SISTEM KENDALI OTOMATIS

Transformasi Laplace

Open Loop/Closed Loop Systems Control

signal

Actuating

signal

Input/

Desired

output

Plant

output

Error

signal

Control

signal Input/

Desired

output

+

Actuating

signal Plant

output

-

Sensor

Plant

Actuator

Controller

Plant

Actuator

Controller

Istilah-istilah dalam SKO

• Plant : Suatu peralatan atau objek fisik

yang diatur/dikendalikan

• Proses : Operasi yang dikendalikan

• Sistem : Gabungan komponen yang

bekerjasama untuk mencapai satu tujuan

• Gangguan : Suatu sinyal

(internal/eksternal) yang mempunyai

pengaruh merugikan output sistem

Istilah-istilah dalam SKO

• Input (Desired Output) : Output yang

diinginkan

• Error : Selisih antara input dan output

yang terjadi pada saat itu

• Sinyal kontrol : Sinyal dari kontroller

Model Matematika

• Rancangan dari sistem kendali membutuhkan rumus

model matematika dari sistem.

Mengapa harus dengan model matematika ?

• Agar kita dapat merancang dan menganalisis sistem

kendali.

Misalnya:

• Bagaimana hubungan antara input dan output.

• Bagaimana memprediksi/menggambarkan perilaku

dinamik dari sistem kendali tersebut.

Transformasi Laplace

• Mengubah fungsi dari sistem fisis (domain waktu) ke fungsi

variabel kompleks (domain s)

• Menyederhanakan persamaan matematis yang mengandung

operasi turunan/differensial atau integral menjadi persamaan yang

berisi perkalian atau pembagian biasa

• Dapat mengubah fungsi umum (fungsi sinusoida, sinusoida

teredam, fungsi eksponensial) menjadi fungsi-fungsi aljabar

variabel kompleks

• Metode ini memungkinkan untuk meramal kinerja sistem

menggunakan grafis tanpa harus menyelesaikan persamaan

differensial

• Komponen transien dan steady state diperoleh secara serentak

Penyelesaian Menggunakan

Transformasi Laplace Secara sederhana prosedur dasar pemecahan menggunakan metode

transformasi Laplace adalah:

• Persamaan diferensial yang berada dalam kawasan waktu (t),

ditransformasikan ke kawasan variabel kompleks(s) dengan

transformasi Laplace.

• Untuk mempermudah proses transformasi dapat digunakan tabel

transformasi laplace.

• Persamaan yang diperoleh dalam kawasan s tersebut adalah

persamaan aljabar dari variabel s yang merupakan operator Laplace.

• Penyelesaian yang diperoleh kemudian ditransformasi-balikkan ke

dalam kawasan waktu.

• Hasil transformasi balik ini menghasilkan penyelesaian persamaan

dalam kawasan waktu.

Time Domain

Circuit

Time Domain

Circuit

s-Domain

Circuit

L 1L

x(t) y(t)

X(s) Y(s)s j Complex Frequency

2 Types of s-Domain Circuits

With and Without Initial Conditions

Laplace

Transform

Inverse

Laplace

Transform

Definisi Transformasi Laplace

dengan:

f(t) = fungsi waktu t, dengan f(t)=0 untuk t<0

s = variabel kompleks

0

)()()]([ dtetfsFtfL st

Latihan

• Hitung Transformasi Laplace Unit Step

u(t)

t

1

• Hitung Transformasi Laplace Unit Ramp

0untuk )( tAttff(t)

t

• Hitung Transformasi Laplace dari

𝑓 𝑡 = 𝑒−𝑎𝑡

• Hitung Transformasi Laplace dari fungsi sinus

f(t) F(s)=L[f(t)]

ntate

)t( 1

)t(u

t

)atsin(

)atcos(

)at(sh

)at(ch

)1n(s/!n

2s/1

)as/(1

)as/(a 22

)as/(s 22

)as/(a 22

)as/(s 22

s/1

)atsin(ebt]a)bs/[(a 22

)bs)(as/(1

]a)bs/[()bs( 22 )atcos(ebt

ba )ab/()ee( atbt

ba )bs)(as/(s )ab/()aebe( atbt

SIFAT LINIERITAS )]t(f[L)s(F 11

)]t(f[L)s(F 22

tstanConsc,c 21

)s(F.c)s(F.c

)]t(f[L.c)]t(f[L.c

)]t(f.c)t(f.c[L

2211

2211

2211

SIFAT TRANSLASI

)as(F)]t(fe[L at a) Jika F(s)=L[f(t)]

