Simulasi Sistem Predator Prey

SIMULASI SISTEM MANGSA-PEMANGSA PADA PEMANGSA YANG

HANYA BERADA PADA ZONA TIDAK DILINDUNGI

SRI SEPTIANA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

2011

ABSTRAK

SRI SEPTIANA. Simulasi Sistem Mangsa-Pemangsa pada Pemangsa yang Hanya Berada pada

Zona Tidak Dilindungi. Dibimbing oleh ALI KUSNANTO dan ENDAR HASAFAH

NUGRAHANI.

Dalam tulisan ini dipelajari model populasi mangsa-pemangsa yang habitatnya dibagi menjadi

dua zona, yaitu zona dilindungi dan zona tidak dilindungi dimana pada zona dilindungi pemangsa

tidak dapat masuk ke dalamnya, sedangkan pada zona tidak dilindungi mangsa dan pemangsa

dapat hidup secara bersamaan. Dalam pembahasan ini permasalahan dibagi menjadi dua model, yaitu model mangsa-pemangsa pada saat pemangsa sangat bergantung pada mangsanya (model 1)

dan pada saat pemangsa tidak sangat bergantung pada mangsanya (model 2). Analisis pada kedua

model tersebut dilakukan dengan membandingkan laju interaksi antara mangsa dan pemangsa.

Dari hasil analisis tersebut diperoleh tiga titik tetap pada model 1 dan empat titik tetap pada model

2.

Dinamika model digambarkan dengan bantuan software Mathematica 7.0. Secara keseluruhan

dari setiap kasus yang diamati, kestabilan populasi mangsa pada zona dilindungi dan zona tidak

dilindungi bergantung pada laju interaksi antara mangsa dan pemangsa. Jika besarnya interaksi

antara mangsa dan pemangsa diperbesar, maka populasi mangsa pada zona tidak dilindungi dapat

berada pada ambang kepunahan, sedangkan untuk populasi mangsa pada zona dilindungi akan

mengalami peningkatan populasi. Dalam model 1, banyaknya populasi mangsa pada zona

dilindungi mengalami peningkatan populasi lebih banyak dibandingkan model 2.

Kata kunci : model mangsa-pemangsa, zona tidak dilindungi, kestabilan

ABSTRACT

SRI SEPTIANA. Simulation on Prey-Predator System with Predators Present Only in the

Unreserved Area. Supervised by ALI KUSNANTO and ENDAR HASAFAH NUGRAHANI.

This paper studied the prey-predator population models that divide the habitat into two areas,

namely reserved area and unreserved area. In the reserved area, it is assumed that predators cannot

enter into it, while in the unreserved area prey and predators can live simultaneously. In the

discussion, two models are being considered namely the prey-predator model when predator

depends on prey (first model) and when predators have a choice of prey (second model). Analysis

on both models is done by comparing the interaction between prey and predator. The results of the analysis give three fixed points on the first model and four fixed points on the second model.

The simulation study is carried out using Mathematica 7.0 software. In every case, the stability

of prey populations in reserved area and unreserved area depend on the interaction rate between

prey and predator. If the magnitude of the prey-predator interaction is enlarged, then the prey

population in the unreserved area tends to extinct, but the prey population in reserved area tends to

increase. Moreover, population increase in reserved area of the first model is larger than that of the

second model.

Keywords : prey-predator model, unreserved area, stability

SIMULASI SISTEM MANGSA-PEMANGSA PADA PEMANGSA YANG

HANYA BERADA PADA ZONA TIDAK DILINDUNGI

SRI SEPTIANA

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

Judul : Simulasi Sistem Mangsa-Pemangsa pada Pemangsa yang Hanya Berada

pada Zona Tidak Dilindungi

Nama : Sri Septiana

NRP : G54070042

Menyetujui,

Pembimbing I Pembimbing II

Drs. Ali Kusnanto, M.Si Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS

NIP. 19650820 199003 1 001 NIP. 19631228 198903 2 001

Mengetahui,

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS

NIP. 19650505 198903 2 004

Tanggal Lulus :

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala nikmat, karunia, izin, dan

pertolongan-Nya sehingga penulisan skripsi ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih adalah

Pemodelan Matematika dengan judul Simulasi Sistem Mangsa-Pemangsa pada Pemangsa yang

Hanya Berada pada Zona Tidak Dilindungi. Skripsi ini merupakan syarat untuk menyelesaikan

studi pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut

Pertanian Bogor. Terima kasih penulis ucapkan kepada :

1. Bapak Drs. Ali Kusnanto, M.Si dan Ibu Endar Hasafah Nugrahani, MS. selaku dosen

pembimbing atas segala kesabaran dan masukannya selama membimbing penulis; kepada

Bapak Dr. Paian Sianturi selaku penguji; 2. Ayahanda Kastowo dan Ibunda Mariyam yang banyak memberi nasihat dan dukungan

serta do’a yang tak terkira, Kakakku Elis Citrawati dan Adikku Imam Nugroho yang

selalu memberi semangat belajar dan mengingatkan tiada henti, serta Margono atas

segenap perhatian dan semangat, kesabaran serta do’anya selama penyusunan skrispi;

3. keluarga besar dan staf Departemen MatematikaFMIPA IPB: Bu Susi, Pak Yono, Bu

Ade, Mas Heri, Mas Deni, Pak Bono, dkk yang telah banyak membantu dalam

penyusunan skripsi;

4. teman-teman satu bimbingan: Fajar, Rahma, dan Aje yang selalu saling mengingatkan

dan membantu dalam penyusunan skripsi;

5. teman-teman terbaikku di kampus: Melon, Ayung, Rahma, Della, Tyas, Fajar, Denda,

Rofi, Pandi, Dian, dan Rizky yang selalu memberikan semangat dan bantuan serta

mengingatkan penulis dalam penyusunan skripsi; 6. teman-teman mahasiswa matematika angkatan 44: Melon, Ayung, Rahma, Tyas, Della,

Fajar, Rofi, Denda, Dian, Pandi, Rizky, Ruhiyat, Wahyu, Iam, Lingga, Ima, Dora,

Lugina, Yuyun, Nunuy, Ucu, Wenti, Ndep, Pepi, Ali, Aje, Deva, Eka, Titi, Lilis, Aqil,

Ikhsan, Vianey, Yuli, Masayu, Diana, Yanti, Indin, Sari, Lukman, Olih, Cepi, Aswin,

Imam, Ririh, Iresa, Anis, Tita, Arina, Tanti, Lili, Nurus, Nadiroh, Naim, Endro atas

segenap dukungan, suka-duka dan kebahagiaan selama penulis menempuh studi di

Departemen Matematika;

7. kakak-kakak mahasiswa angkatan 43: kak nia, kak wira, kak copi, kak arum, kak tami,

kak apri, kak supri, kak slamet dkk yang telah memberikan banyak informasi dan

motivasinya; adik-adik mahasiswa matematika angkatan 45: Dono, Feni, Aci, Yunda,

Bolo, Isna dkk yang telah mendukung penulis dalam menyusun skripsi; 8. keluarga besar kosan Puri 9: Nuning, Riska, Susan, Fitri, Ivon, Lia, Ines, Nita, Omi, Anis,

Ibu Yanti, dan Nela yang telah memberikan bantuan, informasi, do’a dan motivasinya

kepada penulis dalam penyusunan skripsi;

9. pihak-pihak lain yang telah membantu penyusunan skripsi ini, yang tidak dapat

disebutkan satu per satu.

Penulis menyadari bahwa dalam tulisan ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari

kesempurnaan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari

pembaca. Semoga tulisan ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukan.

Bogor, Agustus 2011

Sri Septiana

RIWAYAT HIDUP

Penulis lahir di Tangerang pada tanggal 16 September 1989 sebagai anak ke dua dari tiga

bersaudara, anak dari pasangan Kastowo dan Mariyam. Tahun 2001 penulis lulus dari SDS

Kuncup Mekar. Tahun 2004 penulis lulus dari SMPN 1 Tangerang. Tahun 2007 penulis lulus dari

SMAN 6 Tangerang dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur

Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI), Tingkat Persiapan Bersama. Pada tahun 2008, penulis

memilih mayor Matematika pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah menjadi pengajar Pengantar Matematika di

bimbingan belajar Smart. Penulis juga aktif pada kegiatan kemahasiswaan Gumatika (Gugus

Mahasiswa Matematika) sebagai bendahara staf Departemen Sosinkom periode 2008/2009 dan juga menjabat sebagai bendahara staf Forum Silahturahmi Matematika (FORSMATH) periode

2009/2010. Selain itu, penulis pernah terlibat dalam berbagai kegiatan mahasiswa, antara lain

divisi acara Math Expo pada tahun 2008, divisi dokumentasi pada acara Math League pada tahun

2008, divisi kreatif pada acara MPD Matematika pada tahun 2009, divisi danus Matematika Ria

(Pesta Sains) pada tahun 2009, dan divisi acara pada acara MPD Matematika pada tahun 2010.

vii

DAFTAR ISI Halaman

DAFTAR ISI .......................................................................................................................... vii

DAFTAR GAMBAR .............................................................................................................. viii

DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................................... viii

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang .......................................................................................................... 1

1.2 Tujuan ....................................................................................................................... 1

II LANDASAN TEORI

2.1 Sistem Persamaan Diferensial Linear ......................................................................... 2

2.2 Titik Tetap................................................................................................................. 2

2.3 Pelinearan ................................................................................................................. 2 2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen .................................................................................... 2

2.5 Analisis Kestabilan Titik Tetap .................................................................................. 2

III PEMODELAN

3.1 Model Mangsa-Pemangsa .......................................................................................... 4

3.2 Model Mangsa-Pemangsa pada Saat Pemangsa Sangat Bergantung pada

Mangsanya (Model 1) ................................................................................................ 4

3.3 Model Mangsa-Pemangsa pada Saat Pemangsa Tidak Sangat Bergantung pada

Mangsanya (Model 2) ............................................................................................... 5

IV PEMBAHASAN

4.1 Analisis Model 1 ....................................................................................................... 6 4.2 Analisis Model 2 ....................................................................................................... 7

4.3 Simulasi Model 1....................................................................................................... 8

4.4 Simulasi Model 2 ...................................................................................................... 12

V KESIMPULAN ............................................................................................................... 18

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................. 19

LAMPIRAN ........................................................................................................................... 21

viii

DAFTAR GAMBAR

Halaman

1 Jenis kestabilan titik tetap ................................................................................................ 3

2 Skema model mangsa-pemangsa pada model 1 ................................................................ 4

3 Skema model mangsa-pemangsa pada model 2 ................................................................ 5

4 Orbit kestabilan di sekitar (𝑥, 𝑦, 𝑧), dengan 𝛽2 = 0.7 pada model 1 .................................. 9

5 Orbit kestabilan di sekitar (𝑥, 𝑦), dengan 𝛽2 = 0.7 pada model 1 ..................................... 9

6 Orbit kestabilan di sekitar (𝑥, 𝑧), dengan 𝛽2 = 0.7 pada model 1...................................... 9

7 Orbit kestabilan di sekitar (𝑦, 𝑧), dengan 𝛽2 = 0.7 pada model 1 ..................................... 9

8 Dinamika populasi dari ketiga model terhadap 𝑡 dengan 𝛽2 = 0.7 pada model 1 ............... 9


























DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

1 Penentuan Titik Tetap Model 1 ........................................................................................ 21

2 Penentuan Nilai Eigen Model 1 ....................................................................................... 23 3 Penentuan Titik Tetap Model 2 ........................................................................................ 28

4 Penentuan Nilai Eigen Model 2 ....................................................................................... 31

5 Program Penentuan Orbit Kestabilan dan Solusi Model 1 ................................................. 36

6 Program Penentuan Orbit Kestabilan dan Solusi Model 2 ................................................. 41

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Makhluk hidup pada hakekatnya tidak

dapat hidup sendirian, sehingga diperlukan

adanya suatu interaksi antar berbagai

populasi dan berbagai spesies yang hidup

secara bersamaan. Pada populasi tersebut

akan terjadi suatu interaksi antar spesies, di

mana kedua spesies berinteraksi dalam suatu

rantai makanan.

Biosfer merupakan suatu zona yang penting untuk kegiatan biologi terutama

terhadap perubahan ekologi dan lingkungan

yang ada. Perubahan ekologi dan lingkungan

seperti eksploitasi berlebihan, banyaknya

pemangsa, dan pencemaran lingkungan

dapat menyebabkan banyaknya spesies

didorong untuk punah dan masih banyak

yang lainnya berada pada ambang

kepunahan. Untuk melindungi spesies-

spesies tersebut harus dilakukan suatu

tindakan, salah satu tindakannya adalah

dengan menciptakan zona dilindungi yang dapat mengurangi interaksi dari spesies-

spesies tersebut terhadap perubahan ekologi

dan lingkungan yang ada. (Dubey 2006).

Model mangsa-pemangsa ini

menggambarkan tentang adanya suatu

interaksi antar spesies yang hidup secara

bersamaan. Spesies mangsa yang

dilestarikan dapat dilindungi dari pemangsa

dengan menciptakan suatu batas buatan yang

ukurannya dibuat agar mangsa saja yang

dapat bergerak lalu lalang tetapi pemangsa tidak dapat memakan mangsa pada saat

berada pada zona dilindungi. Oleh karena

itu, pemangsa yang berada di luar zona

dilindungi tidak dapat memasuki batas yang

telah dibuat tersebut sehingga aman untuk

mangsa yang hidup pada zona dilindungi

dan juga dapat membuat habitat terbagi

menjadi dua zona, yaitu zona dilindungi dan

zona tidak dilindungi.

Simulasi sistem mangsa-pemangsa pada

pemangsa yang hanya berada pada zona

tidak dilindungi memiliki dua tipe model kasus, yaitu pada saat pemangsa sangat

bergantung pada mangsanya dan pada saat

pemangsa tidak sangat bergantung pada

mangsanya. Dalam pembahasan dinamika

sistem mangsa-pemangsa ini juga

mempertimbangkan dua tipe zona yang akan

digunakan, yaitu zona dilindungi dimana

pemangsa tidak dapat memasuki zona ini

dan zona tidak dilindungi dimana mangsa

maupun pemangsa dapat bergerak atau

hidup secara bersamaan.

Dalam karya ilmiah ini akan dibahas

model mangsa-pemangsa yang dimodelkan

oleh Dubey (2006). Kedua model kasus

yang akan dibahas akan menghasilkan suatu

model baru yang dapat dianalisis dinamika

populasi mangsa pada zona dilindungi dan

zona tidak dilindungi ketika terdapat

pemangsa pada zona tidak dilindungi,

dinamika populasi pemangsa terhadap

perubahan laju interaksi antara mangsa dan pemangsa, dan perbandingan model

pemangsa pada kedua model kasus yang

akan dibahas. Dalam pembahasan ini, akan

dilakukan beberapa tahapan untuk dapat

menganalisis model tersebut. Pertama, akan

ditentukan titik tetap pada setiap model dari

kedua kasus tersebut. Selanjutnya ditentukan

matriks Jacobi dengan melakukan

pelinearan pada setiap persamaan model

yang ada terhadap setiap variabel. Kemudian

akan ditentukan nilai eigen yang dapat

digunakan untuk menganalisis kestabilan titik tetap yang dihasilkan pada setiap model

dalam kedua model kasus tersebut.

1.2 Tujuan

Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini

adalah untuk :

1. Menggambarkan dinamika populasi

mangsa pada zona dilindungi dan zona

tidak dilindungi ketika terdapat

pemangsa pada zona tidak dilindungi.

2. Menggambarkan dinamika populasi pemangsa dengan adanya perubahan

terhadap laju interaksi antara mangsa dan

pemangsa.

3. Membandingkan model pemangsa yang

ada pada saat pemangsa sangat

bergantung pada mangsanya dan pada

saat pemangsa tidak sangat bergantung

pada mangsanya.

II LANDASAN TEORI

2.1 Sistem Persamaan Diferensial Linear

Suatu sistem persamaan diferensial orde

1 dinyatakan sebagai berikut

𝑥 + 𝑎 𝑡 𝑥 = 𝑔(𝑡) (1)

dengan 𝑎(𝑡) dan 𝑔(𝑡) adalah fungsi dari

waktu 𝑡. Bila 𝑎(𝑡) adalah suatu matriks

𝑛 x 𝑛 dengan koefisien konstan dan 𝑔(𝑡)

dinyatakan sebagai vektor konstan 𝑏, maka

akan diperoleh bentuk sistem persamaan

diferensial linear sebagai berikut

𝑑𝑥

𝑑𝑡≡ 𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝑏, 𝑥 0 = 𝑥0 (2)

(Farlow 1994)

2.2 Titik Tetap Diberikan sistem persamaan diferensial

sebagai berikut

𝑥 = 𝑓 𝑥1 ,𝑥2 ,… , 𝑥1 ,𝑥2 ,… 𝜖 R𝑛 (3)

suatu titik 𝑥 yang memenuhi 𝑓 𝑥∗ = 0

disebut titik keseimbangan atau titik tetap

dari sistem.

