sistema de cola iop2.docx

INVESTIGACION DE OPERACIONES 2

Introducción

La teoría de colas es el estudio de la espera en un sistema o sistemas que involucren colas de algún tipo o líneas de espera, hay diferentes tipos de modelos y las fórmulas para cada uno indican cual debe ser el desempeño y señalan la cantidad promedio de espera que ocurrirá, en una gama de circunstancias.

Los modelos de líneas de espera nos ayudan a determinar cómo operar un sistema de manera efectiva; con esto nos efectiva nos referimos a llegar a un equilibrio entre costo de servicio y cantidad de espera, en estos modelos hay tres elementos de los cuales se conforma llegadas, clientes y servicio, la interacción de estos es lo q conocemos como colas.

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Objetivos

General:

Investigar y aplicar los conceptos acerca de la teoría sobre los modelos de colas.

Específicos:

Plasmar soluciones para optimizar el tiempo, dinero y dar mejor servicio a los clientes según el número de servidores.

Caracterizar cualitativamente y cuantitativamente a una cola y determinar los niveles adecuados de ciertos parámetros del sistema para balancear el costo social de la espera, con el costo asociado al consumo del recurso.

Aplicar todos los conocimientos y conceptos adquiridos en la presentación de ejemplos de la vida cotidiana, para la búsqueda de alternativas de solución a la causa de problemas específicos.

Estudiar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.

Encontrar un balance equilibrado entre las consideraciones con respecto a los costos y al servicio.

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SISTEMA DE COLAS

MODELO DE COLAS DE POISSON GENERALIZADO

El desarrollo del modelo generalizado se basa en el comportamiento a largo plazo, o de estado estable, de la cola, que se alcanza después de que el sistema ha estado funcionando durante un tiempo suficientemente largo.

En el modelo generalizado supone que las frecuencias tanto de llegada como de salida dependen del estado, y eso quiere decir que dependen de la cantidad de clientes en la instalación de servicio.

Se definirá lo siguiente:

n = cantidad de clientes en el sistema (en la cola y en el servicio)

λn = frecuencia de llegada cuando hay n clientes en el sistema

μn = frecuencia de salida cuando hay n clientes en el sistema

pn = probabilidad de estado estable de que haya n clientes en el sistema

El modelo generalizado define a pn como función de λn y pn. Después se usan esas probabilidades para determinar las medidas de funcionamiento del sistema, como la longitud promedio de la cola, el tiempo promedio de espera y la utilización promedio de la instalación.

Las probabilidades pn se calculan usando el diagrama de frecuencia de transición (o “rapidez” o “tasa” de transición).

Bajo condiciones de estado estable, para n˃0, las tasas esperadas de flujo de entrada y salida del estado n deben ser iguales. Con base en el hecho que el estado n sólo puede cambiar a los estados n – 1 y n + 1, se obtiene

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De igual manera,

Al igualar las dos frecuencias se obtiene la siguiente ecuación de balance:

En la figura se ve que la ecuación de balance asociada con n=0 es

Las ecuaciones de balance se resuelven recursivamente en función de p0 como sigue: para n=0,

Después, para n=1,

Se sustituye p1= y se simplifica, para obtener

Se puede demostrar por inducción que, en general

) , n=1,2,…

El valor de p0 se determina con la ecuación

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Ejercicio 1

(M/M/2) : (GD/N/∞)

Newell y jeff son peluqueros que operan de manera independiente. Tienen dos sillas para clientes que esperan su corte, entonces el número de clientes en el sistema varía entre 0 y 4. Para n=1,2,3,4, la probabilidad de que haya

exactamente n clientes en el sistema es p0=1

16 , p1=4

16 , p2=6

16 , p3=4

16 , p4=1

16 .

a) Determine el número esperado de clientes que estan siendo servidos.E=numerode clientes siendo servidos .

E=1 ( p1 )+2 (p2+ p3+ p4)

E=1( 416 )+2( 6

16+ 4

16+ 1

16 )E=1.625

Ejercicio 2

(M/D/1) : (GD/∞/∞)

Dado que la tasa de llegada a una tienda es de 30 personas por hora y la tasa

promedia de servicio es de 40 personas por hora, ¿Cuál es la probabilidad de que

un cliente que llega no tenga que esperar servicio?

= 30 unidades / hora = 40unidades/hora

Sea Po = la probabilidad de que un cliente que llega no tenga que esperar

servicio. Esto es, Po es la probabilidad de que el sistema este vacío.

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Pn=( λu )nP0

Pn=(3040 )

n

P0

3 44

0 1 2

10 9

65.5 6.5 75.5

10 8 7


Determinamos Po de la ecuación

Po + 0.75Po = 0.7512Po +… = 1

Po (1+ 0.75 + 0.752 +…) = 1

Con la fórmula para la suma de una serie geométrica obtenemos

Ejercicio 3

(M/D/1): (GD/∞/∞)

Examine un caso de cola con un servidor, en el que las tasas de llegada y de servicio son:

n = 10 - nn = n/2 + 5

Este caso equivale a reducir la frecuencia de llegadas y aumentar la rapidez del servicio o medida que aumenta la cantidad n en el sistema.

(a)Diagrama de Transición y Ecuación De Balance para cada estado.(b)Probabilidad de estado estable.

