Examensarbete

Simulering av hydrauliken i Haldex-kopplingen

Martin Söderlund & Fredrik Öhman

Februari 2005

LiTH-IKP-EX--05/2239--SE Avdelningen för Fluid och Mekanisk Systemteknik

Institutionen för Konstruktions- och Produktionsteknik Linköpings Universitet, 581 83 Linköping

Språk Language Svenska/Swedish Engelska/English

Rapporttyp Report category Licentiatavhandling Examensarbete C-uppsats D-uppsats Övrig rapport

ISBN -

ISRN LiTH-IKP-EX--05/2239--SE

Serietitel och serienummer/ISSN Title of series, numbering

Sammanfattning Abstract HLSC (Haldex Limited Slip Coupling) är en koppling för fyrhjulsdrift i personbilar, och förfi-nas ständigt för att ge en bättre funktion och körupplevelse. Kopplingen använder ett hydraul-tryck för att skapa momentöverföring mellan fram- och bakaxel, och därför är en förståelse förvad som påverkar detta tryck viktigt för utvecklingen. Skapandet av en simuleringsmodell avhela hydrauliken i kopplingen är ett sätt att förbättra denna förståelse. I detta arbete har HOPSAN använts för att simulera hydrauliken i HLSC och även den mekaniksom påverkar hydrauliken. Fokus i arbetet har lagts på noggrannhet, numerisk stabilitet ochprestanda. En manual för användning av modellen har skapats i HTML-format. Simuleringarna har resulterat i en bra förståelse för vad som påverkar trycket i kopplingen, ochutseendet på tryckkurvorna kan främst härröras till öppning av backventiler, töjning av kopp-lingshuset och rörelser hos kolvringarna. Reglerventilen är i och med sin stora öppnings-areagradient känslig för störningar, och strömningskrafter får stor inverkan på ventilläget. Al-ternativa kamprofiler för varvtalsskillnadspumpen har provats i simulering, och dessa har visatsig ge mindre men snabbare tryckvariationer. Tröghet i ackumulatorn kan öka tryckvariatio-nerna vid höga varvtalsskillnader.

Avdelning, Institution Division, Department Fluid och mekanisk systemteknik Inst. för konstruktions- och produktionsteknik 581 83 Linköping

Datum Date

2005-02-11

URL för elektronisk version http://www.ep.liu.se/exjobb/ikp/efs/2005/2239/

Titel Simulering av hydrauliken i Haldex-kopplingen Title Simulation of the hydraulic system in HLSC Författare Martin Söderlund & Fredrik Öhman Authors

Nyckelord Keywords

Simulering, hydraulik, AWD, 4WD, fyrhjulsdrift, HOPSAN, TLM, reglerventil

i

Förord Detta examensarbete har utförts på Institutionen för Konstruktions- och Produktionsteknik (IKP), avdelningen för Fluid och Mekanisk Systemteknik (FLUMES) vid Linköpings Univer-sitet, på uppdrag av Haldex Traction AB i Landskrona. Arbetet har handlat om simulering av hydrauliken i Haldex-kopplingen, och har förutom rapporten resulterat i en simuleringsmodell med tillhörande manual som har levererats till Haldex. Vi vill börja med att tacka vår handledare Jonas Jönsson på Haldex för hans stöd och intresse under arbetets gång. Tack vare täta kontakter med honom har det varit möjligt att göra exa-mensarbetet till något både vi och Haldex kan vara nöjda med. Vi vill även speciellt tacka vår handledare och examinator Jonas Larsson vid Linköpings Universitet. Tack vare hans snille och förmåga att alltid ta sig tid har programmeringsarbetet i HOPSAN gått förhållandevis smärtfritt. Övriga personer vi vill tacka är:

Hans Engström, Edo Drenth och Christer Yngvesson vid Haldex Traction AB. De har alla gett inspiration och bidragit till det goda slutresultatet. Professor Karl-Erik Rydberg vid Linköpings Universitet. Han har förmedlat den inle-dande kontakten med Haldex och delat med sig av sina erfarenheter av hydraulikkom-ponenter. Carl Buskas och Tobias Eriksson, som varit opponenter för exjobbet. Daniel Sundkvist, numera anställd vid Parker Hannifin AB Borås. Hans eminenta konverteringsprogram har besparat oss mycket tid och förtret i vårt valideringsarbete. Andreas Johansson vid Linköpings Universitet, för hans inledande hjälp med HOP-SAN. Rita Enquist vid Linköpings Universitet, för hennes administrativa stöd.

iii

Abstract HLSC (Haldex Limited Slip Coupling) is a coupling for four wheel drive in passenger cars, and is continuously refined for providing better function and driving experience. The coupling makes use of a hydraulic pressure for creating torque transfer between the front and rear axle, and therefore a comprehension of what affects that hydraulic pressure is important for devel-opment. Creating a simulation model of the hydraulics in the coupling is one way of improv-ing that comprehension. In this thesis HOPSAN has been used to simulate the hydraulics in the HLSC and also the mechanical parts affecting the hydraulics. Precision, numerical stability as well as perform-ance have all been in focus. A manual for use of the model has been created in HTML. The simulations have resulted in a better comprehension of what affects the hydraulics in the coupling, and the shape of the pressure curves derive mostly from opening of the check valves, stretching of the coupling housing and movements by the piston seal rings. The con-trol valve is due to its large opening area gradient very sensitive to interference, and flow forces have big impact on the valve position. Alternative cam profiles for the hydraulic pump have been tested in simulation, and these produce smaller but faster pressure variations. Resis-tance to movement in the accumulator can increase the pressure variations at fast revolution speed differences.

v

Sammanfattning HLSC (Haldex Limited Slip Coupling) är en koppling för fyrhjulsdrift i personbilar, och för-finas ständigt för att ge en bättre funktion och körupplevelse. Kopplingen använder ett hyd-raultryck för att skapa momentöverföring mellan fram- och bakaxel, och därför är en förståel-se för vad som påverkar detta tryck viktigt för utvecklingen. Skapandet av en simuleringsmo-dell av hela hydrauliken i kopplingen är ett sätt att förbättra denna förståelse. I detta arbete har HOPSAN använts för att simulera hydrauliken i HLSC och även den meka-nik som påverkar hydrauliken. Fokus i arbetet har lagts på noggrannhet, numerisk stabilitet och prestanda. En manual för användning av modellen har skapats i HTML-format. Simuleringarna har resulterat i en bra förståelse för vad som påverkar trycket i kopplingen, och utseendet på tryckkurvorna kan främst härröras till öppning av backventiler, töjning av kopplingshuset och rörelser hos kolvringarna. Reglerventilen är i och med sin stora öppnings-areagradient känslig för störningar, och strömningskrafter får stor inverkan på ventilläget. Al-ternativa kamprofiler för varvtalsskillnadspumpen har provats i simulering, och dessa har vi-sat sig ge mindre men snabbare tryckvariationer. Tröghet i ackumulatorn kan öka tryckvaria-tionerna vid höga varvtalsskillnader.

vii

Nomenklatur a acceleration m/s2 n antal - A area m2 n varvtal rad/s Av1 delarea 1, reglerventil m2 p tryck Pa Av2 delarea 2, reglerventil m2 p0 atmosfärstryck Pa Av3 delarea 3, reglerventil m2 p63 parameter i kompliansfunktion Pa Avisk konstant i Walthers ekvation - q flöde m3/s Bvisk konstant i Walthers ekvation - r radie m C konstant - rslid ventilslidens radie m C(p) kompliansfunktion Pa/m3 Re Reynolds-tal - C0 parameter i kompliansfunktion Pa/m3 S sträcka m C∆ parameter i kompliansfunktion Pa/m3 T temperatur K Cq flödeskoefficient - U fluids medelhastighet m/s d diameter m v hastighet m/s D konstant - V volym m3 dh hydraulisk diameter m V0 dödvolym m3 E konstant - x parameter i Cq, laminärt - F kraft N x0 volymsandel luft - Ffrik aktuell statisk friktionskraft N X läge m Ffrikp maximal statisk friktionskraft N α vinkel ° Fs strömningskraft N β kompressionsmodul Pa h kamamplitud m δ vinkel ° I pålagd ström A ∆p tryckdifferens Pa Kdyn faktor, dynamisk friktion - ∆pf tryckförlust Pa Kf fjäderkonstant N/m φ vinkelkoordinat °, rad l längd m λ förlustfaktor - L karakteristisk längd m µ dynamisk viskositet kg/ms m massa kg ν kinematisk viskositet m2/s n polytropexponent - ρ densitet kg/m3

Indexering bv backventil kanal kanal i järnkärna i elektromagnet cyl1 yttre cylinder kärna järnkärna i elektromagnet cyl2 mittencylinder nål nål i järnkärna i elektromagnet cyl3 inre cylinder ring1 yttre kolvring cyl.lock cylinderlock ring2 mittenkolvring ekv ekvivalent ring3 inre kolvring hus kopplingshus v reglerventil I övrigt skrivs indexeringen i klarspråk, alternativt förklaras då den används.

Ordförklaringar Gen II generation II av HLSC kerb krypspår på reglerventilslid Gen III generation III (PreX) av HLSC Reynolds-tal param. i strömningsberäkningar HLSC Haldex Limited Slip Coupling CFD Computational Fluid Dynamics HOPSAN simuleringsverktyg för hydraulik

ix

Innehåll KAPITEL 1 INLEDNING................................................................................................. 1

1.1 BAKGRUND.................................................................................................................. 1 1.2 PROBLEMBESKRIVNING ............................................................................................... 1 1.3 MÅL ............................................................................................................................ 1 1.4 AVGRÄNSNINGAR........................................................................................................ 2 1.5 DISPOSITION................................................................................................................ 2

KAPITEL 2 HALDEX OCH HLSC................................................................................. 3

KAPITEL 3 TEORETISK REFERENSRAM................................................................. 7 3.1 SIMULERINGSTEKNIK I HOPSAN................................................................................ 7 3.2 REGLERVENTIL............................................................................................................ 7

3.2.1 Laminär & turbulent strömning.......................................................................... 7 3.2.2 Strypningar ......................................................................................................... 8 3.2.3 Rörströmning.................................................................................................... 12 3.2.4 Dämpning ......................................................................................................... 14 3.2.5 Strömningskrafter ............................................................................................. 14 3.2.6 Öppningsarea.................................................................................................... 15

3.3 VARVTALSSKILLNADSPUMP ...................................................................................... 15 3.4 STYVHET & KOMPRESSIONSMODUL........................................................................... 17

3.4.1 Mekanik............................................................................................................ 18 3.4.2 Olja ................................................................................................................... 19

3.5 BACKVENTILER ......................................................................................................... 20 3.6 ACKUMULATOR......................................................................................................... 20 3.7 SÄKERHETSVENTIL.................................................................................................... 21 3.8 VISKOSITET ............................................................................................................... 21

KAPITEL 4 MODELLERING ....................................................................................... 23 4.1 SIMULERINGSTEKNIK................................................................................................. 23

4.1.1 Fysikalitet & parametrisering ........................................................................... 23 4.1.2 Numerik............................................................................................................ 23 4.1.3 Prestanda .......................................................................................................... 23

4.2 MODELLÖVERSIKT .................................................................................................... 24 4.3 VARVTALSSKILLNADSPUMP ...................................................................................... 25

4.3.1 Kamprofiler & kolvhastigheter ........................................................................ 25 4.3.2 Alternativa kamprofiler .................................................................................... 25 4.3.3 Kolvflöden........................................................................................................ 26 4.3.4 Övriga styvheters ekvivalenta kompressionsmodul ......................................... 31

4.4 BACKVENTILER ......................................................................................................... 33 4.5 REGLERVENTIL.......................................................................................................... 34

4.5.1 Magnetkraft ...................................................................................................... 35 4.5.2 Ventilläge ......................................................................................................... 37 4.5.3 Öppningsarea och hydraulisk diameter ............................................................ 39

x

4.5.4 Strålvinkel ........................................................................................................ 41 4.5.5 Passage mellan midja och foder....................................................................... 43 4.5.6 Validering......................................................................................................... 43

4.6 LÅGTRYCKSSIDA....................................................................................................... 43 4.6.1 HLSC Gen III (PreX) ....................................................................................... 43 4.6.2 HLSC Gen II .................................................................................................... 44 4.6.3 Ackumulator..................................................................................................... 44 4.6.4 Matarpump ....................................................................................................... 44

4.7 SÄKERHETSVENTIL.................................................................................................... 45 4.8 OLJA ......................................................................................................................... 45

4.8.1 Densitet ............................................................................................................ 45 4.8.2 Kompressionsmodul......................................................................................... 46 4.8.3 Viskositet ......................................................................................................... 48

KAPITEL 5 RESULTAT OCH DISKUSSION ............................................................ 51 5.1 VALIDERING AV MODELL (GEN II) ............................................................................ 51 5.2 VALIDERING AV MODELL (GEN III) ........................................................................... 55 5.3 ALTERNATIVA KAMPROFILER.................................................................................... 56 5.4 OSÄKERHETER .......................................................................................................... 59

5.4.1 Varvtalsskillnadspump..................................................................................... 59 5.4.2 Reglerventil ...................................................................................................... 59 5.4.3 Olja................................................................................................................... 60 5.4.4 Lågtryckssida ................................................................................................... 60

KAPITEL 6 FRAMTIDA ARBETE .............................................................................. 61

REFERENSER....................................................................................................................... 63

A – KAMPROFILSFUNKTIONER..................................................................................... 65

B – SIMULERINGSRESULTAT......................................................................................... 67

1

Kapitel 1 Inledning

1.1 Bakgrund Haldex hydrauliska koppling för fyrhjulsdrift – HLSC – är en produkt under ständig utveck-ling, och är nu inne på sin tredje generation (Gen III). Hittillsvarande utveckling har huvud-sakligen syftat till att göra kopplingen driftsäkrare, kompaktare, samt anpassad i högre grad till bilen den ska byggas in i, allt för att kunna integrera den mer med fordonet. Viss utveck-ling av funktionen har givetvis skett, till exempel ett byte från stegmotordriven till magnet-styrd ventil (Gen I → Gen II) och införandet av PreX (Gen II → Gen III), men förutom det är kopplingens funktion densamma. Nu pågår projekt för att ytterligare förfina kopplingens funktion och därigenom förbättra köregenskaperna för fordonet. Eftersom kopplingen förlitar sig på hydraultryck för att pressa samman lamellpaketet och överföra moment, är en modell av hela hydrauliken därför önskvärd. Denna modell skulle kunna användas till att prova dessa idéer till förfining i ett tidigt skede, samt öka förståelsen för vad som påverkar funktionen i HLSC.

1.2 Problembeskrivning Uppgiften är att bygga en simuleringsmodell i HOPSAN som simulerar hydrauliken i HLSC Gen II & III, med fokus på de komponenter som märkbart förändrar tryckuppbyggnaden och därigenom kopplingens funktion. Modellen ska vara parametriserad i så hög utsträckning som möjligt, för att göra den lättanvänd och skapa förutsättningar för att testa nya idéer som ännu inte finns på ritbordet. Gränssnittet för modellen ska vara sådant att nya delmodeller lätt ska kunna byggas in, och därigenom utveckla modellen till att omfatta mer än bara hydrauliken i kopplingen. Modellen ska vara noggrant dokumenterad i form av kommentarer i koden samt en HTML-manual. Både rapport och manual ska vara skrivna på svenska.

1.3 Mål Målet är en modell som simulerar driftsfall mellan -30 och 100 grader Celsius för oljeflöden genom kopplingen på upp till 800 ml/minut. Bra överensstämmelse med mätningar bör kunna uppvisas. Målet är även att visa styrkan med simuleringar och höja intresset för området under framtida utveckling av HLSC, samt bidra till en djupare förståelse för vad som påverkar tryckuppbyggnaden i kopplingen.

2

1.4 Avgränsningar Modelleringsarbetet är begränsat till hydrauliken i kopplingen och den mekanik som påverkar hydrauliken. Någon detaljerad modell av elektromagneten i reglerventilen ska inte byggas, och inte heller någon modell som beskriver överförbart moment i kopplingen. Båda dessa sa-ker är under utveckling i separata projekt.

