Upload
tawny
View
67
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Metoda simpleks opracowanie na podstawie „Metody wspomagające podejmowanie decyzji w zarządzaniu” D. Witkowska, Menadżer Łódź 2000. Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania lini o wego. Jest to metoda iteracyjnego poprawiania wstępnego rozwiązania. Zmienne swobodne. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Metoda simpleks opracowanie na podstawie „Metody wspomagające podejmowanie decyzji w
zarządzaniu” D. Witkowska, Menadżer Łódź 2000.
Simpleks jest uniwersalną metodą rozwiązywania zadań programowania liniowego.
Jest to metoda iteracyjnego poprawiania wstępnego rozwiązania
Wyznaczenie
startowego rozwiązania
Czy to jest
rozwiązanie Koniec
optymalne
Czy można
wyznaczyć lepsze
rozwiązanie
Wyznaczenie nowego
rozwiązania
Tak
Nie
Tak
Nie
Zmienne swobodne Przekształcamy model tak, aby można było zastosować
algorytm simpleks. Przekształcamy warunki ograniczające w równania dopisując do nich nieujemne zmienne, tzw. zmienne swobodne w następujący sposób:– do każdego warunku postaci “” dodaje się zmienną swobodną
z parametrem równym jeden
– do każdego warunku postaci “” dodaje się zmienną swobodną ze współczynnikiem -1
Zmienne swobodne posiadają interpretację ekonomiczną wynikającą z informacji zawartej w warunkach ograniczających, do których zostały wprowadzone.
Dodane zmienne wchodzą również do nowej funkcji kryterium, gdzie parametry przy zmiennych swobodnych przyjmują wartość zero
Model matematyczny I Zmienne decyzyjne :
x1 - liczba emisji reklamy radiowej; x2 - liczba emisji reklamy telewizyjnej.funkcja celu: f(x)=3x1 + 6x2 min (koszty zleceniodawcy w tys. zł)
warunki ograniczające:2 x1 + x2 6 warunek na koszty ponoszone przez firmę "Press", x1 + x2 2 warunek zleceniodawcy na emisję reklam, x2 1 dolne ograniczenie uwzględniające żądanie zleceniodawcy, x2 4 górne ograniczenie dotyczące warunków nałożonych przez TV,warunki brzegowe: x1 0, x2 0, x1C, x2 C.
Sprowadzamy warunki ograniczające do równości
Zmienne decyzyjne : x1 ;x2 s1,s2,s3,s4 funkcja celu: f(x)=3x1 + 6x2 + 0s1 +0s2 +0s3 +0s4minwarunki ograniczające:2x1 + x2 + s1 = 6
x1 + x2 - s2 = 2x2 - s3 =1x2 + s4 = 4
warunki brzegowe: x10, x20, s10, s20, s30, s40, x1,x2,s1,s2,s3,s4C
.
Tablica simpleksowa
cB B 3 6 0 0 0 0
x1 x2 s1 s2 s3 s4
2 1 1 0 0 01 1 0 -1 0 00 1 0 0 -1 0
0 1 0 0 0 1
Zmienne sztuczne
Jeżeli z macierzy współczynników tak powstałych równań nie da się wyodrębnić macierzy jednostkowej, to do warunków, które od początku były warunkami postaci równania oraz do warunków, które pierwotnie były postaci “” dopisuje się tzw. zmienne sztuczne .
Zmienne sztuczne c.d.
Dodane zmienne wchodzą również do nowej funkcji kryterium, gdzie parametry przy zmiennych swobodnych przyjmują wartość zero, natomiast parametry przy zmiennych sztucznych zależą od optimum funkcji celu: w zadaniach z funkcją celu dążącą do maximum jest to -M, w zadaniach z funkcją celu dążącą do minimum jest to +M,
gdzie M jest dowolnie dużą liczbą rzeczywistą dodatnią (M+).