(a)

10P0 = 5.5P110P0 + 6P2 = (9+5.5) P19P1 + 6.5P3 = (6+8) P28P2 + 7P4 = (6.5 + 7) P3

(b)

8

∑n=0

∞

Pn=1

Po( 11−0 .75 )=1Po=0. 25

COLA o LINEAClientesque

llegan

Servidor 1

Servidor 2

Servidor c

Instalacion de Servicio

ClientesQue

Salen


P1 = 1.82P0P2 = 2.727P0P3 = 3.3566P0P4 = 3.3566P0

P0 + P1 + P2 + P3 + P4 = 1P0+ P0 (1.82 + 2.727 + 3.3566 + 3.3566) = 1P0 = 0.08156

(c)P1 = 0.1484 P3 = 0.2738P2 = 0.2224 P4 = 0.2738

COLAS ESPECIALIZADAS DE POISSON

Los modelos de colas especializadas de Poisson son utilizados para representar procesos de colas, en los que se tiene un número definido de servidores (c) paralelos con capacidad idéntica de servicio. Los clientes se mueven dependiendo del servidor que se encuentre disponible. Se tiene además la tasa de llegadas al sistema que se representa como λ y también la tasa de servicio de los servidores que se representa como μ. Las dos tasas son en clientes por unidad de tiempo.

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NOTACIÓN GENERAL DE LA SITUACIÓN GENERAL DE COLAS:

(a, b, c): (d, e, f)

Esta notación fue originada por D.G. Kendall en 1953 en la forma (a/b/c) y se le conocía como Notación de Kendall. Luego A.M. Lee le agrego los símbolos d y e. Pero se necesita agregarle otro símbolo a la notación Kendall-Lee que sería el termino f, que simboliza la capacidad de fuentes de llamada.

a: distribución de llegadas

b: distribución de tiempo de servicio (salidas)

c: número de servidores en paralelo

d: disciplina de servicio (por ejemplo, FCFS, LCFS, SIRO)

e: número máximo admitido en el sistema (en línea de espera + en servicio)

f: tamaño de la fuente de llamada

La notación Estándar reemplaza los símbolos a y b de llegadas y salidas por los códigos siguientes:

M: distribución de llegadas o salidas de Poisson (o markoviana), o distribución exponencial entre llegadas o de tiempo de servicio

D: tiempo entre llegadas o de servicio constante o determinista

Ek: distribución de Erlang o gamma de la distribución de tiempo entre llegadas o de servicio con el parámetro k.

GI: distribución independiente general de llegadas (o de tiempo entre llegadas)

G: distribución general de salidas (o tiempo de servicio)

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Ejemplo:

(M/D/8):(GD/N/∞)

Esto significa que se tiene llegadas de Poisson, tiempo de servicio constante y 8 servidores en paralelo en la instalación. La disciplina de servicio es general (GD) es decir (FCFS, LCFS, etc.). Luego, independientemente de la cantidad de clientes que lleguen a la instalación, la capacidad máxima de alojamiento del sistema (línea de espera + servicio) es el número N. Por último la fuente que genera los clientes que entran a la instalación tiene capacidad infinita.

MEDIDAS DE RENDIMIENTO DE ESTADO ESTABLE

Medidas de rendimiento para evaluar un sistema de colasEl objetivo último de la teoría de colas consiste en responder cuestiones administrativas pertenecientes al diseño y a la operación de un sistema de colas.

Cualquier sistema de colas pasa por dos fases básicas: fase de iniciación o transitoria y fase de estado estable. Por ejemplo, considere un día cuando el banco abre en la mañana, no hay nadie en el sistema, de modo que el primer cliente es atendido de forma inmediata. Conforme van llegando más clientes, lentamente se va formando la cola y la cantidad de tiempo que tienen que esperar se empieza a aumentar. A medida que avanza el día, el sistema llega a una condición en la que el efecto de la falta inicial de clientes ha sido eliminado y el tiempo de espera de cada cliente ha alcanzado niveles bastante estables.

Existen muchas medidas de rendimiento diferentes que se utilizan para evaluar un sistema de colas en estado estable.

a) Medidas relacionadas con el tiempo, centradas en el cliente:Wq: es el tiempo promedio de espera

W ó Ws: es el tiempo promedio en el sistema

b) Medidas cuantitativas relacionadas al número de cliente:Lq: es la longitud media de la cola

L ó Ls: es el número medio en el sistema.

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c) Medidas probabilísticas que implican tanto a los clientes como a los servidores:

pw: es la probabilidad de bloqueo

U: indica la probabilidad de que el servidor esté ocupado y la fracción de tiempo que un servidor está ocupado

Pn: Probabilidad de que existan n clientes en el sistema

Pd: probabilidad de negación del servicio, si el espacio de espera es finito.

El cálculo específico de estas medidas de rendimiento depende de la clase de sistema de colas. Algunas de estas medidas están relacionadas entre sí.

Relaciones entre medidas de rendimientoEl cálculo de muchas de las medidas de rendimiento depende de los procesos de llegadas y de servicio del sistema de colas en específico.