(Verhulst 1990)

2.3 Pelinearan Diketahui

𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑦 = 𝑔(𝑥, 𝑦) (4)

Andaikan (𝑥∗,𝑦∗) adalah titik tetap pada

persamaan (4), maka

𝑓 𝑥∗,𝑦∗ = 0

dan

𝑔 𝑥∗,𝑦∗ = 0

Misalkan, 𝑢 = 𝑥 − 𝑥∗ dan 𝑣 = 𝑦 − 𝑦∗, maka didapatkan

𝑢 = 𝑥 = 𝑓(𝑥∗ + 𝑢, 𝑦∗ + 𝑣)

= 𝑓 𝑥∗, 𝑦∗ + 𝑢𝜕𝑓

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑓

𝜕𝑦+

𝑶(𝒖𝟐,𝒗𝟐,𝒖𝒗)

= 𝑢𝜕𝑓

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑓

𝜕𝑦+ 𝑶(𝒖𝟐,𝒗𝟐,𝒖𝒗)

𝑣 = 𝑦 = 𝑔(𝑥∗ + 𝑢,𝑦∗ + 𝑣)

= 𝑔 𝑥∗,𝑦∗ + 𝑢𝜕𝑓

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑔

𝜕𝑦+

𝑶(𝒖𝟐,𝒗𝟐,𝒖𝒗)

= 𝑢𝜕𝑓

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑔

𝜕𝑦+ 𝑶(𝒖𝟐,𝒗𝟐,𝒖𝒗)

Dalam bentuk matriks,

𝒖 𝒗 =

𝝏𝒇

𝝏𝒙𝝏𝒈

𝝏𝒙

𝝏𝒇

𝝏𝒚𝝏𝒈

𝝏𝒚

𝒖𝒗 + 𝑶(𝒖𝟐 + 𝒗𝟐 + 𝒖𝒗).

Matriks

𝐴 = 𝜕𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑔

𝜕𝑥

𝜕𝑓

𝜕𝑦𝜕𝑔

𝜕𝑦

(𝑥∗,𝑦∗)

disebut matriks Jacobi pada titik tetap

(𝑥∗, 𝑦∗). Karena 𝑶(𝒖𝟐,𝒗𝟐,𝒖𝒗) → 𝟎, maka

dapat diabaikan sehingga didapatkan

persamaan linear

𝑢 𝑣 =

𝜕𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑔

𝜕𝑥

𝜕𝑓

𝜕𝑦

𝜕𝑔

𝜕𝑦

(5)

(Strogatz 1994)

2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

𝐴 adalah matriks 𝑛 x 𝑛, maka suatu

vektor taknol di dalam R𝑛 disebut vektor

eigen dari 𝐴 jika untuk suatu skalar 𝜆 berlaku

𝐴𝑥 = 𝜆𝑥 (6)

Vektor x disebut vektor eigen yang

bersesuaian dengan nilai eigen 𝜆. Untuk

mencari nilai eigen dari matriks yang

berukuran 𝑛 x 𝑛, maka persamaan (6) dapat

ditulis kembali sebagai berikut :

𝐴 − 𝜆I 𝑥 = 0 (7)

dengan I adalah matriks identitas. Persamaan

(7) mempunyai solusi taknol jika dan hanya

jika,

𝑑𝑒𝑡 𝐴 − 𝜆𝐼 = 𝐴 − 𝜆I = 0 (8)

Persamaan (8) disebut persamaan

karakteristik dari matriks 𝐴.

(Anton 1995)

2.5 Analisis Kestabilan Titik Tetap Diberikan sistem persamaan diferensial

sembarang

𝑥 = 𝑓 𝑥 , 𝑥 𝜖 R𝑛 (9)

Analisis kestabilan titik tetap dilakukan

melalui matriks Jacobi, yaitu matriks 𝐴.

Penentuan kestabilan titik tetap diperoleh

dengan melihat nilai-nilai eigennya, yaitu 𝜆𝑖 dengan 𝑖 = 1,2,3, . . , 𝑛 yang diperoleh dari

𝑑𝑒𝑡 𝐴 − 𝜆I = 0. Secara umum, kestabilan titik tetap mempunyai tiga perilaku sebagai

berikut :

1. Stabil, jika

Setiap nilai eigen real bernilai negatif

(𝜆𝑖 < 0) untuk semua 𝑖, Setiap bagian real dari nilai eigen

kompleks bernilai lebih kecil atau

sama dengan nol (𝑅𝑒(𝜆𝑖) ≤ 0) untuk

semua 𝑖. 2. Tak stabil, jika

Setiap nilai eigen real bernilai positif

(𝜆𝑖 > 0) untuk semua 𝑖, Setiap bagian real dari nilai eigen

kompleks bernilai lebih besar atau

3

sama dengan nol (𝑅𝑒(𝜆𝑖) ≥ 0) untuk

semua 𝑖. 3. Sadel, jika perkalian dari kedua nilai

eigen real sembarang adalah negatif

(𝜆𝑖 , 𝜆𝑗 < 0) untuk semua 𝑖 dan 𝑗

sembarang. Titik tetap sadel ini bersifat

tak stabil.

(Tu 1994)

Misalkan diberikan matriks 𝐴 berukuran

2𝑥2 sebagai berikut

𝐴 = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑

dengan persamaan karakteristik 𝑑𝑒𝑡(𝐴 −𝜆I) = 0 dan I adalah matriks identitas, maka

persamaan karakteristiknya menjadi

𝑑𝑒𝑡 𝑎 − 𝜆 𝑏𝑐 𝑑 − 𝜆

= 0 sedemikian

sehingga diperoleh persamaan:

𝜆2 − 𝜏𝜆 + Δ = 0 dimana,

𝜏 = 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒 𝐴 = 𝑎 + 𝑑 = 𝜆1 + 𝜆2

Δ = 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 𝜆1𝜆2 Dengan demikian diperoleh nilai eigen

dari matriks 𝐴, yaitu: 𝜆1,2 =𝜏± 𝜏2−4Δ

2

Terdapat tiga kasus untuk nilai Δ:

Kasus Δ < 0.

Jika nilai eigen real berbeda tanda

(𝜆1 > 0, 𝜆2 < 0), maka titik tetap

bersifat “sadel”.

Kasus ∆> 0.

𝜏2 − 4Δ > 0. Jika 𝜏 > 0 dan kedua nilai

eigen real bernilai positif

(𝜆1 > 0,𝜆2 > 0), maka titik

tetap bersifat “simpul tidak

stabil”.

Jika 𝜏 < 0 dan kedua nilai

eigen real bernilai negatif

(𝜆1 < 0,𝜆2 < 0), maka titik

tetap bersifat “simpul stabil”.

𝜏2 − 4Δ < 0.

Jika 𝜏 > 0 dan kedua nilai

eigen imajiner (𝜆1,2 = 𝛼 ± 𝑖𝛽),

maka titik tetap bersifat “spiral

tidak stabil”.

Jika 𝜏 < 0 dan kedua nilai

eigen imajiner (𝜆1,2 = 𝛼 ± 𝑖𝛽),

maka titik tetap bersifat “spiral

stabil”.

Jika 𝜏 = 0 dan kedua nilai eigen imajiner murni

(𝜆1,2 = ±𝑖𝛽), maka titik tetap

bersifat “center”.

𝜏2 − 4∆= 0.

Parabola 𝜏2 − 4∆= 0 adalah garis batas antara simpul dan

spiral. Star nodes dan

degenerate nodes yang terletak

pada parabola ini. Jika kedua

nilai eigen bernilai sama, maka

titik tetap tersebut bersifat

“simpul sejati”.

Kasus ∆= 0.

Jika salah satu nilai eigen bernilai nol,

maka titik asal bersifat “titik tetap tak

terisolasi”. (Strogatz 1994)

Gambar jenis-jenis kestabilan titik tetap

seperti yang dijelaskan di atas dapat dilihat

dalam Gambar 1.

Simpul Stabil Simpul Tak Stabil Sadel Spiral Tak Stabil

Simpul Terisolasi Spiral Stabil Simpul Sejati Center

Gambar 1 Jenis Kestabilan Titik Tetap

III PEMODELAN

3.1 Model Mangsa-Pemangsa

Model yang akan dianalisis merupakan

suatu model yang dibangun berdasarkan

interaksi antar spesies yang hidup secara

bersamaan pada suatu habitat. Dalam model

sistem mangsa-pemangsa yang dikenalkan

oleh Dubey (2006) ini membagi habitat

menjadi dua zona, yaitu zona dilindungi dan

zona tidak dilindungi dan juga membagi

permasalahan yang ada menjadi dua model, yaitu pada saat pemangsa sangat bergantung

pada mangsanya dan pada saat pemangsa

tidak sangat bergantung pada mangsanya.

Konstruksi model matematika untuk

model mangsa-pemangsa ini menggunakan

asumsi :

1. Pemangsa tidak dapat memasuki zona

dilindungi.

2. Semua parameter dan variabel yang

digunakan pada masing-masing kasus

bernilai positif.

3. Nilai parameter 𝑟 > 𝜎1 , 𝑠 > 𝜎2 ,dan 𝑟 > 𝜎1 + 𝛽1𝑀

Secara umum, model simulasi sistem

mangsa-pemangsa pada pemangsa yang

hanya berada pada zona tidak dilindungi

adalah sebagai berikut : 𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑟𝑥 1 −

𝑥

𝐾 − 𝜎1𝑥 + 𝜎2𝑦 − 𝛽1𝑥𝑧

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑠𝑦 1 −

𝑦

𝐿 + 𝜎1𝑥 − 𝜎2𝑦,

𝑑𝑧

𝑑𝑡= 𝑄 𝑧 − 𝛽0𝑧, (3.1)

𝑥 0 ≥ 0, 𝑦 0 ≥ 0, 𝑧(0) ≥ 0

dengan 𝑟, 𝑠,𝐾,𝐿, 𝜎1 ,𝜎2 ,𝛽0 ,𝛽1 ,𝛽2 > 0

dimana :

𝑥(𝑡) banyaknya populasi mangsa pada

zona tidak dilindungi

𝑦(𝑡) banyaknya populasi mangsa pada zona dilindungi

𝑧(𝑡) banyaknya populasi pemangsa

𝜎1 laju perpindahan mangsa dari zona

tidak dilindungi ke zona dilindungi

𝜎2 laju perpindahan mangsa dari zona

dilindungi ke zona tidak dilindungi 𝑟 laju pertumbuhan intrinsik mangsa

pada zona tidak dilindungi

𝑠 laju pertumbuhan intrinsik mangsa

pada zona dilindungi

𝐾 besarnya daya dukung lingkungan

pada zona tidak dilindungi

𝐿 besarnya daya dukung lingkungan

pada zona dilindungi

𝛽0 laju kematian pemangsa

𝛽1 laju kematian spesies mangsa yang

disebabkan oleh pemangsa

𝛽2 besarnya interaksi antara mangsa

dan pemangsa

𝑎 laju pertumbuhan pemangsa

𝑄 𝑧 yang terdapat pada bentuk umum

model sistem mangsa-pemangsa ini merupakan laju interaksi antara mangsa dan

pemangsa. Laju interaksi antara mangsa dan

pemangsa tersebut akan dianalisis dalam dua

model permasalahan yang akan dibahas,

yaitu pada saat pemangsa sangat bergantung

pada mangsanya dan pada saat pemangsa

tidak sangat bergantung pada mangsanya.

3.2 Model Sistem Mangsa - Pemangsa

Pada Saat Pemangsa Sangat

Bergantung Pada Mangsanya

(Model 1). Pada suatu populasi akan terjadi interaksi

antar spesies yang hidup secara bersamaan

dalam populasi tersebut, di mana spesies-

spesies ini akan berinteraksi dalam suatu

rantai makanan. Dalam rantai makanan

tersebut, mangsa merupakan sumber

makanan bagi pemangsa. Oleh karena itu,

mangsa akan menjadi sasaran utama bagi

pemangsa dalam mencari makan demi

kelangsungan hidupnya.

Pada Gambar 2 dapat dilihat skema diagram model matematika untuk model

sistem mangsa-pemangsa pada saat

pemangsa sangat bergantung pada

mangsanya.

𝛽0

Gambar 2 Skema model mangsa-pemangsa

pada saat pemangsa sangat

bergantung pada mangsanya

Dari Gambar 2 terlihat bahwa, perubahan

laju populasi mangsa yang ada pada zona

tidak dilindungi 𝑥 dipengaruhi oleh laju pertumbuhan intrinsik dari mangsa pada

zona tidak dilindungi 𝑟 dengan daya dukung

𝑟,𝐾

𝛽1 ,𝛽2

𝜎1 𝜎2

𝛽0

𝑠, 𝐿

𝒙

𝒚

𝒛

lingkungannya 𝐾 serta dipengaruhi dengan

adanya laju perpindahan mangsa dari zona

dilindungi ke zona tidak dilindungi 𝜎2,

kemudian populasi mangsa pada zona tidak

dilindungi ini akan mengalami penurunan

populasi dengan adanya perpindahan

mangsa dari zona tidak dilindungi ke zona

dilindungi 𝜎1 dan dengan adanya interaksi antara mangsa pada zona tidak dilindungi

dengan pemangsa yang dapat menyebabkan

kematian dari mangsa pada zona tidak

dilindungi 𝛽1. Perubahan laju populasi

mangsa yang ada pada zona dilindungi 𝑦

dipengaruhi oleh laju pertumbuhan intrinsik

dari mangsa tersebut 𝑠 dengan daya dukung

lingkungannya 𝐿 serta dipengaruhi dengan

laju perpindahan mangsa dari zona tidak

dilindungi ke zona dilindungi 𝜎1 , kemudian

populasi mangsa pada zona ini akan

mengalami penurunan populasi dengan

adanya perpindahan mangsa dari zona

dilindungi ke zona tidak dilindungi 𝜎2 . Sedangkan untuk perubahan laju populasi

pemangsa dipengaruhi oleh besarnya laju

interaksi antara mangsa dan pemangsa 𝛽2,

kemudian populasi dari pemangsa akan

mengalami kematian secara alami 𝛽0.

Sehingga model persamaan untuk

pemangsa sangat bergantung pada

mangsanya adalah sebagai berikut : 𝑑𝑥


𝑥


𝑑𝑦


𝑦

𝐿 + 𝜎1𝑥 − 𝜎2𝑦,

𝑑𝑧

𝑑𝑡= 𝛽2𝑥𝑧 − 𝛽0𝑧, ( 3.2)

𝑥 0 ≥ 0, 𝑦 0 ≥ 0, 𝑧(0) ≥ 0.

dengan 𝑟, 𝑠,𝐾,𝐿, 𝜎1 ,𝜎2 ,𝛽0 ,𝛽1 ,𝛽2 > 0

3.3 Model Sistem Mangsa - Pemangsa

Pada Saat Pemangsa Tidak Sangat

Bergantung Pada Mangsanya

(Model 2).

Spesies mangsa merupakan sumber

makanan bagi pemangsa. Namun pada kasus

ini, pemangsa tidak begitu bergantung pada mangsa yang ada dikarenakan pada model

ini terdapat jenis spesies mangsa lain yang

dapat dijadikan sumber makanan lain bagi

pemangsa demi kelangsungan hidupnya.

Pada Gambar 3 dapat dilihat skema

diagram model matematika untuk model

mangsa-pemangsa pada saat pemangsa tidak

sangat bergantung pada mangsanya.

