Sistemi lineari Sistemi lineari quadrati - Politecnico di Milanofracal/teaching/mazarch/calnum/lezioni/CN05... · Paaina 2 Sistemi lineari 2 Definizione e caratteristiche di sistema

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1

Sistemi lineariSistemi lineari quadrati

Paaina 2Sistemi lineari

2

Definizione e caratteristiche di sistema quadrato Definizione e caratteristiche di sistema quadrato (1/3)(1/3)

(continua)(continua)

Dati una matrice quadrata A(n××××n) ed un vettore (colonna) b ad n componenti;Determiniamo x in modo tale che:

Questa relazione di uguaglianza è un'equazione equazione vettoriale vettoriale nell’incognita x. Un vettore che la soddisfa è una soluzionesoluzione dell'equazione.

Ax = b

L’uguaglianza è:

•Un’equazione perché è vera solo per certi valori del vettore x;

•Vettoriale perché i due membri (a sinistra e a destra del segno “=”) sono due vettori.


3



Riscriviamo l'equazione vettoriale Ax=b come segue:

��

��

��

��

��

��

====

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

nnnnnn

n

n

b

...

b

b

x

...

x

x

a...aa

............

a...aa

a...aa

2

1

2

1

21

22221

11211

Quest'unica equazione vettoriale è equivalente a n equazioni scalari...


4


��

��

��

====++++++++++++

====++++++++++++

====++++++++++++

nnnnnn

nn

nn

bxa...xaxa

............

bxa...xaxa

bxa...xaxa

2211

22222121

11212111

Questo insieme è un sistemasistema di equazioni di 1° grado nelle n incognite x1,x2,…,xn (le componenti del vettore incognito x). Si chiama sistema lineare lineare di ordine n, ed è equivalente all'equazione vettoriale di partenza.

Le n equazioni derivano dal fatto che i due vettori memori dell’equazione per essere uguali devono avere uguali ordinatamente tutte le componenti.

Scrivendo quindi che:

•la prima componente del primo membro è uguale alla prima componente del secondo membro;

•la seconda componente del primo membro è uguale alla seconda componente del secondo membro;

• . . . ;

•la n-esima componente del primo membro è uguale alla n-esima componente del secondo membro,

si scrivono n equazioni nelle n incognite x1,x2,…,xn che devono essere soddisfatte tutte contemporaneamente e che costituiscono quindi un sistema.


5

Carattere e soluzione di un sistema lineareCarattere e soluzione di un sistema lineare

��

��

��

====++++++++++++

====++++++++++++

====++++++++++++

nnnnnn

nn

nn

bxa...xaxa

............

bxa...xaxa

bxa...xaxa

2211

22222121

11212111

Un sistema lineare può essere:

��

��

��

====++++++++++++

====++++++++++++

====++++++++++++

nnnnnn

nn

nn

bxa...xaxa

............

bxa...xaxa

bxa...xaxa

2211

22222121

11212111

••univocamente determinatounivocamente determinato se ammette una e una sola soluzione;••indeterminatoindeterminato se ammette infinite soluzioni;••impossibileimpossibile se non ammette soluzioni.

Ricordiamo che una soluzione del sistema è un vettore.


6

Algoritmi di risoluzione di sistemi lineariAlgoritmi di risoluzione di sistemi lineari

Un sistema lineare è un classico e semplice modello numerico sul quale sono strutturabili altrettanto classici algoritmi: per esempio l’algoritmo di Cramer. Tuttavia l’enorme numero di conti che tali algoritmi prevedono spinge alla ricerca di algoritmi molto più efficienti.

L’algoritmo di Cramer fornisce la seguente soluzione:

xi = det(Ai)/det(A) i = 1,2,…,n

dove:

A è la matrice dei coefficienti

Ai è la matrice dei coefficienti in cui la i-esima colonna è sostituita dal vettore dei termini noti.

Questo algoritmo ha un peso computazionale elevato (usando ad esempio la regola di Laplace ogni determinante richiede un numero di operazioni proporzionale a (2n+1)!. Anche con algoritmi più efficienti il calcolo dei determinanti di grandi matrici risulta troppo oneroso). Inoltre non fornisce informazioni sul sistema se A è singolare (e quindi il sistema non è univocamente determinato).