Incluso sin conocer la distribución específica, las relaciones entre algunas de las medidas de rendimiento pueden obtenerse para ciertos sistemas de colas, únicamente mediante el uso de los siguientes parámetros de los procesos de llegada y de servicio.Suponga una población de clientes infinita y una cantidad limitada de espacio de espera en la fila. El tiempo total que un cliente invierte en el sistema es la cantidad de tiempo invertido en la fila más el tiempo durante el cual es atendido:

Tiempo promedio en el sistema = tiempo de espera + tiempo de servicio

El tiempo promedio en el sistema y el tiempo promedio de espera están representados por las cantidades W y Wq, respectivamente. El tiempo promedio de servicio puede expresarse en términos de parámetros de . Por ejemplo, si es cuatro clientes por hora, entonces, en promedio, cada cliente requiere un cuarto de hora para ser atendido. En general, el tiempo de servicio es 1/, lo cual nos conduce a la siguiente relación:

W = Wq + 1/

Considere ahora la relación entre el número promedio de clientes en el sistema y el tiempo promedio que cada cliente pasa en el sistema. Imagine que un cliente acaba de llegar y se espera que permanezca en el sistema un promedio de media de hora. Durante esta media hora, otros clientes siguen llegando a una tasa, digamos doce por hora. Cuando el cliente en cuestión abandona el sistema, después de media hora, deja tras de sí un promedio de (1/2)*12 = 6 clientes nuevos. Es decir, en promedio, existen seis clientes en el sistema en cualquier tiempo dado. En términos de y de las medidas de rendimiento, entonces:

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Tiempo promedio de clientes = tiempo de llegadas * tiempo en el sistema

L = *W

Utilizando una lógica parecida se obtiene la relación entre el número promedio de clientes que esperan en la cola y el tiempo promedio de espera en la fila:

Tiempo promedio de clientes = tiempo de llegadas *tiempo en la cola

Lq = * Wq

Ejercicio 1 (M/D/1) : (GD/∞/∞)A un banco llegan en promedio 35 clientes por hora. Se tiene capacidad para atender en promedio a 50 clientes por hora. Se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la cola. Encuentre:

1) Tiempo que espera un cliente en el sistema2) Tiempo que espera un cliente en cola3) Número de clientes que esperan en cola4) Número de clientes que esperan en el sistema.

λ= 35μ = 50Wq= 2/60Wq=1/30(M/M/1): ()

1) ρ = λ/μ = 35/50 = 0.700

Ws= 1/μ(1-ρ) = 1/60(1-0.75) = 0.066 horas

2) Wq= 2/60

= 1/30

3) Lq= λ*wq = 50(1/30) = 1.66 personas

4) Ls = λ*Ws = 35(0.066)

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= 2.31 personas

Ejercicio 2

(M/M/1): (GD/∞/∞)Los automóviles que llegan a una caseta de pagos en una carretera, según una distribución de Poisson con media de 90 por hora. El tiempo promedio para pasar por la caseta es de 38 segundos. Los choferes se quejan de un largo tiempo de espera. Los cobradores están dispuestos a disminuir a 30 segundos, el tiempo de paso por la caseta, introduciendo nuevos mecanismos automáticos. Esto puede justificarse únicamente si con el sistema anterior el número de automóviles que esperan excede a 5. Además, con el nuevo sistema el porcentaje de tiempo ocioso de la caseta no deberá ser mayor del 10%. ¿Puede justificarse la nueva disposición?

λ=90

1μ=38 segundos

μ=94.74autos por hora

1μ '

=30 segundos

μ '=120autos por hora

ρ1=90

94.74=0.9918

ρ2=90

120=0.75

π0=1−ρ

π0=1−0.75

π0=0.25

25% pasara de ocioso el sistema por lo tanto para esta condición no justifica el implemento de este nuevo servicio.

Lq2=λ2

μ(μ−λ)= 902

120 (120−90)

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Lq2=2.25autos

Lq1=λ2

μ(μ−λ)= 902

94.74(94.74−90)

Lq1=18.04 autos

Si justifica porque el número de autos que esperan se reducirán a 2.25≈3

Ejercicio 3

(M/M/1): (GD/∞/∞)Suponga que usted es un analista y le designan la tarea de realizar un estudio acerca de la panadería El Rosario, entonces usted va y se sienta en una banca enfrente del establecimiento y encuentra que los clientes aparecen como un distribución de Poisson y que la taza de llegada es de 8 por hora además que todos los clientes que llegan esperan hasta ser atendidos. Suponga ahora que la atención en la panadería por tiempo es aproximadamente exponencial y en promedio dura 5 minutos por cada orden.

1) Cuál es el número de clientes esperando en la panadería incluyendo el que está en caja.

2) Cuál es el número de clientes esperando para recibir su orden.3) Cuál es el tiempo que permanece ocioso el sistema.

λ = 8 clientes μ = 12 clientes por hora.

ρ = λ/μ = 8/12 = 2/3

A) Ls = ρ/ 1- ρ = 2 Clientes

B) λ˄2/μ(μ-λ) =1.33 Clientes

C) 1- ρ = 1- 2/3=1/3

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MODELOS DE UN SOLO SERVIDOR

Se presentan dos modelos para el caso de un solo servidor (c=1). Se supone que los clientes llegan con una tasa constante de λ clientes por unidad de tiempo. La tasa de servicio también es constante e igual a μ clientes por unidad de tiempo. El primer modelo no fija límites al tamaño del sistema, y el segundo modelo supone que el tamaño del sistema es finito. Ambos modelos suponen una fuente infinita de capacidad.