Gambar 3 Skema model mangsa-pemangsa

pada saat pemangsa tidak sangat

bergantung pada mangsanya

Dari Gambar 3 terlihat bahwa, perubahan

laju populasi mangsa yang ada pada zona

tidak dilindungi 𝑥 dipengaruhi oleh laju

pertumbuhan intrinsik dari mangsa pada

zona tidak dilindungi 𝑟 dengan daya dukung

lingkungannya 𝐾 serta dipengaruhi dengan adanya laju perpindahan mangsa dari zona

dilindungi ke zona tidak dilindungi 𝜎2,

kemudian populasi mangsa pada zona ini

akan mengalami penurunan populasi dengan

adanya perpindahan mangsa dari zona tidak

dilindungi ke zona dilindungi 𝜎1 dan dengan

adanya interaksi antara mangsa pada zona

tidak dilindungi dan pemangsa yang dapat

menyebabkan kematian dari mangsa pada

zona tidak dilindungi 𝛽1. Perubahan laju

populasi mangsa pada zona dilindungi 𝑦

dipengaruhi oleh laju pertumbuhan intrinsik

dari mangsa tersebut 𝑠 dengan daya dukung

lingkungannya 𝐿 serta dipengaruhi dengan

laju perpindahan mangsa dari zona tidak

dilindungi ke zona dilindungi 𝜎1 , kemudian

populasi mangsa pada zona ini akan

mengalami penurunan populasi dengan adanya perpindahan mangsa dari zona

dilindungi ke zona tidak dilindungi 𝜎2 . Sedangkan untuk laju pertumbuhan populasi

pemangsa dipengaruhi dengan adanya laju

pertumbuhan pemangsa 𝑎 serta dengan

adanya laju interaksi antara mangsa dan

pemangsa 𝛽2, serta daya dukung

lingkungannya 𝑀. Sehingga model persamaan untuk

pemangsa tidak sangat bergantung pada

mangsanya adalah sebagai berikut : 𝑑𝑥


𝑥


𝑑𝑦


𝑦

𝐿 + 𝜎1𝑥 − 𝜎2𝑦,

𝑑𝑧

𝑑𝑡= 𝑎𝑧 1 −

𝑧

𝑀 +𝛽2𝑥𝑧, ( 3.3)

𝑥 0 ≥ 0, 𝑦 0 ≥ 0, 𝑧(0) ≥ 0

dengan 𝑟, 𝑠, 𝑎,𝐾,𝐿, 𝜎1𝜎2 ,𝛽1 ,𝛽2 > 0

𝑟,𝐾

𝛽1

,𝛽2

𝜎1 𝜎2 𝑎,𝑀

𝑠, 𝐿

𝒙

𝒚

𝒛

IV PEMBAHASAN

4.1 Analisis Model 1

Titik tetap pada model persamaan (3.2)

dapat dinyatakan ke dalam bentuk 𝐸 = 𝑥,𝑦, 𝑧 dan juga dapat diperoleh dengan

menentukan 𝑑𝑥

𝑑𝑡= 0,

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 0, dan

𝑑𝑧

𝑑𝑡= 0,

𝑟𝑥 1 −𝑥

𝐾 − 𝜎1𝑥 + 𝜎2𝑦 − 𝛽1𝑥𝑧 = 0

𝑠𝑦 1 −𝑦

𝐿 + 𝜎1𝑥 − 𝜎2𝑦 = 0

𝛽2𝑥𝑧 − 𝛽0𝑧 = 0

sehingga diperoleh tiga titik tetap non-

negatif sebagai berikut :

𝐸0 = 0,0,0

𝐸1 = 𝑥 , 𝑦 , 0 dengan 𝑥 adalah akar dari

persamaan 𝑦 =1

𝜎2 𝑟𝑥 2

𝐾− (𝑟 − 𝜎1)𝑥

𝐸2 = 𝑥∗, 𝑦∗,𝑧∗ = 𝛽0

𝛽2,

1

2𝑠𝛽2 𝑐 + 𝑑 , 𝑓

dengan

𝑐 = 𝐿𝛽2 𝑠 − 𝜎2

𝑑 = 𝛽22𝐿2 𝑠 − 𝜎2

2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1

𝑓 =𝛽2

𝛽1𝛽0 𝜎2𝑦

∗ +𝛽0

𝛽2 𝑟 − 𝜎1 −

𝑟𝛽02

𝐾𝛽22

(bukti dapat dilihat pada Lampiran 1)

Selanjutnya akan dianalisis kestabilan

titik tetap dari model persamaan (3.2).

Untuk itu, persamaan (3.2) akan dilinearkan

ke dalam bentuk 𝑥 = 𝐴𝑥 , dengan 𝑥 =(𝑥,𝑦, 𝑧) dan 𝐴 merupakan matriks Jacobi

yang dapat digunakan untuk menganalisis

kestabilan titik tetap yang telah diperoleh

pada model persamaan ini.

𝐴 =

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑧𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑧𝑑𝑧

𝑑𝑥

𝑑𝑧

𝑑𝑦

𝑑𝑧

𝑑𝑧

𝐴 =

ℎ 𝜎2 −𝛽1𝑥

𝜎1 𝑠 −2𝑠

𝐿𝑦 − 𝜎2 0

𝛽2𝑧 0 𝛽2𝑥 − 𝛽0

(4.1)

dengan

ℎ = 𝑟 −2𝑟

𝐾𝑥 − 𝜎1 −𝛽1𝑧

dimana 𝑥, 𝑦, 𝑧 merupakan koordinat titik

tetap. Titik tetap yang telah diperoleh dari

persamaan (3.2), yaitu 𝐸0 , 𝐸1 , dan 𝐸2

disubstitusikan ke dalam persamaan (4.1),

sehingga diperoleh matriks Jacobi dari setiap

titik tetap sebagai berikut :

𝐴1 0,0,0 = 𝑟 − 𝜎1 𝜎2 0

𝜎1 𝑠 − 𝜎2 00 0 −𝛽0

𝐴2 𝑥 ,𝑦 ,0 =

𝑟 −2𝑟

𝐾𝑥 − 𝜎1 𝜎2 −𝛽1𝑥

𝜎1 𝑠 −2𝑠

𝐿𝑦 − 𝜎2 0

0 0 𝛽2𝑥 − 𝛽0

𝐴3 𝑥∗,𝑦∗,𝑧∗ =

𝑗 𝜎2 −𝛽1𝑥∗

𝜎1 𝑠 −2𝑠

𝐿𝑦∗ − 𝜎2 0

𝛽2𝑧∗ 0 𝛽2𝑥

∗ − 𝛽0

dengan

𝑗 = 𝑟 −2𝑟

𝐾𝑥∗ − 𝜎1 −𝛽1𝑧

∗

Kestabilan Sistem di Titik Tetap

𝐸0 0,0,0 Untuk memperoleh nilai eigen digunakan

persamaan karakteristik 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0,

sehingga akan diperoleh nilai eigen dari

matriks 𝐴1, yaitu

𝜆1 = −𝛽0

𝜆2 =− 𝜎2 +𝜎1−𝑟−𝑠 + 𝜎2+𝜎1−𝑟−𝑠 2+4(1) 𝜎2𝑟+𝜎1𝑠−𝑟𝑠

2

𝜆3 =− 𝜎2 +𝜎1−𝑟−𝑠 − 𝜎2+𝜎1−𝑟−𝑠 2+4(1) 𝜎2𝑟+𝜎1𝑠−𝑟𝑠

2

Karena semua parameter bernilai positif

dan nilai parameter 𝑟 > 𝜎1 dan 𝑠 > 𝜎2,

maka 𝜆1 < 0, 𝜆2 > 0, dan 𝜆3 > 0. Dengan

demikian menurut jenis kestabilannya titik

tetap 𝐸0 bersifat sadel.


𝐸1 𝑥 , 𝑦 , 0 Dalam proses mencari nilai eigen pada

titik tetap ini, akan menghasilkan suatu

bentuk persamaan aljabar 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 +

𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 dengan 𝑎 =𝑠𝑟2

𝐿𝐾2𝜎22 , 𝑏 =

−2𝑠𝑟 𝑟−𝜎1

𝐾𝐿𝜎22 , 𝑐 =

𝑠 𝑟−𝜎1 2

𝐿𝜎22 −

𝑟 𝑠−𝜎2

𝐾𝜎2, dan 𝑑 =

(𝑟−𝜎1)(𝑠−𝜎2)

𝜎2− 𝜎1. Persamaan aljabar tersebut

akan menghasilkan tiga nilai 𝑥 yang

berbeda. Ketiga nilai 𝑥 tersebut akan ditunjukkan pada simulasi.

7

Pada saat kondisi 𝛽2 > 𝛽0 , 𝛽2 = 𝛽0 ,dan 𝛽2 < 𝛽0 nilai parameter yang

digunakan akan menghasilkan nilai eigen

𝜆1 > 0, 𝜆2 < 0 dan 𝜆3 < 0 sehingga dari

nilai-nilai eigen yang diperoleh kestabilan

titik tetap untuk 𝐸1 pada ketiga kondisi

tersebut bersifat sadel.


𝐸2 𝑥∗, 𝑦∗,𝑧∗

Kestabilan titik tetap 𝐸2 diperoleh

dengan mengamati nilai eigen dari matriks

𝐴3 , yaitu 𝜆3 + 𝑎1𝜆2 + 𝑎2𝜆 + 𝑎3 = 0 dengan

nilai 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 terdapat pada Lampiran 2.

Kemudian bentuk dari nilai eigen tersebut

akan diberikan nilai parameter untuk dapat

ditentukan jenis kestabilan dari titik tetap 𝐸2 .


Untuk mengetahui jenis kestabilan titik

tetap pada ketiga titik tetap yang terdapat

pada model 1, dapat dilihat pada Tabel 1.

Titik

Tetap

Kasus

𝛽2 > 𝛽0 𝛽2 = 𝛽0 𝛽2 < 𝛽0 𝐸0 Sadel Sadel Sadel

𝐸1 Sadel Sadel Sadel

𝐸2 Stabil Stabil Spiral

Stabil

Tabel 1 Kestabilan Titik Tetap

4.2 Analisis Model 2

Titik tetap pada model persamaan (3.3)

diperoleh dengan menentukan 𝑑𝑥

𝑑𝑡= 0,

𝑑𝑦

𝑑𝑡=

0, dan 𝑑𝑧

𝑑𝑡= 0, sehingga dari model

persamaan (3.3) diperoleh empat titik tetap

non-negatif, yaitu 𝐹0 0,0,0 , 𝐹1 0,0,𝑀 ,

𝐹2 𝑥, 𝑦 , 0 = 𝑥 ,1

σ2 𝑝 , 0 , dan

𝐹3 𝑥∗, 𝑦∗,𝑧∗ = 𝑥∗,

1

σ2 𝑞 ,

𝑀

𝑎 𝑎 + 𝛽2𝑥

∗

dengan

𝑝 =r𝑥 2

K− r − σ1 x

𝑞 = 𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎 𝑥∗2

− 𝑟 − σ1 − 𝛽1𝑀 𝑥∗


Selanjutnya akan dianalisis kestabilan

titik tetap yang terdapat pada model

persamaan (3.3). Untuk itu, persamaan (3.3)

akan dilinearkan ke dalam bentuk 𝑥 = 𝐴𝑥 , dengan 𝑥 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) dan 𝐴 merupakan

matriks Jacobi yang dapat digunakan untuk

menganalisis kestabilan titik tetap yang telah

diperoleh pada persamaan ini.

𝐴 =

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑧𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑧𝑑𝑧

𝑑𝑥

𝑑𝑧

𝑑𝑦

𝑑𝑧

𝑑𝑧

𝐴 =

ℎ 𝜎2 −𝛽1𝑥

𝜎1 𝑠 −2𝑠

𝐿𝑦 − 𝜎2 0

𝛽2𝑧 0 𝑎 −2𝑎

𝑀𝑧 + 𝛽2𝑥

(4.2)

dengan

ℎ = 𝑟 −2𝑟

𝐾𝑥 − 𝜎1 − 𝛽1𝑧

dimana 𝑥, 𝑦, 𝑧 merupakan suatu koordinat

titik tetap. Titik tetap yang telah diperoleh

dari model persamaan (3.3), yaitu 𝐹0 ,

𝐹1 , 𝐹2, dan 𝐹3 disubstitusikan ke dalam

matriks Jacobi di atas, sehingga akan

diperoleh matriks Jacobi dari setiap titik

tetap sebagai berikut :

𝐹1 0,0,0 = 𝑟 − 𝜎1 𝜎2 0

𝜎1 𝑠 − 𝜎2 00 0 𝑎

𝐹2 0,0,𝑀 = 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 𝜎2 0

𝜎1 𝑠 − 𝜎2 0𝛽2𝑀 0 −𝑎

𝐹3(𝑥 , 𝑦 ,0) =

𝑟 −2𝑟

𝐾𝑥 − 𝜎1 𝜎2 −𝛽1𝑥

𝜎1 𝑠 −2𝑠

𝐿𝑦 − 𝜎2 0

0 0 𝑎 + 𝛽2𝑥

𝐹4 𝑥∗,𝑦∗,𝑧∗ =

𝑢 𝜎2 −𝛽1𝑥∗

𝜎1 𝑠 −2𝑠

𝐿𝑦∗ − 𝜎2 0

𝛽2𝑧∗ 0 𝑡

dengan

𝑢 = 𝑟 −2𝑟

𝐾𝑥∗ − 𝜎1 − 𝛽1𝑧

∗

𝑡 = 𝑎 −2𝑎

𝑀𝑧∗ + 𝛽2𝑥

∗


𝐹0 0,0,0 Untuk memperoleh nilai eigen digunakan



matriks 𝐹0, yaitu

8

𝜆1 = 𝑎

𝜆2 =− 𝜎2 +𝜎1−𝑠−𝑟 + 𝜎2+𝜎1−𝑠−𝑟 2−4 1 𝑟𝑠−𝑟𝜎2−𝜎1𝑠

2

𝜆3 =

− 𝜎2 +𝜎1−𝑠−𝑟 − 𝜎2+𝜎1−𝑠−𝑟 2−4 1 𝑟𝑠−𝑟𝜎2−𝜎1𝑠

2


dan nilai parameter 𝑟 > 𝜎1 dan 𝑠 > 𝜎2,

maka 𝜆1 > 0, 𝜆2 > 0, dan 𝜆3 > 0. Dengan

demikian menurut jenis kestabilannya titik

tetap 𝐹0 bersifat tak stabil.


𝐹1 0,0,𝑀 Untuk memperoleh nilai eigen digunakan



matriks 𝐹1, yaitu

𝜆1 = −𝑎

𝜆2 =−𝑣+ 𝑣2−4𝑤

2

𝜆3 =−𝑣− 𝑣2−4𝑤

2

dengan

𝑣 = 𝛽1𝑀 + 𝜎2 + 𝜎1 − 𝑠− 𝑟

𝑤 = 𝛽1𝑀 𝜎2 − 𝛽1𝑀𝑠 + 𝑟𝑠 − 𝑟𝜎2 − 𝜎1𝑠


dan nilai parameter 𝑟 > 𝜎1 + 𝛽1𝑀 dan

𝑠 > 𝜎2 , maka 𝜆1 < 0, 𝜆2 > 0, dan 𝜆3 < 0

sehingga menurut jenis kestabilannya titik

tetap 𝐹1 bersifat sadel.


𝐹2 𝑥, 𝑦 , 0 Seperti pada model 1, dalam proses

mencari nilai eigen untuk titik tetap ini akan

menghasilkan suatu bentuk persamaan

aljabar 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 dengan

𝑎 =𝑠𝑟2

𝐿𝐾2𝜎22 , 𝑏 =

−2𝑠𝑟(𝑟−𝜎1)

𝐾𝐿𝜎22 , 𝑐 =

𝑠(𝑟−𝜎1)2

𝐿𝜎22 −

𝑟(𝑠−𝜎2 )

𝐾𝜎2, 𝑑 =

(𝑟−𝜎1)(𝑠−𝜎2)

𝜎2− 𝜎1. Persamaan

aljabar tersebut akan menghasilkan tiga nilai

𝑥 yang berbeda. Ketiga nilai 𝑥 tersebut akan

ditunjukkan pada simulasi.

Titik tetap 𝐹2 pada saat kondisi 𝛽2 > 𝛽0 ,𝛽2 = 𝛽0 , dan 𝛽2 < 𝛽0 , nilai parameter yang


𝜆1 > 0, 𝜆2 < 0, dan 𝜆3 < 0 sehingga dari

nilai-nilai eigen yang diperoleh titik tetap 𝐹2

pada ketiga kondisi tersebut bersifat sadel.


𝐹3 𝑥∗, 𝑦∗,𝑧∗

Dalam proses mencari nilai eigen untuk

titik tetap 𝐹3 juga akan menghasilkan suatu

bentuk persamaan aljabar 𝑎𝑥∗3 + 𝑏𝑥∗2 +

𝑐𝑥∗ + 𝑑 = 0 dengan 𝑎 =𝑠

𝐿𝜎22

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎

2

,

𝑏 =−2𝑠

𝐿𝜎22

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 , 𝑐 =

𝑠

𝐿𝜎22 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 2 −

𝑠−𝜎2

𝜎2

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎 ,

𝑑 =𝑠−𝜎2

𝜎2 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 − 𝜎1. Persamaan

aljabar tersebut akan menghasilkan tiga nilai

𝑥∗ yang berbeda. Ketiga nilai 𝑥∗ tersebut akan ditunjukkan pada simulasi.