Per questi motivi non viene quasi mai usato, se non per piccoli sistemi determinati.


7

Caso particolare: osservazione Caso particolare: osservazione (1/3)(1/3)

��

��

============

3333

2222

1111

bxabxabxa

Se un sistema lineare (ad esempio 3x3) si trovasse nella seguente forma:

avremmo immediata possibilità di verificarne il carattere e di trovarne la soluzione.

��

��

============

3333

2222

1111

abxabxabx

///

Infatti il sistema si riduce al seguente sistema equivalente:



8


che in forma matriciale si può scrivere:

Ax=b ��

��

��

��

��

��

====��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

333

222

111

3

2

1

ababab

xxx

100010001

///

e che ammette come unica soluzione il vettore:

��

��

��

��

��

��

333

222

111

ababab

///



9


��

��

============

3333

2222

1111

bxabxabxa

Inoltre se un sistema lineare (nel caso esemplificato 3x3) si trovasse nella seguente forma:

con a33 = 0…

… risulterebbe immediatamente:impossibile se b3 ≠ ≠ ≠ ≠ 0;indeterminato se b3 = 0

L’ultima equazione, nel caso che a33 sia =0, mi fornisce subito importanti informazioni sul sistema:

•Se b3 ≠0 l’equazione diventa 0=b3 che è impossibile, quindi non esiste alcun valore di x3 che la renda vera e quindi il sistema è impossibile;

•Se b3 =0 l’equazione diventa 0=0 che è sempre verificata, quindi qualsiasi valore di x3 la renda vera e il sistema è indeterminato (esistono infinite soluzioni).


10

Risoluzione mediante diagonalizzazioneRisoluzione mediante diagonalizzazione

Dalle considerazioni appena fatte segue che:

“Un generico sistema lineare, soprattutto se di ordine elevato, viene analizzato e risolto preferibilmente con un particolare metodo di sostituzione che determina, se possibile, un sistema equivalenteequivalente con matrice dei coefficienti matrice dei coefficienti diagonalediagonale.”

L’algoritmo di seguito presentato ha caratteristiche di efficienza sia in termini di stabilità che in termini di costo.È, in tal senso, competitivo con ogni altro algoritmo classico.

L’algoritmo di diagonalizzazione tende a sostituire il sistema dato con un sistema equivalente a matrice diagonale, simile a quello della figura precedente.

11

Algoritmo di diagonalizzazione


12

Principi di equivalenza dei sistemi lineari Principi di equivalenza dei sistemi lineari

Principi di equivalenza:

��

��

��

====++++++++++++

====++++++++++++

====++++++++++++

nnnnnn

nn

nn

bxa...xaxa

............

bxa...xaxa

bxa...xaxa

2211

22222121

11212111

•un’equazione può essere moltiplicata per una costante (≠≠≠≠0)

•due equazioni possono essere scambiate fra loro

•un’equazione può essere sostituita dalla combinazione lineare di se stessa e di un’altra equazione


13

Algoritmo di diagonalizzazione: esempio 1 Algoritmo di diagonalizzazione: esempio 1 (1/8)(1/8)

��

��

−−−−====++++

====++++++++−−−−

====++++++++

1

222

12

31

321

321

xx

xxx

xxx

Alcune equazioni vengono sostituite da altre equazioni, rispettando i principi di equivalenzaprincipi di equivalenza. Si ottiene così un sistema equivalente a quello dato (ha le stesse soluzioni) ma la cui matrice è diagonale.



14


10x


��

��

−−−−====++++====++++++++−−−−====++++++++

1xx2xx2x21xxx2

31

321

321

��

��

−−−−====++++

====++++++++

1

12

31

321

xx

xxx

2x3++++ 32x++++ 3====

sostituisco la 2a

equazione con la somma:(1a equazione)××××(-a21/a11)+2a equazione

1====


15



��

��

��

−−−−====++++

====++++

====++++++++

1

323

12

31

32

321

xx

xx

xxxsostituisco la 3a equazione con la somma:(1a equazione)××××(-a31/a11)+3a equazione