(M/M/1): (GD/∞/∞)

Este es un modelo de servidor único sin límites en la capacidad del sistema o de la fuente de llamadas, con llegadas y salidas de Poisson con tasa medias y .

Definiendo = obtenemos la siguiente fórmula general para este modelo:

Pn = (1- )* n , n = 0,1,2,…

Que es una distribución geométrica, donde además p0 = 1- .

El requisito matemático de que >1 necesario para garantizar la convergencia de la serie geométrica (1 + + 2 +…), conduce a un elemento intuitivo. O sea >1 significa que lo que establece que la tasa de llegadas debe ser estrictamente menor que la tasa de servicio en la instalación, para que el sistema alcance estabilidad.

Para este modelo las medidas de básicas de desempeño se calculan de la siguiente forma:

Ls = ( ) / (1- )

Ws = Ls / = 1 / 1-

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Lq = Ls - = 2 /(1-

Wq = Lq / = / 1-

(M/M/1): (GD/N/∞)

La diferencia de este modelo y el anterior radica en que el número máximo de clientes (para este modelo) permitidos en el sistema es N (longitud máxima de la línea de espera es = N-1). Esto significa cuando haya N clientes en el sistema, se impiden todas las nuevas llegadas o no se les permite unirse a la línea de espera.

En este modelo, haciendo = obtenemos que:

(1- 1- N+1; 1

Po = 1 / N+1; = 1

Entonces las fórmulas para pn pueden resumirse como:

(1- 1- N+1 n ; 1

pn = n = 0,1,2, ...

1 / (N+1); 1

Para este modelo no se hace necesario que 1 pues el número de unidades en el sistema está controlado por la longitud de la línea de espera (N-1).

Usando el valor anterior de pn, encontramos que el número esperado de unidades en el sistema se calcula como sigue:{ 1- N+1) N + N N+1 1- 1- N+1 ; 1

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Ls = N / 2; 1

Las medidas Lq, Ws y Wq se pueden calcular a partir de Ls, una vez que se determina la tasa efectiva de llegadas ef de la forma siguiente:

e, f = 1-pn )

Usando Ls y ef obtenemos las fórmulas para calcular, Lq, Wq y Ws:

Lq = Ls- e, f Ls - 1-pN ) pN = Probabilidad de que una unidad no sea capaz de unirse al sistema.

Wq = Lq / e, f = Ls / 1-pN

Ws = Wq +1/ = Ls / 1-pN

Ejercicio 1:

(M/M/1): (GD//)

En un servidor en un autoservicio de venta de café la tasa de llegada al servidor es 10 vehículos por minuto, y el tiempo de ejecución en todo el sistema es de 5 segundos, estos tiempos se distribuyen exponencialmente.

Qué prop |1porción de tiempo está el servidor ocioso.

Cuál es el número promedio de vehículos esperados en la cola del sistema

¿10 X minuto

= 60/5 = 12 clientes por minuto

ρ=1012

=0.83

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P0=1−0.83

P0=0.16=16%

W s=0.83

12(1−0.83)= 0.5 minutos

Lq=W q=ρ2

1− ρ0.832

1−0.83=4.05 vehiculos

Ejercicio 2:

(M/M/1): (GD//)

Instalaciones de lavado de autos carrizos operan en una sola rampa. Los autos llegan de acuerdo a una distribución de Poisson con una media de 4 vehículos por hora, y esperan en el estacionamiento de las instalaciones si la rampa está ocupada. El tiempo de lavado y limpieza de un auto es exponencial, con una media de 10 minutos. Los autos que no se pueden estacionar dentro esperan en la calle que bordean las instalaciones de lavado. Esto significa que para todo propósito practico. No hay límite en el tamaño del sistema. El gerente de las instalaciones quiere determinar el tamaño del estacionamiento.

Para este problema tenemos que = 4 autos por hora, y ¿6010

=6 autos por

hora

¿4 v . por hora

μ=6010

=6 autos por hora

ρ=❑❑

ρ=46<1 ρ=0.667

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Lq=W q=ρ2

1−ρ (0.667 )2

1−0.6671.33autos

Ejercicio 3:

Suponga una estación de gasolina a la cual llegan en promedio de 45 clientes por hora, se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora. Se sabe que los clientes esperan en promedio a 3 min en la cola.

Encuentre:

a) Tiempo que espera un cliente en el sistemab) Tiempo que espera un cliente en colac) Número de cliente que espera en colad) Número de clientes que esperan en el sistema

(M/M)1) : (DG/∞/∞)

λ = 45 clientes por hora

µ = capacidad de atender 60 por hora

wq = 3 min

ρ =λ / µ = 45clien tes /hora60clientes /hora = 0.75

a) Ws = 1/µ(1-ρ) = 1/ 60(1 – 0.75) = 0.0666 horasb) Wq = ρ / µ (1-ρ) = 0.75/ 60(1-0.75) = 0.05 horas

c) Lq ¿ ρ2

1−ρ=

(0.75 )2

1−0.75=2.25 clientes

d) Ls = ρ

1−ρ= 0.75

1−0.75=3clientes

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MODELO DE SERVIDORES MÚLTIPLES

(M/M/C): (GD/∞/∞)