Titik tetap 𝐹3 pada saat kondisi 𝛽2 >𝛽0 dan 𝛽2 = 𝛽0, nilai parameter yang


𝜆1 < 0, 𝜆2 < 0, dan 𝜆3 < 0 sehingga dari

nilai-nilai eigen yang diperoleh titik tetap 𝐹3

bersifat stabil. Sedangkan pada saat kondisi

𝛽2 < 𝛽0 , nilai parameter yang digunakan

akan menghasilkan nilai eigen 𝜆1 < 0,

𝜆2 dan 𝜆3 kompleks dengan bagian real

bernilai negatif sehingga dari nilai-nilai

eigen yang diperoleh titik tetap 𝐹3 pada

kondisi ini bersifat spiral stabil.


Untuk mengetahui jenis kestabilan titik

tetap pada keempat titik tetap pada kasus 2

dapat dilihat pada Tabel 2.

Titik

Tetap

Kasus

𝛽2 > 𝛽0 𝛽2 = 𝛽0 𝛽2 < 𝛽0

𝐹0 Titik tak

stabil

Titik tak

stabil

Titik tak

stabil

𝐹1 Sadel Sadel Sadel

𝐹2 Sadel Sadel Sadel

𝐹3 Stabil Stabil Spiral

Stabil

Tabel 2 Jenis Kestabilan Titik Tetap

4.3 Simulasi Model 1

>> Kasus 𝜷𝟐 > 𝜷𝟎 Nilai parameter yang digunakan dalam

kondisi ini adalah 𝑠 = 0.6, 𝑟 = 1, 𝐾 = 40,𝐿 = 40, 𝜎1 = 0.2,𝜎2 = 0.4,𝛽0 = 0.4,𝛽1 =0.7, 𝛽2 = 0.7, dengan nilai awal 𝑥 0 = 20,𝑦 0 = 10, dan 𝑧 0 = 10.

Dari nilai parameter yang digunakan

diperoleh titik tetap 𝐸0 = (0,0,0) yang

bersifat sadel serta titik tetap 𝐸2 =(0.5714285714, 13.88217026,15.00461924) yang memiliki jenis

kestabilan bersifat stabil, sedangkan untuk

9

titik tetap 𝐸1 akan menghasilkan suatu



𝐿𝐾2𝜎22 , 𝑏 =

−2𝑠𝑟 (𝑟−𝜎1 )

𝐾𝐿𝜎22 , 𝑐 =

𝑠(𝑟−𝜎1)2

𝐿𝜎22 −

𝑟(𝑠−𝜎2)


(𝑟−𝜎1)(𝑠−𝜎2)

𝜎2− 𝜎1 dalam proses pencarian

nilai titik tetapnya sehingga dari persamaan

aljabar tersebut akan diperoleh tiga nilai 𝑥 yang berbeda, yaitu

𝑥 1 = 23.68146140, 𝑥 2 = 43.62267459,dan 𝑥 3 = −3.304135986. Ketiga nilai 𝑥 tersebut jika disubstitusi ke dalam

persamaan 𝑦 akan menghasilkan nilai

𝑦 1 = −12.31219692, 𝑦 2 = 31.68825945,dan 𝑦 3 = 7.290604135. Terlihat bahwa

nilai 𝑦 yang dihasilkan untuk 𝑥 1 serta nilai

𝑥 2 yang dihasilkan bernilai negatif. Hal ini

tidak bersesuaian dengan asumsi bahwa

populasi mangsa yang berada pada kedua

zona bernilai positif. Sehingga pada kasus

𝛽2 > 𝛽0 terdapat tiga titik tetap, yaitu

𝐸0 , 𝐸1 , dan 𝐸2 dengan nilai titik tetap

𝐸1 = 43.62267459, 31.68825945, 0 yang memiliki jenis kestabilan berupa sadel.

Berikut akan diberikan gambar orbit 3

dimensinya pada sistem persamaan (3.2)

Gambar 4 Orbit Kestabilan di sekitar

(𝑥, 𝑦, 𝑧) dengan 𝛽2 = 0.7,dan 𝛽0 = 0.4.

Gambar 4 memperlihatkan pergerakan kurva

dimulai pada sudut bawah dari titik terendah

pada bidang (𝑥𝑧).

Gambar 5 Orbit kestabilan pada bidang

(𝑥, 𝑦) dengan 𝛽2 = 0.7,dan 𝛽0 = 0.4


(𝑥, 𝑧) dengan 𝛽2 = 0.7,dan 𝛽0 = 0.4


(𝑦, 𝑧) dengan 𝛽2 = 0.7,dan 𝛽0 = 0.4

Gambar 5, 6, dan 7 merupakan

pencerminan 2D dari Gambar 4. Dari hasil

pencerminan 2D ini dapat terlihat beberapa

titik tetapnya.

Berikut akan diperlihatkan grafik

dinamika dari populasi spesies mangsa pada

zona yang tidak dilindungi, spesies mangsa

pada zona yang dilindungi, dan populasi

pemangsa terhadap waktu (𝑡) pada saat

𝛽2 = 0.7 dan 𝛽0 = 0.4.

Gambar 8 Dinamika populasi dari ketiga

model terhadap 𝑡 dengan

𝛽2 = 0.7 dan 𝛽0 = 0.4.

0 10 20 30 40 50t0

5

10

15

20

25

30

x,y,z

10

Keterangan :

: Populasi mangsa pada zona yang

tidak dilindungi


dilindungi

: Populasi pemangsa

Pada Gambar 8 terlihat bahwa populasi

pemangsa yang ada lebih banyak

dibandingkan dengan populasi mangsa pada

kedua zona. Hal ini dapat membuat ancaman bagi mangsa untuk menuju kepunahan

khususnya untuk mangsa yang ada pada

zona tidak dilindungi karena mangsa pada

zona ini hidup secara bersamaan dengan

banyaknya pemangsa tersebut dan

merupakan sumber makanan bagi pemangsa.

Namun mangsa yang ada pada zona

dilindungi akan mengalami kenaikan

populasinya dikarenakan pada zona

dilindungi tidak terdapat pemangsa yang

hidup dalam zona ini.

>> Kasus 𝜷𝟐 = 𝜷𝟎 Nilai parameter yang digunakan dalam

kondisi ini adalah 𝑠 = 0.6, 𝑟 = 1, 𝐾 = 40,𝐿 = 40, 𝜎1 = 0.2, 𝜎2 = 0.4, 𝛽0 = 0.4,𝛽1 = 0.7, 𝛽2 = 0.4, dengan nilai awal

𝑥 0 = 20, 𝑦 0 = 10, dan 𝑧 0 = 10.



bersifat sadel serta titik tetap 𝐸2 = (1,14.26783617, 9.260192096) yang bersifat

stabil, sedangkan untuk titik tetap 𝐸1 yang

dalam proses mencari nilai titik tetapnya

akan menghasilkan suatu bentuk persamaan

aljabar 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 dengan

𝑎 =𝑠𝑟2

𝐿𝐾2𝜎22 , 𝑏 =

−2𝑠𝑟(𝑟−𝜎1)

𝐾𝐿𝜎22 , 𝑐 =

𝑠(𝑟−𝜎1)2

𝐿𝜎22 −

𝑟(𝑠−𝜎2 )


(𝑟−𝜎1 )(𝑠−𝜎2)

𝜎2− 𝜎1

sehingga diperoleh tiga nilai 𝑥 yang berbeda

nilainya, yaitu 𝑥 1 = 23.68146140, 𝑥 2 =43.62267459, dan 𝑥 3 = −3.304135986. Ketiga nilai 𝑥 tersebut jika disubstitusi ke

dalam persamaan 𝑦 akan menghasilkan nilai

𝑦 1 = −12.31219692, 𝑦 2 = 31.68825945,dan 𝑦 3 = 7.290604135. Terlihat bahwa



tidak bersesuaian dengan asumsi bahwa populasi mangsa yang berada pada kedua


𝛽2 = 𝛽0 terdapat tiga titik tetap, yaitu






(𝑥, 𝑦, 𝑧) dengan 𝛽2 = 0.4,dan 𝛽0 = 0.4

Gambar 9 memperlihatkan pergerakan kurva

dimulai pada sudut bawah dari titik terendah

pada bidang (𝑥𝑧).


(𝑥,𝑦) dengan 𝛽2 = 0.4,dan 𝛽0 = 0.4


(𝑥, 𝑧) dengan 𝛽2 = 0.4,dan 𝛽0 = 0.4

11


(𝑦, 𝑧) dengan 𝛽2 = 0.4,dan 𝛽0 = 0.4




titik tetapnya.



zona yang tidak dilindungi, spesies mangsa pada zona yang dilindungi, dan populasi


𝛽2 = 0.4 dan 𝛽0 = 0.4



𝛽2 = 0.4 dan 𝛽0 = 0.4.

Keterangan :


tidak dilindungi : Populasi mangsa pada zona yang

dilindungi

: Populasi pemangsa


pemangsa serta populasi mangsa pada zona

tidak dilindungi mengalami penurunan

populasi dari populasi awalnya. Namun

populasi mangsa pada zona tidak dilindungi

tidak akan mengalami kepunahan

dikarenakan pada kasus ini banyaknya

populasi pemangsa lebih sedikit dibandingkan dengan kasus sebelumnya. Hal

ini dikarenakan besarnya laju interaksi

antara mangsa dan pemangsa diperkecil

nilainya sehingga dapat membuat populasi

pemangsa mengalami penurunan populasi

dan dapat membuat populasi mangsa pada

kedua zona tetap dapat bertahan hidup.

>> Kasus 𝜷𝟐 < 𝜷𝟎 Nilai parameter yang digunakan dalam

kondisi ini adalah 𝑠 = 0.6, 𝑟 = 1, 𝐾 = 40,𝐿 = 40, 𝜎1 = 0.2, 𝜎2 = 0.4, 𝛽0 = 0.4,𝛽1 = 0.7, 𝛽2 = 0.1, dengan nilai awal

𝑥 0 = 20, 𝑦 0 = 10, dan 𝑧 0 = 10.



bersifat sadel serta titik tetap 𝐸2 = (4,16.55493132, 3.364990188) yang bersifat

spiral stabil, sedangkan untuk titik tetap 𝐸1

yang dalam proses mencari nilai titik

tetapnya akan menghasilkan suatu bentuk

persamaan aljabar 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0

dengan 𝑎 =𝑠𝑟2

𝐿𝐾2𝜎22 , 𝑏 =

−2𝑠𝑟 (𝑟−𝜎1)

𝐾𝐿𝜎22 , 𝑐 =

𝑠(𝑟−𝜎1 )2

𝐿𝜎22 −

𝑟(𝑠−𝜎2)


(𝑟−𝜎1)(𝑠−𝜎2)

𝜎2−

𝜎1 sehingga diperoleh tiga nilai 𝑥 yang

berbeda, yaitu 𝑥 1 = 23.68146140, 𝑥 2 =43.62267459, dan 𝑥 3 = −3.304135986. Ketiga nilai 𝑥 tersebut jika disubstitusi ke

dalam persamaan 𝑦 akan menghasilkan nilai

𝑦 1 = −12.31219692, 𝑦 2 = 31.68825945,dan 𝑦 3 = 7.290604135. Terlihat bahwa,




populasi mangsa yang berada pada kedua


𝛽2 < 𝛽0 terdapat tiga titik tetap, yaitu






(𝑥,𝑦, 𝑧) dengan 𝛽2 = 0.1,dan 𝛽0 = 0.4

0 10 20 30 40 50t0

5

10

15

20

x,y,z

12

Gambar 14 memperlihatkan pergerakan

kurva dimulai dari sudut bidang (𝑥𝑧).


(𝑥,𝑦) dengan 𝛽2 = 0.1,dan 𝛽0 = 0.4


(𝑥, 𝑧) dengan 𝛽2 = 0.1,dan 𝛽0 = 0.4


(𝑦, 𝑧) dengan 𝛽2 = 0.1,dan 𝛽0 = 0.4

Gambar 15, 16, dan 17 merupakan pencerminan 2D dari Gambar 14. Dari hasil


titik tetapnya.






𝛽2 = 0.1 dan 𝛽0 = 0.4



𝛽2 = 0.1 dan 𝛽0 = 0.4.

Keterangan :


tidak dilindungi


dilindungi

: Populasi pemangsa


pemangsa yang ada lebih sedikit

dibandingkan dengan populasi mangsa pada

kedua zona serta populasi pemangsa tersebut

akan mengalami penurunan populasi yang

cukup drastis dibandingkan dengan kedua

kasus sebelumnya. Hal ini dikarenakan

besarnya laju interaksi antara mangsa dan

pemangsa diperkecil lagi nilainya. Dengan

adanya populasi pemangsa yang lebih

sedikit dari populasi mangsanya dapat membuat populasi mangsa pada kedua zona

dapat tetap bertahan hidup, namun populasi

mangsa pada zona tidak dilindungi akan

tetap mengalami penurunan populasi dengan

adanya sedikit populasi pemangsa tersebut

karena pada model ini pemangsa sangat

bergantung dengan mangsanya.

4.4 Simulasi Model 2

>> Kasus 𝜷𝟐 > 𝜷𝟎 Nilai parameter yang digunakan dalam

keadaan ini adalah 𝑠 = 0.6, 𝑟 = 1, 𝑎 =0.01, 𝐾 = 40, 𝐿 = 40, 𝑀 = 1, 𝜎1 =0.2, 𝜎2 = 0.4, 𝛽0 = 0.4, 𝛽1 = 0.7, 𝛽2 =0.7 dengan nilai awal 𝑥 0 = 20, 𝑦 0 =10, dan 𝑧 0 = 10.


diperoleh titik tetap 𝐹0 = 0,0,0 yang

bersifat tak stabil, titik tetap 𝐹1 = 0,0,1 yang bersifat sadel, sedangkan untuk titik

tetap 𝐹2 dan 𝐹3 akan menghasilkan suatu

bentuk persamaan aljabar 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 +

0 10 20 30 40 50t0

5

10

15

20

x,y,z

13

𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 dalam proses pencarian nilai

titik tetapnya.

Untuk titik tetap 𝐹2 akan menghasilkan



𝐿𝐾2𝜎22 , 𝑏 =

−2𝑠𝑟 (𝑟−𝜎1 )

𝐾𝐿𝜎22 , 𝑐 =

𝑠(𝑟−𝜎1)2

𝐿𝜎22 −

𝑟(𝑠−𝜎2)


(𝑟−𝜎1)(𝑠−𝜎2)

𝜎2− 𝜎1 sehingga diperoleh tiga

nilai 𝑥 yang berbeda, yaitu 𝑥 1 =23.68146140, 𝑥 2 = 43.62267459, 𝑥 3 =−3.304135986. Ketiga nilai 𝑥 tersebut jika

disubstitusi ke dalam persamaan 𝑦 akan

menghasilkan 𝑦 1 = −12.31219692, 𝑦 2 =31.68825945, dan 𝑦 3 = 7.290604135. Terlihat bahwa nilai 𝑦 yang dihasilkan untuk

𝑥 1 serta nilai 𝑥 3 yang dihasilkan bernilai

negatif. Hal ini tidak bersesuaian dengan

asumsi bahwa populasi mangsa yang berada

pada kedua zona bernilai positif, sehingga

untuk nilai titik tetap 𝐹2 = 43.62267459,31.68825945, 0 memiliki jenis kestabilan

berupa sadel.




𝐿𝜎22

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎

2

,

𝑏 =−2𝑠

𝐿𝜎22

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 , 𝑐 =

𝑠

𝐿𝜎22 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 2 −

𝑠−𝜎2

𝜎2

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎 ,

dan 𝑑 =𝑠−𝜎2

𝜎2 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 − 𝜎1

sehingga akan diperoleh tiga nilai 𝑥∗ yang

berbeda, yaitu 𝑥∗1 = −0.006123077230,

𝑥∗2 = −0.3246674298, dan 𝑥∗

3 =0.3348700583. Ketiga nilai 𝑥∗ tersebut jika

disubstitusi ke dalam persamaan 𝑦∗ dan 𝑧∗

akan menghasilkan nilai 𝑦∗1

=

−0.006125891722, 𝑦∗2

=

13.00035006, dan 𝑦∗3

= 13.66019071

serta nilai 𝑧∗1 = 0.5713512873, 𝑧∗

2 =−21.72672009, 𝑧∗

3 = 24.44090408.

Terlihat bahwa nilai 𝑦∗ yang dihasilkan

untuk 𝑥∗1, nilai 𝑥∗

1 dan 𝑥∗2 yang

dihasilkan, serta nilai 𝑧∗2 bernilai negatif.

Hal ini tidak bersesuaian dengan asumsi

bahwa populasi mangsa pada kedua zona

dan populasi pemangsa bernilai positif,

sehingga dalam kasus 𝛽2 > 𝛽0 terdapat

empat titik tetap non-negatif, yaitu 𝐹0 , 𝐹1 ,𝐹2 , dan 𝐹3 dengan titik tetap 𝐹3 = 0.3348700583, 13.00035006,24.44090408 yang bersifat stabil.