-1 21

21−−−−====

��

��

��

====++++

====++++++++

323

12

32

321

xx

xxx

1122

x)( ++++−−−− 221 x−−−− 31

21 x)( ++++−−−−++++

23−−−−====


16


��

��

��

====++++

====++++++++

323

12

32

321

xx

xxx

��

��

��

−−−−====++++−−−−

====++++

====++++++++

23

21

21

323

12

32

32

321

xx

xx

xxx sostituisco la 3a equazione con la somma:(2a equazione)××××(-a32/a22)+3a equazione

21

61====

31

365

x 1−−−−====((continuacontinua))


17


��

��

��

−−−−====

====++++====++++++++

1x65

3x2x31xxx2

3

32

321

��

��

��

−−−−====

====++++

====++++

1x65

3x2x3

0x31

x2

3

32

31

sostituisco la 1a equazione con la somma:(2a equazione)××××(-a12/a22)+1a equazione

1−−−−31

((continuacontinua))


18


��

��

��

−−−−====

====++++

====++++

1x65

3x2x3

0x31

x2

3

32

31 sostituisco la 1a equazione con la somma:(3a equazione)××××(-a13/a33)+1a equazione

31−−−−

56

��

��

��

−−−−====

====++++

====

1x65

3x2x352

x2

3

32

1

52−−−−====



19



-2 56

512−−−−====

��

��

��

−−−−====

====++++

====

1x65

3x2x352x2

3

32

1

��

��

��

−−−−====

====

====

1x65

527

x352

x2

3

2

1



20


��

��

��

��

��

��

−−−−

====

��

��

��

��

��

��

56

59

51

x

x

x

3

2

1

Dalla forma scalare alla forma vettoriale Ax=b :

��

��

��

��

��

��

−−−−

====��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

56

5951

xxx

100010001

3

2

1

Il sistema è univocamente determinato, soluzione: (1/5, 9/5,-6/5)

��

��

��

−−−−====

====

====

56

x59

x51

x

3

2

1

��

��

��

−−−−====

====

====

1x65

527

x3

52

x2

3

2

1


21


Seguendo i passi suggeriti dall’algoritmo applicato all’esercizio precedente, troveremmo un moltiplicatore con denominatore nullo, dunque si scambia la seconda equazione con la terza (algoritmo con pivot)


��

��

��

====++++

====++++

====++++++++

22

1

12

32

3

321

xx

x

xxx

��

��

��

====++++

====++++

====++++++++

1

22

12

3

32

321

x

xx

xxx


22




��

��

��

====++++

====++++

====++++++++

1

22

12

3

32

321

x

xx

xxx

��

��

��

====++++

====++++

−−−−====

1

22

1

3

32

1

x

xx

x sostituisco la 2a equazione con la somma:(3a equazione) ××××(-a23/a33)+2a equazione


23

��

��

��

====++++

====

−−−−====

121

1

3

2

1

x

x

x

Dalla forma scalare alla forma vettoriale Ax=b :

��

��

��

��

��

��−−−−

====

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

1211

100

010

001

3

2

1

x

x

x

Il sistema è dunque univocamente determinatocon soluzione il vettore [-1,1/2,1]T

��

��

��

====++++

====

−−−−====

1

12

1

3

2

1

x

x

x



24



��

��

��

====++++−−−−

====++++++++

====++++−−−−

3224

12

22

321

321

321

xxx

xxx

xxx

��

��

��

−−−−====

−−−−====

====++++

10

12232

2

31

x

xx

Non è possibile procedere dunque:

��

��

��

−−−−====

−−−−====

====++++

1021

43

21

2

31

x

xx


25

che in forma vettoriale Ax=b:

��

��

��

��

��

��

−−−−

−−−−====

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

121

43

000

0102101

3

2

1

x

x

x

Non è possibile ottenere una diagonalizzazione della matrice A, il sistema è dunque non univocamente determinato.In particolare risulta impossibile (0 = -1 !!! )



26



��

��

��

====++++−−−−

====++++++++

====++++−−−−

9333

12

3

321

32

321

xxx

xx

xxx

��

��

��

====

====++++++++

====++++

00

1227

23

32

31

xx

xx

non è possibile procedere

��

��

��

====

====++++

====++++

0021

21

27

23

32

31

xx

xx


27

che in forma vettoriale Ax=b :

��

��

��

��

��

��

====

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

02127

00021

1023

01

3

2

1

x

x

x

Non è possibile ottenere una diagonalizzazione della matrice A, il sistema è dunque non univocamente determinato in particolare risulta indeterminato (0x3 = 0!!). Attribuendo un valore arbitrario αααα ad x3 otteniamo come soluzione il vettore [7/2-αααα3/2 1/2-αααα1/2 αααα]T che assume infiniti valori al variare di αααα.



