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Simulation Simulation d’écoulements d’écoulements discontinus 1Ddiscontinus 1D
en volumes finisen volumes finis
Rudy HAYATRudy HAYAT
Tuteur : Serge PIPERNOTuteur : Serge PIPERNO Responsable du projet CAIMAN Responsable du projet CAIMAN
Directeur adjoint du CERMICS Directeur adjoint du CERMICS
SommaireSommaire
Présentation de l’INRIA et du projet CAIMANPrésentation de l’INRIA et du projet CAIMAN
Contexte du projetContexte du projet
ThéorieThéorie
Résultats obtenusRésultats obtenus
ConclusionConclusion
L’INRIA : Institut National de L’INRIA : Institut National de recherche informatique et recherche informatique et
automatiqueautomatique Différentes activités :Différentes activités :
Systèmes communicants (réseau et télécommunication, systèmes Systèmes communicants (réseau et télécommunication, systèmes embarqués et mobilité...)embarqués et mobilité...)
Systèmes cognitifs (évolution Artificielle et Fractales, apprentissage et Systèmes cognitifs (évolution Artificielle et Fractales, apprentissage et reconnaissance en vision par ordinateur…)reconnaissance en vision par ordinateur…)
Systèmes symboliques (sécurité et fiabilité du logiciel, organisation des Systèmes symboliques (sécurité et fiabilité du logiciel, organisation des contenus et de la langue…)contenus et de la langue…)
Systèmes numériques (automatique et systèmes complexes, Systèmes numériques (automatique et systèmes complexes, Modélisation, simulation et analyse numérique, optimisation et Modélisation, simulation et analyse numérique, optimisation et problèmes inverses en stochastique ou en grande dimension)problèmes inverses en stochastique ou en grande dimension)
Systèmes biologiques (modélisation et simulation pour la biologie et la Systèmes biologiques (modélisation et simulation pour la biologie et la médecine…)médecine…)
Transfert technologique(collaborations, Transfert technologique(collaborations, logiciels et start-up)logiciels et start-up)
Projet CAIMAN au sein du Projet CAIMAN au sein du CERMICSCERMICS
CERMICS laboratoire commun INRIA/ENPC.CERMICS laboratoire commun INRIA/ENPC.
CERMICS : Centre d’Enseignement et de CERMICS : Centre d’Enseignement et de Recherche en Mathématique, Informatique et Recherche en Mathématique, Informatique et Calcul Scientifique.Calcul Scientifique.
Projet CAIMAN appartient Projet CAIMAN appartient à la branche calcul la branche calcul scientifique du CERMICS.scientifique du CERMICS.
CAIMAN : Calcul scientifique, modélisation et CAIMAN : Calcul scientifique, modélisation et analyse numérique analyse numérique
Centres d’intérêt du projet Centres d’intérêt du projet CAIMANCAIMAN
Quatre principaux centres d’activité :Quatre principaux centres d’activité :
Résolution rapide des équations de l’électromagnétismeRésolution rapide des équations de l’électromagnétisme Éléments finis discontinus et schéma centrés pour l’électromagnétisme en
domaine temporel Volumes finis multi-échelles en espace et en temps pour Volumes finis multi-échelles en espace et en temps pour
l’électromagnétisme en domaine temporell’électromagnétisme en domaine temporel Environnement plasmique des satellitesEnvironnement plasmique des satellites
Autres activités en fonction des contrats ( Autres activités en fonction des contrats ( mécanique des fluides, aéroacoustique)mécanique des fluides, aéroacoustique)
Contexte du stageContexte du stage
Dans le but d’éviter des catastrophes comme Dans le but d’éviter des catastrophes comme celle du barrage de Malpasset (1959)celle du barrage de Malpasset (1959)
Créer des cartographies pour les inondationsCréer des cartographies pour les inondations Sujet important de sécurité civileSujet important de sécurité civile
ProblèmeProblème : Le LNHE rencontrait des problèmes : Le LNHE rencontrait des problèmes de convergence lors des tests de leur algorithme de convergence lors des tests de leur algorithme en géométrie complexe.en géométrie complexe.
