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SIPSIPCPATCPAT
Chapitre 4Chapitre 4
SIPSIPCPATCPAT
RappelRappel
€
E =F
S
€
E = Icosθ
R2
SA
O
R
h
€
E = LΩcosθ
SIPSIPCPATCPAT
Calcul d’éclairement moyenCalcul d’éclairement moyenSource Ponctuelle - Surface Source Ponctuelle - Surface
« circulaire »« circulaire »
Hypothèse de départ: Flux constant
S
O
h
€
E =F
S=
F
πh2 tan2 α m
€
S = πab
x 2
a2+
y 2
b2=1
€
a =h
2tan(θ + α m ) − tan(θ −α m )[ ] =
h
2
sin2α m
cos2 α m − sin2 θ
b = a 1−sin2 θ
cos2 α m
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
1/ 2
S
O
h
M
M
ba
SIPSIPCPATCPAT
ProjecteurProjecteur
€
E =I
R2cosθ
R =d
cosθ
⎫
⎬ ⎪
⎭ ⎪⇔ E =
I
d2cos3 θ
€
cosθ = cos(α + ω)cosβ
SH
P
P’
O
d
R
€
SP =SP '
cosβ
cosθ =SH
SP
SH = SP ' cos(ω + α )
€
E =I
d2cos3(α + ω)cos3 β
SIPSIPCPATCPAT
Calcul d’éclairementCalcul d’éclairementSource Ponctuelle - Surface Source Ponctuelle - Surface
rectangulairerectangulaire
€
dΩ =dxdy
R2cosθ
€
cosθ =h
R
€
R = x 2 + y 2 + h2
€
dF = I(θ)h
x 2 + y 2 + h2{ }
3 / 2 dxdy
€
F = q1
h
x 2 + y 2 + h2{ }
3 / 2 dxdy0
a
∫0
b
∫
avec x'= x /h; y'= y /h et a'= a /h; b'= b /h
F = q1
1
x'2 +y'2 +1{ }3 / 2 dx 'dy
0
a '
∫0
b '
∫ '
€
E =F
S=
F
abdF = I(θ)dΩ
S
P
x
y
O
a
b
Z
X
Y
d
R
dS
h
€
F = q1 arctana'b'
a'2 +b'2 +1= q1Y1
€
F =q2
2
a'
a'2 +1arctan
b'
a'2 +1+
b'
b'2 +1arctan
a'
b'2 +1
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥= q2Y2
€
I(θ) = q1
€
I(θ) = q2 cos(θ)
SIPSIPCPATCPAT
Calcul d’éclairement ponctuelCalcul d’éclairement ponctuelSource Etendue circulaire (orthotrope)Source Etendue circulaire (orthotrope)
O
P
m
rm
r
Rm
R
h
€
dE = LcosαdΨ
€
dΨ =2πrdr cosα
R2
€
R2 =h2
cos2 α avec r = h tanα
€
dΨ = 2π cosαdα
€
dE = 2πLsinα cosαdαd
d
d’
€
h → 0 ⇒ E = πL
€
E '=I
h2=
πLrm2
h2
€
E '−E
E=
rm
h
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟2
si h =10rm ⇒ΔE
E=1%
€
E = dE = 2πLsinα cosαdα = π sin2 α m0
α m
∫s
∫
sin2 α m =rm
2
rm2 + h2
⎫
⎬ ⎪ ⎪
⎭ ⎪ ⎪
⇔ E = πLrm
2
rm2 + h2
SIPSIPCPATCPAT
Calcul d’éclairement ponctuelCalcul d’éclairement ponctuelSource Etendue rectangulaire Source Etendue rectangulaire
(orthotrope)(orthotrope)
€
cosα =h
R
dE = Lh2 dxdy
(x 2 + y 2 + h2)2 ⇒ E = Lh2 dy dx
1
(x 2 + y 2 + h2)2
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭0
a
∫ ⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭0
b
∫
€
E =L
2
b
b2 + h2arctan
a
b2 + h2+
a
a2 + h2arctan
b
a2 + h2
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
€
sinα =x
R
dE = Lhxdxdy
(x 2 + y 2 + h2)2 ⇒ E = Lh dy dx
x
(x 2 + y 2 + h2)2
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭0
a
∫ ⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭0
b
∫
€
E =L
2arctan
a
h−
h
b2 + h2arctan
a
b2 + h2
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
Z
X
Y Rh
S
x
y
O
b
a
P
€
dΨ =dxdy
R2cosα
€
R = x 2 + y 2 + h2€
dE = LcosαdΨ
SIPSIPCPATCPAT
