MXIMO COMN DIVISOR Y MNIMO COMN MLTIPLO

En expresiones racionales, para realiza operaciones bsicas, se necesita hallar el mximo comn divisor (m.c.d) y mnimo comn mltiplo (m.c.m).El procedimiento para encontrar el m.c.d y m.c.m de expresiones algebraicas es similar al empleado en la teora de nmeros.Mximo comn divisor - m.c.d. Iniciemos recordando el concepto de mximo comn divisor (m.c.d.) para enteros. En los enteros la palabra divisor se emplea como sinnimo de factor. As que, un entero b, , es un divisor de un entero a si hay otro entero c tal que a = b c

El m.c.d. de dos o ms enteros se obtiene, despus de factorizarlos en factores primos, como el producto de los factores primos comunes, cada uno elevado al menor exponente con el que aparezca. Ejemplo. Hallar el m.c.d. de 60 y 252.

MXIMO COMN DIVISOR.

El mximo comn divisor de dos o ms polinomios es un polinomio de mayor coeficiente numrico y de mayor grado que divide exactamente a cada uno de los polinomios.

Mnimo comn mltiplo - M.C.M. Empecemos con los conceptos de mltiplo, mltiplo comn y mnimo comn mltiplo para nmeros enteros. Por ejemplo, sabemos que los mltiplos positivos de 2 son los enteros

Los cuales son tambin los enteros positivos que tienen a 2 como divisor o factor.

Un polinomio a es un mltiplo comn de dos o ms polinomios, si a es un mltiplo de cada uno de ellos. Dados dos o ms polinomios, se llama mnimo comn mltiplo (M.C.M.) de esos polinomios a un mltiplo comn de ellos con la propiedad de que cualquier otro mltiplo comn, es un mltiplo de l. De manera similar a lo que ocurre en los enteros, el M.C.M. de dos o ms polinomios se obtiene, despus de factorizarlos completamente, como el producto de los factores comunes y no comunes, cada uno con su mayor exponente.

Actividad individual. Hallar el m.c.m y m.c.d de los siguientes polinomios.

FRACCIONES ALGEBRAICAS

DEFINICIONESSe llama fraccin o quebrado al cociente indicado de dos expresiones algebraicas cualesquiera. El dividendo se llama numerador y el divisor se llama denominador y ambos se conocen como trminos del quebrado. As,a/b es una fraccin algebraica porque es el cociente indicado de la expresina(dividendo) entre expresinb (divisor).Fraccin algebraica simple

Es la que el numerador y denominador son expresiones racionales enteras. Son ejemplos de fracciones simples:

.Fraccin propia e impropiaUnafraccin simple se llama propia si el grado del numerador es menor que el grado del denominador; y se llama impropia si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador.Por ejemplo,son fracciones propias, mientras queson fracciones impropias. Una fraccin impropia puede escribirse como la suma de un polinomio y una fraccin propia.

Fraccin compuestaUna fraccin compuesta es aquella que contiene una o ms fracciones ya sea en su numerador o en su denominador, o en ambos. Son ejemplos de fracciones compuestas:

Significados de una fraccin

Significado1.- Una fraccin indica una divisin. Por ejemplo, quiere decir 3 divido por 4 o bien 34. Cuando una fraccin significa divisin, el numerador es el dividendo y el denominador es el divisor.Significado2.- Una fraccin indica una razn. Por ejemplo, quiere decir 3 a 4 o bien 3:4. Cuando una fraccin significa razn de dos cantidades, stas deben estar expresadas en las mismas unidades. Por ejemplo la razn de 3 das a 2 semanas es 3:14 o bien 3/14. Se ha hecho la equivalencia de 2 semanas a 14 das eliminndose luego la unidad comn.Significado3.- Una fraccin indica una parte de todo o una parte de un grupo de cosas. Por ejemplo, puede expresarse tres cuartos de una moneda o bien 3 monedas de 4 monedas.Numerador o Denominador NuloSi el denominador de una fraccin es cero, el valor de dicha fraccin es nulo siempre que el denominador sea distinto de cero. Por ejemplo 0/3 = 0. Asimismo, six/3=0 se deduce quex=0. La fraccinparax= 5 vale cero. Sin embargo 0/0 es indeterminado.Como la divisin por cero carece de sentido, una fraccin cuyo denominador sea cero es imposible. Por ejemplo 30 es imposible. O bien 3/0 carece de sentido. Asimismo, six= 0 la fraccin 5xes imposible o bien 5/x carece de sentido.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALESOPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

Suma y resta de fracciones algebraicas:

Calcula el resultado de la suma:

1 Calculas el mnimo comn mltiplo de los denominadores: vemos que el m.c.m.(2, 3, 4) = 122 Divides el m.c.m. por cada denominador y el cociente lo multiplicas por el numerador:

Calcula el valor de:Respuesta:Solucin:1 Calculamos el m.c.m.(3, 4 y 5) = 602 Dividimos 60 entre cada denominador y el cociente lo multiplicamos por su numerador y escribiendo por delante el sino que le corresponda.