1.5 Disposition Rapporten är – förutom de självskrivna kapitlen – uppdelad i två huvudkapitel, ”Teoretisk referensram” och ”Modellering”, där det första av dessa beskriver den befintliga teori som använts, samt härledningar från denna teori för att användas i arbetet. Dessa teorier är be-skrivna på ett så generellt sätt som möjligt, men motiveringar till att de tas upp är dock inklu-derade, vilket gör att en viss inblick i hur modellen är uppbyggd fås redan i detta kapitel. Det andra kapitlet beskriver hur modellen är uppbyggd, och hur teorierna har använts. Syftet med denna uppdelning är att det första kapitlet endast ska behöva läsas en gång, medan kapitlet som beskriver modellen ska kunna användas som uppslagsbok, utan omfattande teoretiska resonemang.

3

Kapitel 2 Haldex och HLSC

Haldex Traction AB är en division inom Haldex-gruppen och har som mål att vara den ledan-de tillverkaren av AWD-system (All Wheel Drive) för personbilar. Sedan 1992 innehar Hal-dex ett patent för en hydraulisk koppling för fyrhjulsdrift, som 1998 började levereras till fler-talet märken inom VAG-koncernen (består av Audi, Volkswagen, Seat, Skoda, Bugatti, Bent-ley och Lamborghini). Kopplingen, som går under namnet HLSC (Haldex Limited Slip Coup-ling) har sedan även introducerats på Volvos fyrhjulsdrivna modeller, vilket gör att kundbasen kan sammanfattas till Ford Motor Company (som äger Volvo) och VAG. Kopplingen har rönt stor framgång tack vare sina goda prestanda och sin låga energiförbruk-ning. Detta gör den till ett utmärkt val för bilförare som vill dra nytta av fyrhjulsdriftens för-bättring av framkomligheten, utan att det medför nackdelar i form av en märkbart större bränsleförbrukning, hög ljudnivå samt dålig flexibilitet, alla negativa sidor hos mer traditio-nella AWD-system. Kopplingen använder hydraulik för momentöverföring mellan fram- och bakaxel, och består förenklat av tre delar: pump, lamellpaket och reglerventil. Pumpen roterar med varvtalsskillnaden mellan axlarna, och pumpar således olja med en has-tighet motsvarande denna. Haldex kallar denna lösning för ”varvtalsskillnadspump”, och den består av tre ringformade kolvar, där de två inre (#2 & #3, se figur 2.1) fungerar som pump-kolvar och den yttre (#1, se figur 2.1) agerar arbetskolv. Arbetskolven har två funktioner, där den viktigaste är sammanpressning av lamellpaketet för momentöverföring mellan axlarna, och den sekundära är utjämning av pumpflödet. Kolvarna rör sig mot rullar som ligger an mot profiler på kamskivor, där profilerna är fasförskjutna och storleksmässigt anpassade så att net-topumpflödet idealt sett ska vara konstant vid en konstant varvtalsskillnad (se figur 2.2). Lamellpaketet består av sju sinterlameller (fixerade i framaxeln) och sju stållameller (fixerade i bakaxeln). Dessa pressas mot varandra av det tryck som verkar på arbetskolven, och kom-mer således att bromsa varvtalsskillnaden så fort den uppstår. Kopplingen kan därför sägas vara av självreglerande typ, det vill säga den kräver ingen aktiv reglering för sin huvudsakliga uppgift. Det krävs dock aktiv reglering för att kunna styra kopplingens egenskaper och anpassa mo-mentöverföringen till aktuell körsituation. Detta möjliggörs med en reglerventil med tillhö-rande elektronik. Reglerventilens uppgift är att styra tryckuppbyggnaden i kopplingen genom att variera strypningen och således motståndet för oljeflödet från varvtalsskillnadspumpen.

4

Figur 2.1. Genomskärning av kopplingen, med de tre ringfor-made kolvarna markerade samt ett hydraulschema.

Figur 2.2. Flödet från de tre cylindrarna, samt det ideala nettoflödet.

Förutom de delar som beskrivits ingår också en matarpump, ett filter och en ackumulator i HLSC. Matarpumpen i Gen II är endast till för att skapa ett grundtryck högre än atmosfärstrycket och därigenom ta bort eventuellt glapp mellan kamskivor, rullar och kolvar samt minska risken för kavitation i varvtalsskillnadspumpen. Kavitation kan förenklat sägas vara då gasbubblor bildas i en vätska och sedan kollapsar till följd av en hastig och tillfällig trycksänkning, vilket leder till stort slitage och dålig livslängd. Grundtrycket (4 bar) bestäms av tryckbegränsaren som är inbyggd i ackumulatorn. I Gen III höjs detta grundtryck, och trycket bestäms istället av en backventil med ett öppningstryck som motsvarar den önskade trycknivån. På så sätt kan trycket hållas högre än det i ackumulatorn vilket gör att lamellpake-tet kan pressas samman initialt, innan någon varvtalsskillnad uppstått mellan axlarna. Denna funktion kallas för ”Pre charge”, eller PreX. Om varvtalsskillnaden skulle bli så stor att varv-talsskillnadspumpen kräver ett högre flöde än matarpumpen kan ge, kommer detta grundtryck att falla till 4 bar, där en annan backventil öppnar och släpper igenom olja från ackumulatorn. I detta fall fungerar kopplingen likadant som Gen II. De två backventilerna som skiljer Gen III från Gen II är tillsammans med en av lågtrycksbackventilerna inbyggda i en och samma komponent. Denna komponent kallas PreX-ventil. Se figur 2.3 & 2.4 för en schematisk jäm-förelse mellan Gen II och Gen III.

5

Figur 2.3. Schematisk skiss över HLSC Gen II, med olika trycknivåer vid ingrepp.

Figur 2.4. Schematisk skiss över HLSC Gen III, med olika trycknivåer vid ingrepp. Oljetank ej utritad.

6

7

Kapitel 3 Teoretisk referensram

Detta kapitel beskriver den befintliga teori som har använts vid skapandet av simuleringsmo-dellen, och innehåller de ekvationer som nyttjats samt de härledningar som gjorts. Hur dessa senare har använts beskrivs närmare i kapitel 4.

3.1 Simuleringsteknik i HOPSAN Simulering av hydraulik i HOPSAN bygger på uppdelning mellan två olika sorters kompo-nenter, C- och Q-komponenter, där de förra är volymkomponenter och de senare flödeskom-ponenter. En C-komponent måste alltid placeras mellan två Q-komponenter och vice versa. Detta innebär att en modell alltid måste byggas upp med varannan C-komponent, varannan Q-komponent. Ett tidssteg börjar med att alla C-komponenter beräknas, där informationen från de intilliggande Q-komponenterna tas från föregående tidssteg. Därefter kommer resultatet att skickas till intilliggande Q-komponenter så att dessa kan beräknas. Sammanfattningsvis kan beräkningar av C-komponenter förenklat sägas vara tryck som funk-tion av flöde och beräkning av Q-komponenter är flöde som funktion av tryck, och alla kom-ponenter kan därför beräknas helt separat utan att stora ekvationssystem behöver skapas. För en mer detaljerad förklaring av simuleringstekniken i HOPSAN, se ”User’s guide to HOP-SAN” [1]. Ett tydligt krav som simuleringstekniken i HOPSAN ställer på själva modellerandet är att alla Q-komponenter måste beskrivas på formen flöde som funktion av tryck. Exempel på typiska Q-komponenter är alla former av ventiler och pumpar. Typiska exempel på C-komponenter är ledningar och kammare.

3.2 Reglerventil På flera ställen i reglerventilen strömmar olja, och hur dessa strömningar kan beskrivas teore-tiskt är därför centralt.

3.2.1 Laminär & turbulent strömning Strömning brukar generaliseras till två huvudtyper: laminär och turbulent, där laminär ström-ning är en virvelfri strömning utan kollision mellan partiklar. Turbulent strömning är – som namnet antyder – en kaotisk strömningsform med förekomst av virvlar. Övergångsområdet mellan de två typerna är givetvis inte momentan, men vid beräkningar brukar detta förutsättas

8

vara fallet, och övergångspunkten bestäms av det dimensionslösa Re-talet (Reynolds), som beräknas:

νLUeR ⋅

=

(3.2.1.1)

där U är fluidens medelhastighet, L är karakteristisk längd (t.ex. diametern i fallet cirkel), och ν är fluidens kinematiska viskositet. Det Re-tal där övergången mellan laminär och turbulent strömning sker beror i huvudsak på geometrin hos kanalen som fluiden ska passera.

3.2.2 Strypningar En strypning kännetecknas av en minskning av tvärsnittsarean hos den kanal som fluiden fär-das genom, och strömningen därigenom kan beskrivas med strypekvationen:

)(221 ppACq q −=

ρ (3.2.2.1)

där Cq är en dimensionslös flödeskoefficient, A är tvärsnittsarean för strypningen, ρ är flui-dens densitet, och p1 och p2 är statisk trycknivå uppströms respektive nedströms strypningen. Differensen mellan dem beskriver tryckfallet och kan även skrivas som ∆p. Strypningar kan delas upp i två huvudtyper, rörsstrypningar och hålkantstrypningar, där rör-strypningar karakteriseras av att längden är av sådan storlek att den får inverkan på ström-ningen, medan hålkantstrypningar inte uppfyller detta kriterium och kan anses vara längdlösa.

Hålkantstrypningar Reglerventilens inlopp kan ses som en variabel hålkantstrypning. För att kunna beräkna flöde genom en hålkantstrypning krävs ett värde på flödeskoefficienten Cq. Von Mises [2] har stu-derat flöde genom hålkantstrypningar, och kommit fram till att värdet är konstant vid höga Re-tal, det vill säga i det turbulenta området. Där kan Cq sättas till:

611.02

≈+

=π

πqC

(3.2.2.2)

Wuest [2] har studerat flöden genom samma typ av strypning vid låga Re-tal (laminär ström-ning), och kommit fram till ekvationen:

34.50hd

qp⋅⋅

⋅=∆π

µ

(3.2.2.3)

där ∆p är tryckfallet över strypningen, µ är fluidens dynamiska viskositet, och dh är den hyd-rauliska diametern, som beräknas:

9

ts

tsh O

Ad

4=

(3.2.2.4)

där Ats är arean för det aktuella tvärsnittet och Ots är omkretsen för detsamma. Begreppet ”hydraulisk diameter” är ett approximativt sätt att betrakta alla tvärsnitt som cirklar, och där-igenom kunna använda samma enkla formler oavsett geometri. För att veta när laminär respektive turbulent strömning råder måste vi hitta det Re-tal där omslaget sker. Vi vill skriva om ekv 3.2.2.3 (Wuests ekvation) på samma form som strypek-vationen, och löser därför först ut q, samtidigt som vi identifierar och ersätter uttrycket för cirkelarea med A. Denna ersättning kommer att skapa ett större fel ju större avvikelse från en cirkel som tvärsnittet har, men är nödvändig för att komma vidare. Vi får:

( )214

4.501 pp

Adq h −⋅=

µ (3.2.2.5)

q kan även skrivas:

UAq ⋅=

(3.2.2.6) där U – som i uttrycket för Re-talet – är fluidens medelhastighet. Multipliceras båda sidorna i ekv. 3.2.2.5 med q kan vi skriva:

( )21

22 4

4.501 pp

UdAq h −⋅=

µ (3.2.2.7)

Den dynamiska viskositeten µ är lika med den kinematiska viskositeten multiplicerad med densiteten:

ρνµ ⋅=

(3.2.2.8) vilket gör att vi kan skriva:

( )2122 14

4.501 ppA

Udq h −⋅⋅=

ρν (3.2.2.9)

Vi kan nu identifiera uttrycket för Re-talet och skriva:

( )2122 2

4.502 ppAeRq −⋅⋅⋅=

ρ (3.2.2.10)

Kvadratrot på båda sidor ger:

10

( )212

4.502 ppAeRq −⋅⋅⋅=

ρ (3.2.2.11)

vilket efter identifiering med flödeskoefficienten Cq i strypekvationen (ekv. 3.2.2.1) gör att vi kan lösa ut:

eRCq ⋅=4.50

2

(3.2.2.12)

Ur de två olika uttrycken för Cq (ekv. 3.2.2.2 & 3.2.2.12) kan man dra den viktiga slutsatsen att turbulent strömning endast är densitetsberoende (med avseende på oljeegenskaper), medan laminär strömning även beror av den kinematiska viskositeten (som ingår i Re-talet). Alterna-tivt kan den sägas endast bero av den dynamiska viskositeten, som framgår av Wuests ekva-tion. Det Re-tal där omslag mellan laminär och turbulent strömning sker kan nu sättas till skärning-en mellan de två Cq-kurvorna, vilket ger att omslag sker vid:

408.92

4.50)2( 2

2

≈⋅+

=π

πeR

(3.2.2.13)

Överensstämmelsen mellan verkligheten och de teoretiska beräkningarna av flödeskoefficien-ten Cq i hålkantstrypningar beror till stor del av geometrin hos strypningen. Vid ett litet för-hållande mellan stryparean och tvärsnittsarean före strypningen (A0/A1 < 0.1) kan överens-stämmelsen sägas vara god, men i det turbulenta området kommer alltid flödeskoefficienten att underskattas. Formen på tvärsnittet är en annan del av geometrin som påverkar flödeskoef-ficienten, och den kommer i verkligheten att öka ju mer tvärsnittet avviker från en cirkel. Vanligt teoretiskt värde på flödeskoefficienten vid turbulent strömning är 0.67, men värden upp till 0.8 är inte ovanligt, som illustreras i figur 3.2.2.1.

11

Figur 3.2.2.1. Modellerad och verklig flödeskoefficient vid olika areaförhållanden.

Rörstrypningar Magnetkärnans och magnetnålens dämpningskanaler kan ses som skarpkantade rörstrypning-ar. Strömningen genom sådana kan antas vara laminär då Re < 2300 [3]. För att kontrollera om detta gäller i vårt fall löser vi först ut strömningshastigheten i de olika dämpningskanaler-na ur uttrycket för Re-talet:

LeRULUeR ⋅

=⇒⋅

=ν

ν (3.2.2.14)

Areaförhållandet mellan dämpningskanalen/dämpningskanalerna och det tvärsnitt som flyttar vätskan kommer att ge en omräkningsfaktor till slidhastighet. För de stora kanalerna (två till antalet, se 4.5.2 för beskrivning av ventilen) genom magnetkärnan blir denna faktor:

042.0

4

42

21

20

1 ≈=d

d

Rπ

π

(3.2.2.15)

12

där d0 är diametern för dämpningskanalerna och d1 är diametern för magnetkärnan. För de små kanalerna genom magnetnålen blir denna faktor:

022.0

4

42

3

22

2 ≈=d

d

Rπ

π

(3.2.2.16)

där d2 är diametern för kanalen och d3 är diametern för magnetnålen. Vi kontrollerar nu vilken slidhastighet som kommer att skapa turbulent strömning i någon av dämpningskanalerna genom att multiplicera strömningshastigheterna i kanalerna med omräk-ningsfaktorn R1 respektive R2, sätta in omslagsvärdet för Re-talet (Re = 2300) och det minsta aktuella värdet på kinematisk viskositet och får:

37.00

11 ≈⋅

=d

eRRv ν

(3.2.2.17)

57.02

22 ≈⋅

=d

eRRv ν

(3.2.2.18)

Den minsta av dessa hastigheter (0.37 m/s) är den hastighet där turbulent strömning genom en dämpningskanal först kommer att uppträda, och är av orimlig storlek. Det skulle innebära att sträckan som slaglängden motsvarar tillryggaläggs på några få millisekunder, vilket får antas vara orimligt. Simuleringar har heller aldrig uppvisat responstider i närheten av denna. Vi an-tar därför att strömningen genom dämpningskanalerna alltid är laminär, och använder det em-piriska uttrycket [3]:

2300,,64)28.6tanh(28.15.1

144.0

<=++

= eReRd

lxdärxx

Ch

q (3.2.2.19)

där l är längden på rörstrypningen. Detta värde på Cq kan sedan sättas in i strypekvationen (ekv. 3.2.2.1).

