Embed Size (px)
Citation preview
SISTEM KENDALI OTOMATISTransformasi Laplace
Open Loop/Closed Loop SystemsControlsignal
Actuatingsignal
Input/Desiredoutput
Plantoutput
Errorsignal
Controlsignal
Input/Desiredoutput
+
Actuatingsignal
Plantoutput
-
Sensor
PlantActuatorController
PlantActuatorController
Istilah-istilah dalam SKO
• Plant : Suatu peralatan atau objek fisikyang diatur/dikendalikan
• Proses : Operasi yang dikendalikan• Sistem : Gabungan komponen yang
bekerjasama untuk mencapai satu tujuan• Gangguan : Suatu sinyal
(internal/eksternal) yang mempunyaipengaruh merugikan output sistem
Istilah-istilah dalam SKO
• Input (Desired Output) : Output yangdiinginkan
• Error : Selisih antara input dan outputyang terjadi pada saat itu
• Sinyal kontrol : Sinyal dari kontroller
Model Matematika• Rancangan dari sistem kendali membutuhkan rumus
model matematika dari sistem.Mengapa harus dengan model matematika ?• Agar kita dapat merancang dan menganalisis sistem
kendali.Misalnya:• Bagaimana hubungan antara input dan output.• Bagaimana memprediksi/menggambarkan perilaku
dinamik dari sistem kendali tersebut.
Transformasi Laplace• Mengubah fungsi dari sistem fisis (domain waktu) ke fungsi
variabel kompleks (domain s)• Menyederhanakan persamaan matematis yang mengandung
operasi turunan/differensial atau integral menjadi persamaan yangberisi perkalian atau pembagian biasa
• Dapat mengubah fungsi umum (fungsi sinusoida, sinusoidateredam, fungsi eksponensial) menjadi fungsi-fungsi aljabarvariabel kompleks
• Metode ini memungkinkan untuk meramal kinerja sistemmenggunakan grafis tanpa harus menyelesaikan persamaandifferensial
• Komponen transien dan steady state diperoleh secara serentak
Penyelesaian MenggunakanTransformasi Laplace
Secara sederhana prosedur dasar pemecahan menggunakan metodetransformasi Laplace adalah:• Persamaan diferensial yang berada dalam kawasan waktu (t),
ditransformasikan ke kawasan frekuensi (s) dengan transformasiLaplace.
• Untuk mempermudah proses transformasi dapat digunakan tabeltransformasi laplace.
• Persamaan yang diperoleh dalam kawasan s tersebut adalahpersamaan aljabar dari variabel s yang merupakan operator Laplace.
• Penyelesaian yang diperoleh kemudian ditransformasi-balikkan kedalam kawasan waktu.
• Hasil transformasi balik ini menghasilkan penyelesaian persamaandalam kawasan waktu.
Time Domain
Circuit
Time Domain
Circuit
s-Domain
Circuit
L 1L
x(t) y(t)
X(s) Y(s)s j Complex Frequency
2 Types of s-Domain Circuits
With and Without Initial Conditions
Laplace
Transform
Inverse
Laplace
Transform
Definisi Transformasi Laplace
dengan:f(t) = fungsi waktu t, dengan f(t)=0 untuk t<0
s = variabel kompleks
0
)()()]([ dtetfsFtfL st
Latihan
• Hitung Transformasi Laplace Unit Step
u(t)
t
1
• Hitung Transformasi Laplace Unit Ramp
0untuk)( tAttff(t)
t
• Hitung Transformasi Laplace dari=
• Hitung Transformasi Laplace dari fungsisinus
f(t) F(s)=L[f(t)]
ntate
)t( 1)t(u
t
)atsin(
)atcos(
)at(sh
)at(ch
)1n(s/!n
2s/1
)as/(1 )as/(a 22 )as/(s 22 )as/(a 22 )as/(s 22
s/1
)atsin(e bt]a)bs/[(a 22
)bs)(as/(1
]a)bs/[()bs( 22 )atcos(e bt
ba )ab/()ee( atbt
ba )bs)(as/(s )ab/()aebe( atbt
SIFAT LINIERITAS)]t(f[L)s(F 11 )]t(f[L)s(F 22
tstanConsc,c 21
)s(F.c)s(F.c
)]t(f[L.c)]t(f[L.c
)]t(f.c)t(f.c[L
2211
2211
2211
SIFAT TRANSLASI
)as(F)]t(fe[L at a) Jika F(s)=L[f(t)]
)as(Fdte)t(fdte])t(fe[)]t(fe[L t)as(
0
st
0
atat
Contoh4s
s)]t2(Cos[L
2
5s2s
1s
4)1s(
1s)]t2(Cose[L
22t
21
• Translasi [time]
b) Jika g(t) = f(t-a) for t>a= 0 for t<a
)s(Fe)]t(g[L as
due)u(fedue)u(fdte])at(f)]t(g[L su
0
as)au(s
0
st
0
a
t
f(t) g(t)
Contoh 443
s
6
s
!3]t[L
2t,0)t(g
2t,)2t()t(g 3
4
s2
s
e6)]t(g[L
22
•Perubahan skala waktu )a
s(F
a
1)]t.a(f[L
)a
s(F
a
1
a
due)u(fdte])t.a(f)]t.a(f[L a
su
0
st
0
Contoh
1s
1)]t(Sin[L
2
9s
3
13s
1
3
1)]t3(Sin[L
22
TEOREMA DIFERENSIASITransformasi Laplace dari turunan fungsi f(t) diberikan sebagai
0
)()(dte
dt
tdf
dt
tdf stL
Integrasi bagian demi bagian memberikan
00 )()()(
dtetfsetfdt
tdf ststL
)t(fs)0(fdt
)t(dfLL
Transformasi Laplace sangat berguna karena mengubahpersamaan diferensial menjadi persamaan aljabar sederhana.
