Sisteme de servire a traficului - comm.pub.rograzziela/PLANIFICAREA SERVICIILOR... · teoria . ş. irurilor, ce conţine un ... considerată la proiectare, sau de anumite evenimente

C A P I T O L U L 2

Sisteme de servire a traficului

Ori de câte ori ne găsim în ipostaza de client, aceasta se datorează faptului că dorim să ni se ofere un serviciu. Din nefericire, însă, în majoritatea cazurilor servirea propriu-zisă, cu toate eventualele sale neajunsuri, este condiţionată de un fenomen deseori mult mai greu de suportat şi anume aşteptarea. Aşteptarea la secţia financiară pentru plata impozitelor (unde aşa zisul serviciu constă în primirea sumei în cauză de către funcţionarul din spatele ghişeului în schimbul unei chitanţe fiscale), aşteptarea autobuzului în care să te poţi urca pentru a ajunge la timp la serviciu (dacă nu cumva, pe parcurs, ai neşansa unor congestionări de trafic care îngreunează circulaţia rutieră alterând uneori insuportabil calitatea servirii), aşteptarea tonului de disc la miez de noapte cu prilejul anului nou, aşteptarea transferului unui fişier printr-o reţea suprasolicită în orele de vârf, şi aşa mai departe căci exemplele pot continua la nesfârşit, luând în considerare orice domeniu ale cărui resurse sunt limitate în timp şi spaţiu.

În toate aceste situaţii, clienţii nu sunt mulţumiţi că trebuie să aştepte, iar operatorii serviciilor respective nu sunt încântaţi că au şiruri de clienţi, deoarece pentru asigurarea unei fluenţe acceptabile trebuie să cheltuiască suplimentar pentru sporirea facilităţilor de servire. Desigur, termenul client este folosit în general şi el nu implică neapărat o fiinţă umană. Din exemplele anterioare se desprinde clar ideea că un client poate fi un om, un program de calculator, un apel telefonic, o informaţie (vocală sau codificată electric) etc.

Din aceste motive, luând în considerare interesele (cerinţele) clienţilor privind servirea (QoS – Quality of Service) şi pe cele ale furnizorilor de servicii legate, printre altele, de utilizarea cât mai eficientă a resurselor disponibile, echipele de proiectare şi cercetătorii ştiinţifici din domeniul reţelelor de telecomunicaţii au conceput diverse tehnici de servire care să asigure un compromis acceptabil din punctul de vedere al ambelor părţi. Dintre acestea, cele mai larg folosite sunt concentrarea traficului, multiplexarea deterministă în timp şi frecvenţă şi multiplexarea statistică, tehnici care pot fi utilizate

PLANIFICAREA SERVICIILOR ŞI REŢELELOR 16

individual sau combinat (cazul tehnicii CDMA (Code Division Multiple Acces) [Băn94], aplicată în reţelele mobile, care concentrează într-o bandă de frecvenţă, prin multiplexare în frecvenţă, un anumit număr de căi de convorbire).

Pentru analiza, proiectarea şi optimizarea într-un mod coerent a sistemelor de telecomunicaţii bazate pe aceste principii, s-a dezvoltat o teorie de sine-stătătoare, intitulată teoria aşteptării sau teoria şirurilor, ce conţine un ansamblu de modele probabilistice. Aceste modele [Jew95], [Klein78], [Mih78] s-au elaborat plecând de la o serie de ipoteze privind sosirea clienţilor, desfăşurarea servirii şi echiparea sistemului şi oferă formule de calcul pentru diverşi indicatori de performanţă precum: număr mediu de clienţi în sistem, timpul mediu petrecut de un client în sistem sau probabilitatea ocupării complete a sistemului.

Matematicianul danez A. K. Erlang este considerat pionierul acestei teorii, studiind în mod special congestia traficului telefonic ("The Theory of Probabilities and Telephone Conversations" – 1909). Activitatea lui a fost continuată prin contribuţiile importante aduse de numeroşi teoreticieni din întreaga lume: E.C. Mollina (1927), A.N. Kolmogorov (1931), C.D. Crommelin (1932), F. Pollaczek (1932), A.Y. Khintchine (1932), D.G. Kendall (1951), J.R. Jackson (1954), P.J. Burke (1956), R.I. Wilkinson (1956), C. Palm (1957), R. Syski (1960), J.D.G. Little (1961), P. Le Gall (1962), Gh. Mihoc (1962), V.E. Beneš (1963), A.M. Lee (1966), F.P. Kelly (1976), J.W. Cohen (1982), C.M. Harris (1998) etc.

În general, previziunile oferite de modelele probabilistice, precum şi ipotezele ce le condiţionează, sunt verificate practic în majoritatea situaţiilor şi, în plus, pot fi utilizate diverse mijloace de menţinere a comportamentului real al clienţilor în limitele modelului; în acest sens poate fi amintită, de exemplu, dotarea sistemelor de comunicaţii cu servicii de genul poştă electronică, poştă vocală, răspuns automat, precum şi cu posibilitatea de modificare orară a tarifelor. Există însă situaţii în care, deşi au fost luate măsuri preventive, anumiţi factori perturbatori modifică uneori comportamentul clienţilor, îndepărtându-l de modelul probabilistic adoptat, ajungându-se astfel la situaţii neprevăzute de acesta. De exemplu, blocarea unui sistem de servire poate fi cauzată de activitatea neaşteptată a clienţilor, în orele de vârf, mult peste activitatea "medie", considerată la proiectare, sau de anumite evenimente sociale, care au ca efect repetarea condiţionată şi perseverentă a cererilor nesatisfăcute (fenomen pe care modelul ce a stat la baza dimensionării respectivului sistem nu l-a considerat).

2.1 Elementele de modelare

În vederea modelării sistemelor de servire cu aşteptare, s-a căutat identificarea unei structuri cât mai abstracte care să prezinte caracteristicile esenţiale ale oricărei situaţii concrete, întâlnită în realitate. Astfel, conform figurii 2.1.1, se consideră că un sistem de servire cu aşteptare este alimentat de o sursă de clienţi, sursă cu caracteristici mai mult sau mai puţin dependente de sistemul de prelucrare, şi dispune de una sau de mai multe unităţi de servire (servere), identice din punct de vedere al modului de funcţionare (preluare clienţi,

2. Sisteme de servire a traficului

17

servire clienţi etc.). În plus, sistemul permite poziţionarea într-un şir de aşteptare a clienţilor sosiţi în timp ce toate serverele sunt ocupate cu servirea clienţilor aflaţi deja în sistem. Clienţii din şir vor fi preluaţi pentru a fi serviţi pe măsura disponibilizării serverelor şi după o anumită disciplină. Pentru şirul de aşteptare se poate impune o lungime limită maximă, ceea ce conduce la apariţia unor situaţii de blocare a sistemului, când o serie de clienţi nu vor putea fi primiţi în sistem (toate serverele sunt ocupate şi şirul este complet încărcat). Reprezentând componentele structurale de bază, unităţile de servire şi poziţiile (locaţiile) de aşteptare constituie împreună resursele de care dispune un anumit sistem de servire cu aşteptare.

Sursa de clienţi

c

Lλ )(tNq )(tNs

)(tN

1

2

s

τ

q

efλ

W

T

λ

)(tNL

)(tNd )(tNa

Sistemul de servire

γ

Figura 2.1: Elemente de modelare: structurale şi dinamice

În afară de elementele de configurare, modelarea sistemelor de servire cu aşteptare ia în considerare şi o serie de aspecte (elemente) dinamice, menţionate de asemenea în reprezentarea grafică din figura 2.1 şi având următoarele semnificaţii:

- λ = rata de sosire a clienţilor la intrarea în sistem [clienţi/sec] (rata cu care sursa externă oferă clienţi);

- Lλ = rata de respingere (de pierdere – Loss) a clienţilor; - efλ = rata efectivă de intrare a clienţilor în sistem; - γ = rata de plecare a clienţilor ce au fost acceptaţi şi serviţi în sistem,

numită şi productivitate a sistemului. Desigur că efλ=γ , toţi clienţii intraţi în sistem, părăsindu-l mai devreme sau mai târziu;

- )(tNq = procesul aleatoriu corespunzător numărului de clienţi aflaţi în şirul de aşteptare (queue), de lungime maximă q ;

- )(tNs = procesul aleatoriu corespunzător numărului de clienţi aflaţi în servire, în cele s servere ale sistemului;

- )(tN = procesul aleatoriu corespunzător numărului total de clienţi prezenţi în sistem (în serviciu sau în aşteptare);

- W = variabila aleatorie care reprezintă timpul de aşteptare în şir (waiting time);


- τ = variabila aleatorie care reprezintă timpul propriu-zis de servire (service time);

- T = variabila aleatorie care reprezintă timpul total petrecut de un client în sistem, numit şi timpul de întârziere în sistem (delay time) sau timpul de tranzit prin sistem sau de staţionare în sistem. În plus, modelul este specificat şi de disciplina cozii, care are o influenţă importantă asupra mărimilor W şi T. Indiferent însă care este această disciplină, între diferitele mărimi temporale, pentru orice client i, există evident relaţia: iii WT τ+= (2.1)

Performanţa sistemului este exprimată prin diferiţi indicatori, care privesc:

punctul de vedere al utilizatorului, precum: - caracteristicile statistice (distribuţia, media, varianţa) ale timpilor W şi

T, care asigură mai mult sau mai puţin calitatea dorită de satisfacere a serviciului (de exemplu, transferul unui fişier prin reţea). Desigur că, în cazul apelurilor telefonice, mărimea T este în principal determinată de participanţii la convorbire;

- raportul λλL , care este o măsură a neşansei ca cererea unui client să fie respinsă de un sistem.

punctul de vedere al furnizorului de servicii, precum: - traficul servit sau gradul de utilizare al fiecărei unităţi de servire

(empiric definit ca raport pe termen lung între durata ocupării şi durata totală de exploatare, fiind la limită probabilitatea de ocupare a acesteia), ce constituie o măsură a eficienţei în utilizarea lor de către sistem;

- rata efectivă de intrare a clienţilor în sistem Lef λ−λ=λ ; - caracteristicile statistice ale mărimilor )(tN , )(tNq şi )(tNs , ce sunt

utile, de exemplu, în dimensionarea sistemului.