3.2.3 Rörströmning Passagen mellan midjan och fodret i reglerventilen (se 4.5) har ett ringformat tvärsnitt, och flödet genom den kan beskrivas med teori för rörströmning, (ej rörstrypning, då den varken har ett skarpkantat inlopp eller utlopp). Tryckförlusten på grund av friktion kan beräknas med följande uttryck [4]:

eRdärU

dlph

f64

21 2 =⋅=∆ λρλ

(3.2.3.1)

13

där λ är en förlustfaktor, l längden på röret och U (som tidigare) strömningshastigheten. Detta uttryck gäller vid laminär strömning (Re < 2300), och vi måste därför kontrollera om detta gäller i vårt fall. Precis som i fallet med rörstrypning kan vi lösa ut strömningshastigheten ur uttrycket för Re-talet:

LeRULUeR ⋅

=⇒⋅

=ν

ν (3.2.3.2)

För att kunna kontrollera rimligheten vid Re = 2300 räknar vi om strömningshastigheten till flöde, och sätter in parametrar (Re = 2300 och minsta aktuella värdet på kinematisk viskosi-tet). Den karakteristiska längden L blir i det här fallet den hydrauliska diametern, vilken för ett ringformat tvärsnitt blir differensen mellan de två diametrarna d5 och d4 (kan även beräknas med ekv. 3.2.2.4):

4

45

24

25

24

25 102.1

)(4)(

4)(

, −⋅≈−⋅

⋅−

=⇒

−=⋅=⇒

⋅=

ddeRdd

qdd

AUAqL

eRU νππν (3.2.3.3)

Vid 100°C krävs det alltså ett flöde på 1.2⋅10-4 m3/s (eller 7.3 l/min) för att strömningen ska bli turbulent. Detta flöde motsvarar en varvtalsskillnad på flera hundra RPM i kopplingen, och är ett skyhögt och ej aktuellt värde i HLSC. Därför kan vi med god noggrannhet räkna laminärt i utloppskanalen. Omskrivning av uttrycket ger nu:

[ ] qddd

ldd

qdl

ddq

AqUU

dl

UdUeRU

dl

eRp

hh

h

h

hf

⋅−⋅

===

−⋅=

=

−===⋅=

⋅

==⋅=∆

)(128

4)(2

164

4)(2

1642164

24

25

224

25

2

24

25

22

2

πµµρν

πρν

πρν

νρ

(3.2.3.4)

Som parentes kan nämnas att om tvärsnittet hade varit cirkelformat (med diametern d) istället för ringformat hade uttrycket utmynnat i:

qd

lp f ⋅=∆ 4

128π

µ

(3.2.3.5)

som kallas Hagen-Poiseuilles ekvation [4]. Vi löser ut q ur ekv 3.2.3.4:

)(128

)(21

24

25

2

ppl

dddq h −

−⋅=

µπ

(3.2.3.6)

14

3.2.4 Dämpning Dämpning i reglerventilen uppkommer av att oljan på grund av slidrörelsen tvingas strömma genom dämpningskanaler i magnetsliden. I och med strömningen genom kanalerna faller trycket, vilket kommer att leda till en kraft som är motriktad rörelsen. Denna kraft kan beräk-nas genom att lösa ut tryckfallet ur strypekvationen och multiplicera med aktuell area:

22)(2

22

21ρρ

ρ⋅

⋅=⇒⋅

=∆⇒−=

kanalqtsdämpning

kanalqkanalq AC

qAFACqpppACq

(3.2.4.1)

där Akanal är arean för kanalen/kanalerna och Ats är arean för tvärsnittet som flyttar vätskan. Cq kan beräknas enligt ekv. 3.2.2.19.

3.2.5 Strömningskrafter Strömningskrafter uppkommer i alla ventiler, och kan beräknas enligt uttrycket [3]:

qlppACF qs &ρδ +−= cos)(2 21

(3.2.5.1) där δ är strålvinkeln vid strypstället och l är längden mellan inloppet och utloppet (se figur 3.2.5.1). Positiv riktning av Fs är stängande riktning, och den första termen i uttrycket (den stationära strömningskraften), kommer därför alltid att verka i den riktningen (oavsett ström-ningsriktning). Flödet genom ventilen, q, är definierat positivt när det strömmar ut från venti-len vid strypstället, det vill säga tvärtom mot vad som är normalfallet i Haldex reglerventil, där strypstället sitter vid ventilens inlopp. Den stationära strömningskraften kan till stor del påverka ventilläget. Den andra termen – den dynamiska strömningskraften – kan verka i båda riktningar, och ändrar också riktning med strömningsriktningen. Vanligtvis är den dynamiska strömningskraften av försumbar storlek. För beräkning av den stationära delen krävs alltså kännedom om strålvinkeln, något som kan vara problematiskt i fallet slidventil (t.ex. Haldex reglerventil). Inga bra teorier existerar för beräkning av denna, men sunt förnuft kan användas för att ställa upp en enkel modell. Vill man gå djupare in på problemet kan CFD-analys användas. För fallet sätesventil är det betyd-ligt enklare, där strålvinkeln kommer att ligga väldigt nära sätesvinkeln.

15

Figur 3.2.5.1. Ventilslid med strömningskrafter, strypningen vid utloppet. Bild ur formelsamling [3].

3.2.6 Öppningsarea För beräkning av öppningsarean krävs formler som beskriver arean som funktion av utstyr-ningen av ventilen. Sådana formler är framtagna av Pär Marklund [5] och gäller den befintliga reglerventilen med två krypspår eller ”kerbar” (se 4.5.3 för beskrivning av ventilen).

3.3 Varvtalsskillnadspump Varvtalsskillnadspumpen innehåller som tidigare nämnts tre kolvar, vars rörelser och storlekar är anpassade så att nettorörelsen – och därigenom också nettoflödet – ska vara konstant. Kol-varna gör tre cykler per varv (120° / cykel), och vinkelderivatorna av kamprofilernas höjd-funktioner är givna av Haldex [6]:

−=

−=

=°≤<°

130

30

300

33

22

11

φφ

φφ

φφ

Cd

dX

Cd

dX

CddX

16

3030

3060

3030216030

33

22

11

−=

−=

−

−=°≤<°

φφ

φφ

φφ

φ

Cd

dX

Cd

dX

CddX

−

−=

−=

−=°≤<°

30601

3060

9060

33

22

11

φφ

φφ

φφ

Cd

dX

Cd

dX

CddX

309030

901

30902112090

33

22

11

−−=

−

−=

−

+−=°≤<°

φφ

φφ

φφ

φ

Cd

dX

Cd

dX

CddX

(3.3.1) där X1, X2 och X3 är kamprofilernas höjd, C1, C2 och C3 konstanter och φ ska anges i grader. För att få fram värden på C1, C2 och C3 går vi över till radianer, integrerar vinkelderivatorna i de intervall/delintervall som representerar vägen från dal till topp, sätter integralerna lika med respektive amplitud för kamprofilerna och löser ut konstanterna, vilket ger:

4/1

1 πhC =

(3.3.2)

6/2

2 πhC =

(3.3.3)

6/3

3 πh

C =

(3.3.4)

där h1, h2 och h3 är amplituder för kamprofilerna. Det kan vara av intresse att ta fram det teoretiska uttrycket för hur kamamplituderna beror av varandra under förutsättningen att nettoflödet ska vara konstant. Om man antar att pumpkol-varna (2 & 3) har exakt samma area och kamamplitud, och att arean för arbetskolven (1) är känd, kan kamamplituden för denna tas fram genom följande lösningsgång:

17

Eftersom de två inre kolvarna har samma kamprofil och area behöver vi bara studera ett inter-vall. Vi väljer intervallet 30°<φ<60°, där endast kolv 3 bidrar till flöde till högtryckssidan (kolv 2 suger olja från lågtryckssidan). De två uttrycken för vinkelderivatorna är:

−

−=30

302111 φ

φC

ddX

(3.3.5)

3030

33 −

=φ

φC

ddX

(3.3.6)

Flödet ska vara konstant över intervallet, förutsatt att vinkelhastigheten är konstant. Detta gör att vi kan sätta summan av vinkelderivatorna multiplicerade med respektive cylinderarea kon-stant:

.30

3030

3021 3311 konstCACA =−

+

−

−φφ

(3.3.7)

Ytterligare derivering, nollekvivalens, insättning av uttrycken för C1 och C3 (ekv 3.3.2 & 3.3.4) samt förenkling ger då:

1

331 4

3A

Ahh

⋅=

(3.3.8)

Förhållandet mellan de kamamplituder och cylinderareor som idag används i HLSC överens-stämmer bra med denna ekvation.

3.4 Styvhet & kompressionsmodul Utgångspunkten för styvhetsmodellen i kopplingen är att det finns en funktion som beskriver den totala styvheten som funktion av trycket vid en given temperatur. En sådan har med hjälp av mätningar tagits fram av Haldex, genom att man har kört kopplingen i en rigg med en kon-stant varvtalsskillnad, stängt ventilen och studerat tryckuppbyggnaden. Haldex kallar denna funktion kompliansfunktion [7], och den skrivs:

−+==

−

∆631)( 0

pp

eCCdVdppC

(3.4.1)

där C0, C∆ och p63 är konstanter som anpassats för att få bra överensstämmelse med mätning-ar. Ekvationer inom hydrauliken innehåller dock en annan storhet för styvhet – kompres-sionsmodul. Det så kallade tangentvärdet för kompressionsmodulen, som gäller vid små för-ändringar från ett godtyckligt tillstånd, är det mått på styvhet som passar att använda i model-leringssammanhang. Sekantvärdet för kompressionsmodulen, som är ett annat mått på styv-

18

het, gäller endast från förändringar från ett enda grundtillstånd, och kan därför inte nyttjas här. Tangentvärdet skrivs:

dVdpVt =β

(3.4.2)

och kan ses som ett mått på motstånd mot tryckuppbyggnad på grund av kompressibilitet hos hydraulvätskan, alternativt elasticitet hos mekaniska delar som får samma effekt. Kompres-sionsmoduler är endast definierade positivt, och eftersom en tryckökning kan leda till både volymminskning (kompression av vätska) och volymökning (expansion av kammare) måste uttrycket justeras med ett minustecken i fallet för vätskan. Sambandet mellan kompliansfunktionen och kompressionsmodulen blir:

CV ⋅=β

(3.4.3) För att överföra kompliansfunktionen till en funktion för den totala kompressionsmodulen multiplicerar vi därför med den volym som mätningarna har gjorts på:

−+==

−

∆631)()( 0

pp

mätmättot eCCVpCVpβ (3.4.4)

Om vi nu känner till en funktion som beskriver den totala kompressionsmodulen i kopplingen kan vi mer detaljerat modellera enstaka styvheter, översätta dem till en ekvivalent kompres-sionsmodul, och dra bort inverkan av dem från den totala kompressionsmodulen, med hjälp av ekvationen:

...1111

321 ββββ++=

tot (3.4.5)

På så sätt kommer vi inte att ta hänsyn till samma styvhet flera gånger, utan hålla den totala styvheten konstant, och de styvheter som inte modelleras i detalj beskrivs sammanslaget av det som återstår efter beräkningen. En förutsättning är givetvis att denna återstående kompres-sionsmodul inte får vara negativ vid någon aktuell trycknivå, vilket skapar begränsningar för styvhetsparametrarna.

3.4.1 Mekanik Den mekaniska vekheten i kopplingen kommer att påverka tryckuppbyggnaden i systemet på samma sätt som kompressibilitet av vätskan gör. Om vi begränsar oss till töjning i en enda riktning kan vi modellera denna vekhet med linjära elasticiteter i form av fjäderkonstanter. Enligt tidigare resonemang om total kompressionsmodul och subtraktion av de delar som mo-dellerats i detalj (se 3.4) måste dessa fjäderkonstanter översättas till en ekvivalent kompres-sionsmodul, vars inverkan dras bort från den totala. Eftersom vi har begränsat oss till rörelser

19

i en riktning går vi över till en dimension, och kan utgående från definitionen av kompres-sionsmodul skriva:

ft K

A

dXdFA

dpdV

dXAA

dF

VdVdpV

22

=

=⇒⋅

⋅==β (3.4.1.1)

där X är sträckan i rörelseriktningen och A är arean för det mot rörelseriktningen vinkelräta tvärsnitt som kommer att förflytta sig på grund av töjningen. Kf är fjäderkonstanten, och dV/dp kan sägas vara volymgradienten. Det kan förstås intuitivt, att om samma tryck råder i alla kammare kan den totala volymgradi-enten skrivas som en summa:

...3

23

2

22

1

21

fff

tot

KA

KA

KA

dpdV

++=

(3.4.1.2)

Viktigt att observera är att areorna (A1, A2, A3 ...) inte är area för respektive kammare, utan är arean för det tvärsnitt som kommer att förflytta sig vid töjning av respektive del. Vad dessa areor blir beror på hur de olika delarna sitter fixerade i varandra; töjning av en del kan ju med-föra att volymen hos flera kammare ökar. Hur dessa areor blir i vårt fall beskrivs i kapitel 4. Den ekvivalenta kompressionsmodulen kan nu skrivas:

...

1

3

23

2

22

1

21

fff

tot

tottotekv

KA

KA

KA

V

dpdV

V++

=

=β

(3.4.1.3)

3.4.2 Olja Oljans tangentvärde för kompressionsmodulen kan funktionsanpassas efter diagram eller ta-bellvärden som baseras på mätningar. För luftinblandning i oljan kan följande funktion an-vändas [3]:

nt

tttluft

pp

xpnx

pydärpyp 1

0

0

0

)1(1

1)()()(

−⋅

+

=⋅=β

ββ(3.4.2.1)

där p är trycket, p0 atmosfärstryck, x0 volymsandel luft i oljan och n polytropexponent för luft.

20

3.5 Backventiler Backventiler kan precis som reglerventilens inlopp beskrivas som en variabel hålkantstryp-ning (se 3.2.2), där öppningsarean beror av kulans läge.

Öppningsarean kan beskrivas som mantelarean för en stympad kon, vilken enkelt kan härledas ur formeln för en kons mantel-area:

konkon SrA ⋅⋅= 1π (3.5.1) Genom att subtrahera mantelarean för en kon, med bottenradie r2 och sidlängd S, från mantelarean för hela konen i figuren får man mantelarean för den stympade konen:

( )stympadstympadstympad

stympadkonkon

konstympad

SSSA

SSSochSrSrdärSrSrA

⋅⋅+⋅⋅=⇒

⇒+=⋅=⋅=

⋅⋅−⋅⋅=

2)sin(

)sin(,)sin(,

2

21

21

απ

αα

ππ

(3.5.2)

Den punkt på kulan vars tangent är parallell med sätet, är även den punkt som ligger an mot sätet då ventilen är stängd. Det innebär att det ortogonala avståndet mellan kulan och sätet, Sorto, är en katet och kulans läge, Xbv, är hypotenusa i en rätvinklig triangel (se figur 3.5.2). Det ortogonala avståndet kan nu beräknas:

Identifiering ger att Sstympad (se figur 3.5.1) motsvaras av Sorto, S av kulans radie och α av sätesvinkeln, vilket ger öppningsarean:

3.6 Ackumulator Ackumulatorn kan beskrivas som en cylinder, som tar eller ger flöde från/till lågtryckssidan. Flödet från ackumulatorkolven beror endast av dess hastighet, och inga särskilda teorier be-hövs därför för denna komponent. Den tryckbegränsare som är inbyggd i ackumulatorn kan beskrivas som en variabel turbulent strypning (se 3.2.2) där öppningsarean beror av kolvens läge.

bvsäteorto XS ⋅= )cos(α (3.5.3)

( )ortokulaortosätebv SrSA ⋅⋅+⋅⋅= 2)sin( 2απ (3.5.4)

Figur 3.5.2.

Sortosäte

Xbv αsäte

kula

Figur 3.5.1.

r1

α s

sstympad r2 skon

αsäte

Sorto

säte

rkula

αsäte

Figur 3.5.3.

21

3.7 Säkerhetsventil Säkerhetsventilen på högtryckssidan kan precis som ackumulatorns tryckbegränsare beskrivas som en variabel turbulent strypning (se 3.2.2).

