Sistem Linier Time Invariant

Toha Ardi Nugraha

ANALISIS SISTEM LTI

• Metoda analisis sistem linier

• Resolusi sinyal waktu diskrit

• Respon sistem LTI

• Sifat-sifat konvolusi

• Sistem FIR dan IIR

• Kausalitas sistem LTI

METODA ANALISIS SISTEM LINIER

Metoda Langsung

Konvolusi

Persamaan Beda (Difference Equation)

Metoda Tidak langsung

Transformasi Z

)]Mn(x,),1n(x),n(x),Nn(y,),1n(y[F)n(y

Jawab langsung dari hubungan input-output :

M

k

k

N

k

k knxbknyany01

)()()(Sistem LTI :

{ak} dan {bk} parameter-parameter konstanta

tidak tergantung pada x(n) atau y(n)

Persamaan Beda

Sinyal input diuraikan menjadi sejumlah sinyal-sinyal

dasar

Sinyal-sinyal dasar dipilih agar respon sistem

terhadapnya mudah ditentukan

Menggunakan sifat linier, respon total adalah jumlah

dari respon sinyal-sinyal dasar

)n(xc)n(x k

k

k )]n(x[T)n(y kk

)n(yc)]n(x[Tc

)n(xcT)]n(x[T)n(y

k

k

kk

k

k

k

k

k

k

)kn()k(x)n(x

RESOLUSI SINYAL WAKTU DISKRIT

)kn()n(xk

)kn()k(x)kn()n(x

Dipilih sinyal unit impuls sebagai sinyal dasar

Contoh Soal 6.1

Diketahui sinyal dengan durasi terbatas x(n) = {2, 4, 0, 3}

Nyatakan sinyal ini dalam unit impuls

Jawab :

2

1k

)kn()k(x)n(x

)2n()2(x)1n()1(x)n()0(x)1n()1(x)n(x

)2n(3)n(4)1n(2)n(x

k

)kn()k(x)n(x

RESPON SISTEM LTI

)k,n(h)]kn([T)k,n(y

Unit impuls sebagai input

k k

k

)k,n(h)k(x)]kn([T)k(x

)kn()k(xT)]n(x[T)n(y

Sinyal input dinyatakan dengan unit impuls

Sinyal output dinyatakan dengan unit impuls

Respon impuls

k

)kn(h)k(x)n(y

Sistem time-invariant :

)]kn([T)kn(h)]n([T)n(h

Sistem linier dan time-invariant (LTI) :

k

)kn()k(x)n(x

Konvolusi

)kn(h)k(h

KONVOLUSI (4 operasi)

)k(h)k(h Operasi folding

Operasi shifting

Operasi perkalian )kn(h)k(x

Operasi penjumlahan

k

)k,n(h)k(x

Contoh Soal 6.2

Respon impuls suatu sistem LTI adalah :

Jawab :

h(n) = {1, 2, 1, -1}

Tentukan respon dari sistem bila inputnya :

x(n) = {1, 2, 3, 1}

k

n

k

)k(v)kn(h)k(x)n(y

)kn(h)k(x)k(vn

h(n) = {1, 2, 1, -1}

x(n) = {1, 2, 3, 1}

)k(h)k(x)k(v0

4)k(v)0(yk

0

k

)k(h)k(x)0(y

k

)kn(h)k(x)n(y

)k1(h)k(x)k(v1

8)k(v)1(yk

1

k

)kn(h)k(x)n(y

k

)k1(h)k(x)1(y

)k1(h)k(x)k(v 1

1)k(v)1(yk

1

k

)kn(h)k(x)n(y

k

)k1(h)k(x)1(y

x(n) = {…, 1, 4, 8, 8, 3, -2, -1, 0, … }

k

)kn(h)k(x)n(y

m

)m(h)mn(x)n(y

mnkknm

k

)k(h)kn(x)n(y

kk

)k(x)kn(h)k(h)kn(x

Contoh Soal 6.3

Tentukan output y(n) dari sistem LTI dengan respon

impuls :

Jawab :

bila inputnya suatu unit step, yaitu :