2.2 Formula lui Little

Una dintre cele mai simple şi extrem de utilă relaţie, folosită frecvent în calculul indicatorilor de performanţă a sistemelor cu aşteptare este formula lui Little, care se enunţă astfel: pentru un sistem ajuns la echilibru (procesele asociate sunt staţionare în sens larg), media numărului de clienţi în sistem, , este produsul dintre rata de intrare în sistem,

[ ]NE

efλ , şi media timpului petrecut în sistem, : [ ]TE [ ] [ ]E efN = λ ⋅E T (2.2.1) Demonstraţia acestei formule se face considerând schema generală din figura 2.2.1 în care apar categoriile de clienţi implicaţi în procesul de servire:

- )(tNa = numărul clienţilor intraţi (sosiţi) în sistem până la momentul t; - )(tNd = numărul clienţilor plecaţi până la momentul t; - )(tN = numărul clienţilor în sistem la momentul t,


19

precum şi momentele de timp în care ei sosesc în sistem sau îl părăsesc la finalizarea servirii. Detaliile referitoare la această demonstraţie nu sunt însă de interes pentru prezentarea de faţă.

)(tNd)(tNa

SISTEM DE SERVIRE)()()( tNtNtN da −=

Figura 2.2.1: Schema generală a servirii

Ceea ce este deosebit de util pentru dezvoltările ulterioare în prezentarea sistemelor de servire, este faptul că referindu-ne la figura 2.1, se pot considera componentele modelului ca subsisteme distincte ale unui ansamblu global. În consecinţă, formula lui Little se particularizează funcţie de variabilele strict ataşate, fie şirului de aşteptare, fie serverelor, conducând la următoarele rezultate:

• numărul mediu de clienţi aflaţi în şirul de aşteptare este egal cu produsul dintre rata medie de acceptare în sistem, efλ (rata de intrare efectivă) şi timpul mediu de aşteptare: [ ]E q efN⎡ ⎤ = λ ⋅⎣ ⎦ E W (2.2.2)

• numărul mediu de clienţi aflaţi în serviciu este egal cu produsul dintre rata medie de acceptare a clienţilor în sistem şi timpul mediu de servire a acestora: [ ]E s efN E= λ ⋅ τ⎡ ⎤⎣ ⎦ (2.2.2)

Aplicaţia 2.2.1 Fie reţeaua de sisteme cu aşteptare fără pierderi din figura 2.2.2.

Considerând că duratele medii de întârziere în fiecare sistem sunt cunoscute şi că în reţea se găsesc doar 2 clienţi, să se determine numărul mediu de clienţi din fiecare sistem. Caz particular: [ ] 4 E 1 =T sec; [ ] 6 E 2 =T sec; [ ] 10 E 3 =T sec.

1μ

3μλ

#1 #2

#3

2μ

Figura 2.2.2: Reţea închisă cu 3 sisteme de servire cu aşteptare

Rezolvare: Durata medie a unui ciclu este sec, deci

formula Little oferă, la nivel de reţea:

[ ] 31E E iiT T

== ⎡ ⎤⎣ ⎦∑ 20=

[ ] [ ]E E 0,0N Tλ = = 5

iT

clienţi/sec. Deoarece reţeaua este presupusă fără pierderi, această rată se regăseşte la intrarea fiecărui sistem, deci şi evident că se va obţine . E EiN = λ ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

31E 2ii N

==⎡ ⎤⎣ ⎦∑

* * *


2.3. Clasificarea Kendall

Pentru referirea într-un mod clar, simplu şi precis la un anumit model probabilistic caracteristic unui anumit gen de sistem de servire cu aşteptare, se foloseşte o codificare consacrată, clasificarea Kendall, ce presupune ataşarea unei etichete cu cel mult 6 caractere alfa-numerice fiecărui tip de model. Procedura iniţială de clasificare este datorată lui D. G. Kendall, care a propus drept criterii de clasificare procesul de sosire, repartiţia timpului de servire şi numărul unităţilor de servire, observând că acestea sunt elementele principale ce particularizează un anumit model.

1 / 2 / 3 / 4 / 5 / 6

Disciplina de servire a şirului

Numărul total de resurse instalate în sistem Dimensiunea sursei de clienţi Numărul serverelor instalate în sistem

Natura procesului de servire a clienţilorNatura procesului de sosire a clienţilor

Figura 2.3.1: Simbolurile clasificării Kendall

Cele 6 caractere ale clasificării Kendall au semnificaţiile prezentate în schema din figura 2.3.1, după cum urmează:

1. Procesul de sosire este specificat prin câteva notaţii consacrate şi anume: M - lege exponenţială; D - lege deterministă; Ek - lege Erlang de ordin k; Hn - lege hiperexponenţială de ordin n; G - lege generală. În general, modelarea sosirilor întâmplătoare ia în considerare, pentru a stabili timpul θ dintre două sosiri succesive, legea exponenţială: [ ]Pr 1 exp( )t tθ ≤ = − − λ (2.3.1) caz în care sosirea, văzută ca proces de numărare pe parcursul unui interval t este modelată de o distribuţie Poisson de acelaşi parametru λ: ( ) exp( ) ( ) !n

np t t t n= −λ ⋅ λ (2.3.2)

2. Legea de servire se referă la distribuţia timpilor de servire a clienţilor admişi în sistem şi, pentru diferite moduri de servire, este specificat prin aceleaşi notaţii ca şi procesele de sosire. În multe aplicaţii funcţia de densitate de probabilitate pentru timpul de servire se consideră exponenţială: ( ) exp( )f t tτ = μ ⋅ −μ , (2.3.3) 0≥t

caz în care timpul mediu de servire este [ ]E 1τ = μ .

3. Numărul serverelor instalate în sistem. Raportat la numărul s de servere prevăzute, sistemele de servire se împart în:


21

- sisteme cu un singur server, 1=s (sisteme uni-server) – ceea ce înseamnă că un singur client poate fi servit la un moment dat,

- sisteme cu mai multe servere (sisteme multi-server) – care au servere, toate cu caracteristici identice de servire şi care sunt alimentate echiprobabil din şirul comun de aşteptare; înseamnă deci că în acelaşi timp pot fi serviţi cel mult s clienţi.

1>s

4. Dimensiunea sursei de clienţi (numărul maxim al clienţilor potenţiali oferiţi sistemului) – este dată de numărul c al clienţilor potenţiali, în principiu cu comportament independent unul faţă de celălalt, conţinuţi în sursa corespunzătoare. Comparând dimensiunea sursei cu aceea a grupului de servere din sistemul de servire, sursele pot fi de două categorii:

- sursă infinită, dacă sc ⋅> 10 . Înseamnă că şirul de aşteptare poate deveni deosebit de lung, teoretic infinit, dacă sistemul de servire acceptă acest lucru.

- sursă finită, dacă . În acest caz, numărul maxim al clienţilor prezenţi în sistem este totdeauna limitat la dimensiunea sursei.

sc ⋅≤ 10

5. Numărul total al resurselor – dimensiunea şirului de aşteptare adunată cu dimensiunea grupului de servere (sumă precizează de fapt numărul maxim de clienţi ce pot fi prezenţi în sistem la un moment dat). În privinţa şirului de aşteptare, acesta poate fi de:

- capacitate infinită ( ): orice client care soseşte are permisiunea să intre în sistemul de prelucrare, indiferent câţi alţii asemenea lui se află aici (sisteme ideale, cu aşteptare şi menţinere.

∞=q

- capacitate zero ( ): clientul care soseşte atunci când toate serverele sunt ocupate nu este admis în sistem, devenind un client pierdut. Este cazul sistemelor cu pierderi nete.

0=q

- capacitate finită ( ): clientul care soseşte într-un moment de blocare a grupului de servere este primit în sistem şi aşteaptă servirea doar în cazul în care mai este vreo poziţie liberă în şir, altfel el este respins de sistem. Este cazul sistemelor reale, cu aşteptare şi pierderi.

∞<< q0

6. Disciplina de servire a şirului de aşteptare – stabileşte regula de alegerea a clienţilor din şir pentru a fi serviţi. Se cunosc diferite asemenea discipline, dintre care cele mai frecvente sunt următoarele:

- FIFO (First In First Out) sau FCFS (First Come, First Served) - LIFO (Last In First Out) sau LCFS (Last Come, First Served) - RSS (Random Selection for Service), - PR (Priority), - G (General).

Observaţie: Deseori în practică, multe dintre modelele uzuale sunt reprezentate printr-un număr redus de simboluri ale clasificării Kendall. Acest lucru este permis deoarece simbolurile omise au următoarele valori implicite:

∞=q , ∞=c , ∞=+= qsr , FIFO.


2.4 Lanţuri Markov

În general, variabilele aleatorii dintr-o familie care defineşte un proces stocastic sunt interdependente din punct de vedere statistic. Ca urmare, relaţiile de interdependenţă ale variabilelor pot constitui un criteriu pe baza căruia procesele aleatorii pot fi clasificate. Astfel un proces aleatoriu, , este un proces Markov deordinul 1 dacă viitorul său depinde doar de prezent, fiind deci independent de trecut (desigur că există şi procese Markov de ordin superior, care extind relaţia de dependenţă şi în trecutul mai mult sau mai puţin apropiat, dar a căror abordare nu prezintă însă interes pentru obiectul acestei lucrări). Exprimată sub formă analitică, pentru orice momente de timp

, condiţia precizată anterior devine, dacă procesul este evaluat discret, aşa cum este frecvent considerat în ingineria traficului de comunicaţii:

)(tX

121 +<<<< kk tttt …

1 1 1 1 1

1 1

Pr ( ) ( ) , ( ) , , ( )

Pr ( ) ( )

k k k k k kva fi este a fost

k k k k

1X t x X t x X t x X t x

X t x X t x

+ + − −

+ +

⎡ ⎤⎢ ⎥= = = …⎢ ⎥⎣ ⎦

=

⎡ ⎤= = =⎣ ⎦

(2.4.1)

Valoarea, pe care un proces Markov, , o ia la un moment dat şi faţă de care se definesc probabilităţile sus menţionate, se numeşte starea procesului la momentul t. Un proces Markov care este evaluat discret, pe o mulţime finită sau infinit numărabilă, se numeşte lanţ Markov. Probabilităţile care caracterizează stările unui lanţ Markov se notează cu:

)(tX

[ ]Pr ( ) ( )jX t j p t= = (2.4.2)

unde j este una din stările respectivului proces. Dacă un astfel de proces este şi staţionar, atunci probabilitatea (absolută) a stării este independentă faţă de timp; de aceea pentru aceste procese se poate folosi notaţia simplificată:

not

( )jp t pj= (2.4.3)

Un caz particular de lanţuri Markov utilizat frecvent în modelarea matematică a diverse situaţii reale, îl constituie clasa proceselor de naştere şi moarte (creştere – descreştere), la care tranziţiile leagă numai stări adiacente. În consecinţă, astfel de procese sunt descrise, la modul general, prin intermediul diagramei ratelor de tranziţie din figura 2.4.1, în care iλ şi iμ sunt ratele de ieşire din starea i, . 0≥i Diagrama din figura menţionată permite scrierea următoarelor ecuaţii de echilibru global, a căror formă se diferenţiază funcţie de poziţia în diagramă a conturului prin care se schimbă fluxurile probabilistice: - suprafaţa , ( ): 0Σ 0=j 1100 pp ⋅μ=⋅λ (2.4.4)

- suprafaţa , ( ): 1Σ 0>j ( ) 1111 ++−− ⋅μ+⋅λ=⋅μ+λ jjjjjjj ppp (2.4.5)


23

0 1 2 j–1 j j+1

0λ 1λ 1−λ j jλ Σ1

Σ0

1μ 2μ jμ 1+μ j

Σ

Figura 2.4.1: Proces de naştere şi moarte: diagrama generală a ratelor de tranziţie

Rezolvarea acestui sistem se poate face transcriind relaţiile de mai sus în forma: 01100 =⋅μ−⋅λ pp (2.4.6)

1111 ++−− ⋅μ−⋅λ=⋅μ−⋅λ jjjjjjjj pppp (2.4.7)

exprimare ce pune în evidenţă faptul că pentru orice toţi termenii au aceeaşi valoare, stabilită de relaţia (2.4.6), şi anume zero.

Prin urmare, se poate scrie următoarea relaţie:

0≥j

11 ++ ⋅μ−⋅λ jjjj pp

(2.4.8) 1 1

flux ascendent flux descendent

j j j jp p− −λ ⋅ = ⋅μ

care precizează faptul că, pentru stabilirea echilibrului este necesar, dar nu neapărat suficient (din motive asemănătoare celei expuse anterior, când s-a luat în discuţie soluţia ecuaţiilor de echilibru global), ca fluxurile de probabilitate, ascendent şi descendent, ce străbat frontiera Σ să fie egale (figura 2.4.1). Pe baza ultimei relaţii, denumită şi ecuaţie de echilibru local, se poate obţine exprimarea probabilităţii jp a oricărei stări a procesului în funcţie de probabilitatea a stării vide, prin intermediul relaţiei: 0p

10

1

jk

jkk

p p −

=

λ= ⋅

μ∏ (2.4.9)

Această relaţie rămâne valabilă pentru toate tipurile de procese de servire, definite conform clasificării Kendall, urmând ca ratele de tranziţii între stări să fie particularizate corespunzător. Evaluarea probabilităţii stării vide a oricărui proces se obţine prin intermediul relaţiei de normare:

( )1j

jp =∑ (2.4.10)

care exprimă certitudinea că un proces se află oricând într-una din stările sale.

2.5 Modelul M/M/s/∞/s

Acest model este adecvat analizei sistemelor de telecomunicaţii care nu dispun de mijloace şi metode de menţinere a clienţilor în aşteptare în momentele în care toate serverele sunt ocupate. Aceasta înseamnă că, numărul de poziţii permise în sistem coincide cu dimensiunea s a grupei de servere, iar timpul de tranzitare a sistemului este chiar timpul de servire a oricărui client acceptat. Este cazul aşa numitelor sisteme cu pierderi, ce resping toţii clienţii care încearcă


pătrunderea în sistem când acesta este blocat (toate resursele ocupate). Diagrama ratelor de tranziţie pentru modelul M/M/s/∞/s este precizată în figura 2.5.1; aceasta respectă consideraţiile făcute pentru modelul anterior, cu precizarea că se referă doar la un număr finit de stări, şi anume . 1+s

λ λ 0 0 0 j j -1 j+1

λ λ

μj μ+ )1( j μs μ− )1(sμ2 μ μ− )1( j

λ 0 s s -1

λ λ λ 0 1

Figura 2.5.1: Diagrama de stări şi tranziţii pentru sistemul M/M/s/∞/s

În situaţia de faţă, ratele de tranziţie pentru orice stare j , cu 0 j s≤ ≤ , sunt: jλ = λ şi j jμ = ⋅μ (2.5.1) Plecând de la expresia generală (2.4.9), aplicată pe cele 1+s stări, şi folosind relaţia de normare se obţine că:

1

00 !

js

j

apj

−

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ cu a = λ μ şi 0!

j

jap pj

= ⋅ (2.5.2)

Indicatorii de performanţă ai modelului M/M/s/∞/s sunt:

1) probabilitatea de blocare, adică probabilitatea ca toate resursele (compuse doar din servere) să fie ocupate (probabilitatea stării finale):

[ ]0

Pr ( )! !

s js

b sj

ap N t s ps j=

= = = =a∑ (2.5.3)

Această relaţie este cunoscută ca formula Erlang-B şi este notată simbolic prin sau . ( , )B a s ( , )E a s

2) productivitatea sistemului, γ , este identică cu rata efectivă de intrare a clienţilor în sistem, efλ : [ ]1 ( , )ef B a sγ = λ = λ ⋅ − (2.5.4)

diferenţa până la rata , cu care sursa oferă clienţi spre prelucrare, reprezentând rata de respingere a clienţilor sau rata de pierdere,

λ( , )L B a sλ = λ ⋅ .

3) numărul mediu de clienţi acceptaţi în sistem (la serviciu):

[ ] [ ] [0

E E 1s

j efj

N j p B a=

λ= ⋅ = λ ⋅ τ = −

μ∑ ]( , )s (2.5.5)

4) gradul de utilizare a serverelor : [ ]Eefg s= λ ⋅ τ (2.5.6)

2.6 Modelul revărsării primare

Pentru asigurarea unei bune calităţi a servirii traficului prin reţele se foloseşte procedura de îndrumare suplimentară a volumelor de trafic respinse într-o prelucrare anterioară pe anumite fascicule de resurse. Înseamnă că de fapt


25

traficul respins de un sistem de prelucrare, considerat de primă alegere, este recuperat şi oferit unui al doilea sistem, într-o prelucrare de a doua alegere. Dacă resursele acestuia sunt în număr finit, atunci poate avea loc un al doilea refuz, iar traficul pierdut aici poate fi oferit în continuare unui al treilea sistem etc. Însă fiecare îndrumare suplimentară necesită o modificare cu un anumit grad de complexitate a blocurilor de comandă din centrele de comutaţie implicate, deoarece acestea trebuie să marcheze şi să recunoască diferitele volume de trafic pe care le prelucrează. De asemenea orice prelucrare suplimentară majorează şi timpul de prelucrare a clientului respectiv, ceea ce poate duce la depăşirea "răbdării" sursei, care poate renunţa la apelul său înainte de satisfacerea acestuia. În consecinţă, administraţiile de telecomunicaţii limitează numărul îndrumărilor suplimentare, alegând soluţia optimă între nivelul calităţii serviciului şi costul efortului tehnic depus pentru satisfacerea lui.

2.6.1 Grup cu revărsare primară Se alege o structură, ca cea din figura 2.6.1, în care un volum de trafic X, de natură poissoniană şi cu media [ ]E X A /= = λ μ , este oferit unui fascicul primar cu N resurse, fără posibilităţi de aşteptare. Din această prelucrare rezultă un volum de trafic scurs, , şi un volum de trafic respins, . Traficul respins de fasciculul primar este reorientat pentru o prelucrare suplimentară spre un fascicul secundar, cu S resurse, ce funcţionează tot în regim de pierderi. S-a convenit ca acest trafic să poarte denumirea de trafic de revărsare. Din noua lui prelucrare rezultă un trafic scurs, , şi un nou trafic respins, , care nu mai este reîndrumat spre un alt fascicul de resurse, deci este definitiv pierdut.

)(NY )(NR

)(SY )( SNR +

Este evident că volumul global al traficului scurs (servit) este mai mare în varianta îndrumării suplimentare decât a prelucrării primare unice, dar acest câştig este plătit printr-un consum suplimentar de resurse şi o creştere a timpului de prelucrare. Starea grupului cu resurse este definită, ca de regulă, prin numărul resurselor ocupate la un moment dat, ceea ce matematic este cuplu de variabile, reprezentând numărul resurselor din fiecare fascicul ce sunt simultan ocupate, cu şi

SN +),( sn

Nn ≤≤0 Ss ≤≤0 . Accesul clienţilor în grup depinde de starea celor două categorii de fascicule, şi anume:

- orice apel nou este oferit fasciculului primar şi va fi acceptat aici dacă şi numai dacă primarul dispune de resurse libere;

Fascicul primar N resurse

Fascicul secundarS resurse

)(NY

Trafic definitiv pierdut )( SNR +

Trafic de revărsare )(NR

Trafic scurs

Trafic oferit X

)(SY

Figura 2.6.1: Structura de referin�ă a unui grup cu revărsare primară


- dacă primarul este blocat, atunci clientul va fi dirijat spre fasciculul secundar şi dacă acest dispune de resurse libere, el va fi acceptat la serviciu;

- dacă şi fasciculul secundar este blocat, atunci clientul va fi respins de grup, constituind pierdere. Înseamnă că starea fasciculului secundar depinde de aceea a fasciculului primar, dar nu şi invers. În consecinţă, pentru analiza matematică a procesului de servire într-un grup cu revărsare primară, cu SN + resurse, se consideră că:

♦ fasciculul primar se comportă conform unui proces de naştere şi moarte (model M/M/N/∞/N) de parametri λ şi primμ , acceptând la serviciu clienţi noi şi finalizând serviciul celor anterior acceptaţi;

♦ fasciculul secundar se comportă în două maniere diferite, şi anume: dacă Nn = după un proces de naştere şi moarte, (model M/M/S/∞/S)

de parametri λ şi secμ , fasciculul secundar fiind alimentat, până la atingerea stării de blocare, cu clienţii ce nu au fost acceptaţi de fasciculul primar ;

dacă Nn < după un proces de moarte pură, cu parametrul secμ , deoarece fasciculul nu este alimentat cu clienţi, trebuind doar să finalizeze serviciul celor anterior acceptaţi.