Équations de Saint-Venant (1)Équations de Saint-Venant (1)
Proviennent d’une intégration verticale de Proviennent d’une intégration verticale de Navier-Stokes sous les contraintes suivantes :Navier-Stokes sous les contraintes suivantes :
Fluides incompressiblesFluides incompressibles Pression hydrostatiquePression hydrostatique
gSJx
ZgS
S
Q
xt
Q
x
Q
t
S
2
0
Équations de Saint-Venant (2)Équations de Saint-Venant (2)
On écrit la pression sous la forme :On écrit la pression sous la forme :
avecavec
Le système devientLe système devient
dzzxSgSxPy
tt 0
),(),( fZZy
gSJdx
dZgSdz
x
ZxSgSxP
S
Q
xt
Q
x
Q
t
S
f),(),(
0
2
Équations de Saint-Venant (3)Équations de Saint-Venant (3)
Nous résolvons : Nous résolvons :
AvecAvec ,,
et et
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WxGx
WxF
t
txW
Q
SQSW ),(
),(),( 2
SxPS
Q
Q
WxF
gSJ
dx
dZgSdz
x
ZxSg
WxG f),(
0
),(
Équations de Saint-Venant (4)Équations de Saint-Venant (4)
La jacobienne s’écrit : La jacobienne s’écrit :
Avec Avec
Les vecteurs propres du systèmes sont :Les vecteurs propres du systèmes sont :
etet
uucWxDF
2
10),(
22
S
Pc
cu
r1
1
cu
r1
2
Méthodes des volumes finisMéthodes des volumes finis
1 domaine 1D divise en N cellules1 domaine 1D divise en N cellules Système de résolution pour le problème Système de résolution pour le problème
homogène:homogène:
AvecAvec
1
)),(,(1
),()(
1
)()(
2/12/12/1
,
2/12/1,1
,
n
n
i
t
t
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i
C ki
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ni
ni
i
nhi
nhi
dttxWxFt
F
dxtxWCmes
W
FFCmes
tWW
),( 12/1n
in
in
i WWF
Comment définit-on le flux?(1)Comment définit-on le flux?(1)
Problème Problème linéarisé de Riemannde Riemann
continue.continue.
.
est diagonalisable avec des valeurs propres réelles.
On obtient alors et le flux s’écrit :
0
0)0,(
0),(~
xsiU
xsiUxU
x
UUUA
t
U
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g
dg
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A
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UDFUUA
dgdgdg
dg UUUUAUFUF
UU
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1
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~
~
A
Comment définit-on le flux?(2)Comment définit-on le flux?(2)
On définit le flux tel que On définit le flux tel que
AvecAvec ,,
etet
~
2,2,2
~~~
1,1,1
~~
)(||)(||2
1
2
)()(),( rcurcu
WFWFWW gdgd
dgdg
dg
ddgg
SS
SuSuu
~
dg
dg
SS
xSPxSPc
),(),(2~
~
2,2
~
1,1 rrW ggg ~
2,2
~
1,1 rrW ddd
Détails sur le fonctionnement Détails sur le fonctionnement du programme (1)du programme (1)
Nous calculons la pression après avoir calculNous calculons la pression après avoir calculé la la hauteur d ’eau.hauteur d ’eau.
Calcul des et Calcul des et
)1()(
)1()1()()()(
iSiS
iSiuiSiuiu
autrement
iLiyia
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S
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1)()1(
)()1(
)()1(
)(
0
2
)(ic )(iu
Détails sur le fonctionnement Détails sur le fonctionnement du programme (2)du programme (2)
Simulation sur le temps :Simulation sur le temps :
avec avec
Possibilités de résoudre 2 problèmes différents: le Possibilités de résoudre 2 problèmes différents: le problème homogène ou le problème comprenant problème homogène ou le problème comprenant les termes sources.les termes sources.
|)()(|
|)(|min
~~
iciu
icellulet
Ni
1
Traitement des Traitement des termes sourcestermes sources
Premier Terme Premier Terme
Deuxième TermeDeuxième Terme
Schéma finalSchéma final
i
i
XXii
i SXPdx
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X
ZgS
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0
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2
1
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2/112/1
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~
2/1
~~
2/1
12/12/1
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~
2/1
~~
2/1
2
iiii
iii
iiii
iii
SxPSxPcuc
SxPSxPcuc
TSi
)()(212/12/1
1ii
ni
ni
ni
ni TSTS
x
tFF
x
tWW
RésultatsRésultats
Vérifications du système au reposVérifications du système au repos
Le schéma ne donne pas de débit négatifLe schéma ne donne pas de débit négatif
La ligne d’eau ne peut pas évoluer vers le La ligne d’eau ne peut pas évoluer vers le haut.haut.
