksjoner. Vi sier at f og g er inverse funksjoner dersom: f (g(x)) = xfor alle x i definisjonsmengden, x ∈ Dg , g( f (x)) = x for alle x i definisjonsmengden, ogx ∈ Df . Df = Vg , Vf = Dg . Da er g(x) = f −1(x) og f (x) = g−1(x).

Skjæringssetningen

La f være kontinuerlig i [a, b]. Dersom funksjonsverdiene i endepunktene har forskjelligefortegn, har da ligningen f (x) = 0 minst ett nullpunkt i dette intervallet. Dersom f er itillegg monoton i intervallet, har f (x) = 0 kun ett nullpunkt i intervallet .

Lineær programmering

Lineær programmering (lineær optimalisering) er en matematisk metode for å bestemmeen måte å oppnå det beste resultatet (for eksempel maksimal profitt eller lavest kostnad) ien gitt matematisk modell for noen liste over krav representert som lineære sammenhenger.Bestem største eller minste verdien til målfunksjonen f (x , y) = c1 x + c2 y , under betingel-sene:

x ≥ 0; y ≥ 0

a1 x + b1 y ≤ c1

a2 x + b2 y ≤ c2

· · ·an x + bn y ≤ cn


- En ønsker å minimere eller å maksimere et mål.- En kan spesifisere målet som en lineær funksjon av spesifikke variable.- En kan spesifisere de tilgjengelige ressursene som ulikheter eller likheter på disse variab-lene.Hvis et problem tilfredsstiller de tre punktene over, kan det løses ved hjelp av lineær pro-grammering.

Skifte av lineær skala

Tenk at vi har to forskjellige linære skalaer og to par samsvarende verdier:u0 u u1

——————————————→ u-aksex0 x x1

——————————————→ x-akse

Omregningsformelen kan skrives som:

u− u0

u1 − u0=

x − x0

x1 − x0

Lage en felles plattform - Mye er nok kjent for mange fra før.Du må kunne et punktsformel og topunktsformel og tegne en rett linje.Prøv å lage egne notater, og skriv detaljene som du synes det er viktig.


Uke 36: Kapittel 3.1-3.5Kap. 3 Periodiske fenomen - Trigonometriske funksjoner3.1 Periodiske funksjoner. Sinus og cosinus

Vinkelmål, sin, cosinus, tangens og enhetssirkel, kjente vinkler3.2 Trigonometriske funksjoner

Å bruke enhetssirkel til å tegne grafen til sin, cos og tanÅ forklare sin, cos og tan til vinkelene −α, π−α, π+α, 2π−α.Fra sin/cos og trekanter til trigonometriske funksjoner- Periodiske funksjoner- Grader og

radianer- Enhetssirkelen- Formler for cos/sin- Odde og jamne funksjonerInverse trigonometriske funksjoner- Trekantsetninger- FormlikhetI hvilke intervaller er sin x, cos x og tan x inverterbare?Trigonometriske formler: enhetsformel, sin, cos og tan til u± vBruke u± v -formler til å sette opp trigonometriske formler for dobbel vinkel (2x).Trigonometriske ligninger

3.3 Noen setninger om trekanterArealsetning, sinussetning, cosinussetning

3.4 Harmoniske svingningerMiddelverdi, amplitude, sirkelfrekvens (vinkelfrekvens), akrofase (fasevinkel)

f (x) = C0 + C1 sin(ω(t − t0))

t0 er avstanden fra første nullpunkt til origo.

f (x) = C0 + C1 cos(ω(t − t0))

t0 er avstanden fra første nullpunkt til origo.

π2

π 3π2

2π−1

1

2

3

4

5

0

0 x

y1

π2

π 3π2

2π−1

1

2

3

4

5

0

0 x

y2

3.5 Omskriving av harmoniske svingningerOmskriving av harmoniske funksjoner- Polarkoordinater (neste side)3.6 Addisjon av harmoniske svingninger


Omregning fra polarkoordinater til punktet P(r,θ ) til kartesiske koordinater(a, b):

(1)

a = r cosθ

b = r sinθ

r =p

a2 + b2

θ = tan−1(ba)

1. Trigonometri (trekantm ling)i er læren om forholdet mellom vinkler og sider i en tre-kant. Trigonometriske funksjoner er nyttige for modellering av periodiske fenomener,

2. Vinkelmål: To kjente mål for vinkel er grader(D) og Radianerr(R). Forholdet mellom

grader og radiane(absolutt vinkelmål) er:D

180o=

Rπ

Trigonometri i grader

3. Sinussetningen:a

sin A=

bsin B

=c

sin c

4. Cosinussetningen:a2 = b2 + c2 − 2bc cos Ab2 = a2 + c2 − 2ac cos Bc2 = a2 + b2 − 2ab cos C

5. Arealsetningen:

A=12

bc sin A=12

ac sin B =12

ab sinC

Trigonometri i radianer

6. Enhetssirkel :


7. Enhetsformel sin2 x + cos2 x = 1

8. Kjente vinkler:

9. Tangens: tan x =sin xcos x

10. Kvadranter

1. kv. 2. kv. 3.kv. 4.kv.