(𝑥,𝑦, 𝑧) dengan 𝛽2 = 0.7,dan 𝛽0 = 0.4


kurva dimulai pada sudut bawah dari titik

terendah pada bidang (𝑥𝑧).


(𝑥,𝑦) dengan 𝛽2 = 0.7,dan 𝛽0 = 0.4


(𝑥, 𝑧) dengan 𝛽2 = 0.7,dan 𝛽0 = 0.4

14


(y, 𝑧) dengan 𝛽2 = 0.7,dan 𝛽0 = 0.4




titik tetapnya.






𝛽2 = 0.7 dan 𝛽0 = 0.4



𝛽2 = 0.7 dan 𝛽0 = 0.4.

Keterangan :


tidak dilindungi : Populasi mangsa pada zona yang

dilindungi

: Populasi pemangsa


pemangsa yang ada lebih banyak dari

populasi mangsa pada kedua zona. Populasi

pemangsa dalam model ini lebih banyak dari

populasi awal mangsa pada zona tidak

dilindungi sehingga dapat membuat populasi

mangsa pada zona tidak dilindungi dapat

berada pada ambang kepunahan dengan banyaknya populasi pemangsa tersebut.

Banyaknya populasi pemangsa dalam model

ini dikarenakan dengan adanya laju interaksi

antara mangsa dan pemangsa yang

diperbesar nilainya dan dikarenakan dengan

tidak adanya faktor kematian secara alami

dari model pemangsa tersebut.

>> Kasus 𝜷𝟐 = 𝜷𝟎

Nilai parameter yang digunakan dalam






bentuk persamaan aljabar 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 +𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 dalam proses pencarian nilai

titik tetapnya.




𝐿𝐾2𝜎22 , 𝑏 =

−2𝑠𝑟 (𝑟−𝜎1 )

𝐾𝐿𝜎22 , 𝑐 =

𝑠(𝑟−𝜎1)2

𝐿𝜎22 −

𝑟(𝑠−𝜎2)


(𝑟−𝜎1)(𝑠−𝜎2)










berupa sadel.




𝐿𝜎22

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎

2

,

𝑏 =−2𝑠

𝐿𝜎22

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 , 𝑐 =

𝑠

𝐿𝜎22 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 2 −

𝑠−𝜎2

𝜎2

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎 ,


𝜎2 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 − 𝜎1


berbeda, yaitu 𝑥∗1 = −0.01071621782,

𝑥∗2 = −0.4271721558, 𝑥∗



0 10 20 30 40 50t0

5

10

15

20

25

30

x,y,z

15

akan menghasilkan 𝑦∗1

= 0.01072484449,

𝑦∗2

= 12.89152134, dan 𝑦∗3

=

14.76442048 serta 𝑧∗1 = 0.5713512873,

𝑧∗2 = −16.08688623, dan 𝑧∗

3 =18.80099436. Terlihat bahwa, nilai 𝑥∗

1 dan

𝑥∗2 yang dihasilkan serta nilai 𝑧∗

2 yang

dihasilkan untuk 𝑥∗2 bernilai negatif. Hal ini


populasi mangsa yang berada pada zona

yang tidak dilindungi dan populasi

pemangsa bernilai positif, sehingga dalam

keadaan 𝛽2 = 𝛽0 terdapat empat titik tetap

non-negatif, yaitu 𝐹0 , 𝐹1 , 𝐹2 , dan 𝐹3

dengan nilai titik tetap

𝐹3 = 0.4450248589, 14.76442048,18.80099436 yang memiliki jenis

kestabilan bersifat stabil.




(𝑥,𝑦, 𝑧) dengan 𝛽2 = 0.4,dan 𝛽0 = 0.4





(𝑥,𝑦) dengan 𝛽2 = 0.4,dan 𝛽0 = 0.4


(𝑥, 𝑧) dengan 𝛽2 = 0.4,dan 𝛽0 = 0.4


(y, 𝑧) dengan 𝛽2 = 0.4,dan 𝛽0 = 0.4




titik tetapnya.






𝛽2 = 0.4 dan 𝛽0 = 0.4



𝛽2 = 0.4 dan 𝛽0 = 0.4.

0 10 20 30 40 50t0

5

10

15

20

25

x,y,z

16

Keterangan :


tidak dilindungi


dilindungi

: Populasi pemangsa


pemangsa lebih banyak dibandingkan

dengan populasi mangsa pada kedua zona.

Seperti pada kasus sebelumnya populasi pemangsa yang ada lebih banyak dari

populasi mangsanya, namun pada kasus ini

banyaknya populasi pemangsa lebih sedikit

dibandingkan dengan populasi pemangsa

yang ada pada kasus sebelumnya. Hal ini

dikarenakan laju interaksi antara mangsa dan

pemangsa diperkecil nilainya sehingga dapat

membuat populasi pemangsa mengalami

penurunan. Pada kasus ini dibuat nilai dari

laju kematian pemangsa sama dengan laju

interaksi antara mangsa dan pemangsanya dikarenakan ingin melihat populasi antara

mangsa dan pemangsa ketika laju kematian

pemangsa sama dengan laju interaksi antara

mangsa dan pemangsa.

>> Kasus 𝜷𝟐 < 𝜷𝟎

Nilai parameter yang digunakan dalam






bentuk persamaan aljabar 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 +𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 dalam proses pencarian nilai

titik tetapnya.




𝐿𝐾2𝜎22 , 𝑏 =

−2𝑠𝑟 (𝑟−𝜎1 )

𝐾𝐿𝜎22 , 𝑐 =

𝑠(𝑟−𝜎1)2

𝐿𝜎22 −

𝑟(𝑠−𝜎2)


(𝑟−𝜎1)(𝑠−𝜎2)










berupa sadel.




𝐿𝜎22

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎

2

,

𝑏 =−2𝑠

𝐿𝜎22

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 , 𝑐 =

𝑠

𝐿𝜎22 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 2 −

𝑠−𝜎2

𝜎2

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎 ,


𝜎2 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 − 𝜎1


berbeda, yaitu 𝑥∗1 = −0.04288896994,

𝑥∗2 = −0.8344948981, 𝑥∗



akan menghasilkan 𝑦∗1

= 0.04302782447,

𝑦∗2

= 12.43882794, 𝑦∗3

= 14.18481090

serta nilai 𝑧∗1 = 0.5711103006, 𝑧∗

2 =−7.344948981, 𝑧∗

3 = 10.05853619.

Terlihat bahwa nilai 𝑥∗1 dan 𝑥∗

2 yang

dihasilkan serta nilai 𝑧∗2 yang dihasilkan

untuk 𝑥∗2 bernilai negatif. Hal ini tidak

bersesuaian dengan asumsi bahwa populasi mangsa yang berada pada zona yang tidak

dilindungi dan populasi pemangsa bernilai

positif, sehingga dalam keadaan 𝛽2 < 𝛽0

terdapat empat titik tetap non-negatif, yaitu

𝐹0 , 𝐹1 , 𝐹2 , dan 𝐹3 dengan nilai titik tetap

𝐹3 = 0.9058536189,14.18481090,10.05853619 yang memiliki jenis

kestabilan bersifat spiral stabil. Berikut akan diberikan gambar orbit 3



(𝑥,𝑦, 𝑧) dengan 𝛽2 = 0.1,dan 𝛽0 = 0.4




17


(𝑥,𝑦) dengan 𝛽2 = 0.1,dan 𝛽0 = 0.4


(𝑥, 𝑧) dengan 𝛽2 = 0.1,dan 𝛽0 = 0.4


(y, 𝑧) dengan 𝛽2 = 0.1,dan 𝛽0 = 0.4




titik tetapnya.






𝛽2 = 0.1 dan 𝛽0 = 0.4



𝛽2 = 0.1 dan 𝛽0 = 0.4.

Keterangan :


tidak dilindungi


dilindungi

: Populasi pemangsa


pemangsa lebih banyak dari populasi

mangsa pada zona tidak dilindungi. Namun

pada kasus ini banyaknya populasi

pemangsa lebih sedikit dari populasi

pemangsa pada kedua kasus sebelumnya

sehingga dapat membuat mangsa pada kedua

zona tetap dapat bertahan hidup walaupun

banyaknya populasi mangsa pada zona tidak

dilindungi hanya sedikit dan mengalami

penurunan yang cukup drastis dari populasi awalnya.

0 10 20 30 40 50t0

5

10

15

20

x,y,z

V KESIMPULAN

Simulasi sistem mangsa-pemangsa pada

pemangsa yang hanya berada pada zona

tidak dilindungi digambarkan dengan

menggunakan bantuan software

Mathematica 7.0. Secara keseluruhan

dinamika sistem mangsa-pemangsa ini dapat

dilihat dari besarnya laju interaksi antara

mangsa dan pemangsa. Dari hasil simulasi

yang diperoleh dengan adanya perubahan

terhadap besarnya laju interaksi antara mangsa dan pemangsa dapat dilihat

dinamika populasi mangsa pada kedua zona

ketika terdapat pemangsa pada zona tidak

dilindungi, dinamika populasi pemangsa

terhadap perubahan laju interaksi antara

mangsa dan pemangsa, dan perbandingan

dari model pemangsa yang terdapat dalam

kedua model yang dibahas.

Dinamika populasi mangsa yang berada

pada kedua zona ketika terdapat pemangsa

pada zona tidak dilindungi akan tetap

bertahan hidup. Namun pada saat besarnya laju interaksi antara mangsa dan pemangsa

diperbesar nilainya dapat membuat

banyaknya populasi mangsa pada zona tidak

dilindungi mengalami penurunan populasi

dikarenakan mangsa pada zona ini hidup

secara bersamaan dengan banyaknya

pemangsa tersebut dan merupakan sumber

makanan bagi pemangsa. Sedangkan untuk

populasi mangsa pada zona dilindungi akan

terus mengalami peningkatan populasi. Hal

ini dikarenakan dengan tidak adanya pemangsa yang hidup pada zona dilindungi.

Dinamika populasi pemangsa pada kedua

model umumnya memiliki populasi yang

lebih banyak dibandingkan dengan populasi

mangsa pada kedua zona ketika laju

interaksi antara mangsa dan pemangsa

diperbesar nilainya sehingga dapat membuat

ancaman bagi mangsa untuk berada pada

ambang kepunahan. Sedangkan ketika laju


diperkecil nilainya, maka populasi pemangsa akan mengalami penurunan populasi dari

populasi awal pemangsa. Hal ini dapat

membuat populasi mangsa pada kedua zona

dapat tetap bertahan hidup.

Perbandingan model pemangsa yang

didapat dari kedua model adalah pada model

pertama populasi pemangsa yang ada lebih

sedikit dibandingkan dengan model kedua

sehingga dapat membuat populasi mangsa

pada kedua zona tetap bertahan hidup,

sedangkan pada model kedua populasi

mangsa pada zona tidak dilindungi dapat berada pada ambang kepunahan ketika laju


diperbesar nilainya. Ketika besarnya laju


diperkecil dapat membuat populasi

pemangsa mengalami penurunan populasi

dari populasi awal pemangsa tersebut.

Namun penurunan populasi pemangsa pada

model pertama lebih besar dibandingkan

dengan model kedua .

DAFTAR PUSTAKA

Anton H. 1995. Aljabar Linear Elementer.

Ed ke-5. Terjemahan Pantur Silaban dan

I Nyoman Susila. Erlangga, Jakarta.

Dubey B. 2006. A Prey-Predator Model

with a Reserved Area. Mathematics

Group, Birla Institute of Technology and

Science. Vol 12: 479-494.

Farlow SJ. 1994. An Introduction to

Differential Equation and Their

Application. Mc Graw-Hill, New York.

Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamics

and Chaos With Application to Physics,

Biology, Chemistry, and Engineering.

Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusets.

Tu PNV. 1994. Dynamical System, An

Introduction with Application in

Economics and Biology. Springer-

Verlag. Heidelberg, Germany.

Verhulst F. 1990. Nonlinear Differential

Equation and Dynamical System.

Springer-Verlag. Heidelberg, Germany.

21

Lampiran 1. Penentuan Titik Tetap Model 1

Model persamaan sistem mangsa-pemangsa pada persamaan (3.2) :

𝒅𝒙

𝒅𝒕= 𝒓𝒙 𝟏 −

𝒙

𝑲 − 𝝈𝟏𝒙 + 𝝈𝟐𝒚 − 𝜷𝟏𝒙𝒛… (𝟏)

𝒅𝒚

𝒅𝒕= 𝒔𝒚 𝟏 −

𝒚

𝑳 + 𝝈𝟏𝒙 − 𝝈𝟐𝒚… (𝟐)

𝒅𝒛

𝒅𝒕= 𝜷𝟐𝒙𝒛 − 𝜷𝟎𝒛… (𝟑)

𝒙 𝟎 ≥ 𝟎, 𝒚 𝟎 ≥ 𝟎, 𝒛(𝟎) ≥ 𝟎.

Untuk menentukan titik tetap dari persamaan (3.2) maka persamaan tersebut dibuat sama dengan

nol, yaitu 𝑑𝑥

𝑑𝑡= 0,

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 0, dan

𝑑𝑧

𝑑𝑡= 0, sehingga diperoleh tiga titik tetap yang non − negatif.

Dari persamaan 3 akan diperoleh nilai 𝑧 dan 𝑥 sebagai berikut

𝑑𝑧

𝑑𝑡= 0

𝛽2𝑥𝑧 − 𝛽0𝑧 = 0

𝑧 𝛽2𝑥 − 𝛽0 = 0

𝑧 = 0 atau 𝑥∗ =𝛽0

𝛽2

dengan mensubstitusikan 𝑥∗ =𝛽0

𝛽2 ke dalam persamaan (2), maka akan diperoleh

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 0

𝑠𝑦 1 −𝑦

𝐿 + 𝜎1𝑥 − 𝜎2𝑦 = 0

𝑠𝑦 −𝑠𝑦2

𝐿+ 𝜎1

𝛽0

𝛽2 − 𝜎2𝑦 = 0

𝑠

𝐿𝑦2 − 𝑠 − 𝜎2 𝑦 − 𝜎1

𝛽0

𝛽2 = 0

dengan menggunakan rumus ABC didapatkan

𝑎 =𝑠

𝐿, 𝑏 = − 𝑠 − 𝜎2 , 𝑐 = −𝜎1

𝛽0

𝛽2

𝑠−𝜎2 + −(𝑠−𝜎2) 2 +4𝑠𝛽 0𝜎1

𝐿𝛽 22𝑠

𝐿

= 0

𝐿

2𝑠 𝑠 − 𝜎2 + 𝑠 − 𝜎2

2 +4𝑠𝛽0𝜎1

𝐿𝛽2 = 0

1

2𝑠 𝐿 𝑠 − 𝜎2 + 𝐿2 𝑠 − 𝜎2

2 +4𝑠𝐿𝛽0𝜎1

𝛽2 = 0

1

2𝑠𝛽2 𝐿𝛽2 𝑠 − 𝜎2 + 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 = 0

𝑦∗ =1

2𝑠𝛽2 𝐿𝛽2 𝑠 − 𝜎2 + 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1

Substitusi nilai 𝑦∗ dan 𝑥∗ ke dalam persamaan (1)

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 0

𝑟𝑥 1 −𝑥

𝐾 − 𝜎1𝑥 + 𝜎2𝑦 − 𝛽1𝑥𝑧 = 0

𝑟

𝛽0

𝛽2 −

𝑟𝛽02

𝐾𝛽22 −

𝜎1𝛽 0

𝛽2+ 𝜎2𝑦

∗ −𝛽1𝛽0

𝛽2𝑧 = 0

𝛽1𝛽0

𝛽2𝑧 =

𝑟𝛽02

𝐾𝛽22 +

𝛽0

𝛽2 𝜎1 − 𝑟 − 𝜎2𝑦

∗ = 0

𝑧∗ =

𝛽2


∗ +𝛽0

𝛽2 𝑟 − 𝜎1 −

𝑟𝛽02

𝐾𝛽22

22

Sehingga dari perhitungan di atas diperoleh satu titik tetap yang pertama, yaitu 𝑥∗, 𝑦∗,𝑧∗ =

𝛽0

𝛽2,

1

2𝑠𝛽2 𝐿𝛽2 𝑠 − 𝜎2 + 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 ,

𝛽2


∗ +𝛽0

𝛽2 𝑟 − 𝜎1 −

𝑟𝛽02

𝐾𝛽22

Subsitusi 𝑧 = 0, maka persamaan (3.2) akan menjadi 𝑑𝑥


𝑥

𝐾 − 𝜎1𝑥 + 𝜎2𝑦… (4)