Bande lumineuseBande lumineuse
€
cosα =h
R
dE = Lδ cos2 α
R2dx ⇒ dE = L
h2δ
(x 2 + d2 + h2)2dx ⇒
E =L
2
δh2
(d2 + h2)
1
d2 + h2arctan
Δ
d2 + h2+
Δ
Δ2 + d2 + h2
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
Z
X
Y Rh
S
O
P
∆
d
∆
d
€
sinα =d
R
E =L
2
δdh
(d2 + h2)
1
d2 + h2arctan
Δ
d2 + h2+
Δ
Δ2 + d2 + h2
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
€
E =L
2
δh
(d2 + h2)
Δ
Δ2 + d2 + h2
SIPSIPCPATCPAT
RemarquesRemarques
€
'=δ
h; Δ'=
Δ
h; d'=
d
hL = 2
E =δ '
(d'2 +1)
1
d'2 +1arctan
Δ'
d'2 +1+
Δ'
Δ'2 +d'2 +1
⎧ ⎨ ⎩
⎫ ⎬ ⎭
’
’
E
E
’
’=1’=1
’=1E
’
’=1’=1
SIPSIPCPATCPAT
z0
y0
P
x0
A
B C
D
Quelques simplificationsQuelques simplificationsEEHH
€
E H =L
2
x0
z02 + x0
2arctan
y0
z02 + x0
2+
y0
z02 + y0
2arctan
x0
z02 + y0
2
⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
On pose:
€
x0
z02 + x0
2= sinα 1 arctan
y0
z02 + x0
2= β1
y0
z02 + y0
2= sinα 2 arctan
x0
z02 + y0
2= β 2
€
E H =L
2β1 sinα 1 + β 2 sinα 2[ ]
Si B et C s'éloignent à l’infini on a:
€
1 = α 1 β1 = π /2
α 2 = π /2 β 2 = 0
€
E H∞ =πL
4sinα 1
€
E
L
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟∞
=π
4= 0,785
SIPSIPCPATCPAT
Quelques simplificationsQuelques simplificationsEEVV
€
EV =L
2arctan
y0
x0
−x0
x02 + z0
2arctan
y0
x02 + z0
2
⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
z0
y0
P
x0
A
B
C
D
On pose:
€
arctany0
x0
= β 0 arctany0
z02 + x0
2= β1
x0
z02 + x0
2= cosγ1
€
EV =L
2β 0 − β1 cosγ1[ ] y0/x0=0.1
0.5
1.0
1.52.02.5
z0/x0
E/L
y0/x0
z0/x0
(EV/L) π/4
SIPSIPCPATCPAT
Le principe de laLe principe de la« décomposition »« décomposition »
P
A
B
C
DB’
D’
A’
C’
O
Eclairement dû au OB’CC’ = E1
Eclairement dû au OD’DC’ = E2
Eclairement dû au OB’BA’ = E3`
Eclairement dû au OD’AA’ = E4`
€
EP = E1 − E2 − E3 + E4 = E1 + E4 − (E2 + E3)
€
EP =L
2cosγdβ
Γ
∫
P
A
B C
B’
D’
A’C’
O
D
Généralisation(formule de Yamauti)
SIPSIPCPATCPAT
Principe de réciprocitéPrincipe de réciprocité
d1 induira en P2 un éclairement:
€
dE = L1
dσ 1
r 2cosθ1 cosθ 2
r
P1
P2
d1
d2
1
2
L1
L2
1
2
Eclairement en P2 dû à 1 :
€
EP 2 = L1
cosθ1 cosθ2
r2Σ1
∫ dσ 1
Flux reçu en P2 :
€
dFP 2 = EP 2dσ 2 = L1
cosθ1 cosθ2
r2Σ1
∫ dσ 1dσ 2
Flux reçu en 2 dû à :
€
F21 = L1
cosθ1 cosθ2
r2Σ1
∫Σ2
∫ dσ 1dσ 2 = L1G
Flux reçu en 1 dû à :
€
F12 = L2
cosθ1 cosθ2
r2Σ2
∫Σ1
∫ dσ 2dσ 1 = L2G
Coefficients d’échange (CIE)
€
g12 =F12
M2
g21 =F21
M1
⎧
⎨ ⎪ ⎪
⎩ ⎪ ⎪
Mais M=πL alors
€
g12 = g21 =G
π€
F21
F12
=L1
L2
SIPSIPCPATCPAT
Le cas d’une cavité diffusante Le cas d’une cavité diffusante
€
ρd E = πL
E =Φ
S
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪⇔ ρ d
Φ
S= πL
€
FR = ρ dΦΣ
SSurfaceS
SurfaceApparente
Flux incidentFI
Flux dans la cavité €
FI = FR + Fabs = ρ dΦΣ
S+ (1− ρ d )Φ
€
ξ =FR
FI
=ρ d
Σ
S
1+ ρ d
Σ
S−1
⎡ ⎣ ⎢
⎤ ⎦ ⎥
/S
ρd=0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
€
g11 = S − Σ = S(1−Σ
S)
Coefficient d’auto-échange