28

Il procedimento illustrato perviene ad una matrice dei coefficienti caratterizzante il sistema lineare, precisamente:•È una matrice unitaria I; segue che il sistema è univocamente determinato•È una matrice non diagonale, ma con una o più righe nulle nelle ultime posizioni; segue che il sistema è impossibile se il vettore termine noto (modificato dall’algoritmo) ha, nelle corrispondenti posizioni, componenti non nulle•È una matrice con una o più righe nulle nelle ultime posizioni; segue che il sistema è indeterminato se il vettore termine noto (modificato dall’algoritmo) ha nelle corrispondenti posizioni componenti nulle.

ConclusioneConclusione

29

Sistemi lineari rettangolari

“In un sistema rettangolare il numero di equazioni è diverso dal numero di incognite.Se si hanno più equazioni che incognite il sistema è detto sovradeterminato.Se si hanno più incognite che equazioni il sistema è detto sottodeterminato”


30

L’algoritmo esemplificato per sistemi quadrati è generalizzabile al caso di sistemi rettangolari m≠≠≠≠n(cercando la diagonalizzazione di una sottomatrice quadrata)

Sistema lineare rettangolare Sistema lineare rettangolare –– esempio 1 esempio 1 (1/2)(1/2)

��

��

−−−−====++++−−−−++++−−−−====−−−−++++−−−−

====−−−−−−−−

2xx2xx24xx2x3

14x6x4x2

4321

321

421

��

��

��

====++++++++++++

====++++++++++++====++++++++++++

mnmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

...............

...

...



31


��

��

��

−−−−====++++

−−−−====++++

−−−−====++++

1321

1317

1350

1325

139

1311

43

42

41

xx

xx

xx

Dalla forma scalare alla forma vettoriale Ax=b:

��

��

��

��

��

��

−−−−

−−−−

−−−−

====

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

13211350139

1317

1001325

0101311

001

4

3

2

1

xxxx

Il sistema è dunque indeterminato. Attribuendo un valore arbitrario αααα ad x4, otteniamo come soluzione:

[-9/13-αααα11/13 -50/13-αααα25/13 -21/13-αααα17/13 αααα]T.


32


��

��

��

====++++−−−−====++++−−−−−−−−====−−−−++++

====++++−−−−

1214322

3532

21

321

321

321

xxxxx

xxxxxx

��

��

��

============

−−−−====

00101

3

2

1

xx

x



33


che in forma vettoriale Ax=b:

��

��

��

��

��

��−−−−

====��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

0101

000100010001

3

2

1

xxx

Il sistema è dunque univocamente determinato.Con soluzione [-1, 0, 1]T.

34

Reduced Row Echelon Form


35

Consideriamo i risultati ottenuti finora applicando l’algoritmo di diagonalizzazione. Osservando come sono state trasformate la matrice dei coefficienti e la colonna dei termini noti osserviamo quanto segue.Se si orla col vettore dei termini noti la matrice ottenuta (lo poniamo come ultima colonna) verifichiamo che nella matrice orlata: •in ogni riga il primo elemento non nullo è 1 (tale elemento èdetto “leading one”);•••• se ci sono righe con tutti gli elementi nulli queste sono le ultime righe della matrice;•ogni colonna che contiene leading 1 ha solo zeri al di sotto e al sopra di esso.Si dice che tale matrice è in

Reduced Row Echelon Form

Reduced Row Echelon Form Reduced Row Echelon Form (1/2)(1/2)



36

Reduced Row Echelon Form Reduced Row Echelon Form (2/2)(2/2)

Teorema: ogni matrice può essere trasformata - con una sequenza di

operazioni e permutazioni sulle righe - in una ed una sola matrice ridotta in echelon

form.