24
Turunan Pertama [Derivative first order]
)0(f)s(F.s)]t(f[L]dt
df[L)]t('f[L
00
0
dt)t(fse)t(fedt)t(fe)]t('f[L ststst
)0(f)s(F.s)]t('f[L t)0(f
f(t)
)(f)s(sF 0
25
Turunan orde tinggi (Derivatives of higher order)
)0(f)s(F.s)]t(f[L]dt
df[L)]t('f[L
)0('f)0(f.s)s(F.s])t(f[L)]t("f[L 2
)1n()1(2n1nn
)n(
)0(f.....)0(fs)0(fs)s(Fs)]t(f[L
)1i(n
1i
inn)n(
)0(f.s)s(Fs])t(f[L
•Jika discontinuity pada a
)]a(f)a(f[e)0(f)s(F.s)]t('f[L as
)a(f)a(f
26
Contoh Turunan
22s)]t(Sin[L
22s
s)]t(Cos[L
dt
)]t(Sin[d1)t(Cos
2222 s
s
)s(
s)0(Sin)]t(Sin[L
s)]t(Cos[L
)t(Cosdt
)]t[sin(d
)t(Sindt
)]t(Cos[d
dt
)]t(Cos[d1)t(Sin
)s(
)0(Cos)]t(Cos[L
s)]t(Sin[L
22
INTEGRASI
t
0s
)s(F]du)u(f[L
)s(F)0(g)]t(g[sL)]t(g[L
)t(f)t(g
t
0
]du)u(f)t(g )]t(f[L)s(F
Perkalian dengan faktor tdt)t(fe[
ds
d)s(F
ds
)s(dF
0
st' Leibnitz’s rule
)]t(tf[Ldt])t(tf[e]dt)t(fe[sds
)s(dF
0
stst
0
)s(F)]t(tf[L '
Rumus umum
n
nnn
ds
)s(Fd)1()]t(ft[L
Pembagian dengan faktor t
t
)t(f)t(g )t(tg)t(f
)s(Fds
)s(dG
ds
)]t(g[dL)]t(f[L
s
s
du)u(Fdu)u(F)s(G
s
du)u(F]t
)t(f[L
s
0)s(LimG
FUNGSI PERIODIK)t(f)kTt(f k,t
sT
T
0
st
e1
dte)t(f
)s(F)]t(f[L
.......dt)t(fedt)t(fedt)t(fe)s(F)]t(f[LT3
T2
stT2
T
stT
0
st
.......du)T2u(fedu)Tu(fedt)t(fe)s(F)]t(f[LT
0
)T2u(sT
0
)Tu(sT
0
st
.......du)u(feedu)u(feedt)t(fe)s(F)]t(f[LT
0
susT2T
0
susTT
0
st
]dt)t(fe[e)s(F)]t(f[LT
0
st
0n
nsT
sT0n
nsT
e1
1e
Fungsi periodik Sinus & Cosinus)t(jSin)t(Cose tj
dtedtee)]t(Sin[jL)]t(Cos[L]e[L0
t)sj(
0
sttjtj
sT
T
0
t)sj(
tj
e1
dte
]e[L
]1e[sj
1]1ee[
sj
1e
sj
1dte sTsTTjT
0t)sj(
T
0
t)sj(
22tj
s
js
)js)(js(
js
js
1]e[L
Sifat Transformasi Laplace
Diketahui: F(s)=L[f(t)] Bagaiman mencari f(t) dari F(s) ?
)]s(F[L)t(f 1
a) Metoda Tabelate)t(f
as
1)s(F
Transformasi Laplace Invers
n
i
tpi
n
n ieaps
a...
psa
psa
)s(A)s(B
)s(F12
2
1
1
n
i
tpi
tpn
tptp in eaea......eaea)t(f1
2121
b) Ekspansi fraksi dengan akar-akar berbeda
Harga ak (residu pada pole s=-pk) dapat diperoleh dengan:
kk psk
n
nk
k
kk
pskk )ps(
psa
...)ps(ps
a...)ps(
psa
)ps()s(A)s(B
a
1
1
Semua suku uraian menjadi nol, kecuali ak. Jadi residu ak diperoleh:
kpskk )ps(
)s(A)s(B
a
Contoh Soal
Carilah transformasi Laplace balik dari
)s)(s(s
)s(F21
3
Jawab:Transformasi Laplace balik dari:
pt-eaps
aL
1
)s(a
)s(a
)s)(s(s
)s(F2121
3 21
2121
3
11
s
)s()s)(s(
sa
1221
3
22
s
)s()s)(s(
sa
)s(L
)s(L)s(FL
2
1
1
2 111
0tuntukee)s(FL tt 21 2
Contoh Soal
)3s)(2s)(1s(
4s2)s(F
2
)3s(2
7
)2s(4
3
)1s(6
1)s(F
2
7
4
3
6
32 ttt eee)t(f
Tugas1. Tentukan transformasi laplace daria. = −b. = 2c. = sin( )d. =2. Tentukan invers transformasi laplace daria. = ( )( )b. = ( )c. =
TERIMA KASIH