sin + + − −

cos + − − +

tan + − + −

11. Komplementære- og supplementvinkler

For en vinkel 0≤ θ ≤π

2gjelder det:

sin(−θ ) = − sin(θ ) cos(−θ ) = − cos(θ )

sin(π− θ ) = sin(θ ) cos(π− θ ) = − cos(θ )

12. Formler for summen og differansen mellom to vinkler:sin(α± β) = sin(α) cos(β)± cos(α) sin(β)cos(α± β) = cos(α) cos(β)∓ sin(α) sin(β)

tan(α± β) =tan(α)± tan(β)

1− tan(α) tan(β)

13. Dobbelt vinkelformler:

sin(2α) = 2 sin(α) cos(α)

cos(2α) = 2cos2(α)− 1= 1− 2 sin2α

14. Kjente vinkler

0π

6π

4π

3π

2π

3π2

2π

sinα 012

p2

2

p3

21 0 −1 0

cosα 1

p3

2

p2

212

0 −1 0 1

tanα 0

p3

31

p3 ∞ 0 −∞ 0


15. Trigonometriske funksjoner er ikke injektiv(en-entydig) i intervallet [0,2π]. For å kun-ne definere inverse funksjoner må vi definere en del av definisjonsmengden slik atfunksjonen er injektiv(en-entydig). Her er det et oversikt over intervallet der funksjo-ner er injektive:

Injektivitet

f (x) Df

sin(x) [−π2

,π

2]

cos(x) [0,π]

tan(x) (−π2

,π

2)

cot(x) (0,π)

16. Her er det grafen til:y = sin−1(x) , y = cos−1(x),

y = tan−1(x) og y = cot−1(x), der cot x =1

tan x


17. Omregning fra polarkoordinater til punktet P(r,θ ) til kartesiske koordinater(a, b):

a = r cosθ

b = r sinθ

r =p

a2 + b2

θ = tan−1(ba)

18. Omregning fra kartesiske koordinater (a, b) til polarkoordinater(r,θ ):

r =p

a2 + b2 og θ = tan−1(ba) .

19. omskriving av a cos(ωt) + bsin(ωt) på formen:C cosω(t − t0) der 0≤ t0 < 2π

C =p

a2 + b2 og tanωt0 =ba

a = 0, b > 0 t0 =1ω(π

2)

a = 0, b < 0 t0 =1ω(3π2)

a > 0, b > 0 t0 =1ω

tan−1(ba)

a < 0, b > 0 t0 =1ω(π− tan−1(

ba)

a > 0, b = 0 t0 = 0

a < 0, b = 0 t0 =1ωπ

a < 0, b < 0 t0 =1ω(π+ tan−1(

ba)

a > 0, b < 0 t0 =1ω(2π− tan−1(

ba)

20. Grafen til funksjonen y = C+Asinω(t− t0) kan tegnes ved hjelp av C (likevektslinjen:y = C) A(amplitude) , ω (vinkelfrekvens, sirkelfrekvens) og t0 (akrofase). Perioden

T er T =2πω

.

Bemerk at :• Akrofasen t0 er avstanden fra:

i) første nullpunkt til y-aksen for:

y = c + a sinω(t − t0)

ii) første topppunkt til y-aksen for:

y = c + a cosω(t − t0)


Her ser vi grafen til:

y(x) = 6+ 2 sinπ(x − 0,5) = 6− 2sin(πx)eller:

y(x) = 6+ 2 cosπ(x − 1)

• Akrofasen til y = C + Asin(ωt − t1) er t0 =t1

ω.

21. Gitt to harmoniske funksjoner: f (t) = C1cos(ωt −φ1) og g(t) = C2cos(ωt −φ2), derC1 ≥ 0 og C2 ≥ 0. Funksjonen f (t) + g(t) amplituden:

C2 = C21 + C2

2 + 2C1C2cos(φ1 −φ2)

Test deg selv:Sjekk at du klarer å tegne grafene til sin x , cos x , tan x , sin−1 x , cos−1 x , tan−1 x på egenhand ut å sjekke boken.Hvordan kan man omgjøre (a, b) til (r,θ ) polar når a, b eller begge er negative.