𝑑𝑦


𝑦

𝐿 + 𝜎1𝑥 − 𝜎2𝑦… (5)

dari persamaan (4) didapatkan

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 0

𝑟𝑥 1 −𝑥

𝐾 − 𝜎1𝑥 + 𝜎2𝑦 = 0

𝑦 =1

𝜎2 𝑟𝑥 2

𝐾− (𝑟 − 𝜎1)𝑥

Substitusi nilai 𝑦 ke dalam persamaan (5)

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 0

𝑠𝑦 1 −𝑦

𝐿 + 𝜎1𝑥 − 𝜎2𝑦 = 0

𝑠 1

σ2

rx2

K− r − σ1 x −

𝑠 1

σ 2 rx 2

K− r−σ1 x

2

𝐿+ σ1x − σ2

1

σ2

1

σ2

rx2

K− r − σ1 x = 0

𝑠

σ2

rx2

K− r − σ1 x −

𝑠

𝐿σ22 𝑟2𝑥4

𝐾− 2

𝑟𝑥2

𝐾 𝑟 − σ1 𝑥 + r − σ1

2𝑥2 + σ1x − rx2

K−

r − σ1 x = 0

𝑠𝑟

𝐾σ2𝑥2 −

𝑠 r−σ1

σ2𝑥 −

𝑠𝑟2

𝐿𝐾2σ22 𝑥4 +

2𝑠𝑟 r−σ1

𝐾𝐿σ22 𝑥3 −

𝑠 r−σ1 2

𝐿σ22 𝑥2 + σ1x −

r

Kx2 + r − σ1 x = 0

−

𝑠𝑟2

𝐿𝐾2σ22 𝑥4 +

2𝑠𝑟 r−σ1

𝐾𝐿σ22 𝑥3 +

r

K

s

σ2− 1 −

𝑠 r−σ1 2

𝐿σ22

x2 + r − σ1 −𝑠 r−σ1

σ2+ σ1 x = 0

−𝑠𝑟2

𝐿𝐾2σ22 𝑥4 +

2𝑠𝑟 r−σ1


r(s−σ2)

Kσ2−

𝑠 r−σ1 2

𝐿σ22

x2 + r−σ1 (σ2−s)

σ2+ σ1 x = 0

𝑠𝑟2

𝐿𝐾2σ22 𝑥4 −

2𝑠𝑟 r−σ1


𝑠 r−σ1 2

𝐿σ22 −

r(s−σ2)

Kσ2 x2 +

r−σ1 (s−σ2)

σ2+ σ1 x = 0

𝑥 𝑠𝑟2

𝐿𝐾2σ22 𝑥3 −

2𝑠𝑟 r−σ1


𝑠 r−σ1 2

𝐿σ22 −

r(s−σ2)

Kσ2 x +

r−σ1 (s−σ2)

σ2+ σ1 = 0

𝑥 = 0 atau 𝑠𝑟2

𝐿𝐾2σ22 𝑥 3 −

2𝑠𝑟 r−σ1

𝐾𝐿σ22 𝑥 2 +

𝑠 r−σ1 2

𝐿σ22 −

r(s−σ2)

Kσ2 x +

r−σ1 (s−σ2)

σ2+ σ1 = 0

Persamaan di atas akan membentuk suatu persamaan aljabar 𝑎x 3 + 𝑏x 2 + 𝑐x + 𝑑 = 0, dengan

𝑎 =𝑠𝑟2

𝐿𝐾2σ22 , 𝑏 = −

2𝑠𝑟 r−σ1

𝐾𝐿σ22 , 𝑐 =

𝑠 r−σ1 2

𝐿σ22 −

r(s−σ2)

Kσ2 , dan 𝑑 =

r−σ1 (s−σ2)

σ2− σ1

dengan mensubstitusi nilai 𝑥 = 0 ke dalam persamaan 𝑦 , maka akan diperoleh titik tetap yang

kedua, yaitu 𝐸0 𝑥, 𝑦 ,𝑧 = 0,0,0 . Namun, jika bentuk persamaan aljabar tersebut disubstitusi ke

dalam persamaan 𝑦 maka akan membentuk titik tetap 𝐸1(𝑥, 𝑦 , 0). Lebih jelasnya telah dijelaskan

pada simulasi. Dari perhitungan di atas dapat diperoleh dua titik tetap yang kedua dan ketiga, yaitu

𝐸0 0,0,0 dan 𝐸1 𝑥, 𝑦 , 0 . Jadi, pada kasus 1 terdapat tiga titik tetap non-negatif yaitu

𝐸0 , 𝐸1 , 𝐸2 = 0,0,0 , 43.62267459, 31.68825945, 0 , 𝛽0

𝛽2,

1

2𝑠𝛽2 𝐿𝛽2 𝑠 − 𝜎2 +

𝛽22𝐿2 𝑠 − 𝜎2

2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 ,

𝛽2


∗ +𝛽0

𝛽2 𝑟 − 𝜎1 −

𝑟𝛽02

𝐾𝛽22

23

Lampiran 2. Penentuan Nilai Eigen Model 1

𝐴 =

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑧𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑧𝑑𝑧

𝑑𝑥

𝑑𝑧

𝑑𝑦

𝑑𝑧

𝑑𝑧

=

𝑟 −

2𝑟

𝐾𝑥 − 𝜎1 − 𝛽1𝑧 𝜎2 −𝛽1𝑥

𝜎1 𝑠 −2𝑠

𝐿𝑦 − 𝜎2 0

𝛽2𝑧 0 𝛽2𝑥 − 𝛽0

Pelinearan pada titik tetap 𝐸0 0,0,0 akan menghasilkan matriks sebagai berikut

𝐴 0,0,0 = 𝑟 − 𝜎1 𝜎2 0

𝜎1 𝑠 − 𝜎2 00 0 −𝛽0

kemudian dicari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0

𝑟 − 𝜎1 − 𝜆 𝜎2 0

𝜎1 𝑠 − 𝜎2 − 𝜆 00 0 −𝛽0 − 𝜆

= 0

𝑟 − 𝜎1 − 𝜆 𝑠 − 𝜎2 − 𝜆 −𝛽0 − 𝜆 − 𝜎2 𝜎1 −𝛽0 − 𝜆 = 0

−𝛽0 − 𝜆 𝑟 − 𝜎1 − 𝜆 𝑠 − 𝜎2 − 𝜆 − 𝜎2𝜎1 = 0

−𝛽0 − 𝜆 𝑟𝑠 − 𝑟𝜎2 − 𝑟𝜆 − 𝜎1𝑠 + 𝜎2𝜎1 + 𝜎1𝜆 − 𝑠𝜆 + 𝜎2𝜆 + 𝜆2 − 𝜎2𝜎1 = 0

−𝛽0 − 𝜆 𝜆2 + 𝜆 𝜎2 + 𝜎1 − 𝑟 − 𝑠 − 𝜎2𝑟 + 𝜎1𝑠 − 𝑟𝑠 = 0

Jadi, diperoleh nilai eigen sebagai berikut :

𝜆1 = −𝛽0 < 0

𝜆2 =− 𝜎2+𝜎1−𝑟−𝑠 + 𝜎2+𝜎1−𝑟−𝑠 2+4(1) 𝜎2𝑟+𝜎1𝑠−𝑟𝑠

2> 0

𝜆3 =− 𝜎2+𝜎1−𝑟−𝑠 − 𝜎2+𝜎1−𝑟−𝑠 2+4(1) 𝜎2𝑟+𝜎1𝑠−𝑟𝑠

2> 0

Pelinearan pada titik tetap 𝐸1 𝑥 , 𝑦 , 0 .

>> Pada kasus 𝛽2 > 𝛽0

Untuk mencari nilai eigen pada saat kondisi ini, dapat menggunakan nilai titik

tetap yang telah diperoleh pada simulasi dengan nilai parameter 𝑠 = 0.6, 𝑟 = 1, 𝐾 =40, 𝐿 = 40, 𝜎1 = 0.2, 𝜎2 = 0.4, 𝛽0 = 0.4, 𝛽1 = 0.7, 𝛽2 = 0.7, yaitu titik tetap

𝐸1 43.62267459, 31.68825945, 0 sehingga akan didapatkan matriks Jacobi

𝐴(43.62267459 ,31.68825945 ,0) = −1.381133730 0.4 −30.53587221

0.2 −0.7506477835 00 0 30.13587221

kemudian mencari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik 𝐴 −𝜆𝐼 = 0

−1.381133730 − 𝜆 0.4 −30.53587221

0.2 −0.7506477835 − 𝜆 00 0 30.13587221 − 𝜆

= 0

−1.381133730 − 𝜆 −0.7506477835 − 𝜆 30.13587221 − 𝜆 −

0.4 0.2 30.13587221 − 𝜆 = 0

30.13587221 − 𝜆 𝜆2 + 2.131781514 𝜆 + 0.956744973 = 0

24


𝜆1 = 30.13587221 > 0

𝜆2 =−2.131781514 + (2.131781514 )2−4(0.956744973 )

2= −0.6423602004 < 0

𝜆3 =−2.131781514 − (2.131781514 )2−4(0.956744973 )

2= −1.489421313 < 0

>> Pada kasus 𝛽2 = 𝛽0




𝐴(43.62267459 ,31.68825945 ,0) = −1.381133730 0.4 −30.53587221

0.2 −0.7506477835 00 0 17.04906984


−1.381133730 − 𝜆 0.4 −30.53587221

0.2 −0.7506477835 − 𝜆 00 0 17.04906984 − 𝜆

= 0

−1.381133730 − 𝜆 −0.7506477835 − 𝜆 17.04906984 − 𝜆 −

0.4 0.2 17.04906984 − 𝜆 = 0

17.04906984 − 𝜆 𝜆2 + 2.131781514 𝜆 + 0.956744973 = 0


𝜆1 = 17.04906984 > 0

𝜆2 =−2.131781514 + (2.131781514 )2−4(0.956744973 )

2= −0.6423602004 < 0

𝜆3 =−2.131781514 − (2.131781514 )2−4(0.956744973 )

2= −1.489421313 < 0

>> Pada kasus 𝛽2 < 𝛽0




𝐴(43.62267459 ,31.68825945 ,0) = −1.381133730 0.4 −30.53587221

0.2 −0.7506477835 00 0 3.962267459


−1.381133730 − 𝜆 0.4 −30.53587221

0.2 −0.7506477835 − 𝜆 00 0 3.962267459 − 𝜆

= 0

25

−1.381133730 − 𝜆 −0.7506477835 − 𝜆 3.962267459 − 𝜆 −

0.4 0.2 3.962267459 − 𝜆 = 0

3.962267459 − 𝜆 𝜆2 + 2.131781514 𝜆 + 0.956744973 = 0


𝜆1 = 3.962267459 > 0

𝜆2 =−2.131781514 + (2.131781514 )2−4(0.956744973 )

2= −0.6423602004 < 0

𝜆3 =−2.131781514 − (2.131781514 )2−4(0.956744973 )

2= −1.489421313 < 0

Pelinearan pada titik tetap 𝐸2 𝑥∗,𝑦∗,𝑧∗ akan menghasilkan matriks sebagai berikut

𝐴 𝑥∗,𝑦∗,𝑧∗ =

𝑟 −2𝑟

𝐾𝑥∗ − 𝜎1 − 𝛽1𝑧

∗ 𝜎2 −𝛽1𝑥∗

𝜎1 𝑠 −2𝑠

𝐿𝑦∗ − 𝜎2 0

𝛽2𝑧∗ 0 𝛽2𝑥∗ − 𝛽0


𝑟 −2𝑟

𝐾

𝛽0

𝛽2− 𝜎1 − 𝛽1

𝛽2

𝛽1𝛽0 𝑟𝛽0

2

𝐾𝛽22 +

𝛽0

𝛽2 𝜎1 − 𝑟 − 𝜎2𝑦

∗ 𝜎2 −𝛽

1𝛽0

𝛽2

𝜎1 𝑠 − 𝑦∗ − 𝜎2 0

𝛽2𝛽2

𝛽1𝛽0 𝑟𝛽0

2

𝐾𝛽22 +

𝛽0

𝛽2 𝜎1 − 𝑟 − 𝜎2𝑦

∗ 0 𝛽2𝛽0

𝛽2− 𝛽0

= 0

dengan menggantikan nilai 𝑦∗ =1

2𝑠𝛽2

𝐿𝛽2 𝑠− 𝜎2 + 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 pada matriks

Jacobi di atas, maka akan didapatkan

𝑚 𝜎2 −𝛽1𝛽0

𝛽2

𝜎1−1

𝐿𝛽2 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 − 𝜆 0

𝑛 0 −𝜆

= 0

dengan

𝑚 =−𝑟𝛽0

𝐾𝛽2−

𝐿𝜎2𝛽2 𝑠−𝜎2

2𝑠𝛽0−

𝜎2

2𝑠𝛽0 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 − 𝜆

𝑛 = 𝛽2

𝛽1

𝐿𝛽2𝜎2 𝑠−𝜎2

2𝑠𝛽0+

𝜎2

2𝑠𝛽0 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 + 𝑟 − 𝜎1 −

𝑟𝛽0

𝐾𝛽1

−𝑟𝛽0

𝐾𝛽2−


2𝑠𝛽0−

𝜎2

2𝑠𝛽0 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 −

𝜆 −1

𝐿𝛽2 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 − 𝜆 −𝜆 −

−𝜆𝜎2𝜎1 + −𝛽1𝛽0

𝛽2

−1

𝐿𝛽2 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 − 𝜆

𝛽2

𝛽1


2𝑠𝛽0+

𝜎2

2𝑠𝛽0 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 + 𝑟 − 𝜎1 −

𝑟𝛽0

𝐾𝛽1 + 𝜎2𝜎1𝜆 = 0

26

−1

𝐿𝛽2 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 − 𝜆 𝜆2 +

𝜆 𝑟𝛽0

𝐾𝛽2+


2𝑠𝛽0+

𝜎2

2𝑠𝛽0 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 +

𝛽1𝛽0

𝛽2

𝛽2

𝛽1


2𝑠𝛽0+

𝜎2

2𝑠𝛽0 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 + 𝑟 − 𝜎1 −

𝑟𝛽0

𝐾𝛽1 + 𝜎2𝜎1𝜆 = 0

−1

𝐿𝛽2 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 𝜆2 −

1

𝐿𝛽2 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 𝜆

𝑟𝛽0

𝐾𝛽2+


2𝑠𝛽0+

𝜎2

2𝑠𝛽0 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1

−𝐿𝛽2𝜎2 𝑠−𝜎2

2𝑠𝐿𝛽2 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 −

𝜎2


2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1

2

−

𝛽0

𝐿𝛽2 𝑟 − 𝜎1 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 +

𝑟𝛽02

𝐾𝐿𝛽22 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 −

𝜆3 − 𝜆2 𝑟𝛽0

𝐾𝛽2+


2𝑠𝛽0+

𝜎2

2𝑠𝛽0 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 −


2𝑠𝜆 −

𝜎2

2𝑠 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 𝜆 − 𝛽0 𝑟 − 𝜎1 𝜆 +

𝑟𝛽02

𝐾𝛽1𝜆 + 𝜎2𝜎1𝜆 = 0

𝜆3 +

𝜆2 1

𝐿𝛽2 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 +

𝑟𝛽0

𝐾𝛽2+


2𝑠𝛽0+

𝜎2

2𝑠𝛽0 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1

+ 𝜆 1

𝐿𝛽2 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1

𝑟𝛽0

𝐾𝛽2+


2𝑠𝛽0+

𝜎2

2𝑠𝛽0 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1

+𝐿𝛽2𝜎2 𝑠−𝜎2

2𝑠+

𝜎2

2𝑠 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 + 𝛽0 𝑟 − 𝜎1 −

𝑟𝛽02

𝐾𝛽1− 𝜎2𝜎1 +



2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 +

𝜎2


2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1

2

+

𝛽0

𝐿𝛽2 𝑟 − 𝜎1 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 −

𝑟𝛽02


2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 = 0

dari penjelasan di atas didapatkan bentuk nilai eigen 𝜆3 + 𝑎1𝜆2 + 𝑎2𝜆 + 𝑎3, sehingga

diperoleh nilai

𝑎1 =1

𝐿𝛽2

𝛽22𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 +

𝑟𝛽0

𝐾𝛽2+


2𝑠𝛽0+

𝜎2

2𝑠𝛽0

𝛽22𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1

𝑎2 = 1

𝐿𝛽2

𝛽22𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1

𝑟𝛽0

𝐾𝛽2+


2𝑠𝛽0+

𝜎2

2𝑠𝛽0

𝛽22𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 +


2𝑠+

𝜎2

2𝑠 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 + 𝛽0 𝑟 − 𝜎1 −𝑟𝛽0

2

𝐾𝛽1− 𝜎2𝜎1

𝑎3 =𝜎2 𝑠−𝜎2

2𝑠 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 +𝜎2


2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1

2

+

𝛽0

𝐿𝛽2 𝑟 − 𝜎1 𝛽2

2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1 −𝑟𝛽0

2


2𝐿2 𝑠 − 𝜎2 2 + 4𝑠𝐿𝛽0𝛽2𝜎1

27

>> Pada kasus 𝛽2 > 𝛽0

Untuk mengetahui jenis kestabilan titik tetap 𝐸2 pada kasus 𝛽2 > 𝛽0 dapat

menggunakan nilai parameter 𝑠 = 0.6, 𝑟 = 1, 𝐾 = 40, 𝐿 = 40, 𝜎1 = 0.2, 𝜎2 =0.4, 𝛽0 = 0.4, 𝛽1 = 0.7, 𝛽2 = 0.7 yang kemudian akan disubstitusi ke dalam nilai

𝑎1 , 𝑎2 , dan 𝑎3 yang telah diperoleh di atas. Dari nilai parameter tersebut akan diperoleh

nilai eigen 𝜆3 + 9.948270002𝜆2 + 6.227889581𝜆 + 0.909433425 = 0 dan dengan menggunakan bantuan software Maple13 akan diperoleh nilai eigen

𝜆1 = −9.288302494, 𝜆2 = −0.4347577316, dan 𝜆3 = −0.2252097807.