Tablica simpleksowa
cB B 3 6 0 0 0 0 M M xB x1 x2 s1 s2 s3 s4 t2 t3
0 s1 2 1 1 0 0 0 0 0 6M t2 1 1 0 -1 0 0 1 0 2M t3 0 1 0 0 -1 0 0 1 1
0 s4 0 1 0 0 0 1 0 0 4
Po powyższych przekształceniach otrzymujemy model postaci:
f(x)=3x1 + 6x2 + 0s1 +0s2 +0s3 +0s4 + Mt1 + Mt2 min
2x1 + x2 + s1 = 6
x1 + x2 - s2 + t2= 2
x2 - s3 + t3 =1
x2 + s4 = 4
x1 0, x2 0, s1 0, s2 0, s3 0, s4 0, t2 = 0, t3 = 0.
x1, x2, s1, s2, s3, s4, t2, t3C
Optymalność rozwiązaniaW celu sprawdzenia optymalności otrzymanego
rozwiązania obliczamy współczynniki zj i j wg wzoru:
Wartość współczynnika optymalności j określa jednostkową zmianę wartości funkcji kryterium, jeżeli do bazy wprowadzimy daną zmienną (dla wszystkich zmiennych bazowych j=0).
zj = jBycT j = cj- zj
Jeżeli wartość j jest ujemna, to oznacza, że wprowadzenie danej zmiennej do bazy spowoduje spadek wartości funkcji celu. Zatem wartość funkcji kryterium można uzależnić od jej wartości w poprzedniej iteracji:
Bnj
nn xff xx 1
Rozwiązanie optymalne Rozwiązanie jest optymalne, jeżeli nie
występują zmienne niebazowe, których wprowadzenie do bazy byłoby pożądane:– w zadaniu z funkcją celu dążącą do minimum
takie zmienne, które powodowałyby spadek wartości tej funkcji (j<0),
– a w przypadku zadań, w których funkcja celu dąży do maksimum takie zmienne, które powodowałyby jej wzrost (j>0).
Rozwiązanie optymalne
warunek optymalnościŹródłoj
MIN MAXLiteratura
jj cz 0 jj
0 jj
QSB, WinQSBjj zc 0 j
j0 j
j
Tablica simpleksowa (min)
c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 2 1 1 0 0 0 0 0 6M t 2 1 1 0 - 1 0 0 1 0 2M t 3 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1
0 s 4 0 1 0 0 0 1 0 0 4z j M 2 M 0 - M - M 0 M M 3 M
jjj zc 3 - M 6 - 2 M 0 M M 0 0 0
Rozwiązanie jest nieoptymalne, bo wskaźniki optymalności j<0
Kryterium wejścia do bazy
W następnym kroku algorytmu wprowadzamy do bazy tę zmienną, która spowoduje najbardziej korzystne efekty:– ma największe dodatnie wartości j
w zadaniach na max
– najmniejsze ujemne wartości j w zadaniach z funkcją celu dążącą do minimum.
Tablica simpleksowa (min)
c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 2 1 1 0 0 0 0 0 6M t 2 1 1 0 - 1 0 0 1 0 2M t 3 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1
0 s 4 0 1 0 0 0 1 0 0 4z j M 2 M 0 - M - M 0 M M 3 M
jjj zc 3 - M 6 - 2 M 0 M M 0 0 0
Najmniejsza ujemna
Do bazy wejdzie x2
Kryterium wyjścia z bazy Z uwagi na to, że liczba zmiennych w bazie musi być stała (i
równa liczbie warunków ograniczających), należy wyznaczyć zmienną, która bazę opuści. Obliczamy w tym celu wskaźniki Q , wg wzoru:
Współczynniki wyznacza się wyłącznie dla >0 w celu uzyskania w kolejnej iteracji rozwiązania dopuszczalnego (spełniającego warunki brzegowe).
Zmienną, która opuszcza bazę jest ta, dla której ma najmniejszą wartość.