3.8 Viskositet Viskositet är ett mått på hur trögflytande en fluid är och är till exempel en faktor i beräkningar av laminärt flöde och Re-talet. Ju högre viskositeten är ju högre blir den viskösa friktionen. Viskositeten ökar med både tryck och temperatur. Om man jämför viskositetens förändring över det temperaturspann (-30˚C till 100˚C) vi avser att simulera med tryckspannet (0 till 100 bar) så är förändringen beroende av tryck betydligt mindre än förändringen beroende av temperatur. Detta i kombination med att vi ej har tillgång till mätningar gjorda vid olika tryck har lett till att vi försummar tryckberoendet. Walthers ekvation [8] är ett sätt att uppskatta viskositeten vid olika temperaturer utifrån två givna mätpunkter. Ekvationen innehåller två okända konstanter och resten olje- och omgiv-ningsspecifika faktorer. Walthers ekvation är formulerad enligt följande:

−

=

⋅−

⇒

⋅

log(T)

A0.8+loglogB

log(T)B0.8+loglog =A

oljor)mellan akan varier 0.8n (konstante log(T),B+A0.8+loglog

visk

visk

viskvisk

viskvisk

ρµ

ρµ

ρµ

(3.8.1) där T är den absoluta temperaturen, µ är den dynamiska viskositeten och ρ är oljans densitet. Konstanterna Avisk och Bvisk bestäms genom att man sätter in värden från två uppmätta viskosi-teter vid två olika temperaturer. Detta skapar ett ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta, varur konstanterna kan lösas ut. När Avisk och Bvisk är beräknade får man ett uttryck för dynamiska viskositeten som funktion av temperaturen:

ρµ 8.010)(

10

−=

viskB

viskA

TT

(3.8.2)

23

Kapitel 4 Modellering

Detta kapitel beskriver hur modellen är uppbyggd, och hur teorierna som beskrivits i kapitel 3 har använts. Hänvisningar till teorin är inlagd i avsnitten, så att läsaren lätt kan gå tillbaka och kontrollera bakgrunden till modelleringen.

4.1 Simuleringsteknik Det finns flera saker som kännetecknar en bra simuleringsmodell (förutom god överensstäm-melse), och som man bör ha i åtanke vid programmeringen.

4.1.1 Fysikalitet & parametrisering Fysikaliska ekvationer bör användas i så lång utsträckning som möjligt, snarare än empiriska samband, detta för att stärka verklighetskopplingen och skapa möjligheter för en långt gången parametrisering. Empiriska samband bör användas endast då härledningar från ekvationer blir för problematiskt eller omfattande, eller av andra anledningar inte är möjligt. Parametrisering med avseende på mått och materialkonstanter kommer att ge bra flexibilitet och användarvän-lighet, och höjer samtidigt trovärdigheten för modellens förmåga att avbilda verkligheten. En väl utförd parametrisering skapar förutsättningar för att modellen kan utvecklas i linje med det som modellerats.

4.1.2 Numerik Modelleringssätt bör väljas som inte bara ger bra överensstämmelse, utan som även är nume-riskt fördelaktiga, detta för att få bra stabilitet och prestanda. Ibland kan det vara nödvändigt att låta numeriken gå före fysikaliteten vid val av modelleringssätt, främst av stabilitets- och prestandaskäl. Eftersom simuleringar alltid är uppdelade i diskreta tidssteg bör man till exem-pel undvika derivering, och hellre utgå från ett givet samband för den högsta aktuella deriva-tan. De lägre ordningarna fås sedan fram genom integrering, som är väsentligt bättre än deri-vering i simuleringssammanhang.

4.1.3 Prestanda Fördelarna med en snabb simuleringsmodell är uppenbara, men vikten av det är inte given. En modell som är noggrann men långsam kan vara att föredra framför en som är snabb men inex-akt. Vad som är viktigt beror på modellens huvudsakliga användningsområde, som kan vara allt från att testa färdiga konstruktionsförslag – där noggrannhet får anses vara viktigast – till att testa nya idéer i en första fas, där snabbhet snarare är det som avgör nyttan. Vid framtag-

24

ningen av denna modell har fokus lagts på både snabbhet och noggrannhet, och resultatet kan sägas vara en kompromiss.

4.2 Modellöversikt I figur 4.2.1 & 4.2.2 visas översiktsbilder av de modeller som har byggts av Gen II respektive Gen III. Figurerna visar det grafiska gränssnitt i HOPSAN som använts vid modelleringen, med delar av kopplingen grupperade och markerade. I bilden för Gen III är endast det som skiljer Gen III från Gen II markerat, och de två backventilerna på lågtryckssidan utgör PreX-funktionen. De olika delarna av modellerna beskrivs i kommande avsnitt enligt följande: Delar av modell Avsnitt ”Varvtalsskillnad”, ”Kamprofiler” och ”Kolvflöden & cylindervolymer” ”Backventiler” ”Pålagd ström → magnetkraft” och ”Reglerventil” ”Lågtryckssida” ”Säkerhetsventil” ”Temperatur → oljeviskositet & matarpumpvarvtal”

4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.6 & 4.8

Figur 4.2.1. Översikt av HOPSAN-modell, Gen II. Delar av modellen grupperade och markerade.

25

Figur 4.2.2. Översikt av HOPSAN-modell, Gen III. Endast lågtryckssidan skiljer de två modellerna åt.

4.3 Varvtalsskillnadspump

4.3.1 Kamprofiler & kolvhastigheter För kamprofilerna i HLSC existerar färdiga funktioner för vinkelderivatorna (se 3.3). Dessa funktioner är dock skrivna på en form som inte är lämplig för att användas direkt. För att ska-pa en generell modell skriver vi om de olika kamprofilernas funktioner till radianer, och defi-nierar om intervallen så att φ = 0 gäller på profilens lägsta punkt. Eftersom de två pumpprofi-lerna är identiska förutom fasförskjutning gör detta att vi endast får två olika profiler istället för tre (se appendix A för de fullständiga matematiska funktionerna). För att pumpprofilerna ska få rätt vinkelderivata vid en given vinkel fasförskjuts istället insignalen till den funktion som genererar dessa, beroende på vilken kolv som ska beräknas. Utsignalen från modellen av varvtalsskillnadspumpen ska slutligen bli ett flöde, och den kolvstorhet som ska bestämmas är därför hastigheten för varje kolv vid en given vinkel och en given varvtalsskillnad. Därför multipliceras vinkelderivatorna med varvtalsskillnaden, enligt kedjeregeln:

dtd

ddXvkolv

φφ

⋅=

(4.3.1.1)

Observera att detta samband kommer att beräkna kolvarnas hastighet relativt respektive kam-skiva, och inte kolvarnas hastighet i förhållande till cylinderlocket.

4.3.2 Alternativa kamprofiler Alternativa kamprofiler för pumpkolvarna är under utveckling, som syftar till att minska tryckvariationerna i kopplingen. Dessa är implementerade i modellen på samma sätt som standardprofilerna.

26

4.3.3 Kolvflöden För att beräkna flödet från eller till respektive kolv krävs beräkning av varje kolvs hastighet i förhållande till cylinderlocket, och även beräkning av samma hastighet för kolvringarna som sitter placerade på varje kolv. Dessa är inte helt fixerade i kolvarna, och representerar en del av cylinderarean som inte är försumbar. Deras rörelse i förhållande till respektive kolv är därmed intressant.

Rörelser hos kolvringar Kolvringarna är två stycken slutna metallringar placerade i ett spår på in- och utsidan av varje kolv, där spåret är aningen större än själva kolvringen, av monteringsskäl. Detta kommer att göra att kolvringarna kan röra sig i kolvens riktning i förhållande till denna; rörelsen hindras dock av de O-ringar av gummi som sitter inklämda mellan kolvringarna och kolven, detta för att motverka läckage. Vidare är ytterdiametern för kolvringen på utsidan av varje kolv större än ytterdiametern för respektive cylinder, och på samma sätt är innerdiametern för kolvringen på insidan av varje kolv mindre än den för cylindern. Detta kommer att göra att kolvringarna kläms ihop då kolvarna är monterade i cylindrarna, med statisk friktion mellan kolvring och cylindervägg som följd. Kolvringarnas egenskaper kommer också att medföra att läckspalten mellan kolvring och cylinder blir minimal, och läckage modelleras därför inte. Se figur 4.3.3.1 för bild av kolvringar och O-ringar.

Figur 4.3.3.1. Kolvringar och O-ringar monterade på en av de ringformade kolvarna i HLSC.

För att modellera dessa kolvringars rörelse tänker vi oss de två kolvringarna på varje kolv som en, och kraften som verkar på dessa kolvringar (förutom friktionskraften) kan beräknas:

ringoringcylhusring FAppF −+⋅−= )(

(4.3.3.1)

27

där phus är trycket i kopplingshuset, pcyl trycket i cylindern, Aring arean för kolvringarna och Fo-

ring är kraften från O-ringarna. Dessa två O-ringar förenklar vi till en linjär fjäder, och de tvär-krafter som de påverkar kolvringarna med kan då beräknas:

ringringofringo XKF ⋅= −− ,

(4.3.3.2) där Kf,o-ring är fjäderkonstanten och Xring är kolvringarnas avvikelse från jämviktsläget, som antas vara i mitten av spåret. Läget för kolvringarna kan definieras positivt i riktning mot kopplingens främre del, och be-räknas statiskt med hjälp av följande kraftbalans:

ringof

frikringcylhusring

F

ringringoffrikringcylhus KFApp

XXKFAppringo

−−

+⋅−=⇒=⋅−+⋅−

−,

,

)(0)(

44 344 21 (4.3.3.3)

Denna ekvation innehåller två obekanta, Xring och Ffrik, där den senare är den kraft som upp-kommer av den statiska friktionen mellan kolvring och cylindervägg. Denna friktionskrafts belopp och riktning kommer i verkligheten att bero på övriga krafter; som exempel kommer den att vara noll om trycknivån på båda sidor om kolvringen är lika (obelastat tillstånd). Den kommer också att ha en övre gräns, och vi beräknar därför denna kraft på följande sätt: 1) Fo-ring beräknas enligt ekv. 4.3.3.2, där värdet på Xring tas från föregående tidssteg. Däref-

ter beräknas Fring enligt ekv. 4.3.3.1.

2) Om kolvringarnas hastighet i föregående tidssteg var ~0, eller om deras hastighet bytte tecken under de två föregående tidsstegen, antas kolvringarna stå stilla och beloppet av Ffrik sätts till:

frikpring

frikpring

ring

frikpfrik FF

FFFF

F<

>

=,,

(4.3.3.4)

där Ffrikp är den maximala statiska friktionen, som är en parameter som ställs in för varje kolv. Riktningen av Ffrik sätts till motsatt riktning jämfört med Fring. Detta beräkningssätt kommer att göra att Ffrik inte överstiger summan av de övriga krafterna samt får motsatt riktning, som kommer att bli fallet i verkligheten vid stillastående.

3) Om villkoren i steg (2) inte är uppfyllda antas kolvringarna ha en rörelse, och beloppet av Ffrik sätts till:

10, <<⋅= dynfrikpdynfrik KFKF

(4.3.3.5) där Kdyn är den andel av Ffrikp som ska verka vid rörelse (dynamisk friktion). Denna an-sättning är inte bara fysikaliskt korrekt utan även bra ur ett numeriskt perspektiv, då ris-ken för att kolvringarna börjar röra sig och sedan fastnar i nästa tidssteg minskar. Rikt-

28

ningen av Ffrik sätts till motsatt rörelseriktningen. Nu kan Xring beräknas enligt ekv 4.3.3.3, och hastigheten hos kolvringarna relativt kolven kan beräknas genom att högpassfiltrera Xring, som kommer att bli samma sak som en lågpassfiltre-rad derivata. Att använda derivatan har ju kritiserats tidigare i rapporten (se 4.1.2), men i detta fall är det numeriskt fördelaktigt, i och med att positionen för kolvringarna kan beräknas di-rekt istället för att integreras fram. Skulle kolvringarna modelleras separat som ett massa-fjäder-dämpare-system skulle problem kunna uppstå med positionen för dessa, som riskerar att driva iväg från kolven på grund av avrundningsfel i beräkningarna. Kolvringarnas rörelse relativt kolvarna påverkar vidare flödet ganska marginellt, eftersom de grovt sett följer kol-varnas rörelse. Lösningen med högpassfilter kan därför anses som ett tillräckligt noggrant modelleringssätt, trots bristen på fysikalitet i form av en svåruppskattad brytfrekvens för filt-ren.

För att inte få numeriska problem behöver vi slutligen också separat detektera om friktions-kraften är så pass stor att den gör att kolvringarna tillfälligt fastnar, som sker i följande steg:

1) Om kolvringarnas hastighet i föregående tidssteg var ~0, eller om deras hastighet bytte

tecken under de två föregående tidsstegen, kontrolleras om beloppet på Fring understiger värdet på Ffrikp. I detta fall sätts kolvringarnas hastighet till 0.

2) Om villkoren i steg (1) inte är uppfyllda sätts kolvringarnas hastighet till 0 endast då be-

loppet av Fring understiger 80% av värdet på den dynamiska friktionen (ekv. 4.3.3.5), detta för att inte få problem med att kolvringarna stannar och rör sig om vartannat.

Fjäderkonstanterna för O-ringarna (Kf,o-ring[1-3]) är svåruppskattade, och kommer att bero av materialet de är tillverkade av, men även av den grad av deformation de har när de är monte-rade innanför kolvringarna. Denna ökar i sin tur ju mer kolvringarna måste klämmas ihop vid monteringen. Det sistnämnda gäller även för storleken på den maximala statiska friktionen, som kan antas öka ju mer kolvringarna deformeras. Den verkliga storleken på fjäderkonstan-terna och de maximala friktionskrafterna är dock inte centrala, och O-ringarnas elasticitet i den aktuella riktningen är troligtvis långt ifrån linjär, vilket leder till stor osäkerhet. Inverkan av deras rörelser i förhållande till respektive kolv är dock principiellt intressant, i och med att den återspeglas i tryckvariationerna i kopplingen. Sammanfattningsvis kan vi nu beräkna kolvringarnas hastighet relativt respektive kamskiva genom att summera kolvens hastighet relativt kamskivan med kolvringarnas hastighet relativt kolven.

Rörelser hos övriga mekaniska delar När nu kolvarnas och kolvringarnas rörelse i förhållande till respektive kamskiva kan beräk-nas behövs beräkning av kamskivornas rörelse i förhållande till cylinderlocket, det vill säga modellering av rörelser hos kopplingens övriga mekaniska delar relativt en fast punkt på bi-len. Denna fasta punkt sätter vi till den bakre delen av kopplingshuset (se figur 4.3.3.2).

29

Figur 4.3.3.2. Förenklat tvärsnitt av kopplingen, med delar intressanta ur styvhetssynpunkt.

Eftersom vi bara är intresserade av rörelser i en riktning kan vi modellera de intressanta delar-na som linjära endimensionella elasticiteter, precis som i fallet med O-ringarna. För att ställa upp ekvationerna måste vi först klargöra hur de olika delarna är fixerade i varandra, och vilka krafter som kommer att pressa samman eller töja ut varje del. Vi gör följande obervationer: 1) Den inre kamskivan är gemensam för de två pumpkolvarna, och de delar som kommer att

klämmas ihop vid tryck i cylindrarna är i stora drag: kolvarna, rullarna, kamskivan, bakre axeln, samt det koniska rullager som skapar anlägget mellan axeln och den bakre delen av kopplingshuset. Den kraft som klämmer ihop dessa delar kan beräknas med:

3322 )()( cylhuscylcylhuscylinnerkam AppAppF ⋅−+⋅−= (4.3.3.6) De klämda delarnas styvheter kan sammanfattas i en enda fjäderkonstant som vi betecknar Kf,innerkam, och positionen för den inre kamskivan relativt den fasta punkten kan då beräk-nas:

innerkamf

innerkaminnerkam K

FX

,

−=

(4.3.3.7)

Positionerna för de övriga mekaniska delarna är precis som O-ringarna definierade positiva i riktning mot kopplingens främre del.