>> Pada kasus 𝛽2 = 𝛽0

Untuk mengetahui jenis kestabilan titik tetap 𝐸2 pada kasus 𝛽2 = 𝛽0 dapat



nilai eigen 𝜆3 + 5.960169552𝜆2 + 3.824267271𝜆 + 0.591261633 = 0 dan dengan

menggunakan bantuan software Maple13 𝜆1 = −0.2435459581, 𝜆2 = −0.4620177120,dan 𝜆3 = −5.254605882.

>> Pada kasus 𝛽2 < 𝛽0

Untuk mengetahui jenis kestabilan titik tetap 𝐸2 pada kasus 𝛽2 < 𝛽0 dapat



nilai eigen 𝜆3 + 2.052141071𝜆2 + 1.516129034𝜆 + 0.279500873 = 0 dan dengan

menggunakan bantuan software Maple13 akan diperoleh 𝜆1 = −0.3632171349, 𝜆2 =−0.8444619684 + 0.2374837761 I, dan 𝜆3 = −0.8444619684 − 0.2374837761 I.

28

Lampiran 3. Penentuan Titik Tetap Model 2

Model persamaan sistem mangsa-pemangsa pada persamaan (3.3) adalah sebagai berikut :

𝒅𝒙


𝒙

𝑲 − 𝝈𝟏𝒙 + 𝝈𝟐𝒚 − 𝜷𝟏𝒙𝒛) … (𝟏)

𝒅𝒚


𝒚

𝑳 + 𝝈𝟏𝒙 − 𝝈𝟐𝒚… (𝟐)

𝒅𝒛

𝒅𝒕= 𝒂𝒛 𝟏 −

𝒛

𝑴 + 𝜷𝟐𝒙𝒛… (𝟑)

𝒙 𝟎 ≥ 𝟎, 𝒚 𝟎 ≥ 𝟎, 𝒛(𝟎) ≥ 𝟎

Untuk menentukan titik tetap dari persamaan (3.3) di atas, maka persamaan tersebut akan dibuat

sama dengan nol, yaitu 𝑑𝑥

𝑑𝑡= 0,

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 0, dan 𝑑𝑧

𝑑𝑡= 0.

Dari persamaan (3) akan didapat nilai 𝑧 sebagai berikut 𝑑𝑧

𝑑𝑡= 0

𝑎𝑧 1 −𝑧

𝑀 + 𝛽2𝑥𝑧 = 0

𝑧 𝑎 −𝑎𝑧

𝑀+ 𝛽2𝑥 = 0

𝑧∗ = 0 atau 𝑧∗ =𝑀

𝑎 𝑎 + 𝛽2𝑥

Substitusi nilai 𝑧∗ =𝑀

𝑎 𝑎 + 𝛽2𝑥 ke dalam persamaan (1)

𝑟𝑥 −𝑟𝑥2

𝐾− 𝜎1𝑥 + 𝜎2𝑦 − 𝛽1𝑥𝑧 = 0

𝑟𝑥 −

𝑟𝑥2

𝐾− 𝜎1𝑥 + 𝜎2𝑦 − 𝛽1𝑥

𝑀

𝑎 𝑎 + 𝛽2𝑥 = 0

𝑟𝑥 −𝑟𝑥2

𝐾− 𝜎1𝑥 + 𝜎2𝑦 − 𝛽1𝑥𝑀 − 𝛽1𝛽2

𝑀

𝑎𝑥2 = 0

𝜎2𝑦 = 𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎 𝑥∗2 + 𝛽1𝑀 + 𝜎1 − 𝑟 𝑥∗

𝑦∗ =1

𝜎2

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎 𝑥∗2 − 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 𝑥∗

Substitusi nilai 𝑦∗ ke dalam persamaan (2)

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 0

𝑠𝑦 −𝑠𝑦2

𝐿+ 𝜎1𝑥 − 𝜎2𝑦 = 0

𝑠 1

𝜎2

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎 𝑥2 − 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 𝑥 −

𝑠

𝐿

1

𝜎2

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎 𝑥2 − 𝑟 − 𝜎1 −

𝛽1𝑀 𝑥 2

+ 𝜎1𝑥 − 𝜎2 1

𝜎2

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎 𝑥2 − 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 𝑥 = 0

𝑠

𝜎2

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎 𝑥2 −

𝑠

𝜎2 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 𝑥 −

𝑠

𝐿𝜎22

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎

2

𝑥4 − 2 𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎 𝑟 − 𝜎1 −

𝛽1𝑀 𝑥3 + 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 2𝑥2 + 𝜎1𝑥 − 𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎 𝑥2 + 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 𝑥 = 0

−

𝑠

𝐿𝜎22

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎

2

𝑥4 + 2𝑠

𝐿𝜎22

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 𝑥3 +

𝑠

𝜎2

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎 −

𝑠

𝐿𝜎22 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 2 −

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎 𝑥2 + 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 −

𝑠

𝜎2 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 +

𝜎1 𝑥 = 0

−

𝑠

𝐿𝜎22

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎

2

𝑥4 + 2𝑠

𝐿𝜎22

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 𝑥3 +

𝑠−𝜎2

𝜎2

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎 −

𝑠

𝐿𝜎22 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 2 𝑥2 +

𝜎2−𝑠

𝜎2 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 + 𝜎1 𝑥 = 0

29

𝑠

𝐿𝜎22

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎

2

𝑥4 − 2𝑠

𝐿𝜎22

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 𝑥3 +

𝑠

𝐿𝜎22 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 2 −

𝑠−𝜎2

𝜎2

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎 𝑥2 +

𝑠−𝜎2

𝜎2 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 − 𝜎1 𝑥 = 0

𝑥

𝑠

𝐿𝜎22

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎

2

𝑥3 − 2𝑠

𝐿𝜎22

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 𝑥2 +

𝑠

𝐿𝜎22 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 2 −

𝑠−𝜎2

𝜎2

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎 𝑥 +

𝑠−𝜎2

𝜎2 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 − 𝜎1 = 0

𝑥∗ = 0 atau

𝑠

𝐿𝜎22

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎

2

𝑥∗3 −2𝑠

𝐿𝜎22

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 𝑥∗2 +

𝑠

𝐿𝜎22 𝑟 −

𝜎1 − 𝛽1𝑀 2 −𝑠−𝜎2

𝜎2

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎 𝑥∗ +

𝑠−𝜎2

𝜎2 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 − 𝜎1 = 0

Persamaan ini membentuk suatu persamaan aljabar 𝑎𝑥∗3 + 𝑏𝑥∗2 + 𝑐𝑥∗ + 𝑑 = 0, dengan

𝑎 =𝑠

𝐿𝜎22

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎

2

, 𝑏 = −2𝑠

𝐿𝜎22

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 , 𝑐 =

𝑠

𝐿𝜎22 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 2 −

𝑠−𝜎2

𝜎2

𝑟

𝐾+

𝛽1𝛽2𝑀

𝑎 , dan 𝑑 =

𝑠−𝜎2

𝜎2 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 − 𝜎1

dari persamaan di atas didapatkan titik tetap 𝑥∗ = 0 dan 𝑎𝑥∗3 + 𝑏𝑥∗2 + 𝑐𝑥∗ + 𝑑 = 0. Pada saat

titik tetap 𝑥∗ = 0 disubstitusi ke dalam nilai 𝑦∗ dan 𝑧∗, maka akan diperoleh titik tetap

𝐹1 𝑥∗, 𝑦∗,𝑧∗ = 0,0, 𝑀 . Namun, jika bentuk persamaan aljabar tersebut disubstitusikan ke

dalam persamaan 𝑦∗ dan 𝑧∗ maka akan membentuk titik tetap 𝐹3 𝑥∗, 𝑦∗,𝑧∗ . Lebih jelasnya telah

disajikan pada simulasi. Sehingga dari perhitungan di atas diperoleh dua titik tetap, yaitu

𝐹1 0,0, 𝑀 dan 𝐹3 𝑥∗, 𝑦∗, 𝑧∗ .

Substitusi nilai 𝑧∗ = 0 ke dalam persamaan (1), (2), dan (3) sehingga diperoleh 𝒅𝒙


𝒙

𝑲 − 𝝈𝟏𝒙 + 𝝈𝟐𝒚… 𝟒

𝒅𝒚


𝒚

𝑳 + 𝝈𝟏𝒙 − 𝝈𝟐𝒚… 𝟓

𝒅𝒛

𝒅𝒕= 𝟎… (𝟔)

dari persamaan (4) didapatkan

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 0

𝑟𝑥 1 −𝑥

𝐾 − 𝜎1𝑥 + 𝜎2𝑦 = 0

𝑦 =1

𝜎2 𝑟𝑥 2

𝐾− 𝑟 − 𝜎1 𝑥

Substitusi nilai 𝑦 ke dalam persamaan (5)

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 0

𝑠𝑦 1 −𝑦

𝐿 + 𝜎1𝑥 − 𝜎2𝑦 = 0

𝑠 1

σ2

rx2

K− r − σ1 x −

𝑠 1

σ 2 rx 2

K− r−σ1 x

2

𝐿+ σ1x − σ2

1

σ2

1

σ2

rx2

K− r − σ1 x = 0

𝑠

σ2

rx2

K− r − σ1 x −

𝑠

𝐿σ22 𝑟2𝑥4

𝐾− 2

𝑟𝑥2

𝐾 𝑟 − σ1 𝑥 + r − σ1

2𝑥2 + σ1x − rx2

K−

r − σ1 x = 0

𝑠𝑟

𝐾σ2𝑥2 −

𝑠 r−σ1

σ2𝑥 −

𝑠𝑟2

𝐿𝐾2σ22 𝑥4 +

2𝑠𝑟 r−σ1

𝐾𝐿σ22 𝑥3 −

𝑠 r−σ1 2

𝐿σ22 𝑥2 + σ1x −

r

Kx2 + r − σ1 x = 0

−

𝑠𝑟2

𝐿𝐾2σ22 𝑥4 +

2𝑠𝑟 r−σ1


r

K

s

σ2− 1 −

𝑠 r−σ1 2

𝐿σ22

x2 + r − σ1 −𝑠 r−σ1

σ2+ σ1 x = 0

30

−𝑠𝑟2

𝐿𝐾2σ22 𝑥4 +

2𝑠𝑟 r−σ1


r(s−σ2)

Kσ2−

𝑠 r−σ1 2

𝐿σ22

x2 + r−σ1 (σ2−s)

σ2+ σ1 x = 0

𝑠𝑟2

𝐿𝐾2σ22 𝑥4 −

2𝑠𝑟 r−σ1


𝑠 r−σ1 2

𝐿σ22 −

r(s−σ2)

Kσ2 x2 +

r−σ1 (s−σ2)

σ2+ σ1 x = 0

𝑥 𝑠𝑟2

𝐿𝐾2σ22 𝑥3 −

2𝑠𝑟 r−σ1


𝑠 r−σ1 2

𝐿σ22 −

r(s−σ2)

Kσ2 x +

r−σ1 (s−σ2)

σ2+ σ1 = 0

𝑥 = 0 atau 𝑠𝑟2

𝐿𝐾2σ22 𝑥 3 −

2𝑠𝑟 r−σ1

𝐾𝐿σ22 𝑥 2 +

𝑠 r−σ1 2

𝐿σ22 −

r(s−σ2)

Kσ2 x +

r−σ1 (s−σ2)

σ2+ σ1 = 0

Persamaan di atas akan membentuk suatu persamaan aljabar 𝑎x 3 + 𝑏x 2 + 𝑐x + 𝑑 = 0, dengan

𝑎 =𝑠𝑟2

𝐿𝐾2σ22 , 𝑏 = −

2𝑠𝑟 r−σ1

𝐾𝐿σ22 , 𝑐 =

𝑠 r−σ1 2

𝐿σ22 −

r(s−σ2)

Kσ2 , dan 𝑑 =

r−σ1 (s−σ2)

σ2− σ1

dengan mensubstitusi nilai 𝑥 = 0 ke dalam persamaan 𝑦 , maka akan diperoleh titik tetap, yaitu

𝐹0 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0,0,0 . Namun, jika bentuk persamaan aljabar tersebut disubstitusi ke dalam

persamaan 𝑦 maka akan membentuk titik tetap 𝐹2(𝑥, 𝑦, 0). Lebih jelasnya dapat dilihat pada

simulasi. Sehingga dari perhitungan di atas diperoleh dua titik tetap 𝐹0 0,0,0 dan 𝐹2(𝑥, 𝑦, 0). Jadi

dari persamaan (3.3) diperoleh empat titik tetap yang non-negatif, yaitu 𝐹0 0,0,0 , 𝐹1 0,0, 𝑀 ,

𝐹2(𝑥, 𝑦, 0), dan 𝐹3 𝑥∗, 𝑦∗, 𝑧∗ . Untuk titik tetap 𝐹2(𝑥, 𝑦, 0) dan 𝐹3 𝑥

∗, 𝑦∗, 𝑧∗ lebih jelasnya dapat

dilihat pada simulasi.

31

Lampiran 4. Penentuan Nilai Eigen Model 2

𝐴 =

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑧

𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑧

𝑑𝑧

𝑑𝑥

𝑑𝑧

𝑑𝑦

𝑑𝑧

𝑑𝑧

=

𝑟 −

2𝑟

𝐾𝑥 − 𝜎1 − 𝛽1𝑧 𝜎2 −𝛽1𝑥

𝜎1 𝑠 −2𝑠

𝐿𝑦 − 𝜎2 0

𝛽2𝑧 0 𝑎 −2𝑎

𝑀𝑧 + 𝛽2𝑥

Pelinearan pada titik tetap 𝐹0 0,0,0 akan menghasilkan matriks sebagai berikut

𝐴 0,0,0 = 𝑟 − 𝜎1 𝜎2 0

𝜎1 𝑠 − 𝜎2 00 0 𝑎


𝑟 − 𝜎1 − 𝜆 𝜎2 0

𝜎1 𝑠 − 𝜎2 − 𝜆 00 0 𝑎 − 𝜆

= 0

𝑟 − 𝜎1 − 𝜆 𝑠 − 𝜎2 − 𝜆 𝑎 − 𝜆 − 𝜎2 𝜎1 𝑎 − 𝜆 = 0

𝑎 − 𝜆 𝑟 − 𝜎1 − 𝜆 𝑠 − 𝜎2 − 𝜆 − 𝜎2𝜎1 = 0

𝑎 − 𝜆 𝑟𝑠 − 𝑟𝜎2 − 𝑟𝜆 − 𝜎1𝑠 + 𝜎2𝜎1 + 𝜎1𝜆 − 𝑠𝜆 + 𝜎2𝜆 + 𝜆2 − 𝜎2𝜎1 = 0

𝑎 − 𝜆 𝜆2 + 𝜆 𝜎2 + 𝜎1 − 𝑠 − 𝑟 + 𝑟𝑠 − 𝑟𝜎2 − 𝜎1𝑠 = 0

Jadi, diperoleh nilai eigennya sebagai berikut

𝜆1 = 𝑎 > 0

𝜆2 =− 𝜎2+𝜎1−𝑠−𝑟 + 𝜎2+𝜎1−𝑠−𝑟 2−4 1 𝑟𝑠−𝑟𝜎2−𝜎1𝑠

2> 0

𝜆3 =− 𝜎2+𝜎1−𝑠−𝑟 − 𝜎2+𝜎1−𝑠−𝑟 2−4 1 𝑟𝑠−𝑟𝜎2−𝜎1𝑠

2> 0

Pelinearan pada titik tetap 𝐹1 0,0, 𝑀 akan menghasilkan matriks sebagai berikut

𝐴 0,0,𝑀 = 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 𝜎2 0

𝜎1 𝑠 − 𝜎2 0𝛽2𝑀 0 −𝑎


𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 − 𝜆 𝜎2 0

𝜎1 𝑠 − 𝜎2 − 𝜆 0𝛽2𝑀 0 −𝑎 − 𝜆

= 0

𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 − 𝜆 𝑠 − 𝜎2 − 𝜆 −𝑎 − 𝜆 − 𝜎2𝜎1 −𝑎 − 𝜆 = 0