= Bik
Bi
y
x
Tablica simpleksowa (min)
c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 2 1 1 0 0 0 0 0 6 6
M t 2 1 1 0 - 1 0 0 1 0 2 2
M t 3 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1 1
0 s 4 0 1 0 0 0 1 0 0 4 4z j M 2 M 0 - M - M 0 M M 3 M
jjj zc 3 - M 6 - 2 M 0 M M 0 0 0
Najmniejsza wartość
W kolejnej iteracji zamiast
zmiennej t3 pojawi się x2
Tablica simpleksowa (min)c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B
x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 2 1 1 0 0 0 0 0 6 6 M t 2 1 1 0 - 1 0 0 1 0 2 2 M t 3 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1 1
0 s 4 0 1 0 0 0 1 0 0 4 4 z j M 2 M 0 - M - M 0 M M 3 M
jjj zc 3 - M 6 - 2 M 0 M M 0 0 0
I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 0 M t 2 0
6 x 2 1
0 s 4 0 z j
jjj zc
Tablica simpleksowa (min)c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B
x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 2 1 1 0 0 0 0 0 6 6
M t 2 1 1 0 - 1 0 0 1 0 2 2M t 3 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1 1
0 s 4 0 1 0 0 0 1 0 0 4 4z j M 2 M 0 - M - M 0 M M 3 M
jjj zc 3 - M 6 - 2 M 0 M M 0 0 0
I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 0M t 2 0
6 x 2 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1
0 s 4 0 -
z j
jjj zc
Przepisany
z poprzedniej
iteracji
Tablica simpleksowa (min)c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B
x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 2 1 1 0 0 0 0 0 6 6 M t 2 1 1 0 - 1 0 0 1 0 2 2 M t 3 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1 1
0 s 4 0 1 0 0 0 1 0 0 4 4 z j M 2 M 0 - M - M 0 M M 3 M
jjj zc 3 - M 6 - 2 M 0 M M 0 0 0
I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 2 0 1 0 1 0 0 - 1 5 M t 2 0
6 x 2 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1
0 s 4 0 z j
jjj zc
Od elementów wiersza pierwszego odejmujemy elementy
wyróżnionego wiersza trzeciego
Tablica simpleksowa (min)c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B
x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 2 1 1 0 0 0 0 0 6 6 M t 2 1 1 0 - 1 0 0 1 0 2 2 M t 3 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1 1
0 s 4 0 1 0 0 0 1 0 0 4 4 z j M 2 M 0 - M - M 0 M M 3 M
jjj zc 3 - M 6 - 2 M 0 M M 0 0 0
I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 2 0 1 0 1 0 0 - 1 5 M t 2 1 0 0 - 1 1 0 1 - 1 1
6 x 2 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1
0 s 4 0 z j
jjj zc
Od elementów wiersza drugiegoodejmujemy elementy
wyróżnionego wiersza trzeciego
Tablica simpleksowa (min)c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B
x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 2 1 1 0 0 0 0 0 6 6 M t 2 1 1 0 - 1 0 0 1 0 2 2 M t 3 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1 1
0 s 4 0 1 0 0 0 1 0 0 4 4 z j M 2 M 0 - M - M 0 M M 3 M
jjj zc 3 - M 6 - 2 M 0 M M 0 0 0
I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 2 0 1 0 1 0 0 - 1 5 M t 2 1 0 0 - 1 1 0 1 - 1 1
6 x 2 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1
0 s 4 0 0 0 0 1 1 0 - 1 3 - z j
jjj zc
Od elementów wiersza czwartego odejmujemy elementy
wyróżnionego wiersza trzeciego
Tablica simpleksowa (min)I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 2 0 1 0 1 0 0 - 1 5 M t 2 1 0 0 - 1 1 0 1 - 1 1 6 x 2 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1
0 s 4 0 0 0 0 1 1 0 - 1 3 z j M 6 0 - M M - 6 0 M - M + 6 M + 6
jjj zc 3 - M 0 0 M 6 - M 0 0 2 M - 6
Najmniejsza wartość
Sprawdzamy optymalność
Najmniejsza ujemna wartość
x1 będzie nową zmienną bazową
Tablica simpleksowa (min)I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 2 0 1 0 1 0 0 - 1 5 5 / 2 M t 2 1 0 0 - 1 1 0 1 - 1 1 1 6 x 2 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1 -
0 s 4 0 0 0 0 1 1 0 - 1 3 - z j M 6 0 - M M - 6 0 M - M + 6 M + 6
jjj zc 3 - M 0 0 M 6 - M 0 0 2 M - 6
Sprawdzamy kryterium wyjścia
Najmniejsza wartość
Bazę opuści t2
Tablica simpleksowa (min)I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 2 0 1 0 1 0 0 - 1 5 5 / 2 M t 2 1 0 0 - 1 1 0 1 - 1 1 1
6 x 2 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1 -
0 s 4 0 0 0 0 1 1 0 - 1 3 - z j M 6 0 - M M - 6 0 M - M + 6 M + 6
jjj zc 3 - M 0 0 M 6 - M 0 0 2 M - 6
I I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 0 0 M M x B x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3
0 s 1 0 0 1 2 - 1 0 - 2 1 3 M x 1 1 0 0 - 1 1 0 1 - 1 1 1
6 x 2 0 1 0 0 - 1 0 0 1 1 -
0 s 4 0 0 0 0 1 1 0 - 1 3 - z j
jjj zc
Drugi wiersz przepisujemy
Od elementów pierwszego odejmujemy
elementy drugiego pomnożone przez dwa
Trzeci i czwarty wiersz przepisujemy
Tablica simpleksowa III iteracja (min)cB B 3 6 0 0 0 0 M M xB x1 x2 s1 s2 s3 s4 t2 t3
0 s1 0 0 1 2 -1 0 -2 1 3 3 x1 1 0 0 -1 1 0 1 -1 1 6 x2 0 1 0 0 -1 0 0 1 1
0 s4 0 0 0 0 1 1 0 -1 3
zj 3 6 0 -3 -3 0 3 3 9
j 0 0 0 3 3 0 M-3 M-3
Rozwiązanie optymalne, bo wszystkie wartości
współczynników optymalności j są większe lub równe zero
Jeżeli w rozwiązaniu wszystkie wartości j dla zmiennych niebazowych są różne od zera to,
otrzymane rozwiązanie optymalne jest jednoznaczne.