En este modelo los clientes llegan con una tasa constante y un máximo de c unidades puede ser atendidos simultáneamente. La tasa de servicio por servidor activo es también constante e igual a

y e, f =

El efecto de usar “c” servidores paralelos es acelerar la tasa de servicio al permitir servicios simultáneos. Si el número de clientes en el sistema (n) es igual o excede a c, las tasas combinadas de salidas de la instalación es c ... Por otra parte, si n es menor que c, la tasa de servicio es igual a n . Así, en términos del modelo generalizado, tenemos:

n = n 0

n , n c

n = c , n c

Si hacemos = ; el valor de pn y p0 se calcula de la siguiente forma:

n n! p0 0 n c

Pn = n cn-cc! p0 n c

p0 = n n! + c c! 1- c -1

Los valores de las medidas de desempeño se obtienen como sigue:

Lq = c+1/ (c-1) (c- p0 = c c- 2 pc

Ls = Lq +

Wq = Lq/ λ

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Ws = Wq + 1/

Las operaciones asociadas con este modelo pueden ser tediosas. Morse (1958) da dos aproximaciones útiles para po y Lq. Para mucho menor que 1,

P0 1- y Lq c+1 c2

Y para c muy próxima a 1,

P0 (c-) (c-1) cc y Lq c-

(M/M/C): (GD/N/∞)

Esta situación de espera difiere de la anterior pues se impone un límite N sobre la capacidad del sistema (es decir, tamaño máximo de la línea de espera = N-c).Este difiere en límite de capacidad de sistema, límite de clientes por atender. En términos del modelo generalizado, n y n para el modelo actual están dadas por:

, 0 n N

n = 0, n N

n, 0 n c

n = c, c n N

Sustituyendo por n y n en la expresión general de pn y observando que

= ; se obtiene:

n n! p0, 0 n c

Pn = n c! cn-c p0, c n N

Dónde:

p0 n n! + c 1- c N-c+1 c! (1- c -1, c 1

p0 = n n!) + c c! N-c+1) -1 , c 1

La única diferencia entre Pn en este modelo y el anterior ocurre en la expresión de p0 y el factor de uso c no necesita ser menor que 1. Las medidas de desempeño se calculan de la siguiente forma:

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p0 c+1 c-1)!(c- )2 1- c N c+1 - N-c+1)( c N-c 1- c , c 1

Lq = P0 c N-c) (N-c+1) 2c! , c = 1

Número estimado de servidores inactivos = (c-n) Pn

e, f =

e, f = La tasa efectiva de llegada.

(M/M/∞): (GD/∞/∞)

En este modelo el número de servidores es ilimitado porque el cliente mismo es también el servidor. Este es el modelo utilizado normalmente en establecimiento que posee un sistema de autoservicio. Exceptuando gasolineras y bancos, más bien referidos a toma de un test Un ejemplo de esto es el procedimiento de obtener la licencia de manejo.

n = , para toda n 0

n = n, para toda n 0

La sustitución directa en la expresión de pn del modelo (Mn/Mn/1) produce:

pn = n n!*n p0 ( n n!)p0

Ya que Σn=0 pn = 1 se deduce que:

P0 = 1 / (1+ 2/2 1 e^ = e-

Como resultado se obtiene que:

Pn e- n n! , n = 0,1,2, que es una distribución de Poisson con media En = .

También se tiene

Ls = E n = .

Ws =1/.

Lq = Wq = 0.

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Nótese que Wq = 0 porque cada cliente se atiende a sí mismo. Esta es la razón por la que Ws es igual al tiempo de servicio medio 1/. La obtención de pn(t), las probabilidades de estado transitorio, para este modelo. Los resultados finales se obtienen de esta manera: pn(t)=( e-α αn)/n! n=0, 1, 2….Donde α= (1-e-μt). Este es de Poisson con media E {n|t}= α

Los resultados del modelo (M/M/): (DG/ se pueden utilizar para determinar aproximadamente los del (M c DG/ esto cuando c crece "lo suficiente". La ventaja que esto ofrece es que las operaciones son mucho más sencillas en el modelo (M/M/).

Los cálculos demuestran que cuando se hace chica (es decir), es mucho mayor que , el modelo (M/M/) es una aproximación bastante exacta del modelo (M/M/c) aun para c tan chica como 10.

Ejercicio 1:

El padre de un iglesia utiliza en la actualidad 2 confesionarios con filas separadas para atender las necesidades de sus feligreses se ha observado que las llegadas son aleatorias a un ritmo de 30 personas por hora y el tiempo de servicio tiende a ser aleatorio también. Puesto que la cantidad de pecados por persona puede diferir en gran medidada.se ha determinado que el tiempo promedio que se permanece en el confesionario es de 3 minutos. Se ha observado que las llegadas se distribuyen en forma equitativa entre las dos líneas. El padre está considerando cambiar el sistema en que se utilice una sola fila que alimente ambos confesionarios. El padre deseas saber qué sistema actual o el propuesto conducirá al tiempo promedio más breve en el sistema.