Uke 374. Kontinuitet og grenser

4.1 Begrepene kontinuitet og grenseEnsidige grenserKontinuitet

4.2 Beregning av grenser00 (faktorisering eller L’Hopitals’ regel)∞∞ (del telleren og nevneren med dominerende ledd)

4.3 Nullpunkter og ekstremalpunkterSkjæringssetningen (kan brukes til å undersøke om en ligning har minst en løsning på et

intervall: dersom f (a) · f (b)< 0, har ligningen f (x) = 0 minst en løsning i intervallet [a, b])Ekstremalverdisetningen4.4 Følger

Konvergens av tallfølger4.5 Rekker

Geometiske rekker og summenManipulasjon av rekker

Grenseverdi og kontinuitet

Grenseverdi beskriver en verdi funksjonærmer seg når x-verdi nærmer seg mot punktetx = a og betegnes ved lim

x→af (x) . Dersom denne verdien er et entydig bestemt tall når x

nærmer seg mot x = a fra begge sider, eksisterer grenseverdien.

limx→a+

f (x) = limx→a−

f (x)

Dersom denne grenseverdien er uendelig eller ikke et bestemt tall, har funksjonen ingengrenseverdi i dette punktet. Når man skal bestemme hvordan en funksjon oppfører seg nårx går mot uendelig (horisonatal asymptote), regner man:

limx→∞

f (x)

• limx→a

f (x)g(x)

=00

Dersom limx→a

f (x)g(x) =

00 og f (x) og g(x) er polynom funksjoner, er det vanligvis telleren fakto-

riserbar med (x − a), (x −p

a) og i noen tilfeller med (p

x −p

a).Eksempel:

limx→+3

x2 − 9x − 3

=00= lim

x→+3

x2 − 9x − 3

= 0.

limx→−

p5

x2 − 5

x +p

5=

00= lim

x→+3

x2 − 9x − 3

= 0.


• limx→∞

f (x)g(x)

=∞∞

limx→∞

am xm + am−1 xm−1 + · · · a1 x + a0

bn xn + bn−1 xn−1 + · · · b1 x + b0

= limx→+∞

am

bnxm−n =

0 hvis m< n,am

bnhvis m= n,

∞(ingen grense) hvis m> n

Eksempel:

limx→+∞

6x2 + 72x3 + 5x

= 0

limx→+∞

6x2 + 72x2 + 5x

= 3

limx→+∞

6x3 + 72x2 + 5x

=∞(ingen grense)

Kontinuitet

Hvis en funksjon f (x) er kontinuerlig i x = a, er grafen til funksjonen sammenhengen-de(glatt) i dette punktet. Dette innebærer at funksjonsverdi er like grenseverdien i dettepunktet:

f (a) = limx→a+

f (x) = limx→a−

f (x)

Hvis funksjonen er kontinuerlig i alle punkt i et intervall I, er funksjonen kontinuerlig iintervallet. Sammensetningen av kontinuerlige funksjoner er kontinuerlige.For å undersøke om en oppdelt funksjon er kontinuerlig i et intervall, er det viktig å sjekkeom funksjonen er kontinuerlig i endepunktene i intervalllene der funksjon er definert.Asymptoter

En funksjon f (x) har en vertikal asymptote x = a når:

limx→a±

f (x) = ±∞

En rasjonalfunksjon kan ha vertikale asymptoter der nevneren har nullpunkt.

En funksjon f (x) har en horisontal asymptote y = b når:

limx→±∞

f (x) = b

Test deg selv:Definer grenseverdi- og kontinuitets-begrepetHva handler ensidige grenser om?

Kan du regne videre oppgaver med [00] [∞∞]

Formuler Skjæringssetningen (mellomverdi-setningen) og ekstremalverdisetningen.


Uke 38 - Eksponential og logaritme funksjoner

1) an · ax = ax+y

2) (ax)y = ax ·y

3) (ab)x = ax · bx

4) a−n = 1/an

5) a1/n = npa, npam = ( npa)m

Vi så på grenseverdierlim

x→+∞ax =∞ og lim

x→−∞ax = 0 der a > 1

limx→−∞

ax = 0 der a > 1 og limx→−∞

ax =∞ der a < 1

Potensfunksjoner

Potensfunksjoner kan skrives på formenf (x) = C xn der C , n er reelle tall og a > 0.

EksponentialfunksjonerEksponential funksjoner kan skrives på formenf (x) = Cax der grunntallet a > 0, eller på formen f (x) = Cekx .

Funksjonen f (x) = Cax er stigende når:C > 0 og a > 1 eller når C < 0 og 0< a < 1.

Funksjonen f (x) = Cax er synkende når:C < 0 og a > 1 eller når C > 0 og 0< a < 1.

Funksjonen f (x) = Cekx er:stigende når C og k har samme fortegn, det vil si enten k > 0 og C > 0 elller k < 0 og C < 0.synkende når C og k har motsatt fortegn, det vil si enten k < 0 og C > 0 elller k > 0 ogC < 0.