Jeżeli w rozwiązaniu optymalnym pewne wartości j dla zmiennych niebazowych są równe zero
, to otrzymane rozwiązanie optymalne jest niejednoznaczne (istnieje nieskończenie wiele rozwiązań optymalnych,
które są kombinacją liniową rozwiązań bazowych wyznaczonych przez wprowadzanie do bazy tych zmiennych,
dla których j =0).
Model matematyczny II Zmienne decyzyjne :
x1 - ilość wydobywanego węgla w tonach; x2 - ilość wydobywanej ropy w hl.funkcja celu: f(x)=3x1 + 6x2 max(zysk w tys. zł)
warunki ograniczające:2 x1 + x2 8 warunek na czas pracy maszyn w godz.
x1 + x2 10 warunek na liczbę zatrudnianych osób, warunki brzegowe:x1 0, x2 0.
Model matematyczny II Zmienne decyzyjne :
x1;x2; s1; s2; t2,.funkcja celu: f(x)=3x1 + 6x2 +0 s1 +0 s2 -M t2 max(zysk w tys. zł)
warunki ograniczające:2 x1 + x2 +s1= 8
x1 + x2 -s2+t2= 10 warunki brzegowe:x1 0, x2 0, s1 0,s2 0;. t2 =0
Tablica simpleksowa
cB B 3 6 0 0 -M xB x1 x2 s1 s2 t2
0 s1 2 1 1 0 0 8-M t2 1 1 0 -1 1 10
Tablica simpleksowa (max)
c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2
0 s 1 2 1 1 0 0 8- M t 2 1 1 0 - 1 1 1 0
z j - M - M 0 M - M - 1 0 M
jjj zc 3 + M 6 + M 0 - M 0
Rozwiązanie jest nieoptymalne, bo wskaźniki optymalności j>0
Tablica simpleksowa (max)
c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2
0 s 1 2 1 1 0 0 8 8- M t 2 1 1 0 - 1 1 1 0 1 0
z j - M - M 0 M - M - 1 0 M
jjj zc 3 + M 6 + M 0 - M 0
W kolejnej iteracji do bazy wejdzie x2 na miejsce s1
Tablica simpleksowa (max)
c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2
0 s 1 2 1 1 0 0 8 8- M t 2 1 1 0 - 1 1 1 0 1 0
z j - M - M 0 M - M - 1 0 M
jjj zc 3 + M 6 + M 0 - M 0
I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2
0 x 2 2 1 1 0 0 8- M t 2 - 1 0 - 1 - 1 1 2
z j
jjj zc
Tablica simpleksowa (max)
c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2
0 s 1 2 1 1 0 0 8 8- M t 2 1 1 0 - 1 1 1 0 1 0
z j - M - M 0 M - M - 1 0 M
jjj zc 3 + M 6 + M 0 - M 0
I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2
6 x 2 2 1 1 0 0 8- M t 2 - 1 0 - 1 - 1 1 2
z j M + 1 2 6 M + 6 M - M - 2 M + 4 8
jjj zc - 9 - M 0 - M - 6 - M 0
Optymalne, bo wszystkie wskaźniki
optymalności mniejsze od zera
Jeżeli w rozwiązaniu, które spełnia warunek optymalności
w bazie znajduje się zmienna sztuczna, a jej wartość jest większa od zera
(tzn. wartość funkcji kryterium zależy od M), to zadanie jest sprzeczne.
Model matematyczny III Zmienne decyzyjne :
x1 - ilość wydobywanego węgla w tonach; x2 - ilość wydobywanej ropy w hl.funkcja celu: f(x)=3x1 + 6x2 max(zysk w tys. zł)
warunki ograniczające:2 x1 + x2 8 warunek na czas pracy maszyn w godz.
x1 + x2 10 warunek na liczbę zatrudnianych osób, warunki brzegowe:x1 0, x2 0.