Problème de Riemann (1)Problème de Riemann (1)
Problème à résoudreProblème à résoudre Effondrement d ’un barrage sur milieu secEffondrement d ’un barrage sur milieu sec Données du barrage :Données du barrage :
Profil canal rectangulaire : l = 4m Profil canal rectangulaire : l = 4m Longueur : L=5000m Longueur : L=5000m Discrétisation : 1000 points Discrétisation : 1000 points
Données initiales :Données initiales :Hauteur d ’eau : h = 6m avant le barrageHauteur d ’eau : h = 6m avant le barrage
h = 0m après h = 0m après Conditions limites : Conditions limites :
Débit nul imposé aux extrémitésDébit nul imposé aux extrémitésSurface mouillée fixe à l ’amont et évolutive à l ’avalSurface mouillée fixe à l ’amont et évolutive à l ’aval
Problème de Riemann (2)Problème de Riemann (2)
Hauteur (m) = f(x,y), x et y en (m)
Hauteur (m) = f(x,y), x et y en (m)
État initial État final
Problème de Riemann (3)Problème de Riemann (3)Hauteur (m) = f(x,t), x (m) l’abscisse, t le temps (s)
Chute brutale de la ligne d ’eau
Problème de Riemann (4)Problème de Riemann (4)
Débit (m3/s) = f(x,t), x (m) l’abscisse, t le temps (s)Courbe intérieure t = 100s, Courbe extérieure t = 200s
Évolution de la hauteurd’eau (m) en fonction de la position (m) et du temps (s)
Évolution du débit (m3/s) en fonction de la position (m) et du temps (s)
Rupture de deux barrages (1)Rupture de deux barrages (1)
Données du problème :Données du problème : Inclinaison du canal de 0.1%.Inclinaison du canal de 0.1%. Profil trapézoïdal avec évasement évolutif.Profil trapézoïdal avec évasement évolutif. Largeur de fond variable vers l ’aval de l ’écoulement . L = 4 m sur les Largeur de fond variable vers l ’aval de l ’écoulement . L = 4 m sur les
10/1110/11emesemes de l ’écoulement puis élargissement. de l ’écoulement puis élargissement. Longueur du canal L =6 000 m.Longueur du canal L =6 000 m.
Conditions initiales et limites :Conditions initiales et limites : Le débit Q=10mLe débit Q=10m33/s en amont./s en amont. 3 sections mouillées différentes en fonction de la position dans le 3 sections mouillées différentes en fonction de la position dans le
canal.canal. Surfaces évolutives sur les bords de l ’écoulement.Surfaces évolutives sur les bords de l ’écoulement. Débit évolutifs à l’extrémité aval du canal.Débit évolutifs à l’extrémité aval du canal.
Rupture de deux barrages (2)Rupture de deux barrages (2)
Hauteur (m) = f(x,y), x et y en (m) Hauteur (m) = f(x,y), x et y en (m)
État initial État final
Rupture de deux barrages (3)Rupture de deux barrages (3)
Hauteur (m) = f(x,t), x (m) l’abscisse, t le temps (s)
Évolution de la hauteur d’eau (m) en fonction de la position (m) et du temps (s)
Évolution du débit ( m3/s)en fonction de la position (m) et du temps (s)
Cas de géométrieCas de géométrie complexe (1) complexe (1)
Nous considérons un canal rectangulaire dont le Nous considérons un canal rectangulaire dont le profil est le suivant :profil est le suivant :
Profil de la rivière
Cas de géométrie Cas de géométrie complexe (2)complexe (2)
Résultats obtenus pour des termes Résultats obtenus pour des termes sources sans décentragesources sans décentrage
Débit (m3/s) = f(x,t), x (m)l’abscisse, t le temps(s)
Hauteur (m) = f(x,t), x (m) l’abscisse, t le temps (s)
Évolution de la hauteur d’eau (m) en fonction de la position (m) et du temps (s)
Évolution du débit (m3/s) en fonction de la position (m) et du temps (s)
Cas de géométrie Cas de géométrie complexe (3)complexe (3)
Résultats obtenus avec décentrageRésultats obtenus avec décentrage
Évolution de la hauteur d’eau (m) en fonction de la position (m) et du temps (s)
Évolution du débit (m3/s)en fonction de la position (m) et du temps (s)
ConclusionConclusion
Création d ’un code en Fortran 90 permettant de Création d ’un code en Fortran 90 permettant de résoudre les équations de Saint-Venantrésoudre les équations de Saint-Venant
Code fonctionnel pour le cas homogène simple et avec Code fonctionnel pour le cas homogène simple et avec termes sources dans le cas de géométries simplestermes sources dans le cas de géométries simples
Vérification et correction des calculs effectués par N. Vérification et correction des calculs effectués par N. GoutalGoutal
Implémentation des termes manquantsImplémentation des termes manquants
PerspectivesPerspectives
Implémentation du termes de friction Implémentation du termes de friction (Strickler)(Strickler)
Vérification globale du programmeVérification globale du programme
Mise en place du code en 2D afin de pouvoir Mise en place du code en 2D afin de pouvoir simuler des cas réelssimuler des cas réels