0,0 1,0 0λ

1μ 1μ

0,1

1Σ

n,s n+1,snλ

1+μn1+μs

n,s+1

2Σ

n-1,s 1−λn

nμ

n,s-1

sμ

SsNn

<<

<<

00

1+μs

N,s+1

N,s 3Σ

N-1,s1−λN

Nμ

N,s-1

sμNλ

Nλ Ss <<0

N,S 4Σ N-1,S1−λN

Nμ

N,S-1

SμNλ

Figura 2.6.2: Diagrama de tranziţii şi stări ale proceselor

dintr-un grup cu revărsare primară


27

Avem de fapt un proces compus de evoluţie a stărilor grupului, tranziţiile între stări (dublu indexate) executându-se după două axe, prin salturi unitare, corespunzătoare variaţiilor individuale ale indecşilor n şi s. Nu sunt permise tranziţii diagonale, ce ar corespunde la două variaţii simultane. În figura 2.6.2 se prezintă fragmentat diagrama de tranziţii şi stări. Pentru a nu complica prea mult desenul, nu au fost figurate buclele de stabilitate posibilă ale stărilor. Cum procesele considerate sunt staţionare, pe arcele dintre stări este precizat doar parametrul tranziţiei respective, dependent de stare, nu şi intervalul de timp în care are loc tranziţia. tΔ Urmând procedura cunoscută, a scrierii ecuaţiilor de echilibru al fluxurilor de probabilităţi de tranziţie pentru toate stările posibile ale grupului de resurse, se obţin ecuaţiile de categoriile următoare:

pentru 0=n şi 0=s (suprafaţa 1Σ ): 1,010,110,00 ppp ⋅μ+⋅μ=⋅λ (2.6.1)

pentru Nn <<0 şi Ss <<0 (suprafeţe 2Σ ): 1,1,11,11,)( ++++−− ⋅μ+⋅μ+⋅λ=⋅μ+μ+λ snssnnsnnsnsnn pppp (2.6.2)

pentru Nn = şi Ss << (suprafeţe 30 Σ ): 1,1,1,11,)( −++−− ⋅λ+⋅μ+⋅λ=⋅μ+μ+λ sNNsNssNNsNsNN pppp (2.6.3)

pentru Nn = şi Ss = (suprafeţe 4Σ ):

1,,11,)( −−− ⋅λ+⋅λ=⋅μ+μ SNNSNNSNSN ppp (2.6.4)

Conform condiţiilor impuse de procesele precizate pentru fasciculele de resurse, parametrii de naştere şi moarte sunt:

pentru Nn < : λ=λn ; pentru Nn = : 0=λN ; pentru Nn ≤ : primμ⋅=μ nn ; pentru Ss ≤ : secμ⋅=μ s . s

Toate administraţiile de telecomunicaţii din lume au o preocupare permanentă pentru uniformizarea echipamentelor folosite în reţea, pentru a obţine o simplificare substanţială a eforturilor de fabricaţie, de instalare şi de întreţinere, şi nu în ultimul rând de şcolarizare a specialiştilor de orice nivel şi pentru toate formele de activitate din reţea. Înseamnă că evident trebuie considerată aceeaşi rată de servire pentru toate resursele folosite într-un grup cu revărsare primară, adică μ=μ=μ secprim .

În consecinţă, dacă μλ= /A , ecuaţiile de echilibru capătă forma:

(2.6.5)

SNSNsN

sNsNsNsN

snsnsnsn

pSNppApsNApsppA

psnApspnpApppA

,1,,1

,1,1,,1

,1,,1,1

0,11,00,0

)()()()1()(

)()1()1(

⋅+=+⋅

⋅++=⋅+++⋅

⋅++=⋅++⋅++⋅

+=⋅

−−

+−−

++−


şi pe baza lor se pot determina acum valorile matematice caracteristice ale volumelor de trafic ce rezultă din prelucrările în cele două categorii de fascicule de resurse, primare şi secundare. În tabelul 2.6.1 sunt concentrate formulele de calcul pentru media şi varianţa volumelor de trafic scurs şi pierdut, relative la resursele primare şi secundare din grupul cu revărsare. Trebuie remarcat următoarele:

atât traficul scurs cât şi cel pierdut încetează de a mai avea o natură întâmplătoare, caracteristicile lor depinzând evident de dimensiunea sistemului de prelucrare,

valoarea pierderilor finale, , ( , )N Sp B A N S= + , se calculează cu ajutorul formulei Erlang-B, aplicată traficului iniţial oferit grupului cu revărsare primară şi numărului total de resurse aparţinând lui.

Aceste observaţii sunt deosebit de importante în problematica planificării reţelelor de joncţiuni şi, aşa cum se va vedea în prezentarea metodologiei de planificare, stau la baza "metodei hazardului echivalent".

Tabelul 2.6.1: Valori caracteristice pentru traficul scurs şi pierdut

TRAFIC Valoare medie Varianţă

)(NY { }1 ( , )y A B A N= ⋅ − [ ]VAR ( ( ) ( , )Y N m A N m B A N= − ⋅ − ⋅

)(NR ( , )m A B A N= ⋅ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−++−=

mANAmmv

11

)(SY { }( , ) ( , )D A B A N B A N S= ⋅ − + [ ] 2,VAR ( )

1 N SDY S A S p D D

N y⎛ ⎞

= ⋅ − ⋅ + −⎜ ⎟+ −⎝ ⎠

)( SNR +

[ ],

E ( ) ( ,( , )N S

R N S A B A N Sp B A N S

+ = ⋅ +

= +

) …

Aplicaţia 2.6.1 Fie un grup cu revărsare primară format din 12N = şi resurse şi căruia i se oferă un trafic de natură întâmplătoare şi de intensitate E. Să se determine valorile matematice caracteristice ale volumelor rezultate din prelucrare, precum şi ale pierderilor după prelucrarea primară şi a celor finale.

5S =9,5A =

Rezolvare: utilizând formulele de calcul precizate se obţine că:

TRAFIC Valoare medie Varianţă Factor de iregularitate X 9,5000 9,50 1,00

)(NY 8,5500 9,50 0,61 )(NR 0,9500 5,27 1,31 )(SY 0,8645 1,07 1,77

)( SNR + 0,0855 1,53 . . . Se observă că după prelucrarea primară se obţine o pierdere


29

1 0,95 9,5 0,1p = = , ca apoi după prelucrarea suplimentară cu ajutorul fasciculului secundar pierderea să fie 009,05,90855,02 ==p ; evident că a crescut calitatea serviciului (de 11 ori), dar pe seama amplificării resurselor cu 41,6%. Sarcina planificatorului este de a stabili dimensiunea optimă pentru fasciculul secundar, astfel încât cu cât mai puţine resurse calitatea serviciului să fie în limitele dorite.

* * * Aplicaţia 2.6.2 Se consideră un grup cu revărsare primară pentru car 2e = N 1= . Se cere să se determine matricea p a probabilităţilor de stare a grupului şi să se interpreteze rezultatul obţinut, dacă traficul oferit este

şi S

2=A E.

μ μ

0,0 1,0 λ

μ

0,1

2,0

1,1 2,1

λ

λλ λ

μ2

μ2μ

μ Figura 2.6.3: Diagrama de stări şi tranziţii pentru N = 2 şi S = 1

Rezolvare: pentru acest caz relativ simplu se poate desena graful complet de tranziţii şi stări, aşa ca în figura 2.6.3, şi în consecinţă ecuaţiile de echilibru au componenţa ce urmează:

0,0 1,0 0,1Ap p p= + ; ; 1,0 0,0 2,0 1,1( 1) 2A p Ap p p+ = + +

1,20,10,2)2( pAppA +=+ ; 1,11,0)1( ppA =+ ;

1,1 0,1 2,1( 2) 2A p Ap p+ = + ; 1,10,21,23 ApApp += . Sistemul acestor ecuaţii se rezolvă cu respectarea relaţiei de normalizare:

şi se obţine că probabilităţile de stare ce caracterizează grupul au

valorile concentrate în matricea:

∑ ∑= =

=2

0

1

0, 1

n ssnp

0,0 0,1

1,0 1,1

2,0 2,1

0,15789 0,042100,27368 0,126310,18947 0,21052

p pp pp p

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

p

Prin intermediul acestor rezultatele se pot verifica observaţiile teoretice precizate anterior, şi anume:

- probabilitatea de blocare a fasciculului primar este:

(prim) , 2,0 2,10( , ) 0,4S

b N ssP p p p B A N

== = + = =∑

(fasciculul primar se comportă în regim de pierderi, independent de restul grupului, respectând condiţiile modelului M/M/N/∞/N);

- probabilitatea de blocare a fasciculului secundar este:


(sec) , 0,1 1,1 2,10 0,3789Nb n SnP p p p p

== = + + =∑ , şi anume:

(sec) ( , ) 0,67bP B A S≠ = (comportarea fasciculului secundar depinde de starea fasciculului primar şi deci nu poate fi respectat modelul M/M/S/∞/S);

- probabilitatea de blocare a întregului grup este:

(grup) , 2,1 ( , ) 0,21052b N SP p p B A N S= = = + =

* * * Aplicaţia 2.6.3 Se consideră un grup cu revărsare primară cu 3=N resurse în fasciculul primar şi resurse în fasciculul secundar. Se cere valoarea maximă a traficului oferit, astfel încât pierderea finală să fie de cel mult 1%. Care este în acest caz matricea p a probabilităţilor de stare a grupului ?