Calcula la suma:Respuesta:Solucin:Cuando tengas un trmino entero (sin denominador), si encuentras alguna dificultad le pones un 1 como denominador. Dividir o multiplicar un nmero por 1 es dejarle como est, pero a veces, resuelve alguna duda:

El m.c.m. de denominadores es 5. Cada denominador lo dividimos por este nmero y el cociente lo multiplicamos por su numerador.Calcula:Respuesta:Calcula:Respuesta:Solucin:Trabajar con letras es muy sencillo. El m.c.m. de a y b es ab. Estas dos letras no tienen nada en comn. Imagina que a es igual a 7 y b es igual a 5. Como 7 y 5 son primos, no tienen nada en comn, el m.c.n.lo mismo que el m.c.mEl m.c.m. de los denominadores dividimos por cada denominador y el cociente lo multiplicamos por su numerador:

Dividires como dividirsuponiendo que a = 7 y b = 5Simplificamos los factores iguales en el numerador y denominador y nos quedaran:

Calcula:Respuesta:Solucin:Este ejercicio puedes escribirlo:

El m.c.m. de los denominadores es xyDividimos este valor por cada denominador y el cociente multiplicamos por su numerador:

No se debe simplificarxydel numerador con elxydel denominador porque el del numerador est sumando y para simplificar los trminos tienen que estar multiplicando.Resuelve la diferenciaRespuesta:Solucin:El m.c.m. de los denominadores es el producto de ambos.tienes que dividir por cada denominador y el factor que te queda como cociente, multiplicar por su numerador: En el caso de la primera fraccin:

Nos ha quedadocomo cociente para multiplicarlo por el primer numerador que tambin es.El mismo proceso hacemos para la segunda fraccin:

El primer numerador es el cuadrado de la diferencia de dos nmeros y el denominador comn equivale a una diferencia de cuadrados:

Desarrollamos los cuadrados de la diferencia y suma de los cuadrados de dos nmeros.Detrs del signo menos que unen las fracciones ponemos un parntesis para despus, al quitarlos,cambiar de signo a cada trminoy despus, reducimos trminos semejantes:

Calcula:Respuesta:o tambin:Solucin:Vemos que el primer denominador es el resultado de multiplicar la suma de dos nmeros por su diferencia;luego el m.c.m. de los denominadores serque es el que contiene a todos.Dividimospor el segundo denominador:

Cuidado al quitar un parntesis con el signo menos por delante. Reducimos trminos semejantes:

Como el signo menos delante de una fraccin afecta solamente al numerador podemos escribir este resultado:

Simplificacin de fracciones: Decimos que dos fracciones son equivalentes si una se obtiene de la otra a partir de operaciones sobre sus trminos, sin alterar la fraccin. Simplificar una fraccin racional es convertirla en una fraccin equivalente cuyos trminos sean primos entre s, es decir, los factores comunes del numerador y denominador han sido cancelados. Cuando los trminos de una fraccin son primos entre s, decimos que la fraccin es irreducible o que est reducida a su mnima expresin. Para simplificar una fraccin racional factorizamos el numerador y el denominador y cancelamos los factores comunes, aplicando la propiedad

Multiplicacin y divisin de fracciones algebraicas.Basta que tengas en cuenta como se multiplican y dividen las fracciones como estudiaste hasta ahora. Con tener en cuenta, respecto a la parte literal, que, para multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes y para dividir se restan, es suficiente.Halla el valor de:Respuesta:.Solucin:Para multiplicar fracciones se halla el producto de numeradores y se divide por el producto de denominadores. Si se puede, se simplifican factores comunes:

Calcula el producto:Respuesta:Solucin:Multiplicamos la parte numrica primero y luego la parte literal sumando los exponentes de las potencias de la misma base:

Dividimos la parte numrica primero y luego la parte literal restando los exponentes de las potencias de igual base y su resultado lo colocamos donde el exponente era mayor:

Halla el producto de:Respuesta:Solucin:Indicando los productos notables y simplificando factores comunes:

Halla el producto de:Respuesta:Solucin:Antes de comenzar a hacer el producto debes fijarte en cada trmino del numerador y denominador para ver si hay factores comunes para despus simplificar y trabajar con valores ms pequeos.

Calcula el producto:Respuesta:Solucin:

Divide:Respuesta:.Solucin:Recuerda que para dividir fracciones puedes multiplicar la primera por el inverso de la segunda, es decir, darle vuelta a la segunda fraccin, que equivale a poner el numerador como denominador y a ste como numerador.Tambin puedes multiplicar el primer numerador por el segundo denominador y este producto dividir entre el producto del primer denominador por el numerador de la segunda fraccin.

Divide:Respuesta:.Calcula:Respuesta:

Solucin:

Calcula:Respuesta:

Solucin:

Halla el cociente:Respuesta:

Solucin:

Calcula:

Respuesta:

ACTIVIDAD INDIVIDUAL.

1. Resuelve las siguientes sumas y restas con fracciones algebraicas.a)

b)

c)

d)

e)

f) 2. Comprueba en cada caso si las fracciones dadas son equivalentes:

a)

b)

c)

d)

3. Resuelvo las siguientes multiplicaciones con fracciones algebraicas.

4. Resuelvo las siguientes divisiones con fracciones algebraicas.

Calcula:

a)

b)

c)

d)

5. Saca factor comn y luego simplifica:

a)

b)

c)

d) 6. Resuelvo las siguientes multiplicaciones con fracciones algebraicas.

7. Resuelvo las siguientes divisiones con fracciones algebraicas.

a)

b)

c)

d)