2) Den yttre kamskivan ligger an mot arbetskolven, och de delar som kommer att klämmas ihop är: kolven, rullarna, kamskivan, lamellpaketet, tallriksfjädern, samt det rullager som

30

skapar anlägget mellan lamellpaketet och den bakre delen av kopplingshuset. Om man an-tar att huset är helt styvt på den korta bit mellan kolven och den punkt där tallriksfjädern är monterad, kan tallriksfjäderns kraft tecknas separat och dras bort från övriga krafter. Den kraft som klämmer ihop dessa delar kan då beräknas med:

fjädertallrcylhuscylytterkam FAppF .11 )( −⋅−=

(4.3.3.8) De klämda delarnas styvhet kan på samma sätt som tidigare sammanfattas i en enda fjä-derkonstant som vi betecknar Kf,ytterkam, och positionen för den yttre kamskivan kan nu be-räknas som:

ytterkamf

ytterkamytterkam K

FX

,

−=

(4.3.3.9)

3) Kopplingshuset kommer att töjas ut vid tryck i cylindrarna, och om vi på samma sätt som i

beräkningen av Fytterkam antar att huset är helt styvt på den korta bit mellan kolven och den punkt där tallriksfjädern är monterad, kan den uttöjande kraften beräknas som:

fjädertallrcylhuscylcylhuscylcylhuscylhuskoppl FAppAppAppF .332211. )()()( −⋅−+⋅−+⋅−=

(4.3.3.10) Kopplingshusets fjäderkonstant kan betecknas Kf,koppl.hus och positionen för cylinderlocket kan nu beräknas som:

huskopplf

huskoppllockcyl K

FX

.,

.. =

(4.3.3.11)

4) Ftallr.fjäder är kraften från tallriksfjädern, som är förspänd med en given förspänningslängd

Xförsp,tallr.fjäder, har en given fjäderkonstant Kf,tallr.fjäder, och den totala deformationslängden kommer att vara en summa av alla inblandade delars position, vilket ger följande uttryck för kraften:

fjädertallrf

ytterkamkolvlockcylfjädertallrförspfjädertallr K

XXXXF

.,

1..,.

−−+= (4.3.3.12)

där Xkolv1 precis som kolvhastigheterna är definierad relativt kamskivan.

Dessa förutsättningar kommer att ge ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta: Xytterkam, Xcyl.lock och Ftallr.fjäder. Värdet på Xinnerkam kan däremot beräknas direkt. Istället för att lösa ekvationssystemet analytiskt tar vi en genväg och beräknar Ftallr.fjäder enligt ekv. 4.3.3.12, baserat på värden från föregående tidssteg, och beräknar därefter de olika delarnas position enligt ekv. 4.3.3.8 – 4.3.3.11.

31

Värdet på fjäderkonstanterna för de olika delarna är – precis som i fallet för O-ringarna – ganska svåruppskattade. Mätningar har gjorts av Haldex på ett lamellpaket [11], och därför har värdet på Kf,ytterkam satts till något under detta värde, då lamellpaketet kan antas vara den dominerande vekheten bland dessa delar. Kf,innerkam kan på grund av delarnas beskaffenhet an-tas vara betydligt styvare än både Kf,ytterkam och Kf,koppl.hus, och har därför satts högt. I övrigt begränsas dessa parametrars storlek av den tillåtna storleken för den ekvivalenta kompres-sionsmodul som de representerar (se 3.4.1 och 4.3.4). När vi nu känner till de olika delarnas position kan vi gå till väga på samma sätt som med kolvringarna, det vill säga högpassfiltrera positionerna och få hastigheterna för de olika delar-na relativt den fasta punkten: vinnerkam, vytterkam och vcyl.lock. För framtida tillägg av en modell som beskriver överförbart moment observerar vi också att den kraft som kommer att pressa samman lamellpaketet är Fytterkam, som beräknas med ekv. 4.3.3.8. Denna finns med som en separat utsignal i modellen.

Resulterande flöde Det resulterande flödet från varje cylinder kan nu beräknas med följande uttryck:

111111 )( cylcylytterkamringringkolvkolvcyl AvvAvAvq ⋅−+⋅+⋅= (4.3.3.13)

222222 )( cylcylinnerkamringringkolvkolvcyl AvvAvAvq ⋅−+⋅+⋅= (4.3.3.14)

333333 )( cylcylinnerkamringringkolvkolvcyl AvvAvAvq ⋅−+⋅+⋅= (4.3.3.15) Än en gång bör det förtydligas att hastigheterna för kolvarna och kolvringarna är hastigheter relativt respektive kamskiva, och hastighetsdifferensen i slutet av varje uttryck beskriver kam-skivans rörelse relativt cylinderlocket.

4.3.4 Övriga styvheters ekvivalenta kompressionsmodul Som nämnts i 3.4.1 måste modellerade styvheter översättas till en ekvivalent kompressions-modul vars inverkan dras bort från den totala, detta för att inte ta hänsyn till samma styvhet på två olika sätt. Våra modeller av de olika delarnas rörelse kommer ju att påverka flödena från eller till varje cylinder, och att dessa styvheter även skulle vara inkluderade i den kompres-sionsmodul som används för volymerna på högtryckssidan i kopplingen vore inkorrekt. Den totala kompressionsmodulen för kopplingen ges av uttrycket (se 3.4):

−+=

−

∆631)( 0

pp

mättot eCCVpβ

(4.3.4.1)

där Vmät är den volym som mätningen av kopplingens styvhet har utförts på. Storleken för denna volym är inte given, i och med att mätningen utförts på kopplingens högtryckssida. Där

32

varierar den sammanhängande volymen mellan att vara endast arbetscylinderns volym till att även inkludera en eller två pumpcylindrar, beroende på om backventilerna är öppna eller stängda. Vi tvingas göra ett antagande, och antar därför att backventilerna varit stängda och att enbart arbetscylinderns volym ska sättas in i uttrycket. Detta antagande kan verka grund-löst, men en motivering till det är att endast detta värde ger en total kompressionsmodul som överensstämmer med mätningar på trycknivån i kopplingen. Adderas volymen för en eller två pumpcylindrar fås en kompressionsmodul som inte alls ger trovärdiga resultat i simulering. Volymen för arbetscylindern går att uppskatta med dödvolymen för densamma, i och med att slaglängden och cylinderarean är sådan att volymvariationen vid kolvslag blir liten. Denna dödvolym innefattar även alla ledningar från backventilerna och fram till reglerventilen, som varit stängd vid mätningen. Vi får:

10cylmät VV ≈

(4.3.4.2) Enligt 3.4.1 gäller också att linjära elasticiteter som verkar i en enda riktning kan översättas till en kompressionsmodul, som i vårt fall får uttrycket:

3,

23

2,

22

1,

21

.,

2321

,

232

,

21 )()(

ringof

ring

ringof

ring

ringof

ring

huskopplf

cylcylcyl

innerkamf

cylcyl

ytterkamf

cyl

totekv

KA

KA

KA

KAAA

KAA

KA

V

−−−

+++++

++

+

=β (4.3.4.3)

där Vtot är den totala volymen för alla tre cylindrar sammanlagt. Denna volym går på samma sätt som med Vmät att uppskatta med dödvolymerna för alla tre cylindrarna, det vill säga:

302010 cylcylcyltot VVVV ++≈

(4.3.4.4) Denna ekvivalenta kompressionsmodul kommer att gälla för alla tre cylindrarna i varvtals-skillnadspumpen. Det finns dock tre saker som tillvägagångssättet vid beräkningen av den förutsätter, och som kommer att göra att vår modellering av den totala styvheten blir approx-imativ: 1) Det antas att alla cylinderkammare har samma totala kompressionsmodul, något som för-

modligen inte är fallet. 2) Det antas att kraften från trycket i varje kammare verkar direkt på de delar som töjs eller

kläms. I fallet med den yttre cylindern – som arbetskolven rör sig i – finns ju en tallriks-fjäder som tar bort en del av cylindertryckets resulterande kraft på lamellpaketet. Denna kraft är dock vid högre tryck liten i sammanhanget, och felet bör drunkna i övriga osäker-heter om kopplingens styvhet.

3) Det antas att trycket i alla cylinderkammare är lika, något som endast är fallet då backven-tilerna mellan cylindrarna och högtryckssidan är öppna. Eftersom hela tillvägagångssättet bygger på en derivering av volymens beroende av trycket (se ekv. 3.4.1.1) är det dock ett nödvändigt antagande.

Enligt 3.4 kan nu den styvhet som inte modellerats på annat sätt beräknas genom att dra bort inverkan av modellerade styvheter från den totala styvheten, och vi får uttrycket:

33

ekvmätoljatot

mekmekekvmätoljatot

pp

pppp

βββ

βββββ 1

)(1

)(1

1)()(

11)(

1)(

1

,

, −−=⇒++=

(4.3.4.5)

där βolja,mät representerar oljans kompressionsmodul vid uppmätningen av den totala styvheten för kopplingen, som endast beror av trycket då temperaturen varit konstant och lika med rumstemperatur under mätningen. Eftersom den totala kompressionsmodulen och oljans kom-pressionsmodul är tryckberoende kommer även βmek att variera med trycket. I uttrycket för βmek anar man att det finns en gräns för hur stor βekv får vara. Detta beror på att en kompressionsmodul – i det här fallet βmek – aldrig kan vara negativ, något som förenklar valet av fjäderkonstanter (se ekv. 4.3.4.3). En kontroll för detta har lagts till i modellen, vilket resulterar i ett felmeddelande i kommandofönstret om fjäderkonstanter matas in sådana att βmek blir negativ vid 100 bar, dock avbryts inte simuleringen. Den kompressionsmodul som ska användas i HOPSAN vid räkning på högtryckssidans voly-mer är alltså den kompressionsmodul som beskriver oljans styvhet tillsammans med den styv-het som inte modellerats i detalj. Inverkan av den styvhet som modellerats är – som tidigare nämnts – med i flödesberäkningarna. Vi får:

)(1

),(1

1),(

pTp

Tp

mekolja

HOPSAN

ββ

β+

= (4.3.4.6)

där βolja är oljans styvhet i den aktuella arbetspunkten, och därför är både tryck- och tempera-turberoende. Mer om beräkning av oljans kompressionsmodul finns i 4.8.2.

4.4 Backventiler Backventilerna är modellerade med kula och fjäder, dvs. som ett massa-fjäder-dämpare-system. Flödet beräknas med formler för antingen laminärt eller turbulent flöde genom hål-kantsstrypning, beroende på aktuellt Re-tal (se 3.2.2). Öppningsarean beräknas enligt ekv. 3.5.3 & 3.5.4 som mantelarean för en stympad kon, med sidlängd lika med det ortogonala avståndet mellan kulan och sätet (se 3.5):

( )( )bvsätekulabvsätesätebv XrXA ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= )cos(2)cos()sin( 2 αααπ (4.4.1) där αsäte är sätesvinkeln, rkula är kulans radie och Xbv är läget för kulan, där Xbv=0 är vid helt stängd backventil. Den hydrauliska diametern, som behövs för beräkningar av laminärt flöde, kan enligt ekv. 3.2.2.4 beräknas som:

34

bv

bvhbv O

Ad

4= (4.4.2)

där Obv kan beräknas som summan av de cirkelbågar som bildas vid toppen och foten av den stympade konen. Radierna för cirkelbågarna ges enligt ekv. 3.5.2, och med insättning och omskrivning av dessa (se 3.5) får vi:

( ) ))cos(2()sin(24

24

21 bvsätekulasäte

bv

bvbv

bvhbv Xr

Arr

Ad

⋅+⋅⋅⋅=

+⋅=

ααππ(4.4.3)

Kulans läge Xbv bestäms genom att utföra två numeriska integrationer av dess acceleration som beräknas:

Figur 4.4.1. Backventil med kula och inloppshål.

kula

bvbvförspbvfkuladämpninginloppbvkula m

XXKvCApa

)( ,, +⋅−⋅−⋅∆= (4.4.4)

där ∆pbv är tryckdifferensen över backventilen, Ainlopp är inlopps-hålets area, Cdämpning är en dämpningskoefficient som kan be-stämmas i modellen, Xförsp,bv. är differensen mellan fjäderns in-spända och obelastade längd och mkula är kulans massa. Vid enkel analys av ekv. 4.4.4 kan man se att tryckdifferensen multiplicerad med inloppshålets area måste överstiga fjäderkraften för att backventilen ska öppnas från att kulan befinner sig i vilan-de läge mot sätet (Xbv=0 och vkula=0). Det gör att man får följande samband för öppningstryck:

inlopp

bvförspbvföppning A

XKp ,, ⋅

=∆ (4.4.5)

4.5 Reglerventil Modellen av reglerventilen är förenklad till att innehålla två strypställen. Det första och mest dominerande är den reglerade strypningen vid inloppet och den andra är passagen mellan ven-tilsliden och ventilfodret (se figur 4.5.1). Övriga strypställen, såsom de fyra inloppshålen och de fyra utloppshålen i ventilfodret, är försummade då de har ett stort areaförhållande till de två modellerade strypställena. Modellen innehåller även en aktuator, i form av en elektromagnet, som styr ventilläget.

35

Programmeringstekniskt består modellen av fyra delar; en som räknar ut vilken kraft magne-ten levererar, en som beskriver inloppsstrypningen och mekaniken, en som beskriver passagen mellan ventilfodret och slidens midja samt en volym. Volymen, en C-komponent, är endast till för att binda samman passagen och inloppsstrypningen, som är två Q-komponenter (se 3.1). För att den inte ska påverka systemets egenskaper sätts den mycket liten och styv.

Figur 4.5.1. Reglerventilen utan elektromagnet.

4.5.1 Magnetkraft Egentligen är det ett ganska komplext samband som råder mellan magnetkraft, ventilläge, ventilhastighet och pålagd ström. Eftersom vi inte besitter särskilt stora kunskaper inom det området har vi valt att modellera magnetkraften som en funktionsanpassning av statiska mät-ningar [9] gjorda på solenoiden (se figur 4.5.1.1), Observera att ventilläge ”1” motsvarar stängd ventil och ventilläge ”2” motsvarar öppen, det vill säga spegelvänt och förskjutet jäm-fört med Haldex defintion av ventilläget, där Xv = 0 innebär helt öppen ventil. Statiskt beror kraften dels på ventilläget och dels på den pålagda strömmen. Hysteresen som uppstår mellan rörelse framåt och bakåt antas bero på friktion och är inte modellerad; istället har vi använt medelvärdet. Funktionsanpassningen består av två sammanslagna polynom, ett som beskriver lägesberoendet och ett som beskriver beroendet av pålagd ström:

42

23

15v42

v33

v14

v1magnet D ID I D ID C X C X C XC X C F 3 +⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+⋅+⋅= (4.5.1.1) där Xv är ventilläget, I är pålagd ström, Fmagnet är magnetkraft och Cn (n = 1,..,5), Dm (m = 1,..,4) är konstanter. Cn och Dm är bestämda genom två separata regressioner. Eftersom mätningens definition av ventilläget är spegelvänd och förskjuten jämfört med Haldex definition justerar vi avlästa vär-den för att passa denna. Regressionen för strömberoende är gjord vid ventilläge ”1” vilket

36

motsvarar helt stängd ventil. Då lägesberoendet skiljer sig något mellan olika strömnivåer är den regressionen gjord vid strömnivå ”2”, som är den uppmätta strömnivå som ligger närmast ventilens normala arbetsområde. Eftersom strömberoendet beräknats vid ventilläge ”1” räknar vi lägesberoendet utifrån kraften vid det läget, vilket praktiskt innebär att vi flyttar ner kurvan för strömnivå ”2” till att ha kraften noll vid venilläge ”1” (stängd ventil). Reglering av ventilen sker normalt runt strömnivå ”2” och vid den nivån kan man anta att överensstämmelsen är god och försämras ju mer strömmen avviker från detta värde (se figur 4.5.1.2). För strömmar under strömnivå ”2” tenderar magnetkraften att överskattas medan den underskattas något över detta värde. Denna avvikelse kommer att innebära att den simulerade magnetkraften, och därmed även ventilläget, inte kommer att stämma riktigt överens med det verkliga.

Figur 4.5.1.1. Mätning av magnetkraft som funktion av ventilläge och pålagd ström.

37

Xv [mm]

Fm

agne

t [N]

Funktionsanpassning Fmagnet

(Xv,I) & mätpunkter

Strömnivå 1

Strömnivå 2

Strömnivå 3

Strömnivå 4

Figur 4.5.1.2. Figur över magnetkraftens lägesberoende vid fyra olika strömnivåer. Fyrkanterna motsvarar me-delvärdet av mätvärden vid respektive läge och ström.