Logaritmer og logaritmiske funksjoner

Logaritmen av et tall er den eksponenten der annen fast verdi, den basen , må heves for åprodusere det tallet. For eksempel er logaritmen 1000 med basisen (grunntallet) 10 er 3,fordi 1000 er 10 opphøyd 3: 103 = 1000. Mer generelt:

y = ax ⇔ x = loga x , der a > 0.


Hvilket betyr logaritmiske funksjoner og eksponentialfunksjoner er inversfunksjoner. Somet resultat av f ( f −1(x)) = x får vi:

eln x = x ln(ex) = x

Briggiske og naturlige logaritmer

Inverse funksjonen til 10x er log10 x som kalles Briggske logaritmisk funksjonen og skrivessom log x eller lg x . Inverse funksjonen til ex er loge x som kalles den naturlige logaritmiskfunksjonen og skrives som ln x .Euler-tallet e kan defineres slikt:

e = limn→∞

(1+1n)n

Regneregler for logaritmer

log A+ log B = log AB ln A+ ln B = ln AB

log A− log B = logAB

ln A− ln B = lnAB

log An = n log A ln eA = A

log1A= − log A ln

1A= − ln A

log1= 0, log10= 1 ln 1= 0, ln e = 1

Vekstfaktor og modellering

1. Hvis en verdi endrer seg med rentefot

p prosent pr. tidsenhet (år, mnd, osv.), er vekstfaktoren da 1+p

100Hvis en verdi K0 har endret seg med p % i i løpet av en tidsenhet, er verdien etter ntidsenheter gitt ved: K(n) = K0(1+

p100)n

2. Hvis en verdi y endrer seg med vekstfaktor b i løpet av tiden T , kan man sette oppfunksjonen:

y(t) = y0 · btT

3. Hvis en verdi er b-doblet i løpet av T tidsenheter (T år, T mnd., · · · ), kan man setteopp funksjonen for y(t) ved tiden t.

y(t) = y0 · btT


Fordoblingstid og halveringstid

4. Gitt funksjonen y(t) = y0at .

Fordoblingstiden er da T2 =ln2ln a

.

Halveringstiden er da T(1/2) = −ln2ln a

.

b-doblingstiden er T(b) =ln bln a

5. Gitt funksjonen y(t) = y0eλt .

Fordoblingstiden er da T2 =ln2λ

.

Halveringstiden er da T(1/2) = −ln2λ

.

b-doblingstiden er T(b) =ln bλ

6. En eksponential funksjon med grunntall a kan skrives som en eksponentialfunksjonmed grunntall e: y(t) = y0at = y0e(ln a)t .

Nyttig å huske

7. Ved t = 0 , har y verdien y0 . Verdien er halvert i løpet av T tidsenheter Man kan setteopp en funksjon ved tiden t:

y = y012

tT

8. Ved t = 0 , har y verdien y0 . Verdien er fordoblet i løpet av år. Man kan sette opp enfunksjon ved tiden t:

y = y02

tT

9. Vekstfaktor (b) for en verdi som vokser eksponentielt med rentefot p% pr. tidsenhet er;

b = (1+p

100)

og dermed rentefoten uttrykt ved vekstfaktor b er p = (b− 1) · 100) .

10. En verdi y vokser eksponentielt med p% pr. år.

Hvor mange prosent vokser den med:

i) pr. mnd? ii) pr. 10 år? iii) pr. dag?

i) (1+p

100)

112 angir vekstfaktor pr. mnd og

verdien vokser da med: [(1+p

100)

112 − 1] · 100.


ii) (1+p

100)10 angir vekstfaktor pr. 10 år og


100)10 − 1] · 100.

iii) (1+p

100)

1365 angir vekstfaktor pr. dag og


100)

1365 − 1] · 100.

Aktuell for kapittel 9.4Vi så nærmerer på grafen til y = Cekx og nevnte at:

Hvis C · k > 0, er funksjonen stigendeHvis C · k < 0, er funksjonen stigende

Her er det tegneta) y = 2ex og y = 2e−x

b) y = −2ex og y = −2e−x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

−3

−1

1

3

4

0

0 x

y

Aktuell for kapittel 9.5Her er det tegnet

a) y = 1+ 2ex og y = 1+ 2e−x

b) y = 1− 2ex og y = 1− 2e−x


-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

−3

−1

1

3

4

0

0 x

y

Grafen til eksponential funksjonerGrafen til funksjoner med negative eksponenter er tegnet stiplede.

a) y = 3ex og y = 3e−x

b) y = −3ex og y = −3e−x

c) y = 4− 3ex og y = 4− 3e−x

c) y = 3− 4ex og y = 3− 4e−x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