Model matematyczny II Zmienne decyzyjne :
x1;x2; s1; s2; t1 t2,.funkcja celu: f(x)=3x1 + 6x2 +0 s1 +0 s2 -M t1 -M t2 max(zysk w tys. zł)
warunki ograniczające:2 x1 + x2 +s1+ - t1 = 8
x1 + x2 -s2+t2= 10 warunki brzegowe:x1 0, x2 0, s1 0,s2 0; t1 =0; t2 =0
Tablica simpleksowa
cB B 3 6 0 0 -M -M xB x1 x2 s1 s2 t1 t2
-M t1 2 1 -1 0 1 0 8-M t2 1 1 0 -1 0 1 10
Tablica simpleksowa (max)
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
- M t 1 2 1 - 1 0 1 0 8- M t 2 1 1 0 - 1 0 1 1 0
z j - 3 M - 2 M M M - M - M - 1 8 M
jjj zc 3 + 3 M 6 + 2 M - M - M 0 0
Rozwiązanie jest nieoptymalne, bo wskaźniki optymalności j>0
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
- M t 1 2 1 - 1 0 1 0 8 4- M t 2 1 1 0 - 1 0 1 1 0 1 0
z j - 3 M - 2 M M M - M - M - 1 8 M
jjj zc 3 + 3 M 6 + 2 M - M - M 0 0
Tablica simpleksowa (max)
W kolejnej iteracji do bazy wejdzie x1 na miejsce t1
Tablica simpleksowa (max)
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
- M t 1 2 1 - 1 0 1 0 8 4- M t 2 1 1 0 - 1 0 1 1 0 1 0
z j - 3 M - 2 M M M - M - M - 1 8 M
jjj zc 3 + 3 M 6 + 2 M - M - M 0 0
I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
3 x 1 1 1 / 2 - 1 / 2 0 1 / 2 0 4- M t 2 0 1 / 2 1 / 2 - 1 - 1 / 2 1 2
z j 3 3 / 2 - 1 / 2 M - 3 / 2 - 1 / 2 M M 3 / 2 + 1 / 2 M - M 1 2 - 2 M
jjj zc 0 9 / 2 + 1 / 2 M 3 / 2 + 1 / 2 M - M - 3 / 2 - 3 / 2 M 0
I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
3 x 1 1 1 / 2 - 1 / 2 0 1 / 2 0 4 8- M t 2 0 1 / 2 1 / 2 - 1 - 1 / 2 1 2 4
z j 3 3 / 2 - 1 / 2 M - 3 / 2 - 1 / 2 M M 3 / 2 + 1 / 2 M - M 1 2 - 6 M
jjj zc 0 9 / 2 + 1 / 2 M 3 / 2 + 1 / 2 M - M - 3 / 2 - 3 / 2 M 0
Tablica simpleksowa (max)
I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
3 x 1 1 1 / 2 - 1 / 2 0 1 / 2 0 4- M t 2 0 1 / 2 1 / 2 - 1 - 1 / 2 1 2
z j 3 3 / 2 - 1 / 2 M - 3 / 2 - 1 / 2 M M 3 / 2 + 1 / 2 M - M 1 2 - 2 M
jjj zc 0 9 / 2 + 1 / 2 M 3 / 2 + 1 / 2 M - M - 3 / 2 - 3 / 2 M 0
I I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
3 x 1 1 0 - 1 1 1 - 1 26 x 2 0 1 1 - 2 - 1 2 4
z j 3 6 3 - 9 - 3 9 3 0
jjj zc 0 0 - 3 9 - M + 3 - M - 9
Tablica simpleksowa (max)
Tablica simpleksowa (max)
I I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
3 x 1 1 0 - 1 1 1 - 1 2 26 x 2 0 1 1 - 2 - 1 2 4 -
z j 3 6 3 - 9 - 3 9 3 0
jjj zc 0 0 - 3 9 - M + 3 - M - 9
Tablica simpleksowa (max)
I I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
3 x 1 1 0 - 1 1 1 - 1 2 26 x 2 0 1 1 - 2 - 1 2 4 -
z j 3 6 3 - 9 - 3 9 3 0
jjj zc 0 0 - 3 9 - M + 3 - M - 9
I V i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
0 s 2 1 0 - 1 1 1 - 1 26 x 2 2 1 - 1 0 1 0 8
z j 1 2 6 - 6 0 6 0 4 8
jjj zc - 9 0 6 0 - M - 6 - M
Tablica simpleksowa (max)
I V i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
0 s 2 1 0 - 1 1 1 - 1 2 -6 x 2 2 1 - 1 0 1 0 8 -
z j 1 2 6 - 6 0 6 0 4 8
jjj zc - 9 0 6 0 - M - 6 - M
Nie da się wyznaczyć zmiennej, która wyjdzie z bazy
Jeżeli w pewnej iteracji nie można wyznaczyć żadnego
ze współczynników Q, ponieważ wszystkie elementy wektora yj
są ujemne bądź równe zero, to rozwiązanie jest nieograniczone.