A= 30 personas/horaTs=3 minutos/personaS=20 personas/horaACTUALA=15 personas/horaWs=1/(20-15) = 1/5 = 0.2 segundos *60Ws≈12 minutos

PROPUESTOA=30 personas/horaLq= 1.9286 personas en promediows≈6.85 minutos

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Ejercicio 2:

Una pequeña oficina tiene 2 ventanillas abiertas. Los clientes llegan siguiendo una distribución de Poisson con la frecuencia de 1 cada 3 minutos. Sin embargo, solo el 80% de ellos deben ser atendidos en las ventanillas. El tiempo de servicio por clientes es exponencial, con 5 minutos de promedio, así como, ese 80% de los clientes que llegan se forman en una cola y llegan a las ventanillas disponibles en la disciplina PLPS.

(A) Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega deba esperar en la fila.(B) Cuál es la probabilidad de que las 2 ventanillas estén vacías.(C)Cuál es la longitud promedio de la cola.

C =2 = 0.8 x 60/3 = 16 clientes / hora = 60/5 = 12 clientes por hora

(a) Pn ≥ 2 = 1 – (P0 + P1)= 1 – 0.43 = 0.57

= = 16 = 1.33 12

= 1.33 = 0.665c 2

p0 = {∑n=0

c−1 ρn

n!+ ρ

c

c ! ( 1

1− ρc )} -1 ,

ρc<1

P0 =0.2155pn=¿

P1 = 0.2155

(b) P0 = 0.2155

(c) Lq ¿ρc−1

(c−1 ) !(c−ρ)2 p0

Lq = 1.1 clientes

25

Pn =


Ejercicio 3:

El centro de cómputo de la U de A tiene cuatro computadoras idénticas. La cantidad de usuarios en cualquier momento es de 25. Cada usuario puede solicitar un trabajo por una terminal, cada 15 minutos en promedio. Pero el tiempo real entre solicitudes es exponencial. Los trabajos que llegan pasan en forma automática en la primera computadora disponible. El tiempo de ejecución por solicitud es exponencial con un promedio de 2 minutos. Calcule:

(a) La probabilidad de que un trabajo no se ejecute de inmediato al solicitarlo.(b) El tiempo promedio en el que el usuario obtiene sus resultados.

= 25 x 60/15 = 100 trabajos por hora = 60 / 2 = 30 trabajos por horaC = 4

(a) Pn ≥ 4 = 1 – (P0 + P1 + P2 + P3)= 1 – (0.25 + 0.1 + 0.09 + 0.16) = 0.4

p0 = {∑n=0

c−1 ρn

n!+ ρ

c

c ! ( 1

1− ρc )} -1 ,

ρc<1

P0 = 0.25P0 = 0.2155pn=¿

P1 = 0.1P2 = 0.09P3 = 0.16

(b) Ws = Ls Ls = Lq +

Lq ¿ρc−1

(c−1 ) !(c−ρ)2 p0

Lq = 38.58 clientesLs = 38.58 + (100/30) = 128 clientesWs = 128 / 100 = 1.28 horas

26

Pn =


MODELO DE SERVIDOR DE MÁQUINAS

(M/M/R): (GD/K/K)

Mediante el modelo de servidor de máquinas se propone la idea de disponer de R cantidad de técnicos con el propósito de ofrecerle reparaciones a un número “k” de máquinas. Debido al motivo de que una maquina en estado descompuesto carece de capacidad de generar una continuidad de servicios dentro del sistema, se representara el modelo con una fuente de llamadas con número finito.

Las siguientes siglas representan diversa variables en las fórmulas para el modelo de servicio de máquinas:

R = cantidad de técnicos.

K = cantidad de máquinas.

L = cantidad esperada de máquinas en estado descompuesto.

Lq = cantidad esperado de máquinas que esperan para ser reparadas.

W = tiempo promedio que una máquina se mantiene en estado descompuesto

Wq = tiempo promedio que espera una máquina en estado descompuesto antes de

iniciar el proceso de reparación.

= frecuencia o rapidez con que se descompone cada máquina = número de

veces que una máquina se descompone por unidad de tiempo.

λ se define como la tasa de descompostura por máquina, se tiene:

λ n =(k-n) λ, 0 n k

λ n = 0, n k

n = n, 0 n R

n = R, R n k

n = 0, n k

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Sustituyendo por λ n y n en la expresión de pn del modelo (Mn/Mn/1) se obtiene:

pn = NCr (k, n) n p0 , 0 n R n

Pn = NCr (k, n) (n! n / R!Rn-R ) p0, R n k

p0 = Σ nCr (K,n) n + Σ nCr (K,n) (n! n / R!Rn-R ) )-1

Otras medidas de desempeño están representadas de la siguiente manera:

Lq = Σ(n-R)pn

Ls = Lq + (R-r) = Lq + λ ef / μ

Dónde: r = número esperado de técnicos = Σ (R-n) pn

λef = μ (R-r) = λ (k-Ls)

La segunda expresión de λef se obtiene como sigue. Como la tasa de llegadas dadas n máquinas en el sistema es λ (k-n) (donde λ es la tasa de descompostura por máquina), en condiciones de estado estable:μ

λ ef = Eλ k-n = λk-Ls)

Los resultados se aplican al caso de un solo técnico haciendo sencillamente R = 1. En este caso se puede probar que:

Lq = k - 1+1 p0

Ls = k - p0

Ejercicio 2: (Hiller)

En una empresa la reparación de un cierto tipo de maquinaria existente en el mercado se realiza en 5 operaciones básicas que se efectúan de una manera secuencial; si le tiempo que se lleva en realizar cada uno de los 5 pasos tiene una distribución exponencial con media de 5 minutos. Estas máquinas se descomponen según una distribución Poisson con una razón media de 2 máquinas / hora y en la fábrica solo hay un mecánico que las repara. Calcular las características de operación de la empresa.