−3

−1

1

3

0

0 x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

−3

−1

1

3

0

0 x

y


-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

−3

−1

1

3

4

0

0 x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

−3

−1

1

3

4

0

0 x

y

Aktuell for kapittel 9.6

a) f (x) =3

1+ 2e−x

b) f (x) =3

1+ 2ex

Bemek at begge har skjæringspunkt med y-aksen i f (0) = 1:

I del a) er nevneren synkende (negativ eksponent og positiv koeffisient(2)) dermed funk-sjonen stiger.I del b) er nevneren stigende (positiv eksponent og og positiv koeffisient(2)) dermed funk-sjonen synker.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

1

2

3

0

0 x

y


Uke 39/40 Det har vi lært i kapittel 6Derivasjon og anvendelser

6.1 Introduksjon6.2 Infinitesimal-notasjon6.3 Betydningen av den deriverte6.4 Høyere ordens deriverte6.5 Derivasjon av inverse funksjoner6.6 Funksjonsdrøfting6.7 Fysisk tolkning av derivasjon6.8 L’Hopitals regel6.9 Taylorpolynomer og Taylorrekker

Definisjon og formler

Derivasjon kan fortelle oss hvor raskt en størrelse er i ferd med å endre seg ved et bestemtpunkt:

d fd x= f ′(x) = lim

h→0

f (x + h)− f (x)h

Ved å finne den deriverte til en funksjon i et punkt på en kurve, finner man stigningstalletakkurat der, og denne kan kalles vekstraten for dette punktet eller momentan hastighet.En kontinuerlig funksjon er deriverbar i et punkt dersom man kan tegne bare og bare entangent i dette punktet. En funksjon er ikke deriverbar der den er diskontinuerlig. Den erheller ikke deriverbar i et knekkpunkt eller i endepunkt.Regler

1. Linearitet regelen: (au+ bv)′ = au′ + bv′,der a, b er konstanter, u og v er funksjoner.

2. Produktregelen: (u · v)′ = u′v + uv′

3. Kvotientregelen: (uv)′ =

u′v − uv′

v2

4. Kjerneregelen: f ′(u(x)) =d fdu· u′

ellerd

d xf (u(x)) =

d fdu·

dud x

For eksempel endringshastigheten til volumet til en kule kan uttrykkes ved endrings-hastigheten til radien til kulen:

dd t

V (r(t)) =dVdr

drd t=

ddr(4π3

r3)drd t= 4πr2 dr

d t


Formler

f (x) f ′(x) Kjerneregelen

k 0

xn nxn−1 (un)′ = nun−1 · u′

ex ex (eu)′ = eu · u′

(ekx)′ = kekx

ax ax ln a (au)′ = au ln a · u′

sin x cos x (sin u)′ = cos u · u′

(sin kx)′ = k cos kx

cos x − sin x (cos u)′ = − sin u · u′

(cos kx)′ = −k sin kx

tan x 1+ tan2 x (tan u)′ = (1+ tan2 u) · u′

=1

cos2 x(tan kx)′ = k(1+ tan2 kx)

ln x1x

(ln u)′ = −1u· u′

sin−1 x1

p1− x2

(sin−1 u)′ =1

p1− u2

· u′

cos−1 x1

p1− x2

(cos−1 u)′ =1

p1− u2

· u′

tan−1 x1

1+ x2(tan−1 u)′ =

11+ u2

· u′

Anvendelser

5. Vekstraten til funksjonen y = f (x) i punktetx = x0: f ′(x0).

6. Ligningen til tangentlinjen i et punkt x = a er da:

y = f (a) + f ′(a)(x − a)

7. Lineær approksimasjonf (x)' f (a) + f ′(a)(x − a)

Denne formelen gir en god tilnærming for f (x) hvis x er nær nok til a.


8. L’Hopitals regel: La f (x) og g(x) være to deriverbare funksjoner i x = a. Dersom

limx→a

f (x) = 0 og limx→a

g(x) = 0,

gjelder det:

limx→a

f (x)g(x)

= limx→a

f ′(x)g ′(x)

9. Test for lokale ekstremalpunkter:

Anta at Df er et åpent intervall, og at f er deriverbar i a.

Hvis x = a er et lokalt ekstremalpunkt for f , så er f ′(a) = 0. (legg merke til at detgjelder ikke omvendt at hvis f ′(a) = 0, så x = a er en ekstremalpunkt , for eksempelf (x) = x3).

10. Å bestemme største eller minste verdien til y = f (x) begrenset i intervallet [a, b] :1) Finn funksjonsverdiene for indre punktene i I der f ′(x) = 0 og der f ′(x) ikkeeksisterer.2) Finn funksjonsverdiene i endepunktene.3) Sammenlign disse og besteme Globale/Lokale maksimums- og minimumspunkt.