Observera att detta inte är någon fysikalisk modell av magnetkraftens beroende av ström och läge, utan endast en funktionsanpassning. Uttrycket kommer på grund av lägesberoendet och konstanterna att resultera i en kraft utan att någon ström läggs på, något som givetvis inte gäller i verkligheten. Funktionen går dock att använda i modellen eftersom förspänningskraf-ten från fjädern överstiger ”kraften” från magneten vid Xv = 0, I = 0.

4.5.2 Ventilläge Ventilläget är definierat så att det är lika med noll vid helt öppen ventil och ökar då ventilen stängs. De rörliga delarna i ventilen, det vill säga magnetkärnan och ventilsliden, är modelle-rade som ett massa-fjäder-dämpare-system med ena ändläget vid helt öppen ventil (vilket även är obelastat tillstånd) och andra ändläget en liten sträcka efter helt stängd ventil. De kraf-ter som påverkar systemet är fjäderkraften, stationära och dynamiska strömningskrafter, dämpkraften från magnetkärnan och magnetkraften. Dämpkraften beräknas genom att räkna om föregående tidsstegs ventilhastighet till flöden ge-nom kanalerna i magnetkärnan. Omräkningen till flöde baseras på att volymerna inne i

38

Figur 4.5.2.1. De tre modellerade dämpningsställena. Flödet genom lilla kanalen i (b) och läckaget över kärnan (3) är försummat. Bilder av Pär Marklund [5].

Figur 4.5.2.2. Akärna (svart) är järnkärnans area (utan kanaler) och Anål (grå) är nålens area (utan kanaler). Bild av Pär Marklund [5].

magnethuset ändras då ventilen rör sig. Den volymförändringen resulterar i att olja måste flyt-tas mellan kamrarna och ett laminärt flöde uppstår i kanalerna (se figur 4.5.2.1 och avsnitt 3.2.2 för motivering till laminärt flöde). Dessa flöden kan sedan användas för att beräkna ett tryckfall över varje kanal, och därefter den totala tryckskillnaden mellan båda sidor av nålen respektive kärnan. Tryckskillnaderna kommer att resultera i en dämpkraft för hela magnetsli-den (nål och kärna). Flödet genom kanalen i nålen under den sträckan nålen är innesluten i kärnan samt flödet i läckspalten mellan kärnan och fodret är försummade, detta eftersom de större kanalerna kommer ha en klart dominerande dämpningskraft. Alla tre dämpställen (se figur 4.5.2.1) räknas som rörstrypningar (se avsnitt 3.2.2). Dämpkraftena ställs upp enligt ek-vation 3.2.4.1:

39

[ ]

kanal

nålkanalkärnakanalkanalnålkärnav

kanal

totvnålkanalnålv

kärnakanalqkärna

nålkanalqkärnakanalqnålkanalqnåldämpning

ddddddämpning

nAAnAAv

nAvqAAvqq

ACqA

ACq

ACq

ACqAF

FFFFFF

)(,)(

2

4.5.2.1figur se , 0

,,2,41

2

,2,

2

2

,4,

4

2

,2,

2

2

,1,

1

3,4,3,2,1,

+⋅++⋅=

⋅=+⋅==

⋅

⋅⋅+

⋅+

⋅+

⋅⋅=

⇒≈⇒+++=

ρ

(4.5.2.1) där nkanal är antalet dämpningskanaler i kärnan, q1, q2 och q4 är flödet vid respektive dämp-ningsställe (se figur 4.5.2.1). Observera att q2 är flödet genom en dämpningskanal i kärnan, och kommer att bli den olja som förflyttas inte bara av kärnan utan även av nålen. Denna olja ska nämligen strömma genom alla kanaler för att nå fram till andra änden av nålen. Akanal,kärna och Akanal,nål är arean för en dämpningskanal i kärnan respektive arean för kanalen i nålen. vv är ventilhastigheten. När dämpning är en faktor i en simuleringsmodell kan ett massa-fjäder-dämpare-system bli instabilt. Det händer när dämpningen ger upphov till en acceleration i motsatt riktning mot aktuell hastighet, som är så stor att hastigheten i nästa tidssteg är större än den i det tidigare fast med ombytt tecken. I slutändan innebär detta att simuleringsmodellens stabilitet är tids-stegsberoende. För att man inte ska behöva använda alltför små tidssteg för hela modellen har vi implementerat en möjlighet att simulera massa-fjäder-dämpare-systemet i reglerventilen flera gånger per tidssteg, som innebär att man får en högre upplösning och mindre risk för in-stabilitet. Den statiska strömningskraften räknas ut som en funktion av strålvinkeln och flödet i föregå-ende tidssteg, medan den dynamiska räknas ut med hjälp av skillnaden i flöde mellan de två föregående tidsstegen. Se 3.2.5 för uttryck för strömningskrafterna. Fjäderkraften uppkommer givetvis av den fjäder som är inspänd i ventilen. Dess kraft verkar alltid i öppnande riktning. För att beräkna slidens hastighet och position utförs en respektive två numeriska integrationer av accelerationen, som beräknas:

delarrörliga

vvförspvfdämpningströmningmagnetslid m

XXKFFFa

)( ,, +⋅−++=

(4.5.2.2) där Fmagnet är magnetkraften, Fströmning är statiska och dynamiska strömningskrafter, Kf,v är en fjäderkonstant, Xförsp,v är skillnaden mellan fjäderns inspända längd och dess obelastade längd, Xv är ventilläget, mrörliga delar är sammanlagda massan av sliden, järnkärnan och nålen; dessa antas vara i kontakt med varandra i alla lägen.

4.5.3 Öppningsarea och hydraulisk diameter Slidens öppningsgeometri är ganska avancerad, till följd av behov att kunna reglera i små are-aintervall samtidigt som maximala öppningen måste vara stor. Enligt [5] är den indelad i tre areor som tillsammans bildar den totala öppningsarean (se figur 4.5.3.1). Observera dock att

40

antalet kerbar kan variera och det innebär att det finns lika många delareor av Av3:s och Av2:s geometri som det finns kerbar.

Figur 4.5.3.1. Areaindelning av ventilens geometri. Bilder av Pär Marklund [5].

De tre areorna ges enligt [5] som funktion av ventilläget och kan parametriseras till följande funktioner:

≥<≤

=1

111 ,0

0,),,(

vv

vvvvslidv lX

lXlXrfA

≥<≤

<≤=

2

2121

121

2

,0,),,,(

0,),,(

vv

vvvvvvrbke

vvvvrbke

v

lXlXlllXnf

lXllnfA

≥<≤

<≤=

3

323

232

3

,0,),,(0,),,(

vv

vvvvverbk

vvvverbk

v

lXlXllXnf

lXllnfA

(4.5.3.1) där nkerb är antalet kerbar, lv1 är längden från helt öppen ventil tills dess att Av1 är helt stängd och Av2 samt Av3 är fullt öppna, lv2 är längden från helt öppen ventil tills dess att Av2 är stängd och Av3 fullt öppen, lv3 är längden från helt öppen till helt stängd ventil, rslid är slidens radie. Den effektiva öppningsarean modellerar vi som summan av de tre areorna projicerade på pla-net som är ortogonalt mot strålen. Detta är ett antagande vi gjort efter sunt ingenjörsförnuft, då vi inte funnit någon lämplig teori för den här typen av applikationer. Om Av1 och Av2 antas ligga i samma plan och vara ortogonala mot Av3 får vi:

)cos()sin()( 321 strålvstrålvvve AAAA δδ ⋅+⋅+= (4.5.3.2) där Ave är effektiv öppningsarea och δstrål är strålvinkeln.

41

När simuleringar av kalla driftsfall utförs, kan det hända att flödet är laminärt och då behövs ett uttryck för den hydrauliska diametern. Även här gäller att det inte finns någon teori för just denna tillämpning. Därför räknar vi ut en hydraulisk diameter för varje delarea och viktar se-dan dessa, med hjälp av respektive area projicerad på strålplanet, så att varje hydraulisk dia-meter får en rimlig påverkan av den totala. Totala hydrauliska diametern beräknas:

ve

strålvhvstrålvhvvhvhvtot A

AdAdAdd

)cos()sin()( 332211 δδ ⋅⋅+⋅⋅+⋅= (4.5.3.3)

där dhv1, dhv2 och dhv3 är hydraulisk diameter för respektive area och δstrål är strålvinkeln. Huruvida flödet ska beräknas med formler för turbulent eller laminärt flöde bestäms genom att vi först antar att flödet är turbulent, sedan kontrollerar vi med hjälp av Re-talet om anta-gandet var korrekt (se ekv. 3.2.2.13). Om det inte var korrekt beräknas det på nytt med lami-nära samband (se 3.2.2).

4.5.4 Strålvinkel Normalt sett är strålvinkeln i en strypventil av slidtyp omkring 67°, men det gäller för en slid utan krypspår eller så kallade kerbar. Sliden i HLSC är emellertid mer komplex i sin geometri och strålvinkeln påverkas dels av kerbarna och dels av inloppets geometri, som båda kan antas bidra till en lägre strålvinkel. Därmed kommer strålvinkeln alltid att vara lägre än normala 67°. För att veta exakt hur mycket lägre vinkeln blir vid olika ventillägen måste man använda mer avancerade metoder (till exempel CFD) än vi anser ligga inom ramen för examensarbetet. Därför har vi uppskattat den, genom att först göra ett antagande att strålvinkeln blir sådan att strömningsmotståndet minimeras, vilket innebär att den effektiva öppningsarean maximeras. Ett uttryck för den vinkeln är enkelt att härleda genom att derivera uttrycket för öppningsare-an projicerad på planet ortogonalt mot strålen:

(4.5.4.1)

Om denna formel skulle användas rakt av skulle det innebära att strålvinkeln skulle ligga väl-digt nära 90° vid helt öppen ventil och gå mot noll när ventilen stängs. Vi har redan konstate-rat att en strålvinkel på mer än 67° är orimlig och därför har vi justerat formeln med en faktor som ska motsvara geometrins påverkan av strålvinkeln. Denna faktors storlek är satt så att si-muleringar av ventilen stämmer så bra överens med mätningar som möjligt (se figur 4.5.4.1).

[ ]3

21

3

21

321

)(arctan)(tan

)cos()sin()(

v

vvstrål

v

vvstrål

strålvstrålvvve

AAA

AAAderivering

AAAA+

=⇒+

=⇒⇒

⋅+⋅+=

δδ

δδ

42

Ström [A]

Flö

de [m

l/min

]

Konstant tryck 20 bar, temp. 20oC

Figur 4.5.4.1. Streckade linjen motsvarar flödeskurva utan korrigeringsfaktor för strålvinkeln, heldragna linjen är korrigerad och fyrkanter motsvarar uppmätta värden av kalibrerad ventil [9]. Observera att uppmätta värden är avlästa från en kurva med brus där skalan är logaritmisk, så de är ej exakta.

Vidare har vi gjort antagandet att då ventilen är så pass stängd att både Av1 och Av2 är lika med noll kommer strålvinkeln att anta samma vinkel som kerbarna. Vid en viss strålvinkel som vi kallar övergångsvinkel har vi även ansatt att strålvinkeln ändras med en lägre faktor än den gör vid högre vinklar. Detta medför att övergången från att Av2 och Av3 är öppna till att endast Av3 är öppen blir något mjukare och därmed blir även flödeskurvan jämnare. Sambanden för strålvinkeln med injusterade faktorer är:

=

+≤≤

+⋅

≤+

+⋅

=

erbkstrålerbk

övergångerbkstrålerbkv

vv

strålövergångerbkv

vv

strål

då

dåA

AA

dåA

AA

δδδ

δδδδ

δδδ

δ

,

,arctan2,0

,arctan58,0

3

21

3

21

(4.5.4.2)

43

4.5.5 Passage mellan midja och foder Flödet genom passagen mellan ventilens midja och ventilfodret beräknas enligt sambanden för rörströmning (se 3.2.3), där den hydrauliska diametern är skillnaden mellan midjans dia-meter och fodrets innerdiameter, och längden är avståndet mellan inloppets och utloppets mittpunkter (se figur 4.5.1).

4.5.6 Validering För att få en bra överensstämmelse med mätdata på ventilen har vi fått frångå vårt ideal om att endast använda fysikaliska parametrar. Dels är strålvinkeln justerad med en faktor (se avsnitt 4.5.4) och dels är fjäderförspänningen i ventilen justerad. Fjäderförspänningens värde är dock ett värde som kan variera från exemplar till exemplar, och osäkerhet råder om vad den egent-ligen ska vara. Tänkbart är också att man vid demontering av ventilen gör så pass stor åverkan att fjäderförspänningen inte kan mätas upp med god noggrannhet. Genom att endast justera fjäderförspänningen kan vi förskjuta flödeskurvan längs strömaxeln. Då får vi en kurva som stämmer bra då endast Av3 är öppen, det vill säga att allt flöde går ge-nom spetsen på kerben (streckade kurvan i figur 4.5.4.1, allt flöde genom spetsen i den flacka delen av kurvan). Flödeskurvans lutning då både Av2 och Av3 är öppna kan justeras genom att justera strålvinkeln och resultatet illustreras av den heldragna kurvan i figur 4.5.4.1. Efter justeringar kan överensstämmelsen sägas vara god för strömmar strax under strömnivå ”2” (se figur 4.5.1.1) En inskränkning är dock att vi inte haft tillgång till andra mätdata än de som är presenterade i figur 4.5.4.1 och de har dessutom vara svåra att läsa ut då skalan varit logaritmisk och signalen brusig. Poängteras bör att stor osäkerhet råder gällande sambandet mellan magnetkraft och magnet-ström, och att det i kombination med att reglerventilen har en väldigt stor öppningsareagradi-ent gör det svårt att göra en trovärdig validering av ventilmodellen.

4.6 Lågtryckssida Rent funktionsmässigt är det lågtryckssidan som skiljer Gen III från Gen II. Skillnaden är i princip att grundtrycket är högre och kopplingen kan därmed överföra ett visst moment redan innan någon varvtalsskillnad uppstått mellan axlarna. Detta ger bättre respons i kopplingen.

4.6.1 HLSC Gen III (PreX) Lågtryckssidan hos HLSC Gen III är avdelad i två sektioner med olika tryck (se figur 2.4). Den ena sektionen innehåller en matarpump och ett filter (ej modellerat) och den andra inne-håller en ackumulator. Pumpens sektion är begränsad till 10 bar och agerar tillflöde åt varv-talsskillnadspumpen. Ackumulatorns sektion är begränsad till 4 bar och tar emot varvtals-

44

skillnadspumpens frånflöde (via reglerventilen). Sektionerna är ihopkopplade med en PreX-ventil som fungerar som en dubbelriktad tryckbegränsare. PreX-funktionen är modellerad som två backventiler (se figur 4.2.2) som är riktade åt var sitt håll och med olika öppningstryck (6 respektive ~0 bar). Den ena släpper på flödet från pumpsektionen till ackumulatorsektionen om det skulle överstiga ackumulatortrycket med 6 bar och den andra släpper flöde i motsatt riktning om ackumulatortrycket skulle överstiga pumptrycket.

4.6.2 HLSC Gen II Lågtryckssidan hos Gen II har gemensamt tryck för tillflöde och frånflöde (via reglerventilen) från varvtalsskillnadspumpen och innehåller en ackumulator, en matarpump och ett filter (ej modellerat). Se figur 4.2.1.

4.6.3 Ackumulator Ackumulatorn är gemensam för både Gen II & III och är modellerad utifrån standardkompo-nenten PISTM1, som är en modell av en cylinder med fjäder och massa. Den har också para-metrar för läckage och viskös friktion. Skillnaden mellan modellen av ackumulatorn och PISTM1 är att ackumulatorn dels räknar ut volym (variabel volym plus dödvolym) och dels att den har en inbyggd tryckbegränsare, plus att kraften som är invariabel till PISTM1 är ut-bytt mot en fjäderförspänningslängd. Volymen räknas enkelt ut då man vet både kolvens position och area. Tryckbegränsaren mot-svarar egentligen ett hål vilket blir öppet för flöde då kolven pressats in i ackumulatorn en viss sträcka. Öppningstrycket bestäms av hur långt in på cylindern hålet är placerat och öpp-ningsarean är förenklad till att öka linjärt från noll till hålets area på en sträcka motsvarande hålets diameter.