Analizzando la matrice, come visto in tutti gli esempi precedenti, si deducono carattere ed eventuali soluzioni del sistema.

In MATLAB la Reduced row echelon form di una matrice si ottiene mediante il comando rref:

Esempi:

>> rref(B)

se A è la matrice dei coefficienti e b il vettore (colonna) dei termini noti, il comando:

>> rref([A b])fornisce una matrice che fornisce (dalle colonne di sinistra) lanatura del sistema e dall’ultima colonna le eventuali soluzioni (per la casistica completa vedere le schede seguenti).


37

Casistica di Casistica di echelonechelon formform (caso 1) (caso 1) (1/9)(1/9)

��

��

��

��

��

��

cba

100010001

Il sistema quadrato (3 equazioni in 3 incognite) è univocamente determinato con soluzione: [a b c]T.Caso particolare sistema omogeneo (a=b=c=0) con soluzione [0 0 0]T.


MATRICE ATRASFORMATA

VETTORE bTRASFORMATO

Esaminando la reduced row echelon form (rref) della matrice orlata si vede che il sistema trasformato (equivalente a quello originale) è:

x1 = a

x2 = b

x3 = c

da cui segue immediatamente la soluzione.


38


Il sistema quadrato (3 equazioni in 3 incognite) è impossibile

��

��

��

��

��

��

1000010001

sr



x1 +rx3 = 0

x2 +sx3 = 0

0 = 1

L’ultima equazione è chiaramente impossibile.


39

Casistica di Casistica di echelon formechelon form (caso 3) (caso 3) (3/9)(3/9)

��

��

��

��

��

��

00001001

bsar

Il sistema quadrato (3 equazioni in 3 incognite) è indeterminato con infinite soluzioni: [a-ααααr b-ααααs αααα]T.Caso particolare a=b=0 sistema omogeneo indeterminato�



x1 +rx3 = a

x2 +sx3 = b

0 = 0

L’ultima equazione è sempre soddisfatta, qualunque valore α si attribuisca ad x3. Tale valore, sostituito a x3 nella prima e nella seconda equazione, fornisce la soluzione completa (ossia il vettore [x1 x2 x3 ]T.


40


Il sistema rettangolare sottodeterminato(3 equazioni in 4 incognite) è indeterminato con infinite soluzioni:

[d-aαααα e-bαααα f-cαααα αααα ]T.

��

��

��

��

��

��

fcebda

100010001




Esaminando la reduced row echelon form (rref) della matrice orlata si vede che il sistema trasformato è:

x1 +ax4 = d

x2 +bx4 = e

x3 +cx4 = f

Le tre equazioni sono soddisfatte attribuendo a x4 un valore arbitrario α e a [x1 x2 x3 x4]T il vettore rappresentato in figura, come si può facilmente verificare.


41


Il sistema rettangolare sottodeterminato(3 equazioni in 4 incognite) è indeterminato con infinite soluzioni:

[d-rαααα e-sαααα αααα f ]T.

��

��

��

��

��

��

fesdr

1000010001



x1 +rx3 = d

x2 +sx3 = e

x4 = f

L’ultima equazione fornisce immediatamente x4.

Le altre due equazioni sono soddisfatte attribuendo a x3 un valore arbitrario α e a [x1 x2 x3 x4]T il vettore rappresentato in figura, come si può facilmente verificare.


42


Il sistema rettangolare sottodeterminato (3 equazioni in 4 incognite) è impossibile

��

��

��

��

��

��

10000010001

bsar



x1 +rx3 +ax4 = 0

x2 +sx3 +bx4 = 0

0 = 1

L’ultima equazione è chiaramente impossibile.


43


Il sistema rettangolare sovradeterminato(4 equazioni in 3 incognite) è univocamente determinato con soluzione

[ a b c]T.

��

��

��

��

��

��

0000100010001

cba





x1 = a

x2 = b

x3 = c

0 = 0

L’ultima equazione è sempre soddisfatta.

Dalle altre tre segue immediatamente la soluzione.