11. Optimeringsproblemer: I slike oppgaver skal man sette opp en funksjon f (x) ogbestemme hvor f ′(x) = 0.

12. Hastighetskoblede oppgaver: Kjerneregelen kan ofte anvendes i slike oppgaver. Foreksempel endringshastigheten til volumet til en kule kan uttrykkes ved endringshas-

tigheten til radien til kulen.dd t

V (r(t)) =dVdr

drd t

Nyttig å huske

• ′ ogd

d xrepresenterer Lagrange og Leibniz notasjonen henholdsvis. d x er en infinitesimal

endring for x .• Det er ikke alle funksjoner som er deriverbare. Dersom funksjonen er diskontinuerlig ellerhar et loddrett tangent i et punkt, er funksjonen ikke deriverbar.• Et kritisk punkt er der f ′(x) = 0.• Lokalt maks/min punkt: et eller flere kritiske punkt som har de høyeste eller laveste ver-diene innenfor et avgrenset definisjonsområde.• Globalt maks/min punkt: et eller flere kritiske punkt som har de høyeste eller laveste verdi-ene, for alle definerbare verdier. Globale maks/min punkt kan i mange tilfeller ikke eksisterei det hele tatt.

Rolles teorem

nta at f er kontinuerlig på [a, b] og deriverbar på ⟨a, b⟩. Hvis f (a) = f (b), så fins minst ettpunkt c ∈ ⟨a, b⟩ slik at f ′(c) = 0 (det vil si funksjonen kan ha minst et ekstremalpunkt).


Middelverditeoremet

La f være kontinuerlig på [a, b] deriverbar på ⟨a, b⟩. Da fins c ∈ ⟨a, b⟩ slik at

f (b)− f (a)b− a

= f ′(c).

Uke 40/41 Det har vi lært i kapittel 7Integrasjon og anvendelser

Oversikt:

7.1 Ubestemte integraler7.2 Bestemte integraler7.3 Anvendelser av det bestemte integralet7.4 Integrasjon ved substitusjon7.5 Delvis integrasjon7.6 Alternativ teori for eksponensialfunksjoner og logaritmer

Integrasjon og formler

Det å integrere handler om å finne anti-deriverte til funksjoenen. En anti-derivert til enfunksjon f (x) er en deriverbar funksjon F(x) slik at F ′(x) = f (x).

∫

f (x)d x = F(x) + C , der F ′(x) = f (x)

f (x) kalles integrand. F(x) er antideriverte til f (x), d x er infinitesimalt lengde element ogx er integrasjonsvariabel. Alle kontinuerlige funksjoner er integrerbare. Hvis f er begrenseti [a, b] og har et endelig antall diskontinuiteter i intervallet, så er f integrerbar i intervallet.


Formler∫

f (x)d x = F(x) + C

f (x) F(x) + C

k kx + C

xn 1n+ 1

xn+1 + C

der n 6= −11x

ln |x |+ C

ex ex + C

ax 1ln a

ax + C

sin x − cos x + C

cos x sin x + C

tan x − ln | cos x |+ C1

p1− x2

sin−1 x + C

1p

1− x2cos−1 x + C

11+ x2

tan−1 x + C

Det kan lett vises ved help av substitusjon :∫

ekx d x =1k

ekx + C∫

akx d x =1

k ln aakx + C

∫

cos(kx)d x =1k

sin(kx) + C∫

sin(kx)d x = −1k

cos(kx) + C

Regler og integrasjonsmetoder

1) Linearitet regelen:∫

(a f (x) + bg(x))d x = a

∫

f (x)d x + b

∫

g(x)d x

der a, b er konstanter, f og g er to funksjoner.2) Substitusjon metoden bygger på kjerneregelen:

∫

h(u(x))u′(x)d x


Denne metoden benyttes når begge u og u′ dukker opp i integralet. Her velger man en hjelpe-

variabel u= u(x), som kan hjelpe oss å få forenkle integralet og husk å erstatte d x =1u′

du.

Her er det noen eksempler som kan vise hvordan man velger u:

Integral u d x =1u′

du∫

x cos(x2)d x u= x2 d x =1

2xdu

∫

xex2d x u= x2 d x =

12x

du∫ (ln x)n

xd x u= ln x d x = xdu

der n= 1.2, 3, · · ·

3) Delvis integrasjon:∫

uv′d x = uv −∫

u′vd x

Delvis integrasjon benyttes blant anne når:

Integral u v′∫

(ax + b) sin(kx)d x ax + b sin(kx)∫

(ax + b) cos(kx)d x ax + b cos(kx)∫

(ax + b)ekx d x ax + b ekx

∫

(ax + b) ln xd x ln x ax + b∫

xn ln xd x ln x xn

∫

xnekx d x ? xn ekx

∫

ekx cos(αx)d x ?? xn ekx

? Her kreves n ganger delvis integrasjon.?? Her kreves 2 ganger delvis integrasjon.