)as(Fdte)t(fdte])t(fe[)]t(fe[L t)as(

0

st

0

atat

Contoh 4s

s)]t2(Cos[L

2

5s2s

1s

4)1s(

1s)]t2(Cose[L

22

t

21

• Translasi [time]

b) Jika g(t) = f(t-a) for t>a

= 0 for t<a

)s(Fe)]t(g[L as

due)u(fedue)u(fdte])at(f)]t(g[L su

0

as)au(s

0

st

0

a

t

f(t) g(t)

Contoh 44

3

s

6

s

!3]t[L

2t,0)t(g

2t,)2t()t(g 3

4

s2

s

e6)]t(g[L

22

•Perubahan skala waktu )a

s(F

a

1)]t.a(f[L

)a

s(F

a

1

a

due)u(fdte])t.a(f)]t.a(f[L a

su

0

st

0

Contoh

1s

1)]t(Sin[L

2

9s

3

13

s

1

3

1)]t3(Sin[L

2

2

TEOREMA DIFERENSIASI Transformasi Laplace dari turunan fungsi f(t) diberikan sebagai

0

)()(dte

dt

tdf

dt

tdf stL

Integrasi bagian demi bagian memberikan

00 )()(

)(dtetfsetf

dt

tdf ststL

)t(fs)0(fdt

)t(dfLL

Transformasi Laplace sangat berguna karena mengubah

persamaan diferensial menjadi persamaan aljabar sederhana.

24

Turunan Pertama [Derivative first order]

)0(f)s(F.s)]t(f[L]dt

df[L)]t('f[L

0

0

0

dt)t(fse)t(fedt)t(fe)]t('f[L ststst

)0(f)s(F.s)]t('f[L t

)0(f

f(t)

)(f)s(sF 0

25

Turunan orde tinggi (Derivatives of higher order)

)0(f)s(F.s)]t(f[L]dt

df[L)]t('f[L

)0('f)0(f.s)s(F.s])t(f[L)]t("f[L 2

)1n()1(2n1nn

)n(

)0(f.....)0(fs)0(fs)s(Fs)]t(f[L

)1i(n

1i

inn)n(

)0(f.s)s(Fs])t(f[L

•Jika discontinuity pada a

)]a(f)a(f[e)0(f)s(F.s)]t('f[L as

)a(f)a(f

26

Contoh Turunan

22s)]t(Sin[L

22s

s)]t(Cos[L

dt

)]t(Sin[d1)t(Cos

2222 s

s

)s(

s)0(Sin)]t(Sin[L

s)]t(Cos[L

)t(Cosdt

)]t[sin(d

)t(Sindt

)]t(Cos[d

dt

)]t(Cos[d1)t(Sin

)s(

)0(Cos)]t(Cos[L

s)]t(Sin[L

22

INTEGRASI

t

0s

)s(F]du)u(f[L

)s(F)0(g)]t(g[sL)]t(g[L

)t(f)t(g

t

0

]du)u(f)t(g )]t(f[L)s(F

Perkalian dengan faktor t

dt)t(fe[ds

d)s(F

ds

)s(dF

0

st'

Leibnitz’s rule

)]t(tf[Ldt])t(tf[e]dt)t(fe[sds

)s(dF

0

stst

0

)s(F)]t(tf[L '

Rumus umum

n

nnn

ds

)s(Fd)1()]t(ft[L

Pembagian dengan faktor t

t

)t(f)t(g )t(tg)t(f

)s(Fds

)s(dG

ds

)]t(g[dL)]t(f[L

s

s

du)u(Fdu)u(F)s(G

s

du)u(F]t

)t(f[L

s

0)s(LimG

FUNGSI PERIODIK )t(f)kTt(f k,t

sT

T

0

st

e1

dte)t(f

)s(F)]t(f[L

.......dt)t(fedt)t(fedt)t(fe)s(F)]t(f[L

T3

T2

st

T2

T

st

T

0

st

.......du)T2u(fedu)Tu(fedt)t(fe)s(F)]t(f[L

T

0

)T2u(s

T

0

)Tu(s

T

0

st

.......du)u(feedu)u(feedt)t(fe)s(F)]t(f[L

T

0

susT2

T

0

susT

T

0

st

]dt)t(fe[e)s(F)]t(f[L

T

0

st

0n

nsT

sT0n

nsT

e1

1e

Fungsi periodik Sinus & Cosinus )t(jSin)t(Cose tj

dtedtee)]t(Sin[jL)]t(Cos[L]e[L0

t)sj(

0

sttjtj

sT

T

0

t)sj(

tj

e1

dte

]e[L

]1e[sj

1]1ee[

sj

1e

sj

1dte sTsTTjT

0

t)sj(

T

0

t)sj(

22

tj

s

js

)js)(js(

js

js

1]e[L

Sifat Transformasi Laplace

Diketahui: F(s)=L[f(t)] Bagaiman mencari f(t) dari F(s) ?