2=S

Rezolvare: Valoarea traficului oferit trebuie să respecte condiţia: . Pentru rezolvarea acestei inegalităţi se poate folosi un

program de calcul automat şi se obţine că ( , ) 0,01B A N S+ ≤

36,1max =A E. Probabilităţile de echilibru ale celor 12 stări posibile ale grupului se determină pe baza ecuaţiilor de balans, scrise prin intermediul diagramei de stări şi tranziţii, din figura 2.6.4.

μ μ

0,0 1,0 λ

μ

0,1

2,0 3,0

1,1 2,1 3,1

0,2 1,2 2,2 3,2

λ

λ λ λ

λλ

μ2

μ2

μ2 μ3

μ

μ2 μ2μ2 μ2

λ

λ

λ

μ μ

μ3

μ3

λ

μ

Figura 2.6.4

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

00997,003027,007292,000640,003173,021152,000323,002552,033839,000096,001163,025737,0

2,31,30,3

2,21,20,2

2,11,10,1

2,01,00,0

pppppppppppp

p

Se constată că într-adevăr pierderea finală de trafic este în limita impusă, şi anume: . 01,000997,02,3 <=p

2.6.2 Fascicul comun de revărsare În general, din motive economie uşor de înţeles, un singur fascicul secundar este folosit în comun de către mai multe fascicule primare pentru


31

scurgerea volumelor de trafic pierdute de acestea într-o primă alegere. Înseamnă că sistemele primare, ce se comportă unele faţă de altele în mod independent, solicită fiecare în raport cu nevoile proprii acelaşi sistem secundar, care trebuie să-şi partajeze resursele în funcţie de solicitările curente. Aceasta conduce la o utilizare maximă şi practic continuă a fasciculului secundar, continuitatea angajării acestuia fiind cu atât mai pronunţată cu cât momentele de trafic forte pe fasciculele primare sunt mai diferite. În asemenea condiţii se pune problema dimensionării optime a fasciculului secundar pentru a respecta o probabilitate maximă de pierderi finale şi ştiut fiind că traficul prelucrat de resursele sale nu este de natură poisonniană, ci caracteristicile sale sunt determinate de numărul şi capacităţile fasciculelor primare. Problema se rezolvă cu ajutorul unei metode propusă de R. I. Wilkinson, "metoda hazardului echivalent".

S

Trafic definitiv pierdut

Trafic scurs

)(SY

1A

2A

nA

)( 11 NY1N

)( 22 NY11,vm

nN

2N

nn vm ,

22,vm

)( nn NY

0A

VM, (a)

*)(NR

)( *NY *N

*A

)(SY S

)*( SNR +

Trafic scurs

(b)

Figura 2.6.5: Grup cu fascicul comun de revărsare primară: (a) structura generală;

(b) grupul fictiv echivalent

Fie un grup cu n fascicule primare (figura 2.6.5), având fiecare resurse proprii solicitate a prelucra un trafic poissonian de medie

iN

iA ( 1,i = n ). Din prelucrarea primară rezultă un volum de trafic scurs, , şi un trafic respins definit prin medie şi varianţă ( ). Fasciculul secundar, de capacitate S, culege toate volumele de trafic de revărsare, dar eventual şi un trafic 0

( )i iY N,i im v

A , ce îi este adresat într-o primă alegere. Cum fasciculele primare sunt independente unele de altele, înseamnă că traficul global oferit resurselor secundare poate fi definit de media şi varianţa sa, şi anume:

şi 01 0

n n

i ii i

M A m m= =

= + =∑ ∑ 01 0

n n

ii i

V A v v= =

= + = i∑ ∑ (2.6.6)


Datorită caracterului neîntâmplător al acestui volum de trafic, pentru dimensionarea sistemului secundar nu se po te folosi modelul M/M/c/∞/c şi de aceea metoda Wilkinson (denumită şi metoda traficului întâmplător echivalent sau metoda hazardului echivalent) propune înlocuirea grupului real cu n fascicu rimare cu un singur fascicul fictiv dar echivalent lui, care având o capacitate *N şi prelucrând un trafic

a

le p întâmplător *A produce o revărsare

identică cu caracteristici ş , adică:

M i V* ( *, *)

*1* 1 *N M A+ + −⎝ ⎠

Problema care se pune este de a determina valorile elementelor din grupul fictiv. Aceasta se poate face fie direct, pornind de la relaţiile (2.6.7) prin care ele sunt definite în mod implicit, dar procedura

M A B A NAV M M

= ⋅

⎛ ⎞= ⋅ − −⎜ ⎟ (2.6.7)

este destul de laborioasă, fie folosind relaţiile aproximative propuse de Y. Rapp:

* 3 ( 1), cu / ,

* * 11M Z+ −

Dacă folosim aceste elemente fictive, *

A V Z Z Z V MM ZN A M

≅ + − =+

≅ − − (2.6.8)

A şi *N , înseamnă că ne situăm în cazul grupului teoretic cu revărsare primară (figura 2.6.5.b), cu un singur fascicul primar şi cu fasciculul secundar aferent. Pentru un asemenea grup se

rea pierderilor finale se calculează cu formula Erlang-B, adică este ( *, * )B A N S+ . Această valoare trebuie să fie ega reală, anume

1 ii=

ştie că valoa cu cea

ţine cu grupul real, în care ă n N S

lă

pierderea ce s-ar ob exist +∑ resurse, cărora

. Această pierdere trebuie să fie în limitele de calitate impuse, adică:

un de revărsare, cu respectarea condiţiei de calitate a prelucrării

comun de ul real) să se procedeze la o rotunjire, prin majorare.

lica

pe ansamblu le este oferit un volum de trafic ∑ 0n

ii A=

maxp

max 0 * ( *, * )iip A A B A N S=

≥ ⋅ +∑ (2.6.9)

Această ultimă relaţie reprezintă expresia de calcul al capacităţii fasciculului com

n

traficului oferit. Ca o observaţie de final, trebuie spus că pentru fasciculul fictiv se obţin uneori valori neîntregi, ceea ce nu constituie însă o greşeală de calcul; în aceste cazuri trebuie avut grijă ca pentru capacitatea S a fasciculului revărsare (fascic

Ap ţia 2.6.4 Se propune un ansamblu de 3 fascicule primare, cu caracteristicile precizate în tabelul 2.6.2 şi care folosesc în comun un fascicul secundar, a cărui capacitate trebuie determinată astfel încât pierderea finală de trafic să nu

din volumul total al traficului oferit grupului.

depăşească 1%


33

lu

c pi

Tabe l 2.6.2

Trafi erdut Fascicul nr.

Trafic oferit [Erlang] [jon ni]

Probabilitate de pierderi M Va

Capacitate cţiu edie rianţă

1 25 27 0,101 2,53 7,6 2 15 18 0,088 1,29 3,3 3 10 13 0,0 4 8 0,84 1,9

Total 50E 58 M = 4,66 V =12,8

Rez ă: şi . Condiţia de calitate impusă se exprimă prin rel ia:

me cu 9 în plus faţă de varianta care prevede revărsarea pe un fascicul comun.

ceea ce priveşte clienţilor, ea este e sta

olvare: în conformitate cu relaţiile Rapp se obţine c * 27,19A = 77,25* =N aţ

50 0,01 27,19 (27,19 ; 25,77 )B S⋅ ≥ ⋅ + din care rezultă capacitatea cerută (minimă) a fasciculului secundar: 11=S . Se pot face următoarele observaţii:

- dacă nu s-ar fi folosit procedura de revărsare, atunci prin simpla îndrumare primară ar fi rezultat un trafic pierdut cu valoarea medie 66,4=M , ceea ce ar constitui de fapt o pierdere globală de 9,3%, adică mult peste pierderea admisă;

- calitatea cerută a serviciului s-ar putea obţine prin intermediul unui fascicul unic cu 78 resurse, cărora li s-ar oferi volumul total de 50 E. Aceasta conduce însă la un consum considerabil de resurse, anu

2.7 Modelul M/M/s

În cazul modelului multi-server M/M/s, ca şi în situaţia precedentă a modelului M/M/1, intrarea clienţilor este de tip Poisson şi servirile sunt exponenţiale, cu aceeaşi rată pentru toate cele s servere din dotare. Analiza acestui modelul poate pleca prin a considera relaţia (2.4.9), care este valabilă pentru orice proces de naştere şi moarte şi care permite determinarea probabilităţii oricărei stări pe baza probabilităţii stării vide, dar observând că trebuie definite, corespunzător cazului de faţă, ratele de tranziţie între stări. Aşa cum se precizează şi în diagrama din figura 2.7.1, în rata de sosire a independentă d re, adică: λ=λ j , pentru orice 0≥j (2.7.1)

Dacă în sistem sunt prezenţi mai mulţi clienţi decât numărul s al serverelor, ceea ce înseamnă că sistemul este într-o stare sj ≥ , atunci evident că toate serverele sunt ocupate, fiecare având o rată medie de servire μ , iar

0 0

μj μ+ )1( j μs μs μ− )1(sμ2μ μ− )1( j

λ

μs

s –1 s+1 s j+1j –1 j λ λ λ λ λ λ λ λ λ

0 1

Figura 2.7.1: Diagrama ratelor de tranziţii – M/M/s


sistemul prezintă o rată medie μ⋅s de eliberare a clienţilor. Dacă însă în sistem sunt mai puţini clienţi decât numărul serverelor, adică dacă sistemul este într-o stare sj < , atunci doar j servere din s sunt ocupate şi eliberarea clienţilor se face cu o rat medie . Deci, concentrând cele spuse:

(2.7.2)

ă μ⋅j

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥μ⋅

<≤μ⋅=μ

sjs

sjjj

pentru

1 pentru

Aplicaţia 2.7.1 Determinaţi relaţiile de calcul al probabilităţilor de stare corespunzătoare modelului M/M/s. Indicaţie: Se fac notaţiile: μλ=a şi )( μλ==ρ ssa . Relaţia de normare, aplicată unui număr infinit de stări, permite determinarea probabilităţii stării vide şi conduce la expresia:

1

1

0

−

0 ! !j j sj s

j ssj sa ap

− ∞−

⎛ ⎞= + ρ⎜ ⎟∑ ∑ (2.7.3)

igur e st= =

⎜ ⎟⎝ ⎠

Se precizează că pentru a as a existenţa stării d abilitate a sistemului trebuie îndeplinită condiţia 1<ρ , echivalentă cu μ<λ s ; aceasta înseamnă că, din punct de vedere statistic, rata medie a sosirilor trebuie să fie mai mică decât media ratei potenţiale maxime a sistemului. În aceste condiţii, seria infinită din expresia (2.7.3) este convergentă, adică:

1

1−

00 ! ! 1j j s

1j ss a ap−⎛ ⎞

= + ⋅⎜ ⎟=

⎜ ⎟− ρ⎝ ⎠∑ (2.7.4)

şi pe baza ei, probabilităţile de stare ale modelului M/M/s se calculează cu relaţia:

0

0

! (1

! ( ).

j

j j s s

p a j j sp

p a

),

j s−

⎧ ⋅ ≤ ≤⎪= ⎨⋅ρ ≥⎪⎩

(2.7.5)

în şir, fiind, deci, echivalentă cu probabilitatea ca să fie ocupate:

s⋅

* * * Indicatorii de performanţă sunt în acest caz următorii:

1) probabilitatea de aşteptare, care reprezintă probabilitatea ca un client odată sosit în sistem să aşteptetoate resursele

[ ] [ ]Pr 0 Pr ( )1j

j s=

spW N t s p∞

> = ≥ = =− ρ

Această relaţie repre

∑ (2.7.6)

zintă formula Erlang-C şi este notată în literatura de

l mediu de clienţi din şirul de aşteptare:

specialitate prin simbolurile ),( asC sau ),(2 asE . 2) număru

( )E ( )1q j ,N j s p C s a

∞ ρ⎡ ⎤ = − ⋅ =− ρ∑ (2.7.7)

j s=⎣ ⎦


35

3) timpul mediu de aşteptare:

[ ]E 1 ( ,E

1qN C s aW )⎡ ⎤⎣ ⎦= = ⋅

sλ μ − ρ (2.7.8)

ţionare în sistem:

4) timpul mediu de sta

[ ] [ ] [ ] ⎟⎠⎝⎞

⎜⎛ +=τ+=

asCWT ),(11 E E E (2.7.9)

are este egal cu numărul mediu al clienţilor serviţi şi care constituie traficul servit:

N j p s p a∞

−μ as5) numărul mediu de servere ocupate, c

0 1j j s= = +

Es

s j j= ⋅ + ⋅ =⎡ ⎤⎣ ⎦ ∑ ∑ (2.7.10)

, toţi t sau după o oarecare aşteptare.

e utilizare a serverelor :

Rezultatul este evident, deoarece nu există în acest caz vreun "eşec"clienţii oferiţi sistemului sunt serviţi, imedia

6) gradul d [ ] sasNg s == E (2.7.11)

l mediu de clienţi prezenţi în sistem: 7) număru

[ ] [ ] [ ] [ ]sq NNTN E E E E +=⋅λ= (2.7.12)

plicaA ţie 2.7.2 Luând în considerare indicatorii de performanţă care le caracterizează, realizaţi o analiză comparativă a modelelor M/M/2 i Mş /M/1 în cazul în care ratele de servire ale serverelor încorporate sunt μ sau μ2 . Indicaţie: Comparaţia se face pe baza curbelor de variaţie a indicatorilor de performanţă urmărită, ce se trasează pe acelaşi sistem de axe pentru fiecare indicator în parte (vezi figura 2.7.2). fel, analizând timpul mediu petrecut de un client în sistem (normat la durata

Astμ/1 ) se pune în evidenţă faptul că modelul

M/M/1 înzestrat cu un server de două ori mai rapid decât serverele modelului M/M/2 este mai eficient decât acesta din urmă care, însă, îi este superior prin redundanţă şi costurile reduse de exploatare care îl caracterizează.

[ ]TE⋅μ

μλ2

1,0

0,5 1

M/M/1 cu 2μ

0,5

M/M/1 cu μ

M/M/2 cu μ

Figura 2.7.2: Variaţia cu traficul oferit a timpul normat de staţionare

* * *


2.8 Modelul M/M/1

Analiza acestui model, care deseori este cel mai convenabil pentru studierea performanţelor unui anumit sistem de comunicaţii (înzestrat doar cu un transmiţător şi o memorie tampon pe post de server, respectiv de şir de aşteptare) se face stabilind iniţial, prin intermediul aplicaţiei ce urmează, contextul teoretic în care modelul M/M/1 se aplică. Aplicaţia 2.8.1

Să se caracterizeze modelul M/M/1 din punct de vedere al terminologiei Kendall. Rezolvare: Acest model consideră că:

1) sosirea clienţilor urmează un proces Poisson, de exemplu de rată medie λ , ceea ce înseamnă că: timpii dintre două sosiri succesive sunt variabile aleatorii independente şi identic distribuite (i.i.d.), care urmează o distribuţie exponenţială de medie λ/1 ;

2) timpii de servire sunt variabile aleatorii independente identic distribuite, ce urmează o distribuţie exponenţială, de medie μ/1 ;

3) numărul de servere din sistem este egal cu 1; 4) sursa care alimentează sistemul este infinit de mare; 5) numărul clienţilor ce pot fi acceptaţi în sistem este infinit; 6) disciplina servirii este FIFO.

* * * În condiţiile sus menţionate, procesul număr de clienţi în sistem este

un lanţ Markov continuu în timp. Într-adevăr, proprietatea de lipsă a memoriei proprie variabilelor aleatorii exponenţiale, ce caracterizează atât sosirile cât şi plecările din sistem, face ca timpul până la următoarea sosire, respectiv până la următoarea plecare, să fie independent de momentul de referinţă, deci procesul să depindă doar de prezent.

)(tN

În plus, el face parte din categoria specială de procese Markov, şi anume aceea a proceselor de naştere şi moarte. Ultima afirmaţie este demonstrată pe baza următoarelor rezultate, ce iau în considerare numărul de sosiri în intervalul t, numărul de plecări în intervalul t şi un intervalul de timp foarte mic:

)(tNa

)(tNd δ

• probabilitatea ca doar un client să sosească în intervalul δ este semnificativă, depinzând doar de rata de sosire şi de lungimea intervalului:

[ ] ( ) )(1e! 1

1)( δ+δ⋅λ=+λδ−⋅δ⋅λ=δ⋅λ

==δ λδ− oNP a … (2.8.1)

• probabilitatea de a avea mai mult de o sosire în intervalul δ este neglijabilă: [ ] )()( δ==δ okNP a , cu (2.8.2) 2≥k

• probabilitatea ca în intervalul δ să se servească un client este


37

semnificativă, depinzând de rata de servire, μ , şi de lungimea intervalului:

[ ] [ ] )(1)( = = τ ≤ μ=δ ⋅ δ +δ oPNP d δ (2.8.3)

• probabilitatea de a avea mai mult de o plecare în intervalul δ este neglijabilă: [ ] )()( δ==δ okNP d , cu (2.8.4) 2≥k

• probabilitatea ca în intervalul δ să avem simultan două evenimente diferite, anume o sosire şi o plecare, este neglijabilă:

[ ] [ ] [ ] )(1)( ,1)( δ=δ≤τ⋅=δ=δ≤τ=δ oPNPNP aa (2.8.5)

Conform celor precizate mai sus, rezultă că procesul admite doar tranziţii adiacente, fiind deci un proces de naştere şi moarte, a cărui diagramă de tranziţii este trasată în figura 2.8.1.

)(tN

Acestei diagrame îi corespund următoarele ecuaţiile de echilibru al fluxurilor de probabilităţi de tranziţie:

echilibru local (suprafaţa 0Σ ), pentru 0=j :

10 pp ⋅μ=⋅λ (2.8.6)

echilibru global (suprafaţa 1Σ ), pentru orice 0>j : 11)( +− ⋅μ+⋅λ=⋅μ+λ jjj ppp (2.4.7)

∑0

λ

tranziţii neglijabile

1 j – 1

∑1

μ

λ λ

μ μ

λ

μ

λ

μ 0 j j + 1

Figura 2.8.1: Diagrama ratelor de tranziţii – M/M/1

Considerarea prin recurenţă a ecuaţiilor de echilibru permite scrierea relaţiei de calcul al probabilităţii oricărei stări, pe baza cunoaşterii probabilităţii stării vide a procesului, şi anume:

[ ] 1)( −⋅μλ

=== jj pjtNPp , adică (2.8.8) 0pp jj ⋅ρ=

în care μλ=ρ . Probabilităţile de stare astfel exprimate se introduc în relaţia de

normare 0

1jjp∞

==∑ , care este o serie convergentă numai dacă 1<ρ , şi rezultă

că:

pentru jjp ρ⋅ρ−= )1( 0≥∀j (2.8.9)

Condiţia nu este doar o restricţie matematică, impusă de convergenţa seriei, ci ea reprezintă o cerinţă reală a funcţionării unui sistem

1<ρ


uni-server. Dacă , ar însemna că sosirea în sistem a clienţilor este mai rapidă decât posibilitatea lor de servire, ceea ce ar produce creşterea nelimitată a şirului de aşteptare, conducând la o situaţie de instabilitate a sistemului.

1>ρ

Relaţia (2.8.9) pune în evidenţă faptul că legea de distribuţie de ordinul 1 a numărului de clienţi într-un sistem M/M/1 este de natură geometrică.