Sformulowanie zadania
Uzupelnienie o potrzebne zmiennesztuczne i/lub swobodne
Startowerozwiazaniebazowe
Obliczenie
wskaznikow
optymalnosci
Czy wszystkie wskazniki saniemniejsze (niewieksze)
od zera ?
Czy wsrod zmiennychbazowych sa zmiennesztuczne wieksze od
zera ?
k=max| |jj
Czy istniejaskladowe y >0ik
Nie istniejeskonczonerozwiazanieoptymalne
Znajdz wektor wchodzacydo bazy i zastap nim wektor
wychodzacy z bazy
Czy wszystkiewskazniki optymalnosci dla
zmiennych niebazowych sa wieksze(mniejsze) od zera ?
Zadanie
sprzecznejest
Niejednoznacznerozwiazanieoptymalne
Jednoznacznerozwiazanieoptymalne
Tak Nie
TakNie
Nie Tak
Tak
Nie
Model matematyczny II Zmienne decyzyjne :
x1 - ilość wydobywanego węgla w tonach; x2 - ilość wydobywanej ropy w hl.funkcja celu: f(x)=3x1 + 6x2 max(zysk w tys. zł)
warunki ograniczające:2 x1 + x2 8 warunek na czas pracy maszyn w godz.
x1 + x2 10 warunek na liczbę zatrudnianych osób, warunki brzegowe:x1 0, x2 0.
Model matematyczny II Zmienne decyzyjne :
x1;x2; s1; s2; t2,.funkcja celu: f(x)=3x1 + 6x2 +0 s1 +0 s2 -M t2 max(zysk w tys. zł)
warunki ograniczające:2 x1 + x2 +s1= 8
x1 + x2 -s2+t2= 10 warunki brzegowe:x1 0, x2 0, s1 0,s2 0;. t2 =0
Tablica simpleksowa
cB B 3 6 0 0 -M xB x1 x2 s1 s2 t2
0 s1 2 1 1 0 0 8-M t2 1 1 0 -1 1 10
Tablica simpleksowa (max)
c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2
0 s 1 2 1 1 0 0 8- M t 2 1 1 0 - 1 1 1 0
z j - M - M 0 M - M - 1 0 M
jjj zc 3 + M 6 + M 0 - M 0
Rozwiązanie jest nieoptymalne, bo wskaźniki optymalności j>0
Tablica simpleksowa (max)
c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2
0 s 1 2 1 1 0 0 8 8- M t 2 1 1 0 - 1 1 1 0 1 0
z j - M - M 0 M - M - 1 0 M
jjj zc 3 + M 6 + M 0 - M 0
W kolejnej iteracji do bazy wejdzie x2 na miejsce s1
Tablica simpleksowa (max)
c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2
0 s 1 2 1 1 0 0 8 8- M t 2 1 1 0 - 1 1 1 0 1 0
z j - M - M 0 M - M - 1 0 M
jjj zc 3 + M 6 + M 0 - M 0
I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2
0 x 2 2 1 1 0 0 8- M t 2 - 1 0 - 1 - 1 1 2
z j
jjj zc
Tablica simpleksowa (max)
c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2
0 s 1 2 1 1 0 0 8 8- M t 2 1 1 0 - 1 1 1 0 1 0
z j - M - M 0 M - M - 1 0 M
jjj zc 3 + M 6 + M 0 - M 0
I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 2
6 x 2 2 1 1 0 0 8- M t 2 - 1 0 - 1 - 1 1 2
z j M + 1 2 6 M + 6 M - M - 2 M + 4 8
jjj zc - 9 - M 0 - M - 6 - M 0
Optymalne, bo wszystkie wskaźniki
optymalności mniejsze od zera
Jeżeli w rozwiązaniu, które spełnia warunek optymalności
w bazie znajduje się zmienna sztuczna, a jej wartość jest większa od zera
(tzn. wartość funkcji kryterium zależy od M), to zadanie jest sprzeczne.
