Sistemas Lineares

Fatoração LU

Johann Carl Friedrich Gauss (ou Gauß) foi um matemático, astrônomo e físico

alemão. Conhecido como o príncipe dos matemáticos, muitos o consideram o

maior gênio da história da matemática. Seu QI foi estimado em cerca de 240.

Gauss não encontrou nenhum colaborador entre os seus colegas

matemáticos tendo trabalhado sempre sozinho. Mas, se é verdade que o seu

isolamento relativo, a sua compreensão das matemáticas puras e aplicadas, a

sua preocupação com a astronomia e o uso freqüente que faz do latim têm a

marca do século XVIII, é inegável que, nos seus trabalhos, se reflete o espírito

de um novo período. Se, tal como os seus contemporâneos Kant, Goethe,

Beethoven e Hegel, se manteve à margem das grandes lutas políticas da sua

época, a verdade é que, no seu próprio campo, Gauss expressou as novas

idéias da sua época de uma forma muito poderosa.

Um Pouco de História

As suas publicações, a sua abundante correspondência, as suas notas, e os

seus manuscritos mostram que ele possuía uma das maiores virtuosidades

científicas de todos os tempos.

No ano de 1801 Carl Friedich Gauss utilizou o método para calcular a órbita do

asteróide Ceres com pouquíssimas informações (anotações do astrônomo

siciliano Giuseppe Piazzi quem batizou o asteróide com o nome ao observar-lo

pela primeira vez).

O trabalho de Gauss causou sensação quando Ceres reapareceu na

constelação de virgem, local aproximado aos seus cálculos.

Uma versão preliminar da eliminação de Gauss apareceu pela primeira vez no

livro chinês “Nove Capítulo de Artes Matemática”. Até então o poder do

método não tinha sido reconhecido.

Mais tarde o método foi popularizado quando Willian Jordan (engenheiro

alemão) em 1888 publicou no seu livro de geodésica intitulado “Handbuch der

Vermessungskund”.

Embora as idéias tenham sido conhecidas antes, muitos vezes o credito pela

popularização da decomposição LU é atribuída ao lógico e matemático

britânico Alan Turing (precursor do computador), pelo seu trabalho de 1948

nesse assunto.

Ao final dos anos 1970, a Fundação Nacional de Ciências e o Departamento

de Energia dos EUA financiaram o desenvolvimento de rotinas

computacionais para inverter matrizes e resolver sistemas de equações

lineares. Aquele pesquisa levou a um conjunto de programas Fortran

chamada LINPAC que são uma referencia para muitos algoritmos

computacionais de hoje. Inclusive o chamado MATLAB. As rotinas LIMPAC

estão organizadas em torno de quatro fatorações de matrizes, uma das quais

é a decomposição LU. C.B. Moler, J.J. Dongarra, G.W. Stewart e J.R. Brunch,

os principais programadores do LINPAC, basearam muitas de suas idéias no

trabalho de Jemes Boyle e Kenneth Dritz, do Laboratório Argonne (nos EUA).

Resolução de Sistemas Lineares

Métodos numéricosMétodos Iterativos ou Indiretos

Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel

Exatos ou Diretos Método de Eliminação de Gauss Fatoração LU

Fatoração (Decomposição)LU

Seja o sistema linear Ax = b.O processo de fatoração para resolução deste sistema consiste em decompor a matriz A dos coeficientes em um produto de dois ou mais fatores e, em seguida, resolver uma seqüência de sistemas lineares que nos conduzirá à solução do sistema linear original.Por exemplo, se pudermos realizar a decomposição: A = CD, o sistema linear Ax = b, pode ser escrito:

(CD)x = bSe y = Dx, então resolver o sistema linear Ax = b é equivalente a resolver o sistema linear Cy = b, e em seguida, o sistema linear Dx = y.

Decomposição LUA vantagem dos processos de fatoração é que

podemos resolver qualquer sistema linear que tenha A como matriz de coeficientes.

Se o vetor b for alterado, a resolução do novo sistema linear será quase que imediata.

A fatoração LU é um dos processos de fatoração mais empregados.

Nesta fatoração a matriz L é triangular inferior com diagonal unitária e a matriz U é triangular superior.

Esquema Prático para a Fatoração LU

Observe que teoricamente:

Para obtermos as matrizes L e U, devemos calcular a inversa de Lk−1 e Uk−1.

Entretanto na prática podemos calcular L e U simplesmente aplicando a definição de produto e de igualdade de matrizes, isto é, impondo que LU = A.

Esquema Prático para a Fatoração LU

Seja então:

LU =

e a matriz

A =

Esquema Prático para a Fatoração LU

Para obtermos os elementos da matriz L e da matriz U devemos calcular os elementos das linhas de U e os elementos da colunas de L na seguinte ordem:

1ª linha de U: Fazendo o produto da 1ª linha de L por todas as colunas de U e igualando com os elementos da 1ª linha de A, obtemos,

Esquema Prático para a Fatoração LU

1ª coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L, (da 2ª a até a nª), pela 1ª coluna de U e igualando com os elementos da 1ª coluna de A, (abaixo da diagonal principal), obtemos ,

Esquema Prático para a Fatoração LU

2ª linha de U: Fazendo o produto da 2ª linha de L por todas as colunas de U, (da 2ª até a nª), e igualando com os elementos da 2ª linha de A, ( da diagonal principal em diante), obtemos ,

Esquema Prático para a Fatoração LU

2ª coluna de L: Fazendo o produto de todas as linhas de L (da 3ª até a nª) pela 2ª coluna de U e igualando com os elementos da 2ª coluna de A, (abaixo da diagonal principal), obtemos ,

Esquema Prático para a Fatoração LU

Se continuarmos calculando 3ª linha de U, 3ª coluna de L, 4ª linha de U, 4ª coluna de L, etc . . ., teremos as fórmulas gerais:

Aplicação à Solução de Sistemas Lineares

Seja o sistema Ax = b de ordem n determinado, onde A satisfaz as condições da fatoração LU.

Então o sistema Ax = b pode ser escrito como: LUx = b.

Transformamos o sistema linear Ax = b no sistema equivalente LUx = b cuja solução é facilmente obtida.

Fazendo Ux = y, a equação acima reduz-se a Ly = b.Resolvendo o sistema triangular inferior Ly = b,

obtemos o vetor y.Substituindo o valor de y no sistema Ux = y obtemos

um sistema triangular superior cuja solução é o vetor x que procuramos.

Assim, a aplicação da fatoração LU na resolução de sistemas lineares requer a solução de dois sistemas triangulares.

Bibliografia

ANTON, H. & BUSBY, R. Algebra Linear Contemporânea. Editora Bookman. Porto Alegre. 2006.

RUGGIERO, M.G. & LOPES, V.L.R. Cálculo Numérico – Aspectos Computacionais, Pearson Education. São Paulo. 1996.

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