−𝑎 − 𝜆 𝑟 − 𝜎1 − 𝛽1𝑀 − 𝜆 𝑠 − 𝜎2 − 𝜆 − 𝜎2𝜎1 = 0

−𝑎 − 𝜆 𝑟𝑠 − 𝑟𝜎2 − 𝑟𝜆 − 𝜎1𝑠 + 𝜎2𝜎1 + 𝜎1𝜆 − 𝛽1𝑀𝑠 + 𝛽1𝑀𝜎2 + 𝛽1𝑀𝜆 − 𝑠𝜆 + 𝜎2𝜆 +

𝜆2 − 𝜎2𝜎1 = 0

−𝑎 − 𝜆 𝜆2 + 𝜆 𝛽1𝑀 + 𝜎2 + 𝜎1 − 𝑠 − 𝑟 + 𝛽1𝑀𝜎2 − 𝛽1𝑀𝑠 + 𝑟𝑠 − 𝑟𝜎2 − 𝜎1𝑠 = 0

32

Jadi nilai eigennya adalah sebagai berikut

𝜆1 = −𝑎 < 0

𝜆2 =− 𝛽1𝑀+𝜎2+𝜎1−𝑠−𝑟 + 𝛽1𝑀+𝜎2+𝜎1−𝑠−𝑟 2−4 1 𝛽1𝑀𝜎2−𝛽1𝑀𝑠+𝑟𝑠−𝑟𝜎2−𝜎1𝑠

2> 0

𝜆3 =− 𝛽1𝑀+𝜎2+𝜎1−𝑠−𝑟 − 𝛽1𝑀+𝜎2+𝜎1−𝑠−𝑟 2−4 1 𝛽1𝑀𝜎2−𝛽1𝑀𝑠+𝑟𝑠−𝑟𝜎2−𝜎1𝑠

2< 0

Pelinearan untuk titik tetap 𝐹2 𝑥 , 𝑦 , 0 dan 𝐹3 𝑥∗, 𝑦∗, 𝑧∗ dapat dilihat dari tiga kasus, yaitu

pada saat kondisi 𝛽2 > 𝛽0 , 𝛽2 = 𝛽0 , dan 𝛽2 < 𝛽0

>> Pada saat kondisi 𝛽2 > 𝛽0

Pelinearan pada titik tetap 𝐹2 𝑥 , 𝑦 , 0

Untuk mencari nilai eigen pada saat kondisi 𝛽2 > 𝛽0, dapat menggunakan nilai

titik tetap yang telah diperoleh pada simulasi dengan nilai parameter 𝑠 = 0.6, 𝑟 = 1,

𝑎 = 0.01, 𝐾 = 40, 𝐿 = 40, 𝑀 = 1, 𝜎1 = 0.2, 𝜎2 = 0.4, 𝛽0 = 0.4, 𝛽1 = 0.7, 𝛽2 =

0.7 yaitu 𝐹2 43.62267459, 31.68825945, 0 sehingga diperoleh matriks Jacobi

𝐴(43.62267459 ,31.68825945 ,0) = −1.381133730 0.4 −30.53587221

0.2 −0.7506477835 00 0 30.54587221

kemudian mencari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik det 𝐴 −𝜆𝐼 = 0

−1.381133730 − 𝜆 0.4 −30.53587221

0.2 −0.7506477835 − 𝜆 00 0 30.54587221 − 𝜆

= 0

−1.381133730 − 𝜆 −0.7506477835 − 𝜆 30.54587221 − 𝜆 −

0.4 0.2 30.54587221 − 𝜆 = 0

30.54587221 − 𝜆 𝜆2 + 2.131781514 𝜆 + 0.956744973 = 0


𝜆1 = 30.54587221 > 0

𝜆2 =−2.131781514 + (2.131781514 )2−4(0.956744973 )

2= −0.6423602004 < 0

𝜆3 =−2.131781514 − (2.131781514 )2−4(0.956744973 )

2= −1.489421313 < 0

33

Pelinearan pada titik tetap 𝐹3 𝑥∗, 𝑦∗, 𝑧∗

Untuk mencari nilai eigen pada saat kondisi 𝛽2 > 𝛽0, dapat menggunakan nilai

titik tetap yang telah diperoleh pada simulasi dengan nilai parameter 𝑠 = 0.6, 𝑟 = 1, 𝑎 =

0.01, 𝐾 = 40, 𝐿 = 40, 𝑀 = 1, 𝜎1 = 0.2, 𝜎2 = 0.4, 𝛽0 = 0.4, 𝛽1 = 0.7, 𝛽2 = 0.7

yaitu 𝐹3 0.3348700583,13.00035006,24.44090408 sehingga diperoleh matriks

Jacobi

𝐴 0.3348700583 ,13.00035006 ,24.44090408 =

−16.32537636 0.4 −0.2344090408

0.2 −0.2098057213 017.10863286 0 −0.2444090408


−16.32537636 − 𝜆 0.4 −0.2344090408

0.2 −0.2098057213 − 𝜆 017.10863286 0 −0.2444090408 − 𝜆

= 0

−16.32537636 − 𝜆 −0.2098057213 − 𝜆 −0.2444090408 − 𝜆 −

0.2 0.4 −0.2444090408 − 𝜆 + −0.2344090408 −0.2098057213 −

𝜆 17.10863286 = 0

3.425157363 + 16.53518208𝜆 + 𝜆2 −0.2444090408 − 𝜆 − 0.821855963 +

3.930418218𝜆 = 0

𝜆3 + 16.77959112𝜆2 + 11.39692357𝜆 + 1.658995389 = 0

dengan menggunakan bantuan software Maple13, didapatkan nilai eigen sebagai berikut :

𝜆1 = −0.2091902791 < 0

𝜆2 = −0.4932822220 < 0

𝜆3 = −16.07711862 < 0

>> Pada saat kondisi 𝛽2 = 𝛽0


Untuk mencari nilai eigen pada saat kondisi 𝛽2 = 𝛽0, dapat menggunakan nilai


𝑎 = 0.01, 𝐾 = 40, 𝐿 = 40, 𝑀 = 1, 𝜎1 = 0.2, 𝜎2 = 0.4, 𝛽0 = 0.4, 𝛽1 = 0.7, 𝛽2 =


𝐴(43.62267459 ,31.68825945 ,0) = −1.381133730 0.4 −30.53587221

0.2 −0.7506477835 00 0 17.45906984


−1.381133730 − 𝜆 0.4 −30.53587221

0.2 −0.7506477835 − 𝜆 00 0 17.45906984 − 𝜆

= 0

−1.381133730 − 𝜆 −0.7506477835 − 𝜆 17.45906984 − 𝜆 −

0.4 0.2 17.45906984 − 𝜆 = 0

17.45906984 − 𝜆 𝜆2 + 2.131781514 𝜆 + 0.956744973 = 0

34


𝜆1 = 17.45906984 > 0

𝜆2 =−2.131781514 + (2.131781514 )2−4(0.956744973 )

2= −0.6423602004 < 0

𝜆3 =−2.131781514 − (2.131781514 )2−4(0.956744973 )

2= −1.489421313 < 0


Untuk mencari nilai eigen pada saat kondisi 𝛽2 = 𝛽0, dapat menggunakan nilai


0.01, 𝐾 = 40, 𝐿 = 40, 𝑀 = 1, 𝜎1 = 0.2, 𝜎2 = 0.4, 𝛽0 = 0.4, 𝛽1 = 0.7, 𝛽2 = 0.4

yaitu 𝐹3 0.4450248589,14.76442048,18.80099436 sehingga diperoleh matriks

Jacobi

𝐴 0.4450248589 ,14.76442048 ,18.80099436 =

−12.38294729 0.4 −0.3115174012

0.2 −0.2129326144 07.520397744 0 −0.1880099436


−12.38294729 − 𝜆 0.4 −0.3115174012

0.2 −0.2129326144 − 𝜆 07.520397744 0 −0.1880099436 − 𝜆

= 0

−12.38294729 − 𝜆 −0.2129326144 − 𝜆 −0.1880099436 − 𝜆 −

0.2 0.4 −0.1880099436 − 𝜆 + −0.3115174012 −0.2129326144 −

𝜆 7.520397744 = 0

2.63673334 + 12.5958799𝜆 + 𝜆2 −0.1880099436 − 𝜆 − 0.483803842 +

2.262734761𝜆 = 0

𝜆3 + 12.78388984𝜆2 + 7.267618771𝜆 + 0.979535928 = 0

dengan menggunakan bantuan software Maple13, didapatkan nilai eigen sebagai berikut :

𝜆1 = −0.2139566640 < 0

𝜆2 = −0.3754313090 < 0

𝜆3 = −12.19450188 < 0

>> Pada saat kondisi 𝛽2 < 𝛽0


Untuk mencari nilai eigen pada saat kondisi 𝛽2 < 𝛽0, dapat menggunakan nilai


𝑎 = 0.01, 𝐾 = 40, 𝐿 = 40, 𝑀 = 1, 𝜎1 = 0.2, 𝜎2 = 0.4, 𝛽0 = 0.4, 𝛽1 = 0.7, 𝛽2 =


𝐴(43.62267459 ,31.68825945 ,0) = −1.381133730 0.4 −30.53587221

0.2 −0.7506477835 00 0 4.372267459

35


−1.381133730 − 𝜆 0.4 −30.53587221

0.2 −0.7506477835 − 𝜆 00 0 4.372267459 − 𝜆

= 0

−1.381133730 − 𝜆 −0.7506477835 − 𝜆 4.372267459 − 𝜆 −

0.4 0.2 4.372267459 − 𝜆 = 0

4.372267459 − 𝜆 𝜆2 + 2.131781514 𝜆 + 0.956744973 = 0


𝜆1 = 4.372267459 > 0

𝜆2 =−2.131781514 + (2.131781514 )2−4(0.956744973 )

2= −0.6423602004 < 0

𝜆3 =−2.131781514 − (2.131781514 )2−4(0.956744973 )

2= −1.489421313 < 0


Untuk mencari nilai eigen pada saat kondisi 𝛽2 < 𝛽0, dapat menggunakan nilai


0.01, 𝐾 = 40, 𝐿 = 40, 𝑀 = 1, 𝜎1 = 0.2, 𝜎2 = 0.4, 𝛽0 = 0.4, 𝛽1 = 0.7, 𝛽2 = 0.1

yaitu 𝐹3 0.9058536189,14.18481090, 10.05853619 sehingga diperoleh matriks

Jacobi

𝐴 0.9058536189 ,14.18481090 ,10.05853619 =

−6.286268014 0.4 −0.6340975332

0.2 −0.2255443270 01.005853619 0 −0.1005853619


−6.286268014 − 𝜆 0.4 −0.6340975332

0.2 −0.2255443270 − 𝜆 01.005853619 0 −0.1005853619 − 𝜆

= 0

−6.286268014 − 𝜆 −0.2255443270 − 𝜆 −0.1005853619 − 𝜆 −

0.2 0.4 −0.1005853619 − 𝜆 + −0.6340975332 −0.2255443270 −

𝜆 1.005853619 = 0

1.417832089 + 6.511812341𝜆 + 𝜆2 −0.1005853619 − 𝜆 − 0.13580744 +

0.557809298𝜆 = 0

𝜆3 + 6.612397703𝜆2 + 2.630634388𝜆 + 0.278420593 = 0

dengan menggunakan bantuan software Maple13, diperoleh nilai eigen sebagai berikut :

𝜆1 = −6.195015069 < 0

𝜆2 = −0.2086913169 + 0.03729097084 I

𝜆3 = −0.2086913169 − 0.03729097084 I

36

Lampiran 5. Program Penentuan Orbit Kestabilan dan Solusi Model 1

Pada keadaan 𝛽2 > 𝛽0

>> Program gambar 3D ( Gambar 4)

>> Program orbit kestabilan bidang 𝑥𝑦 ( Gambar 5)

>> Program orbit kestabilan bidang 𝑥𝑧 ( Gambar 6)

>> Program orbit kestabilan bidang 𝑦𝑧 ( Gambar 7)

37

>> Program dinamika populasi ketiga model terhadap waktu 𝑡 ( Gambar 8) dengan

menggunakan software Mathematica 7.0

r=1;

s=0.6;

1=0.2;

2=0.4;

K=40;

L=40;

0=0.4;

1=0.7;

2=0.7;

sol1=NDSolve[{x'[t]r*x[t](1-x[t]/K)-1*x[t]+2*y[t]-1*x[t]*z[t],y'[t]s*y[t](1- y[t]/L)+1*x[t]-2*y[t],z'[t]2*x[t]*z[t]-0*z[t],x[0]20,y[0]10, z[0]10}, {x[t], y[t], z[t]}, {t,0,50}];

{unresr,resr,pem}={x[t],y[t],z[t]}/.Flatten[sol1];

gbr3=Plot[pem,{t,0,50},PlotStyle{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.008]},AxesLabel{"t","z"},AspectRatio1,PlotRange{{0,50},{0,30}},ImageSize300];

gbr2=Plot[resr,{t,0,50},PlotStyle{RGBColor[0,1,0],Thickness[0.008]},AxesLabel{"t","y"},AspectRatio1,PlotRange{{0,50},{0,30}},ImageSize300];

gbr1=Plot[unresr,{t,0,50},PlotStyle{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.008]},AxesLabel{"t","x"},AspectRatio1,PlotRange{{0,50},{0,30}},ImageSize300];

Show[{gbr1,gbr2,gbr3},AxesLabel{"t","x,y,z"},DisplayFunction$DisplayFunction,PlotRange{{0,50},{0,30}},ImageSize300]

Pada kasus 𝛽2 = 𝛽0 >> Program gambar 3D ( Gambar 9)


38





r=1;

s=0.6;

1=0.2;

2=0.4;

K=40;

L=40;

0=0.4;

1=0.7;

2=0.4;

sol1=NDSolve[{x'[t]r*x[t](1-x[t]/K)-1*x[t]+2*y[t]-1*x[t]*z[t],y'[t]s*y[t](1-y[t]/L)+1*x[t]-2*y[t],z'[t]2*x[t]*z[t]-0*z[t],x[0]20,y[0]10,z[0]10},{x[t],y[t],z[t]},{t,0,50}];






39

Pada saat Keadaan 𝛽2 < 𝛽0 >> Program gambar 3D ( Gambar 14)




40



r=1;

s=0.6;

1=0.2;

2=0.4;

K=40;

L=40;

0=0.4;

1=0.7;

2=0.1;

sol1=NDSolve[{x'[t]r*x[t](1-x[t]/K)-1*x[t]+2*y[t]-1*x[t]*z[t],y'[t]s*y[t](1-y[t]/L)+1*x[t]-2*y[t],z'[t]2*x[t]*z[t]-0*z[t],x[0]20,y[0]10,z[0]10},{x[t],y[t],z[t]},{t,0,50}];






41

Lampiran 6. Program Penentuan Orbit Kestabilan dan Solusi Model 2

Pada kasus 𝛽2 > 𝛽0 >> Program gambar 3D ( Gambar 19)




42



r=1;

s=0.6;

K=40;

L=40;

a=0.01;

1=0.2;

2=0.4;

0=0.4;

1=0.7;

2=0.7;

M=1;

sol2=NDSolve[{x'[t]r*x[t]*(1-x[t]/K)-1*x[t]+2*y[t]-1*x[t]*z[t],y'[t]s*y[t]*(1-y[t]/L)+1*x[t]-2*y[t],z'[t]a*z[t]*(1-z[t]/M)+2*x[t]*z[t],x[0]20,y[0]10,z[0]10},{x[t],y[t],z[t]},{t,0,50}];






Pada kasus 𝛽2 = 𝛽0 >> Program gambar 3D ( Gambar 24)

43






r=1;

s=0.6;

K=40;

L=40;

a=0.01;

1=0.2;

2=0.4;

0=0.4;

1=0.7;

2=0.4;

M=1;


44






Pada kasus 𝛽2 < 𝛽0

>> Program gambar 3D ( Gambar 29)




45



r=1;

s=0.6;

K=40;

L=40;

a=0.01;

1=0.2;

2=0.4;

0=0.4;

1=0.7;

2=0.1;

M=1;







Documents

Simulasi Sistem Predator Prey