Evaluarea performanţei sistemului se efectuează prin intermediul următorilor indicatori, enumeraţi în ordinea dictată de stabilirea relaţiilor corespunzătoare de calcul, prin valorificarea la maxim a formulei lui Little:

1) numărul mediu de clienţi în sistem:

[ ]0

E1j

jN j p

∞

=

ρ λ= ⋅ = =

− ρ μ − λ∑ (2.8.10)

2) numărul mediu al clienţilor din şir (lungimea medie a şirului de aşteptare):

2 2

1E ( 1)

1 (q jj

N j p∞

=

ρ λ⎡ ⎤ = − ⋅ = =⎣ ⎦ )− ρ μ μ − λ∑ (2.8.11)

3) media timpului petrecut de un client în sistem se obţine cu formula lui Little ca fiind:

[ ] [ ] [ ]E E1E1 1

NT

τρ= = ⋅ = =

1λ λ − ρ − ρ μ − λ

(2.8.12)

4) media timpului de aşteptare se poate calcula cu formula lui Little, [ ]E E qW N⎡ ⎤= λ⎣ ⎦ , sau ca o diferenţă între timpul de staţionare şi cel de servire,

[ ] [ ] [ ]E E EW T= − τ , ambele variante conducând la relaţia:

[ ]E W ρ=

μ − λ (2.8.13)

5) traficul servit sau gradul de utilizare a unităţii de servire (unice):

[ ]E Esg N λ= = λ ⋅ τ =⎡ ⎤⎣ ⎦ μ

= ρ (2.8.14)

6) probabilitatea de aşteptare:

(2.8.15) [ ] [ ] 01

Pr 0 Pr 1 1jj

W N p p∞

=

> = ≥ = = − = ρ∑

7) productivitatea γ a sistemului (reprezintă frecvenţa medie cu care sistemul eliberează clienţii al căror serviciu este finalizat):

(2.8.16) 01

(1 )ef j jj

p p∞

=

γ = λ = μ ⋅ = μ − = λ∑

În figura 2.8.2 este prezentată curba de variaţie cu frecvenţa sosirilor a numărului mediu de clienţi prezenţi în sistem. Se poate observa că atâta timp cât


39

frecvenţa este redusă, clienţii sunt puţin numeroşi (unul singur putând fi în serviciu), iar şirul de aşteptare destul de scurt, dar trecerea spre saturare este foarte rapidă, ea apărând odată ce frecvenţa depăşeşte o anumită limită ( ). μ>λ 75,0ef

0

20

40

60

80

100

120

0,75 1,05 1,350,15 0,3 0,45 0,6 0,9 1,2 1,5 1,65 1,8 1,95μ

μ

2μ

[ ]N E

efλ

Figura 2.8.2: Variaţia cu frecvenţa sosirilor a numărului de clienţi din sistem

O metodă posibilă de extindere a domeniului de utilizare a unui sistem uniserver, în condiţii acceptabile de încărcare, este creşterea ratei de servire a clienţilor. În figura 2.8.2 este prezentată o asemenea soluţie, când prin dublarea ratei de servire se obţine o amplificare corespunzătoare a domeniului permis al ratei de sosire a clienţilor (de exemplu μ≤λ 8,1ef ).

2.9 Modelul M#/M/1 cu control de flux

Există sisteme de servire cu aşteptare care, în scopul evitării situaţiilor de saturare, execută un control asupra sosirii clienţilor, prin intermediul unui component suplimentar, numit "controler". În acest fel, se pot înlătura situaţiile de ieşire din echilibru statistic, proprii de exemplu modelului M/M/1, la care, pentru

, acumularea de clienţi capătă un caracter dominant. Prin acţiunea controlerului se obţine totdeauna o îmbunătăţire a performanţelor, dar cu preţul creşterii complexităţii sistemului. Asemenea sisteme, deşi mai costisitoare, sunt în general necesare în cadrul reţelelor de comunicaţii pentru a realiza regularizarea fluxurilor informaţionale şi asigurarea unor performanţe constante de-a lungul reţelelor. În consecinţă, indiferent de "politica" urmată în funcţionarea sa, controlerul trebuie să aibă ca obiectiv obţinerea unor rate de acces în sistem care să fie dependente de starea sistemului.

1≥ρ

Pentru a demonstra eficienţa sistemelor cu accesul controlat al clienţilor se propune analiza unui model cu descurajarea clienţilor, în care rata de acces în sistem scade proporţional cu numărul clienţilor deja prezenţi, adică:


)1( +λ=λ jj (2.9.1)

în care λ este rata medie cu care o sursă infinit de mare oferă clienţii într-un proces de tip Poisson. În plus se acceptă că timpii de serviciu au o distribuţie exponenţial negativă de medie μ1 şi că sistemul este echipat cu un şir infinit şi cu un singur server.

λ

μ μ μ

2/λ

μ

4/λ3/λ

μ

5/λ

0 1 2 3 4

Figura 2.9.1: Evoluţia procesului M#/M/1

Înseamnă că, în conformitate cu clasificarea Kendall, un asemenea sistem poate fi numit M#/M/1, semnul # marcând faptul că rata procesului Poisson, de sosire, este controlată de starea sistemului. Evoluţia procesului de prelucrare ce corespunde unui asemenea sistem este reprezentată în figura 2.9.1. Valoarea probabilităţii unei stări particulare a sistemului se calculează cu formula:

!

0

1

0 10 j

pppjj

k k

kj

ρ=

μλ

= ∏−

= + (2.9.2)

ceea ce face ca, prin intermediul condiţiei de normare, să se obţină:

ρ−ρ= e

! jp

j

j (2.9.3)

O primă observaţie referitoare la sistemul M#/M/1 este aceea că nu mai există nici o restricţie cu privire la valoarea traficului oferit sistemului, teoretic el putând fi oricât de mare. Sosirea însă în sistem a clienţilor este regularizată prin mărimea ratei intrărilor, care este dependentă de starea sistemului. Se poate calcula valoarea medie a ratei de intrare, efλ , în condiţiile serviciului de rată independentă de stare, şi se obţine că:

μ

(2.9.4) μ⋅−=μ⋅−=⋅λ=λ ρ−∞

=∑ )e1()1( 0

0ppj

jjef

Evaluarea performanţei se efectuează cu ajutorul următorilor indicatori: 1) numărul mediu de clienţi prezenţi în sistem :

[ ] ρ=NE (2.9.5) Dacă se compară acest rezultat cu valoarea corespunzătoare unui sistem

clasic M/M/1, valoare dată de relaţia (2.9.5), atunci se poate confirma şi matematic faptul că în sistemul cu acces controlat sunt mai puţini clienţi prezenţi, deci cu siguranţă este necesară o memorie de capacitate mai mică (din cei prezenţi un client este servit, restul fiind în aşteptare).

2) timpul mediu de staţionare în sistem :


41

[ ] [ ]EE

(1 e )ef

NT −ρ

ρ= =

λ μ ⋅ − (2.9.6)

Se pot trage concluziile următoare: - pentru valori foarte mici ale sarcinii oferite ( 0→ρ ) timpul mediu de

staţionare este practic egal cu timpul mediu de servire, ca şi când nu ar exista aşteptare;

- pentru valori mari ale sarcinii oferite ( ∞→ρ ) timpul mediu de staţionare creşte practic liniar cu sarcina.

3) lungimea medie a şirului de aşteptare : 1E ( 1) 1q jjN j p∞ e−ρ

=⎡ ⎤ = − = ρ − +⎣ ⎦ ∑ (2.9.7)

Aplicaţia 2.9.1 Determinaţi relaţia de calcul al traficului servit corespunzătoare modelului M#/M/1. Comparaţi sistemele M/M/1 şi M#/M/1 din punctul de vedere al traficului servit.

2.10 Modelul M/M/s/∞/r/FIFO

Acest model este cel mai apropiat de realitate, deoarece aşa cum este el definit conform clasificării Kendall, ia în considerare o capacitate finită de stocare,

. Analiza acestui model pleacă de la aceleaşi consideraţii ca şi modelul M/M/s, referitoare la ratele de tranziţii între stări şi la partajarea egală a sarcinii între servere. Apare însă două diferenţe esenţiale:

q r s= −

- stările posibile sunt în număr finit, anume 1r + , - clienţii oferiţi de sursa externă sunt acceptaţi în sistem doar până la

ocuparea tuturor poziţiilor admise, r s q= + , ceea ce înseamnă că rata efectivă de acceptare a clienţilor este sub valoarea ratei de ofertă a sursei externe,

efλ < λ şi că sistemul este cu aşteptare şi pierderi.

0 0

μs sμμ2 μ ( 1)s − μ

λr –1 r s+1s –1 s

λ λ λ λ λ λ λ λ 0 1

μssμ Figura 2.10.1: Diagrama ratelor de tranziţii – M/M/s/∞/r/FIFO

Ţinând seama de aceste observaţii înseamnă că relaţia de normare trebuie aplicată aici pe un număr finit de stări, ceea ce conduce la a se obţine că:

1 1

1 1

00 0

1 ! ! ! ! 1

j s j s qs r sj s

j j s j

a a a apj s j s

− −− −

−

= = =

⎛ ⎞ ⎛ − ρ= + ρ = + ⋅⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ − ρ⎝ ⎠ ⎝

∑ ∑ ∑⎞⎟⎟⎠

(2.10.1)

şi pe baza ei, probabilităţile de stare ale modelului M/M/s/∞/r/FIFO se calculează cu relaţia:


0

0

! (1

! (s ).

j

j j s s

p a j j sp

p a s j−

⎧ ⋅ ≤⎪= ⎨),

r

<

⋅ρ ⋅ ≤ ≤⎪⎩ (2.10.2)

Din structura relaţiei (2.10.1) se poate observa că, din punct de vedere matematic, în cazul acestui model de sistem nu mai este restrictivă condiţia

, ceea ce ar însemna că asemenea sisteme pot fi utilizate şi la volume sporite de trafic. Totuşi, experienţa a dovedit că o utilizare supraunitară a serverelor conduce la pierderi importante, ceea ce constituie un dejavantaj.