Model matematyczny III Zmienne decyzyjne :
x1;x2; s1; s2; t1 t2,.funkcja celu: f(x)=3x1 + 6x2 +0 s1 +0 s2 -M t1 -M t2 max(zysk w tys. zł)
warunki ograniczające:2 x1 + x2 +s1+ - t1 = 8
x1 + x2 -s2+t2= 10 warunki brzegowe:x1 0, x2 0, s1 0,s2 0; t1 =0; t2 =0
Tablica simpleksowa
cB B 3 6 0 0 -M -M xB x1 x2 s1 s2 t1 t2
-M t1 2 1 -1 0 1 0 8-M t2 1 1 0 -1 0 1 10
Tablica simpleksowa (max)
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
- M t 1 2 1 - 1 0 1 0 8- M t 2 1 1 0 - 1 0 1 1 0
z j - 3 M - 2 M M M - M - M - 1 8 M
jjj zc 3 + 3 M 6 + 2 M - M - M 0 0
Rozwiązanie jest nieoptymalne, bo wskaźniki optymalności j>0
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
- M t 1 2 1 - 1 0 1 0 8 4- M t 2 1 1 0 - 1 0 1 1 0 1 0
z j - 3 M - 2 M M M - M - M - 1 8 M
jjj zc 3 + 3 M 6 + 2 M - M - M 0 0
Tablica simpleksowa (max)
W kolejnej iteracji do bazy wejdzie x1 na miejsce t1
Tablica simpleksowa (max)
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
- M t 1 2 1 - 1 0 1 0 8 4- M t 2 1 1 0 - 1 0 1 1 0 1 0
z j - 3 M - 2 M M M - M - M - 1 8 M
jjj zc 3 + 3 M 6 + 2 M - M - M 0 0
I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
3 x 1 1 1 / 2 - 1 / 2 0 1 / 2 0 4- M t 2 0 1 / 2 1 / 2 - 1 - 1 / 2 1 2
z j 3 3 / 2 - 1 / 2 M - 3 / 2 - 1 / 2 M M 3 / 2 + 1 / 2 M - M 1 2 - 2 M
jjj zc 0 9 / 2 + 1 / 2 M 3 / 2 + 1 / 2 M - M - 3 / 2 - 3 / 2 M 0
I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
3 x 1 1 1 / 2 - 1 / 2 0 1 / 2 0 4 8- M t 2 0 1 / 2 1 / 2 - 1 - 1 / 2 1 2 4
z j 3 3 / 2 - 1 / 2 M - 3 / 2 - 1 / 2 M M 3 / 2 + 1 / 2 M - M 1 2 - 6 M
jjj zc 0 9 / 2 + 1 / 2 M 3 / 2 + 1 / 2 M - M - 3 / 2 - 3 / 2 M 0
Tablica simpleksowa (max)
I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
3 x 1 1 1 / 2 - 1 / 2 0 1 / 2 0 4- M t 2 0 1 / 2 1 / 2 - 1 - 1 / 2 1 2
z j 3 3 / 2 - 1 / 2 M - 3 / 2 - 1 / 2 M M 3 / 2 + 1 / 2 M - M 1 2 - 2 M
jjj zc 0 9 / 2 + 1 / 2 M 3 / 2 + 1 / 2 M - M - 3 / 2 - 3 / 2 M 0
I I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
3 x 1 1 0 - 1 1 1 - 1 26 x 2 0 1 1 - 2 - 1 2 4
z j 3 6 3 - 9 - 3 9 3 0
jjj zc 0 0 - 3 9 - M + 3 - M - 9
Tablica simpleksowa (max)
Tablica simpleksowa (max)
I I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
3 x 1 1 0 - 1 1 1 - 1 2 26 x 2 0 1 1 - 2 - 1 2 4 -
z j 3 6 3 - 9 - 3 9 3 0
jjj zc 0 0 - 3 9 - M + 3 - M - 9
Tablica simpleksowa (max)
I I I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
3 x 1 1 0 - 1 1 1 - 1 2 26 x 2 0 1 1 - 2 - 1 2 4 -
z j 3 6 3 - 9 - 3 9 3 0
jjj zc 0 0 - 3 9 - M + 3 - M - 9
I V i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
0 s 2 1 0 - 1 1 1 - 1 26 x 2 2 1 - 1 0 1 0 8
z j 1 2 6 - 6 0 6 0 4 8
jjj zc - 9 0 6 0 - M - 6 - M
Tablica simpleksowa (max)
I V i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
0 s 2 1 0 - 1 1 1 - 1 2 -6 x 2 2 1 - 1 0 1 0 8 -
z j 1 2 6 - 6 0 6 0 4 8
jjj zc - 9 0 6 0 - M - 6 - M
Nie da się wyznaczyć zmiennej, która wyjdzie z bazy
Jeżeli w pewnej iteracji nie można wyznaczyć żadnego
ze współczynników Q, ponieważ wszystkie elementy wektora yj
są ujemne bądź równe zero, to rozwiązanie jest nieograniczone.