Regler for bestemt integral

1)

∫ b

a

f (x)d x = −∫ a

b

f (x)d x

2)

∫ b

a

f (x)d x =

∫ c

a

f (x)d x +

∫ b

c

f (x)d x , der a < c < b

Anvendelser

1. Arealregning:Arealet avgrenset av kurven til y = f (x), x-aksen i intervallet a ≤ x ≤ b kan bestem-mes ved:


A=

∫ b

a

f (x)d x

2. Arealet mellom to grafene til y = f (x) og y = g(x) kan regnes ved:

A=|∫ x2

x1

[ f (x)− g(x)]d x |

der x1 og x2 er skjæringspunktene mellom to grafene.

3. Volumregning:Når arealet avgrenset av kurven til y = f (x),x-aksen i intervallet a ≤ x ≤ b roterer en gang om x-aksen, er voulmet til omdrei-ningslegemet gitt ved

V = π

∫ b

a

[ f (x)]2d x

4. Samlet verdiLa en funksjon l y = f (x) værre definert i intervallet a ≤ x ≤ b. Samletverdi tilfunksjonen i intervallet kan beregnes ved:

S =

∫ b

a

f (x)d x

5. Middelverdi:La en funksjon y = f (x) være definert i intervallet a ≤ x ≤ b. Middelverdien tilfunksjonen i intervallet kan beregnes ved:

f (x) =1

b− a

∫ b

a

f (x)d x

6. En tank fylles med vann med en netto tilstrømningshastighet på v = v(t) volum en-het/tidsenhet. Endringen i vannvolumet i tanken i løpet av tidsintervallet [t0, t1] kanbestemmes slik:

V =

∫ t1

t0

v(t)d t

Hvis vannmengden i tanken ved t0 er V (t0), er vannvolumet ved tiden t (tidsenheter)gitt ved:

V (t) = V (t0) +

∫ t

t0

v(τ)dτ


Nytt å huske

• For en kontinuerlig funksjon y = f (t) gjelder det:

F(t) = F(0) +

∫ t

0

f (τ)dτ

der F er anti-deriverte til f .

Uke 41/42 Det har vi lært i kapittel 9Differensialligninger og anvendelser

Differensiallikninger9.1 Hva er en differensiallikning?9.2 Differensiallikningsmodeller for populasjoner9.3 Retningsdiagrammer og integralkurver9.4 Differensiallikningen y’=ay9.5 Lineære første ordens likninger y ′

9.6 Differensiallikningen y ′ = a y2 + b y + c9.7 Separable differensiallikningerEn differensialligning beskriver en sammenheng mellom en funksjon og dens deriverte.

Klassifisering(type)

En differensialligning er lineær dersom ligningen er lineær med hensyn til den ukjente funk-sjonen og dens deriverte.

Lineær Ikke lineær

y ′′ + y cos x = ex y ′′ + x cos y = ex

y ′ + x2 y = ln x y ′′ + y2 x = ln x

Har differensialligningen minst et ledd uten den avhengige variabelen, er differensiallig-ningen inhomogen ellers den er homogen.

Homogen Ikke homogen

y ′′ + y cos x = 0 y ′′ + x cos y = ex

y ′ + x2 y = ln x y ′′ + y2 x = ln y

I læreboken vektlegges følgendedifferensialligninger:


1) Separable differensialligninger

y ′ = f (x)g(y)

2) Første orden av typen:y ′ = a y + b

3) Første orden av typen:y ′ = a y2 + b y + c

der a y2 + b y + c har to ulike reelle løsninger.(se oppgave 9.7.2 for dobbelløsning)

Separable diff. ligninger på formen:d yd x= f (x)g(y)

Ligningen kan løses ved separasjon:∫

1g(y)d y

=

∫

f (x)d x

Løs integralet og bestem y = y(x).

Første orden differensialligninger, y ′ = a y , y ′ = a y + b ogy ′ = a y2 + b y + c

Hvis vekstratend yd x

er proporsjonal med y , kan man få differensialligningen:d yd x= a y . Her

er det løsning til noen differensialligninger av første orden:

Differensialligning Løsning

y ′ = a y y = Ceat

y ′ = a y + b y = Ceat −ba

y ′ = a y2 + b y + c♣ y = A+B − A

1+ Cea(B−A)t

♣ Denne formelen kan brukes når a y2+ b y + c = a(y −A)(y − B), det vil si andregradslig-ningen har 2 distinkte røtter.

Start betingelser (initial krav)

Som oftest studeres differensialligninger der det er gitt initial- eller randbetingelser. Intial-betingelser(startkrav) gir informasjon om den avhengige variabelen ved start: y(x0) = y0.For 1. orden differensialligning kan startkravet hjelper å bestemme konstanten C eller k.