4.6.4 Matarpump Till matarpump använder vi modellen FPUMP ur HOPSANs standardbibliotek, men styr varvtalet enligt en funktionsanpassning av varvtalets temperaturberoende. Funktionsanpass-ningen är en kvartisk regression och ser ut enligt följande:

542

34

1pump E T E T E TE T E n +⋅+⋅+⋅+⋅= 32 (4.6.4.1)

där En (n=1,..,5) är konstanter och T temperaturen i Kelvin.

45

Temperatur olja [°C] Varvtal (verkligt) [rad/s] Varvtal (funktionsanpassat) [rad/s] -30 34 35 -20 63 59 -10 73 81 0 106 103 10 130 126 20 154 151 30 175 180 40 200 212 50 253 245 60 289 279 70 303 310 80 334 336 90 354 354 97.7 359 358 Tabell 4.6.4.1. Tredje kolumnen innehåller funktionsanpassade värden som kan jämföras med andra kolumnen som innehåller det verkliga varvtalet.

Simulerade resultat ligger mellan 93 och 111 % av uppmätta. Eftersom matarpumpens varvtal inte ger någon stor effekt på kopplingens karakteristik kan det anses tillräckligt bra.

4.7 Säkerhetsventil Eftersom säkerhetsventilen inte har någon påverkan av systemets karakteristik vid normal drift har vi valt att modellera den med standardkomponenten PRV, som är en modell av en tryckbegränsningsventil med första ordningens dynamik.

4.8 Olja Hydrauloljans egenskaper är centrala för både strömningsberäkningar och tryckberäkningar, och dessa egenskapers beroende av tryck och temperatur är därför viktiga att modellera. För att beskriva en vätskas egenskaper behövs tre storheter: densitet, kompressionsmodul och vis-kositet.

4.8.1 Densitet Alla vätskor, hydraulolja inkluderat, har en högst marginell densitetsvariation med avseende på tryck och temperatur, och ett konstant värde kommer därför att vara fullt tillräckligt i mo-delleringssammanhang. Densiteten är en parameter som ställs in separat i alla Q-komponenter där strömningsberäkningar ingår.

46

4.8.2 Kompressionsmodul En oljas kompressionsmodul (tangentvärdet) har en stor tryck- och temperaturvariation, och eftersom modellen ska fungera från -30 °C till 100 °C är en modellering av denna variation inte bara önskvärd utan nödvändig. Att gå djupare in på fysiken bakom variationen anses dock inte ligga inom ramen för examensarbetet, och en funktionsanpassning av tabellvärden väljs därför som metod. Statoil är leverantör av oljan till HLSC, men några mätningar av tangent-värdet för kompressionsmodulen vid olika tryck och temperaturer har inte gjorts. Därför väljer vi att utgå från en graf i en formelsamling [3]:

Figur 4.8.2.1. Diagram från formelsamling över tangentvärdet för kompressionsmodulen.

Genom att titta i grafen kan man sluta sig till att tryckberoendet går att uppskatta till ett linjärt samband, medan temperaturberoendet behöver en funktion av högre ordning. Enligt Haldex [9] påminner oljan i HLSC mest om paraffinolja, och avläsning av värden för temperaturbero-endet gör vi vid nolltryck, vilket ger följande tabell:

47

p [MPa] T [K] βt [MPa] 0 273.15 1.873⋅109 0 298.15 1.629⋅109 0 323.15 1.444⋅109 0 348.15 1.280⋅109 0 373.15 1.160⋅109

Tabell 4.8.2.1. Avläsning av värden ur figur 4.8.2.1.

Dessa tabellvärden går med god noggrannhet att anpassa till en andragradsfunktion:

322

1)( ββββ CTCTCTt +⋅−⋅=

(4.8.2.1) där Cβ1, Cβ2, Cβ3 är konstanter. Vi har nu en funktion som beskriver temperaturberoendet, och behöver lägga till tryckberoendet för att få den slutgiltiga funktionen för tangentvärdet på kompressionsmodulen. Vi ansätter som tidigare nämnt ett linjärt samband och behöver därför bara två punkter ur grafen. Vi läser av: p [MPa] T [K] βt [MPa] 0 273.15 1.873⋅109 10 273.15 1.945⋅109

Tabell 4.8.2.2. Avläsning av värden ur figur 4.8.2.1

Detta ger att:

54)( βββ CpCpt +⋅=

(4.8.2.2) där Cβ4 och Cβ5 är konstanter. Den konstanta delen Cβ5 finns dock redan med i funktionen för temperaturberoendet, och måste därför strykas när tryckberoendet adderas för att skapa den totala funktionen:

pCCTCTCpTt ⋅++⋅⋅−⋅= 437

22

1 10),( βββββ (4.8.2.3) Den färdiga funktionen kan nu jämföras med mätvärden tagna ur figur 4.8.2.1, och överens-stämmelsen illustreras i figur 4.8.2.2, med mätvärden markerade med fyrkanter.

48

0 20 40 60 80 1001100

1200

1300

1400

1500

1600

1700

1800

1900

2000

Tryck [Bar]

β t [MP

a]

0oC

25oC

50oC

75oC

100oC

Figur 4.8.2.2. Överensstämmelse mellan funktionsanpassning och värden ur figur 4.8.2.1 med mätvärden som fyrkanter.

Som synes är överensstämmelsen god i området 0 – 100 bar samt 0 – 100 °C. Modellen ska dock även fungera i området -30 – 0 °C, och att funktionen ger bra resultat även där är ett an-tagande.

Luftinblandning Luft i oljan kommer att sänka kompressionsmodulen, och det korrigerade värdet kan beräknas enligt ekv. 3.4.2.1. Denna ekvation är implementerad i modellen, och det går därför att stude-ra hur luftinblandning kommer att påverka tryckuppbyggnaden. Problematiskt är dock att det inte bara är den aktuella driftpunktens kompressionsmodul som måste beräknas, utan även den som gällde vid uppmätningen av den totala styvheten (se 4.3.4). Luftinblandningen i det fallet är okänd, och ett antagande måste därför göras. Av praktiska skäl antar vi i modellen att luftinblandningen var noll vid mätningen, vilket leder till att det bara är möjligt att studera hur luft i oljan principiellt påverkar systemet, något som kan vara nog så intressant.

4.8.3 Viskositet Viskositeten är en faktor i alla komponenter som beräknar ett laminärt flöde. Dess tempera-turberoende är modellerat med Walthers ekvation (se 3.8) och tryckberoendet försummas då det är litet i jämförelse med temperaturberoendet. Vi har haft tillgång till fyra mätpunkter och de två som är insatta i Walthers ekvation är temperaturerna ”1” och ”3” (se figur 4.8.3.1).

49

1

2

3 4

Temperatur [°C]

Dyn

amis

k vi

skos

itet [

kg/m

s]

Figur 4.8.3.1. Funktionsanpassning enligt Walthers ekvation. Kryssen motsvarar uppmätta värden.

Förutom avrundningsfel stämmer den anpassade kurvan exakt i de punkter som använts till funktionsanpassningen. Vid de andra två uppmätta punkterna, ”2” och ”4”, skiljer viskositeten något: 5.7 % respektive 4.3 %.

51

Kapitel 5 Resultat och diskussion

5.1 Validering av modell (Gen II) Validering av hela modellen av Gen II har gjorts genom jämförelse med mätningar tillhanda-hållna av Haldex [9]. Dessa mätningar är gjorda genom att kopplingen körts i en testrigg med en given varvtalsskillnad, en given temperatur, och steg i ventilström för att nå olika tryckni-våer. Simuleringarna är givetvis körda under samma förutsättningar förutom att ventilström-men har korrigerats. Reglerventilen i HLSC är nämligen av så känslig art att några få milli-ampere kan få stort utslag på trycknivån i kopplingen, och den funktionsanpassning vi gjort av magnetkraftens ström- och lägesberoende inför osäkerheter betydligt större än så. Eftersom arbetet är fokuserat på hydrauliken i kopplingen sätter vi därför ventilströmmar sådana att trycket hamnar på samma nivåer som i mätningen, och kan nu jämföra simulering och verk-lighet. Varvtalsskillnaden för simuleringarna är anpassad för att ligga i fas med mätningarna. I figur 5.1.1 – 5.1.6 visas plottar med både simulerad och uppmätt trycknivå i Gen II-kopplingen. Förutsättningarna är beskrivna i figurerna, och representerar tre intressanta drifts-fall som valts för att visa på styrkor och brister i simuleringarna. Varje driftsfall är beskrivet med två figurer vardera; först en översiktsbild och därefter en inzoomning på en av trycknivå-erna. Se appendix B för plottar av alla övriga driftsfall som validerats. Det första fallet (figur 5.1.1 & 5.1.2) kan sägas representera normal drift i HLSC; måttliga varvtalsskillnader och en temperatur på 20 – 100 °C. Detta driftsfall uppvisar bra överens-stämmelse både vad gäller tryckamplitud och kurvform, dock är ”tryckdipparna” (dalarna) något mindre än de uppmätta vid alla nivåer. Dessa dippar sker när backventilerna mellan hög- och lågtryckssidan öppnar, och mycket tid har lagts ner på att söka förklaringen till avvi-kelsen, men utan resultat. Den kantiga kurvformen – som är väldigt karakteristisk för HLSC – påverkas framförallt av det faktum att tryck i en cylinder kommer att skapa en volymökning även i de andra cylindrarna. Detta beror på att alla cylindrar är en del av samma kopplingshus, som kommer att töjas ut nämnvärt vid belastning; delarna kan sägas ”dra” i varandra. Rörel-sen hos kolvringarna är också en del av förklaringen till kurvornas utseende, och framförallt rörelsen hos arbetskolvens kolvringar, som skapar de små dippar som syns precis före varje topp. Alla driftsfall vid måttliga varvtalsskillnader uppvisar samma goda överensstämmelse med verkligheten (se appendix B).

52

Tid [s]

Tryc

k [B

ar]

Mätning mot HOPSAN−simulering, 60 oC, ~50 ml/min, korrigerade strömnivåer

Zoom

Mätning

HOPSAN−simulering

Figur 5.1.1. Simulering mot mätning, översiktsbild. God överensstämmelse, dock något låga ”tryckdippar”.

Tid [s]

Tryc

k [B

ar]

Mätning mot HOPSAN−simulering, 60 oC, ~50 ml/min, korrigerade strömnivåer

Mätning

HOPSAN−simulering

Figur 5.1.2. Simulering mot mätning, inzoomning. God överensstämmelse med avseende på kurvform.

53

Tid [s]

Tryc

k [B

ar]

Mätning mot HOPSAN−simulering, 100 oC, ~800 ml/min, korrigerade strömnivåer, tidssteg 1e−5 s

Zoom

Mätning

HOPSAN−simulering

Figur 5.1.3. Simulering mot mätning, översiktsbild. För liten tryckamplitud vid låga trycknivåer.

Tid [s]

Tryc

k [B

ar]

Mätning mot HOPSAN−simulering, 100 oC, ~800 ml/min, korrigerade strömnivåer, tidssteg 1e−5 s

Mätning

HOPSAN−simulering

Figur 5.1.4. Simulering mot mätning, inzoomning. Något sämre överensstämmelse m.a.p. kurvform.

54

Tid [s]

Tryc

k [B

ar]

Mätning mot HOPSAN−simulering, −30 oC, ~800 ml/min, korrigerade strömnivåer, trög ackumulator, tidssteg 1e−5 s

Zoom

Mätning

HOPSAN−simulering

Figure 5.1.5. Simulering mot mätning, översiktsbild. Matarpumpens begränsning visar sig; trög ackumulator ger rätt tryckamplitud. Hög tryckuppbyggnad vid öppen ventil. Underlig mätsignal med avtagande tryckamplitud.

Tid [s]

Tryc

k [B

ar]

Mätning mot HOPSAN−simulering, −30 oC, ~800 ml/min, korrigerade strömnivåer, trög ackumulator, tidssteg 1e−5 s

MätningHOPSAN−simulering

Figur 5.1.6. Simulering mot mätning, inzoomning. Dålig överensstämmelse vad gäller kurvform.

55

Det andra driftsfallet (figur 5.1.3 & 5.1.4) gäller det högsta flödet som varit målet för simule-ringarna, i kombination med den högsta temperaturen. Där ser man tydligt att precis som i det första driftsfallet är tryckdipparna mindre än de uppmätta vid alla nivåer, och vid den första nivån ligger också trycket konstant över det uppmätta. En möjlig förklaring till detta skulle kunna vara ackumulatorns dynamik. Vid detta driftsfall levererar nämligen matarpumpen ett flöde som kraftigt understiger det flöde som varvtalsskillnadspumpen momentant behöver, som är ungefär dubbla medelflödet. Detta innebär att ackumulatorn måste leverera en stor del av flödet till varvtallsskillnadspumpen, och därför göra stora kolvrörelser i båda riktningarna. Om kolven i ackumulatorn har gått trögt vid mätningen skulle detta kunna skapa större tryck-amplituder vid alla nivåer, eftersom lågtryckssidan och högtryckssidan alltid står i förbindelse med varandra via reglerventilen. Detta går att efterskapa i simuleringar genom att höja para-metern för ackumulatorns viskösa friktion, något som inte provas här men dock i nästa drifts-fall. Kurvformen för det andra driftsfallet överensstämmer något sämre än det gör vid lägre varvtalsskillnader, något som möjligtvis också kan förklaras med ackumulatorns rörelser. Det tredje driftsfallet (figur 5.1.5 & 5.1.6) visar den högsta varvtalsskillnaden i kombination med den lägsta temperaturen. Mätningen uppvisar väldigt höga tryckamplituder och även ett konstigt beteende i början av mätningen, där tryckamplituden avtar med tiden. På grund av den låga temperaturen kommer också passagen mellan midjan och fodret i reglerventilen att stå för ett tryckfall som vid öppen ventil dominerar över det huvudsakliga strypstället; därför sker först ingen nämnvärd tryckökning trots steg i ventilström. Vid simuleringarna har acku-mulatorn satts trög för att nå samma tryckamplituder som i mätningen, något som görs genom att öka värdet på den viskösa friktionen mellan kolven och loppet i ackumulatorn. Som synes blir tryckamplituderna av rätt storlek, men det avtagande beteendet i början av mätningen går givetvis inte att efterlikna. Någon förklaring till beteendet är inte heller lätt att hitta, möjligen kan man tänka sig att ackumulatorn har blivit bättre smord under körningens gång, eller att oljan värmts upp något. Man ser vidare att trots en helt öppen ventil fås en märkbar tryckupp-byggnad även i simulering på grund av midjepassagens stora effekt, dock är denna effekt inte lika stor som i verkligheten. Stegen i ventilström återspeglas också betydligt mer i simule-ringen. Formen på tryckkurvorna stämmer inte bra överens vid detta driftsfall, möjligen på grund av att modellen av ackumulatorn är för enkel för att kunna ge en bra bild av dess rörel-ser. För att sammanfatta kan man säga att modellen på det stora hela stämmer bra överens med verkligheten vid de driftsfall som varit målet för arbetet, dock ger höga varvtalsskillnader sämre överensstämmelse än låga. Detta kan möjligen bero på ackumulatorns dynamik, då en ökning av trögheten för denna skapar lika stora tryckamplituder som i mätningarna. En detal-jerad ackumulatormodell skulle vara önskvärt om sådana driftsfall vill studeras noggrannare. En låg temperatur i kombination med en väldigt hög varvtalsskillnad (figur 5.1.5 & 5.1.6) får dock anses vara ett ovanligt driftsfall, och skulle i verkligheten bara uppkomma om man vid extrem kyla spinner loss med framhjulen direkt efter kallstart.

5.2 Validering av modell (Gen III) Någon validering av modellen för Gen III har inte gjorts, på grund av brist på mätningar och även brist på tid. Modellen uppvisar dock samma resultat som den för Gen II, förutom att

56

trycknivåer och amplituder för högtryckssidan skiljer sig åt något. Överensstämmelsen kan därför antas vara god även för Gen III.