)n(u)n(x

1a),n(ua)n(h n

h(k) tetap, x(k) yang di folding dan digeser menjadi x(n - k)

k

)k(h)kn(x)n(y

2aa1)2(y

a1

a1aaa1)n(y

1n22

1)0(y

a1)1(y

Latihan Soal 6.1

Tentukan output y(n) dari sistem LTI dengan respon

impuls :

Jawab :

bila inputnya :

123

13791183)n(y

11221

Latihan Soal 6.2

Tentukan output y(n) dari sistem LTI dengan respon

impuls :

Jawab :

bila inputnya :

1011

3256431)n(y

3221

SIFAT-SIFAT KONVOLUSI

)n(x)n(h)n(h)n(x Komutatif

)]n(h)n(h[)n(x)n(h)]n(h)n(x[ 2121 Asosiatif

x(n) h(n) y(n)

h1(n) x(n) y(n)

h2(n)

h(n) = h1(n)*h2(n) x(n) y(n)

h(n) x(n) y(n)

SIFAT-SIFAT KONVOLUSI

)n(x)n(h)n(h)n(x Asosiatif dan komutatif

)n(h)n(x)n(h)n(x)]n(h)n(h[)n(x 2121

Distributif

h1(n) x(n) y(n)

h2(n)

h2(n) x(n) y(n)

h1(n)

h(n) = h1(n)+h2(n) x(n) y(n)

h1(n) x(n) y(n)

h2(n)

+

Contoh Soal 6.4

Tentukan respon impuls h(n) dari dua sistem LTI yang

dihubungkan seri (kaskade), yang masing-masing

mempunyai respon impuls :

Jawab :

)n(u4

1)n(h)n(u

2

1)n(h

n

2

n

1

k

n

k

21 )k(v)kn(h)k(h)n(h

Asosiatif )n(h)n(h)n(h 21

knk

21n4

1

2

1)kn(h)k(h)k(v

)n(u4

1)n(h)n(u

2

1)n(h

n

2

n

1

0)k(v0kn0kn0k n

0n,0)n(h0)k(v0n n

nnn

n

n

k

knknkn

k

nh

2

12

2

1)12(

4

1

24

1

4

1

2

1)(

1

00

SISTEM FIR DAN IIR

Sistem FIR

Finite-duration Impuls Response

Mndan0n,0)n(h

1M

0k

)kn(x)k(h)n(y

Output pada waktu n = kombinasi linier dari input-input :

x(n), x(n-1), ……., x(n-M+1)

yang diberi bobot dengan harga-harga respon impuls :

h(k), k = 0, 1, ……, M-1

Mempunyai memori terbatas sebanyak M

Sistem IIR

Infinite-duration Impuls Response

k

)kn(x)k(h)n(y

Output pada waktu n = kombinasi linier dari input-input :

x(n), x(n-1), x(n-2), ………

yang diberi bobot dengan harga-harga respon impuls :

h(k), k = 0, 1, ……

Mempunyai memori tak terbatas

KAUSALITAS SISTEM LTI

Sistem Kausal

Output tidak tergantung pada input yang akan datang

k

oo )kn(x)k(h)n(y

0k

o

1

k

oo )kn(x)k(h)kn(x)k(h)n(y

])1n(x)1(h)n(x)0(h[

])2n(x)2(h)1n(x)1(h[)n(y

oo

ooo

0n0)n(h Sistem Kausal

n

k0k

)kn(h)k(x)kn(x)k(h)n(y

Sistem dan Input Kausal

h(n) = 0, n < 0 x(n) = 0, n < 0

n

k0k

)kn(h)k(x)kn(x)k(h)n(y

n

0k

n

0k

)kn(h)k(x)kn(x)k(h)n(y

Contoh Soal 6.5

Respon impuls dari suatu sistem LTI adalah :

Jawab :

1a)n(ua)n(h n

Tentukan outputnya bila inputnya unit step x(n) = u(n)

Sistem dan input kausal

n

0k

n

0k

)kn(h)k(x)kn(x)k(h)n(y

n

0k

ka)n(ya1

a1)n(y

1n