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= 2 maquina/hora = 2.4 maquina/hora

K = 5 ρ=?; P0 = ?; L = ?; Lq = ?; W = ?; Wq = ?; Ws = ?;

En promedio el tiempo que permanece ocupado el sistema es:

ρ= λμ= 2

24=83.33 %

El tiempo promedio que el sistema permanece ocioso es:

P0=1−ρ=1−0.8333=16.7 %

En promedio la cantidad de máquinas a reparar en la empresa es:

L=(1−K2K )( ρ2

1− ρ+ρ)=(1+5

2∗5 )( 0.83332

1−0.8333+0.8333)=3

La cantidad de máquinas en promedio en cola es:

Lq=( 1+K2K )( ρ2

1−ρ )=( 1+52∗5 )( 0.83332

1−0.8333 )=2.49

En promedio las maquinas en la cola antes de ser atendidas permanecen:

W q=( 1+K2K )( ρ

μ−λ )=( 1+52∗5 )( 0.8333

2.4−2 )=1.249horas=1hora14min

En promedio una maquina espera en el sistema antes de ser atendida:

W=W q+1μ=1.249+ 1

2.4=1.66horas=1hora39min

Ejercicio 3: (Hiller)Una Compañía debe tomar una decisión con respecto a su política de contratar un mecánico para reparar un mecanismo que se descompone con una tasa promedio de 4 por hora de acuerdo con una distribución Poisson; el tiempo improductivo de cualquiera de los mecanismos está costando $5000 por hora a la Empresa. La Compañía puede contratar dos tipos distintos de mecánicos: uno lento, pero poco costoso a $2500 por hora y el otro rápido, pero más costoso a $4500 por hora; el mecánico lento puede reparar exponencialmente los mecanismos a una tasa promedio de 6 por hora, mientras que el mecánico rápido repara exponencialmente a razón de 8 por hora. Basándose en los datos anteriores cuál mecánico debe contratarse?

λ= 4 mecanismos/hora

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µ= 6 reparaciones/hora µL = 6 reparaciones/hora µR = 8 reparaciones/hora WL = ?; WR = ?; CTL = ?; CTR = ?

W= 1μ−λ

W L=1

μL−λ= 1

6−4=0.5horas=30min

W R=1

μR−λ= 1

8−4=0.25horas=15min

Costo Total = (Costo Ocioso) (# de máquinas dañadas en el período) + Costo de Mano de Obra en el período.CTL = 2500 * 4 + 2500 = $12500CTR = 1250 * 4 + 4500 = $ 9500Donde COL, COR, CTL y CTR corresponden a costo ocioso para el mecánico lento, costo ocioso para el mecánico rápido, costo total para el mecánico lento y costo total para el mecánico rápido.

La decisión es entonces finalmente contratar el mecánico rápido, porque la Compañía ahorra costo.

FÓRMULA POLLACZEEK-KHINTCHINE (P-K)

(M/G/1): (GD/∞/∞)

Los modelos de colas en los que las llegadas y salidas no siguen la Distribución de Poisson son complejos. En general, en estos casos es aconsejable usar la simulación como una herramienta alternativa para analizar estas situaciones.

Esta sección presenta una de las pocas colas que no son de Poisson para las que se dispone de resultados analíticos. Trata con el caso en el que el tiempo de servicio, t, está representado por cualquier distribución de probabilidad con media E(t) y varianza var(t). Los resultados del modelo incluyen las medidas básicas de rendimiento, Ls, Lq, Ws y Wq. El modelo no proporciona una expresión de forma cerrada para pn debido a la dificultad analítica.

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Sea λ la taza de llegadas a las instalaciones de un solo servidor. Dadas E (t) y var (t) de la distribución del tiempo de servicio y que λE (t) <1, se puede mostrar con el uso del sofisticado análisis de cadena de probabilidad/Markov que:

Ls=λ E ( t )+ λ2(E2 (t )+var ( t ))

2¿¿

λ E ( t )<1

Como λ efectiva = λ, las restantes medidas de rendimiento (Lq, Ws y Wq) se derivan de Ls. También se pueden expresar como:

P0=1−p

Lq=λ2σ 2+ p2

2(1−p)

L=p+Lq

W=W q+1μ

W q=Lqλ

L=L s yW=W s

Ejercicio 1: (Hiller)En una instalación de servicio de lavado de autos, la información recolectada indica que llegan autos para ser atendidos según una distribución de Poisson con la media de 5 por hora. El tiempo para lavar y asear cada automóvil varia, pero se advierte que sigue una distribución exponencial con media de 10 minutos por automóvil. La instalación no puede dar alojamiento a más de un auto a la vez. (Supóngase que en el establecimiento de lavado de autos de este ejemplo, el lavado lo realizan máquinas automáticas, de manera que el tiempo de servicio se puede considerar el mismo y constante para todos los autos. El ciclo de la maquina lavadora tarda exactamente 10 minutos).