5.3 Alternativa kamprofiler De alternativa pumpkamprofiler som är under utveckling har provats i simulering, och i detta avsnitt presenteras resultat vid en driftspunkt, som får representera normal drift i HLSC. Figur 5.3.1 – 5.3.4 visar först standardprofilen som används idag, samt profiler med tre olika grad av kompensation, 4%, 6% och 8%, där kompensationen ligger i att profilen får en högre has-tighetsgradient precis innan och i början av plusslaget vilket gör att trycket byggs upp fortare i pumpcylindrarna. Detta kommer att resultera i att backventilerna öppnar tidigare och att tryckdipparna blir lägre. I figurerna kan man se inverkan av de olika profilernas kompensation på trycknivån i kopp-lingen, samt en principiell graf över hastighetskurvan för pumpkolvarna. Tydligt är att de oli-ka profilerna kompenserar som det är tänkt, och att tryckamplituden på alla nivåer sänks, dock kan man säga att den sista alternativa profilen (8% kompensation, se figur 5.3.4) överkom-penserar något vid låga tryck. Detta kan dock anses vägas upp av det faktum att den ger minst tryckamplituder av de fyra profilerna vid höga tryck. Vilken profil som är bäst är dock inte helt uppenbart. De alternativa profilerna ger ju inte bara lägre tryckamplituder utan även snabbare förändringar av trycket, vilket kan ses som att man har infört nya och högre frekven-ser i systemet. Det kan tänkas att detta märks vid drift i form av större vibrationer och högre ljudnivå. Någon frekvensanalys har dock inte genomförts i detta examensarbete och ämnet lämnas därför därhän.

57

Tid [s]

Tryc

k [B

ar]

HOPSAN−simulering, standardprofil, 60 oC, ~50 ml/min, tidssteg 1e−4 s

Figur 5.3.1. Standardprofil på pumpkamskivan. Simulerad trycknivå.

Tid [s]

Tryc

k [B

ar]

HOPSAN−simulering, 4% kompensation, 60 oC, ~50 ml/min, tidssteg 1e−4 s

Figur 5.3.2. 4% kompensation på pumpkamskivan. Simulerad trycknivå.

58

Tid [s]

Tryc

k [B

ar]

HOPSAN−simulering, 6% kompensation, 60 oC, ~50 ml/min, tidssteg 1e−4 s

Figur 5.3.3. 6% kompensation på pumpkamskivan. Simulerad trycknivå.

Tid [s]

Tryc

k [B

ar]

HOPSAN−simulering, 8% kompensation, 60 oC, ~50 ml/min, tidssteg 1e−4 s

Figur 5.3.4. 8% kompensation på pumpkamskivan. Simulerad trycknivå.

59

5.4 Osäkerheter Att bygga en simuleringsmodell innebär alltid att man måste kompromissa, förenkla och ibland gissa verkligheten, vilket betyder att modellen innehåller en mängd ofrånkomliga fel. När vi byggt den här modellen har vi givetvis strävat efter att dessa fel ska vara så få och be-tydelselösa som möjligt, men då det har varit ett tidsbegränsat projekt har vissa förenklingar varit nödvändiga. I detta avsnitt presenterar vi de kompromisser, förenklingar och gissningar vi anser är av störst betydelse.

5.4.1 Varvtalsskillnadspump Mätningen av den totala styvheten gäller med största sannolikhet för styvheterna och volymen som tillhör arbetscylindern, med stängda backventiler som avgränsning mot pumpcylindrarna. Vi har dock antagit att samma styvhet gäller även för pumpcylindrarna, vilket förmodligen inte är fallet. Gissningsvis är styvheten där något högre på grund av de mekaniska delarnas beskaffenhet (se figur 4.3.3.2). De modellerade styvheterna är i stor grad uppskattade till storlek och fördelning samt förenk-lade till linjära endimensionella styvheter. I verkligheten är det tredimensionella ickelinjära styvheter och exakt vilken effekt denna förenkling har är svårt att sia om, men överensstäm-melsen mellan uppmätta och simulerade kurvors form tyder på att vi gjort både en bra förenk-ling och fördelning av styvheterna. Vår ansats om kolvringarna verkar även den likna sanningen, men är till följd av brist på stu-dier och teori svår att verifiera. Förenklingen att modellera båda kolvringarna på varje kolv som en borde ge samma nettoeffekt som två, men kanske en något annorlunda kurvform. Friktionen mellan kolvringarna och cylindern är mycket svåruppskattad, men vi har sett till att hålla den under värden som skulle överbygga tryckdifferensen över kolvarna. Skulle friktio-nen överstiga tryckdifferensen skulle kolvarna fastna vid minusslaget och inte följa med rul-larna längs kamprofilen, vilket skulle innebära ett drastiskt mindre pumpflöde. Hastigheterna för töjda och klämda delar samt kolvringarna är beräknade med hjälp av derive-ring i form av högpassfiltrering. Högpassfiltreringen är inte fysikalisk och leder till en viss fördröjning. Vi använder dock så pass höga brytfrekvenser att denna fördröjning bör vara obe-tydlig.

5.4.2 Reglerventil När det gäller att beräkna öppningsarean för en ventil med kerbar finns det ingen riktigt ve-dertagen teori. Man kan till exempel beräkna varje delarea som en separat strypning, lägga ihop delareor på olika sätt eller göra som vi gjort och projicera alla delareor på planet ortogo-nalt mot strålen. Vi tror att vårt val är det som efterliknar verkligheten mest, men det finns en liten hake. Strålvinkeln går inte att bestämma analytiskt, och vår uppskattning av strålvinkeln är baserad dels på antaganden och dels på mätningar, vilket gör att den innehåller en stor osä-kerhet. Denna osäkerhet speglar även av sig på flödeskraften som är beroende av strålvinkeln.

60

Fjäderförspänningslängden är en faktor som vi justerat och egentligen inte känner till något exakt värde på. Överföringsfunktionen mellan pålagd ström och magnetkraft verkande på ventilsliden är en funktionsanpassning som inte innehåller någon form av dynamik eller temperaturberoende. Funktionen överensstämmer bara bra med mätningarna inom ett litet arbetsområde. Flera dämpställen är försummade, vilket kan påverka ventilmodellens bandbredd något. Alla dessa faktorer bidrar till fel i ventilläget eller flödesberäkningen, men ingen påverkar märkbart karakteristiken för systemet som helhet. Det som påverkas är trycknivån som uppnås i systemet vid en viss pålagd ström. Detta har föranlett att vi justerat den pålagda strömmen något då vi jämfört simuleringar med mätningar.

5.4.3 Olja När det gäller oljan har vi inte kunnat dra nytta av de mätningar som gjorts av Statoil utan istället antagit att värden för en liknande olja, tagna ur en tabell i en formelsamling, gäller även för denna olja. Det som är tydligt är dock att mekanikens styvhet har en betydligt större påverkan av systemets beteende än oljans styvhet, så detta antagande är med största sannolik-het godtagbart. Förutom att viskositetsmodellen endast är anpassad efter två punkter är dess tryckberoende försummat. Avvikelsen håller sig dock under några procent och detta påverkar bara systemet på de ställen där laminärt flöde råder.

5.4.4 Lågtryckssida Ackumulatorn innehåller endast en faktor för viskös friktion (dämpning) och inte någon sta-tisk sådan. Simuleringar tyder på att en trög ackumulator kan ha en stor inverkan på tryck-amplituden om matarpumpen inte kan leverera det flöde som varvtalsskillnadspumpen behö-ver, något som man också ser tendenser till i mätningar vid höga varvtalsskillnader och låga temperaturer. Den viskösa friktionen kommer givetvis att öka vid en ökning av oljans viskosi-tet, och därför räcker nuvarande ackumulatormodell inte till då koefficienten för viskös frik-tion är en konstant. Den statiska friktionen (som inte är modellerad) är svår att säga något om, men man kan tänka sig ett temperaturberoende även där. Effekten av statisk friktion bör kun-na bli avsevärd vid höga flöden, då det skulle kunna leda till att ackumulatorn tillfälligt fast-nar, något som inte kan hända i nuvarande modell. Säkerhetsventilen och matarpumpen är modellerade med standardkomponenter. Dessa är inte anpassade specifikt efter de verkliga komponenterna och ger ett mer idealt beteende. Att vi har valt att använda standardkomponenter beror på att vi antagit att de inte har någon märkbar påverkan av systemets karakteristik, vilket troligtvis är ett korrekt antagande.

61

Kapitel 6 Framtida arbete

För att sammanfatta brister i vår modell och saker man eventuellt skulle kunna förbättra pre-senteras nedanstående punktlista. Observera att denna lista är gjord för att hellre innehålla för mycket än för lite, och den är inte heller sorterad i någon speciell ordning.

• Fysikalisk modell av magneten. Med en bra magnetmodell skulle man kunna göra en bättre validering av hela ventilmodellen, då den funktionsanpassning som används i nuläget inför stora osäkerheter.

• Momentöverföringsmodell. En modell av överförbart moment skulle höja värdet på simuleringsmodellen, och bör absolut implementeras så snart en ekvation finns till-gänglig.

• Studie av strålvinkel som funktion av ventilläge. CFD-analys skulle kunna användas för att få en bättre uppfattning av strålvinkeln i ventilen vid olika ventillägen. Detta skulle också göra det möjligt att förbättra geometrin hos ventilen i syfte att minska in-verkan av strömningskrafter.

• Två kolvringar per kolv. I nuläget skulle en modellering av båda kolvringarna separat inte tillföra särskilt mycket eftersom parametrarna för friktion och styvhet gissas. Om mätningar skulle utföras för att ta fram värden för dessa parametrar skulle en modelle-ring med två kolvringar per kolv vara önskvärt.

• Styvhetsmätningar. Om man kan identifiera alla mekaniska styvheter och mäta dem, skulle man kunna frångå metoden att använda den totala kompliansfunktionen som ut-gångspunkt. Detta skulle också innebära att man kan simulera en koppling med till ex-empel vekare material genom att endast ändra parametrar.

• Justerbar kamhöjd för alternativa kamprofiler. I dagsläget måste man räkna ut en fak-tor man vill ändra kamhöjden med och sätta en multiplikator på kamhastighetskompo-nentens utsignal för att ändra den.

• Friktionsmätning för kolvringar. I vår modell är friktionskrafterna mellan kolvringar-na och cylindrarna uppskattade.

• Mätning av kompressionsmodulens tangentvärde. I nuvarande modell använder vi värden för paraffinolja.

• Fler viskositetsmätningar. Fler mätpunkter skulle kunna ge en mer precis skattning för alla temperaturer. Det skulle inte heller skada att undersöka viskositetens tryckberoen-de, som försummats i modellen.

• Utförlig ackumulatormodell. Ackumulatorn kan påverka systemet vid de driftsfall där matarpumpen inte räcker till för att leverera inflödet till varvtalsskillnadspumpen. Spe-

62

ciellt modellering med statisk friktion skulle möjligen förklara en del av utseendet hos tryckkurvorna för dessa fall.

• Detaljerade modeller av matarpump och säkerhetsventil. Även om de inte påverkar systembeteendet i särskilt stor grad är det givetvis bäst att ha en modell som är speci-fik för den komponent man avser att simulera.

63

Referenser

Skriftliga [1] Larsson J, “User’s guide to HOPSAN”, 2002, LiTH-IKP

http://www.flumes.ikp.liu.se/Users_Guide.pdf

[2] Merritt H E, ”Hydraulic Control Systems”, 1967, John Wiley & Sons Inc.

[3] ”Formelsamling i Hydraulik och pneumatik”, 1995, LiTH-IKP

[4] Storck K, Karlsson M, Andersson I & Loyd D, ”Formelsamling i termo- och fluiddy-namik, 2001, LiTH-IKP

[5] Marklund P, “Hydraulic control valve in Haldex Limited Slip Coupling – modeling and simulation”, 2004, Haldex AB

[6] Hervén D & Jönsson J, ”Simulation of HLSC”, 1996, Haldex AB

[7] Drenth E, ”Haldex LSC PreX Mathematical Model”, 2003, Haldex AB

[8] Hodges P, ”Hydraulic Fluids”, 1996, John Wiley & Sons Inc.

Muntliga & e-post [9] Jönsson J, hösten 2004

65

A – Kamprofilsfunktioner Nedan följer funktionerna för vinkelderivatorna av standardkamprofilerna, med intervall följt av respektive derivata. För alla profiler är φ = 0 definierat på profilens lägsta punkt. φ ska an-ges i radianer.

Arbetskamprofil (standard):

( )

( )

−−−⋅=≤<

−=≤<

−−⋅=≤<

=≤<

⋅=≤<

6

1272

13

2127

47

125

6

421

125

4

412

6

212

0

11

11

11

11

11

π

πφ

φπφπ

φπφπ

π

πφ

φπφπ

φπφπ

πφ

φπφ

Cddx

Cddx

Cddx

Cddx

Cddx

där 4/

11 π

hC = och h1 är amplituden för arbetskamprofilen.

Pumpkamprofil (standard):

( )

−−⋅−=≤<

−⋅−=≤<

⋅=≤

6

213

22

6

326

66

2323

2323

2323

π

πφ

φπφπ

π

πφ

φπφπ

πφ

φπφ

Cd

dx

Cd

dx

Cd

dx

där 6/

2323 π

hC = och h23 är amplituden för pumpkamprofilen.

66

67

B – Simuleringsresultat På kommande sidor redovisas alla övriga driftsfall för Gen II som validerats. Plottarna är sor-terade efter temperatur (stigande) och därefter flöde (stigande), som är direkt knutet till varv-talsskillnaden. Två inzoomade nivåer visas för varje driftsfall, så att graden av överensstäm-melse är lättare att bedöma.

68

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

HOPSAN−simulering mot mätning, −30 oC, ~50 ml/min, tidssteg 1e−4 s

MätningHOPSAN−simulering

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

Zoom 1

Zoom 2

69

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

HOPSAN−simulering mot mätning, −30 oC, ~200 ml/min, tidssteg 1e−4 s

MätningHOPSAN−simulering

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

Zoom 1

Zoom 2

70

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

HOPSAN−simulering mot mätning, −30 oC, ~400 ml/min, tidssteg 1e−4 s

MätningHOPSAN−simulering

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

Zoom 1

Zoom 2

71

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

HOPSAN−simulering mot mätning, −20 oC, ~200 ml/min, tidssteg 1e−4 s

MätningHOPSAN−simulering

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

Zoom 1

Zoom 2

72

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

HOPSAN−simulering mot mätning, −10 oC, ~50 ml/min, tidssteg 1e−4 s

Mätning

HOPSAN−simulering

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

Zoom 1

Zoom 2

73

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

HOPSAN−simulering mot mätning, 0 oC, ~400 ml/min, tidssteg 1e−4 s

MätningHOPSAN−simulering

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

Zoom 1

Zoom 2

74

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

HOPSAN−simulering mot mätning, 20 oC, ~200 ml/min, tidssteg 1e−4 s

Mätning

HOPSAN−simulering

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

Zoom 1

Zoom 2

75

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

HOPSAN−simulering mot mätning, 60 oC, ~200 ml/min, tidssteg 1e−4 s

Mätning

HOPSAN−simulering

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

Zoom 1

Zoom 2

76

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

HOPSAN−simulering mot mätning, 60 oC, ~400 ml/min, tidssteg 1e−4 s

Mätning

HOPSAN−simulering

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

Zoom 1

Zoom 2

77

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

HOPSAN−simulering mot mätning, 60 oC, ~800 ml/min, tidssteg 1e−5 s

MätningHOPSAN−simulering

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

Zoom 1

Zoom 2

78

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

HOPSAN−simulering mot mätning, 100 oC, ~50 ml/min, tidssteg 1e−4 s

MätningHOPSAN−simulering

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

Zoom 1

Zoom 2

79

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

HOPSAN−simulering mot mätning, 100 oC, ~200 ml/min, tidssteg 1e−4 s

MätningHOPSAN−simulering

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

Zoom 1

Zoom 2

80

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

HOPSAN−simulering mot mätning, 100 oC, ~400 ml/min, tidssteg 1e−4 s

MätningHOPSAN−simulering

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

Tid [s]

Try

ck [B

ar]

Zoom 1

Zoom 2