1ρ <

Indicatorii de performanţă pentru modelul M/M/s/∞/r/FIFO sunt următorii: 1. probabilitatea de aşteptare – reprezintă probabilitatea ca un client să

fie acceptat în sistem când toate serverele sunt blocate, adică de a mai găsi cel puţin o poziţie liberă în şirul de aşteptare:

[ ] [ ]1

Pr 0 Pr ( ) 1r

w jj s

p W s N t r−

=

= > = ≤ ≤ − = p∑ (2.10.3)

2. probabilitatea de pierderi – reprezintă probabilitatea ca un client să apară la intrare când sistemul este complet blocat, adică atât serverele cât şi poziţiile din şir să fie ocupate. Acest client va fi respins de sistem, constituind o pierdere, iar probabilitatea stării finale este chiar probabilitatea de pierderi, adică:

[ ]Pr ( )Lp N t r rp= ≤ = (2.10.4)

De aici decurge în mod evident că: (1 )ef Lpλ = λ ⋅ − (2.10.5)

3. numărul mediu de clienţi din şirul de aşteptare:

E (r

qj s

N j s=

⎡ ⎤ ) jp= − ⋅⎣ ⎦ ∑ (2.10.6)

4. timpul mediu de aşteptare în sistem: [ ]E E q eW N⎡ ⎤ f= λ⎣ ⎦ (2.10.7)

5. timpul mediu de staţionare în sistem: [ ] [ ] [ ]E E ET W= + τ (2.10.8)

6. numărul mediu de servere ocupate, care conduce la evaluarea intensităţii traficului servit:

0 1

Es r

s jj j s

N j p s= = +

jp= ⋅ + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ ∑ ∑ (2.10.9)

7. numărul mediu de clienţi prezenţi în sistem: [ ] [ ] [ ]E E E Eef q sN T N⎡ ⎤= λ ⋅ = +⎣ ⎦ N (2.10.10)


43

2.11 Modelul M/M/1/∞/r/FIFO

Modelul M/M/1/∞/r/FIFO este cu siguranţă mai aproape de situaţiile reale, ale liniilor de transmisiuni, care funcţionează ca sisteme uniserver ce posedă o capacitate finită de stocare, 1−= rq . Deci cel mult un număr de clienţi pot fi acceptaţi în sistem în poziţiile de aşteptare, urmând ca ei să fie serviţi, după o disciplină FIFO, şi să fie eliberaţi apoi cu o rată

q

efλ . Toţi ceilalţi clienţi, care sunt oferiţi de către sursa infinită, cu rata medie λ independentă de starea sistemului, dar care sosesc după completarea capacităţii de stocare vor fi respinşi de sistem, cu o rată (figura 2.11.1), constituind pierderi. Această ultimă situaţie corespunde stării de blocare (umplere completă) a sistemului, ce înglobează deopotrivă ocuparea serverului şi a şirului de aşteptare.

bλ

Rezultă deci că modelul M/M/1/∞/r/FIFO caracterizează aşa numitele sisteme cu aşteptare şi pierderi. Înseamnă că, faţă de modelul M/M/1, în cazul de faţă va trebui evaluat un indicator suplimentar de performanţă. Acesta este probabilitatea de pierderi, care caracterizează comportamentul sistemului în starea sa finală, când toate cele 1+= qr resurse prevăzute sunt ocupate şi ca urmare nici un alt client nu mai poate fi acceptat.

Aplicaţia 2.11.1 Determinaţi probabilităţile de stare ce caracterizează modelul

M/M/1/∞/r/FIFO. Indicaţie: Se poate folosi graful de tranziţii din figura 2.11.1, dar cu

observaţia esenţială că el se aplică pentru un număr finit de stări, determinat de dimensiunea r a sistemului. În consecinţă relaţia de normare reprezintă în acest caz o serie finită, ceea ce nu impune restricţii privind raportul dintre mărimile

şi . În plus, cazul impune o tratare separată, fiind necesară rescrierea sumei probabilităţilor de stare în mod corespunzător. Se obţine astfel: λ μ 1=ρ

- pentru 1≠ρ : 10 11

+ρ−

ρ−= rp şi j

rjp ρ⋅ρ−

ρ−=

+111 , (2.11.1)

- pentru 1=ρ : 1

10 +

=r

p şi 1

1+

=r

p j . (2.11.2)

* * * Indicatorii pentru evaluarea performanţei sunt următorii:

qClienţi oferiţi de o sursă infinită cu rata medie λ

Clienţi serviţi de serverul exponenţial părăsesc sistemul

cu rata λef

Clienţi respinşi de sistem cu rata λL

μ

Figura 2.11.1: Structura generală a unui sistem M/M/1/∞/r/FIFO


1) numărul mediu de clienţi prezenţi în sistem:

[ ]1

1

0

( 1) pentru 1E 1 1

2 pentru 1

rr

rj

j

rN j p

r

+

+

=

⎧ ρ + ρ− ρ ≠⎪= ⋅ = − ρ − ρ⎨

⎪ ρ =⎩

∑ (2.11.3)

2) numărul mediu de clienţi în aşteptare (lungimea medie a şirului):

01 1

2

1

E ( 1)

1 pentru 111

pentru 12( 1)

qrj

q jj j

q r

r

N j p p

r q

r qr

= =

+

⎡ ⎤ = − ⋅ = ⋅ρ ρ⎣ ⎦

⎧ ρ − ⋅ρ + ⋅ρ⋅ ρ ≠⎪ − ρ⎪ − ρ= ⎨

⋅⎪ ρ =⎪ +⎩

∑ ∑

(2.11.4)

3) probabilitatea de aşteptare:

[ ] 1

1

0

1

1 1110

+

−−

= ρ−

ρ−ρ=−−==> ∑ r

r

r

r

jj pppWP (2.11.5)

4) probabilitatea de blocare:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=ρ+

≠ρρ−

ρ−ρ

=ρ⋅== +

1 pentru)1(1

1 pentru1

11

0r

ppp rr

rrb (2.11.6)

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

00,5 1 1,5 2 2,5 3

0,7

Traficul oferit

Prob

abilit

atea

de

bloc

are

q = 2 pb = 0,25

q = 1 pb = 0,33

Domeniul de blocareNon-blocare

q = 10 pb = 0,083

q = 5 pb = 0,142

Figura 2.11.2: Variaţia probabilităţii de blocare cu traficul oferit la diverse şiruri


45

Variaţia probabilităţii de blocare cu traficul oferit, ρ , este prezentată în figura 2.11.2, domeniul de blocare (de congestie a sistemului) fiind intervalul în care traficul oferit impune sistemului o funcţionare în vecinătatea umplerii complete, însoţită de o respingere semnificativă de clienţi. Din curbele prezentate se poate observa că probabilitatea blocării este continuu crescătoare cu traficul oferit, fiind cu atât mai pronunţată cu cât şirul este de mărime mai mică.

5) productivitatea sistemului: Aşa cum se precizează şi în figura 2.11.1, sistemul în discuţie respinge cu

o rată medie clienţii care sosesc în momentele sale de blocare. Întrucât, blocarea reprezintă de fapt starea de încărcare completă a sistemului, înseamnă că rata medie de tranzit prin sistem este:

Lλ

efλ

( )bLef p−λ=λ−λ=λ 1 (2.11.7) Cum însă fiecare client acceptat în sistem urmează să fie servit (imediat

sau după o aşteptare oarecare), înseamnă că productivitatea este dată de relaţia: )1()1( 1+ρ−ρ−λ=λ=γ rr

ef (2.11.8)

Expresia ratei medii de părăsire a sistemului (a productivităţii) poate fi obţinută şi prin medierea ratelor de servire din toate stările posibile, adică: [ ] [ ]0)(0)(0 >⋅μ+=⋅=λ=γ tNPtNPef

cu: (probabilitatea ca în sistem să nu fie nici un client), [ ] 00)( ptNP == (probabilitatea ca în sistem să fie cel puţin un client). [ ] 010)( ptNP −=>

Deci: )1()1(0 00 ppef −μ=−μ+=λ şi făcând calculele, pentru , rezultă expresia:

1≠ρ

11)1(

+ρ−

ρ−⋅ρ=

μλ

r

ref (2.11.9)

ce este similară cu expresia anterioară (2.11.8). Din această exprimare, se poate însă deduce mai simplu că rata maximă de tranzit prin sistem tinde către rata μ de servire a serverului, când ∞→λ (traficul oferit devine foarte mare). Ţinând seama că rata de tranzit prin sistem este, în acest caz, diferită de aceea a cererilor de serviciu, λ , trebuie făcută o diferenţiere clară între următoarele elemente:

• traficul oferit sau sarcina oferită, ce se calculează prin produsul: (clienţi/sec)λ [ ]τ⋅E (secunde de servire/client),

• traficul servit sau sarcina servită, ce se evaluează prin produsul: efλ (clienţi/sec) [ ]E⋅ τ (secunde de servire/client).

Rata de tranzit prin sistem corespunde clienţilor acceptaţi de sistem, ceea ce permite utilizarea relaţiei lui Little pentru stabilirea următorilor indicatori de performanţă:


6) timpul mediu petrecut de un client în sistem: [ ] [ ]E E efT N= λ (2.11.10)

7) timpul mediu de aşteptare: [ ]E E q eW N⎡ ⎤ f= λ⎣ ⎦ (2.11.11)

8) gradul de utilizare a unităţii de servire: [ ]Eefg = λ ⋅ τ (2.11.12)

Pe lângă indicatorii de performanţă menţionaţi anterior, modelul în discuţie mai este caracterizat şi de:

9) probabilitatea respingerii unui client, Lp . Pentru stabilirea formulei sale de calcul se pleacă de la faptul că respingerea unui client este echivalentă cu faptul că la sosirea acestuia sistemul este blocat. Prin urmare, este adevărată următoarea egalitate: ( ) ( ) 1L ap P N t r N⎡ ⎤= = δ =⎣ ⎦ (2.11.13)

unde este un interval de timp suficient de mic (teoretic δ 0→δ ), astfel încât pe parcursul său, dacă apare o sosire, 1)( =δaN , să nu se mai întâmple şi alte evenimente, de genul sosiri sau serviri (condiţie care este satisfăcută ţinând cont că procesul analizat aparţine clasei proceselor de naştere şi moarte; vezi discuţia de la modelul M/M/1). Fiind o probabilitate condiţionată, pentru probabilitatea de respingere se pot scrie următoarele relaţii:

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ]1)(

)()( 1)(1)(

1)(,)(1)( )(=δ

=⋅==δ=

=δ=δ=

==δ=a

a

a

aa NP

rtNPrtNNPNP

NrtNPNktNP

în care, dat fiind faptul că starea sistemului nu influenţează procesul de sosire a clienţilor, probabilitatea sosirii unui client atunci când sistemul este blocat este identică cu probabilitatea sosirii unui client indiferent de starea acestuia, în consecinţă, atât pentru modelul M/M/1/∞/r, cât şi pentru oricare alt model care prezintă această proprietate, probabilitatea de pierdere este egală ca valoare cu probabilitatea blocării sistemului:

(2.11.14) [ ] bL prtNPp ===∞

)(/rM/M/1/

Documents

Sisteme de servire a traficului - comm.pub.rograzziela/PLANIFICAREA SERVICIILOR... · teoria . ş. irurilor, ce conţine un ... considerată la proiectare, sau de anumite evenimente