Para analizar la situación, notamos que λ=5 por hora. Por otra parte, como el tiempo de servicio es constante, tenemos E {t}=10/60= 1/6 hora y var {t}=0. Por lo tanto:

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Ls=λ E (t )+ λ2(E2 (t )+var ( t ))

2¿¿

Lq=L−λ E ( t )=Ls−λ E (t )=2.917 – ( 56 )=2.083automóviles

Wq=Lqλ

=2.0835

=0.417hora

Ws= Lsλ

=2.9175

=0.583hora

Ejercicio 2: (Hiller)Marsha despacha café exprés. Los clientes siguen un proceso Poisson con tasa media de 30 por hora. El tiempo necesario para que Marsha sirva a un cliente tiene distribución exponencial con media de 75 segundos.

Con el modelo M/G/1 encuentre L, Lq, W y Wq

Suponga que sustituyen a Marsha por una máquina expendedora que requiere justo 75 segundos de operación por cliente. Encuentre L, Lq, W y Wq

a) λ = 30 1µ=75 seg→μ= 1

75= 1

753600

=48clientes porhoras

σ=1μ= 1

48=0.0208333

Lq=λ2σ 2+ ρ2

2(1−ρ)=302∗0.02083332+0.6252

2 (1−0.625 )=1.04166

L=ρ+Lq=0.625+1.04166=1.6667

W q=Lqλ

=1.0416630

=0.034722

W=W q+1μ=0.034722+0.0208333=0.05555

b) σ = 0

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Lq=λ2σ 2+ ρ2

2(1−ρ)=302∗0+0.6252

2 (1−0.625 )=0.5208

L=ρ+Lq=0.625+0.5208=1.1458W q=Lqλ

=0.520830

=0.01736

W=W q+1μ=0.01736+0.0208333=0.038193

Ejercicio 3: (Hiller)

Sea el modelo M/G/1 con =0.2 y =0.25.

Encuentre las medidas de desempeño, L, Lq, W, Wq, para los siguientes valores de : 4, 3, 3, 1, o.

¿Cuál es la razón de Lq con =4 entre Lq con =0? ¿Qué dice esto de la importancia de reducir la variabilidad en los tiempos de servicio?

a) λ = 0.2µ = 0.25

Para σ = 4

Lq=λ2σ 2+ ρ2

2(1−ρ)=0.22∗42+0.82

2 (1−0.8 )=3.2

L=ρ+Lq=0.8+3.2=4W q=Lqλ

=3.20.2

=16

W=W q+1μ=16+4=20

Para σ = 3

Lq=λ2σ 2+ ρ2

2(1−ρ)=0.22∗32+0.82

2 (1−0.8 )=2.5

L=ρ+Lq=0.8+2.5=3.3

W q=Lqλ

=2.50.2

=12.5

W=W q+1μ=12.5+4=16.5

Para σ = 2

Lq=λ2σ 2+ ρ2

2(1−ρ)= 0.22∗22+0.82

2 (1−0.8 )=2

L=ρ+Lq=0.8+2=2.8

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W q=Lqλ

= 20.2

=10

W=W q+1μ=10+4=14

Para σ = 1

Lq=λ2σ 2+ ρ2

2(1−ρ)=0.22∗12+0.82

2 (1−0.8 )=1.7

L=ρ+Lq=0.8+1.7=2.5

W q=Lqλ

=1.70.2

=8.5

W=W q+1μ=8.5+4=12.5

Para σ = 0

Lq=λ2σ 2+ ρ2

2(1−ρ)=0.22∗02+0.82

2 (1−0.8 )=1.6

L=ρ+Lq=0.8+1.6=2.4

W q=Lqλ

=1.60.2

=8

W=W q+1μ=8+4=12

Lq con σ=4 entre Lq con σ=0

Lq es la mitad cuando σ=0, Si el valor de la varianza es “0”, el tiempo de espera en cola será menor.

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Conclusiones

La teoría de las colas es el estudio matemático de las colas o líneas de espera. La formación de colas es, por supuesto, un fenómeno común que ocurre siempre que la demanda efectiva de un servicio excede a la oferta efectiva.

La teoría de las colas en si no resuelve directamente el problema, pero contribuye con la información vital que se requiere para tomar las decisiones concernientes prediciendo algunas características sobre la línea de espera: probabilidad de que se formen, el tiempo de espera promedio.

Los sistemas de colas son muy comunes en la sociedad. La adecuación de estos sistemas puede tener un efecto importante sobre la calidad de vida y la productividad.

Pero si utilizamos el concepto de "clientes internos" en la organización de la empresa, asociándolo a la teoría de las colas, nos estaremos aproximando al modelo de organización empresarial que trata de minimizar el costo asociado a la ociosidad de recursos en la cadena productiva.

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Bibliografía

INVESTIGACION DE OPERACIONES, Taha Hamdy A; 2da edición, Edit. Alfa y Omega.

INVESTIGACION DE OPERACIONES, Taha Hamdy A; séptima edición, Edit. Pearson Education.

INVESTIGACION DE OPERACIONES, Frederick S. Hillier y Gerald J. Lieberman, novena edición, edit. McGraw-Hill

INVESTIGACION DE OPERACIONES , Herbert Moskowitz y Gordon P. Wright,edit.Prentice-hall

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Documents

sistema de cola iop2.docx