44


Il sistema rettangolare sovradeterminato(4 equazioni in 3 incognite) è impossibile

��

��

��

��

��

��

00001000010001

sr



x1 +rx3 = 0

x2 +sx3 = 0

0 = 1

0 = 0

La terza equazione è chiaramente impossibile.


45


Il sistema rettangolare sovradeterminato(4 equazioni in 3 incognite) è indeterminato con infinite soluzioni:

[ a-ααααr b-ααααs αααα]T.

��

��

��

��

��

��

00000000

1001

bsar


x1 +rx3 = a

x2 +sx3 = b

0 = 0

0 = 0

Le ultime due equazioni sono sempre soddisfatte.

Le altre due equazioni sono soddisfatte attribuendo a x3 un valore arbitrario α e a [x1 x2 x3]T il vettore rappresentato in figura, come si può facilmente verificare.


46

Applicazione: arco a tre cerniere Applicazione: arco a tre cerniere (1/2)(1/2)

1

1

2

2

3 X1

X2

X3

X4

HV

X 5

X 5 X6

X6α α

x1 + x5cosαααα = 0x2 + x5sinαααα = 0NODO 1:

��

-x5cosαααα + x6cosαααα + H = 0-x5sinαααα - x6sinαααα + V = 0NODO 2:

��

x3 – x6cosαααα = 0x4 + x6sinαααα = 0NODO 3:

��


L’arco a tre cerniere è un sistema isostatico: due aste con complessivi 6 gradi di libertà, 3 cerniere per complessivi 6 gradi di vincolo.

Il sistema lineare risolvente è quindi un sistema determinato: 6 equazioni (due equazioni di equilibrio per ogni nodo) e 6 incognite (le 4 reazioni vincolari x1,..,x4 e gli sforzi interni delle aste x5, x6 presi positivi se di trazione).


47

Applicazione: arco a tre cerniere Applicazione: arco a tre cerniere (2/2)(2/2)

x1 + x5cosαααα = 0x2 + x5sinαααα = 0-x5cosαααα + x6cosαααα + H = 0-x5sinαααα - x6sinαααα + V = 0x3 – x6cosαααα = 0x4 + x6sinαααα = 0

��

��

��

��

��

��

A =

cosαααα1 0 0 0 0

0 1 0 0 sinαααα 0

0 0 0 0 -cosαααα cosαααα

0 0 0 0 -sinαααα -sinαααα

0 0 1 0 0 -cosαααα

0 0 0 1 0 sinαααα

b =

��

��

��

��

��

�� 00-H-V00

Dal sistema lineare quadrato si ricavano la matrice A e il vettore b, che permettono di risolvere numericamente il sistema.


48

Arco a tre cerniere: struttura labile (Arco a tre cerniere: struttura labile (αααααααα==0))

x2 = x4 = 0

H

X2 X4

X3

HX6 X6X5 X5

x3 = x6x5 = x6 + H

X1

x1 = -x5 = -x6 - H

SISTEMA INDETERMINATO

VX6X5

V

SISTEMA IMPOSSIBILE

Sebbene il sistema lineare sia sempre quadrato, particolari configurazioni geometriche del sistema fisico come quella in figura (cosα=1) lo possono rendere anomalo.

Nella parte alta il sistema è sollecitato solo da una forza esterna orizzontale. Le reazioni vincolari verticali risultano nulle, le reazioni vincolari orizzontali risultano indeterminate. Il sistema fornisce la seguente rref della matrice orlata (analogo al caso 3):

1. 0. 0. 0. 0. 1. - H

0. 1. 0. 0. 0. 0. 0.

0. 0. 1. 0. 0. -1. 0.

0. 0. 0. 1. 0. 0. 0.

0. 0. 0. 0. 1. -1. H

0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.

Col solo carico verticale V non può stare in equilibrio il nodo 2 e il sistema è impossibile. Corrispondentemente la rref diventa (analogo al caso 2):

1. 0. 0. 0. 0. 1. 0.

0. 1. 0. 0. 0. 0. 0.

0. 0. 1. 0. 0. - 1. 0.

0. 0. 0. 1. 0. 0. 0.

0. 0. 0. 0. 1. - 1. 0.

0. 0. 0. 0. 0. 0. 1.

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