Noen Eksempler (Startverdi problem)

Løs følgende initalverdi problem:

1.dyd t= −2y , gitt y(0) = 3 gir løsningen: y = y0eat = 3e−2t

2.dyd t= 2− y , gitt y(0) = 3

gir løsningen: y = −ba+ C = 2+ Ce−t , og y(0) = 3 gir y = 2+ e−t .

3.dyd t= y(3− y), gitt y(0) = 1

dyd t= −y(y −3) = a(y −A)(y − B) gir løsningen: y = A+

B − A1+ Cea(B−A)t

=3

1+ Ce−3t,

og y(0) = 1 gir y(t) =3

1+ 2e−3t.

4.dyd t= 2(5− y), gitt y(0) = 2

gir løsningen: y = −ba+ C = 5+ Ce−2t , og y(0) = 3 gir y = 5− 3e−t .

5.dyd t= 2y(5− y), gitt y(0) = 1

dyd t= −2y(y−5) = a(y−A)(y−B) gir løsningen: y = A+


=5

1+ Ce−10t,

og y(0) = 1 gir y(t) =5

1+ 4e−10t.

Gitt differensiallignignene

a)d yd t= 3(10− y) b)

1y

d yd t= 0.05 (10− y)

Gitt y(0) = 5. Løs differensialligningene og skisser integralkurvene (tegn en grov skisseav grafen til løsningskurvene).

d yd t= 3(10− y) = 30− 3y

d yd t= a y + b gir y = Ceat −

ba

. Dermed: y(t) = Ce−3t −30−3= Ce−3t + 10.

S(0) = 5 gir C = −5 og dermed: y(t) = −5e−3t + 10 .

b)d yd t= −0.05 y(10− y)

d yd t= a(y − A)(y − B). Løsning: y(t) = A+



S =10

1+ Ce−0.5t.

S(0) = 5 gir C = 1 og dermed y =10

1+ e−0.5t.

-2 -1 1 2

2

4

6

8

10

0

0 t

y

-5 -2.5 2.5 5

2

4

6

8

10

0

0 t

S


Noen anvendelser (Startverdi problem)

Hvis vi i tillegg til en likning F(x , y, y ′) = 0 har gitt at y0 = y(x0), så sier vi at vi har gittet startverdi problem. Når vi løser likningen, vil det dukke opp en konstant C eller k (denkommer fra integrasjonen). Ved å bruke y0 = y(x0), finner en verdi for C eller k .

Differensialligning Løsning

Radioaktiv stråling

N ′ = −λN N(t) = N0e−λt

(gitt N(0) = N0) (gir C = N0)

Sykdomsspredning

N ′ = λ(B − N) N = eλt + B

(gitt N(0) = N0) (gir C = N0 − B)

Logistisk vekst

N ′ = −λN(B − N) N(t) =B

1+ Ce−λBt

(gitt N(0) = N0) (gir C =BN0− 1)


Noen anvendelser (modellering)

- Radioaktivstrålingdydt= −k y

- Vekstmodeller

dNdt= k(B − N)

dNdt= kN(B − N)

- Newtonsavkjølingslov

dTdt= k(T − T0)

Flere Anvendelser differensiallikning Grafen til løsningskurve

Temperaturendringdtdt= −k(T − T1) , k > 0

gitt T (0) = T0

Løsning T (t) = T1 + (T0 − T1)e−kt

-1 1 2 3 t

T0

T1

T0

T0 > T1

T0 < T1

0

0


Anvendelser differensiallikning Grafen til løsningskurve

Radioaktiv strålingdydt= −k y

gitt y(0) = y0

Løsning y(t) = y0e−kt

Løsningskurven tildydt= −3y,

gitty(0) = 2er tegnet her

y(t) = 2e−3t

-1 1 2 3 t

1

y0

y

0

0

Sykdomsspredning

(vekstmodell)dydt= k(B − y) , k > 0

gitt y(0) = y0

Løsning y(t) = B + (y0 − B)e−kt

Løsningskurven tildydt= 2− y,

gitty(0) = 2er tegnet her

Grafen viser y(t) = 2+ e−t

-1 1 2 3 t

y0

B

y0

y

y0 > B

y0 < B

0

0

Sykdomsspredning

(vekstmodell)dydt= k y(B − y) , k > 0

gitt y(0) = y0

Løsning y(t) =B

1+ Ce−kt

Grafen viser y(t) =3

1+ 2e−3t

-3 -2 -1 1 2 3

y0

B

0

0


Documents

Kursblogg med stikkord og læringsmålhome.hvl.no/ansatte/ahas/mat101/filer/kursblogg.pdf · 2019-10-14 · Lineær programmering (lineær optimalisering) er en matematisk metode