)]s(F[L)t(f 1

a) Metoda Tabel ate)t(f

as

1)s(F

Transformasi Laplace Invers

n

i

tpi

n

n ieaps

a...

ps

a

ps

a

)s(A

)s(B)s(F

12

2

1

1

n

i

tpi

tpn

tptp in eaea......eaea)t(f1

2121

b) Ekspansi fraksi dengan akar-akar berbeda

Harga ak (residu pada pole s=-pk) dapat diperoleh dengan:

kk ps

kn

nk

k

kk

ps

kk )ps(ps

a...)ps(

ps

a...)ps(

ps

a)ps(

)s(A

)s(Ba

1

1

Semua suku uraian menjadi nol, kecuali ak. Jadi residu ak diperoleh:

kps

kk )ps()s(A

)s(Ba

Contoh Soal

Carilah transformasi Laplace balik dari

)s)(s(

s)s(F

21

3

Jawab:

Transformasi Laplace balik dari:

pt-e aps

aL

1

)s(

a

)s(

a

)s)(s(

s)s(F

2121

3 21

2121

3

1

1

s

)s()s)(s(

sa

1221

3

2

2

s

)s()s)(s(

sa

)s(L

)s(L)s(FL

2

1

1

2 111

0t untuk ee)s(FL tt 21 2

Contoh Soal

)3s)(2s)(1s(

4s2)s(F

2

)3s(2

7

)2s(4

3

)1s(6

1)s(F

2

7

4

3

6

32 ttt eee)t(f

1. Definisi input dari sistem kendali otomatis

yang paling tepat adalah

a. Masukan dari sistem yang mempengaruhi

proses

b. Output yang diinginkan

c. Perangkat yang digunakan untuk

memasukkan data kedalam sistem

d. Selisih antara masukan dan keluaran

1. Definisi input dari sistem kendali otomatis

yang paling tepat adalah

a. Masukan dari sistem yang mempengaruhi

proses

b. Output yang diinginkan

c. Perangkat yang digunakan untuk

memasukkan data kedalam sistem

d. Selisih antara masukan dan keluaran

B C A D

2.Dari gambar diatas, sinyal kontrol ditunjukkan oleh bagian:

a.A

b.B

c. C

d.D

B C A D

2.Dari gambar diatas, sinyal kontrol ditunjukkan oleh bagian:

a.A

b.B

c.C

d.D

3. Manakah berikut ini yang merupakan kegunaan dari

transformasi laplace (pilih lebih dari satu):

a. Mengubah persamaan dalam domain waktu ke

variabel kompleks (S)

b. Menyederhanakan persamaan matematis yang

berisi turunan/diferensial menjadi persamaan yang

berisi perkalian dan pembagian biasa

c. Mengubah persamaan dalam domain waktu ke

domain frekuensi

d. Mengubah fungsi umum (sinusoida, eksponensial,

dll) ke dalam varabel kompleks

3. Manakah berikut ini yang merupakan kegunaan dari

transformasi laplace (pilih lebih dari satu):

a. Mengubah persamaan dalam domain waktu ke

variabel kompleks (S)

b. Menyederhanakan persamaan matematis yang

berisi turunan/diferensial menjadi persamaan

yang berisi perkalian dan pembagian biasa

c. Mengubah persamaan dalam domain waktu ke

domain frekuensi

d. Mengubah fungsi umum (sinusoida,

eksponensial, dll) ke dalam varabel kompleks

4. Fungsi yang mempunyai keanggotaan

dengan nilai 0 untuk t<0 dan nilai 1 untuk

t≥1, adalah

a. Unit step

b. Unit ramp

c. Eksponensial

d. Unit tunggal

4. Fungsi yang mempunyai keanggotaan

dengan nilai 0 untuk t<0 dan nilai 1 untuk

t≥1, adalah

a. Unit step

b. Unit ramp

c. Eksponensial

d. Unit tunggal

5. Transformasi laplace dari unit step

adalah

a. S

b. S2

c. 1/s

d. 1/s2

5. Transformasi laplace dari unit step

adalah

a. S

b. S2

c. 1/s

d. 1/s2

Tugas

1. Tentukan transformasi laplace dari

a. 𝑓 𝑡 = 𝑡 − 3𝑒−2𝑡

b. 𝑓 𝑡 = 2𝑡2

c. 𝑓 𝑡 = 𝑒−2𝑡 sin(3𝑡)

d. 𝑓 𝑡 = 2𝑒−2𝑡

2. Tentukan invers transformasi laplace dari

a. 𝐺 𝑠 =𝑠3+5𝑠2+9𝑠+7

(𝑠+1)(𝑠+2)

b. 𝐹 𝑠 =𝑠+1

𝑠(𝑠2+𝑠+1)

c. 𝐹 𝑠 =𝑠2+2𝑠+3

𝑠+1 3

TERIMA KASIH