Nowe zadanie Tablica simpleksowa III iteracja
Rozwiązanie optymalne, bo wszystkie wartości
współczynników optymalności j są większe lub równe zero
Jeżeli w rozwiązaniu optymalnym pewne wartości j dla zmiennych niebazowych są równe zero
, to otrzymane rozwiązanie optymalne jest niejednoznaczne (istnieje nieskończenie wiele rozwiązań optymalnych,
które są kombinacją liniową rozwiązań bazowych wyznaczonych przez wprowadzanie do bazy tych zmiennych,
dla których j =0).
cB B 3 3 0 0 0 0 M M xB
x1 x2 s1 s2 s3 s4 t2 t3
0 0 1 2 -1 0 -2 1 3
1 0 0 -1 1 0 1 -1 1
0 1 0 0 -1 0 0 1 1
0 0 0 0 1 1 0 -1 3
zj
j
s1
x1
x2
s4
0
3
3
0
3 3 0 -3 0 0 3 0 6
0 0 0 3 0 0 M-3 M
Tablica simpleksowa IV iteracja cB B 3 3 0 0 0 0 M M xB
x1 x2 s1 s2 s3 s4 t2 t3
0 0 1 2 -1 0 -2 1 3
1 0 0 -1 1 0 1 -1 1
0 1 0 0 -1 0 0 1 1
0 0 0 0 1 1 0 -1 3
zj
j
s1
x1
x2
s4
0
3
3
0
3 3 0 -3 0 0 3 0 6
0 0 0 3 0 0 M-3 M
cB B 3 3 0 0 0 0 M M xB
x1 x2 s1 s2 s3 s4 t2 t3
0
1
0
0
zj
j
-1
-3
1 0 0 -1 0 1 -1 11 0 1 1 0 -1 0 4
1 1 0 -1 0 1 0 2-1 0 0 1 1 -1 0 2
s1s3
x2s4
0030
Rozwiązanie optymalneniejednoznaczne
6min 2
0
6min 1
1
opt
opt
x
x
Rozwiązanie optymalneniejednoznaczne
1;0
2222
0-1
1
1
optx
Tablica simpleksowa IV iteracja
Rozwiązanie optymalne, bo wszystkie wartości
współczynników optymalności j są większe lub równe zero
cB B 3 3 0 0 0 0 M M xB
x1 x2 s1 s2 s3 s4 t2 t3
0 0 1 2 -1 0 -2 1 3
1 0 0 -1 1 0 1 -1 1
0 1 0 0 -1 0 0 1 1
0 0 0 0 1 1 0 -1 3
zj
j
s1
x1
x2
s4
0
3
3
0
3 3 0 -3 0 0 3 0 6
0 0 0 3 0 0 M-3 M
Tablica simpleksowaI I i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M x B
x 1 x 2 s 1 s 2 t 2
6 x 2 2 1 0 8
- M t 2 - 1 - 1 - 1 2z j
jjj zc
Optymalne, bo wszystkie wskaźniki
optymalności mniejsze od zera
Jeżeli w rozwiązaniu, które spełnia warunek optymalności
w bazie znajduje się zmienna sztuczna, a jej wartość jest większa od zera
(tzn. wartość funkcji kryterium zależy od M), to zadanie jest sprzeczne.
1100
12+M 6 6+M M -M 48-2M
-9-M 0 -6-M -M 0
max
Tablica simpleksowa
I V i t e r a c j a
c B B 3 6 0 0 - M - M x B
x 1 x 2 s 1 s 2 t 1 t 2
1 0 - 1 1 1 - 1 2 -2 1 - 1 0 1 0 8 -
z j
jjj zc
Nie da się wyznaczyć zmiennej, która wyjdzie z bazy
Jeżeli w pewnej iteracji nie można wyznaczyć żadnego
e współczynników Q, ponieważ wszystkie elementy wektora yj
są ujemne bądź równe zero, to rozwiązanie jest nieograniczone.
s2
x2
0
6
12 6 -6 0 6 0 48
-9 0 6 0 -M-6 -M